ОБ-10, практикум, ч. 2

Задания для самостоятельнойподготовки к семинарам(080109.65, II семестр,

2010-2011)

Трахов И. Д.

23 мая 2011 г.

Содержание

К СЕМИНАРУ №1 3Функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

К СЕМИНАРУ №2 6Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

К СЕМИНАРУ №3 10I и II замечательные пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

К СЕМИНАРУ №4 13Сравнение бесконечно малых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

К СЕМИНАРУ №5 16Непрерывность функции. Предел последовательности . . . . . . . . 16

УПРАЖНЕНИЯ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ 19

К СЕМИНАРУ №7 22Вычисление производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

К СЕМИНАРУ №8 26Вычисление производных (окончание). Геометрический смысл про-

изводной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

К СЕМИНАРУ №9 32Дифференциал. Правило Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1

К СЕМИНАРУ №10 36Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции 36

К СЕМИНАРУ №11 40Исследование функций и построение их графиков . . . . . . . . . . 40

К СЕМИНАРУ №13 49Неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

К СЕМИНАРУ №14 52Неопределенный интеграл (продолжение) . . . . . . . . . . . . . . . 52

К СЕМИНАРУ №15 57Неопределенный интеграл (окончание) . . . . . . . . . . . . . . . . 57

К СЕМИНАРУ №16 63Определенный интеграл. Несобственные интегралы . . . . . . . . . 63

К СЕМИНАРУ №17 66Приложения определенных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . 66

К семинару №1 ОБс–10

Функция

П о д г о т о в к а к с е м и н а р у

1.1 Найти области существования следующих функций:

а) 𝑦 =𝑥− 1

𝑥2 − 7𝑥+ 12; б) 𝑦 =

1√𝑥− 2

;в) 𝑦 = tg 2𝑥;

г) 𝑦 = arcsin(𝑥2 + 2); д) 𝑦 = log2(𝑥−1)+𝑥2.(1)

I Р е ш е н и е. а) Заданная функция — дробная рациональная функция. Она определена привсех действительных значениях 𝑥, кроме тех, при которых знаменательно дроби 𝑥2−7𝑥+12 равеннулю, т. е. кроме значений 𝑥 = 3 и 𝑥 = 4 (эти значения найдены из уравнения 𝑥2 − 7𝑥 + 12 = 0).Область существования заданной функции состоит из трех интервалов: (−∞; 3), (3; 4) и (4;+∞).

б) Выражение√𝑥− 2 принимает действительные значения, когда 𝑥− 2 > 0, т. е. когда 𝑥 > 2.

Но при 𝑥 = 2 имеем 𝑥 − 2 = 0, знаменатель дроби обращается в нуль, дробь теряет числовойсмысл, а потому значение 𝑥 = 2 не может входить в область определения функции. Значит,функция существует при значениях 𝑥 > 2, область существования есть интервал (2;+∞).

в) Функция 𝑦 = tg 𝑥 определена при всех действительных значениях 𝑥, кроме 𝑥 = (2𝑘 + 1)𝜋2

,где 𝑘 — любое целое число. Значит, в нашем случае величина 2𝑥, стоящая после знака тангенса,не должна быть равна (2𝑘 + 1)𝜋

2, т. е. 2𝑥 = (2𝑘 + 1)𝜋

2, а 𝑥 = (2𝑘 + 1)𝜋

4. Таким образом, область

существования функции 𝑦 = tg 2𝑥 состоит из всех действительных чисел, кроме значений 𝑥 =(2𝑘 + 1)𝜋

4, где 𝑘 — любое действительное число.

г) Данное аналитическое выражение не определяет никакой функции, так как ни при одномзначении 𝑥 не имеют место неравенства −1 6 𝑥2 + 2 6 +1.

д) Областью существования функции 𝑦1 = log2(𝑥 − 1) является совокупность всех значений𝑥, удовлетворяющих неравенству 𝑥− 1 > 0, т. е. интервал (1;+∞).

Областью существования степенной функции 𝑦2 = 𝑥2 является интервал (−∞; +∞).Общей частью этих двух интервалов является интервал (1;+∞). Так, данная функция суще-

ствует для значений 1 < 𝑥 < +∞. J

1.2 Найти область существования функций:

а) 𝑦 =𝑥− 1

𝑥+ 1; б) 𝑦 =

𝑥2 − 1

2𝑥− 4; в) 𝑦 =

5𝑥2 − 7𝑥+ 12

𝑥2 − 1;

г) 𝑦 =√2− 𝑥; д) 𝑦 =

13√8− 𝑥

; е) 𝑦 =1√𝑥− 2

;

1.3 Найти область существования функций:а) 𝑦 =

√(𝑥− 2)(𝑥+ 3); б) 𝑦 = lg(2− 𝑥); в) 𝑦 = lg(𝑥2 − 3).

г) 𝑦 = arcsin(𝑥2 − 1

); д) 𝑦 = arccos(3𝑥− 6); е) 𝑦 = arcsin

√4𝑥− 3.

1.4 Найти область существования функций:а) 𝑦 =

√5− 𝑥+

√𝑥+ 3; б) 𝑦 =

√4 + 𝑥−

√𝑥+ 2 +

√15− 𝑥;

в) 𝑦 = 2𝑥3 + lg(𝑥− 1) +1

𝑥− 3.

(1)Если требуется найти область существования алгебраической суммы нескольких функций, то надо поступить так:1) Определить область существования каждой из слагаемых функций;2) Определить часть, общую для всех найденных областей. Эта общая часть и будет искомой.

3

1.5 Найти функции, обратные данным:а) 𝑦 = 3𝑥− 1; б) 𝑦 = 𝑥2;I Р е ш е н и е. а) Находим из данного уравнения 𝑥 в зависимости от 𝑦: 𝑥 = (𝑦+1)/3. Заменяя

в этом равенстве 𝑥 на 𝑦, а 𝑦 на 𝑥, получаем окончательно 𝑦 = (𝑥+ 1)/3.б) Из уравнения 𝑦 = 𝑥2 видно, что значения функции 𝑦 заполняют полуотрезок [0; +∞]. Если

это уравнение разрешить относительно 𝑥, то получим уравнение 𝑥 = ±√𝑦, из которого видно, что

каждому значению 𝑦 из полуотрезка [0; +∞) соответствует не одно, а два значения 𝑥 из интер-вала (−∞; +∞). Отсюда мы заключаем, что если функцию 𝑦 = 𝑥2 рассматривать на интервале(−∞; +∞), то для нее обратной функции не существует (𝑥 через 𝑦 выражается не однозначно).

Если будем рассматривать данную функцию 𝑦 = 𝑥2 только для положительных значений 𝑥 и𝑥 = 0, т. е. значений 𝑥 из полуотрезка [0; +∞), тогда 𝑥 = +

√𝑦, и каждому значению 𝑦 > 0, соот-

ветствует не два, а только одно значение 𝑥, обратная функция теперь существует и определяетсяуравнением 𝑦 = +

√𝑥.

Если данную функцию рассматривать только для значений 𝑥 6 0, то она и в этом случае будетиметь обратную функцию, определяемую уравнением 𝑦 = −

√𝑥. J

1.6 Найти функции, обратные данным:1) 𝑦 = sin(3𝑥− 1), где −

(𝜋6 −

13

)6 𝑥 6 +

(𝜋6 +

13

);

2) 𝑦 = arcsin𝑥

3, где −3 6 𝑥 6 3;

3) 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥+ 4; 4) 𝑦 =𝑥− 1

2− 3𝑥; 5) 𝑦 = 3sin𝑥;

6) 𝑦 = 2𝑥

𝑥−1 ; 7) 𝑦 = 5lg 𝑥 8) 𝑦 = cos2 𝑥− sin2 𝑥.

1.7 Найти область значений функции 𝑦 = 13 sin 2𝑥+4 cos 2𝑥 .

I Р е ш е н и е. Вынесем в знаменателе за скобку√32 + 42 = 5:

𝑦 =1

5(35sin 2𝑥+ 4

5cos 2𝑥

) .Полагая, что 3

5= cos 𝛽, 4

5= sin 𝛽 (это возможно, так как

(35

)2+(45

)2= 1), получим:

𝑦 =1

5(cos 𝛽 sin 2𝑥+ sin 𝛽 cos 2𝑥), или 𝑦 =

1

5 sin(2𝑥+ 𝛽).

Учитывая, что sin(2𝑥+𝛽) принимает все возможные значения на отрезке [−1; 1], или 5 sin(2𝑥++𝛽) на отрезке [−5; 5], найдем, что 𝑦 ∈

(−∞;−1

5

]∩[15; +∞

). J

1.8 Найти области значений функций:

1) 𝑦 = 5 sin 𝑥+ 2 cos𝑥; 2) 𝑦 = 𝑒𝑥2

2 ; 3) 𝑦 =3𝑥

1 + 𝑥2;

1.9 Указать, какие из следующих функций четные и какие нечетные:

1) 𝑓(𝑥) =sin𝑥

𝑥; 2) 𝜙(𝑥) =

𝑎𝑥 − 1

𝑎𝑥 + 1; 3) 𝐹 (𝑥) = 𝑎𝑥 +

1

𝑎2;

4) Φ(𝑥) = 𝑎𝑥 − 1

𝑎𝑥; 5) Ψ(𝑥) = 𝑥 sin2 𝑥− 𝑥3; 6) 𝑓1(𝑥) = 𝑥+ 𝑥2.

4

З а к р е п л е н и е п р о й д е н н о г о м а т е р и а л а

1.10 Найти области определения функций:

1) 𝑦 =√−𝑥+

√4 + 𝑥; 2) 𝑦 = arcsin 𝑥−1

2 ; 3) 𝑦 = 𝑥(2±√𝑥)

4 ;4) 𝑦 = −𝑥

√16−𝑥2

2 ; 5) 𝑦 = −√2 sin𝑥; 6) 𝑦 = ±𝑥

√4− 𝑥.

Ответы: 1) [−2;+∞); 2) [−3; 3]; 3) [0; 4]; 4) [−4; 0]; 5) [−1; 3]; 6) [0; +∞); 7) (−∞; 4];8) [2𝑘𝜋; (2𝑘 + 1)𝜋]; 9) [−4; 4].

1.11 Определить области существования следующих функций:

1) 𝑦 =√sin(

√𝑥); 2) 𝑦 =

√cos𝑥2; 3) 𝑦 = lg

(sin 𝜋

𝑥

);

4) 𝑦 =√𝑥

sin𝜋𝑥 ; 5) 𝑦 = arcsin 2𝑥1+𝑥 ; 6) 𝑦 = arccos(2 sin 𝑥);

Ответы: 1) 4𝑘2𝜋2 6 𝑥 6 (2𝑘 + 1)2𝜋2 (𝑘 = 0, 1, 2, . . .); 2) |𝑥| 6√

𝜋2

и√

𝜋2(4𝑘 − 1) 6

|𝑥| 6√

𝜋2(4𝑘 + 1) (𝑘 = 1, 2, . . .); 3) 1

2𝑘+1< 𝑥 < 1

2𝑘и − 1

2𝑘+1< 𝑥 < − 1

2𝑘+2(𝑘 = 0, 1, 2, . . .);

4) 𝑥 > 0, 𝑥 = 𝑛 (𝑛 = 1, 2, . . .).

1.12 Установить, какие из указанных ниже функций имеют обратные, найтисоответствующие обратные функции и их области определения:

1) 𝑦 = 𝑎𝑥+ 𝑏; 2) 𝑦 = (𝑥− 1)3; 3) 𝑦 = cos 2𝑥;4) 𝑦 = ln 2𝑥; 5) 𝑦 = 2

𝑥2 ; 6) 𝑦 = 1−𝑥

1+𝑥 .

Ответы: 2) 𝑦 = 3√𝑥 + 1, 𝐷 = (−∞; +∞); 3) обратная не существует; 4) 𝑦 = (1/2)𝑒𝑥,

𝐷 = (−∞; +∞); 5) 𝑦 = 2 log2 𝑥, 𝐷 = (0;+∞); 6) 𝑦 = 1−𝑥1+𝑥

, 𝑥 = −1.

1.13 Определить области существования и множества значений функций:1) 𝑦 =

√2 + 𝑥− 𝑥2; 2) 𝑦 = lg(1− 2 cos𝑥); 3) 𝑦 = arccos 2𝑥

1+𝑥2 ;4) 𝑦 = arcsin

(lg 𝑥

10

);

Ответы: 1) −1 6 𝑥 6 2, 0 6 𝑦 6 32; 2) 2𝑘𝜋 + 𝜋

3< 𝑥 < 2𝑘𝜋 + 5𝜋

3(𝑘 = 0,±1,±2, . . .), −∞ <

𝑦 6 lg 3; 3) −∞ < 𝑥 < +∞, 0 6 𝑦 6 𝜋; 4) 1 6 𝑥 6 100, −𝜋26 𝑦 6 𝜋

2.

1.14 Найти множества значений функций:

1) 𝑦 =√𝑥2 + 1; 2) 𝑦 = 4

√𝑥2 − 1; 3) 𝑦 =

√𝑥(4− 𝑥);

4) 𝑦 =√

9𝑥2+1𝑥 ; 5) 𝑦 = 𝑎𝑥+ 𝑏

𝑥 , (𝑎𝑏 > 0); 6) 𝑦 = 𝑎𝑥+ 𝑏𝑥 , (𝑎𝑏 < 0);

Ответы: 1) [1; +∞); 2) [0; +∞); 3) [0; 2]; 4) [√6;+∞); 5) (−∞;−2

√𝑎𝑏] ∪ [2

√𝑎𝑏; +∞); 6) R.

1.15 Доказать, что следующие функции четные:1) 𝑓(𝑥) = 3𝑥+3−𝑥

2 ; 2) 𝑓(𝑥) = 𝑥 tg 𝑥; 3) 𝑓(𝑥) = 3√𝑥2.

1.16 Доказать, что следующие функции нечетные:1) 𝑓(𝑥) = tg 𝑥; 2) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 2−𝑥; 3) 𝑓(𝑥) = 𝑥

𝑥2+1 .

1.17 Какие из указанных ниже функций четные, какие нечетные и какие из нихне обладают этими свойствами:

1) 𝑦 = 𝑥23𝑥; 2) 𝑦 = 𝑥− 𝑥3; 3) 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥+ 2;

4) 𝑦 = 𝑥3 + 2𝑥+ 1; 5) 𝑦 = sin2 𝑥; 6) 𝑦 = 𝑥𝑥−1 ;

7) 𝑦 = 𝑥𝑥2−1 ; 8) 𝑦 = 𝑥4 + 𝑥2 − 5;

Ответы: 5, 8 четные; 2 и 7 нечетные; 1, 3, 6 ни четные, ни нечетные.

5


Предел функции


2.1 Пользуясь определением предела функции в точке, доказать, что

lim𝑥→1/3

15𝑥2 − 2𝑥− 1

𝑥− 1/3= 8.

I Р е ш е н и е. Число 8 называется пределом функции 𝑓(𝑥) = 15𝑥2−2𝑥−1𝑥−1/3

в точке 𝑥 = 1/3,если

∀𝜀 > 0 ∃𝛿(𝜀) > 0: 0 <

𝑥− 1

3

< 𝛿(𝜀) =⇒

15𝑥2 − 2𝑥− 1

𝑥− 1/3− 8

< 𝜀.

Сначала решим неравенство15𝑥2−2𝑥−1

𝑥−1/3− 8< 𝜀:

15𝑥2 − 2𝑥− 1

𝑥− 1/3− 8

< 𝜀 ⇐⇒ |15𝑥+ 3− 8| = 15|𝑥− 1/3| < 𝜀 ⇐⇒ 0 <

𝑥− 1

3

<

𝜀

15

(так как в определении предела функции в точке 𝑥 = 1/3, т. е. 𝑥 − 1/3 = 0, то можно сократитьдробь на множитель 𝑥− 1/3). Таким образом, если 𝛿(𝜀) = 𝜀/15, то

0 <

𝑥− 1

3

< 𝛿(𝜀) =⇒

{1/3− 𝜀/15 < 𝑥 < 1/3 + 𝜀/15,

𝑥 = 1/3=⇒

=⇒ 𝑥 ∈(1

3− 𝜀

15,1

3

)⋃(1

3,1

3+

𝜀

15

)=⇒

15𝑥2 − 2𝑥− 1

𝑥− 1/3− 8

< 𝜀,

т. е. lim𝑥→1/315𝑥2−2𝑥−1

𝑥−1/3= 8. J

2.2 Пользуясь определением, доказать, что функция 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 + 5 непре-рывна в точке 𝑎 = 8.

I Р е ш е н и е. Вычисляем 𝑓(8) = 325.Функция 𝑓(𝑥) называется непрерывной в точке 𝑥 = 8, если

∀𝜀 > 0 ∃𝛿(𝜀) : |𝑥− 8| < 𝛿(𝜀) =⇒ |5𝑥2 + 5− 325| < 𝜀.

Это значит, что ∀𝜀 > 0 неравенство |𝑓(𝑥) − 325| < 𝜀 имеет решение |𝑥 − 8| < 𝛿(𝜀). Решимнеравенство |5𝑥2 + 5− 325| < 𝜀 (считая, что 𝜀 < 320):

|5𝑥2 − 320| < 𝜀 ⇐⇒ 64− 𝜀

5< 𝑥2 < 64 +

𝜀

5⇐⇒

√64− 𝜀

5< 𝑥 <

√64 +

𝜀

5.

Таким образом, 𝑥 ∈(√

64− 𝜀/5;√

64 + 𝜀/5)=⇒ |5𝑥2 + 5− 325| < 𝜀.

Следовательно, если 𝛿(𝜀) = min{8−

√64− 𝜀/5;

√64 + 𝜀/5− 8

}=√

64 + 𝜀/5 = 8, то

|𝑥− 8| < 𝛿(𝜀) =⇒ 𝑥 ∈(√

64− 𝜀/5;√

64 + 𝜀/5)=⇒ |5𝑥2 + 5− 325| < 𝜀,

т. е. функция 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 + 5 непрерывна в точке 𝑥 = 8. J

6

2.3 Пользуясь определением предела функции в точке, доказать равенства:

а) lim𝑥→−3

2𝑥2 + 11𝑥+ 15

𝑥+ 3= −1. б) lim

𝑥→−2

3𝑥2 + 2𝑥− 8

𝑥+ 2= −10.

в) lim𝑥→−1/2

6𝑥2 + 5𝑥− 1

𝑥+ 1/2= −1. г) lim

𝑥→−1/3

9𝑥2 + 12𝑥+ 3

𝑥+ 1/3= 6.

Ответы: а) 𝛿(𝜀) = 𝜀/2. б) 𝛿(𝜀) = 𝜀/3. в) 𝛿(𝜀) = 𝜀/6. г) 𝛿(𝜀) = 𝜀/9.

2.4 Пользуясь определением, доказать, что 𝑓(𝑥) непрерывна в точке 𝑎.а) 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 − 1, 𝑎 = 2. б) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 2, 𝑎 = 3.в) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 5, 𝑎 = 1. г) 𝑓(𝑥) = −5𝑥2 − 7, 𝑎 = 2.Ответы: а) 𝛿(𝜀) =

√4 + 𝜀/4 − 2. б) 𝛿(𝜀) =

√9 + 𝜀/3 − 3. в) 𝛿(𝜀) =

√1 + 𝜀 − 1.

г) 𝛿(𝜀) =√4 + 𝜀/5− 2.

2.5 Вычислить пределы:

а) lim𝑥→1

𝑥2 − 4

𝑥2 − 𝑥− 2. б) lim

𝑥→2

𝑥2 − 4

𝑥2 − 𝑥− 2;

в) lim𝑥→∞

𝑥2 − 4

𝑥2 − 2𝑥− 2; г) lim

𝑥→−1

𝑥2 − 4

𝑥2 − 𝑥− 2.

I Р е ш е н и е. а) Пределы числителя и знаменателя равны соответственно lim𝑥→1(𝑥2 − 4) =

= 12− 4 = −3 и lim𝑥→1(𝑥2−𝑥− 2) = −2 = 0. Так как предел знаменателя не равен нулю, можем

применить теорему о пределе частного:

lim𝑥→1

𝑥2 − 4

𝑥2 − 𝑥− 2=

lim𝑥→1(𝑥2 − 4)

lim𝑥→1(𝑥2 − 𝑥− 2)=

−3

−2=

3

2.

б) Так как числитель 𝑥2 − 4 и знаменатель 𝑥2 − 𝑥 − 2 дроби имеют предел в точке 𝑥 = 2,равный нулю

(в этом случае говорят, что имеет место неопределенность вида 0

0

), то теорема о

пределе частного непосредственно неприменима. Для «раскрытия неопределенности» преобра-зуем данную функцию. Разделим числитель и знаменатель на 𝑥−2 и применим теорему о пределечастного. Получим

lim𝑥→2

𝑥2 − 4

𝑥2 − 𝑥− 2= lim

𝑥→2

(𝑥− 2)(𝑥+ 2)

(𝑥− 2)(𝑥+ 1)= lim

𝑥→2

𝑥+ 2

𝑥+ 1=

lim𝑥→2(𝑥+ 2)

lim𝑥→2(𝑥+ 1)=

4

3.

