要点梳理1. 等比数列的定义 如果一个数列

，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示 .

2. 等比数列的通项公式 设等比数列 {an} 的首项为 a1 ，公比为 q ，则它的通

项 an= .

§6.3 等比数列及其前 n项和

从第二项起，后项与相邻前项的比是

一个确定的常数（不为零）公比

q

a1·qn-1

基础知识 自主学习

3. 等比中项 若 ，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项 .4. 等比数列的常用性质（ 1 ）通项公式的推广： an=am· ,(n ， m∈N*).

（ 2 ）若 {an} 为等比数列，且 k+l=m+n ，（ k ， l ，

m ， n∈N* ），则 .

（ 3 ）若 {an} ， {bn} （项数相同）是等比数列，则 {

an} （ ≠ 0 ）， ， { } ， {an·bn} ，

仍是等比数列 .

G2=a·b

qn-m

ak·al=am·an

na1 2

na

n

n

ba

5. 等比数列的前 n 项和公式

等比数列 {an} 的公比为 q （ q≠0 ），其前 n 项和

为 Sn ，当 q=1 时， Sn=na1 ；当 q≠1 时， Sn=

6. 等比数列前 n 项和的性质 公比不为 -1 的等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，则

Sn ， S2n-Sn ， S3n-S2n 仍成等比数列，其公比为 .

qqa n

1)1(1

.111

)1( 111

qa

qqa

qqa nn

qn

基础自测

1. 设 a1=2, 数列 {an+1} 是以 3 为公比的等比数

列，则 a4 的值为

（ ）

A.80 B.81 C.54 D.53

解析 由已知得 an+1=(a1+1)·qn-1,

即 an+1=3·3n-1=3n,

∴an=3n-1 ，∴ a4=34-1=80.

A

2. 等比数列 {an} 中， a4=4, 则 a2·a4·a6 等于（

）

A.4 B.8 C.32 D.64

解析 ∵ a4 是 a2 与 a6 的等比中项，

∴a2·a6= =16.∴a2·a4·a6=64.

D

24a

3. （ 2009· 广东文， 5 ）已知等比数列 {an} 的公

比为正数，且 a3·a9=2 ,a2=1, 则 a1= （

）

A.2 B. C. D.

解析 设公比为 q, 由已知得 a1q2·a1q8=2(a1q4)2,

即 q2=2. 因为等比数列 {an} 的公比为正数 , 所

以 q= , 故 a1=

C25a

222

21

.22

212

qa

2

4. 在 等 比 数 列 {an} 中 ， 前 n 项 和 为 Sn ， 若

S3=7 ， S6=63 ，则公比 q 的值是

（ ） A.2 B.-2 C.3 D.-3

解析 方法一 依题意， q≠1,

∵ =7 ，

①

=63. ②

②÷① 得 1+q3=9,∴q3=8,∴q=2.

方法二 ∵ (a1+a2+a3)·q3=a4+a5+a6,

而 a4+a5+a6=S6-S3=56,

∴7·q3=56,q3=8,q=2.

A

qqa

1)1( 3

1

qqa

1

)1( 61

5. （ 2008· 浙江理， 6 ）已知 {an} 是等比数列 ,a2

=2,a5= , 则 a1a2+a2a3+…+anan+1 等于（ ）

A.16(1-4-n) B.16(1-2-n)

C. (1-4-n) D. (1-2-n)

解析 ∵

∴an·an+1=4· （ ） n-1·4· （ ） n=25-2n,

故 a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1

=23+21+2-1+2-3+…+25-2n

C

332

332

.2

1,8

13

2

5 qqa

a

21

21

4

1

)41(3

32

4

11

)4

11(8

nn

题型一 等比数列的基本运算【例 1 】已知 {an} 为等比数列， a3=2 ， a2+a4= ，

求 {an} 的通项公式 .

根据等比数列的定义、通项公式及性质建立首项 ,公比的方程组 .

解 方法一 设等比数列 {an} 的公比为 q ，则 q≠0 ，

a2= a4=a3q=2q ，

∴ +2q=

解得 q1= ， q2=3.

