제 1 장 relativity

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제 1 제 Relativity Semiconductor Materials Lab. Semiconductor Materials Lab.

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제 1 장 Relativity. Semiconductor Materials Lab. Hanyang University. Out line. 1.1 특수 상대론의 가설 ( SPECIAL RELATIVITY ) 1.2 시간의 늘어남 ( TIME DILATION ) 1.3 도플러 효과 ( DOPPLER EFFECT ) 1.4 길이의 수축 ( LENGTH CONTRACTION ) - PowerPoint PPT Presentation

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제 1 장 Relativity

Semiconductor Materials Lab.Semiconductor Materials Lab. Hanyang University Hanyang University

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1.1 특수 상대론의 가설 ( SPECIAL RELATIVITY )

1.2 시간의 늘어남 ( TIME DILATION )

1.3 도플러 효과 ( DOPPLER EFFECT )

1.4 길이의 수축 ( LENGTH CONTRACTION )

1.5 쌍둥이 역설 ( TWIN PARADOX )

1.6 전기와 자기 ( ELECTRICITY AND MAGNETISM )

1.7 상대론적 운동량 ( RELATIVITY OF MOMENTUM )

1.8 질량과 에너지 ( MASS AND ENERGY )

1.9 에너지와 운동량 (ENERGY AND MOMENTUM)

1.10 일반 상대성이론 ( GENERAL RELATIVITY )

Out line

Page 3: 제  1 장    Relativity

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1. Relativity

상대성 원리 + 양자 역학

상대성 원리 : Einstein

양자역학 : 많은 과학자 ( Schrodinger, Heisenberg, Max Frank……)

상대성 이론 : 관측자와 대상물 사이의 상대적 운동이 공간 (space) 과 시간 측정에 어떠한 영향을 끼치는가 ?

Relativity Connects space & time, matter & energy, electricity & magnetism

are crucial to our understanding of the physical universe.

1.1 SPECIAL RELATIVITY

Page 4: 제  1 장    Relativity

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모든 운동은 상대적이다 . 자유 공간에서 빛의 속력은 모두 관측자에게 동일하다 .

Elementary physics 에서 length, time, mass 는 어떻게 측정하든지 물리량의 표준단위가 있어서 same result.

No question of finding the length of airplane ( 지상에서 움직이지 않을 때 )

But what if the airplane is in flight and we are on the ground?

Moving airplane is shorter

Frames of ReferenceFrames of Reference

The first step is to clarify what we mean by motion

어떤 물체가 운동 한다는 것 그 물체가 위치가 다른 물체에 대해 변하고 있음

1.1 SPECIAL RELATIVITY

Page 5: 제  1 장    Relativity

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A passenger moves relative to an airplane

The airplane moves relative to the earth

The earth moves relative to the sun

The sun moves relative to the galaxy of stars

……………..

어떤 물체의 운동을 설명하려면

frame of reference( 기준계 ) 가 필요

물체가 움직인다는 것은 항상 특정의 기준계가 있다는 것임 .

Inertial frame of reference ( 관성기준계 )

Newton 의 운동 제 1 법칙이 성립하는 계 ( 정지한 물체는 계속 정지하고 있고 물체에 힘이 작용하지 않는 한 일정한 속도로 계속 운동하는 계 )

“ 관성기준계는 다른 기준계에 대하여 일정한 방향 , 일정한 속도로 움직이고 있는 기준계”In this frame : an object at rest remains at rest, an object in motion continues to move at

constant velocity

1.1 SPECIAL RELATIVITY

Page 6: 제  1 장    Relativity

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모든 관성기준계는 동등하다

Suppose we see something changing its position with respect to us at constant velocity.

Is it moving or are we moving ?

Suppose we are in a closed lab. In which Newton’s 1st law holds

Is the lab. Moving or is it at rest ?

이 두 문제는 meaningless because all constant velocity motion is relative.

There is No universal frame of reference that can be used everywhere, no such thing as

“ absolute motion ”

Closed lab 에서 외부의 다른 기준계와 비교할 수 없기 때문에 그 lab 이 운동하는지 안 하는지 구별할 수 없다 .

“ 모든 공간에 적용할 수 있는 절대적인 기준계는 존재하지 않으므로 절대 운동이란 존재하지 않는다 ”

1.1 SPECIAL RELATIVITY

Page 7: 제  1 장    Relativity

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The theory of relativity 는 “ 절대적인 기준계가 존재하지 않는다 ” 는 결과와 관련 있다 .

Special relativity (1905) Treats problems that involve “ inertial frame of reference ”

관성기준계 문제를 다룸

General relativity(1916) Treats problems that involve frames of reference accelerated w.r.t one another. (elevator, roller coaster, etc)

다른 기준계에 대해 가속운동을 하는 기준계를 다룬 것

Postulates of special RelativityPostulates of special Relativity

Two postulates

1. The laws of physics are the same in all inertial frames of reference.

2. The speed of light in free space has the same value in all inertial frames of reference.

갈릴레이의 상대성 이론 : 움직이고 있는 배의 돛대에서 물건을 떨어뜨릴 때 배가 움직이고 있거나 정지하고 있거나 상관없이 곧 바로 앞에 떨어짐 . 일정한 속도로 움직이고 있는 곳에서는 정지한 곳에서와 같은 낙하법칙이 적용

1.1 SPECIAL RELATIVITY

Page 8: 제  1 장    Relativity

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1. 상호간의 등속운동을 하고 있는 기준계에서 물리학의 법칙들은 모두 동일 .

