Основы теории графовосень 2013

Александр Дайняк

www.dainiak.com

Раскраски вершин

• Раскраска вершин графа 𝐺 в 𝑘 цветов — это отображение 𝜙: 𝑉 𝐺 → 1,2, … , 𝑘

• Вершинная раскраска 𝜙 называется правильной, если ∀𝑣′∀𝑣′′ 𝑣′𝑣′′ ∈ E 𝐺 ⇒ 𝜙 𝑣′ ≠ 𝜙 𝑣′′

Хроматическое число 𝜒 𝐺 — это минимальное число цветов, в которое можно правильно раскрасить вершины графа 𝐺.

Списочное хроматическое число

Пусть для каждой вершины 𝑣 графа 𝐺 указан конечный список𝐿𝑣 ⊆ ℕ — цвета, в которые разрешается красить 𝑣.

Правильная списочная раскраска графа 𝐺 (для набора списков 𝐿𝑣 𝑣∈𝑉 𝐺 ) — это отображение 𝜙: 𝑉 𝐺 → ℕ, которое

• является правильной раскраской в обычном понимании,

• каждая вершина покрашена в цвет из своего списка: 𝜙 𝑣 ∈ 𝐿𝑣

Списочное хроматическое число

Списочное хроматическое число графа 𝐺 — это такое минимальное 𝑘, что правильная списочная раскраска 𝐺 существует для любого набора списков 𝐿𝑣 𝑣∈𝑉 𝐺 , удовлетворяющего условию ∀𝑣 𝐿𝑣 = 𝑘.

Обозначение: 𝜒𝑙 𝐺 .

Очевидно, 𝜒𝑙 𝐺 ≥ 𝜒 𝐺 (поскольку можно взять все списки равными 1,2, … , 𝑘 ).

Раскраски планарных графов

Задачу о раскраске карт можно переформулировать на языке раскрасок, рассмотрев планарный граф, двойственный карте:

• Сколькими цветами можно правильно раскрасить любой планарный граф?

Раскраски планарных графов

Теорема (Four Color Theorem).𝜒 𝐺 ≤ 4 для любого планарного графа 𝐺.

История:

Постановка задачи: Гютри (сер. XVIII века)

Первые «доказательства»: Кемпе, Тейт (1880-е)

Первое доказательство: Хакен, Аппель (1976)

Признанные доказательства: Хакен, Аппель (1989), Робертсон, Сандерс, Сеймур, Томас (1997)

Списочные раскраски планарных графов

Теорема. (Thomassen ’1994)𝜒𝑙 𝐺 ≤ 5 для любого планарного графа 𝐺.

Теорема. (Voigt ’1993)Существуют планарные графы с 𝜒 = 3 и 𝜒𝑙 = 5.

Теорема. (N. Alon — M. Tarsi ’1992)𝜒𝑙 𝐺 ≤ 3 для любого двудольного планарного графа 𝐺.

Теорема Войгт

Теорема. (M. Voigt)Существуют планарные графы с 𝜒 = 3 и 𝜒𝑙 = 5.

Доказательство:Для каждого 𝛼 ∈ 5,6,7,8 и 𝛽 ∈9,10,11,12 определим граф 𝐺𝛼,𝛽

(со списками допустимых цветов), изображённый справа.

У него нет правильной списочной раскраски.

𝛼, 1,3,4 𝛼, 2,3,4

𝛽, 2,3,4 𝛽, 1,3,4

1,2,3,4

1,2,3,4

𝛼, 𝛽, 1,2 𝛼, 𝛽, 1,2

𝛼

𝛽

Теорема Войгт

Возьмём все 16 графов 𝐺𝛼,𝛽 для различных 𝛼, 𝛽 и отождествим у них верхние и нижние вершины. Получим граф 𝐺:

𝛼, 1,3,4 𝛼, 2,3,4

𝛽, 2,3,4 𝛽, 1,3,4

1,2,3,4

1,2,3,4

𝛼, 𝛽, 1,2 𝛼, 𝛽, 1,2⋯

Теорема Войгт

Для верхней и нижней вершин 𝐺 укажем списки 5,6,7,8 и 9,10,11,12 соответственно.