3

20

思维启迪

,23

qqa

q2

.320

31

题型分类 深度剖析

① 当 q= 时， a1=18 ，

∴an=18× （ ） n-1= =2×33-n.

② 当 q=3 时， a1= ，

∴an= ×3n-1=2×3n-3.

综上所述， an=2×33-n 或 an=2×3n-3.

方法二 由 a3=2, 得 a2a4=4 ，又 a2+a4= ，

则 a2 ， a4 为方程 x2- x+4=0 的两根，

31

31

13

18n

92

92

320

320

a2= a2=6

a4=6 a4=

解得 或 .

32

32

① 当 a2= 时 ,q=3,an=a3·qn-3=2×3n-3.

② 当 a2=6 时， q= ,an=2×33-n

∴an=2×3n-3 或 an=2×33-n.

（ 1）等比数列 {an} 中， an=a1qn-1, Sn=

中有五个量，可以知三求二；（ 2）注意分

类讨论的应用 .

32

31

探究提高

qqa n

1

)1(1

知能迁移 1 已知等比数列 {an} 中， a1=2,a3+2 是 a2

和 a4 的等差中项 .

（ 1 ）求数列 {an} 的通项公式；

（ 2 ）记 bn=anlog2an, 求数列 {bn} 的前 n 项和 Sn.

解 （ 1 ）设数列 {an} 的公比为 q,

由题意知： 2(a3+2)=a2+a4,

∴q3-2q2+q-2=0 ，即 (q-2)(q2+1)=0.

∴q=2 ，即 an=2·2n-1=2n.

（ 2 ） bn=anlog2an=n·2n,

∴Sn=1·2+2·22+3·23+…+n·2n.

①

2Sn=1·22+2·23+3·24+…+ （ n-

1 ） ·2n+n·2n+1.②

①-② 得 -Sn=21+22+23+24+…+2n-n·2n+1

=-2-(n-1)·2n+1.

∴Sn=2+ （ n-1 ） ·2n+1.

题型二 等比数列的判定与证明

【例 2 】 （ 2008· 湖北文， 21 ）已知数列 {an} 和

{bn} 满足： a1= ,an+1= an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),

其中 为实数， n 为正整数 . （ 1 ）证明：对任意实数 , 数列 {an} 不是等比数列 ;

（ 2 ）证明：当 ≠ -18 时，数列 {bn} 是等比数列 .

（ 1）可用反证法 . （ 2）根据递推关系推出 bn+1=- bn ，用 ≠ -18 说

明 b1≠0，即 bn≠0.

32

思维启迪

32

证明 （ 1 ）假设存在一个实数 , 使 {an} 是等比数列 ,

则有 =a1a3, 即

9=0, 矛盾 .

所以 {an} 不是等比数列 .

（ 2 ） bn+1=(-1)n+1 ［ an+1-3(n+1)+21 ］

=(-1)n+1( an-2n+14)

=- (-1)n·(an-3n+21)=- bn.

又 ≠ -18 ，所以 b1=-( +18)≠0.`

22a )4

94()3

32( 2

494

9494 22

32

32

32

由上式知 bn≠0, 所以 (n∈N*).

故当 ≠ -18 时，数列 {bn} 是以 -( +18) 为首项，

为公比的等比数列 .

证明一个数列是等比数列的主要方法有

两种：一是利用等比数列的定义，即证明 (q≠0,n∈N*)，二是利用等比中项法，即证明 =anan+2≠0 (n∈N*).在解题中，要注意根据欲证明

的问题，对给出的条件式进行合理地变形整理，构 造出符合等比数列定义式的形式，从而证明结论 .

探究提高

3

21

n

n

b

b

32

qa

a

n

n 1

21na

知能迁移 2 （ 2009· 全国Ⅱ理， 19 ）设数列{an} 的 前 n 项 和 为 Sn, 已 知

a1=1 ， Sn+1=4an+2.

（ 1 ）设 bn=an+1-2an ，证明数列 {bn} 是等比数

列； （ 2 ）求数列 {an} 的通项公式 .

（ 1 ） 证 明 由 已 知 有 a1+a2=4a1+2, 解 得

a2=3a1+2=5, 故 b1=a2-2a1=3.