( 만일 물리 법칙이 상대운동을 하는 서로 다른 관측자에게 다르게 나타난다면 이

차이로 부터 어느 것이 공간에 정지해 있고 어느 것이 움직이는지 결정가능 ) 그러나 절대 기준계가 없기 때문에 이것은 자연계에 존재치 않음 .

2. 빛의 속도는 모든 사람에게 동일 .

실험결과로 직접 얻은 것임 .

v = 2 × 108 m/s

c = 3 × 108 m/s

c = 3 × 108 m/s

(a) (b) (c)

Figure 1.1 The speed of light is the same to all observers.

The speed of light is the same to all observers

without violating 상대성원리

Time & Space are not absolute but depends on the relative motion.

1.1 SPECIAL RELATIVITY

Page 9: 제  1 장    Relativity

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From the ground, if I were to measure the rate at which your clock ticks and the length of your meter stick.

clock ticks ↓(slow) & meter stick is shorter in the direction of motion.

To you ( in space shuttle ) , your clock & stick are the same

To me , they are different because of the relative motion.

시간간격과 길이는 상대적인 양이고 광속은 모든 관측자에게 일정한 값임 .

Einstein 이전 :

Newton’s laws of motion 은 Maxwell’s electricity & magnetism 과 차이가 생김 .

전자기학에 의하면 빛의 속도는 어떤 좌표계에서도 동일 , 정지한 빛은 없음 .

뉴턴 역학과 전자기학의 방정식은 한 관성계에서의 측정값과 다른 관성계의 측정값들을 서로 변환시켜주는 방식에서 차이가 있다 .

Einstein 은 Maxwell 이론이 특수상대성이론과 일관성이 있음을 증명하였다 .

상대론과 Newtonian mechanism 은 물체의 속도가 광속보다 매우 작을 때 일치

1.1 SPECIAL RELATIVITY

Page 10: 제  1 장    Relativity

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Mirror A

Glass plate

Mirror B

Viewing screen

Half-silvered mirror

Parallel light from single source

Figure 1.2 The Michelson-Morley experiment

Hypothetical

ether current

Einstein 전 : 우주는 빛을 전달하는 매질로 가득 차 있음 . Ether 가 정지한 공간을 가정하고 그 안을 운동하는 지구는 Ether 의 바람을 받는다고 생각 .

Michelson-Morley 는 Ether 의 존재를 확인하기 위해 실험 실시 실험 결과

1. Ether 는 존재하지 않음

2. 빛의 속도는 모든 관측자에 대해 동일

지구의 공전궤도와 같은 방향으로 진행하는 빛은 Ether 의 바람을 정면으로 받음 .

지구의 공전궤도와 수직 방향으로 진행하는 빛은 Ether 의 바람을 옆면으로 받음 .

공전궤도 방향으로 왕복하는 빛과 수직방향으로 왕복하는 빛의 속도를 측정 그 차이를 구하려고 함 .

빛의 속도변화를 찾지 못함 .

1.1 SPECIAL RELATIVITY

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1.2 Time Dilation

움직이는 시계는 정지한 시계보다 느리게 간다 .

Measurements of time intervals are affected by relative motion between an observer and what is observed.

Spacecraft 를 타고 있는 사람이 spacecraft 내에서 일어난 두 사건의 시간 간격을 t0 로 측정했을 때 지상에서 관측한 시간은 그것보다 긴 t 로 측정된다 .

t0 proper time ( 고유시간 ) : determined by events that occur of the same place in an observer’s frame of reference

지상 관측자에게는 위의 사건이 각각 다른 장소에서 발생하는 것으로 관측된다 .

지상 관측자 입장에서는 측정한 시간간격이 고유시간 ( t0 ) 보다 길어진다 .

이 현상을 time dilation ( 시간지연 ) 이라 한다 .

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Figure 1.3 A simple clock. Each “ tick ” correspond to a round trip of the light pulse from the lower mirror to the upper one and back.

두 거울 사이의 거리가 L0 이고 빛이 아래 거울판을 때릴 때마다 시간간격을 측정할 수 있는 기구 설치 ( 2 개 사용 )

한 시계는 지상에 고정 시킴 . 다른 한 시계는 속력 v 로 움직이는 우주선에 설치 .

실험실에 있는 관측자가 두 개의 시계를 쳐다 볼때 , 이 두 시계는 같은 간격으로 똑딱거리겠는가 ?

1.2 Time Dilation

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Figure 1.4 All light-pulse clock at rest on the ground as seen by an observer on the ground. The dial represents a conventional clock on the ground.

)1.1(2 0

0 c

Lt

지상 실험실내에 고정된 시계의 동작

펄스가 왕복하는 시간간격 : t0

펄스가 한쪽거울에서 다른 쪽 거울로 가는 시간 : t0/2

t0/2 = L0/c

고유시간

1.2 Time Dilation

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Figure 1.5 A light-pulse clock in a spacecraft as seen by an observer on the ground. The mirrors are parallel to the direction of motion of the spacecraft. The dial represents a conventional clock on the ground.

)2.1(/1

/222

0

cv

cLt

속도 v 로 움직이는 우주선에 설치된 시계를 지상에서 보았을 때의 상황 ?

시간간격 ( t ) , 지상관측자의 시간 t/2 동안에 빛은 수평방향으로 v(t/2) 만큼 이동 ( 우주선 속도 ).