в) Числитель и знаменатель при 𝑥 → ∞ являются бесконечно большими функциями. Поэтомутеорема о пределе частного непосредственно неприменима. Разделим числитель и знаменательна 𝑥2 и к полученной функции применим теорему о пределе частного:

lim𝑥→∞

𝑥2 − 4

𝑥2 − 𝑥− 2= lim

𝑥→∞

1− 4/𝑥2

1− 1/𝑥− 2/𝑥2=

lim𝑥→∞(1− 4/𝑥2)

lim𝑥→∞(1− 1/𝑥− 2/𝑥2)= 1.

г) Представим выражение под знаком предела в виде 𝑥2−4𝑥2−𝑥−2

= 1𝑔(𝑥)

, где 𝑔(𝑥) = 𝑥2−𝑥−2𝑥2−4

.

Найдем предел

lim𝑥→−1

𝑔(𝑥) = lim𝑥→−1

𝑥2 − 𝑥− 2

𝑥2 − 4=

lim𝑥→−1 (𝑥2 − 𝑥− 2)

lim𝑥→−1 (𝑥2 − 4)=

0

−3= 0,

то есть функция 𝑔(𝑥) является бесконечно малой при 𝑥 → −1. Тогда по теореме о связи бес-конечно малых и бесконечно больших функций функция 𝑓(𝑥) = 1/𝑔(𝑥) является бесконечнобольшой при 𝑥 → −1, т. е. lim𝑥→−1

𝑥2−4𝑥2−𝑥−2

= ∞. J

7


а) lim𝑥→2

𝑥2 + 4𝑥− 5

𝑥2 − 1; б) lim

𝑥→1

𝑥2 + 4𝑥− 5

𝑥2 − 1;

в) lim𝑥→−2

𝑥3 + 3𝑥2 + 2𝑥

𝑥2 − 𝑥− 6; г) lim

𝑥→1

𝑥2 + 𝑥− 2

2𝑥2 − 𝑥− 1;

Ответы: а) 7/3; б) 3; в) −2/5; г) 1;


а) lim𝑥→0

𝑥7 + 5𝑥6 + 4𝑥3

𝑥7 + 2𝑥3; б) lim

𝑥→7

2𝑥2 − 11𝑥− 21

𝑥2 − 9𝑥+ 14;

в) lim𝑥→1

𝑥4 − 𝑥3 + 𝑥2 − 3𝑥+ 2

𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥+ 1; г) lim

𝑥→1

𝑥4 − 2𝑥+ 1

𝑥8 − 2𝑥+ 1;

Ответы: а) 2; б) 17/5; в) 2; г) 1/3.


а) lim𝑥→𝑎

𝑥− 𝑎√𝑥−

√𝑎, 𝑎 > 0. б) lim

𝑥→5

√𝑥+ 11− 2

√𝑥− 1

𝑥2 − 25.

в) lim𝑥→0

5√32 + 𝑥− 2

𝑥. г) lim

𝑥→∞

(√𝑥4 + 8𝑥2 + 3−

√𝑥4 − 𝑥2

).

I Р е ш е н и е. а) Здесь имеет место неопределенность вида 00. Преобразуем данную функ-

цию, разложив ее числитель на множители и учтем непрерывность функции√𝑥 в точке 𝑎:

lim𝑥→𝑎

𝑥− 𝑎√𝑥−

√𝑎= lim

𝑥→𝑎

(√𝑥−

√𝑎)(

√𝑥+

√𝑎)√

𝑥−√𝑎

= lim𝑥→𝑎

(√𝑥+

√𝑎) = lim

𝑥→𝑎

√𝑥+

√𝑎 = 2

√𝑎.

б) Для «раскрытия неопределенности» вида 00

умножим и разделим данную функцию на вы-ражение, сопряженное числителю, т. е. на

√𝑥+ 11 + 2

√𝑥− 1. Тогда при 𝑥 = 5 будем иметь

√𝑥+ 11− 2

√𝑥− 1

𝑥2 − 25=

𝑥+ 11− 4(𝑥− 1)

(𝑥2 − 25)(√𝑥+ 11 + 2

√𝑥− 1)

= − 3

(𝑥+ 5)(√𝑥+ 11 + 2

√𝑥− 1)

.

К полученной функции применима теорема о пределе частного, поэтому

lim𝑥→5

√𝑥+ 11− 2

√𝑥− 1

𝑥2 − 25= − 3

lim𝑥→5(𝑥+ 5)(√𝑥+ 11 + 2

√𝑥− 1)

= − 3

80.

При вычислении последнего предела мы воспользовались непрерывностью функции√𝑥 в

точках 𝑥 = 16 и 𝑥 = 4.в) Здесь удобно ввести новую переменную. Положим 𝑦 = 5

√32 + 𝑥, тогда получим

lim𝑥→0

5√32 + 𝑥

𝑥= lim

𝑦→2

𝑦 − 2

𝑦5 − 32= lim

𝑦→2

1

𝑦4 + 2𝑦3 + 4𝑦2 + 8𝑦 + 16=

1

80.(2)

(2)Здесь потребовалось знаменатель 𝑦5− 32 разделить на 𝑦− 2. Это можно сделать либо делением «уголком», либос помощью схемы Горнера:

1 0 0 0 0 −322 1 2 4 8 16 0

В последней строке таблицы коэффициенты при степенях частного. Т. е. 𝑦5−32 = (𝑦−2)(𝑦4+2𝑦3+4𝑦2+8𝑦+16).

8

г) В данном случае имеет место неопределенность вида ∞−∞. Преобразуем данную функциюследующим образом:

√𝑥4 + 8𝑥2 + 3−

√𝑥4 + 𝑥2 =

𝑥4 + 8𝑥2 + 3− (𝑥4 + 𝑥2)√𝑥4 + 8𝑥2 + 3 +

√𝑥4 + 𝑥2

=7 + 3/𝑥2√

1 + 8/𝑥2 + 3/𝑥4 +√

1 + 1/𝑥2.

Так как lim𝑥→∞ (7 + 3/𝑥2) = 7, lim𝑥→∞√

1 + 8/𝑥2 + 3/𝑥4 =√lim𝑥→∞ (1 + 8/𝑥2 + 3/𝑥4) = 1,

lim𝑥→∞√

1 + 1/𝑥2 = 1, то получаем lim𝑥→∞(√𝑥4 + 8𝑥2 + 3−

√𝑥4 + 𝑥2) = 7/2. J


а) lim𝑥→4

√1 + 2𝑥− 3√

𝑥− 2. б) lim

𝑥→−8

√1− 𝑥− 3

2 + 3√𝑥

.

в) lim𝑥→3

√𝑥+ 13− 2

√𝑥+ 1

𝑥2 − 9. г) lim

𝑥→−2

3√𝑥− 6 + 2

𝑥3 + 8.

Ответы: а) 4/3. б) −2. в) −1/16. г) 1/144.


а) lim𝑥→3

𝑥2 + 𝑥− 12√𝑥− 2−

√4− 𝑥

. б) lim𝑥→−4

√𝑥+ 12−

√4− 𝑥

𝑥2 + 2𝑥− 8.

в) lim𝑥→−3

√𝑥+ 10−

√4− 𝑥

2𝑥2 − 𝑥− 21. г) lim

𝑥→−2

√2− 𝑥−

√𝑥+ 6

𝑥2 − 𝑥− 6.

Ответы: а) 7. б) − 112

√2. в) − 1

13√7. г) 1

10.


а) lim𝑥→6

√𝑥− 2− 2

𝑥− 6. б) lim

𝑥→0

𝑥3√1 + 𝑥− 1

.

в) lim𝑥→1

1− 3√𝑥

1− 5√𝑥. г) lim

𝑥→0

2√𝑥2 + 𝑥+ 1− 2− 𝑥

𝑥2.

д) lim𝑥→5

√6− 𝑥− 1

3−√4 + 𝑥

. е) lim𝑥→2

√7 + 2𝑥− 𝑥2 −

√1 + 𝑥+ 𝑥2

2𝑥− 𝑥2.

ж) lim𝑥→0

3√𝑥+ 8− 2√1 + 2𝑥− 1

. з) lim𝑥→−8

3√9 + 𝑥+ 𝑥+ 73√15 + 2𝑥+ 1

.

Ответы: а) 1/4. б) 3. в) 5/3. г) 3/4. д) 3. е)√7/4. ж) −1/3. з) 1/12.


а) lim𝑥→∞

(√

𝑥2 − 1−√

𝑥2 + 1);

б) lim𝑥→∞

(√

𝑥4 + 2𝑥2 − 1−√

𝑥4 − 2𝑥2 − 1);

в) lim𝑥→∞

(√

4𝑥4 + 13𝑥2 − 7− 2𝑥2);

г) lim𝑥→∞

(3√

𝑥3 + 3𝑥2 + 4𝑥− 3√

𝑥3 − 3𝑥2 + 4).

Ответы: а) 0. б) 2. в) 13/4. г) 2.

9


I и II замечательные пределы


При решении следующих примеров будем пользоваться пределами

lim𝑥→0

sin𝑥

𝑥= 1, lim

𝑥→∞

(1 +

1

𝑥

)𝑥

= 𝑒.


а) lim𝑥→0

tg 𝑥− sin𝑥

𝑥3. б) lim

𝑥→0

sin 2𝑥

sin 3𝑥.

в) lim𝑥→1

(1− 𝑥) tg𝜋𝑥

2. г) lim

𝑥→0

arctg 𝑥

𝑥.

I Р е ш е н и е. а) Предел числителя и знаменателя равен нулю, имеет место неопределен-ность вида

(00

). В подобных примерах нужно преобразовать дробь так, чтобы решение сводилось

к отысканию известного предела lim𝑥→0sin𝑥𝑥

= 1.Решаем:

lim𝑥→0

tg 𝑥− sin𝑥

𝑥3=

(0

0

)= lim

𝑥→0

sin(

1cos𝑥

− 1)

𝑥3= lim

𝑥→0

sin𝑥(1− cos𝑥)

𝑥3 · cos𝑥= lim

𝑥→0

sin𝑥 · 2 sin2 𝑥2

cos𝑥 · 𝑥2=

= lim𝑥→0

(sin𝑥

𝑥· 1

cos𝑥· 24·sin2 𝑥

2𝑥2

4

)= lim

𝑥→0

sin𝑥

𝑥· lim𝑥→0

1

cos𝑥· lim𝑥→0

[1

2

(sin 𝑥

2𝑥2

)2]= 1 ·1 ·

(1

2· 1)

=1

2,

так как lim𝑥→0sin(𝑥/2)

𝑥/2= 1 и lim𝑥→0

sin𝑥𝑥

= 1.

б) В результате преобразований будем иметь:

lim𝑥→0

sin 2𝑥

sin 3𝑥=

(0

0

)= lim

𝑥→0

sin 2𝑥2𝑥

· 2𝑥sin 3𝑥3𝑥

· 3𝑥=

2

3· lim𝑥→0

sin 2𝑥2𝑥

sin 3𝑥3𝑥

=2

3·lim𝑥→0

sin 2𝑥2𝑥

lim𝑥→0sin 3𝑥3𝑥

=2

3· 11=

2

3,

так как lim𝑥→0sin 2𝑥2𝑥

= 1 и lim𝑥→0sin 3𝑥3𝑥

= 1.

в) Предел второго множителя не существует, а потому нельзя применить теорему о пределепроизведения. Введем новую переменную 𝑦 так, чтобы при 𝑥 → 1 переменная 𝑦 → 0. Для этогоположим 1− 𝑥 = 𝑦, 𝑥 = 1− 𝑦.

Заменяя переменную, получим:

lim𝑥→1

(1− 𝑥) tg𝜋𝑥

2= lim

𝑦→0𝑦 tg

𝜋(1− 𝑦)

2= lim

𝑦→0𝑦 tg

(𝜋2− 𝜋𝑦

2

)= lim

𝑦→0𝑦 ctg

𝜋𝑦

2=

= lim𝑦→0

𝑦 · cos 𝜋𝑦2

sin 𝜋𝑦2

= lim𝑦→0

2

𝜋

( 𝜋𝑦2

sin 𝜋𝑦2

)cos

𝜋𝑦

2=

2

𝜋· 1 · 1 =

2

𝜋,

так как lim𝑦→0(𝜋𝑦/2)

sin(𝜋𝑦/2)= 1.

г) Перейдем к новой переменной 𝑦 = arctg 𝑥, тогда получим

lim𝑥→0

arctg 𝑥

𝑥= lim

𝑦→0

𝑦

tg 𝑦= lim

𝑦→0

𝑦sin 𝑦cos 𝑦

= lim𝑦→0

cos 𝑦sin 𝑦𝑦

=lim𝑦→0 cos 𝑦

lim𝑦→0sin 𝑦𝑦

= 1.

Здесь была учтена непрерывность функции cos 𝑦 в точке 𝑦 = 0. J

10


а) lim𝑥→0

1− cos 8𝑥

3𝑥2. б) lim

𝑥→0

sin 3𝑥− sin𝑥

5𝑥.

в) lim𝑥→0

𝑥 ctg 5𝑥. г) lim𝑥→0

sin 7𝑥+ sin 3𝑥

𝑥 sin𝑥Ответы: а) 32/3. б) 2/5. в) 1/5. г) ∞.


а) lim𝑥→0

1− cos 5𝑥

2𝑥2. б) lim

𝑥→0

arctg 2𝑥

tg 3𝑥.

в) lim𝑥→0

1− cos 4𝑥

𝑥 sin𝑥. г) lim

𝑥→0

arcsin 5𝑥

𝑥2 − 𝑥.

Ответы: а) 25/4. б) 2/3. в) 8. г) −5.


а) lim𝑥→𝜋/4

√2 cos𝑥− 1

1− tg2 𝑥. б) lim

𝑥→0

√cos𝑥− 1

𝑥2.

в) lim𝛼→0

sin 2𝛼− tg 2𝛼

𝛼3. г) lim

𝑥→1(1− 𝑥) tg

𝜋𝑥

2.

Ответы: а) 1/4. б) −1/4. в) −4. г) 2/𝜋.

В следующих задачах используются также и следствия II замечательного пре-дела, которые полезно запомнить (но и легко вывести):

lim𝛼→0

(1 +𝑚𝛼)𝑘𝛼 = 𝑒𝑚𝑘, (3.1)

lim𝛼→0

𝛼𝑚𝛼 − 1

𝛼= 𝑚 ln𝛼, (3.2)

lim𝛼→0

log𝑎(1 +𝑚𝛼)

𝛼=

𝑚

ln𝛼. (3.3)


а) lim𝑥→∞

(𝑥− 1

𝑥+ 2

)2𝑥+1

. б) lim𝑥→0

(1 + 𝑘 sin𝑥)𝑚

sin 𝑥 .

в) lim𝑥→2

(2𝑥− 3)𝑥

𝑥−2 . г) lim𝑥→∞

(2𝑥− 7)[ln(3𝑥+ 4)− ln 3𝑥].

I Р е ш е н и е. а) lim𝑥→∞(𝑥−1𝑥+2

)2𝑥+1= (1∞) — неопределенность. Перепишем:

𝑥− 1

𝑥+ 2=

𝑥+ 2− 3

𝑥+ 2= 1− 3

𝑥+ 2

и заменим 1𝑥+2

= 𝛼, 𝑥 = 1𝛼− 2, 2𝑥+ 1 = 2

𝛼− 3; если 𝑥 → ∞, то 𝛼 → 0. Получаем:

lim𝑥→∞

(𝑥− 1

𝑥+ 2

)2𝑥+1

= lim𝛼→0

(1− 3𝛼)2𝛼−3 = lim

𝛼→0(1− 3𝛼)

2𝛼 · (1− 3𝛼)−3 =

= lim𝛼→0

(1− 3𝛼)2𝛼 · lim

𝛼→0(1− 3𝛼)−3 lim

𝛼→0(1− 3𝛼)

−13𝛼

3𝛼−1

2𝛼 · 1 = 𝑒−6 =

1

𝑒6.

11

б) lim𝑥→0

(1 + 𝑘 sin𝑥)𝑚

sin 𝑥 = (1∞) ={Пусть 𝑘 sin𝑥 = 𝛼. Тогда sin𝑥 = 𝛼

𝑘 и𝑚

sin 𝑥 = 𝑚𝑘𝛼 и если 𝑥 → 0, то 𝛼 → 0

}= lim

𝛼→0(1 + 𝛼)

𝑚𝑘𝛼 = 𝑒𝑚𝑘.

в) lim𝑥→2

(2𝑥− 3)𝑥

𝑥−2 = (1∞) ={

Положим 2𝑥−3 = 1+𝛼. Если 𝑥 → 2, то𝛼 → 0. При этом 𝑥 = 4+𝛼

2 ; 𝑥𝑥−2 = 4

𝛼 +1

}=

= lim𝛼→0

(1 + 𝛼)4𝛼+1 = lim

𝛼→0(1 + 𝛼)

4𝛼 · lim

𝛼→0(1 + 𝛼) = 𝑒4.

г) lim𝑥→∞

(2𝑥− 7)[ln(3𝑥+ 4)− ln 3𝑥] = lim𝑥→∞

ln 3𝑥+43𝑥1

2𝑥−7

=

(0

0

)=

=

{Положим 3𝑥+4

3𝑥 = 1 + 𝛼 (𝛼 → 0). Отсюда 𝑥 = 43𝛼 ,

2𝑥− 7 = 83𝛼 − 7 = 8−21𝛼

3𝛼 ; 12𝑥−7 = 3𝛼

8−21𝛼

}=

= lim𝛼→0

ln(1 + 𝛼)3𝛼

8−21𝛼

= lim𝛼→0

ln(1 + 𝛼)

𝛼· lim𝛼→0

8− 21𝛼

3=

8

3,

так как lim𝛼→0ln(1+𝛼

𝛼= 1. J


а) lim𝑥→∞

(𝑥+ 4

𝑥+ 8

)−3𝑥

. б) lim𝑥→∞

(𝑥

𝑥+ 1

)2𝑥−3

.

в) lim𝑥→∞

(2𝑥

1 + 2𝑥

)−4𝑥

. г) lim𝑥→∞

(𝑥− 1

𝑥

)2−3𝑥

.

Ответы: а) 𝑒12. б) 1/𝑒2. в) 𝑒2. г) 𝑒3.


а) lim𝑥→∞

(1− 1

𝑥2

)𝑥

. б) lim𝑥→0

(1 + 3𝑥)1/𝑥.

в) lim𝑥→𝜋/2

(sin𝑥)tg 𝑥. г) lim𝑥→0

(cos𝑥)1/𝑥2

.

Ответы: а) 1. б) 𝑒3. в) 1. г) 1√𝑒.


а) lim𝑥→∞

(𝑥+ 3

𝑥+ 2

)𝑥

. б) lim𝑥→0

(cos𝑥)3/𝑥2

.

в) lim𝑥→0

1

𝑥ln

√1 + 𝑥

1− 𝑥. г) lim

𝑥→0

(sin𝑥

𝑥

) sin 𝑥𝑥 sin 𝑥

.

Ответы: а) 1. б) 𝑒−3/2. в) 1. г) 1.

12


Сравнение бесконечно малых


4.1 Пусть 𝑓(𝑥) =√

𝑥+√𝑥. Доказать, что 𝑓(𝑥) ∼ 4

√𝑥 при 𝑥 → +0 и 𝑓(𝑥) ∼√

𝑥 при 𝑥 → +∞.I Р е ш е н и е. Так как

lim𝑥→+0

√𝑥+

√𝑥

4√𝑥

= lim𝑥→+0

√1 +

√𝑥 = 1,

то 𝑓(𝑥) ∼ 4√𝑥 при 𝑥 → +0.

Так как

lim𝑥→+∞

= lim𝑥→+∞

√𝑥+

√𝑥√

𝑥= lim

𝑥→+∞

√1 +

1√𝑥= 1,

то 𝑓(𝑥) ∼√𝑥 при 𝑥 → +∞. J

4.2 Определить, какие из указанных функций при 𝑥 → 0 будут бесконечномалыми одного порядка, высшего порядка, низшего порядка по сравнению с 𝑥:

а) 𝛼1(𝑥) = 2𝑥. б) 𝛼2(𝑥) = sin 𝑥3.в) 𝛼3(𝑥) =

3√tg 𝑥. г) 𝛼4(𝑥) = cos 𝑥− 1.

д) 𝛼5(𝑥) =2sin𝑥 − 1

ln 2. е) 𝛼6(𝑥) =

√9 + 𝑥− 3.

Ответ: 𝛼1, 𝛼6 — бесконечно малые одного порядка с 𝑥 → 0;𝛼2, 𝛼4 — бесконечно малые более высокого порядка, чем 𝑥;𝛼5 — эквивалентная с 𝑥 бесконечно малая функция.

4.3 Доказать, что функции 𝑓(𝑥) и 𝜙(𝑥) при 𝑥 → 0 являются бесконечно ма-лыми одного порядка малости:

а) 𝑓(𝑥) = tg 2𝑥, 𝜙(𝑥) = arcsin 𝑥. б) 𝑓(𝑥) = 1− cos𝑥, 𝜙(𝑥) = 3𝑥2.в) 𝑓(𝑥) = arctg2 3𝑥, 𝜙(𝑥) = 4𝑥2. г) 𝑓(𝑥) = sin 3𝑥− sin𝑥, 𝜙(𝑥) = 5𝑥.

