第一章 §1 数域
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第一章 §1 数域. 按照我们的教学计划,我们先介绍 数域 的基本概念. Go. §1 数 域. 多项式是代数学中最基本的对象之一,它不但与高等方程的讨论有关,而且在进一步学习代数以及其它数学分支时也都会用到。本章介绍多项式的基本知识。 数:自然数→整数→有理数→实数→复数。 数的运算:加、减、乘、除。这些运算性质称为 代数性质 。有理数、实数、复数对这四种运算都是封闭的。有其它一些数集也具有这样的性质,引入 :. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
第一章 §1 数域
按照我们的教学计划,我们先介绍数域的基本概念
Go
§1 数 域 多项式是代数学中最基本的对象之一,它不
但与高等方程的讨论有关,而且在进一步学习代数以及其它数学分支时也都会用到。本章介绍多项式的基本知识。
数:自然数→整数→有理数→实数→复数。 数的运算:加、减、乘、除。这些运算性质
称为代数性质。有理数、实数、复数对这四种运算都是封闭的。有其它一些数集也具有这样的性质,引入:
定义一 设 P 是由一些复数组成的集合,其中包括 0 和 1 ,如果 P 中任意两个数(这两个数也可以相同)的和、差、积、商(除数不为零)仍然是 P 中的数,那么 P 就称为一个数域。
有理数、实数、复数为数域,记为Q(rational number) 、 R ( real number) 、 C(complex number) 。
例 1 所有具有形式 的数( a,b 是任意有理数),构成一个数域。 通常用 来表示这个数域。
2ba
)2(Q
证明 显然 包含 0 和 1 并且对于加减法是封闭的。现在证明它对乘除法也是封闭的。
设 于是 也不为零,而
)2(Q
)2(2)()2(
)2)(2(
Qbcadbdac
dcba
02 ba 2ba
)2(222
2
)2)(2(
)2)(2(
2
2
2222Q
ba
bcad
ba
bdac
baba
badc
ba
dc
由上两式可以得出 乘、除法也是封闭的。 例 2 所有可以表成形式
的数组成一数域,其中 n,m 为任意非负整数, 是整数。
)2(Q
mm
nn
bbb
aaa
10
10
),,1,0;,,1,0(, mjniba ji
例 3 所有奇数组成的数集,对于乘法是封闭的,但对于加、减不是封闭的。
的整倍数的全体构成一数集,它对于加、减法是封闭的,但对于除法不封闭。
2
重要性质:所有的数域都包含有理数作为他的一部分。
事实上,设 P 是一个数域,由定义,1+1=2 , 2+1=3 ,…, n+1=n+1,… 全属于 P ,再由 P 对减法的封闭性, o-n=-n ,也属于 P ,因而 P 包含全体整数。任何一个有理数可以表成两个整数的商,由 P 对除法的封闭性即得上述结论。
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第二章 行列式 §1 引言 §2 排列 §3 n阶行列式 §4 n阶行列式的性质 §5 行列式的计算 §6 行列式按一行(列)展开 §7 Cramer法则 §8 Laplace定理.行列式的乘法规则
§1 引言 一元一次方程: ax=b ,只要 a≠0 ,就可以解出 x=b/a 。 二元线性方程组:当二阶行列式
时,该方程组有唯一解,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
02221
1211 aa
aa
2221
1211
221
111
2
2221
1211
222
121
1 ,
aa
aa
ba
ba
x
aa
aa
ab
ab
x
本章我们讨论一般的多元一次方程组,即线性方程组。在这一章中,我们将利用 n 行列式的概念,将上述结论推广到 n 元线性方程组
的情形。
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
§2 排列定义 1 由 1 , 2 ,…, n 组成的一个有
序数组称为一个 n 级排列。 如, 2341 是一个 4 级排列, 54321 是
一个 5 级排列。 n 级排列的总数是 : n(n-1)(n-2)…21=n!12…n 称为自然排列。定义 2 在一个排列中,如果一对数的前后
位置与大小顺序相反,即前面的数大于后
面的数,那么它就称为一个逆序,一个排列中,逆序的总数称为这个排列的逆序数。排列 的逆序数记为
例如, 定义 3 逆序数为偶数的排列称为偶排列;
逆序数为奇数的排列为奇排列。 例如 2431 是偶排列; 45321 是奇排列;
123…n 是偶排列。 我们同样可以考虑由任意 n 个不同的自然
数所组成的排列,一般也称为 n 级排列。
njjj 21
)( 21 njjj )53412( 8
把一个排列中某两个数的位置互换,而其余的数不动,就得到另一个排列。这样一个变换称为对换。
例如 3421 经 3 , 1 对换就变成了 1423 。显然,如果连续施行两次相同的对换就还原了。