빛의 이동경로의 총 거리는 c(t/2) 이다 . 2

20

2

22

vt

Lct 2

022

2

4Lvc

t

222

20

22

202

/1

24

cvc

L

vc

Lt

1.2 Time Dilation

Page 15: 제  1 장    Relativity

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t0 = time interval on clock at rest relative to an observer

t = time interval on clock in motion relative to an observer

v = speed of relative motion

c = speed of light

2L0/c 는 식 (1.1) 에서 본 것처럼 지구상에서 정지한 시계에서 빛이 왕복하는 시간 간격 t0 이므로

)3.1(/1 22

0

cv

tt

Time Dilation

1/1 22 cv for moving object. t > t0

Moving clock in the spacecraft appear to tick at a slower rate than the stationary one in the ground.

1.2 Time Dilation

Page 16: 제  1 장    Relativity

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우주선내의 관측자가 지상의 고정된 시계를 측정한 경우에도 똑같은 해석이 가능

우주선의 관측자가 보면 지상의 시계는 느리게 간다 .

만약 v 가 c 보다 크면 1/1 22 cv 가 음수가 되며

가 허수가 된다 .

즉 한쪽 거울을 떠난 빛은 c 의 속도로는 다른 거울이 v 의 속도로 움직이기 때문에 도저히 도달 못함 .

이와 같은 원리는 빛을 이용한 시계뿐만 아니라 기계식 시계에도 모두 적용됨 .

22

0

/1 cv

tt

역시 (1.3) 식이

성립한다 .

1.2 Time Dilation

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Figure 1.6 A person switches on a flashlight in a spacecraft assumed to be moving relative to the earth faster than light. (a) In the spacecraft frame, the light goes to the front of the spacecraft. (b) In the earth frame, the light goes to the back of the spacecraft.

Ultimate speed limit.

다른 행성이 생명체가 있어도 빛의 속도보다 빠를 수 없기 때문에 만나기 힘듬 . 만약 빛의 속도에 수천 수만 배까지 우주선이 달릴 수 있다면 아래그림의 모순이 생긴다 . 우주선내에서는 우주선이 빛의 속도 이상으로 달리기 때문에 앞으로 빛을 비춰주면 지상에서는 빛이 뒤를 가는 것으로 목격됨 .

우주선의 관성계에서의 물리법칙과 지상의 관성계에서의 법칙이 서로 다름

상대성 원리 위반

C 보다 더 빨리 달릴 수 없음 .

Time is a relative quantity → but does not run backward to any observer.

A sequence of events occur at t1, t2, and t3.

will appear in the same order to all observers 그러나 time interval t2-t1, t3-t2 는 꼭 똑같지 않다 .

1.2 Time Dilation

Page 18: 제  1 장    Relativity

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1.3 Doppler Effect

왜 우주는 팽창한다고 믿어지는가 ?

Doppler Effect : sound source 가 우리를 향해 접근 ( or 우리가 음원 쪽으로 접근 )

소리 높이가 높아짐

sound source 가 우리로부터 멀어짐 ( or 우리가 음원으로부터 멀어짐 ) 소리 높이가 낮아짐

Doppler effect in sound )4.1(/1

/10

cV

cvvv

c : speed of sound

v : speed of observer ( + for forward, - for away )

V : speed of source ( + for forward, - for away )

Page 19: 제  1 장    Relativity

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소리의 Doppler 효과는 음원이 운동하는가 관측자가 운동하는가 혹은 둘 다 운동하는가에 따라 달라진다 .

( V ) ( v )

상대성원리를 violate 하는 것 같지만 소리는 material medium 을 통해 전파하기 때문 , 이 medium 자체가 frame of reference 역할을 함 .

( 상대성원리에서는 음원과 관측자의 상대적 운동만 고려하면 됨 .) 빛의 속도는 일정하기 때문

But sound waves occur only in a material medium such as air & water, and this medium itself is a frame of reference wrt motion of source & observer.

In the case of light, No medium is involved

only relative motion of source & observer is meaningful.

Doppler effect in light must differ from that in sound.

3 가지 경우의 빛의 Doppler effect.( this v0 times per second ) 뒤참조

1.3 Doppler Effect

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Figure 1.7 The frequency of the light seen by an observer depends on the direction and speed of the observer’s motion relative to its source.

1. Observer moving perpendicular to a line between him and the light source proper time between ticks → t0 = 1/v0

관측자의 기준계에서 측정한 시간 220 /1/ cvtt

관측자가 관측한 진동수 0

22 /11)(

t

cv

ttransversev

)5.1(/1 220 cvvv

observed frequency ( υ ) is always lower than the source frequency ( υ0 )

빛의 가로 Doppler 효과

1.3 Doppler Effect

Page 21: 제  1 장    Relativity

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2. Observer receding from the light source

observer travels the distance vt away from the source between ticks

means light wave from a given tick takes vt/c longer to reach him.

Total time between the arrival of successive waves

cvcv

cvcvt

cv

cvt

c

vttT

/1/1

/1/1

/1

/10220

cv

cvt

/1

/10

the observed frequency is

)6.1(/1

/1

/1

/111)( 0

0 cv

cvv

cv

cv

tTrecedingv

observed frequency (υ) < source frequency (υ0)

1.3 Doppler Effect

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Unlike sound, it makes no difference whether the observer is moving away from the source or the source is moving away from the observer.

소리에서는 source 의 속도 (V) 와 observer 의 속도 (v) 에 따라 달라지지만 , 빛에서는 source 와 observer 의 상대적 운동 (v) 만 고려 .