𝛼, 1,3,4 𝛼, 2,3,4

𝛽, 2,3,4 𝛽, 1,3,4

1,2,3,4

1,2,3,4

𝛼, 𝛽, 1,2 𝛼, 𝛽, 1,2⋯

5,6,7,8

9,10,11,12

Теорема Войгт

Тогда при любом выборе цветов 𝛼 и 𝛽 для верхней и нижней вершин 𝐺 один из подграфов совпадёт с 𝐺𝛼,𝛽 и достроить раскраску графа 𝐺 не получится.

⋯

𝛼

𝛽

𝛼, 1,3,4 𝛼, 2,3,4

𝛽, 2,3,4 𝛽, 1,3,4

1,2,3,4

1,2,3,4

𝛼, 𝛽, 1,2 𝛼, 𝛽, 1,2

𝛼

𝛽

Теорема Войгт

Итак, мы обосновали, что 𝜒𝑙 𝐺 > 4.

В то же время, 𝜒 𝐺 = 3:

⋯

Теорема Томассена

Теорема. (C. Thomassen)𝜒𝑙 𝐺 ≤ 5 для любого планарного графа 𝐺.

Доказательство:Квазитриангуляция — это планарный граф, границы всех граней которого являются простыми циклами, причём границы всех внутренних граней — треугольники.

Утверждение теоремы достаточно доказать для квазитриангуляций.

Теорема Томассена

Индукцией по 𝐺 докажем утверждение:

«Пусть 𝐺 — квазитриангуляция, и 𝐶 — цикл, ограничивающий внешнюю грань 𝐺. Пусть

• две смежные вершины 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶 уже окрашены в цвета 𝛼 и 𝛽соответственно,

• вершинам из 𝐶 − 𝑥, 𝑦 приписаны списки допустимых цветов размера не менее 3,

• вершинам из 𝐺 − 𝐶 приписаны списки допустимых цветов размера не менее 5.

Тогда для вершин из 𝑉 𝐺 ∖ 𝑥, 𝑦 можно выбрать цвета из их списков, так, чтобы получилась правильная раскраска графа 𝐺.»

Теорема Томассена

При 𝐺 = 3 утверждение очевидно. Пусть 𝐺 > 3 и утверждение выполнено для всех квазитриангуляций меньшего размера.

Вначале рассмотрим случай, когда у цикла 𝐶, ограничивающего внешнюю грань, есть хорда 𝑢𝑣 ∈ 𝐸 𝐺 ∖ 𝐸 𝐶 . Она разбивает укладку 𝐺 на части 𝐺1 и 𝐺2. Подграф 𝐺1, по предположению, можнораскрасить. Цвета 𝑢 и 𝑣 темсамым определятся. Теперь,по предположению, можно докрасить и подграф 𝐺2.

𝑢

𝑣

𝑥𝑦

𝐺1

𝐺2

𝐶

Теорема Томассена

Теперь рассмотрим случай, когда у 𝐶 нет хорд.

Пусть 𝑢 — отличный от 𝑦 сосед 𝑥 на 𝐶.Пусть 𝑤 — сосед 𝑢 на 𝐶, отличный от 𝑥 (возможно, 𝑤 = 𝑦), а 𝑣1, … , 𝑣𝑘 — все остальные соседи 𝑢 в графе 𝐺.Граф 𝐺′ = 𝐺 − 𝑢 является квазитриангуляцией. В списке 𝐿𝑢 есть два цвета 𝛾, 𝛿, отличные от 𝛼. В 𝐺′ для вершин 𝑣𝑖 возьмём списки 𝐿𝑣𝑖 ∖ 𝛾, 𝛿 ,

где 𝐿𝑣𝑖 — списки для 𝑣𝑖 в графе 𝐺.

По предположению, граф 𝐺′ можно раскрасить в цвета из списков.

Осталось окрасить 𝑢 в один изцветов 𝛾, 𝛿, отличных от цвета 𝑤.