又 an+2=Sn+2-Sn+1

=4an+1+2-(4an+2)=4an+1-4an,

于是 an+2-2an+1=2(an+1-2an) ，即 bn+1=2bn.

因此数列 {bn} 是首项为 3, 公比为 2 的等比数列 .

(2) 解 由（ 1 ）知等比数列 {bn} 中 b1=3, 公比 q=2,

所以 an+1-2an=3×2n-1, 于是

因此数列 是首项为 , 公差为 的等差数列 ,

所以 an=(3n-1)·2n-2.

,4

3

22 11

nn

nn aa

nna

2 21

43

,4

1

4

3

4

3)1(

2

1

2 nn

ann

题型三 等比数列的性质及应用

【例 3 】在等比数列 {an} 中， a1+a2+a3+a4+a5=8 且

=2, 求 a3.

（ 1）由已知条件可得 a1 与公比 q的方程组，

解出 a1 、 q，再利用通项公式即可得 a3.

（ 2）也可利用性质 =a1·a5=a2·a4 直接求得 a3.

解 方法一 设公比为 q, 显然 q≠1,

∵{an} 是等比数列，∴ 也是等比数列，公比

为 .

思维启迪

1

1a

5432

1111aaaa

23a

na1

q1

∴ = （ a1q2 ） 2=4 ，∴ a3=±2.

方法二 由已知得

∴ =4.∴a3=±2.

由已知条件得

21

1

)1

1(1

81

)1(

51

51

q

qa

q

qa

,4421 qa解得

23a

23a

.28

11111

23

23

54321

23

3

42

42

51

51

54321

aa

aaaaa

a

aaaaa

aaaa

aaaaa

探究提高 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若 m+n=p+q, 则 am·an=ap·aq” ，可以减少运算量，提高

解题速度 .知能迁移 3 （ 1 ）已知等比数列 {an} 中，有 a3a11=

4a7 ，数列 {bn} 是等差数列，且 b7=a7, 求 b5+b9 的

值 ;（ 2 ）在等比数列 {an} 中，若 a1a2a3a4=1,a13a14a15a16

= 8, 求 a41a42a43a44.解 （ 1 ）∵ a3a11= =4a7 ，

∵a7≠0 ，∴ a7=4 ，∴ b7=4 ，

∵{bn} 为等差数列，∴ b5+b9=2b7=8.

27a

（ 2 ） 方 法 一 a1a2a3a4=a1a1qa1q2a1q3=

q6=1.①

a13a14a15a16=a1q12·a1q13·a1q14·a1q15

= ·q54=8. ②

②÷① ： =q48=8q16=2 ，又 a41a42a43a44=a1q40a1q41·a1q42·a1q43

= ·q166= ·q6·q160=( ·q6)·(q16)10

=1·210=1 024.

41a

41a

641

5441

qa

qa

41a

41a

41a

方法二 由性质可知，依次 4 项的积为等比数列，设公比为 p ，设 T1=a1·a2·a3·a4=1 ，

T4=a13·a14·a15·a16=8 ，

∴T4=T1·p3=1·p3=8 ，∴ p=2.

∴T11=a41·a42·a43·a44=T1·p10=210=1 024.

题型四 等差、等比数列的综合应用【例 4 】 （ 12 分）已知等差数列 {an} 的首项 a1=1,

公差 d ＞ 0 ，且第 2 项、第 5 项、第 14 项分别是等比数列 {bn} 的第 2 项、第 3 项、第 4 项 .

（ 1 ）求数列 {an} 与 {bn} 的通项公式；

（ 2 ）设数列 {cn} 对 n∈N* 均有 =an+1 成立，

求 c1+c2+c3+…+c2 010.

（ 1）可用基本量法求解；（ 2）作差 an+1-an

=

n

n

bc

bc

bc

2

2

1

1

思维启迪

.n

n

bc

解 （ 1 ）由已知有 a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,

∴ （ 1+4d ） 2=(1+d)(1+13d).解得 d=2(∵d＞ 0). 2 分∴an=1+(n-1)·2=2n-1. 3 分

又 b2=a2=3,b3=a5=9,

∴ 数列 {bn} 的公比为 3,

∴bn=3·3n-2=3n-1. 5 分

（ 2 ）由 得

当 n≥2 时 ,

两式相减得 :n≥2 时 , =an+1-an=2. 8 分

.1

1

2

2

1

1n

n

n abc

bc

bc

12

2

1

1 n

n

n abc

bc

bc

n

n

b

c

∴cn=2bn=2·3n-1 (n≥2).