定理 1 对换改变排列的奇偶性。 证明 先看一个特殊情况,即对换的两个数在排列中
是相邻情形。排列 …j k… ( 1 ) 经过 j, k 对换变成 …j k… ( 2 )
这里“…”表示那些不动的数。显然( 1 )与 (2) 中,不同的只是 j,k 的次序;如果( 1 )中 j,k 组成逆序,那么( 2 )的逆序数减少一个;如果( 1 )中 j,k 不组成逆序,那么( 2 )的逆序数增加一个。无论增加 1 ,还是减少 1 ,排列的逆序数的奇偶性总是变了。
在看一般情形。设排列 (3)
经 j,k 对换,( 3 )变成 ( 4 )
kiiji s11
jiiki s11
不难看出,这样一个对换可以看为, k 经 s+1 个相邻对换将( 3 )变为
再将 j 一位一位地向右移动,经过 s 个相邻对换变成排列( 4 )。因此, j,k 对换,可以通过 2s+1 个相邻对换实现。而 2s+1 是奇数,所以,改变排列的奇偶性。
推论 在所有的 n 元排列中奇偶排列各为 n!/2 。 定理 2 任意一个 n 级排列与自然排列 12…n 都可以
经过一系列对换互换,并且,所做的对换的个数与这个排列有相同的奇偶性。
siikji 11
证明 我们对排列级数作数学归纳法。
1 级排列只有一个,结论显然成立。 假设结论对 n-1 级排列已经成立,现在来证 n 级排列的情形也成立。
设 是一个 n 级排列,如果 那么根据归纳法假设, n-1 级排列 可以经过一系列对换变成 12…n-1 ,于是这一系 列对换也就把 变成 12…n 。
njn 121 njjj
njjj 21
njjj 21
这就归结成上面的情形。
相仿地, 12…n 也可用一系列对换变成 。因为 12…n 是偶排列,根据定理 1 ,
所做对换的个数与排列 有相同的奇偶性。
njjj 21
njjj 21
如果 那么,对 做 对换,它就变成
njn njjj 21
njn , njjj n
121
§3 n 阶行列式 从这一节开始,我们总是取一固定的数
域 P 作为基础,所谈到的数都是指 p 上的数。所考虑的行列式都是数域 p 上的行列式
二阶行列式与三阶行列式定义:
211222112221
1211 aaaaaa
aa ( 1 )
322311332112312213
322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
( 2 )
它们都是一些乘积的代数和,每一项是位于不同的行和不同的列的元素构成的,并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成。在( 2 )中每一项的一般形式可以写成
其中 是 1 , 2 , 3 的一个排列。可以看出 是偶排列,带 +号;奇排列带 -号。
( 1 )式也符合这个原则。
321 321 jjj aaa321 jjj
321 jjj
定义 4 n 阶行列式
等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 ( 5 )的代数和,这里 是 12…n 的一个排列每
一项( 5 )都按下列规则带有符号:当
是偶排列时,( 5 )带正号,当 是奇排列时,带负号。
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
nnjjj aaa 21 21
njjj 21
njjj 21
njjj 21
定义可写成
( 6 )
这里 表示对所有 n 级排列求和。
由定义立即看出, n 级行列式是由 n! 项组成的。
n
n
n
jjjnjjj
jjj
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
21
21
2121
)(
21
22221
11211
)1(
njjj 21
例 1 计算 0 0 0 1
0 0 2 024
0 3 0 0
4 0 0 0
例 2 计算上三角形行列式
为主对角线 ( 从左上角到右下角的对角线 ) 元素的乘积
nn
n
n
a
aa
aaa
0
0 222
11211
nnaaa 2211
对角形行列式
n
n
ddd
d
d
d
212
1
0
00
00
1
10
010
001
由于乘法满足交换率,所以行列式中的项可以写成
( 11 ) 其中 是两个 n 级排列。利用排列
的性质可以证明( 11 )的符号等于 ( 12 ) 事实上 为了根据定义来决定( 11 )的符号,把
这 n 个元素从新排一下,使得它们的行指标成自然排列,即排成:
nn jijiji aaa 2211
nn jjjiii 2121 ,
)()( 2121)1( nn jjjiii
njnjj aaa 21 21 ( 13 )
于是它的符号是 ( 14 ) 下面证明( 12 )与( 14 )是一致的。 由( 11 )变到( 13 ,经一系列元素对换,每作一次对换行指标与列指标的排列 与 都同时作一次对换,所以和的奇偶性不变,即
)( 21)1( njjj
niii 21
njjj 21
)()()12(