𝑤𝑢

𝐶

𝑥

𝑣1𝑣2

𝑣𝑘

𝑦

Нелокальность хроматического числа

• Мы знаем простую оценку: 𝜒 𝐺 ≥ 𝜔 𝐺

• В планарных графах нет 𝐾5, то есть для них 𝜔 𝐺 ≤ 4. А по теореме о четырёх красках, для планарных графов имеем 𝜒 𝐺 ≤ 4.

• Можно ли в общем случае утверждать, что если 𝜔 𝐺 мало́, то и 𝜒 𝐺 мало́? —Нет!

Теорема Зыкова—Мыцельского

Теорема. (Зыков ’1949, Mycielski ’1955)При любом 𝑘 ≥ 2 существует связный граф 𝐺𝑘, для которого 𝜔 𝐺𝑘 = 2 и 𝜒 𝐺𝑘 = 𝑘.

Доказательство:Построим последовательность 𝐺𝑘 𝑘=2

∞ по индукции.

Для начала, возьмём 𝐺2 ≔ 𝐾2.

Теорема Зыкова—Мыцельского

Пусть 𝐺𝑘 = (𝑉𝑘 , 𝐸𝑘), и пусть 𝑉𝑘 = 𝑣1, … , 𝑣𝑛 .

Тогда 𝐺𝑘+1 = (𝑉𝑘+1, 𝐸𝑘+1), где

• 𝑉𝑘+1 = 𝑉𝑘 ∪ 𝑣1′ , … , 𝑣𝑛

′ ∪ 𝑣

• 𝐸𝑘+1 = 𝐸𝑘 ∪ 𝑣𝑖′𝑣 𝑖=1

𝑛 ∪ 𝑣𝑖′𝑣𝑗 ∣ 𝑣𝑖𝑣𝑗 ∈ 𝐸𝑘

𝑣1

𝑣2

𝑣1

𝑣2

𝑣1′

𝑣2′

𝑣𝑣2

𝑣3

𝑣4

𝑣5𝑣1

𝑣2

𝑣3

𝑣4

𝑣5𝑣1

𝑣4′

𝑣3′

𝑣2′

𝑣1′ 𝑣5

′

𝑣

Теорема Зыкова—Мыцельского

Пусть 𝜙𝑘 — раскраска 𝐺𝑘 в цвета 1,… , 𝑡 .

Тогда раскраску 𝜙𝑘+1 графа 𝐺𝑘+1 можно построить так: 𝜙𝑘+1 𝑣𝑖 =𝜙𝑘+1 𝑣𝑖

′ ≔ 𝜙𝑘 𝑣𝑖 и 𝜙𝑘+1 𝑣 ≔ 𝑡 + 1.

Следовательно, 𝜒 𝐺𝑘+1 ≤ 𝜒 𝐺𝑘 + 1.

Теорема Зыкова—Мыцельского

По раскраске 𝜙𝑘+1 графа 𝐺𝑘+1 в 𝑡 цветов можно построить раскраску 𝜙𝑘 графа 𝐺𝑘:𝜙𝑘 𝑣𝑖 ≔ 𝜙𝑘+1 𝑣𝑖 , если 𝜙𝑘+1 𝑣𝑖 ≠ 𝜙𝑘+1 𝑣 , и 𝜙𝑘 𝑣𝑖 ≔ 𝜙𝑘+1 𝑣𝑖

′ иначе.

𝑣𝑖

𝑣𝑖′

Раскраска 𝜙𝑘 является правильной раскраской графа 𝐺𝑘 в 𝑡 − 1 цветов.

Отсюда 𝜒 𝐺𝑘 ≤ 𝜒 𝐺𝑘+1 − 1, следовательно, 𝜒 𝐺𝑘+1 = 𝜒 𝐺𝑘 + 1.

Так как 𝜒 𝐺2 = 2, получаем ∀𝑘 𝜒 𝐺𝑘 = 𝑘.