又当 n=1 时， =a2,∴c1=3.

3 (n=1) 2·3n-1 (n≥2). 10 分∴c1+c2+c3+…+c2 010

=3+ =3+(-3+32 010)=32 010. 12 分

在解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前 n项和公式 .本题第（ 1）问就是用基本

量公差、公比求解；第（ 2）问在作差 an+1-an 时要注意

n≥2.

探究提高

1

1

bc

∴cn=

31326 0102

知能迁移 4 已知数列 {an} 中， a1=1,a2=2, 且

an+1=(1+q)an-qan-1 (n≥2,q≠0).

（ 1 ）设 bn=an+1-an (n∈N*), 证明： {bn} 是等比数

列； （ 2 ）求数列 {an} 的通项公式；

（ 3 ）若 a3 是 a6 与 a9 的等差中项，求 q 的值，并证

明：对任意的 n∈N*,an 是 an+3 与 an+6 的等差中项 .

（ 1 ）证明 由题设 an+1= （ 1+q ） an-qan-1 （ n≥2 ），

得 an+1-an=q(an-an-1), 即 bn=qbn-1,n≥2.

由 b1=a2-a1=1,q≠0, 所以 {bn} 是首项为 1 ，公比为 q

的等比数列 .

（ 2 ）解 由（ 1 ），a2-a1=1,a3-a2=q,…

an-an-1=qn-2 (n≥2).

将以上各式相加，得 an-a1=1+q+…+qn-2 (n≥2) ，

即 an=a1+1+q+…+qn-2 (n≥2).

所以当 n≥2 时，

（ 3 ）解 由（ 2 ），当 q=1 时，显然 a3 不是 a6 与a9 的

等差中项，故 q≠1.由 a3-a6=a9-a3 可得 q5-q2=q2-q8, 由 q≠0 得q3-1=1-q6,

上式对 n=1 显然成立 .

.1,

,1,1

11

1

qn

qq

qa

n

n

①

整 理 得 （ q3 ） 2+q3-2=0, 解 得 q3=-2 或 q3=1

（舍去） .

于是 q= .

另一方面，

an-an+3=

an+6-an=

由①可得 an-an+3=an+6-an,

即 2an=an+3+an+6,n∈N*.

所以对任意的 n∈N*,an 是 an+3 与 an+6 的等差中项 .

3 2

),1(11

3112

qq

q

q

qq nnn

).1(11

6151

qq

q

q

qq nnn

方法与技巧1. 等比数列的判定方法有以下几种：

(1) 定义： =q (q 是不为零的常数， n∈N*)

{an} 是等比数列 .

(2) 通项公式： an=cqn (c 、 q 均是不为零的常数 ,

n∈N*){an} 是等比数列 .

(3) 中项公式 : =an·an+2(an·an+1·an+2≠0,

n∈N*) {an} 是等比数列 .

n

n

aa 1

21na

思想方法 感悟提高

2. 方程观点以及基本量（首项和公比 a1,q ）思想仍

然是求解等比数列问题的基本方法：在 a1,q,n,an,Sn

五个量中，知三求二 .

3. 分类讨论的思想：当 a1 ＞ 0,q ＞ 1 或 a1 ＜ 0,0

＜ q

＜ 1 时， {an} 为递增数列；当 a1 ＜ 0,q ＞ 1 或 a1

＞ 0,

0 ＜ q ＜ 1 时， {an} 为递减数列；当 q ＜ 0 时，

{an}

为摆动数列；当 q=1 时， {an} 为常数列 .

失误与防范1. 特别注意 q=1 时， Sn=na1 这一特殊情况 .

2. 由 an+1=qan,q≠0, 并不能立即断言 {an} 为等比数

列，还要验证 a1≠0.

3.Sn+m=Sn+qnSm.