Для вычисления пределов можно использовать следующую таблицу беско-нечно малых функций, эквивалентных при 𝑥 → 0.1∘. sin𝑥 ∼ 𝑥 2∘. tg 𝑥 ∼ 𝑥3∘. arcsin𝑥 ∼ 𝑥 4∘. arctg 𝑥 ∼ 𝑥

5∘. 1− cos𝑥 ∼ 𝑥2

2 6∘. 𝑒𝑥 − 1 ∼ 𝑥7∘. 𝑎𝑥 − 1 ∼ 𝑥 ln 𝑎 (𝑎 > 0, 𝑎 = 1) 8∘. ln(1 + 𝑥) ∼ 𝑥9∘. log𝑎(1 + 𝑥) ∼ 𝑥

ln 𝑎 (𝑎 > 0, 𝑎 = 1) 10∘. (1 + 𝑥)𝑚 − 1 ∼ 𝑚𝑥 (𝑚 > 0).


а) lim𝑥→0

sin 3𝑥

tg 5𝑥. б) lim

𝑥→0

tg 𝑥− sin𝑥

𝑥3.

в) lim𝑥→𝜋

cos 3𝑥− cos𝑥

tg2 2𝑥. г) lim

𝑥→1

(2𝑥− 1

𝑥

)ln(3+2𝑥)/ ln(2−𝑥)

.

13

I Р е ш е н и е. а) Так как при 𝑥 → 0 функции sin 3𝑥 и 3𝑥 — эквивалентные бесконечно малые(sin 3𝑥 ∼ 3𝑥) и tg 5𝑥 ∼ 5𝑥, то

lim𝑥→0

sin 3𝑥

tg 5𝑥=

sin 3𝑥 ∼ 3𝑥tg 5𝑥 ∼ 5𝑥

= lim

𝑥→0

3𝑥

5𝑥=

3

5.

б) Так как sin𝑥 ∼ 𝑥 и 1− cos𝑥 = 2 sin2 𝑥2∼ 𝑥2

2, то

lim𝑥→0


𝑥3 cos𝑥= lim

𝑥→0


𝑥3lim𝑥→0

1

cos𝑥= 0

sin𝑥 ∼ 𝑥

1− cos𝑥 ∼ 𝑥2

2

= lim

𝑥→0

𝑥 · 𝑥2

2

𝑥3· 1 =

1

2.

в) Выражение под знаком предела является отношением двух бесконечно малых функций при𝑥 → 𝜋. Нужно заменить эти бесконечно малые функции эквивалентными. Но таблица эквива-лентных бесконечно малых составлена для точки 𝑥 = 0. Поэтому сначала сделаем замену:

lim𝑥→𝜋


tg2 2𝑥=

𝑥− 𝜋 = 𝑡,𝑥 → 𝜋, то 𝑡 → 0

= lim

𝑡→0

cos 3(𝜋 + 𝑡)− cos(𝜋 + 𝑡)

tg2 2(𝜋 + 𝑡).

Используя тригонометрические формулы и заменяя в произведении и частном бесконечно ма-лые функции эквивалентными, получим

lim𝑡→0

cos 3(𝜋 + 𝑡)− cos(𝜋 + 𝑡)

tg2 2(𝜋 + 𝑡)= lim

𝑡→0

cos 𝑡− cos 3𝑡

tg2 2𝑡= lim

𝑡→0

−2 sin 2𝑡 sin(−𝑡)

tg2 2𝑡= lim

𝑡→0

2 · 2𝑡 · 𝑡4𝑡2

= 1.

г) Чтобы использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых, сделаем замену перемен-ной 𝑡 = 𝑥− 1 (тогда 𝑡 → 0 при 𝑥 → 1) и преобразуем выражение под знаком предела:

lim𝑥→1

(2𝑥− 1

𝑥

)ln(3+2𝑥)/ ln(2−𝑥)

= lim𝑡→0

(2𝑡+ 1

𝑡+ 1

)ln(5+2𝑡)/ ln(1−𝑡)

= lim𝑡→0

exp

[ln(5 + 2𝑡)

ln(1− 𝑡)ln

2𝑡+ 1

𝑡+ 1

].

Поскольку функция 𝑒𝑥 непрерывна, можно перейти к пределу под знаком этой функции. Имеем

lim𝑡→0

exp

[ln(5 + 2𝑡)

ln(1− 𝑡)ln

2𝑡+ 1

𝑡+ 1

]= exp

[lim𝑡→0

ln(5 + 2𝑡)

ln(1− 𝑡)ln

2𝑡+ 1

𝑡+ 1

].

Вычислим предел показателя, заменяя бесконечно малые функции эквивалентными:

lim𝑡→0

[ln(5 + 2𝑡)

ln(1− 𝑡)ln

2𝑡+ 1

𝑡+ 1

]= lim

𝑡→0

[ln(5 + 2𝑡)

ln(1− 𝑡)ln

(1 +

𝑡

𝑡+ 1

)]= lim

𝑡→0

𝑡 ln(5 + 2𝑡)

−𝑡(𝑡+ 1)= − ln 5.

Окончательно получаем lim𝑥→1

(2𝑥−1𝑥

)ln(3+2𝑥)/ ln(2−𝑥)= 𝑒− ln 5 = 1

5. J

З а м е ч а н и е . Необходимо обратить особое внимание на то, что в случаях, когда в числи-теле или в знаменателе (или и в числителе и в знаменателе) стоит сумма (или разность) беско-нечно малых функций, то при вычислении предела, вообще говоря, нельзя заменять отдельныеслагаемые эквивалентными функциями. Такая замена может привести к неверному результату. Впримере 4.4 а) при замене tg 𝑥 на 𝑥 и sin𝑥 на 𝑥 получили бы 0

𝑥3 , откуда следовало бы, что пределфункции равен 0, что неверно. Это хорошо иллюстрирует следующий пример:

lim𝑥→0

ln(1 + 𝑥+ 𝑥2) + ln(1− 𝑥+ 𝑥2)

𝑥2= lim

𝑥→0

ln(1 + 𝑥+ 𝑥2)(1− 𝑥+ 𝑥2)

𝑥2=

=

ln[1 + (𝑥+ 𝑥2)] ∼ 𝑥+ 𝑥2,ln[1 + (−𝑥+ 𝑥2)] ∼ −𝑥+ 𝑥2

= lim

𝑥→0

ln(1 + 𝑥2 + 𝑥4)

𝑥2= lim

𝑥→0

𝑥2 + 𝑥4

𝑥2= 1.

14

Если бы мы заменили в числителе каждый логарифм через эквивалентную бесконечно малуюфункцию и перешли к пределу, то получили бы неверный ответ:

lim𝑥→0

𝑥+ 𝑥2 − 𝑥+ 𝑥2

𝑥2= lim

𝑥→0

2𝑥2

𝑥2= 2,

что, как мы уже знаем, неверно.


а) lim𝑥→0

ln(1 + sin 2𝑥)

sin 3𝑥. б) lim

𝑥→0

3𝑥2 + 6

sin 3𝑥.

в) lim𝑥→0

5𝑥 − 1

ln(1 + 𝑥). г) lim

𝑥→0

1− cos 2𝑥

cos 5𝑥− cos 3𝑥.

д) lim𝑥→0

1− cos 2𝑥

𝑒2𝑥2 − 1. е) lim

𝑥→0

√9 + 𝑥− 3

3 arctg 2𝑥.

Ответы: а) 2/3. б) 2. в) ln 5. г) −1/4. д) 1. е) 1/36.


а) lim𝑥→1

𝑥3 − 1

ln𝑥. б) lim

𝑥→𝜋

1 + cos 5𝑥

sin2 3𝑥.

в) lim𝑥→1/2

1 + cos 2𝜋𝑥

tg2 2𝜋𝑥. г) lim

𝑥→2

sin 3𝜋𝑥

sin 8𝜋𝑥.

д) lim𝑥→2

√𝑥2 − 𝑥− 1− 1

ln(𝑥− 1). е) lim

𝑥→1

1− 𝑥3

sin 𝜋𝑥.

Ответы: а) 3. б) 25/18. в) 1/2. г) 3/8. д) 3/2. е) 3/𝜋.


а) lim𝑥→0

(1 + 𝑥3𝑥

1 + 𝑥2𝑥

)1/𝑥2

. б) lim𝑥→0

(1 + 𝑥23𝑥

1 + 𝑥24𝑥

)1/ tg3 𝑥

.

в) lim𝑥→0

(1 + sin 𝑥 cos 3𝑥

1 + sin 𝑥 cos 2𝑥

)1/ sin3 𝑥

. г) lim𝑥→0

(1− ln cos𝑥)1/ sin2 𝑥.

д) lim𝑥→0

(2− 5sin2 𝑥)1/𝑥

2

. е) lim𝑥→0

(1 + sin2 𝑥)1/ ln cos𝑥.

Ответы: а) 3/2. б) 3/4. в) 𝑒−5/2. г) 𝑒1/2. д) 1/5. е) 𝑒−2.


а) lim𝑥→2

(4− 𝑥

2

)tg(𝜋𝑥/4)

. б) lim𝑥→1

(sin𝑥

sin 1

)1/(𝑥−1)

.

в) lim𝑥→3

(cos𝑥cos 3

)1/(𝑥−3)

. г) lim𝑥→1

(2− 𝑥)tg(𝜋𝑥/2).

д) lim𝑥→1

(3𝑒𝑥−1 − 2)𝑥/(𝑥−1). е) lim𝑥→2𝜋

(cos𝑥)1/ sin2 𝑥.

Ответы: а) 𝑒2/𝜋. б) 𝑒ctg 1. в) 𝑒− tg 3. г) 𝑒2/𝜋. д) 𝑒3. е) 𝑒−1/2.

15


Непрерывность функции. Предел последовательности

5.1 Исследовать функцию 𝑓(𝑥) на непрерывность и построить ее график.

𝑓(𝑥) =

⎧⎪⎨⎪⎩𝑥2, −∞ < 𝑥 6 0,

(𝑥− 1)2, 0 < 𝑥 6 2,

5− 𝑥, 2 < 𝑥 < +∞.

I Р е ш е н и е. Функция 𝑓(𝑥) определена и непрерывна на интервалах (−∞; 0), (0; 2) и(2;+∞), где она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, разрыв воз-можен только в точках 𝑥1 = 1 и 𝑥2 = 2. Для точки 𝑥1 = 0 имеем:

lim𝑥→0−0

𝑓(𝑥) = lim𝑥→0−0

𝑥2 = 0, lim𝑥→0+0

𝑓(𝑥) = lim𝑥→0+0

(𝑥− 1)2 = 1, 𝑓(0) = 𝑥2𝑥=0

= 0,

т. е. функция 𝑓(𝑥) в точке 𝑥1 = 0 имеет разрыв первого рода.Для точки 𝑥2 = 2 находим:

lim𝑥→2−0 𝑓(𝑥) = lim𝑥→2−0(𝑥− 1)2 = 1, lim𝑥→2+0 𝑓(𝑥) = lim𝑥→2+0(5− 𝑥) = 3,𝑓(2) = (𝑥− 1)2|𝑥=2 = 1,

т. е. в точке 𝑥2 = 2 функция также имеет разрыв первого рода.График данной функции изображен на рисунке 1. J

𝑥

𝑦

−2 −1 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

Рис. 1. График функции 𝑓(𝑥)

5.2 Исследовать данные функции на непрерывность и построить их графики.

а) 𝑓(𝑥) =

⎧⎪⎨⎪⎩𝑥+ 4, 𝑥 < −1,

𝑥2 + 2, −1 6 𝑥 < 1,

2𝑥, 𝑥 > 1.

б) 𝑓(𝑥) =

⎧⎪⎨⎪⎩𝑥+ 1, 𝑥 6 0,

(𝑥+ 1)2, 0 < 𝑥 6 2,

−𝑥+ 4, 𝑥 > 2.

в) 𝑓(𝑥) =

⎧⎪⎨⎪⎩𝑥+ 2, 𝑥 6 −1,

𝑥2 + 1, −1 < 𝑥 6 1,

−𝑥+ 3, 𝑥 > 1.

г) 𝑓(𝑥) =

⎧⎪⎨⎪⎩−𝑥, 𝑥 6 0,

−(𝑥− 1)2, 0 < 𝑥 < 2,

𝑥− 3, 𝑥 > 2.

16

5.3 Исследовать функцию 𝑓(𝑥) = 81/(𝑥−3)+1 на непрерывность в точках 𝑥1 =3 и 𝑥2 = 4.

I Р е ш е н и е. Для точки 𝑥1 = 3 имеем:

lim𝑥→3−0 𝑓(𝑥) = lim𝑥→3−0(81/(𝑥−3) + 1) = 8−∞ + 1 = 1,

lim𝑥→3+0 𝑓(𝑥) = lim𝑥→3+0(81/(𝑥−3) + 1) = 8∞ + 1 = ∞,

т. е. в точке 𝑥1 = 3 функция 𝑓(𝑥) терпит бесконечный разрыв (𝑥1 = 3 — точка разрыва второгорода).

Для точки 𝑥2 = 4 имеем:

lim𝑥→4−0 𝑓(𝑥) = lim𝑥→4−0(81/(𝑥−3) + 1) = 9,

lim𝑥→4+0 𝑓(𝑥) = lim𝑥→4+0(81/(𝑥−3) + 1) = 9.

Следовательно, в точке 𝑥2 = 4 функция 𝑓(𝑥) непрерывна. J

5.4 Исследовать данные функции на непрерывность в указанных точках.а) 𝑓(𝑥) = 21/(𝑥−3) + 1; 𝑥1 = 3, 𝑥2 = 4.б) 𝑓(𝑥) = 51/(𝑥−3) − 1; 𝑥1 = 3, 𝑥2 = 4.в) 𝑓(𝑥) = (𝑥+ 7)/(𝑥− 2); 𝑥1 = 2, 𝑥2 = 3.г) 𝑓(𝑥) = (𝑥− 5)/(𝑥+ 3); 𝑥1 = −2, 𝑥2 = −3.д) 𝑓(𝑥) = 41/(3−𝑥) + 2; 𝑥1 = 2, 𝑥2 = 3.

5.5 Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

lim𝑛→∞

2𝑛3

𝑛3 − 2= 2.

I Р е ш е н и е. Число 2 называется пределом числовой последовательности { 2𝑛3

𝑛3−2}, если

∀𝜀 > 0 ∃𝑁(𝜀) : 𝑛 > 𝑁(𝜀) =⇒

2𝑛3

𝑛3 − 2− 2

< 𝜀.

Найдем, при каких 𝑛 справедливо неравенство2𝑛3

𝑛3 − 2− 2

< 𝜀,

т. е. решим это неравенство относительно 𝑛. Если 𝑛 > 1, то 2𝑛3

𝑛3−2> 0, поэтому знак модуля можно

убрать. Будем иметь:

2𝑛3

𝑛3 − 2− 2 =

2𝑛3 − 2𝑛3 + 4

𝑛3 − 2=

4

𝑛3 − 2< 𝜀, 𝑛3 − 2 >

4

𝜀, 𝑛 >

3

√4

𝜀+ 2,

Следовательно, в качестве 𝑁(𝜀) (а это число должно быть натуральным) можно взять целую

часть числа 3√

4/𝜀+ 2, т. е. 𝑁(𝜀) =[

3√

4/𝜀+ 2]

.

Итак, 𝑛 >[

3√4/𝜀+ 2

]. J

17

5.6 Доказать, что lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 𝑎, пользуясь определением предела последо-вательности.

а) 𝑎𝑛 =2𝑛− 2

3𝑛− 1, 𝑎 =

2

3. б) 𝑎𝑛 =

4𝑛− 2

2𝑛+ 3, 𝑎 = 2.

в) 𝑎𝑛 =3𝑛+ 2

2𝑛+ 1, 𝑎 =

3

2. г) 𝑎𝑛 =

5𝑛+ 2

3𝑛+ 1, 𝑎 =

5

3.

Ответы: а) 𝑛 > 3𝜀+49𝜀

. б) 𝑛 > 8−3𝜀2𝜀

. в) 𝑛 > 1−2𝜀4𝜀

. г) 𝑛 > 1−3𝜀9𝜀

.

5.7 Вычислить предел последовательности:

lim𝑛→∞

𝑛 6√𝑛+ 5

√23𝑛10 + 1

(𝑛+ 4√𝑛) 3√𝑛3 − 1

.

I Р е ш е н и е. Числитель 𝑛 6√𝑛 + 5

√32𝑛10 + 1 — бесконечно большая последовательность

порядка 𝑛2 и знаменатель (𝑛+ 4√𝑛) 3√𝑛3 − 1 — бесконечно большая последовательность порядка

𝑛2.Вынесем в числителе и в знаменателе множитель 𝑛2, получим

lim𝑛→∞

𝑛 6√𝑛+ 5

√32𝑛10 + 1

(𝑛+ 4√𝑛) 3√𝑛3 − 1

= lim𝑛→∞

𝑛2(1/𝑛5/6 + 2 5√

1 + 1/𝑛10

𝑛2(1 + 1/𝑛3/4) 3√

1− 1/𝑛3=

=lim𝑛→∞(1/𝑛5/6 + 2 5

√1 + 1/𝑛10)

lim𝑛→∞(1 + 1/𝑛3/4) 3√

1− 1/𝑛3= 2.

В данном случае было использовано свойство корня, в силу которого lim𝑛→∞5√

1 + 1/𝑛10 = 1

и lim𝑛→∞3√

1− 1/𝑛3 = 1. J

5.8 Вычислить пределы последовательностей:

а) lim𝑛→∞

𝑛3√3𝑛2 + 4

√4𝑛8 + 1

(𝑛+√𝑛)√7− 𝑛+ 𝑛2

. б) lim𝑛→∞

√𝑛− 1−

√2𝑛2 + 3

3√𝑛3 + 3 + 4

√𝑛5 + 2

.

в) lim𝑛→∞

√2𝑛3 + 3−

√𝑛+ 5

3√𝑛3 + 2−

√𝑛− 1

. г) lim𝑛→∞

3√𝑛2 + 3 + 3𝑛3

4√𝑛12 + 2𝑛+ 1− 𝑛2

.

Ответы: а)√2. б) 0. в) +∞. г) 3.


а) lim𝑛→∞

(𝑛+ 2

𝑛− 1

)𝑛

. б) lim𝑛→∞

(2𝑛+ 4

2𝑛+ 3

)𝑛+1

.

в) lim𝑛→∞

(𝑛2 + 1

𝑛2

)𝑛2

. г) lim𝑛→∞

(2𝑛2 + 3

2𝑛2 + 1

)𝑛2

.

Ответы: а) 𝑒3. б)√𝑒. в) 𝑒. г) 𝑒.


а) lim𝑛→∞

𝑛(√

𝑛(𝑛− 2)−√

𝑛2 − 3). б) lim

𝑛→∞

(𝑛− 3

√𝑛3 − 5

)𝑛√𝑛.

в) lim𝑛→∞

[√(𝑛2 + 1)(𝑛2 − 4)−

√𝑛4 − 9

]. г) lim

𝑛→∞

√𝑛5 − 8− 𝑛

√𝑛(𝑛2 + 5)√

𝑛Ответы: а) −∞. б) 0. в) −3/2. г) −5/2.

18

Упражнения на вычисление пределов


а) lim𝑥→4

3𝑥2 − 2𝑥− 40

𝑥2 − 3𝑥− 4. б) lim

𝑥→−3

2𝑥2 + 5𝑥− 3

3𝑥2 + 10𝑥+ 3. в) lim

𝑥→−5

𝑥2 − 2𝑥− 35

2𝑥2 + 11𝑥+ 5.

г) lim𝑥→−8

2𝑥2 + 15𝑥− 8

3𝑥2 + 25𝑥+ 8. д) lim

𝑥→5

3𝑥2 − 6𝑥− 45

2𝑥2 − 3𝑥− 35. е) lim

𝑥→−3

2𝑥2 + 𝑥− 15

𝑥2 − 6𝑥− 27.

Ответы: а) 22/5. б) 7/8. в) 4/3. г) 17/23. д) 24/17. е) 11/12.


а) lim𝑥→2

𝑥3 − 2𝑥− 4

𝑥2 − 11𝑥+ 18. б) lim

𝑥→4

𝑥3 − 64

7𝑥2 − 27𝑥− 4. в) lim

𝑥→6

2𝑥2 − 11𝑥− 6

3𝑥2 − 20𝑥+ 12.

г) lim𝑥→−5

𝑥2 + 2𝑥− 24

2𝑥3 + 15𝑥+ 18. д) lim

𝑥→−2

𝑥2 − 4

3𝑥2 + 𝑥− 10. е) lim

𝑥→0

3𝑥2 + 𝑥

4𝑥2 − 5𝑥+ 1.

Ответы: а) −10/7. б) 48/29. в) 13/16. г) 9/307. д) 4/11. е) 0.


а) lim𝑥→∞

4𝑥3 − 2𝑥+ 1

2𝑥3 + 3𝑥2 + 2. б) lim

𝑥→∞

5𝑥2 − 3𝑥+ 1

3𝑥2 + 𝑥− 5. в) lim

𝑥→∞

4− 5𝑥2 − 3𝑥5

𝑥5 + 6𝑥+ 8.