𝑣𝑗′𝑣𝑗

Теорема Зыкова—Мыцельского

Покажем, что в графах 𝐺𝑘+1 нет треугольников при условии, что их нет в 𝐺𝑘:

• Треугольник в 𝐺𝑘+1 не может содержать более одной вершины среди 𝑣𝑖′𝑖=1𝑛 .

• Треугольник в 𝐺𝑘+1 не может содержать 𝑣, так как 𝑣 смежна только с вершинами 𝑣𝑖

′𝑖=1𝑛 .

• Треугольник в 𝐺𝑘+1 не может содержать только вершины из 𝑣𝑖 𝑖=1𝑛 ,

т.к. в 𝐺𝑘 нет треугольников

• Значит, если в 𝐺𝑘+1 есть треугольник, то он имеет вид 𝑣𝑝, 𝑣𝑞 , 𝑣𝑟′ .

Но тогда вершины {𝑣𝑝, 𝑣𝑞 , 𝑣𝑟} образуют треугольник в 𝐺𝑘 — противоречие.

Т.к. в 𝐺2 нет треугольников, то их нет ни в одном 𝐺𝑘.

Нелокальность хроматического числа

Обхват графа 𝐺 — это наименьший размер цикла в графе. Обозначение: g 𝐺 .

Если g 𝐺 > 𝑘, то в 𝐺 окрестность любой вершины радиуса 𝑘 2является деревом:

Теорема. (P. Erdős ’1959)При любом 𝑘 существует граф 𝐺, для которого g 𝐺 > 𝑘и 𝜒 𝐺 > 𝑘.

Доказательство теоремы Эрдёша

Пусть 𝑘 ≥ 10. Положим 𝑛 ≔ 4𝑘 4𝑘 и рассмотрим случайный граф 𝐺 на 𝑛 вершинах, проводя каждое ребро с вероятностью 𝑝 ≔𝑛 1 2𝑘 −1.

Введём случайную величину𝑋 ≔ #циклов длины ≤ 𝑘 в нашем графе

Используя линейность матожидания, получаем

𝔼 𝑋 =

𝑖=3

𝑘𝑛

𝑖⋅𝑖 − 1 !

2⋅ 𝑝𝑖

Выбираем длину цикла

Какие именно вершины участвуют в цикле

Количество способовсоставить цикл из выбранных вершин

Вероятность того, что все рёбра этогоцикла попадут вслучайный граф

Доказательство теоремы Эрдёша

• 𝑋 ≔ #циклов длины ≤ 𝑘 в нашем графе

𝔼 𝑋 =

𝑖=3

𝑘𝑛

𝑖

𝑖 − 1 !

2𝑝𝑖 <

𝑖=3

𝑘𝑛𝑖

𝑖!

𝑖 − 1 !

2𝑝𝑖 <

𝑖=3

𝑘

𝑛𝑝 𝑖 =

=

𝑖=3

𝑘

𝑛 1 2𝑘 𝑖< 𝑘 𝑛

По неравенству Маркова,

Pr 𝑋 ≥ 𝑛2

≤ 𝔼 𝑋 𝑛 2

< 2𝑘

𝑛< 1

2

Итог: Pr #циклов длины ≤ 𝑘 в графе ≥ 𝑛

2< 1

2

Доказательство теоремы Эрдёша

Положим 𝑡 ≔ 𝑛1− 1 4𝑘 и введём с. в.