3. Observer approaching the light source

Observer 가 광원 쪽으로 vt 만큼 이동

light wave 가 observer 에 도달하는데 vt/c 만큼 감소

T = t – vt/c

관측된 진동수 )7.1(/1

/1)( 0 cv

cvvgapproachinv

observed frequency (υ) > source frequency (υ0)

1.3 Doppler Effect

Page 23: 제  1 장    Relativity

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Longitudinal doppler effect in light

)8.1(/1

/10 cv

cvvv

v : + for source & observer approaching each other.

- for source & observer receding from each other.

visible light → electromagnetic wave

Electromagnetic waves ( 라디오나 레이져에 사용됨 ) 는 Doppler 효과를 나타내기 때문에 경찰이 speed gun 으로 차의 speed 를 측정→ ticket

The Expanding UniverseThe Expanding Universe

The Doppler effect in light is an important tool in astronomy.

별들은 분광선 (spectral line) 이라는 어떤 특정한 진동수의 빛을 방출

지구로 접근 하거나 멀어지거나 ( 운동 ) 에 따라 진동수가 Doppler 이동한다 .먼 galaxies( 은하임 각 개개의 별이 아님 ) 의 별들은 낮은 진동수 ( 적색 )로 이동 ( 적색편이 red shift )

1.3 Doppler Effect

Page 24: 제  1 장    Relativity

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Indicate that the galaxies are receding from us & from one another

Suggests that the entire universe is expanding

이러한 비례관계를 Hubble’s law 라 한다 .

This expansion approximately began about 130억년전 → Big Bang

gravitational forces are slowing the expansion down and eventually cause it to stop

the universe will then collapse into a Big Crunch

Followed by another big bang.

만약 Big bang 과 Big crunch 가 계속 되지 않으면 팽창속력은 점차 감소될지 몰라도 우주팽창은 영원히 지속될 것이다 .

1.3 Doppler Effect

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1.4 Length Contraction

빠를수록 짧아진다 .

Measurements lengths as well as times intervals are affected by relative motion.

Proper length ( 고유길이 ) : 한 물체가 고정되어 있는 정지 기준계에서의 길이 (L0)

예 ) muon : 전자 질량에 207 배

전하량은 +e or –e

평균수명 : 2.2µs ( 2.2 × 10-

6s )

속력 : 2.994 × 108m/s( 0.998c )

muon 이 average lifetime 2.2µs 동안 움직일 수 있는 거리

vt0 = ( 2.994 × 108m/s ) · ( 2.2 × 10-6 sec ) = 6.6 × 102 m = 0.66km

muon 을 지표상에서 관찰 가능하다는 것은 이것이 지상 660m 정도에서 생성되었다는 것인데 실제로는 6km 이상 지역에서 생성된다 .

muon : 빠른 우주선 입자 ( 주로 양성자 ) 들이 대기권 상층부에서 원자핵과

충돌했을 때 생성되는 불안정한 입자

Page 26: 제  1 장    Relativity

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To solve this paradox

Muon 은 0.998c 의 속도로 운동하기 때문에 their lifetimes are extended in our frame of reference by time dilation

sc

s

cv

tt 8.34

)998.0(1

102.2

/1 2

6

22

0

vt = ( 2.994 × 108m/s ) · ( 34.8 × 10-6s ) = 10.4km

muon 은 자신의 기준계에서는 수명이 2.2µs 이지만 지상 기준계에서 본 muon 의 수명은34.8µs 로 증가됨 .

만일 어떤 사람이 muon 과 함께 낙하운동을 한다면 muon 은 상대적으로 정지하여 있는 것으로 보인다 .

The observer and the muon are in the same frame of reference

in the frame the moun’s lifetime is 2.2µs to the observer, the muon travels only 0.66km before decaying

1.4 Length Contraction

Page 27: 제  1 장    Relativity

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( 그럼 observer 입장에서 지상 6km 이상에서 생성된 muon 이 지표에 도달하는 것을 설명할 수 있는 방법은 ? → Muon 의

이동거리가 자신의 운동 때문에짧아졌음 .)

→ 즉 지상 관측자가 측정한 수명은 비율로 늘어났지만 muon 과 같은 기준계의 관측자에게는 길이가 만큼 짧아졌다 .

22 /1/1 cv

22 /1 cv

즉 지상에서는 10.4km 의 거리가 0.998c 로 운동하는 muon 에게는 660m 로 짧아졌다는 것임 .

Figure 1.9 Muon decay as seen by different observers. The muon size is greatly exaggerated here ; in fact, the muon seems likely to be a point paricle with no extenion in space.

1.4 Length Contraction

Page 28: 제  1 장    Relativity

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Length contraction )9.1(/1 220 cvLL

지상에서 h0 = 10.4km kmcckmh 66.0/)998.0(14.10 22

이러한 상대론적 거리수축은 운동방향으로의 길이 수축과 같다 .

따라서 지상관측자가 측정한 높이 h0 와 muon’s frame of reference 에서 측정한 높이 h 와의 관계 .

220 /1 cvhh

1.4 Length Contraction

Page 29: 제  1 장    Relativity

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The proper length (L0) found in the rest frame is the max. length any observer will measure.

Figure 1.10 Relativistic length contraction. Only lengths in the direction of motion are affected. The horizontal is logarithmic.

v/c 에 대한 L/L0 의 관계곡선 → 속도가 광속에 접근해야 길이수축 효과가 명백히 나타남 .like time dilation, the length contraction is a reciprocal effect.

To a person in a spacecraft, the objects on the earth appear shorter by the same factor of 22 /1 cv

Figure 1.10 Relativistic length contraction. Only length in the direction of motion are affected.

1.4 Length Contraction

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1.5 Twin Paradox

Famous relativistic effect known as the twin paradox.