г) lim𝑥→∞

5𝑥3 − 7𝑥2 + 3

2 + 2𝑥− 𝑥3. д) lim

𝑥→∞

𝑥− 2𝑥2 + 5𝑥4

2 + 3𝑥2 + 𝑥4. е) lim

𝑥→∞

3𝑥4 − 2𝑥2 − 7

3𝑥4 + 3𝑥+ 5.

Ответы: а) 2. б) 5/3. в) −3. г) 0. д) 5. е) 1.


а) lim𝑥→−∞

3𝑥4 + 2𝑥2 − 8

8𝑥3 − 4𝑥+ 5. б) lim

𝑥→∞

4𝑥2 − 10𝑥+ 7

2𝑥3 − 3𝑥. в) lim

𝑥→−∞

7𝑥3 − 2𝑥+ 4

2𝑥2 + 𝑥− 5.

г) lim𝑥→∞

4𝑥3 + 5𝑥2 − 3𝑥

3𝑥2 + 𝑥− 10. д) lim

𝑥→−∞

2𝑥2 + 10𝑥− 11

3𝑥4 − 2𝑥+ 5. е) lim

𝑥→−∞

2𝑥2 − 3𝑥+ 1

𝑥3 + 2𝑥2 + 5.

Ответы: а) −∞. б) 0. в) −∞. г) ∞. д) 0. е) 0.


а) lim𝑥→0

√𝑥2 + 4− 2√𝑥2 + 16− 4

. б) lim𝑥→0

3𝑥√5− 𝑥−

√5 + 𝑥

. в) lim𝑥→9

√2𝑥+ 7− 5

3−√𝑥

.

г) lim𝑥→4

2−√𝑥√

6𝑥+ 1− 5. д) lim

𝑥→0

√9 + 𝑥− 3

𝑥2 + 𝑥. е) lim

𝑥→2

√4𝑥+ 1− 3

𝑥3 − 8.

Ответы: а) 2. б) −3√5. в) −6/5. г) −5/12. д) 1/6. е) 1/18.

19


а) lim𝑥→∞

(2𝑥− 1

2𝑥+ 4

)−𝑥

. б) lim𝑥→∞

(3𝑥+ 4

3𝑥+ 5

)𝑥+1

. в) lim𝑥→∞

(1 + 2𝑥

3 + 2𝑥

)−𝑥

.

г) lim𝑥→∞

(3𝑥

3𝑥+ 2

)𝑥−2

. д) lim𝑥→∞

(𝑥

𝑥− 1

)3−2𝑥

. е) lim𝑥→∞

(4− 2𝑥

1− 2𝑥

)𝑥+1

.

Ответы: а) 𝑒5/2. б) 𝑒−1/2. в) 𝑒. г) 𝑒−2/3. д) 𝑒−2. е) 𝑒−3/2.


а) lim𝑥→∞

(1− 2𝑥

3− 𝑥

)−𝑥

. б) lim𝑥→−∞

(4 + 3𝑥

5 + 𝑥

)7𝑥

. в) lim𝑥→−∞

(3𝑥− 1

2𝑥+ 5

)3𝑥

.

г) lim𝑥→∞

(1− 𝑥

2− 10𝑥

)5𝑥

д) lim𝑥→∞

(3 + 𝑥

9𝑥− 4

)2𝑥

. е) lim𝑥→−∞

(𝑥+ 5

4𝑥− 2

)3𝑥

.

Ответы: а) 0. б) 0. в) 0. г) 0. д) 0. е) ∞.


а) lim𝑥→0

(1 + 𝑥23𝑥

1 + 𝑥24𝑥

)1/ tg2 𝑥

. б) lim𝑥→0

(1− ln cos𝑥)1/ sin2 𝑥. в) lim

𝑥→0(cos𝑥)1/(𝑥 sin𝑥).

г) lim𝑥→0

(1 + sin2 𝑥)1/ ln cos𝑥. д) lim𝑥→0

(1 + 𝑥 cos 2𝑥

1 + 𝑥 cos𝑥

)1/𝑥3

. е) lim𝑥→0

(2− cos𝑥)1/ ln(1+2𝑥2).

Ответы: а) 3/4. б) 𝑒−5/2. в) 𝑒−1/2. г) 𝑒−2. д) 𝑒−3/2. е) 𝑒1/4.


а) lim𝑥→1

(sin𝑥

sin 1

)1/(𝑥−1)

. б) lim𝑥→3

(cos𝑥cos 3

)1/(𝑥−3)

. в) lim𝑥→𝜋/4

(tg 𝑥)1/ cos 2𝑥.

г) lim𝑥→1

(3− 2𝑥)1/ ln(2−𝑥). д) lim𝑥→2

(4− 𝑥

𝑥

)1/ ln(3−𝑥)

. е) lim𝑥→3

(3

𝑥

)1/ ln(4−𝑥)

.

Ответы: а) 𝑒ctg 1. б) 𝑒− tg 3. в) 𝑒−1. г) 𝑒2. д) 𝑒. е) 𝑒1/3.


а) lim𝑥→0

7𝑥

sin𝑥+ sin 7𝑥. б) lim

𝑥→𝜋/2

1− sin𝑥

(𝜋/2− 𝑥)2. в) lim

𝑥→0


4𝑥2.

г) lim𝑥→0

1− cos2 2𝑥

𝑥 arcsin𝑥. д) lim

𝑥→0

cos2 𝑥− cos2 2𝑥

𝑥2. е) lim

𝑥→0

arcsin 5𝑥

𝑥2 − 𝑥.

Ответы: а) 7/8. б) 4/𝜋2. в) −3. г) 4. д) 3. е) −5.

20

6.11 Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые функции.

а) lim𝑥→3

sin(𝑥− 3)

𝑥3 − 27. б) lim

𝑥→0

1− cos 8𝑥

2𝑥2. в) lim

𝑥→0

sin 3𝑥

ln(1 + 2𝑥).

г) lim𝑥→0

𝑒5𝑥 − 1

tg 2𝑥. д) lim

𝑥→−5

tg(𝑥+ 5)

𝑥2 − 25. е) lim

𝑥→0

ln(1 + 5𝑥)

sin 3𝑥.

Ответы: а) 1/27. б) 16. в) 3/2. г) 5/2. д) −1/10. е) 5/3.

6.12 Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые функции.

а) lim𝑥→1

1− 𝑥3

sin 𝜋𝑥. б) lim

𝑥→1

2−√5− 𝑥

sin𝜋𝑥. в) lim

𝑥→𝜋

tg 5𝑥

sin 3𝑥.

г) lim𝑥→2

2𝑥 − 4

sin𝜋𝑥. д) lim

𝑥→4

𝑥3 − 64

tg(𝑥− 4). е) lim

𝑥→0

ln(1 + 4𝑥3

2𝑥3.

Ответы: а) 3/𝜋. б) −1/(4𝜋). в) −5/3. г) (4 ln 2)/𝜋. д) 48. е) 2.


а) lim𝑛→∞

(5− 𝑛)2 + (5 + 𝑛)2

(5− 𝑛)2 − (5 + 𝑛)2. б) lim

𝑛→∞

(4− 𝑛)3 − (2− 𝑛)3

(1− 𝑛)2 − (2 + 𝑛)4.

в) lim𝑛→∞

(3− 𝑛)3 − (2− 𝑛)3

(1− 𝑛)3 − (1 + 𝑛)3. г) lim

𝑛→∞

(2− 𝑛)2 − (1 + 𝑛)2

(1 + 𝑛)2 − (2− 𝑛)2.

д) lim𝑛→∞

(3 + 𝑛)2 − (2 + 𝑛)2

(2 + 𝑛)2 − (1− 𝑛)2. е) lim

𝑛→∞

(𝑛+ 2)3 − (𝑛+ 2)2

(𝑛− 2)3 − (𝑛+ 2)3.

Ответы: а) −∞. б) 0. в) 0. г) −1. д) 1/3. е) −∞.


а) lim𝑛→∞

√3𝑛+ 2− 3

√125𝑛3 + 𝑛

5√𝑛+ 𝑛2

. б) lim𝑛→∞

𝑛√𝑛− 3

√27𝑛6 + 𝑛4

(𝑛+ 4√𝑛)√4 + 𝑛2

.

в) lim𝑛→∞

√𝑛+ 2−

√𝑛2 + 2

4√𝑛4 + 1− 3

√𝑛2 − 1

. г) lim𝑛→∞

√𝑛5 + 3 +

√𝑛− 2

4√𝑛4 + 2−

√𝑛− 2

.

д) lim𝑛→∞

10𝑛3 −√𝑛3 + 2√

4𝑛6 + 3− 𝑛. е) lim

𝑛→∞

√𝑛+ 2− 3

√8𝑛3 + 3

4√𝑛+ 5 + 𝑛

.

Ответы: а) 0. б) −3. в) −1. г) +∞. д) 10. е) −2.


а) lim𝑛→∞

𝑛[√

𝑛(𝑛− 2)−√

𝑛2 − 3]. б) lim

𝑛→∞

[√(𝑛2 + 1)(𝑛2 − 4)−

√𝑛4 − 9

].

в) lim𝑛→∞

[√𝑛2 − 3𝑛+ 2− 𝑛

]. г) lim

𝑛→∞

[√𝑛(𝑛+ 2)−

√𝑛2 − 2𝑛+ 3

].

Ответы: а) −∞. б) −3/2. в) −3/2. г) 2.

21


Вычисление производных

Формулы и правила вычисления производных

Вычисление производной сложной функции. Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) имеет производнуюв точке 𝑥0, а функция 𝑧 = 𝑔(𝑦) — в точке 𝑦0 = 𝑓(𝑥0), то сложная функция (композиция 𝑓 и 𝑔)𝑧 = 𝜙(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) также имеет производную в точке 𝑥0, причем

𝜙′(𝑥0) = 𝑔′(𝑦0)𝑓′(𝑥0). (1)

Эту формулу можно переписать в виде

𝑑𝑧

𝑑𝑥=

𝑑𝑧

𝑑𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥. (2)

Производная обратной функции. Пусть функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) непрерывна и строго монотоннав некоторой октестности точки 𝑥0, и пусть в этой точке существует производная 𝑑𝑓(𝑥0)

𝑑𝑥= 0; тогда

обратная функция 𝑓−1(𝑦) в точке 𝑦0 = 𝑓(𝑥0) имеет производную, которая может быть найденапо формуле

𝑑𝑓−1(𝑦0)

𝑑𝑦=

1𝑑𝑓(𝑥0)𝑑𝑥

. (3)

Производная функции, заданной параметрически. Пусть функции 𝑥 = 𝑥(𝑡) и 𝑦 = 𝑦(𝑡)определены в некоторой окрестности точки 𝑡0 и параметрически задают в окрестности точки 𝑥 =

𝑥(𝑡0) функцию 𝑦 = 𝑓(𝑥). Тогда, если 𝑥(𝑡) и 𝑦(𝑡) имеют в точке 𝑡0 производные и если 𝑑𝑥(𝑡0)𝑑𝑡

= 0, тофункция 𝑦 = 𝑓(𝑥) в точке 𝑥0 также имеет производную, которая может быть найдена по формуле

𝑦′𝑥(𝑥0) =𝑦′𝑡(𝑡0)

𝑥′𝑡(𝑡0)

, или𝑑𝑓(𝑥0)

𝑑𝑥=

𝑑𝑦(𝑡0)𝑑𝑡

𝑑𝑥(𝑡0)𝑑𝑡

. (4)

Производная функции, заданной неявно. Если дифференцируемая на некотором интер-вале функция 𝑦 = 𝑦(𝑥) задана неявно уравнением 𝐹 (𝑥, 𝑦) = 0, то ее производную 𝑦′(𝑥) можнонайти из уравнения

𝑑

𝑑𝑥𝐹 (𝑥, 𝑦) = 0. (5)

7.1 Вычислить производную функции

𝑓 = 3√𝑥 arccos𝑥+ 2 log2 𝑥+

𝑒𝑥

𝑥2, 𝑥 ∈ (0; 1).

I Р е ш е н и е. Пользуемся правилом дифференцирования алгебраической суммы функций:

𝑓 ′ = ( 3√𝑥 arccos𝑥)′ + 2(log2 𝑥)

′ +

(𝑒𝑥

𝑥2

)′

=

= 3√𝑥(arccos𝑥)′ + arccos𝑥( 3

√𝑥)′ + 2

1

𝑥 ln 2+

𝑥2(𝑒𝑥)′ − 𝑒𝑥(𝑥2)′

𝑥4=

= −3√𝑥√

1− 𝑥2+

arccos𝑥

33√𝑥2

+2

𝑥 ln 2+

(𝑥− 2)𝑒𝑥

𝑥3. J

22

7.2 Вычислить производную функции 𝑧 = ln sin 𝑥 в точке 𝑥0 = 𝜋/3.I Р е ш е н и е. Функция 𝑧 = 𝜙(𝑥) = ln sin𝑥 является композицией двух функций: 𝑦 = 𝑓(𝑥) =

sin𝑥 и 𝑧 = 𝑔(𝑦) = ln 𝑦. Фукнция 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 в точке 𝑥0 = 𝜋/3 имеет производную, причем𝑓 ′(𝜋/3) = cos(𝜋/3) = 1/2. Функция 𝑔(𝑦) = ln 𝑦 в точке 𝑦0 = sin𝑥0 = sin(𝜋/3) =

√3/2 так-

же имеет производную, причем 𝑔′(√3/2) = 2/

√3. Учитывая правило нахождения производной

сложной функции, получаем 𝜙′(𝜋/3) = 𝑔′(√3/2)𝑓 ′(𝜋/3) = (2/

√3)(1/2) = 1/

√3. J

7.3 Вычислить производную функции

𝑧 =√

1 + 𝑥2, 𝑥 ∈ R.

I Р е ш е н и е. Данная функция является композицией функций 𝑦 = 1+𝑥2 и 𝑧 =√𝑦, причем

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 и

𝑑𝑧

𝑑𝑦=

1

2√𝑦.

По формуле производной сложной функции получаем:

𝑑𝑧

𝑑𝑥=

𝑑𝑧

𝑑𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

2√𝑦2𝑥 =

𝑥√1 + 𝑥2

. J

7.4 Найти производную функции:а) 𝑦 = 2ctg

2 𝑥, 𝑥 = 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ Z; б) 𝑦 = ln cos arctg sh 2𝑥, 𝑥 ∈ R.I Р е ш е н и е. а) Применив дважды правило дифференцирования сложной функции, полу-

чим𝑦′ = 2ctg

2 𝑥 ln 2(ctg2 𝑥)′ = 2ctg2 𝑥 ln 2 · 2 ctg 𝑥(ctg 𝑥)′.

Следовательно,

𝑦′ = −2 ln 2 · 2ctg2 𝑥 ctg 𝑥sin2 𝑥

, 𝑥 = 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ Z.

б) Применяем правило дифференцирования сложной функции четыре раза:

𝑦′ =1

cos arctg sh 2𝑥(cos arctg sh 2𝑥)′ = − sin arctg sh 2𝑥

cos arctg sh 2𝑥(arctg sh 2𝑥)′ =

= − tg arctg sh 2𝑥 · 1

1 + sh2 2𝑥(sh 2𝑥)′ = − sh 2𝑥

1 + sh2 2𝑥ch 2𝑥 · (2𝑥)′.

Следовательно,

𝑦′ = −2 sh 2𝑥 ch 2𝑥

1 + sh2 2𝑥= −2 th 2𝑥, 𝑥 ∈ R. J

7.5 Найти производную функции

𝑦 = ln 3

√𝑒𝑥

1 + cos 𝑥, 𝑥 = 𝜋(2𝑛+ 1), 𝑛 ∈ N.

I Р е ш е н и е. Здесь выгодно предварительно упростить формулу, с помощью которой за-дана функция:

𝑦 =1

3ln 𝑒𝑥 − 1

3ln(1 + cos 𝑥) =

𝑥

3− 1

3ln(1 + cos 𝑥).

Дифференцируя, получаем

𝑦′ =1

3− 1

3

(cos𝑥)′

1 + cos 𝑥=

1

3+

1

3

sin𝑥

1 + cos 𝑥=

1 + tg(𝑥/2)

3. J

23

7.6 Найти производную функции

𝑦 =1 + 𝑥2

3√𝑥4 sin7 𝑥

, 𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ N.

I Р е ш е н и е. Здесь удобно рассмотреть функцию 𝑧 = ln |𝑦|. По формуле дифференциро-вания сложной функции имеем

𝑑𝑧

𝑑𝑥=

𝑑𝑧

𝑑𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥,

т. е.𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦

𝑑𝑧

𝑑𝑥. (6)

Записав функцию 𝑧 в виде

𝑧 = ln |𝑦| = ln(1 + 𝑥2)− 4

3ln |𝑥| − 7 ln | sin𝑥|,

продифференцируем ее:𝑑𝑧

𝑑𝑥=

2𝑥

1 + 𝑥2− 4

3𝑥− 7

cos𝑥

sin𝑥.

Подставив найденное выражение для 𝑑𝑧𝑑𝑥

в формулу 6, получим

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1 + 𝑥2

3√𝑥4 sin7 𝑥

(2𝑥

1 + 𝑥2− 4

3𝑥− 7

cos𝑥

sin𝑥

). J

7.7 Найти 𝑓 ′(𝑥) и указать область существования производной, если:1) 𝑓 = 𝑥3 + 2𝑥. 2) 𝑓 = 1/𝑥. 3) 𝑓 =

√𝑥.

4) 𝑓 = 1/(1 + 𝑥2). 5) 𝑓 = 𝑥 3√𝑥. 6) 𝑓 = 2𝑥+1.

7) 𝑓 = ln𝑥. 8) 𝑓 = sin 2𝑥. 9) 𝑓 = ctg 𝑥+ 2.10) 𝑓 = arcsin𝑥. 11) 𝑓 = arccos 3𝑥. 12) 𝑓 = 7arctg(𝑥+ 1).

7.8 Найти производные функций:

1) 𝑦 = 𝑥7 − 2𝑥5 + 5− 8

𝑥3+

5

6𝑥 5√𝑥. 2) 𝑦 = 2

√𝑥− 4 cos𝑥+ 2 sin𝑥+ log3 𝑥.

3) 𝑦 = 5𝑥 − 7 tg 𝑥+ 3 ctg 𝑥+ arctg 𝑥. 4) 𝑦 = 𝑒𝑥− 7√𝑥4−2 arccos𝑥+3arcsin 𝑥.

5) 𝑦 = (𝑥2 + 2𝑥+ 2)𝑒−𝑥. 6) 𝑦 = 3𝑥3 ln𝑥− 𝑥3.

7) 𝑦 = 𝑥2 sin𝑥+ 2𝑥 cos𝑥− 2 sin𝑥. 8) 𝑦 =3𝑥+ 2

2𝑥+ 3.

9) 𝑦 =𝑥2 + 1

𝑥2 − 1. 10) 𝑦 =

1 +√𝑥

1−√𝑥.

11) 𝑦 =𝑥 ln𝑥

1 + 𝑥. 12) 𝑦 =

cos𝑥

2− 3 cos𝑥.

13) 𝑦 =arctg 𝑥

𝑥. 14) 𝑦 = ln(5𝑥2 + 2𝑥5).

15) 𝑦 =√

2− 3𝑥4. 16) 𝑦 =3√

1− 𝑥3.

17) 𝑦 = ln(1 + cos𝑥). 18) 𝑦 = tg 2𝑥+2

3tg3 2𝑥+

1

5tg5 2𝑥.

24

19) 𝑦 = ln tg 2𝑥. 20) 𝑦 = ln(𝑥+√

𝑥2 + 4).

21) 𝑦 = log2(𝑥+√𝑥2 − 5). 22) 𝑦 = ln(𝑥+ 3 +

√𝑥2 + 6𝑥− 7).

23) 𝑦 = 𝑒sin 2𝑥. 24) 𝑦 = 𝑒arccos 2𝑥.

25) 𝑦 = arctg 𝑒−𝑥. 26) 𝑦 = sin 𝑒√𝑥.

27) 𝑦 = 2𝑒√ln𝑥(1−

√ln𝑥). 28) 𝑦 =

√1− 𝑒−2𝑥

1 + 𝑒−2𝑥.

29) 𝑦 = arctg√

9𝑥2 − 1. 30) 𝑦 = arctg𝑥√

7− 𝑥2.

31) 𝑦 = 𝑥√9− 𝑥2 + 9arcsin

𝑥

3. 32) 𝑦 = 𝑥 arccos

𝑥

3−√

9− 𝑥2.

33) 𝑦 = 𝑥1𝑥 . 34) 𝑦 = 𝑥

√ln𝑥.

35) 𝑦 = 𝑥−𝑥𝑒−2𝑥. 36) 𝑦 = (sin𝑥)tg 𝑥.

Домашнее задание (ДЗ №7)

7.9 Найти производные данных функций:

1) 𝑦 =1− 𝑥3

1− 𝑥5. 2) 𝑦 =

2

(1− 𝑥2)(1 + 𝑥4).

3) 𝑦 =3√𝑥2 sin𝑥 ln𝑥. 4) 𝑦 =

arctg 𝑥

arcsin𝑥.

5) 𝑦 = 𝑒𝑥(sin𝑥+ cos𝑥). 6) 𝑦 = 𝑥(arccos𝑥+ arctg 𝑥).

7) 𝑦 = arctg3(2𝑥− 1) + arcsin3√𝑥. 8) 𝑦 = ln[ln(ln𝑥)].