𝑌 ≔ #н. м. размера 𝑡 в нашем графе

Пользуясь неравенством 1 − 𝑝 < 𝑒−𝑝 и, помня, что 𝑝 = 𝑛 1 2𝑘 −1, выводим

𝔼 𝑌 =𝑛

𝑡1 − 𝑝

𝑡2 < 𝑒𝑛

𝑡

𝑡𝑒− 𝑝𝑡 𝑡−1 2 = 𝑡−1𝑛𝑒1− 𝑝 𝑡−1 2 𝑡

<

< 𝑡−1𝑛𝑒2− 𝑝𝑡 2 𝑡≤ 𝑛 1 4𝑘 𝑒2−0.5𝑛

1 4𝑘 𝑡= 4𝑘𝑒2−2𝑘

𝑡< 1

2

Доказательство теоремы Эрдёша

• 𝑡 ≔ 𝑛1− 1 4𝑘

• 𝑌 ≔ #н. м. размера 𝑡 в нашем графе

• 𝔼 𝑌 < 1

2

Пользуясь неравенством Маркова, получаем

Pr в графе есть н. м. размера 𝑡 = Pr 𝑌 ≥ 1 ≤ 𝔼 𝑌 < 12

То есть

Pr 𝛼 𝐺 ≥ 𝑛1− 1 4𝑘 < 12

Доказательство теоремы Эрдёша

• Pr #ц. дл. ≤ 𝑘 в 𝐺 превосходит 𝑛

2< 1

2

• Pr 𝛼 𝐺 ≥ 𝑛1− 1 4𝑘 < 1

2

Вероятность того, что в графе 𝐺 окажется более 𝑛

2циклов длины ≤

𝑘 или хотя бы одно независимое множество размера 𝑛1− 1 4𝑘 ,

< 12 +

12 = 1

Значит, с положительной вероятностью случайный граф 𝐺содержит не более 𝑛

2циклов длины ≤ 𝑘 и имеет 𝛼 𝐺 < 𝑛1− 1 4𝑘 .

Доказательство теоремы Эрдёша

Мы показали, что существует граф 𝐺, в котором не более 𝑛2

циклов

длины ≤ 𝑘 и при этом 𝛼 𝐺 < 𝑛1− 1 4𝑘 .

Удалим из каждого цикла длины ≤ 𝑘 произвольную вершину.

Останется граф 𝐺′, для которого

• g 𝐺′ > 𝑘

• 𝐺′ ≥ 𝑛

2

• 𝛼 𝐺′ ≤ 𝛼 𝐺 < 𝑛1− 1 4𝑘

Доказательство теоремы Эрдёша

Мы показали, что существует граф 𝐺′, в котором

• g 𝐺′ > 𝑘

• 𝐺′ ≥ 𝑛 2

• 𝛼 𝐺′ ≤ 𝛼 𝐺 < 𝑛1− 1 4𝑘

Имеем

𝜒 𝐺′ ≥𝐺′

𝛼 𝐺′>

𝑛 2

𝑛1− 1 4𝑘= 2𝑘

Итог: g 𝐺′ > 𝑘 и 𝜒 𝐺′ > 2𝑘, что и требовалось.

Следствия теоремы Эрдёша

Теорема. (P. Erdős ’1959)При любом 𝑘 существует граф 𝐺, для которого g 𝐺 > 𝑘и 𝜒 𝐺 > 𝑘.

Следствие.При любом 𝑘 существует граф, для которого g 𝐺 > 𝑘и 𝜅 𝐺 > 𝑘.

Доказательство:Пусть 𝐺 — граф, у которого g 𝐺 > 𝑘 и 𝜒 𝐺 > 4𝑘.

В 𝐺 есть подграф 𝐺′, для которого 𝛿 𝐺′ ≥ 𝜒 𝐺 − 1 ≥ 4𝑘.

По теореме Мадера, в 𝐺′ есть 𝑘 + 1 -связный подграф 𝐺′′.

Совершенные графы

Граф называется совершенным, если любой его порождённый подграф 𝐻 удовлетворяет условию 𝜒 𝐻 = 𝜔 𝐻 .

Теорема. (Lovász ’1972)Граф 𝐺 является совершенным, если и только если любой его порождённый подграф 𝐻 удовлетворяет условию

𝐻 ≤ 𝛼 𝐻 ⋅ 𝜔 𝐻 .

Доказательство. Необходимость следует из того, что в совершенном графе для любого порождённого подграфа 𝐻имеем

𝐻 ≤ 𝛼 𝐻 𝜒 𝐻 = 𝛼 𝐻 𝜔 𝐻 .

Доказательство теоремы Ловаса

Доказательство достаточности:

Пусть 𝐺 — не совершенный граф. Нужно показать, что найдётся порождённый 𝐻 ⊆ 𝐺, для которого неравенство 𝐻 ≤ 𝛼 𝐻 𝜔 𝐻нарушится.