)()(
2121
2121
)1()1(
)1(nn
nn
jjjjjjn
jjjiii
n
n
n
iiiniii
iii
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
21
21
2121
)(
21
22221
11211
)1(
行列式又可定义为
(15)
(15)
性质 1 行列互换,行列式不变,即
( 16 )
nnnn
n
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
21
22212
12111
21
22221
11211
证明 左边按行展开 = 右边按列展开。都为
在行列式中行与列的地位是对称的,行成立的性质列也成立。下面讨论的性质都是对行来说的。
n
n
n
jjjnjjj
jjj aaa
21
21
2121
)()1(
nnnn aaa
aa
a
21
2221
11
0
00
nnaaa 2211
下三角形行列式
§4 n 阶行列式的性质
按行列式的定义计算行列式,要算 n! 项,计算需 n!(n-1) 个乘法,所以按定义计算几乎是不可能的。
事实:在行列式定义中,每一个是 n 个元素的乘积。对于第 i 行的元素
来说,每一项都含有其中一个,且只含有一个元素。因此, n! 项可分为 n 组,第一组都含有 ,第二组都含有 ,等等
inii aaa ,,, 21
1ia 2ia
即有
( 1 )
其中 代表含 的项在提出公因子 之后的代数和。 中不含有 i 行的元素,也就是 全与第 i 行的元素无关 性质 2 行列式某一行有公因子,可以提出去,即
ininiiii
nnnn
n
n
AaAaAa
aaa
aaa
aaa
2211
21
22221
11211
ijA ija ija
ijA
inii AAA ,,, 21
证明 左边 =
= 右边 推论 行列式中一行为零,值为零。
nnnn
inii
n
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
k
aaa
kakaka
aaa
21
21
11211
21
21
11211
)( 2211
2211
ininiiii
ininiiii
AaAaAak
AkaAkaAka
性质 3
nnnn
n
n
nnnn
n
n
nnnn
nn
n
aaa
ccc
aaa
aaa
bbb
aaa
aaa
cbcbcb
aaa
21
21
11211
21
21
11211
21
2211
11211
证明 左边 =
= 右边。 性质 4 如果行列式中两行相同,行列式值为
零。 证明 设
)()(
)()()(
22112211
222111
inniiinnii
innnii
AcAcAcAbAbAb
AcbAcbAcb
nnnn
knkk
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
21
21
21
11211
1
1
1 2
( )1( 1) i k n
i k n
n
j j j jj ij kj nj
j j j
a a a a
因为 ,可以证明右边出现的项全能两两相消。
同时出现的有
),,2,1( njaa kjij
nki
nkinjkjijj
jjjj aaaa 1
11
)()1(
nik
niknjkjijj
jjjj aaaa 1
11
)()1(
两项值相同,因排列
相差一个对换,所以两项符号相反。全部 n级排列可以按上述形式两两配对。所以值为零。 性质 5 如果行列式中两行成比例,值为零。 证明 由性质 4
niknki jjjjjjjj 11 ,
0
21
21
21
11211
21
21
21
11211
nnnn
inii
inii
n
nnnn
inii
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
k
aaa
kakaka
aaa
aaa
性质 6 把一行的倍数加到另一行,行列式不变。 证明
nnnn
knkk
inii
n
nnnn
knkk
knkk
n
nnnn
knkk
inii
n
nnnn
knkk
kninkiki
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
cacaca
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
caacaacaa
aaa
21
21
21
11211
21
21
21
11211
21
21
21
11211
21
21
2211
11211
性质 7 对换行列式两行位置,行列式反号。 证明
11 12 1 11 12 1
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
n n
i i in i k i k in kn
k k kn k k kn
n n nn n n nn
a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