9) 𝑦 =√sin 2𝑥+ cos 3𝑥. 10) 𝑦 =

√𝑥+

√𝑥+

√𝑥.

11) 𝑦 = 𝑒𝑥√

1 + 𝑥2

1− 𝑥2. 12) 𝑦 = sin(cos𝑥) + cos(sin 𝑥).

13) 𝑦 = 2tg(1/𝑥) + 𝑒sin𝑥2

. 14) 𝑦 =1

2ln tg

𝑥2

2− cos𝑥

2 sin2 𝑥.

15) 𝑦 =𝑥 arcsin𝑥√

1− 𝑥2+ ln

√1− 𝑥2. 16) 𝑦 =

√1 + 𝑥2− ln

(1

𝑥+

√1 +

1

𝑥2

).

17) 𝑦 = sh3 4𝑥+ ch3√𝑥. 18) 𝑦 = tg5(2𝑒

√𝑥 − 1).

19) 𝑦 = (𝑥2 + 1)2𝑥. 20) 𝑦 = (cos𝑥)1𝑥 .

21) 𝑦 = (𝑥+ 1)1

sin𝑥 . 22) 𝑦 = 𝑥𝑥

ln2 𝑥 .

23) 𝑦 = 𝑥√

(2𝑥 sin𝑥+ 1)2. 24) 𝑦 = 𝑥sin𝑥.

25) 𝑦 = 𝑥𝑥2

. 26) 𝑦 = 𝑥𝑥𝑥

.

25


Вычисление производных (окончание).Геометрический смысл производной

Вычисление производных

8.1 Вычислить производную функции в указанных точках:

1) 𝑦 =1 + 𝑥− 𝑥2

1− 𝑥+ 𝑥2, 𝑥 = 0, 𝑥 = 1.

2) 𝑦 = (1 + 𝑥)√2 + 𝑥2 3

√3 + 𝑥3, 𝑥 = 0.

3) 𝑦 = 2tg(1/𝑥), 𝑥 = 1/𝜋.

4) 𝑦 = 3 cos 2𝑥−√1− sin 2𝑥(sin𝑥+ cos𝑥), 𝑥 = 𝜋/6.

5) 𝑦 = log1/2(𝑥− 1/2)2 + log2√4𝑥2 − 4𝑥+ 1, 𝑥 = 0.

6) 𝑦 =√ln𝑥(ln𝑥− log𝑒𝑥 𝑥)

√ln𝑥+ log𝑥 𝑒+ 2, 𝑥 = 𝑒.

7) 𝑦 = ln(1 + sin2 𝑥)− 2 sin𝑥 · arctg sin𝑥, 𝑥 = 𝜋/2.8) 𝑦 = arcsin(2𝑥/(1 + 𝑥2)), 𝑥 = 0, 𝑥 = 2,

9) 𝑦 = ln 𝑥4−𝑥2+1𝑥4+2𝑥2+1 + 2

√3 arctg

√3

1−2𝑥2 , 𝑥 = 1.

10) 𝑦 =3

√arctg

5√cos ln3 𝑥, 𝑥 = 1.

11) 𝑦 = (ch 𝑥)sh𝑥, 𝑥 = 0.12) 𝑦 = (

√1 + 3𝑥)ln𝑥

2

, 𝑥 = 1.13) 𝑦 = ((sin𝑥)/𝑥)𝑥, 𝑥 = 𝜋/2.

Ответы: 1) 𝑦′(0) = 2, 𝑦′(1) = −2. 2) 6√72. 3) −𝜋2 ln 2. 4) −2

√3. 5) 2/ ln 2. 6) 2/𝑒.

7) 0. 8) 𝑦′(0) = 2, 𝑦′(2) = −2/5. 9) 𝑦′(−1) = 1, 𝑦′(1) = −1, 𝑦′(0) не существует. 10) 6. 11)0. 12) 0. 13) 2 ln 2. 14) −(𝜋/2)−𝜋/2(1 + ln(𝜋/2)).

8.2 Решить уравнение 𝑦′(𝑥) = 0, если:1) 𝑦 = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥+ 12.

2) 𝑦 = 𝑥2+𝑥−6𝑥2−10𝑥+25 .

3) 𝑦 = 11+sin2 𝑥

.

4) 𝑦 = 𝑥(𝑥− 1)2(𝑥− 2)3.

8.3 Найти производную функции, обратной к функции

𝑦 = 𝑥+ 𝑥3, 𝑥 ∈ R.

I Р е ш е н и е. Данная функция всюду непрерывна и строго монотонна, ее производная 𝑑𝑦𝑑𝑥

=1 + 3𝑥2 не обращается в нуль ни в одной точке, поэтому, учитывая равенство 3,

𝑑𝑥

𝑑𝑦= 𝑥′

𝑦 =1

1 + 3𝑥2. J

26

8.4 Найти 𝑦′(𝑥), если 𝑥 = sh 𝑦.I Р е ш е н и е. Функция 𝑥 = sh 𝑦 непрерывна и строго монотоннга при всех 𝑦 ∈ R. Произ-

водная 𝑥′ = ch 𝑦 не обращается в нуль ни в одной точке. Следовательно,

𝑦′(𝑥) =1

𝑥′(𝑦)=

1

ch 𝑦=

1√1 + sh2 𝑦

=1√

1 + 𝑥2.

Функция 𝑦(𝑥), т. е. функция, обратная для гиперболического синуса, обозначается arsh𝑥. Такимобразом,

(arsh𝑥)′ =1√

1 + 𝑥2, 𝑥 ∈ R. J

8.5 Найти производные 𝑥′𝑦 обратных функций:

1) 𝑦 = 𝑥− cos𝑥. 2) 𝑦 = 2𝑥+ 𝑥3.3) 𝑦 = 𝑥2 − 3 cos 2𝑥. 4) 𝑦 = 2𝑥 ln(1−

√𝑥).

5) 𝑦 =𝑥− 1

𝑥+ 5.

8.6 Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) задана параметрически формулами 𝑥 = 𝑎 cos3 𝑡, 𝑦 =𝑏 sin3 𝑡, 𝑡 ∈ (0;𝜋/2). Найти 𝑦′𝑥.

I Р е ш е н и е. Функции 𝑥(𝑡) и 𝑦(𝑡) дифференцируемы при всех 𝑡, и 𝑥′𝑡 = −3𝑎 cos2 𝑡 sin 𝑡 = 0

на интервале (0;𝜋/2). По формуле 4 находим

𝑦′𝑥 =𝑦′𝑡𝑥′𝑡

=3𝑏 sin2 𝑡 cos 𝑡

−3𝑎 cos2 𝑡 sin 𝑡= − 𝑏

𝑎tg 𝑡, 𝑡 ∈ (0;𝜋/2). J

8.7 Найти 𝑦′𝑥 для функции 𝑦 = 𝑦(𝑥), заданной параметрически:1) 𝑥 = sin2 𝑡, 𝑦 = cos2 𝑡, 0 < 𝑡 < 𝜋/2.2) 𝑥 = 𝑒−𝑡, 𝑦 = 𝑡3, −∞ < 𝑡 < +∞.3) 𝑥 = 𝑎 cos 𝑡, 𝑦 = 𝑏 sin 𝑡, 0 < 𝑡 < 𝜋.4) 𝑥 = 𝑎 ch 𝑡, 𝑦 = 𝑏 sh 𝑡, −∞ < 𝑡 < 0.5) 𝑥 = 𝑡2 + 6𝑡+ 5, 𝑦 = (𝑡3 − 54)/𝑡, 0 < 𝑡 < +∞.6) 𝑥 = 𝑎(𝑡− sin 𝑡), 𝑦 = 𝑎(1− cos 𝑡), −∞ < 𝑡 < +∞.7) 𝑥 = ln sin(𝑡/2), 𝑦 = ln sin 𝑡, 0 < 𝑡 < 𝜋4.

8.8 Найти производные 𝑦′𝑥 от неявных функций:1) 2𝑥+ 𝑦 − 4 = 0. 2) 𝑥 ln 𝑦 + 𝑦 ln𝑥 = 0.3) 𝑥 cos 𝑦 − 𝑦 sin𝑥 = 0. 4)

√𝑥+

√𝑦 − 2 = 0.

5) 𝑥𝑦 − arctg𝑥

𝑦= 0. 6) arctg(𝑥+ 𝑦) = 𝑥.

7) ln 𝑦 +𝑥

𝑦− 𝑎 = 0. 8) arctg

𝑥

𝑦=

1

2ln(𝑥2 + 𝑦2).

9) 𝑥𝑦 − 𝑦𝑥 = 𝑎. 10) 𝑒𝑥 + 𝑒𝑦 − 𝑒𝑥𝑦 − 1 = 0.

8.9 Найти 𝑥′𝑦 для функции, заданной параметрически:1) 𝑥 = 𝑡+ 2𝑡2 + 𝑡3, 𝑦 = −2 + 3𝑡− 𝑡3, 1 < 𝑡 < +∞.2) 𝑥 = (𝑡3 − 2𝑡2 + 3𝑡− 4)𝑒𝑡, 𝑦 = (𝑡3 − 2𝑡2 + 4𝑡− 4)𝑒𝑡, 1 < 𝑡 < +∞.3) 𝑥 = ctg 2𝑡, 𝑦 = (2 cos 2𝑡− 1)/(2 cos 𝑡), 0 < 𝑡 < 𝜋/2.

27

8.10 Найти 𝑦′ для дифференцируемой функции 𝑦 = 𝑦(𝑥), заданной неявноуравнением:

1) 𝑦5 + 𝑦3 + 𝑦 − 𝑥 = 0.2) 𝑦 − 𝑥 = 𝜀 sin 𝑦, |𝜀| < 1.3) 𝑦2 = 2𝑝𝑥, 𝑦 > 0.4) 𝑥2/𝑎2 − 𝑦2/𝑏2 = 1, 𝑦 > 0.5) (2𝑎− 𝑥)𝑦2 = 𝑥3, 𝑦 < 0.6)

√𝑥+

√𝑦 = 2.

7) 𝑥2/3 + 𝑦2/3 = 𝑎2/3, 𝑦 > 0.8) 5𝑥2 + 9𝑦2 − 20𝑥+ 18𝑦 + 9 = 0, 𝑦 <= 1.

8.11 Для дифференцируемых функций 𝑦 = 𝑦(𝑥), заданных неявно, вычислить𝑦′(𝑥0):

1) 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥+ 10𝑦 − 2 = 0, 𝑦 > −5, 𝑥0 = 0.2) 6𝑥𝑦 + 8𝑦2 − 12𝑥− 26𝑦 + 11 = 0, 𝑦 < 2, 𝑥0 = 11/12.3) 𝑒𝑦 + 𝑥𝑦 = 𝑒, 𝑦 > 0, 𝑥0 = 0.4) 𝑥𝑦 + ln 𝑦 = 1, 𝑦𝑒2, 𝑥0 = 0.

8.12 Найти производные второго порядка функций:

1) 𝑦 = 𝑥3 − 4𝑥2 + 5𝑥− 1. 2) 𝑦 = 𝑥2√

1− 𝑥2.3) 𝑦 = 𝑥 ln(𝑥+ 1). 4) 𝑦 = sin2 3𝑥.

5) 𝑦 =𝑥+ 1

2𝑥+ 3. 6) 𝑥 = arccos

√𝑡, 𝑦 =

√𝑡− 𝑡3.

Геометрические приложения производной

8.13 Кривая задана уравнением: 𝑦 = 𝑥2 + 5𝑥 + 3. Определить угол междукасательными к кривой в точках с абсциссами 𝑥 = −2 и 𝑥 = 0.

I Р е ш е н и е. Угловой коэффициент касательной равен производной 𝑦′, вычисленной призначении 𝑥, равном абсциссе точки касания. Поэтому начинаем решение задачи с вычисленияпроизводной:

𝑦′ = 2𝑥+ 5.

Обозначим через 𝛼 угол наклона касательной в точке с абсциссой 𝑥 = −2, а через 𝛽 — в точке сабсциссой 𝑥 = 0, получим:

tg𝛼 = 𝑦′|𝑥=−2 = 2 · (−2) + 5 = 1,tg 𝛽 = 𝑦′|𝑥=0 = 2 · 0 + 5 = 5.

Угол 𝜙 между касательными равен 𝛽 − 𝛼. Поэтому

tg 𝛽 = tg(𝛽 − 𝛼) =tg 𝛽 − tg𝛼

1 + tg 𝛽 tg𝛼=

5− 1

1 + 5 · 1=

2

3.

Итак, 𝜙 = arctg 23. J

28

8.14 На кривой 𝑦 = 4𝑥2 − 6𝑥 + 3 найти точку, в которой касательная парал-лельна прямой 𝑦 = 2𝑥.

I Р е ш е н и е. Пусть искомая точка касания есть (𝑥0; 𝑦0). Тогда угловой коэффициент 𝑘 ка-сательной равен значению производной в точке касания, т. е.

𝑘 = 𝑦′𝑥=𝑥0

= 8𝑥− 6

𝑥=𝑥0

= 8𝑥0 − 6 = 2(4𝑥0 − 3).

Для того чтобы касательная была параллельна прямой 𝑦 = 2𝑥, их угловые коэффициентыдолжны совпадать, т. е. 𝑘 = 2, или 2(4𝑥0 − 3) = 2. Решая последнее уравнение относительно 𝑥0,получим: 4𝑥0 − 3 = 1, 4𝑥0 = 4, 𝑥0 = 1. Подставляя найденное значение абсциссы искомой точкив уравнение кривой, найдем значение ее ординаты 𝑦0:

𝑦0 = 4 · 12 − 6 · 1 + 3 = 1.

Итак, искомой будет точка (1; 1). J

8.15 Под каким углом пересекается парабола 𝑦 = 𝑥2 с прямой 3𝑥− 𝑦− 2 = 0?Ответ: tg𝜙1 = 1/13; tg𝜙2 = 1/7.

8.16 Под какими углами пересекаются параболы: 𝑦 = 𝑥2 и 𝑦2 = 𝑥?Ответ: 𝜙1 = 𝜋/2; tg𝜙2 = 3/4.

8.17 Под какими углами пересекается гипербола 𝑦 =1

𝑥с параболой 𝑦 =

√𝑥?

Ответ: tg𝜙 = 3.

8.18 Составить уравнения касательной и нормали к кривой

𝑦 =1

1 + 𝑥2

в точке с абсциссой 2.

I Р е ш е н и е. По заданному значению 𝑥0 = 2 находим 𝑦0 =1

1 + 22=

1

5. Значит, касательная

проходит через точку 𝑀(2; 15). Пишем уравнение пучка прямых, проходящих через точку 𝑀(2; 1

5):

𝑦 =1

5= 𝑘(𝑥− 2). (8.1)

Находим угловой коэффициент касательной

𝑘 = 𝑦′𝑥=2

=

(1

1 + 𝑥2

)′ 𝑥=2

=−2𝑥

(1 + 𝑥2)2

𝑥=2

= − 4

25.

Поскольку нормаль и касательная к кривой, проведенные в одной точке кривой, взаимно пер-пендикулярны, то для нормали угловой коэффициент 𝑘 = 25

4. Подставляя полученные значения

𝑘 в уравнение 8.1 пучка прямых, найдем искомые уравнения касательной и нормали:

∙ уравнение касательной: 𝑦 = −4𝑥+1325

, или 4𝑥+ 25𝑦 − 13 = 0,

∙ уравнение нормали: 𝑦 = 125𝑥−24620

, или 125𝑥− 20𝑦 − 246 = 0. J

29

8.19 Написать уравнения касательной и нормали, проведенных к кривой 𝑦 =𝑥3 в точке с абсциссой 2.

Ответ: 𝑦 = 12𝑥− 16; 𝑥+ 12𝑦 = 98.

8.20 При каком значении независимой переменной касательные к кривым 𝑦 =𝑥2 и 𝑦 = 𝑥3 параллельны?

Ответ: 0; 2/3.

8.21 В какой точке касательная к параболе 𝑦 = 𝑥2:а) параллельная к прямой 𝑦 = 4𝑥− 5;б) перпендикулярна к прямой 2𝑥− 6𝑦 + 5 = 0;в) образует с прямой 3𝑥− 𝑦 + 1 = 0 угол в 45∘?Ответ: 2; −3/2; −1.

8.22 На параболе 𝑦 = 𝑥2 взяты две точки с абсциссами 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 3. Черезэти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будетпараллельна проведенной секущей?

Ответ: 2.

8.23 Написать уравнения касательной и нормали к гиперболе 𝑦 = 1𝑥 в точке с

абсциссой 𝑥 = −12 .

Ответ: 𝑦 = −4𝑥− 4; 2𝑥 = 8𝑦 + 18.


8.24 Найти частные значения производных:

1) 𝑦 =sin2 𝑥

1 + cos 𝑥, 𝑥 = 0; 1,

𝜋

4,𝜋

8,√3.

2) 𝑦 =𝑥 ln𝑥

𝑒𝑥2 , 𝑓 ′(1), 𝑓 ′(2), 𝑓 ′

(√3

2

), 𝑓 ′(𝑎2).

3) 𝑦 = arcsin

√𝑥2 − 1

2, 𝑓 ′(1), 𝑓 ′

(1√2

), 𝑓 ′

(1√3

), 𝑓 ′(𝑎).

4) 𝑦 = 2√3 arctg

𝑥√3+ ln

√𝑥2 + 3, 𝑥 = 3.

5) 𝑦 =𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥

sin𝑥2, 𝑓 ′

(1

2

), 𝑓 ′

(𝜋4

).

6) 𝑦 = 5

√1− 𝑥3√1 + 𝑥

sin𝑥, 𝑥 = 0.

30

8.25 Найти производные функций 𝑦, заданных неявно следующими уравнени-ями:

1) 𝑒𝑥𝑦 − 𝑥3 − 𝑦3 = 3. 2) 𝑥𝑦 − arctg𝑥

𝑦= 3.

3) 3√𝑥+ 3

√𝑦 = 𝑎. 4) 𝑒𝑥

2𝑦2 − 𝑥4 + 𝑦4 = 5.

5) 𝑦2 + 𝑥2 − sin(𝑥2𝑦2) = 5. 6) 2𝑥 + 2𝑦 = 2𝑥+𝑦.

8.26 Найти производную 𝑦′𝑥.

1)

{𝑥 = 3𝑡2+1

3𝑡2 ,

𝑦 = sin(𝑡3

3 + 𝑡).

2)

{𝑥 =

√1− 𝑡2,

𝑦 = tg√1 + 𝑡.

3)

{𝑥 =

√2𝑡− 𝑡2,

𝑦 = 13√

(1−𝑡)2.

4)

{𝑥 = arcsin(sin 𝑡),

𝑦 = arccos(cos 𝑡).

5)

{𝑥 = ln

(𝑡+

√𝑡2 + 1

),

𝑦 = 𝑡√𝑡2 + 1.

6)

{𝑥 =

√2𝑡− 𝑡2,

𝑦 = arcsin(𝑡− 1).

8.27 Найти производные, используя логарифмическое дифференцирование:

1) 𝑦 =(𝑥− 3)2

√𝑥+ 4

(𝑥+ 2)7. 2) 𝑦 =

(𝑥− 7)10√3𝑥− 1

(𝑥+ 3)5.

3) 𝑦 =(𝑥+ 1)8(𝑥− 3)2√

(𝑥+ 2)5. 4) 𝑦 =

(𝑥+ 2)(𝑥− 7)4

3√(𝑥− 1)4

.

5) 𝑦 =5√

(𝑥+ 4)3

(𝑥− 1)2(𝑥+ 3)5. 6) 𝑦 =

3√(𝑥− 1)7

(𝑥+ 1)5(𝑥− 5)3.

8.28 Составить уравнения касательной и нормали к кривой 𝑦 = 𝑥3 + 2𝑥− 2 вточке с абсциссой 𝑥0 = 1.

Ответ: 𝑦 − 5𝑥+ 4 = 0; 5𝑦 + 𝑥− 6 = 0.

8.29 Найти углы, под которыми пересекутся линии, заданные уравнениями𝑦 = 𝑥2 и 𝑥2 + 2𝑦2 = 3.

Ответ: 90∘ и 90∘.

8.30 Записать уравнения касательной и нормали к кривой 𝑦 = ln(𝑥2 − 4𝑥+4)в точке 𝑥0 = 1.

Ответ: 2𝑥+ 𝑦 − 2 = 0; 𝑥− 2𝑦 − 1 = 0.

8.31 Составить уравнение касательной и нормали к кривой 𝑦 = 𝑥− 𝑥2 в точкес абсциссой 𝑥0 = 1.

Ответ: 𝑥+ 𝑦 − 1 = 0; 𝑥− 𝑦 − 1 = 0.

31


Дифференциал. Правило Лопиталя

Дифференциал, его геометрический смысл

9.1 Пользуясь понятием дифференциала функции, вычислить приближенноизменение, претерпеваемое функцией 𝑦 = 𝑥3 − 7𝑥2 + 80 при изменении 𝑥 отзначения 5 к значению 5,01.

I Р е ш е н и е. В данном случае будем считать 𝑥 = 5, а Δ𝑥 = 0,01. Изменение функции Δ𝑦приближенно равно дифференциалу 𝑑𝑦:

Δ𝑦 ≈ 𝑑𝑦 = 𝑦′Δ𝑥 = (3𝑥2 − 14𝑥) ·Δ𝑥 = (3 · 52 − 14 · 5) · 0,01 = 0,05. J

9.2 Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции𝑦 =

√𝑥2 + 5 в точке 𝑥 = 1,97.