Будем считать, что каждый порождённый подграф отличный от самого 𝐺, совершенный. Так что требуется доказать, что 𝐺 > 𝛼 𝐺 𝜔 𝐺 .

Для любого непустого независимого множества 𝐴 ⊂ 𝑉 𝐺выполнены равенства

𝜒 𝐺 − 𝐴 = 𝜔 𝐺 − 𝐴 = 𝜔 𝐺 ,так как иначе оказалось бы, что 𝜒 𝐺 = 𝜔 𝐺 .

Доказательство теоремы Ловаса

Обозначим 𝛼 ≔ 𝛼 𝐺 , 𝜔 ≔ 𝜔 𝐺 .

Пусть 𝐴0 = 𝑣1, … , 𝑣𝛼 — н.м. максимального размера в 𝐺.

Для каждого 𝑗 раскраска графа 𝐺 − 𝑣𝑗 порождает разбиение

множества 𝑉 𝐺 − 𝑣𝑗 на независимые множества 𝐴𝑗,1, … , 𝐴𝑗,𝜔.

Заметим, что любая клика размера 𝜔 в 𝐺 пересекается со всеми, кроме одного из множеств 𝐴0, 𝐴1,1, … , 𝐴1,𝜔, … , 𝐴𝛼,1, … , 𝐴𝛼,𝜔.

Доказательство теоремы Ловаса

𝐴0 = 𝑣1, … , 𝑣𝛼 — н.м. размера 𝛼 в 𝐺.

𝑉 𝐺 − 𝑣𝑗 = 𝐴𝑗,1 ⊔⋯⊔ 𝐴𝑗,𝜔 при 𝑗 = 1,… , 𝛼.

Пусть 𝐾 — клика размера 𝜔 в 𝐺.

Если 𝐾 ∩ 𝐴0 = ∅, то ∀𝑗 𝐾 ⊆ 𝑉 𝐺 − 𝑣𝑗 и следовательно

𝐾 ∩ 𝐴𝑗,𝑙 = 1 для любых 𝑗, 𝑙.

Если 𝐾 ∩ 𝐴0 = 𝑣𝑠 , то

при 𝑗 ≠ 𝑠 𝐾 ∩ 𝐴𝑗,𝑙 = 1 при всех 𝑙;

𝐾 ∩ 𝐴𝑠,𝑙 = 1 при всех 𝑙, кроме одного.

Доказательство теоремы Ловаса

𝐴0 = 𝑣1, … , 𝑣𝛼 — н.м. размера 𝛼 в 𝐺.

𝑉 𝐺 − 𝑣𝑗 = 𝐴𝑗,1 ⊔⋯⊔ 𝐴𝑗,𝜔 при 𝑗 = 1,… , 𝛼.

Пусть 𝐵0 — клика размера 𝜔 в графе 𝐺 − 𝐴0 .

Аналогично определим клики 𝐵𝑖,𝑗 в 𝐺 − 𝐴𝑖,𝑗 .

Занумеруем набор множеств 𝐵0, 𝐵1,1, … , 𝐵𝛼,𝜔 индексами

𝐵0, 𝐵1, … , 𝐵𝛼𝜔. И 𝐴0, 𝐴1,1, … , 𝐴𝛼,𝜔 занумеруем индексами 𝐴0, 𝐴1, … , 𝐴𝛼𝜔.

Получаем, что 𝐴𝑖 ∩ 𝐵𝑗 = 1, если 𝑖 ≠ 𝑗0, если 𝑖 = 𝑗

Лемма Гаспаряна

Лемма. (A. Gasparian ’1996)Пусть 𝑋1, … , 𝑋𝑚, 𝑌1, … , 𝑌𝑚 — подмножества множества 𝑣1, … , 𝑣𝑛 , такие, что

𝑋𝑖 ∩ 𝑌𝑗 = 1, если 𝑖 ≠ 𝑗0, если 𝑖 = 𝑗

Тогда 𝑚 ≤ 𝑛.

