第 1 章 haar 小波分析
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清华大学计算机系 --- 孙延奎 ---2005. 第 1 章 Haar 小波分析. 1. 小波变换及其计算. 求平均与细节 ( 介绍 4 种 ) 滤波器实现即 Mallat 算法. 矩阵算法及提升算法. 1. 小波变换及其计算 ( 续 ). 矩阵算法及提升算法. 矩阵算法. 提升算法. 逆小波变换. 正向小波变换. 2. Haar 尺度函数、小波函数、多分辨分析. 标准化尺度和小波下的情况如何？. 多分辨分析. 2. Haar 尺度函数、小波函数、多分辨分析（续）. 函数的多分辨表示. 尺度空间. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
第 1 章 Haar 小波分析0,0a
0,0d
1,0d 1,1d1,1a1,0a
1x 2x 3x 4x
1. 小波变换及其计算求平均与细节 ( 介绍 4 种 ) 滤波器实现即 Mallat 算法
na
h
g
2
2
1na
1nd
2
2
h
g
na
1na
1nd
矩阵算法及提升算法
清华大学计算机系 --- 孙延奎 ---2005
1. 小波变换及其计算 ( 续 ) 矩阵算法及提升算法
1
1
j j
j j
j
j
a a
d a
AD
1 1T Tj j jj ja a d A D 矩阵算法
提升算法 2
a bs
d b a
d b a
/ 2s a d
11 ,2{ | 0 2 1}j
j j leven s l
11 ,2 1{ | 0 2 1}j
j j lodd s l
1, ,2 1 ,2j l j l j ld s s
1, ,2 1, / 2j l j l j ls s d
,2 1, 1, / 2j l j l j ls s d
,2 1 1, ,2j l j l j ls d s
1 1( , )jj js Merge even odd
正向小波变换 逆小波变换
2. Haar 尺度函数、小波函数、多分辨分析
1,10,1 ,
标准化尺度和小波下的情况如何？ 1,0 1,1( ) ( ) ( )t t t 1,0 1,1( ) ( ) ( )t t t
2. Haar 尺度函数、小波函数、多分辨分析（续） 多分辨分析
0 1 1n nV V V V 1 j j jV V W
尺度空间 小波空间 函数的多分辨表示
12345678
123456
1 / 4 1 / 2 3 / 4 1
（标准化尺度函数与小波）几个概念之间的联系 多分辨逼近
0 03 t ， f t
0V 1V 2V
2,0 2,1 2,2 2,3
1,0 1,1 1,0 1,1
0,0 0,0 1,0 1,1
( ) 4 ( ) 2 ( ) ( ) 3 ( )
= 2 ( ) 2 2 ( ) 3 2 ( ) 2 ( )
3 ( ) ( ) 3 2 ( ) 2 ( )
f t t t t t
t t t t
t t t t
1,0 1,12 ( ) 2 2 ( )t t
Lena 图象的多尺度逼近
第 2 章 多分辨分析 空间 2 ( )L R
一维正交多分辨分析及如何通过它构造小波 Mallat 算法 一维双正交多分辨分析
一、两个重要的完备的内积空间 线性空间 : 集合 + 代数运算（加法与数乘） 内积空间 : 线性空间 + 内积运算 完备的内积空间 : 内积空间 + 对 limit 运算封闭
Waves
傅立叶变换用三角函数 ( 正弦波与余弦波 ) 作为正交基函数 .