I Р е ш е н и е. Ближайшая к 1,97 точка, в которой легко вычислить значения 𝑓(𝑎) и 𝑓 ′(𝑎), —это точка 𝑎 = 2. Вычисляем:

Δ𝑥 = 𝑥− 𝑎 = 1,97− 2 = −0,03,𝑓(𝑎) = 𝑓(2) = 3, 𝑓 ′(𝑥) = 𝑥√

𝑥2+5, 𝑓 ′(𝑎) = 𝑦′(2) = 2

3.

Учитывая, что 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎+Δ𝑥) ≈ 𝑓(𝑎) + 𝑓 ′(𝑎)Δ𝑥, имеем

𝑓(1,97) ≈ 3 +2

3· (−0,03) = 2,98. J

9.3 Найти дифференциал:

1) 𝑑(𝑒−𝑥 + ln𝑥). 2) 𝑑(√𝑥+ 2

√𝑥+

√𝑥.

3) 𝑑(2√𝑥3(3 ln𝑥− 2)). 4) 𝑑(arccos 𝑒𝑥).

5) 𝑑 ln(√1 + 2 sin𝑥+

√2 sin𝑥− 1). 6) 𝑑

(5 sh7

( 𝑥

35

)+ 7 sh5

( 𝑥

35

)).

7) 𝑑

(arcsin𝑥√1− 𝑥2

+ ln

√1− 𝑥

1 + 𝑥

). 8) 𝑑

(ln

1 +√sin𝑥

1−√sin𝑥

+ 2arctg√sin𝑥

).

9.4 Найти дифференциал в указанных точках:

1) 𝑑(1

𝑥+ ln

𝑥− 1

𝑥

), 𝑥 = −1. 2) 𝑑 arctg

ln𝑥

𝑥, 𝑥1 =

1

𝑒, 𝑥2 = 𝑒.

3) 𝑑((2𝑥− 1)3

√2 + 3𝑥

(5𝑥+ 4)2 3√1− 𝑥

), 𝑥 = 0. 4) 𝑑

(𝑥22𝑥

𝑥𝑥

), 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 2.

Ответы: 1) −12𝑑𝑥. 2) 2𝑒2

𝑒2+1𝑑𝑥, 0. 3) −89

√2

192𝑑𝑥. 4) (2 + ln 4)𝑑𝑥, 0.

9.5 Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенное зна-чение функции 𝑦 = 𝑦(𝑥) в указанных точках:

1) 𝑦 = 3√𝑥, а) 𝑥 = 65, б) 𝑥 = 125,1324.

2) 𝑦 = 4√𝑥, а) 𝑥 = 90, б) 𝑥 = 15,8.

32

3) 𝑦 = sin𝑥, а) 𝑥 = 29∘, б) 𝑥 = 359∘.4) 𝑦 = tg 𝑥, 𝑥 = 44∘50′.5) 𝑦 = arcsin𝑥, 𝑥 = 0,51.

6) 𝑦 =√

2−𝑥2+𝑥 , 𝑥 = 0,15.

Ответы: 1) а) 4,0208, б) 5,00177. 2) а) 3,083, б) 1,9938. 3) а) 0,485, б) −0,017. 4) 0,9942.5) 0,512. 6) 0,925.

Правило Лопиталя

Пусть функции 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥):

∙ дифференцируемы в окрестности точки 𝑎, за исключением, быть может, самой точки 𝑎,причем 𝑔′(𝑥) = 0 в этой окрестности;

∙ функции 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) являются одновременно либо бесконечно малыми, либо бесконечнобольшими при 𝑥 → 𝑎;

∙ существует конечный предел lim𝑥→𝑎𝑓 ′(𝑥)𝑔′(𝑥)

.

Тогда существует

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= lim

𝑥→𝑎

𝑓 ′(𝑥)

𝑔′(𝑥). (9.1)

Если функции 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) дифференцируемы в точке 𝑎, 𝑓(𝑎) = 𝑔(𝑎) = 0, 𝑔′(𝑎) = 0, то

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

𝑓 ′(𝑥)

𝑔′(𝑥). (9.2)

9.6 Найти lim𝑥→1𝑥5−1

2𝑥3−𝑥−1 .

I Р е ш е н и е. Применяя формулу 9.2, получаем

lim𝑥→1

𝑥5 − 1

2𝑥3 − 𝑥− 1= lim

𝑥→1

5𝑥4

6𝑥2 − 1= 1. J

9.7 Найти lim𝑥→0𝑥−arctg 𝑥

𝑥3 .I Р е ш е н и е. Раскрывая неопределенность вида 0

0по правилу Лопиталя, получаем

lim𝑥→0

𝑥− arctg 𝑥

𝑥3= lim

𝑥→0

1− 1/(1 + 𝑥2)

3𝑥2= lim

𝑥→0

𝑥2

3𝑥2(1 + 𝑥2)=

1

3. J

9.8 Найти lim𝑥→+∞ln𝑥√𝑥

.I Р е ш е н и е. Раскрывая неопределеность вида ∞

∞ по правилу Лопиталя, получаем

lim𝑥→+∞

ln𝑥√𝑥

= lim𝑥→+∞

1/𝑥

1/(2√𝑥)

= lim𝑥→+∞

2√𝑥= 0. J

33

Замечание. Применяя правило Лопиталя, часто бывает выгодно предварительно использо-вать асимптотические равенства вида

sin𝛼 ∼ tg𝛼 ∼ 𝑒𝛼 − 1 ∼ ln(1 + 𝛼) ∼ sh𝛼 ∼ arctg𝛼 ∼ arcsin𝛼 ∼ 𝛼, (9.3)

где 𝛼 = 𝛼(𝑥) → 0 при 𝑥 → 𝑎.

9.9 Найти lim𝑥→0sin𝑥−𝑥 cos𝑥

sin3 𝑥.

I Р е ш е н и е. Замечая, что sin𝑥 ∼ 𝑥 при 𝑥 → 0, по правилу Лопиталя находим

lim𝑥→0

sin−𝑥 cos𝑥

sin3 𝑥= lim

𝑥→0

sin𝑥− 𝑥 cos𝑥

𝑥3= lim

𝑥→0

cos𝑥− cos𝑥+ 𝑥 sin𝑥

3𝑥2=

1

3lim𝑥→0

sin𝑥

𝑥=

1

3. J (9.4)

9.10 Найти lim𝑥→+0 𝑥 ln𝑥.I Р е ш е н и е. Преобразуя неопределенность вида 0 · ∞ к виду ∞

∞ и применяя правило Ло-питаля, получаем

lim𝑥→+0

𝑥 ln𝑥 = lim𝑥→+0

ln𝑥

1/𝑥= lim

𝑥→+0

1/𝑥

−1/𝑥2= lim

𝑥→+0(−𝑥) = 0. J

9.11 Найти lim𝑥→0

(1𝑥2 − ctg2 𝑥

).

I Р е ш е н и е. Преобразуя неопределенность вида ∞−∞ к виду 00

и используя асимптоти-ческую формулу sin𝑥 ∼ 𝑥 при 𝑥 → 0, получаем

lim𝑥→0

(1

𝑥2− ctg2 𝑥

)= lim

𝑥→0

sin2 𝑥− 𝑥2 cos2 𝑥

𝑥2 sin2 𝑥= lim

𝑥→0

(sin𝑥+ 𝑥 cos𝑥)(sin𝑥− 𝑥 cos𝑥)

𝑥2 sin2 𝑥=

= lim𝑥→0

sin𝑥+ 𝑥 cos𝑥

𝑥· lim𝑥→0


𝑥3.

Так как

lim𝑥→0

sin𝑥+ 𝑥 cos𝑥

𝑥= lim

𝑥→0

sin𝑥

𝑥+ lim

𝑥→0cos𝑥 = 2, а lim

𝑥→0


𝑥3=

1

3

(пример 9), то искомый предел равен 2/3. J

9.12 Найти пределы:

а) lim𝑥→1

𝑥3 − 7𝑥2 + 4𝑥+ 2

𝑥3 − 5𝑥+ 4. б) lim

𝑥→0

𝑥 cos𝑥− sin𝑥

𝑥3.

в) lim𝑥→0

𝑒7𝑥 − 1

tg 3𝑥. г) lim

𝑥→1

(𝑥

𝑥− 1− 1

ln𝑥

).

д) lim𝑥→𝑎

(2− 𝑥

𝑎

)tg 𝜋𝑥/(2𝑎). е) lim

𝑥→𝜋/2(tg 𝑥)2𝜋−𝑥.

ж) lim𝑥→∞

(2/𝑥+ 1)𝑥. з) lim𝑥→0

1− cos 7𝑥

𝑥 sin 7𝑥.

и) lim𝑥→0

(cos 2𝑥)1/𝑥2

. к) lim𝑥→2

ctg(𝜋𝑥/4)

𝑥− 2.

л) lim𝑥→0

(1

𝑥

)sin𝑥

. м) lim𝑥→∞

(𝑥 sin

3

𝑥

).

Ответы: а) 7/2. б) −1/3. в) 7/3. г) 1/2. д) 𝑒2/𝜋. е) 1. ж) 𝑒2. з) 7/2. и) 𝑒−2. к)−𝜋/4. л) 1. 3.

34


9.13 Найти дифференциалы заданных функций:

1) 𝑦 = 2𝑥2 − 8𝑥+ 5. 2) 𝑦 = 4√

(𝑥+ 1)2.

3) 𝑦 = (1 + 3√𝑥)3. 4) 𝑦 =

√𝑥+

√𝑥+

√𝑥.

5) 𝑦 = sin𝑥− 𝑥 cos𝑥. 6) 𝑦 = cos(ln𝑥).

7) 𝑦 = ln tg(𝑎𝑥+ 𝑏). 8) 𝑦 = arcsin𝑥

2.

9.14 Пользуясь понятием дифференциала, найти приближенно значения функ-ций:

1) 𝑓(𝑥) = (𝑥− 3)2(𝑥− 2)3(𝑥− 4) при 𝑥 = 4,001;2) 𝑓(𝑥) = 7

√3𝑥3 + 2𝑥− 4 при 𝑥 = 1,001;

3) 𝑓(𝑥) = 𝑥 ln(𝑥− 2) при 𝑥 = 0,001.

9.15 Пользуясь понятием дифференциала, найти приближенное значение функ-ции 𝑦 = 𝑥5 − 2𝑥4 + 3𝑥3 − 4𝑥2 + 6 при 𝑥 = 1,001.

9.16 Вычислить приближенно значения:а)

√27,0081. б) sin 29∘. в) cos 151∘. г) arcsin 0,5011. д) arctg 1,002.


1) lim𝑥→𝑎

𝑒𝑥 − 𝑒𝑎

𝑥− 𝑎. 2) lim

𝑥→0

𝑥2 cos𝑥

cos𝑥− 1.

3) lim𝑥→𝜋/4

sin2 𝜙− (1/2) tg𝜙

1 + cos 4𝜙. 4) lim

𝑥→0

𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥

ln(1 + 𝑥).

5) lim𝑥→0

𝑒𝑥 − 𝑒sin𝑥

𝑥− sin𝑥. 6) lim

𝑥→0

𝑒− (1 + 𝑥)1/𝑥

𝑥.

7) lim𝑥→∞

𝑥+ 2 ln𝑥

𝑥. 8) lim

𝑥→𝜋/2

(tg 𝑥− 1

1− sin𝑥

).

9) lim𝑥→1

(1

𝑥− 1− 1

ln𝑥

). 10) lim

𝑥→2

ln(𝑥2 − 3)

𝑥2 + 3𝑥− 10.

11) lim𝑥→0

(1

𝑥2− ctg2 𝑥

). 12) lim

𝑥→0

(1

𝑥2− ctg 𝑥

𝑥

).

13) lim𝑥→1

3𝑥2 + 4𝑥− 7

2𝑥2 + 3𝑥− 5. 14) lim

𝑥→0

ln cos𝑥

ln cos 3𝑥.

15) lim𝑥→3

ln(𝑥2 − 8)

2𝑥2 − 5𝑥− 3. 16) lim

𝑥→0

ch 2𝑥− 1

𝑥2.

17) lim𝑥→0

ln cos 𝑎𝑥

𝑥2. 18) lim

𝑥→0

ln(1 + 𝑥)− 𝑥

tg2 𝑥.

35


Экстремум функции.Наибольшее и наименьшее значения функции

10.1 Исследовать на экстремум функцию:

𝑦 =1

3𝑥3 − 5

2𝑥2 + 6𝑥.

I Р е ш е н и е. Находим производную: 𝑦′ = 𝑥2−5𝑥+6. Приравниваем ее нулю: 𝑥2−5𝑥+6 = 0.Корни уравнения 𝑥1 = 2 и 𝑥2 = 3 будут стационарными точками. Поскольку производная всюсуществует и конечна, то в данном случае нет других точек, «подозрительных» на экстремум.Проверим достаточные условия экстремума. Для этого производную удобнее представить в сле-дующем виде:

𝑦′ = (𝑥− 2)(𝑥− 3).

1) Исследуем точку 𝑥1 = 2. Рассматривая значения 𝑥, близкие к 𝑥1 = 2, т. е. значения 𝑥 изнекоторой окрестности (2− 𝛿, 2+ 𝛿), достаточно малой, чтобы в нее не попала вторая «подозри-тельная» точка 𝑥2 = 3, мы увидим, что 𝑦′ > 0 при 𝑥 < 2 и 𝑦′ < 0 при 𝑥 > 2. Следовательно, вточке 𝑥1 = 2 функция имеет максимум. Значение функции равно:

𝑦

𝑥=2

=1

3· 23 − 5

2· 22 + 6 · 2 =

14

3.

2) Исследуем точку 𝑥2 = 3. Аналогично, рассматривая значения 𝑥, близкие к 𝑥2 = 3, мыполучим, что 𝑦′ < 0 при 𝑥 < 3 и 𝑦′ > 0 при 𝑥 > 3. Следовательно, в точке 𝑥2 = 3 имеетсяминимум. Значение функции равно:

𝑦

𝑥=3

=1

3· 33 − 5

2· 32 + 6 · 3 =

9

2. J

10.2 Найти наименьшее и наибольшее значения функции 𝑦 = 𝑥4 − 2𝑥2 + 5,заданной на отрезке [−2;+2].

I Р е ш е н и е. Исследуем функцию на экстремум. Находим первую производную 𝑦′ = 4𝑥3 −4𝑥 = 4𝑥(𝑥2 − 1). Решаем уравнение: 4𝑥(𝑥2 − 1) = 0, и находим стационарные точки 𝑥1 = 0,𝑥2 = −1 и 𝑥3 = 1.

Определяем значение функции в найденных точках и на концах отрезка:

𝑦

𝑥=0

= 5, 𝑦

𝑥=±1

= 4, 𝑦

𝑥=±2

= 13.

Сравнивая значения функции в стационарных точках и значения на концах, заключаем, что 𝑦 = 4является наименьшим, а 𝑦 = 13 — наибольшим значениями функции на указанном отрезке. J

Замечание. При решении задач практического содержания часто можно не проверять ана-литически достаточность условий экстремума (с помощью первой или второй производной). За-ключение о наличии экстремума обысно легко сделать на основании условий задачи. Это отно-сится также и к отысканию наибольших и наименьших значений.

36

Примерный план решения текстовых задач на экстремум таков:

1. Выбрать независимое переменное и установить область его изменения.

2. Выразить исследуемую величину через аргумент.

3. Найти стационарные точки и точки, в которых исследуемая функция не имеет производ-ной (в частности, точки, где производная обращается в бесконечность). Из числа послед-них точек исключить точки несуществования функции.

4. Вычислить значения функции в найденных точках и на концах отрезка изменения аргу-мента и выбрать из этих значений наибольшее или наименьшее.

10.3 Найти число, которое, будучи сложенным со своим квадратом, дает наи-меньшую сумму.

I Р е ш е н и е. Обозначим искомое число через 𝑥. Сумма

𝑥+ 𝑥2 = 𝑓(𝑥), −∞ < 𝑥 < +∞,

будет, очевидно, функцией, подлежащей исследованию. Имеем:

𝑓 ′(𝑥) = 2𝑥+ 1,

и решая уравнение 2𝑥 + 1 = 0, получаем 𝑥 = −1/2. Так как 𝑓 ′′(𝑥) = 2 для всех 𝑥, в том числе идля 𝑥 = −1/2, то 𝑓(𝑥) в точке 𝑥 = −1/2 имеет минимум. Его значение 𝑓(−1/2) = −1/2 + 1/4 =−1/4. Это значение, очевидно, будет и наименьшим значением, так как на всей области своегосуществования (−∞,+∞) функция не имеет больше точек экстремума. J

10.4 Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так,чтобы с трех сторон она была огорожена проволочной сеткой, а четвертой сто-роной примыкала к стене. Для этого имеется 𝑎 погонных метров сетки. при какомсоотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?

I Р е ш е н и е. Обозначим стороны площадки через 𝑥 и 𝑦, как показано на рисунке ??. Тогдаплощадь площадки будет равна 𝑆 = 𝑥𝑦. По условию, данному в задаче, должно выполнятьсяравенство 2𝑥 + 𝑦 = 𝑎. Поэтому 𝑦 = 𝑎 − 2𝑥 и 𝑆 = 𝑥(𝑎 − 2𝑥), где 0 6 𝑥 6 𝑎/2. (Областьсуществования функции 𝑆 определяется из тех соображений, что длина и ширина площадки немогут быть отрицательными.) Теперь решаем по обычной схеме:

𝑆 ′ = 𝑎− 4𝑥, 𝑎− 4𝑥 = 0, 𝑥 =𝑎

4, 𝑦 = 𝑎− 2 · 𝑎

4=

𝑎

2.

𝑦

𝑥

Так как 𝑆 ′′ = −4 < 0, то при 𝑥 = 𝑎/4 функция 𝑆 имеет максимум.Значение функции

𝑥=𝑎/4=

𝑎

4

(𝑎− 𝑎

2

)=

𝑎2

8кв. ед.

Поскольку функция 𝑆(𝑥) непрерывна на [0; 𝑎/2], и ее значения на кон-цах 𝑆(0) и 𝑆(𝑎/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшимзначением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношениемсторон площадки при данных условиях задачи является

𝑦

𝑥= 2. J

37

10.5 Найти максимумы и минимумы функций:1) 𝑦 = 𝑥2 − 6𝑥+ 8. 2) 𝑦 = 𝑥2𝑒−𝑥.3) 𝑦 = 𝑥3 − 12𝑥+ 1. 4) 𝑦 = 𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥.

5) 𝑦 = −𝑥2 5√

(𝑥− 2)2. 6) 𝑦 =3√

2𝑥3 + 3𝑥2 − 36𝑥.

7) 𝑦 = sin𝑥− 𝑥+𝑥3

3. 8) 𝑦 =

√𝑒𝑥2 − 𝑥2.

Ответы: 1) 𝑦min = 𝑦(3) = −1. 2) 𝑦min = 𝑦(0) = 0; 𝑦max = 𝑦(2) = 4/𝑒2. 3) 𝑦max =𝑦(2) = 17; 𝑦min = 𝑦(2) = −15. 4) 𝑦min = 𝑦(0) = 2. 5) 𝑦max = 𝑦(0) = 0; 𝑦min = 𝑦(10/7) =

−(100/49) · 5√

16/49. 6) 𝑦max = 𝑦(−3) = 3√117; 𝑦min = 𝑦(2) = − 3

√44. 7) функция не имеет

экстремумов. 8) 𝑦min = 𝑦(0) = 0.

10.6 Найти наибольшее и наименьшее значения функции 𝑦 на отрезке [𝑎, 𝑏].

1) 𝑦 = 1− 3√

𝑥2 − 2𝑥, [0, 2]. 2) 𝑦 = 2𝑥− 33√𝑥2, [−1, 1].

3) 𝑦 = 𝑥2(𝑥− 2)2, [0, 2]. 4) 𝑦 = (𝑥3 − 9𝑥2)/4 + 6𝑥− 9, [0, 4].

5) 𝑦 = 4𝑥2/(3 + 𝑥2), [−1, 1]. 6) 𝑦 = 1 +3√

𝑥2 + 2𝑥, [−2, 0].

Ответы: 1) 𝑦min = 𝑦(0) = 𝑦(2) = 1; 𝑦max = 𝑦(1) = 2. 2) 𝑦min = 𝑦(−1) = −5; 𝑦max = 𝑦(0) =0. 3) 𝑦min = 𝑦(0) = 𝑦(2) = 0; 𝑦max = 𝑦(1) = 1. 4) 𝑦min = 𝑦(0) = −9; 𝑦max = 𝑦(2) = −4. 5)𝑦min = 𝑦(0) = 0; 𝑦max = 𝑦(−1) = 𝑦(1) = 1. 6) 𝑦min = 𝑦(−2) = 𝑦(1) = 1; 𝑦max = 𝑦(−1) = 2.

10.7 Среди всех прямоугольников, имеющих данную площадь 𝑆, найти пря-моугольник:

а) с наименьшим периметром; б) с наименьшей диагональю.