11 12 1 11 12 1
1 1 2 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
n n
i k i k in kn k k kn
i i in i i in
n n nn n n nn
a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
例 1 计算 n 级行列式
解 abbb
babb
bbab
bbba
d
1)]()1([
1
1
1
1
])1([ nbabna
abb
bab
bba
bbb
bnad
例 2 一个 n 阶行列式,假设它的元素满足 ( 4 ) 我们来证明,当 n 为奇数时,此行列式为零。 证明 由( 4 )式得 即
因此,行列式为:
所以,当 n 为奇数时, d=-d ,即 d=0 。
njiaa jiij ,,2,1,,
niaii ,,2,1,0 iiii aa
0
0
0
0
)1(
0
0
0
0
0
0
0
0
321
32313
22312
11312
321
32313
22312
11312
321
32313
22312
11312
nnn
n
n
n
n
nnn
n
n
n
nnn
n
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
§5 行列式的计算 上三角形行列式等于它们对角线元素的乘积。
我们可以用行列式的性质,把一般的行列式变为上三角形行列式。为叙述方便,并考虑到以后的应用,我们引进矩阵的概念。
定义 5 由 s×n 个数排成的 s 行(横的)和 n 列(纵的)的表
( 1 )
称为一个 s×n矩阵。 例如
数 ,称为矩阵( 1 )的元素, i 称为元素 的行指标, j 称为列指标。一般指某个数域 P 上的矩阵。 n× n矩阵也称为 n 级方阵,一个 n 级方阵
snss
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
njsiaij ,,2,1,,,2,1,
ija
977.2
015.0
i
i
35
2
定义一个 n 级行列式
称为矩阵 A 的行列式。记作 |A| 。 定义 6 数域 p 上矩阵的初等行变换是指下列三种变换:
( 1 )以 p 中一个非零的数乘矩阵的一行;
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
( 2 )把矩阵的某一行的 c 倍加到另一行,这里 c 是 P 中任意一个数;
( 3 )互换矩阵中两行位置。 一般说来,一个矩阵经过初等行变换后就变成
了另一个矩阵。 A 经过初等行变换变成 B 时,记为 A→B 。 称形如
的矩阵为阶梯形矩阵
200
540
961
,
7000
5900
3421
,
0000
5000
3420
任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形矩阵。
事实上 设
第一列元素只要有一个元素不为零,用( 3 ),总能使第一列的第一个元素不为零,从第二行开始,每行加上第一行的适当倍数,变为
snss
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
依次类推,可以变成阶梯形矩阵。 例 计算
2 5 1 3
1 9 13 7
3 1 5 5
2 8 7 10
10782
5513
3152
71391
sns
n
n
aa
aa
aaa
JA
2
222
11211
1
0
0
2
3000
81600
1725130
71391
312
2
316)13(
2433260
2634260
1725130
71391
101700
81600
1725130
71391
不难看出,用此方法计算一个 n 阶数字行列式,需计算
3
321
3
)1()1(
)1(12)2)(1()1(3
nnn
nnn
nnnnn
次乘法。此方法可在计算机上实现。
同样可以定义初等列变换, ( 1 )以数域 P 中一非零数乘矩阵的一列; ( 2)把矩阵的某一列的 c 倍加到另一列,这里 c
是 P 中任一数; ( 3)互换矩阵中两列的位置。矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。 计算行列式可同时用初等行、列变换。
§6 行列式按一行(列)展开 在 §4 我们看到, n 阶行列式有
( 1 )
现在我们来研究这些 是什么?三阶行列式可用二阶行列式表示为:
ininiiii
nnnn
n
n
AaAaAa
aaa
aaa
aaa
2211
21
22221
11211
njiAij ,,2,1,,,
与此相仿, 也是一些带有 + 、 -号的 n-1 阶行列式。
ijA
3231
222113
3331
232112
3332
232211
333231
232221
131211
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
nnnjn