一、选择题1. （ 2009· 广东理， 4 ）已知等比数列 {an} 满足 a

n ＞ 0,n=1,2,…, 且 a5·a2n-5=22n(n≥3) ，则当 n≥

1 时 ， log2a1+log2a3+…+log2a2n-1= （

） A.n(2n-1) B.(n+1)2

C.n2 D.(n-1)2

解析 由题意知 an=2n,log2a2n-1=2n-1,

log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=1+3+…+(2n-1)=n2.

C

定时检测

2. （ 2009· 辽宁理， 6 ）设等比数列 {an} 的前 n

项和为 Sn, 若 =3, 则 =

（ ）

A.2 B. C. D.3

解析 由题意知

∴q3=2.

B3

6

SS

6

9

SS

37

38

,311

1

1)1(

1)1(

33

6

31

61

3

6

qq

q

qqaqqa

SS

.3

7

41

81

)(1

)(1

1

1

1

)1(1

)1(

23

33

6

9

61

91

6

9

q

q

q

q

q

qaq

qa

S

S

3. 等比数列 {an} 中，其公比 q＜ 0 ，且 a2=1-a1,a4=

4-a3, 则 a4+a5 等于 （

） A.8 B.-8 C.16 D.-16 解析 ∵ a1+a2=1 ， a3+a4=4= （ a1+a2 ） q2 ，

又 q＜ 0 ，∴ q=-2. ∴a4+a5= （ a3+a4 ） q=4× （ -2 ） =-8.

B

4. 在数列 {an} 中， an+1=can (c 为非零常数 ) ，且

前 n 项和为 Sn=3n+k ，则实数 k 的值为 （

） A.0 B.1 C.-1 D.2

解析 {an} 为等比数列的充要条件是 Sn=

由 Sn=3n+k 知 k=-1.

C

),1(11 nqqa

5. 等比数列 {an} 的公比为 q ，其前 n 项的积为 Tn ，并且

满足条件 a1 ＞ 1,a99a100-1 ＞ 0 ， ＜ 0. 给出下列结

论：① 0＜ q＜ 1 ；② a99·a101-1 ＜ 0 ；③ T100 的值

是 Tn 中最大的；④使 Tn＞ 1 成立的最大自然数 n 等于

198. 其中正确的结论是 （ ）A.①②④ B.②④ C.①② D.①②③④

1

1

100

99

a

a

解析 ①中，

∴① 正确 . a99a101=a100

2

0 ＜ a100 ＜ 1

T100=T99·a100

0 ＜ a100 ＜ 1

10

1

1

1

0)1)(1(

100

99

1

10099

10099

a

a

a

aa

aa

),1,0(99

100 a

aq

② 中， a99·a101 ＜ 1,∴② 正确 .

T100 ＜ T99,∴③错误 .③中，

④ 中 ， T198=a1a2…a198=(a1·a198) … (a2·a197)

…

(a99·a100)=(a99·a100)99 ＞ 1,

T199=a1a2…a198·a199= （ a1a199 ）… (a99·a101)

·a100=a100199 ＜ 1,∴④ 正确 .

答案 A

6. 在正项等比数列 {an} 中， an+1 ＜ an ， a2·a8=6 ，

a4+a6=5, 则 等于 （ ）

A. B. C. D.

解析 设公比为 q, 则由 an+1 ＜ an 知 0 ＜ q ＜ 1,

由 a2·a8=6 ，得 =6.

∴a5= ， a4+a6=

解得 q=

D7

5

aa

65

56

32

23

25a

6 .566 qq

.23

)26

(1

,62 2

27

5 qa

a

二、填空题

7. （ 2009· 浙江， 11 ）设等比数列 {an} 的公比

q=

前 n 项和为 Sn ，则 = .

解析 ∵ S4= a4=a1q3,

15

,21

4

4

aS

,1

)1( 41

qqa

.15

21

2

12

11

)1(

1

)1(

)1(

3

4

3

4

31

41

4

4

qq

q

qqa

qaaS

8. （ 2009·海南文， 15 ）等比数列 {an} 的公比 q ＞

0.

已知 a2=1 ， an+2+an+1=6an ，则 {an} 的前 4 项和 S4= .