Непосредственно из леммы Гаспаряна следует неравенство 𝛼 𝐺 𝜔 𝐺 + 1 ≤ 𝐺 , что доказывает теорему Ловаса.

Доказательство леммы Гаспаряна

Рассмотрим матрицу 𝑿𝑚×𝑛 = 𝑥𝑖,𝑗 , в которой 𝑥𝑖,𝑗 = 1, если 𝑋𝑖 ∋ 𝑣𝑗и 𝑥𝑖,𝑗 = 0 иначе.

Аналогично введём 𝒀𝑛×𝑚 = 𝑦𝑖,𝑗 , в которой 𝑦𝑖,𝑗 = 1, если 𝑣𝑖 ∈ 𝑌𝑗 и

𝑦𝑖,𝑗 = 0 иначе.

Тогда

𝑘=1

𝑛

𝑥𝑖,𝑘𝑦𝑘,𝑗 = # 𝑘 ∣ 𝑣𝑘 ∈ 𝑋𝑖 ∩ 𝑌𝑗 = 1, если 𝑖 ≠ 𝑗0, если 𝑖 = 𝑗

Доказательство леммы Гаспаряна

𝑘=1

𝑛

𝑥𝑖,𝑘𝑦𝑘,𝑗 = # 𝑘 ∣ 𝑣𝑘 ∈ 𝑋𝑖 ∩ 𝑌𝑗 = 1, если 𝑖 ≠ 𝑗0, если 𝑖 = 𝑗

Следовательно,

𝑿𝒀 =

0 11 0

⋯⋯

11

⋮ ⋱ ⋮1 1 ⋯ 0

Таким образом, ранг матрицы 𝑿𝒀 равен 𝑚. Следовательно, ранги 𝑿 и 𝒀 не меньше 𝑚.А значит, 𝑛 ≥ 𝑚. Лемма доказана.

Совершенные графы

Теорема. (L. Lovász ’1972)Граф 𝐺 является совершенным, если и только если любой его порождённый подграф 𝐻 удовлетворяет условию

𝐻 ≤ 𝛼 𝐻 ⋅ 𝜔 𝐻 .

Следствие.Граф, дополнительный к совершенному, также является совершенным.

Примеры совершенных графов

• Двудольные графы

• Интервальные графы (𝑉 = отрезки на прямой, 𝐸 = пары пересекающихся отрезков)

• Графы сравнимости (𝑉 = элементы ч.у.м., 𝐸 = пары сравнимых элементов)

• Дистанционно-наследственные графы (расстояния между вершинами не меняются при переходе к связным порождённым подграфам)

• Графы, каждый блок которых совершенный

• Дополнения совершенных графов

Примеры совершенных графов

Введём операцию подстановки графа 𝐻 вместо вершины 𝑥графа 𝐺. (Считаем, что 𝑉 𝐺 ∩ 𝑉 𝐻 = ∅)

Результатом операции является граф 𝐺′:

• 𝑉 𝐺′ = 𝑉 𝐺 − 𝑥 ∪ 𝑉 𝐻

• 𝐸 𝐺′ = 𝐸 𝐺 − 𝑥 ∪ 𝐸 𝐻 ∪ 𝑢𝑣 ∣ 𝑢 ∈ 𝑉 𝐻 , 𝑣 ∈ 𝑉 𝐺 , 𝑣𝑥 ∈ 𝐸 𝐺

𝑥

𝐻𝐺 𝐺′

Теорема (б/д): если 𝐺 и 𝐻 совершенны, то таков и 𝐺′.

Сильная гипотеза Бержа

Циклы на нечётном числе вершин, не меньшем 5, несовершенны, так как для них 𝜒 = 3,𝜔 = 2.

Оказывается, это «минимальные несовершенные графы»:

Теорема. (Strong Perfect Graph Theorem)Граф является совершенным тогда и только тогда, когда ни в нём, ни в его дополнении нет порождённых подграфов, являющихся циклами нечётной длины не менее 5.