iniji
nj
aaa
aaa
aaa
1
1
1111定义 7 在行列式
中,划去元素 所在的 i 第行与第 j 列,剩下的 元素按原来的排法构成的一个 n-1 阶行列式
ija2)1( n
(3)
称为元素 的余子式,记为 。ija ijM
nnjnjnn
nijijii
nijijii
njj
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
1,1,1
11,11,11,1
11,11,11,1
11,11,111
下面证明 ( 4 ) 先证明( 5 )式
事实上,( 5 )式左端展开式中,第 n 行只有含 的项不为零,所以左端展开为:
ijji
ij MA )1(
111211
122221
111211
,11,12,11,1
21,22221
11,11211
1000
nnnn
n
n
nnnnnn
nn
nn
aaa
aaa
aaa
aaaa
aaaa
aaaa
1nna
显然 是 1,2,…,n-1 的排列,且
所以左端 = 右端,这就证明了( 5 )。 为了证明( 4 ),在( 1 )中令
即得
121 njjj
)()( 121121 nn jjjnjjj
njjj
jnjjnjjj
n
n
n aaa121
121
121 1)1( ,121)(
1,01,1,1 ijinjijii aaaaa
nnjnjnjnn
nijijijii
nijijijii
njjj
ij
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
A
1,,1,1
,11,1,11,11,1
,11,1,11,11,1
11,1,11,111
00100
00100
)1(
1,,1,1
,11,1,11,11,1
,11,1,11,11,1
11,1,11,111
nnjnjnjnn
nijijijii
nijijijii
njjj
in
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
10000
0
0
0
0
)1(
1,1,1
,11,11,11,1
,11,11,11,1
11,11,111
)()(
nnjnjnn
nijijii
nijijii
njj
jnin
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
定义 8 称 为元素 的代数余子式。 定理 3 设
表示元素 的代数余子式,则下列公式成立:
ijji
ijjin MM )1()1( )(2
ijA
ijaijA
ija
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
d
21
22221
11211
( 6 )
( 7 ) 证明 只证明公式( 6 ),公式( 7 ),由行
列式行成立的性质列也成立即得。 当 k=i 时,公式( 6 )由公式( 1 )式可
得。当 k≠i 时,由于
ik
ikdAaAaAa inknikik ,0
,2211
jl
jldAaAaAa njnljljl ,0
,2211
右端行列式两行相等,值为零。所以左端为零。即行列式中一行元素与另一行元素的代数余子式的乘积之和为零
行i
aa
aa
aa
aa
AaAaAa
nnn
knk
knki
n
inknikik
1
1
111
2211
公式( 6 )的几何意义。设
那么
于是
),,(),,,(),,,( 333231323222121312111 aaaaaaaaa
),,( 13121132 AAA
0)(
0)(
)(
323133312321131
322132312221121
321131312121111
AaAaAa
AaAaAa
AaAaAa
在计算行列式时,若某一行(列)有许多 0 元素,则可用定理 3 ,按此行(列)展开来计算行列式。 例 1 行列式
05320
04140
01320
25271
02135
5320
4140
1320
2135
2)1( 52
例 2 Vandermonde 行列式
1080
432
414
132
52
nij
ji
nn
nnn
n
n
aa
aaaa
aaaa
aaaa
d1
113
12
11
223
22
21
321
)(
1111
证明 用数学归纳法。 n=2 时, 成立。假设 n-1 阶成立, 现证明 n 阶也成立。 在 d 中,第 n 行减去 n-1 行的 倍 , n-1 行
减去 n-2 行的 倍,依次类推,得
1221
11aa
aa
1a
1a
21
1231
13
221
12
12
312321
22
11312
0
0
0
1111
nn
nn
nnnn
nn
n
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaaaaa
d
nijji
nijjin
nn
nn
n
n
n
aa
aaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
aaaaaa