2 개의 완전히 똑같은 시계 한 개는 지구에 다른 한 개는 우주선 ( 속력 v 로 운동 )

쌍둥이 Dick & Jane, → 20세 때 Dick 이 0.8c 속력으로 20 광년 떨어진 곳으로 여행시작

Jane 은 지구에 닳아 있음

Dick’s life is slower than hers by a factor of 2222 /)8.0(1/1 cccv

= 0.6 = 60%

Figure 1.11 An astronaut who returns from a space voyage will be younger than his or her twin who remains on earth.

Dick’s heart beats 3 times for every 5 beats of Jane’s.

50년 후 ( 지구시간 ) Dick return → Dick 50살 , Jane 70살

수명은 길어지지만 길게 느껴지지는 않는다 .

Page 31: 제  1 장    Relativity

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Dick 의 기준계에서 상황을 살펴보면

→ Jane 이 0.8c 의 속력으로 상대운동을 하므로 Dick 이 지구상에 왔을 때

Dick 이 70세 이고 Jane 이 50세 아닐까 ?

그러나 이상형은 Dick 의 경우 지구를 출발하여 별에 도착한 후 되돌아 오

기까지 하나의 관성기준계에서 다른 관성기준계로 변환을 거듭하였다 .

그러나 , Jane 은 같은 관성기준계에 계속 있었으므로 Dick 의 관측에서는

time dilation 이 적용되지 않는다 .

즉 , Dick 의 기준계와 Jane 의 기준계가 서로 동등하지 않다 .

( 우주선 )

To look at Dick’s voyage from his perspective, distance L is shorten

years lightccyearslightcvLL 12/)8.0(1)20 (/1 22220

1.5 Twin Paradox

Page 32: 제  1 장    Relativity

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20 광년이 L 이 12 광년으로 줄어들고 0.8c 로 달릴 때 결국 15years 걸림 .

- 1년에 한번씩 서로 신호를 보내면 - To Dick : voyage to star 15years → 15/3 → 5 signals from Jane

voyage to black 15years → 15/(1/3) → 45 signals from Jane.

total 50 signals Dick thinks Jane is 70 year-old

To Jane : Dick need 25 years for the outward trip

25 years + 20 years → 45years ( 45/3 = 15 signals )

remaining 5 years → 5/(1/3) = 15 signals

1.5 Twin Paradox

tripoutwardyearcv

cvtT 3

/1

/101

tripreturnyearcv

cvtT 3/1

/1

/102

Page 33: 제  1 장    Relativity

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1.6 Electricity and Magnetism

상대론이 연결해 준다 .

One of puzzles ( Einstein )

connection between electricity & magnetism

Moving charge 의 상호 작용은 magnetic force 를 발생시킴

예 ) 수소전자내에 양성자 (proton) 와 전자 사이의 전기적 인력은 그들 사이의 중력에 1039 배나 더 크다 . → 미소한 변화도 큰 결과를 초래

Electric charge is relativistically invariant

한 기준계에서 전하량이 Q 로 관측된 전하는 다른 기준계에서도 Q 이다 .

(a) 등간격으로 같은 개수의 양과 음전하가 정지해 있다 . 두 도체는 전기적으로 중성

→ No force between them.

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b) 전류 iⅠ과 iⅡ 가 같은 방향으로 흐름 .

양전하는 → , 음전하는 ← : 두 전하의 속도 :v

실험실 기준에서 보면 전하가 운동하고 있기 때문에 space 는 정지 때보다 만큼 줄어듬 . 두 도체는 전기적으로 중성을 유지 하지만 서로 끌어 당긴다 . Why?

c) 도체 I 의 하나의 음전하 기준계에서 도체 Ⅱ를 관찰 . 관측대상은 도체 Ⅱ의 ○ ( 음전하 )는 정지상태로 보이고 , ●( 양전하 ) 는 2v 의 속력으로 운동한다 . 따라서 +ve charge 의 spacing 이 줄어들고 도체 Ⅱ는 전체적으로 + ve charge 를 띤다 .

→ attractive force acts on –ve charge in conductor I .

1.6 Electricity and Magnetism

221 cv

Page 35: 제  1 장    Relativity

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d) 도체 I 의 양전하 기준계에서 도체 Ⅱ 를 관찰

+ve charge in conductor are now at rest, -ve charge moves speed 2v Ⅱ

-ve charge are closer together than +ve

conductor appears to have a net –ve charge Ⅱ

attractive force acts on +ve charge in conductor I .

From the laboratory frame, the situation is less straight forward.

Both conductors ( I , ) are electrically neutral Ⅱ

→ it is natural to explain their mutual attraction by “ Magnetic” interaction between the currents.

1.6 Electricity and Magnetism

Page 36: 제  1 장    Relativity

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1.7 Relativistic Momentum

중요한 물리량의 재정의

When a force is applied to an object free to move

그 힘은 object 에 일을 공급하며 kinetic E 를 증가시킨다 .

→ 그 결과 object 는 계속 빨라진다 . 그러나 빛의 속도이상으로 빨라질 수 없기 때문에

속력은 끝이 없이 증가할 수 없다 .

→ 에너지 보존의 법칙에 의해 v 가 c 를 초과는 못하지만 kinetic E 가 계속 증가 하도록

object 의 speed 와 mass 가 증가한다 .

To investigate what happens to the mass of an object as its speed increases.

→ consider elastic collision between two particles A & B.

Page 37: 제  1 장    Relativity

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y V’B

x

X’

s

s`

z

z`

y`Y

VA

B

A

B

A

Collision as seen from frame S:

Collision as seen from frame S`:

Figure 1.13 An elastic collision as observed in two different frames of reference.