10.8 Найти на гиперболе 𝑥2/2− 𝑦2 = 1 точку, ближайшую к точке 𝐴(2; 1/2).

10.9 Найти наибольшую площадь прямоугольника, две вершины которого ле-жат на осях 𝑂𝑥 и 𝑂𝑦 прямоугольной системы координат, третья — в точке (0; 0),а четвертая — на параболе 𝑦 = 3− 𝑥2.

10.10 Лист картона имеет форму прямоугольника со сторонами 𝑎 и 𝑏. Выре-зая по углам этого прямоугольника квадраты и сгибая выступающие части кре-стообразной фигуры, получим открытую сверху коробку, высота которой равнастороне квадрата. Какой должна быть сторона квадрата, чтобы объем коробкибыл наибольшим?

10.11 Из трех досок одинаковой ширины нужно сколотить желоб. При ка-ком угле наклона боковых стенок площадь поперечного сечения желоба будетнаибольшей?

10.12 Предполагают изготовить пластинку в форме прямоугольника с при-ставленными к нему на двух противоположных сторонах полукругами. Каковыдолжны быть линейные размеры пластинки для того, чтобы при заданном пери-метре 2𝑝 контура ее площадь была наибольшей?

10.13 Дан ящик в квадратным основанием и объемом 𝑉 . Каковы должны бытьего размеры для того, чтобы поверхность (без крышки) была наименьшей?

38


10.14 Найти наибольшие и наименьшие значения данных функций в указан-ных промежутках:

1) 𝑦 = 𝑥4 − 8𝑥2 + 3, [−2, 2]. 2) 𝑦 = tg 𝑥− 𝑥, [−𝜋/4, 𝜋/4].3) 𝑦 = 𝑥3, [−2, 3]. 4) 𝑦 = 2𝑥−

√𝑥.

10.15 Изготовить из куска картона 30 × 14 (см2) коробку (без крышки) наи-большей вместимости, вырезая равные квадраты по углам и затем загибая кар-тон для образования боков коробки (см. рис. 2).

Ответ: Наибольший объем равен 𝑉 = 576 см3 при 𝑥 = 3 см.

𝑥𝑥

30 см

14см

Рис. 2.

𝑟

Рис. 3.

𝑥

𝑦

Рис. 4.

10.16 Проволокой длиной 20 м требуется огородить клумбу, которая должнаиметь форму кругового сектора (см. рис. 3). Какой следует взять радиус круга,чтобы площадь клумбы была наибольшей?

Ответ: Надо взять радиус, равный 5 метрам.

10.17 Бак цилиндрической формы должен вмещать 𝑉 литров воды. Каковыдолжны быть его размеры, чтобы поверхность (без крышки) была наименьшей(см. рис. 4)?

Ответ: 𝑥 = 𝑦 = 3√

𝑉/𝜋.

10.18 Из всех прямоугольников, имеющих периметр, равный 2𝑎, найти тот,площадь которого наибольшая.

Ответ: Квадрат со стороной 𝑎/2.

10.19 Число 12 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их кубов быланаименьшей.

Ответ: 6 и 6.

10.20 Каковы должны быть коэффициенты 𝑝 и 𝑞 трехчлена

𝑥2 + 𝑝𝑥+ 𝑞,

чтобы этот трехчлен при 𝑥 = 2 имел минимум, равный 1?Ответ: 𝑝 = −4, 𝑞 = 5.

39


Исследование функций и построение их графиковИсследование функции можно проводить по следующей схеме:

1. Найти область существования функции.

2. Исследовать изменение функции при 𝑥, стремящемся к концами промежутков областисуществования.

3. Найти промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума.

4. Вычислить значения экстремумов.

5. Определить интервалы выпуклости и вогнутости грайика, найти точки перегиба.

6. Найти точки пересечения графика функции с координатными осями.

7. Найти асимптоты графика функции.

По результатам исследования можно построить математически грамотный эскиз ее графика.Если исследуемая функция четная или нечетная, достаточно исследовать функцию и постро-

ить ее график для положительных значений аргумента из области определения.Иногда порядок исследования целесообразно выбирать, исходя из конкретных особенностей

данной функции.

11.1 Исследовать функцию

𝑓(𝑥) =𝑥3

𝑥2 − 3

и построить ее график.I Р е ш е н и е. Пользуемся схемой исследования функции.

1. Функция не определена лишь в точках, годе знаменатель обращается в нуль, т. е. при𝑥1 = −

√3, 𝑥2 =

√3. Следовательно, область определения состоит из трех интервалов:

(−∞;−√3) ∪ (−

√3;√3) ∪ (

√3;+∞).

2. Исследуем изменение функции при 𝑥, стремящемся к концам интервалов области опре-деления:

lim𝑥→−∞

𝑥3

𝑥2 − 3= −∞, lim

𝑥→−√3−0

𝑥3

𝑥2 − 3= −∞, lim

𝑥→−√3+0

𝑥3

𝑥2 − 3= +∞,

lim𝑥→

√3−0

𝑥3

𝑥2 − 3= −∞, lim

𝑥→√3+0

𝑥3

𝑥2 − 3= +∞, lim

𝑥→+∞

𝑥3

𝑥2 − 3= +∞.

3. Точки экстремума ищем среди критических точек, т. е. таких точек, где первая производ-ная обращается в нуль. Находим производные данной функции:

𝑓 ′(𝑥) =

(𝑥3

𝑥2 − 3

)′

=3𝑥2(𝑥2 − 3)− 2𝑥𝑥3

(𝑥2 − 3)2=

𝑥4 − 9𝑥2

(𝑥2 − 3)2=

𝑥2(𝑥2 − 9)

(𝑥2 − 3)2;

𝑓 ′′(𝑥) =

[𝑥4 − 9𝑥2

(𝑥2 − 3)2

]′=

6𝑥(𝑥2 + 9)

(𝑥2 − 3)3.

40

Первая производная обращается в нуль, когда 𝑥2(𝑥2 − 9) = 0, откуда 𝑥1 = −3, 𝑥2 = 3,𝑥3 = 0. Исследуем знак второй проивзодной при этих значениях 𝑥:

𝑓 ′′(−3) =6(−3)(9 + 9)

(9− 3)3< 0, 𝑓 ′′(3) =

6 · 3(9 + 9)

(9− 3)3> 0, 𝑓 ′′(0) = 0.

Таким образом, 𝑥 = −3 является точкой максимума, 𝑥 = 3 — точкой минимума.

Поскольку 𝑓 ′′(0) = 0, обращаемся к первому правилу нахождения экстремума. Если 𝑥достаточно мало по абсолютному значению, то 𝑓 ′(𝑥) < 0 при 𝑥 < 0 и 𝑥 > 0, так как𝑥2 > 0, (𝑥2 − 3)2 > 0, (𝑥2 − 9) < 0. Знак первой проивзодной при переходе через точку𝑥 = 0 не меняется, поэтому данная точка не является точкой экстремума.

Определим интервалы возрастания и убывания функции с помощью первой производной.Так как

𝑓 ′(𝑥) =𝑥2(𝑥2 − 9)

(𝑥2 − 9)2> 0,

когда |𝑥| > 3, т. е. при −∞ < 𝑥 < −3, 3 < 𝑥 < +∞, то функция возрастает в промежутках(−∞;−3), (3;+∞). Так как

𝑓 ′(𝑥) =𝑥2(𝑥2 − 9)

(𝑥2 − 3)2< 0,

когда |𝑥| < 3, т. е. при −3 < 𝑥 < 3, то функция убывает в промежутках (−3;−√3),

(−√3;√3), (

√3, 3). (Заметим, что в точках 𝑥 = −

√3, 𝑥 =

√3 производная не определена,

как и сама функция.)

4. Вычисляем значения экстремумов:

𝑦max = 𝑦(3) =33

9− 3=

27

6=

9

2;

𝑦min = 𝑦(−3) =(−3)3

9− 3= −27

6= −9

2.

5. Определяем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба. Вто-рая производная равна нулю при 𝑥 = 0 и меняет знак при переходе через эту точку. Всамом деле, при 𝑥, достаточно малых по абсолютной величине, получаем

𝑓 ′′(𝑥) =6𝑥(𝑥2 + 9)

(𝑥2 − 3)3> 0 при 𝑥 < 0,

𝑓 ′′(𝑥) =6𝑥(𝑥2 + 9)

(𝑥2 − 3)3< 0 при 𝑥 > 0,

так как 𝑥2+9 > 0 и (𝑥2−3)3 < 0. Следовательно, точка 𝑂(0, 0) является точкой перегиба.

Вторая производная не определена при 𝑥1 = −√3, 𝑥2 =

√3, т. е. в точках, в которых не

определена и сама функция. Так как 𝑓 ′′(𝑥) < 0, когда −∞ < 𝑥 < −√3, 0 < 𝑥 <

√3,

𝑓 ′′(𝑥) > 0 при −√3 < 𝑥 < 0,

√3 < 𝑥 < ∞, то график функции является выпуклым

вверх (вогнут вниз) в интервалах (−∞;−√3), (0;

√3) и выпуклым вниз (вогнут вверх) в

интервалах (−√3; 0), (

√3;∞). Указанное можно продемонстрировать рисунком:

𝑥− − + + − − + +𝑓 ′′(𝑥)

𝑓(𝑥) −√3 0

√3

41

6. Для нахождения точек пересечения графика функции с координатными осями необходиморешить системы уравнений: {

𝑦 = 𝑥3

𝑥2−3,

𝑦 = 0;

{𝑦 = 𝑥3

𝑥2−3,

𝑥 = 0;

Обе системы имеют одно и то же решение: 𝑥 = 0, 𝑦 = 0. Таким образом, график функциипересекает координатные оси в начале координат.

7. Находим вертикальные асимптоты. Поскольку

lim𝑥→−

√3−0

𝑥3

𝑥2 − 3= −∞; lim

𝑥→√3−0

𝑥3

𝑥2 − 3= −∞;

lim𝑥→−

√3+0

𝑥3

𝑥2 − 3= +∞; lim

𝑥→√3+0

𝑥3

𝑥2 − 3= +∞,

то прямые 𝑥 = −√3 и 𝑥 =

√3 являются вертикальными асимптотами графика функции.

Данную функцию путем непосредственного деления можно представить в виде

𝑓(𝑥) =𝑥3

𝑥2 − 3= 𝑥+

3𝑥

𝑥2 − 3, где lim

𝑥→±∞

3𝑥

𝑥2 − 3= 0,

поэтому заключаем, что прямая 𝑦 = 𝑥 является наклонной асимптотой. (3)

На основании полученных результатов можно построить график функции (см. рисунок 5).

11.2 Исследовать функции и построить их графики:

1) 𝑦 =2𝑥

1− 𝑥2. 2) 𝑦 = (𝑥− 1)𝑒𝑥.

3) 𝑦 =𝑒

1𝑥

𝑥. 4) 𝑦 =

√125− 𝑥3

3𝑥.

5) 𝑦 =2𝑥

1 + 𝑥2. 6) 𝑦 = 𝑥2(𝑥− 4)2.

7) 𝑦 = 𝑥𝑒−𝑥2

2 . 8) 𝑦 =ln𝑥

𝑥.

9) 𝑦 =3√1− ln𝑥. 10) 𝑦 =

1

1− 𝑒𝑥.

Домашнее задание (ДЗ №11) является индивидуальным (для кадого сту-дента свое). О том, как его получить, будет объявлено в свое время.

(3)Этот вывод можно было сделать, вычислив непосредственно пределы

lim𝑥→±∞

𝑓(𝑥)

𝑥= lim

𝑥→±∞

𝑥2

𝑥2 − 3= 1 = 𝑘,

lim𝑥→±∞

[𝑓(𝑥)− 𝑘𝑥] = lim𝑥→±∞

𝑥3

𝑥2 − 3− 𝑥 = lim

𝑥→±∞

3𝑥

𝑥2 − 3= 0 = 𝑏.

42

𝑥

𝑦

0

𝑦=𝑥

—нак

лоннаяас

имптота

𝑥=

√3

—ве

ртик

альн

аяас

импт

ота

𝑥=

−√3

—ве

ртик

альн

аяас

импт

ота

√3−

√3

−3

3

9

2

−9

2

𝑦min

𝑦max

Рис. 5.

43

11.3 Исследовать функцию 𝑦 = ln

𝑥− 1

𝑥+ 1

и построить ее график.

I Р е ш е н и е. Функция не определена при 𝑥 = 1 и 𝑥 = −1. Область суще-ствования состоит из трех интервалов: (−∞;−1), (−1; 1), (1;+∞).

На концах интервалов области существования имеем:

lim𝑥→∞

ln

𝑥− 1

𝑥+ 1

= 0, lim

𝑥→−1ln

𝑥− 1

𝑥+ 1

= +∞,

lim𝑥→1

ln

𝑥− 1

𝑥+ 1

= −∞, lim

𝑥→+∞ln

𝑥− 1

𝑥+ 1

= 0.

Производная функции

𝑦′ =𝑥+ 1

𝑥− 1

(𝑥− 1

𝑥+ 1

)=

2

𝑥2 − 1

не равна нулю ни в одной точке. Производная не существует, если 𝑥2 − 1 = 0,т. е. при 𝑥1 = −1 и 𝑥2 = 1, но в этих точках не определена и сама функция.Следовательно, данная функция экстремумов не имеет.

При 𝑥 < −1 𝑦′ > 0, при −1 < 𝑥 < 1 𝑦′ < 0, при 𝑥 > 1 𝑦′ > 0, откуда следует,что функция возрастает в интервале (−∞;−1), убывает в интервале (−1; 1) ивозрастает в интервале (1;∞).

Вторая производная

𝑦′′ =

(2

𝑥2 − 1

)′=

4𝑥

(𝑥2 − 1)2

обращается в нуль при 𝑥 = 0. Если 𝑥 < 0, то 𝑦′′ > 0, при 𝑥 > 0 𝑦′′ < 0, следова-тельно, 𝑥 = 0 — абсцисса точки перегиба.

Так как

lim𝑥→−1

ln

𝑥− 1

𝑥+ 1

= +∞, lim

𝑥→1ln

𝑥− 1

𝑥+ 1

= −∞,

то прямые 𝑥 = −1, 𝑥 = 1 являются вертикальными асимптотами.Поскольку функцию 𝑦 = ln

𝑥−1𝑥+1

можно представить в виде

𝑦 = 0 + ln

𝑥− 1

𝑥+ 1

, где lim

𝑥→∞ln

𝑥− 1

𝑥+ 1

= 0,

то график кривой имеет и горизонтальную асимптоту 𝑦 = 0 (см. рис. 6).

44

11.4 Построить график функции 𝑦 = 3√6𝑥2 − 𝑥3.

I Р е ш е н и е. Функция определена и непрерывна при всех 𝑥. Первая про-изводная

𝑦′ =12𝑥− 3𝑥2

3 3√(6𝑥2 − 𝑥3)2

=4− 𝑥

3√

𝑥(6− 𝑥)2

существует всюду, за исключением точке 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 6.Исследуем предельные значения производной при 𝑥, стремящемся к нулю сле-

ва и справа:

lim𝑥→−0

4− 𝑥3√𝑥 3√(6− 𝑥)2

= −∞, lim𝑥→+0

4− 𝑥3√𝑥 3√(6− 𝑥)2

= +∞,

при 𝑥 < 0 𝑦′ < 0, при 𝑥 > 0 𝑦′ > 0, следовательно, функция имеет минимум вточке 𝑥 = 0, причем 𝑦min = 0.

Рассмотрим критическую точку 𝑥2 = 6. При 𝑥 → 6 − 0 𝑦′ → −∞, при 𝑥 →6 + 0 также 𝑦′ → −∞, т. е. производная отрицательна слева и справа от точки𝑥2 = 6, поэтому в данной точке экстремума нет. В этой точке функция убывает,касательная к кривой в точке 𝑥2 = 6 вертикальна.

При 𝑥 = 4 производная обращается в нуль. Так как при 𝑥 < 4 𝑦′ > 0, при 𝑥 > 4𝑦′ < 0, то 𝑥 = 4 — точка максимума, причем 𝑦max = 2 3

√4.

Таким образом, в промежутке (−∞; 0) функция убывает, в промежутке (0; 4)— возрастает, в промежутке (4;+∞) — убывает.

Определяем точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Вто-рая производная

𝑦′′ = − 8

𝑥43 (6− 𝑥)

53

в нуль не обращается ни в одной точке, в точках 𝑥 = 0 и 𝑥 = 6 она не определена.Исследуем знак второй производной вблизи этих точек. Так как 𝑦′′ < 0 при

𝑥 < 0 и при 𝑥 > 0, то кривая выпукла вверх слева и справа от точки с абсциссой𝑥 = 0 и, следовательно, точка 𝑂(0; 0) не является точкой перегиба; с другойстороны, 𝑂 — точка минимума (такая точка называется точкой возврата).

При 𝑥 < 6 имеем 𝑦′′ < 0, при 𝑥 > 6 𝑦′′ > 0, поэтому точка (6; 0) являетсяточкой перегиба.

Определим асимптоты кривой:

𝑘 = lim𝑥→±∞

𝑦

𝑥= lim

𝑥→±∞

3√6𝑥2 − 𝑥3

𝑥= lim

𝑥→±∞3

√6

𝑥− 1 = −1;

𝑏 = lim𝑥→±∞

[𝑦 − 𝑘𝑥] = lim𝑥→±∞

[3√

6𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥] =

lim𝑥→±∞

6𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥3

3√

(6𝑥2 − 𝑥3)2 − 𝑥 3√6𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥3

= 2.

Следовательно, прямая 𝑦 = −𝑥+2 является асимптотой кривой 𝑦 = 3√6𝑥2 − 𝑥3

(см. рис. 7).45

𝑥

𝑦

0 1−1

Рис. 6.

𝑥

𝑦

𝑦=−𝑥+2—

наклонная асимптота

4

точка максимума

𝑂

точка возврата

𝑥=

6—

каса

тель

ная

6

Рис. 7.

46

Индивидуальные задания

Исследовать функции и построить их графики.

11.5 Екатерине Алексеевой:

а) 𝑦 =𝑥2 + 𝑥− 1

𝑥2 − 2𝑥+ 1. б) 𝑦 = ln𝑥− 𝑥+ 1. в) 𝑦 = 𝑒

1𝑥 .

11.6 Алене:

а) 𝑦 =4 + 𝑥− 2𝑥2

(𝑥− 2)2. б) 𝑦 =

ln𝑥

𝑥. в) 𝑦 = 𝑒−

1𝑥2 .

11.7 Сергею:

а) 𝑦 =20𝑥2

(𝑥− 1)3. б) 𝑦 =

ln𝑥√𝑥. в) 𝑦 = 𝑒𝑥

2−2𝑥.

11.8 Ольге:

а) 𝑦 =(𝑥− 1)2

(𝑥+ 1)3. б) 𝑦 = 𝑥2 ln𝑥. в) 𝑦 = (1 + 𝑥2)𝑒𝑥.

11.9 Яне:

а) 𝑦 =𝑥3

𝑥− 1. б) 𝑦 = 𝑥 ln2 𝑥. в) 𝑦 = 𝑥+ 𝑒−𝑥.

11.10 Андрею:

а) 𝑦 =1 + 𝑥2

1 + (𝑥− 2)2. б) 𝑦 =

ln2 𝑥

𝑥. в) 𝑦 =

𝑒−𝑥

𝑥+ 1.

11.11 Виктории Кирилловой:

а) 𝑦 =5𝑥2 + 42𝑥+ 77

𝑥2 + 7𝑥+ 14. б) 𝑦 =

𝑥

ln𝑥. в) 𝑦 = 𝑒

15+𝑥 .

11.12 Ксении:

а) 𝑦 =𝑥4

𝑥3 + 2. б) 𝑦 =

𝑥3√𝑥2 − 1

. в) 𝑦 = 𝑥23𝑒−𝑥.

11.13 Дмитрию:

а) 𝑦 =𝑥4

(𝑥+ 1)3. б) 𝑦 = 𝑥− ln(𝑥+ 1). в) 𝑦 = (𝑥− 1)𝑒3𝑥+1.

11.14 Марине:

а) 𝑦 = 3𝑥+6

𝑥− 1

𝑥3. б) 𝑦 =

𝑥3√𝑥+ 1

. в) 𝑦 =𝑒−𝑥2

𝑥+ 1.

47

11.15 Дамире:

а) 𝑦 =

(𝑥+ 1

𝑥− 1

)4

. б) 𝑦 =𝑥

3√

(𝑥− 2)2. в) 𝑦 =

𝑒𝑥

16− 𝑥2.

11.16 Светлане:

а) 𝑦 =𝑥5

(𝑥2 − 1)2. б) 𝑦 = 𝑥 ln(1 + 𝑥2). в) 𝑦 = 𝑒2𝑥−𝑥2

.

11.17 Наташе:

а) 𝑦 =(𝑥− 1)5

(𝑥− 2)4. б) 𝑦 =

3

√𝑥2

1 + 𝑥. в) 𝑦 =

𝑒−𝑥

𝑥2.

11.18 Насте:

а) 𝑦 =𝑥5 − 8

𝑥4. б) 𝑦 =

3

√(3𝑥− 2)2

𝑥− 1. в) 𝑦 = 𝑥3𝑒−𝑥.