1
211312
223
22
223
22
32
11312
)(
)()())((
111
)())((
Vandermonde 行列式值为零的充分必要条件是 中,至少有两个相等。 例 3 证明
naaa ,,, 21
rrr
r
kkk
k
rrrrkr
rk
kkk
k
bb
bb
aa
aa
bbcc
bbcc
aa
aa
1
111
1
111
11
111111
1
111
00
00
证明 用数学归纳法。当 k=1 时,左端为
成立。假设 k=m-1 时成立,现在来看 k=m的情形。按行列式第一行展开,
rrr
r
rrrr
r
bb
bb
a
bbc
bbc
a
1
111
11
11
11111
11 000
||||
||])1()1([
||)1(||)1(||
)1(
)1(
111
111
1111
111
111
1111
11
1
11
1
1
1111
BA
BMaMaMa
BMaBMaBMa
BC
OMa
BC
OMa
BC
OMa
BC
OA
mmm
iii
mmm
iii
m
mm
m
i
ii
i
§7 Cramer 法则 现在我们讨论 n 阶线性方程组的问题。 定理 4 如果线性方程组
( 1 )
的系数矩阵
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
的行列式 那么线性方程组( 1 )有解,并且解唯一,
解可以通过系数表为 ( 3 )
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
0|| Ad
d
dx
d
dx
d
dx n
n ,,, 22
11
其中
j=1,2,…n 。 定理中包含三个结论: 1 、方程组有解; 2 、
解是唯一的; 3 、解由公式( 3 )给出。 证明 1 、把方程( 1 )简写成 ( 5 )
nnjnnjnn
njj
njj
j
aabaa
aabaa
aabaa
d
1,1,1
21,221,221
11,111,111
nibxa i
n
jjij ,,2,1,
1
首先证明( 3 )的确是( 1 )的解。把( 3 )代
入第 i 个方程左端为
因为
所以
n
jjij
n
j
jij da
dd
da
11
1
sj
n
ssnjnjjj AbAbAbAbd
1
2211
所以公式( 3 )确为方程( 1 )的解。
ii
n
s
n
jssjij
n
s
n
jssjij
n
j
n
sssjij
n
j
n
ssjsij
n
jjij
bbdd
bAad
bAad
bAad
Abad
dad
1
)(11
111
1 11 1
1 11 11
2 、设 是方程( 1 )的另一个解,于是有
( 7 )
为了证明
,我们将 A 中第 k 列元素的代数余子式 ,乘( 7 )中 n 个恒等式,有
),,,( 21 nccc
nibca i
n
jjij ,,2,1
1
d
dc kk
nkkk AAA ,,, 21
niAbcaA iki
n
jjijik ,,2,1
1
把它们加起来,即得 ( 8 )
等式右端为 按第 k 列展开结果。( 8 )式左端,
上式用了定理 3 中公式( 7 )
n
i
n
iiki
n
jjijik AbcaA
1 11
kd
k
n
j
n
ijikij
n
i
n
jjikij
n
i
n
jjijik dccAacAacaA
1 11 11 1
)(
kj
kjdAa
n
iikij ,0
,
1
于是( 8 )即为
也就是
这就说明方程组最多有一组解。 1 、 2说明方程组仅有一组解,即公式
( 3 )。 例 解方程组
nkddc kk ,,2,1
nkd
dc kk ,,2,1
0674
522
963
852
4321
432
421
4321
xxxx
xxx
xxx
xxxx
解 系数行列式
所以方程组有唯一解
Cramer 法则只对系数行列式不为零的情况成立,行列式为零的情况将在下一章中介绍。 常数项为零的方程组称为齐次线性方程组。
27,27,108,81,27 4321 ddddd
1,1,4,3 4321 xxxx
定理 5 如果齐次线性方程组
( 10 )
的系数行列式 |A|≠0 ,那么它只有零解,换句话说,如果方程组( 10 )有非零解,那么必有 |A|=0 。
由 Cramer 法则容易证明。
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
例 求 在什么条件下,方程组 有非零解。 解 系数行列式为
所以,当 时,方程组有非零解。 Cramer 法则理论价值高,实际计算量很大,
一般不用此法计算线性方程组。
0
0
21
21
xx
xx
1
011
1 2
§8 Laplace 定理行列式乘法法则 定义 9 在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k
行 k 列 (k≤n) 。位于这些行和列的交点上的 个元素按照原来的次序组成一个 k 级行列式 M ,称为行列式 D 的一个 k 级子式。在 D 中划去这 k 行 k 列后余下的元素按照原来的次序组成的 n-k 级行列式称为 k 级子式 M 的余子式。记为