물체의 속도가 증가함에 따라 질량에 어떤 변화가 있는지 조사

두 입자 A , B 는 탄성충돌을 한다고 고려 .

등속 상대운동 (uniform relative motion) 을 하는 두 관측자 S, S’ 입장에서 생각 .

S’ 는 S 에 대해 +x 방향으로 V 의 속도로 운동 중 .

Before collision

A is at rest in frame S

B is at rest in frame S’

A 는 +y 방향으로 VA 로 던져졌고 , B 는 – y 방향으로 V’B 로 던져졌다 .

VA = V’B ( 1.10)

1.7 Relativistic Momentum

Page 38: 제  1 장    Relativity

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Behaving of A in S is exactly the same as the behavier B in S’

when two particles collide

A rebounds in – y direction at VA

B rebounds in +y’ direction at V’B

round trip time to for A in frame S

T0 = Y / VA (1.11) (To 는 기준계 S 에서 A 가 원래의 위치로 돌아가는데 필요한 시간 )

It is the same for B in frame S’

T0 = Y / V’B

If linear momentum is conserved in the S frame

mAVA = mBVB

위 값은 모두 S 기준계에서 측정된 값임 .

1.7 Relativistic Momentum

Page 39: 제  1 장    Relativity

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기준계 “ S” 에서 B(S’ 기준계 ) 의 속력 VB 는 VB = Y / T 임 ---- ( 1. 12 )

T : 기준계 S 에서 측정했을 때 B 가 원래 위치로 돌아가는 시간 .

In “S’”, however B’s trip requires the time T0.)13.1(

/1 22

0

cv

TT

)(/1

0

22

frameSinT

cvYVB

)(0

frameSinT

YVA

p=mv

0T

YmVmP AAAA

0

22 /1T

YcvmVmP BBBB

위 결과는 , 계 S 에서 측정한 두 입자의 질량 mA 와 mB 가 만약 mA=mB 이면 운동량이 보존되지 않는다는 것을 의미한다 .

)14.1(/1 22 cv

mm A

B

그러나 이면 운동량이 보존될 것이다 .

1.7 Relativistic Momentum

Page 40: 제  1 장    Relativity

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22 /1 cvmm BA

A 와 B 는 한 관측자에 대해 정지해 있을 때 동일 , mA 와 mB 의 차이는 space 와 time 의 측정값과 마찬가지로 질량측정값도 observer 와 관측대상사이의 상대속력에 의존 .

그림 1.13 의 충돌에서 A & B are moving in S ( B approach to A with velocity of v)

만약 질량 m 을 A 가 정지해 있을 때의 질량이라 하면 , VA=0 인 극한에서 mA=m 이다 .

VB’=0 인 극한에서 만약 m(v) 를 속력 v 로 움직이는 B 의 계 S 에서의 질량이라 하면

mB=m(v) 가 된다 . 그러므로 식 (1.14) 는 )15.1(/1 22 cv

mvm

가 된

다 .

1.7 Relativistic Momentum

Page 41: 제  1 장    Relativity

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만약 선운동량을

)16.1(/1 22 cv

mvP

)17.1(vmp

상대론적 운동량

으로 정의하면 특수 상대성이론에서도 선운동량이 보존됨을 우리는 볼 수 있다 .

v « c 일 때 식 (1.16) 은 요구되는대로 고전적 운동량 p=mv 로 환원된다 .

상대론적 운동량

)18.1(/1

122 cv

m : 한 대상물질의 고유질량 (혹은 정지질량 ) 이고 , 관측자에 대해 정지해 있을 때 잰 질량이다

1.7 Relativistic Momentum

Page 42: 제  1 장    Relativity

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( in S’ mA = m, mB = m0 ) ( A approach B with velocity of v in S’ frame )

지상에서 관측 시 우주선의 길이는 짧아지고 질량은 커짐 .

우주선내의 관측자가 지상의 정지중인 우주선을 보면 길이는 짧아지고 질량은 커짐 .

Figure 1.14 The relativity of mass. Since m = ∞ when v = c, no material object can equal the speed of light in free space.

p 가 v/c 에 대해 어떻게 변하는지 γmv 와 mv 두 경우에 나타내었다 .

v/c 가 작을 때는 γmv 와 mv 경우에서의 변화는 거의 같음 .

v 가 c 에 접근할수록 γmv 곡선은 매우 급하게 상승한다 .

만약 v=c 이면 p= γmv=∞ 가 되어서불가능한 일이되고 , 우리는 어떠한 물질이라도 빛과 같이 빠르게

움직일 수는 없다고 결론 지운다 .

상대론적 질량

1.7 Relativistic Momentum

Page 43: 제  1 장    Relativity

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지구에 대해 v1=0.5c 로 날고 있는 우주선에서 v2=0.5c 인 발사체를 같은 방향으로 발사하면 ?

지구에 있는 우리는 발사체의 속력을 0.5c + 0.5c = c 라고 예측 그러나 0.8c 밖에 되지 않는다 .

상대론적 제 2법칙

상대론에서의 Newton 의 제 2법칙은

)19.1(mvdt

d

dt

dpF

이 관계는 γ 가 v 의 함수이므로 , 고전적인 식 F = ma 보다는더복잡하다 .

v « c 일 때는 γ 값이 거의 1 로 되어서 F 는 거의 mv 와 동일하게 된다 .

1.7 Relativistic Momentum

Page 44: 제  1 장    Relativity

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Eo = mc2 는 어디에서 연유하는가 ?