二、一维正交多分辨分析 常用多分辨分析（ Multiresolution Analysis,MRA ）构造正交小波基
MRA ( 非正交 ) 尺度函数 t
正交尺度函数 t
低通滤波器 { }k k Zh
k k Zg
高通滤波器
小波函数 t
Mallat 算法
正交化
两尺度方程
小波方程
MRA令 中的一个函数子空间序列。若下列条件成立： jV , 2, 1,0,1,2,j ，
1) 单调性： 1 1j j jV V V j Z ，2) 逼近性 ： {0}j
j Z
V
2 ( )jj Z
V L R
，
3) 伸缩性 ： 1( ) (2 )j jf t V f t V
4) 平移不变性 ： 0 0( ) ( )f t V f t k V
5) Riesz 基存在性 ： 存在函数 使 ， 构成 0V
的一个 Riesz 基（不一定是正交的） 。称为尺度函数。 ,jV j Z 多分辨分析。
0V { ( )}k Zt k
2( )RL
1jV
jV1jV
0
21 0 10 V V V L R
jV 1jV 2jV
MRA （续）
两尺度方程 ： ( ) 2 (2 )kk
t h t k Haar 多分辨分析
2
0 | , 1, ,k kk Z
V f t f t c k t k k Z c
2
1
1| , , ,2 2k k
k Z
k kV f t f t d t k Z d
21| , , ,2 2j k kj j
k Z
k kV f t f t e t k Z e
[0,1)
1, [0,1)( ) ( )
0, t
t X t
其它
2 2 1t t t
MRA （续）
基数 B 样条多分辨分析 0m 次样条空间 jV 是如下函数的集合：
1m 次连续可微，且在任意二进区间 2 , 1 2j jn n n Z
上是 m 次多项式。 1 [0,1)N t X记
1
1 1 0m m mN t N t N t N t u du
jV 的尺度函数 2
0 12 1 20
t tN t t t
其它
2 2 2 21 12 2 1 2 22 2
N t N t N t N t
2
2
3
2
1 0 123 3 1 24 21 3 2 320
t t
t tN t
t t
其它
3 3 3 3 31 3 3 12 2 1 2 2 2 34 4 4 4
N t N t N t N t N t
MRA （续）
Shannon 多分辨分析 2
0ˆ( ) | 0, [ , )V f t L R f
2 ˆ( ) | 0, [ 2 ,2 )j jjV f t L R f
sin ttt
jV 的正交尺度函数。
sin( / 2)2 22 ( / 2)n Z n Z
n nt t n t nn
MRA （续）
正交尺度函数的构造
1/ 2
2
ˆˆ
ˆ 2k Z
k
尺度函数 正交尺度函数 性质？
( ) 2 (2 )kk
t h t k , 2 2kh t t k
, ; ,j k t j k Z 问题 : 不是 2L R 的标准正交基 .
目标 : 构造一个小波 t , ,j k j k Z
,使构成 2L R 的标准正交基 .
正交小波函数的构造1j j jV V W 2
jjL R W
11 kk kg h
( ) 2 (2 )nn
t g t n 令 ,
则 / 2, 2 2j jj k k Z
t k
的标准正交基 . 是 jW
/ 2, ,
2 2j jj k j k Z
t k
构成 2L R 的标准正交基。 0
R
t dt 即 t 是一个小波 。
, ,
, ,
, 0, ,
, 0j k j l
j k j l
k l k l Z
, ,, 0 ,j k j l k l Z t 是一个正交小波 。
t h g t MRA 时域求解过程
正交小波函数的构造 ( 续 )
频域求解过程 t
ˆ 2ˆ 2 ˆh
*ˆˆ ig e h
ˆˆ1ˆ ( ) ( ) ( )2 22
g
ˆˆˆ ˆˆt h g t
正交小波函数的构造举例 Haar 小波
2 2 1t t t 0,1t t
0 2 2h 1 2 2h 0 0,1nh n
2 2 1t t t
/ 2sin / 21ˆ/ 2
iie e
i
0,1t t
ˆ 2 2ˆ 2 1ˆ 2
ih e
0 2 2h 1 2 2h 0 0,1nh n
2 2 1t t t
正交小波函数的构造举例（续） Shannon 小波 sin tt
t
12n nh c
sin( / 2)2 22 ( / 2)n Z n Z
n nt t n t nn
sin2
2
n
n
c n
2 1
2
0
2 12 1
0, 01
k
k
k
ck
c kc
1 1sin sin 22 2 =
12
t tt
t
半正交小波函数的构造举例 基数 B 样条小波
1mN t 是 m 次基数 B 样条多分辨分析 j j ZV
的一个非正交的尺度函数 。
mN t 的性质 :
支撑为 0,m ; 0mN t ;)( mx 02 2m mm mN t N t
mN t 的两尺度方程 :
,0
2m
m m k mk
N t p N t k
1
,
2 0
0
m
m k
mk m
p k
其他
2,3,4m
基数 B 样条小波 :
)()( , kxNqx m
m
kkmm
223
0
)()(, lkN
lm
q m
m
lm
k
km
1
21
20
1230 mk ,,
半正交小波函数的构造举例 ( 续 )
性质 :半正交性 : , ,, 0 ,j k j l k l Z
紧支撑性 : 0,2 1m
对称性 : (2 1 )
(2 1 ) m
mm
m t mt
m t m
对偶数对奇数
2,3, 4m
Battle-Lemarie 样条小波 正交小波函数的构造举例（续）
引入 m+1 阶基数 B 样条多分辨分析的另一个非正交尺度函数 .