从定义可以看出, M 也是 的余子式。M
M
2k
例 1 在四级行列式
中选定第 1 、 3 行,第 2 、 4 列的一个二级子式
M 的余子式
3100
1200
1210
4121
D
210
42M
010
20M
例 2 在四级行列式
中
和
是一对互余的子式。
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D
2321
1311
aa
aaD
4442
3432
aa
aaD
定义 10 设 D 的 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别为 ,则
称为 M 的代数余子式 引理 行列式 D 的任一个子式 M 与它的代数余子式 A 的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中的一项,而且符号也一致。 证明 先讨论 M 位于 D 的左上角的情况。
kk jjjiii ,,,,,,, 2121
MA kk jjjiii )()( 2121)1(
此时 M 的代数余子式 A 为
nnknnkn
nkkkkkk
knkkkkk
nkk
aaaa
M
aaaa
aaaa
M
aaaa
D
1,1
,1,1,1,11,1
1,1
11,1111
M 的每一项都可以写为
其中 是 1,2,…,k 的一个排列;M` 中的每一项都可以写成
MMA kk )21()21()1(
k
kkaaa
21
2121
)()1(
k
21
nkk
nkknkk
kkk aaa
21
21,2,1
)]())([()1(
其中 是 的一个排列。这两项的乘积
符号为
这是因为每个 都比 大。因此这个乘积是行列式 D 中的一项,而且,符号相同。
nkk ,,,
21 nkk ,,2,1
kkaaa 21 21 nkk nkk aaa
21 ,2,1
)(
)]())([()(
2121
2121
)1(
)1(nkkk
nkkk kkk
下面证明一般情形。 M 位于 D 的第 行,第 列,做行、列交换,将 M 换到左上角,用上面的结果则可。证明略。 定理 6 (Laplace) 设在行列式 D 中任意取定了 个行。由这 k 行元素所组成的一切
k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D 。 证明 设在 D 中选定 k 行后得到的子式为 ,它们的代数余子式分别为 ,定理要求证明:
kiii ,,, 21 1 2, , , kj j j
)11( nkk
tMMM ,,, 21 tAAA ,,, 21
根据引理 中每一项都是 D 中一项,而且符号相同。而且 和 无公共项。因此为了证明定理,只要证明等式两边项数相等就行了。
显然等式左端为 n! 项,为了计算等式右端项,先计算 t 。
因为 中有 k! 项, 中有 (n-k)! 项,所以右边共有 项。定理得证。
ttAMAMAMD 2221
iiAMiiAM )( jiAM jj
)!(!
!
knk
nCt kn
iM iA!)!(! nknkt
例 3 在行列式
中取定一、二行,得六个子式1310
3101
1210
4121
D
12
41,
11
42,
21
12
,10
41,
20
11,
10
21
654
321
MMM
MMM
根据 Laplace展开定理 计算过程见课本。由此可见,用 Laplace展开定理计算行列式一般不方便。只有特殊情况用,如
7662221 AMAMAMD
|||| BABC
OA
nn
mm
定理 7 两个 n 级行列式
的乘积等于一个 n 级行列式nnnn
n
n
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
D
aaa
aaa
aaa
D
21
22221
11211
2
21
22221
11211
1 ,
nnnn
n
n
ccc
ccc
ccc
C
21
22221
11211
其中 是 中第 i 行元素分别于 的第 j列对应元素的乘积的和
证明 作一个 2n 级行列式
ijc 1D 2D
jninjijiij bababac 2211
nnn
n
nnn
n
bb
bb
aa
aa
D
1
111
1
111
10
01
00
00
由 Laplace 定理21DDD
下面证明 D=C 。对 D 作初等行变换。将 n+1行的 倍,第 n+2 行的 倍,…,第 2n 行的 倍加带第一行,得到
11a 12a na1
nnn
n
nnn
n
bb
bb
aa
cc
D
1
111
1
111
10
01
00
00
依次类推得到
nnn
n
nnn
n
bb
bb
cc
cc
D
1
111
1
111
10
01
00
00
由 Lap lace 定理
定理得证。
C
ccc
ccc
ccc
D
nnnn
nnnn
n
n
100
010
001
)1( )221()21(
21
22221
11211