From elementary physics

W = F • S W : work done on an object

F : force

S : distance

If no other forces act on the object & the object starts from rest

→ all the work done on it becomes kinetic E, so K.E = F•S if F is not a constant.

1.8 Mass and Energy

Kinetic energy s

FdsKE0

Page 45: 제  1 장    Relativity

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In nonrelativistic physics

K.E. = 1/2 m0v2 m0 : rest mass, v : speed

To find the correct relativistic formula for KE ( from eq. 1.18 )

s vmv

cv

mvvdmvvdds

dt

mvdEK

0 022

0 /1)(.

ydyxyxdy 식을 이용하여

v

cv

vdvm

cv

mvKE

02222

2

/1/1

vcvmccv

mv0

222

22

2

/1/1

2

22

2

/1mc

cv

mc

)20.1(1 222 mcmcmcKE Kinetic Energy

1.8 Mass and Energy

Page 46: 제  1 장    Relativity

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Total energy E = mc2=mc2 + KE (1.21) mc2 = total energy

mc2 = rest energy

E = E0 + KE

Rest energy E0 = mc2 (1.22)

If an object is moving , its total energy is

)23.1(/1 22

22

cv

mcmcEenergyTotal

질량과 에너지는 서로 독립적인 양이 아님

→ 질량보존의 법칙과 에너지 보존의 법칙을 서로 독립적인 것이 아니고

→ principle of conservation of mass energy 로 통일

mass 가 created 되거나 destroy 되면 같은 양의 energy 가 없어지거나 생성됨 .

→ 즉 mass and energy are different aspects of the same thing.

1.8 Mass and Energy

Page 47: 제  1 장    Relativity

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Relativistic formula for KE is

)20.1(/1

2

22

222 mc

cv

mcmcmcKE

If v « c

v2 / c2 « 1 (1+x)n ≈ 1 + nx valid for | x | « 1

2

2

22 2

11

/1

1

c

v

cv

v « c

The result

2222

2

2

1

2

11 mvmcmc

c

vKE

v « c

Kinetic Energy at Low Speeds. Kinetic Energy at Low Speeds.

1.8 Mass and Energy

Page 48: 제  1 장    Relativity

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At low speed, the relativistic expression for KE ≈ classical KE

고전역학과 상대론적 역학에서 KE 가 v 의 변화

고전적인 공식 1/2mv2 → 일반물체의 KE 구하는데무방

소립자등 매우 빠르게 움직이는 입자에서는 고전적인

1/2mv2 은 부적합

Figure 1.16 A comparison between the classical and relativistic formulas for the ratio between kinetic energy KE of a moving body and its rest energy m0c2

1.8 Mass and Energy

Page 49: 제  1 장    Relativity

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1.9 Energy and Momentum

상대론에서 어떻게 서로 연결되는가 ?

입자의 총 에너지 , 정지 에너지 , 그리고 운동량들 사이에 어떤 관계가 있는지 알아보자 .

)23.1(/1 22

2

cv

mcEenergyTotal

22

422

/1 cv

cmE

)17.1(/1 22 cv

mvp

제곱

운동량은 식 (1.17) 로 부터 ,

운동량22

22222

/1 cv

cvmcp

Page 50: 제  1 장    Relativity

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E2 에서 p2c2 을 빼면

2222

2242

22

22242222

/1

)/1(

/1mc

cv

cvcm

cv

cvmcmcpE

)24.1(22222 cpmcE 에너지와 운동량

한 입자에 대해 mc2 이 불변이므로 E2-p2c2 도 불변이며 , 모든 기준계에서 같은 값을 가짐에 주목하라 .

Massless Particles

Massless particles, 좀더 정확히 , No rest mass particle 이 존재 가능한가 ?

고전론 : a particle must have a rest mass in order to have energy and momentum

상대론적 역학 : this requirement does not hold.

From the relativistic formulas for total E & linear momentum

1.9 Energy and Momentum

Page 51: 제  1 장    Relativity

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when m = 0 , v « c → E = p = 0

a massless particle can have neither energy nor momentum.

when m = 0 , v = c

E = 0/0 , p = 0/0 which are undeterminate.

→ E & p can have any value.

→ consistent with the existence of massless particles that possess Energy & Momentum

if they travel with the speed of light.

식 (1.17) 과 식 (1.23) 에 의하면 ,

식 (1.24) 에 의하면 , m = 0 일 때 E 와 p 사이의 관계는 다음과 같다 .

)25.1(pcE massless particles

위의 discussion 은 massless particles 이 존재한다는 것이 아니고 v = c 이고 E = pc 인 전제조건 하에서 역학법칙들이 존재가능성을 배제하지 않는다는 것이다 .

In fact, photon( 광자 ), neutrino ( 중성미자 ) 가 massless particles 로서 이미 발견되었음 .

1.9 Energy and Momentum

Page 52: 제  1 장    Relativity

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1eV = ( 1.602 × 10-19C ) ( 1.000V ) = 1.602 × 10-19 J

two quantities normally expressed in eV are

1) The ionization E of an atom ( the work needed to remove one of its electrons )

2) The binding E of a molecule ( the E needed to break it apart into separate atoms )

1keV = 103eV

1MeV = 106eV

1GeV = 109eV

0.938 GeV/c2 ( the rest mass of proton )

E0 = mc2 = 0.938 GeV

proton’s KE = 5.000 GeV

Total E of proton E = E0 + KE = ( 0.938 + 5.000 ) GeV = 5.938GeV

ElectronvoltsElectronvolts

1.9 Energy and Momentum

Page 53: 제  1 장    Relativity

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1.10 General Relativity

중력은 공간의 휘어짐이다 .