1
1
2
1 2
m
m
m
mN t mt
mN t m
当 是偶数时
当 是奇数时定义 :
m t 12
t 对称 m t 0t 对称
: m 次盒样条 . m t
1
/ 2sin / 2ˆ/ 2
m
im e
1
0
m 是偶数时m 是奇数时
1/ 2
ˆ ˆ ˆ/ 2m mk Z
k
正交化
Battle-Lemarie 样条小波 正交小波函数的构造举例（续）
2
1
sin / 2ˆ/ 2
2
12
2sin 22ˆ / 1 sin
3 22
2
ˆ 2 1 cos 2 cosˆ 2 2ˆ 2 1 2cosh
*2
1 cos( ) 2 cos( )ˆˆ1 2cos ( )2
ii e
g e h
22
42
2 2 4
ˆˆ
1 2sin16 4sin24 1 sin 3 8sin 8sin3 4 4 4
1ˆ ( ) ( ) ( )2 22
i
g
e
Battle-Lemarie 线性样条尺度函数与小波 nh 有无限支集，但 nh 是指数衰减的。
对称的正交小波。
正交小波函数的构造举例（续） Battle-Lemarie 样条小波
Mallat 算法2 ( ) j Z jL R W
,,
( ) ( )jk j k
j k Z
f t c t
,,jk j kc f
, ,,
( ) , ( )j k j kj k Z
f t f t
1 1
2 2 1
1 1
=
j j j
j j j
M M M j
V V W
V W W
V W W W M j
1 1
2 2 1
1 1
=
j j j
j j j
M M M j
f f d
f d d
f d d d
,
,
, , , ;
, , , 1.
ll
l k l kk
ll k l k l
k
f t c t V l M j
d t d t W l M j
小波系数
2f t L R ( ) ( )j j jf t P f t V Pj 正交投影
Mallat 算法 ( 续 )
问题：已知 j jk k Z
c c
，给出计算 1 1j jk k Z
c c
1 1j j
k k Zd d
，
的快速算法。1 1
, 1, 1,( ) ( ) ( ) ( )j j jj k j k k j k k j k
k k k
f t c t c t d t
12
12
j jk n n k
nj jk n n k
n
c c h
d c g
1 12 2
j j jk n k n n k n
n n
c c h d g
1
1
j j
j j
c D c h
d D c g
1 1( ) ( )j j jc Uc h Ud g
分解算法
重构算法Mallat 算法
Mallat 算法 ( 续 )
jc
h
g
2
2
1jc
1jd
2
2
h
g
jc
小波分解与重构的滤波器组表示 ,h g : 分析滤波器
: 综合滤波器 ,h g
一维双正交多分辨分析
线性无关 .
2t L R , ( )j k t 是 L2(R) 的 Riesz 基 , 如果 下列条件成立 :,
Z, kj,
, ( )j k t , Z, kj
存在常数 A 和B,
, ,( ) ( )j k j kj k
f t c t
2 2
22 2
,j kj k
A f c B f
BA0 使得对任意的有限能量函数 f(t),有,
Riesz 基的定义 :
一维双正交多分辨分析 ( 续 )
是 L2(R) 的 Riesz 基,
双正交多分辨分析的定义 :{ }j j ZV
{ }j j ZV
,, , ,j kj k j k Z 1)
2) 1j j jV V W
1j j jV V W
,
3) t如果存在 L2(R) 中的函数 , t ng和序列 ng、 满足 ：( ) 2 (2 )
( ) 2 (2 )
nn
nn
t g t n
t g t n
, , , ,
, ,
, ,
, , , , ,
, 0, , ,
, 0, , ,
j k l m j l k m
j k j m
j k j m
j k l m Z
j k m Z
j k m Z
使得
,{ ( ); }j k t k Z 且 是 jW 的 Riesz 基； ,{ ( ); }j k t k Z jW是 的 Riesz 基。
,{ ( ); , }j k t j k Z ,{ ( ); , }j k t j k Z ,从而
如果以下条件成立：
{ , ; }j jV V j Z则称 是 L2(R) 的一个双正交多分辨分析 。
一维双正交多分辨分析 ( 续 )
空间分解与函数的多分辨表示 :
2
1 0 1 2 1 0 1 2L R W W W W W W W W
2f L R ,jn j n
j Z n Z
f t d t
,jn j n
j Z n Z
f t d t
,,jn j nd f t ,,j
n j nd f t
，，
, , , ,, ,j n j n j n j nj n j n
f f f
1 1
2 2 1
1 1
=
j j j
j j j
M M M j
V V W
V W W
V W W W
1 1
2 2 1
1 1
=
j j j
j j j
M M M j
f f d
f d d
f d d d
,
,
, , , ;
, , , 1.
ll
l k l kk
ll k l k l
k Z
f t c t V l M j
d t d t W l M j
Mallat 算法( ) 2 (2 )
( ) 2 (2 )
nn
nn
t h t n
t h t n
1 1, 1, 1,( ) ( ) ( ) ( )j j j
j k j k k j k k j kk k k
P f t c t c t d t
1 12 2
j j jk n k n n k n
n n
c c h d g
12
12
j jk n n k
nj jk n n k
n
c c h
d c g
1
1
j j
j j
c D c h
d D c g
1 1j j jc Uc h Ud g
jc
h
g
2
2
1jc
1jd
2
2
h
g
jc
分解算法：
重构算法：
滤波器组表示：