解析 ∵ {an} 是等比数列，∴ an+2+an+1=6an 可化

为 a1qn+1+a1qn=6a1qn-1,∴q2+q-6=0

∵q＞ 0,∴q=2,∴S4=

215

21

)21(21

1)1(

44

1

qqa

215

9. （ 2009· 江苏， 14 ）设 {an} 是公比为 q 的等比

数列， |q| ＞ 1, 令 bn=an+1(n=1,2,…) ，若数列 {bn} 有

连续 四项在集合 {-53,-23 ， 19 ， 37 ， 82} 中，则

6q=

.

解析 由题意知，数列 {bn} 有连续四项在集合 {-53,

-23,19,37,82} 中，说明 {an} 有连续四项在集合

{-54,

-24,18,36,81} 中，由于 {an} 中连续四项至少有一

项 为负，∴ q ＜ 0,

又 ∵ |q| ＞ 1,∴{an} 的连续四 项 为 一 24,36,-

54,81.

∴q= ∴6q=-9.

-9

,23

2436

三、解答题10. 等比数列 {an} 满足 :a1+a6=11, a3·a4= ，

且公 比 q∈(0,1).

（ 1 ）求数列 {an} 的通项公式；

（ 2 ）若该数列前 n 项和 Sn=21 ，求 n 的值 .

解 （ 1 ）∵ a3·a4=a1·a6= ，

由条件知 a1,a6 是方程 x2-11x+ =0 的两根，

解得 x= 或 x=

932

932

932

31

.332

又 0 ＜ q ＜ 1,∴a1= ,a6= .

∴q5= 即 q=

∴an=a6·qn-6= ·( )n-6.

（ 2 ）令 =21 ，得 ,∴n=6.

31

332

,321

1

6 aa

,21

31

21

21

1

])21(1[

332

n

641

)21( n

11. 数列 {an} 中， a1=2,a2=3, 且 {anan+1} 是以

3 为公比的等比数列，记 bn=a2n-1+a2n (n∈N*).

（ 1 ）求 a3,a4,a5,a6 的值；

（ 2 ）求证： {bn} 是等比数列 .

（ 1 ）解 ∵ {anan+1} 是公比为 3 的等比数列，

∴anan+1=a1a2·3n-1=2·3n ，

∴a3= =6 ， a4= =9 ，

a5= =18 ， a6= =27.

2

232a

3

332a

5

532a

4

432a

（ 2 ）证明 ∵ {anan+1} 是公比为 3 的等比数列，

∴anan+1=3an-1an ，即 an+1=3an-1 ，

∴a1 ， a3 ， a5,… ， a2n-1 ， … 与 a2,a4,a6 ，

…， a2n ，…

都是公比为 3 的等比数列 .

∴a2n-1=2·3n-1,a2n=3·3n-1 ， ∴ bn=a2n-

1+a2n=5·3n-1.

故 {bn} 是以 5 为首项， 3 为公比的等比数列 .

,335

351

1

n

n

n

n

bb

12. 设函数 f(x) 满足 f(0)=1, 且对任意 x,y∈R ，都有 f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2.

（ 1 ）求 f(x) 的解析式；（ 2 ）若数列 {an} 满足 :an+1=3f(an)-1 (n∈N*),

且 a1=

1, 求数列 {an} 的通项公式；

（ 3 ）求数列 {an} 的前 n 项和 Sn.

解 （ 1 ）∵ f （ 0 ） =1 ，令 x=y=0,

得 f(1)=f(0)f(0)-f(0)-0+2=2.

再令 y=0 得 f(1)=2=f(x)f(0)-f(0)-x+2,

∴f （ x ） =x+1,x∈R.

（ 2 ）∵ f （ x ） =x+1,

∴an+1=3f(an)-1=3an+2.

∴an+1+1=3(an+1).

又 a1+1=2,∴ 数列 {an+1} 是公比为 3 的等比数

列 .

∴an+1=2×3n-1 ，即 an=2×3n-1-1.

（ 3 ） Sn=a1+a2+…+an

=2× （ 30+31+32+…+3n-1 ） -n

=3n-n-1. 返回