특수 상대성이론은 가속운동을 하지 않는 inertial frame of reference 에 한정된 이론

1916년의 일반상대성 이론 → 가속운동이 관측결과에미치는 영향 .

Force of gravity (중력 ) 은 물체 주위의 spacetime ( 시공간 ) 의휘어짐에 기인

→ 결과적으로 an object moving through such a region of space follows a curved path rather

straight one.

일반 상대성이론의 핵심은 principle of equivalence ( 등가원리 )

→ 닫힌 실험실에서 관측자는 중력장에 의한 효과와 그 실험실이 가속하기 때문에 나타나는 효과를 구분할 수 없다

→ 이 원리는 힘이 한 물체에 가해 질 때 물체의 가속을 좌우하는 관성질량 (F=mam=F/a)과

다른 물체에 의해 가해지는 중력의 정도를 좌우하는 중력질량 (F=mgm=F/g) 은 항상 같다

Page 54: 제  1 장    Relativity

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일반상대성이론은 중력을 질량을 가진 물체의 존재에 의한 시공간의 휘어짐으로 묘사한다 .

Figure 1.17 General relativity pictures gravity as a warping of spacetime due to the presence of a body of matter.

1.10 General Relativity

Page 55: 제  1 장    Relativity

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Gravitation and lightGravitation and light

Figure 1.18 According to the principle of equivalence, events that take place in an accelerated laboratory cannot be distinguished from those which take place in a gravitational field.

무중력 상태에서 가속중인 우주선에서 발생한 사건과 중력장내에서 발생한 사건은 동일 → principle of equivalence

중력작용(중력질량 )

무중력상태( 관성질량 )

등가성의 원리에 의하면 빛도 중력의 지배를 받는다 .

그림 1.18 에서와 같이 , 빛이 그 실험실의 가속과 동등한 정도의 중력장의 영향을 받는다면 광선은 또한 같은 휘어진 궤적을 따를 것이라는 것을 나타낸다 .

1.10 General Relativity

Page 56: 제  1 장    Relativity

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별을 중심으로 태양이 멀어졌을 때와 가까이 있을 때 서로 찍은 사진을 비교해 보면 별들에서 방출된 빛이 태양중력장을 통과하면서 휘어진 정도를 확인할 수 있음 .

1919년 5월 29 일 개기일식 때 북브라질 소브랄과 서아프리카의 프린시페섬에서 각각 별의 위치를 관측

→ 빛의 구부러짐 증명

최근에는 행성탐사우주선에서 방출한 빛이태양의 중력장을 지나도록하여 빛의 경로가굽어지는

효과를 정확히 관측Figure 1.19 Starlight passing near the sun is deflected by its strong gravitational field.

1.10 General Relativity

Page 57: 제  1 장    Relativity

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Figure 1.20 A gravitational lens. Light and radio waves from a source such as a quasar are deviated by a massive object such as a galaxy so that seem to come from two or more identical sources. A number of such gravitational lenses have been identified.

1979년에 중력의 lens 작용이 발견됨 . 빛이 무거운 질량을 지날 때의 휘어짐으로 인해서 실제로는 하나인 Quasar 가 인접한 두 개의 Quaser 처럼 보였다 .

이후 , 여러 중력렌즈현상이 발견되었고 , 빛 파동에서뿐만 아니라 멀리 떨어져 있는 라디오에서도 같은 현상이 마찬가지로 일어난다 .

Because light is deflected in a gravitational field, a dense concentration of mass can act as a lens to produce multiple images of distance light

1.10 General Relativity

Page 58: 제  1 장    Relativity

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이중대부분은 다른 행성의 인력 때문이지만 43” 는 Vulcan 이라는 수성내에 발견되지 않은 행성에 의한 것이라고 가정 (오류 )

일반상대성이론에 의해 수성이태양에 가까워강한중력장 안에서 운동함 으로서 100 년에 43” 이동이예상된다

일반상대성 이론에 의해 광속으로 운동하는 중력파 ( gravitational wave ) 의 존재가 예측됨 .

1974년에 한 펄서가 다른 펄서 주위를 도는 두 인접한 별 시스템의 움직임으로 부터 강력한 중력파의 증거가 포착되었다 .

일반상대성이론에 의하면 이런 짝별계 (pulsar) 는 중력파를 내보내야만 하고 , 그 결과로 에너지가 감소하게 되어 서로를 향해 소용돌이 모양으로 돌아 들어가며 궤도주기가 감소하게 됨

Figure 1.21 The precession of the perihelion of Mercury’s orbit.

천문학에서 오랫동안 설명하지 못했던 행성궤도의 근일점 ( perihelion ) 행성 궤도상의 태양에 가장 가까운점

수성의 근일점은 100년에 1.6° 움직임

Other Finding of General RelativityOther Finding of General Relativity

1.10 General Relativity

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궤도주기가 매년 75ms씩 감소하는 것이 발견되었고 , 이 결과는 일반상대성이론에 의해 예측되는 결과와 너무나 가깝다 .

이로 인해 Joseph Talyor 와 Russd Hulse 는 gravitational radiation 을 확인하여 1993년도에 Nobel 상을 받음 .

훨씬 더 강력한 중력파원은 두 블랙홀이 충돌하거나 초신성이 폭팔하여 중심부가 중성자별로 붕괴하는 사건이 일어날 때 생길 것이다 . ( 제 9. 11 절 참조 )

1.10 General Relativity