11.19 Роксане:

а) 𝑦 =𝑥5

𝑥4 − 1. б) 𝑦 =

3

√(𝑥+ 1

𝑥+ 2

)2

. в) 𝑦 = 𝑒1

𝑥2−4 .

11.20 Екатерине Петровой:

а) 𝑦 =(𝑥− 1)4

𝑥(𝑥2 − 4). б) 𝑦 =

3√𝑥2

𝑥+ 2. в) 𝑦 = 𝑒

1−𝑥2

𝑥4 .

11.21 Виктории Платоновой:

а) 𝑦 =𝑥2 − 2𝑥+ 2

𝑥− 1. б) 𝑦 = 𝑥 ln2 𝑥. в) 𝑦 = 𝑥𝑒

1𝑥 .

11.22 Екатерине Прохоровой:

а) 𝑦 =𝑥+ 1

(𝑥− 1)2. б) 𝑦 = −𝑥 ln2 𝑥. в) 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥.

11.23 Анне Семеновой:

а) 𝑦 =𝑥

9− 𝑥. б) 𝑦 = 𝑥+ ln(𝑥2 − 4). в) 𝑦 = 𝑒

12−𝑥 .

11.24 Анне Тимофеевой:

а) 𝑦 =4𝑥− 𝑥2 − 4

𝑥. б) 𝑦 = ln(𝑥2 + 1). в) 𝑦 = (𝑥− 1)𝑒3𝑥+1.

11.25 Алле:

а) 𝑦 =𝑥2

4𝑥2 − 1. б) 𝑦 = 𝑥2 − 2 ln𝑥. в) 𝑦 =

𝑒2𝑥 + 1

𝑒𝑥.

48


Неопределенный интеграл

Интегрирование разложением

13.1 Найти интеграл∫ctg2 𝑥𝑑𝑥.

I Р е ш е н и е.∫ctg2 𝑥𝑑𝑥 =

∫ (1

sin2 𝑥− 1)𝑑𝑥 = − ctg 𝑥− 𝑥+ 𝐶. J

13.2 Найти интеграл∫

𝑑𝑥sin2 𝑥 cos2 𝑥

.

I Р е ш е н и е.∫

𝑑𝑥sin2 𝑥 cos2 𝑥

=∫

cos2 𝑥+sin2 𝑥sin2 𝑥·cos2 𝑥 𝑑𝑥 =

∫𝑑𝑥

sin2 𝑥+∫

𝑑𝑥cos2 𝑥

= − ctg 𝑥+ tg 𝑥+ 𝐶.


𝑥4

1+𝑥2𝑑𝑥.

I Р е ш е н и е. Прибавляя и вычитая единицу из 𝑥4, получаем∫𝑥4

1 + 𝑥2𝑑𝑥 =

∫(𝑥4 − 1) + 1

1 + 𝑥2𝑑𝑥 =

∫(𝑥2 − 1)(𝑥2 + 1)

1 + 𝑥2𝑑𝑥+

∫𝑑𝑥

1 + 𝑥2=

=

∫(𝑥2 − 1)𝑑𝑥+

∫𝑑𝑥

1 + 𝑥2=

∫𝑥2𝑑𝑥+

∫𝑑𝑥

1 + 𝑥2=

𝑥3

3− 𝑥+ arctg 𝑥+ 𝐶. J

13.4 Найти данные неопределенные интегралы:

1)∫

𝑥4 − 3𝑥3 + 4𝑥2 + 6𝑥− 8

𝑥2𝑑𝑥. 2)

∫ (3√𝑥2 +

13√𝑥

)𝑑𝑥.

3)∫

cos2𝑥

2𝑑𝑥. 4)

∫ (sin

𝑥

2+ cos

𝑥

2

)2𝑑𝑥.

5)∫

3− 4 cos2 𝑥

cos2 𝑥𝑑𝑥. 6)

∫(𝑎𝑥− 𝑏)3𝑑𝑥.

Ответы: 1) 𝑥3

3− 3

2𝑥2 +4𝑥+6 ln𝑥+ 8

𝑥+𝐶. 2) 3

5𝑥

3√𝑥2 + 3

2

3√𝑥2 +𝐶. 3) 1

2𝑥+ 1

2sin𝑥+𝐶. 4)

𝑥− cos𝑥+ 𝐶. 5) 3 tg 𝑥− 4 sin𝑥+ 𝐶. 6) 𝑎2

4𝑥4 − 𝑎2𝑏𝑥2 + 3

2𝑎𝑏2𝑥2 − 𝑏3𝑥+ 𝐶.

Интегрирование подведением под знак дифференциала

Полезно иметь в виду простейшие преобразования дифференциала:

𝑑𝑥 = 𝑑(𝑥+ 𝑏). 𝑑𝑥 = 1𝑎𝑑(𝑎𝑥). 𝑑𝑥 = 1

𝑎𝑑(𝑎𝑥+ 𝑏). 𝑥𝑑𝑥 = 1

2𝑑(𝑥2).

𝑥𝑑𝑥 = 12𝑑(𝑥2 + 𝑏). sin𝑥𝑑𝑥 = −𝑑(cos𝑥). cos𝑥𝑑𝑥 = 𝑑 sin𝑥.

13.5 Найти неопределенный интеграл∫(2𝑥+ 3)2𝑑𝑥.

I Р е ш е н и е. Имеем 𝑑𝑥 = 12𝑑(2𝑥+ 3). Теперь находим:∫

(2𝑥+ 3)2𝑑𝑥 =

∫(2𝑥+ 3)2

1

2𝑑(2𝑥+ 3) =

1

2

(2𝑥+ 3)3

3+ 𝐶 =

1

6(2𝑥+ 3)3 + 𝐶. J

49

13.6 Найти интеграл∫ √

𝑥+ 4𝑑𝑥.

I Р е ш е н и е.∫ √

𝑥+ 4𝑑𝑥 =∫(𝑥 + 4)

12𝑑(𝑥 + 4) = (𝑥+4)

12+1

12+1

+ 𝐶 = 23(𝑥 + 4)

32 + 𝐶 = 2

3(𝑥 +

4)√𝑥+ 4 + 𝐶. J


𝑥𝑑𝑥𝑥2+2 .

I Р е ш е н и е.∫

𝑥𝑑𝑥𝑥2+2

=∫ 1

2𝑑(𝑥2+2)

𝑥2+2= 1

2

∫ 𝑑(𝑥2+2)𝑥2+2

= 12ln(𝑥2 + 2) + 𝐶. J

13.8 Применяя простейшие преобразования дифференциала и таблицу инте-гралов, найти неопределенные интегралы:

1)∫

(3𝑥− 5)2𝑑𝑥. 2)∫ √

2𝑥+ 3𝑑𝑥.

3)∫ √

𝑥2 − 4𝑥𝑑𝑥. 4)∫

𝑒−𝑥/3𝑑𝑥.

5)∫ (

sin𝑥

3+ cos

𝑥

3

)𝑑𝑥. 6)

∫𝑥𝑑𝑥

𝑥2 + 1.

Ответы: 1) 19(3𝑥 − 5)3 + 𝐶. 2) 1

3(2𝑥 + 3)

32 + 𝐶. 3) 1

3(𝑥2 − 4)

32 + 𝐶. 4) −3𝑒−

𝑥3 + 𝐶. 5)

3(sin 𝑥

3− cos 𝑥

3

)+ 𝐶. 6) 1

2ln(𝑥2 + 1) + 𝐶.

Метод подстановки

13.9 Найти интеграл∫𝑥𝑒𝑥

2

𝑑𝑥.I Р е ш е н и е. Положим 𝑥2 = 𝑡, тогда 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑡, 𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑡

2. Подставляя полученные значения

в подынтегральное выражение, получим∫𝑥𝑒𝑥

2

𝑑𝑥 =

∫𝑒𝑥

2

𝑥𝑑𝑥 =

∫𝑒𝑡𝑑𝑡

2=

1

2

∫𝑒𝑡𝑑𝑡 =

1

2𝑒𝑡 + 𝐶 =

1

2𝑒𝑥

2

+ 𝐶. J

13.10 Найти интеграл∫𝑥√𝑥− 2𝑑𝑥.

I Р е ш е н и е. Чтобы избавиться от корня, положим√𝑥− 2 = 𝑡. Тогда 𝑥 = 𝑡2+2 и 𝑑𝑥 = 2𝑡𝑑𝑡.

Подставляя полученные равенства в подынтегральное выражение, находим∫𝑥√𝑥− 2𝑑𝑥 =

∫(𝑡2 + 2)𝑡2𝑡𝑑𝑡 =

∫(2𝑡4 + 4𝑡2)𝑑𝑡 = 2

∫𝑡4𝑑𝑡+ 4

∫𝑡2𝑑𝑡 =

= 2𝑡5

5+ 4

𝑡3

3+ 𝐶 =

2

5(𝑥− 2)

52 +

4

3(𝑥− 2)

32 + 𝐶. J

13.11 Методом подстановки найти интегралы:

1)∫ √

2𝑥− 3𝑑𝑥. 2)∫

𝑥√𝑥+ 4

𝑑𝑥.

3)∫

sin𝑥𝑑𝑥√1 + 6 cos𝑥

. 4)∫

sin3 𝑥 cos𝑥𝑑𝑥.

5)∫

sin𝑥


∫𝑥2𝑒𝑥

3

𝑑𝑥.

Ответы: 1) 13(3𝑥 − 3)

32 + 𝐶. 2) 2

3

√(𝑥+ 4)3 − 8

√𝑥+ 4 + 𝐶. 3) −1

3

√1 + 6 cos𝑥 + 𝐶. 4)

sin4 𝑥4

+ 𝐶. 5) 1cos𝑥

+ 𝐶. 6) 13𝑒𝑥

3+ 𝐶.

50


13.12 Вычислить интегралы:

1)∫

(1− 𝑥𝑛)3√𝑥

𝑑𝑥. 2)∫

𝑒𝑥(1 +

𝑒−𝑥

𝑥3

).

3)∫ (

4

1 + 𝑥2− 5√

1− 𝑥2

)𝑑𝑥. 4)

∫𝑥2

1 + 𝑥2𝑑𝑥.

Ответы: 1)√𝑥(2− 4𝑥𝑛

2𝑛+1+ 2𝑥2𝑛

4𝑛+1

)+𝐶. 2) 𝑒𝑥 − 1

2𝑥2 +𝐶. 3) 4 arctg 𝑥+ 5arccos 𝑥+𝐶. 4)𝑥− arctg 𝑥+ 𝐶.


1)∫

𝑑𝑥√1− 𝑥2

9

. 2)∫

𝑑𝑥

4𝑥2 − 1.

3)∫

ctg 𝑥𝑑𝑥. 4)∫

2𝑥+ 6

𝑥2 + 6𝑥+ 14𝑑𝑥.

5)∫

𝑑𝑥

sin2 𝑥2

𝑑𝑥. 6)∫

𝑑𝑥

1 + 𝑥2

4

.

Ответы: 1) −2 ctg 𝑥2+ 𝐶. 2) 2 arctg 𝑥

2+ 𝐶. 3) 3 arcsin 𝑥

3+ 𝐶. 4) 1

4ln2𝑥−12𝑥+1

+ 𝐶. 5)

ln | sin𝑥|+ 𝐶. 6) ln(𝑥2 + 6𝑥+ 14) + 𝐶.


1)∫

𝑑𝑥

4− 5𝑥𝑑𝑥. 2)

∫𝑑𝑥

𝑥 ln𝑥.

3)∫

sin5 𝑥


∫𝑑𝑥

cos𝑥.

5)∫

𝑥√1− 𝑥2

𝑑𝑥. 6)∫

𝑑𝑥√(𝑥2 − 𝑎2)3

.

Ответы: 1)−15ln |4−5𝑥|+𝐶. 2) ln(ln𝑥)+𝐶. 3) 1

3 cos2 𝑥− 2

cos𝑥−cos𝑥+𝐶. 4) ln

tg(𝑥2+ 𝜋

4

)+

𝐶. 5) −√1− 𝑥2 + 𝐶. 6) − 1

𝑎2𝑥√

𝑥2−𝑎2+ 𝐶.(4)

(4)Использовать подстановку 𝑥 = 𝑎cos 𝑡 .

51


Неопределенный интеграл (продолжение)

Метод интегрирования по частям

Для справки. Если 𝑢 = 𝜙1(𝑥), 𝑣 = 𝜙2(𝑥) — дифференцируемые функции от 𝑥, то из формулыдля дифференциала произведения двух функций получается формула интегрирования по частям∫

𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −∫

𝑣𝑑𝑢. (14.1)

В качестве 𝑢 обычно выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, в каче-стве 𝑑𝑣 — оставшаяся часть подынтегрального выражения, содержащая 𝑑𝑥, из которой можноопределить 𝑣 путем интегрирования.

14.1 Найти∫𝑥 sin𝑥𝑑𝑥.

I Р е ш е н и е. Обозначим: 𝑥 = 𝑢, sin𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑣.Для применения формулы 14.1 необходимо знать еще 𝑣 и 𝑑𝑢. Дифференцируя равенство 𝑥 =

𝑢, получаем 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢. Интегрируя равенство 𝑑𝑣 = sin𝑥𝑑𝑥 = 𝑑(− cos𝑥), определяем 𝑣 = − cos𝑥.Подставляя значения 𝑢, 𝑣, 𝑑𝑢, 𝑑𝑣 в формулу 14.1, находим (можно решение оформлять, как

показано ниже)

∫𝑥 sin𝑥𝑑𝑥 =

𝑢 = 𝑥𝑑𝑢 = 𝑑𝑥𝑑𝑣 = sin𝑥𝑑𝑥𝑣 = − cos𝑥

= 𝑥(− cos𝑥)−

∫(− cos𝑥)𝑑𝑥 = −𝑥 cos𝑥+ sin𝑥+ 𝐶 =

= sin𝑥− 𝑥 cos𝑥+ 𝐶. J

14.2 Найти∫arcsin𝑥𝑑𝑥.

I Р е ш е н и е. Полагая 𝑢 = arcsin𝑥, 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥, получим

∫arcsin𝑥𝑑𝑥 =

𝑢 = arcsin𝑥𝑑𝑢 = 1√

1−𝑥2𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 𝑑𝑥𝑣 = 𝑥

= 𝑥 arcsin𝑥−

∫𝑥

1√1− 𝑥2

𝑑𝑥 = 𝑥 arcsin𝑥+

+1

2

∫(1− 𝑥2)−

12𝑑(1− 𝑥2) = 𝑥 arcsin𝑥+

1

2

(1− 𝑥2)12

12

+ 𝐶 = 𝑥 arcsin𝑥+√1− 𝑥2 + 𝐶. J

14.3 Применяя формулу интегрирования по частям, найти интегралы:

1)∫

𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥. 2)∫

ln2 𝑥𝑑𝑥.

3)∫

arctg 𝑥𝑑𝑥. 4)∫

arcsin𝑥𝑑𝑥.

5)∫

𝑥2 sin𝑥𝑑𝑥. 6)∫

𝑥2 ln𝑥𝑑𝑥.

7)∫

ln𝑥√𝑥𝑑𝑥. 8)

∫𝑥2𝑒−

𝑥2𝑑𝑥.

Ответы: 1) 𝑒𝑥(𝑥− 1) + 𝐶. 2) 𝑥 ln2 𝑥− 2𝑥 ln𝑥 + 2𝑥 + 𝐶. 3) 𝑥 arctg 𝑥− 12ln(1 + 𝑥2) + 𝐶.

4) 𝑥 arcsin𝑥 +√1− 𝑥2 + 𝐶. 5) −𝑥2 cos𝑥 + 2𝑥 sin𝑥 + 2 cos 𝑥 + 𝐶. 6) 𝑥3

3ln𝑥 − 𝑥3

9+ 𝐶. 7)

2√𝑥 ln𝑥− 4

√𝑥+ 𝐶. 8) −2𝑒−

𝑥2 (𝑥2 + 4𝑥+ 8) + 𝐶.

52

Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратныйтрехчлен

Для справки. Здесь будут использованы следующие формулы(5)∫𝑑𝑢

𝑢2 + 𝑎2=

1

𝑎arctg

𝑢

𝑎+ 𝐶; (14.2)∫

𝑑𝑢

𝑢2 − 𝑎2=

1

2𝑎ln

𝑢− 𝑎

𝑢+ 𝑎

+ 𝐶; (14.3)∫

𝑑𝑢√𝑎2 − 𝑢2

= arcsin𝑢

𝑎+ 𝐶; (14.4)∫

𝑑𝑢√𝑢2 + 𝑎

= ln𝑢+

√𝑢2 + 𝑎

+ 𝐶; (14.5)∫ √

𝑢2 + 𝑎𝑑𝑢 =𝑢

2

√𝑢2 + 𝑎+

𝑎

2ln𝑢+

√𝑢2 + 𝑎

+ 𝐶; (14.6)∫ √

𝑎2 − 𝑢2𝑑𝑢 =𝑢

2

√𝑎2 − 𝑢2 +

𝑎2

2arcsin

𝑢

𝑎+ 𝐶. (14.7)


𝑑𝑥𝑥2+4𝑥+13 .

I Р е ш е н и е. Дополняя квадратный трехчлен до полного квадрата и интегрируя на основа-нии формулы 14.2 для случая, когда 𝑢 = 𝑥+ 2, 𝑎 = 3, получаем∫

𝑑𝑥

𝑥2 + 4𝑥+ 13=

∫𝑑𝑥

(𝑥2 + 4𝑥+ 4) + 9=

∫𝑑𝑥

(𝑥+ 2)2 + 9=

∫𝑑𝑥

(𝑥+ 2)2 + 32=

= 3 · 19

∫𝑑(𝑥+23

)(𝑥+23

)2+ 1

=1

3arctg

𝑥+ 2

3+ 𝐶. J


𝑑𝑥𝑥2−6𝑥−16 .

I Р е ш е н и е. Дополняя квадратный трехчлен до полного квадрата и интегрируя на основа-нии формулы 14.3 для случая, когда 𝑢 = 𝑥− 3, 𝑎 = 5, получаем

∫𝑑𝑥

𝑥2 − 6𝑥− 16=

∫𝑑𝑥

(𝑥2 − 6𝑥+ 9)− 9− 16=

∫𝑑𝑥

(𝑥− 3)2 − 25=

∫𝑑(𝑥− 3)

(𝑥− 3)2 − 52=

=1

2 · 5ln

(𝑥− 3)− 5

(𝑥− 3) + 5

+ 𝐶 =

1

10ln

𝑥− 8

𝑥+ 2

+ 𝐶. J


𝑑𝑥√5−4𝑥−𝑥2

.

I Р е ш е н и е. Дополняя квадратный трехчлен до полного квадрата и интегрируя, находим∫𝑑𝑥√

5− 4𝑥− 𝑥2=

∫𝑑𝑥√

−(𝑥2 + 4𝑥+ 4− 4− 5)=

∫𝑑𝑥√

−(𝑥+ 2)2 + 9=

=

∫𝑑(𝑥+ 2)√32 − (𝑥+ 2)2

= arcsin𝑥+ 2

3+ 𝐶. J

(5)формулы 14.6 и 14.7 можно не запоминать, так как они легко выводятся.

1. в первом случае в интеграле∫ √

𝑥2 + 𝑎𝑑𝑥 нужно положить 𝑢 =√𝑥2 + 𝑎, 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 и проинтегрировать по

частям;

2. во втором — в интеграле∫ √

𝑎2 − 𝑥2𝑑𝑥 сделать замену 𝑥 = 𝑎 cos 𝑡 или 𝑥 = 𝑎 sin 𝑡.

53


𝑥2 + 8𝑥+ 25𝑑𝑥.

I Р е ш е н и е. Преобразуя квадратный трехчлен и применяя формулу 14.6, находим∫ √𝑥2 + 8𝑥+ 25𝑑𝑥 =

∫ √(𝑥2 + 8𝑥+ 16)− 16 + 25𝑑𝑥 =

∫ √(𝑥+ 4)2 + 9𝑑(𝑥+ 4) =

=𝑥+ 4

2

√(𝑥+ 4)2 + 9 +

9

2ln(𝑥+ 4) +

√(𝑥+ 4)2 + 9

+ 𝐶 =

=𝑥+ 4

2

√𝑥2 + 8𝑥+ 25 +

9

2

𝑥+ 4 +

√𝑥2 + 8𝑥+ 25

+ 𝐶.


𝑥2 + 8𝑥+ 25𝑑𝑥.I Р е ш е н и е. Преобразуя квадратный трехчлен и применяя формулу 14.6, находим∫ √

𝑥2 + 8𝑥+ 25𝑑𝑥 =

∫ √(𝑥+ 4)2 + 9𝑑𝑥 =

=𝑥+ 4

2

√𝑥2 + 8𝑥+ 25 +

9

2

𝑥+ 4 +

√𝑥2 + 8𝑥+ 25

+ 𝐶. J


8 + 2𝑥− 𝑥2𝑑𝑥.I Р е ш е н и е. Преобразуя квадратный трехчлен и применяя формулу 14.7, получаем∫ √

8 + 2𝑥− 𝑥2𝑑𝑥 =

∫ √−(𝑥2 − 2𝑥− 8) =

∫ √−(𝑥2 − 2𝑥+ 1− 1− 8)𝑑𝑥 =

=

∫ √−(𝑥2 − 2𝑥+ 1) + 9𝑑𝑥 =

∫ √32 − (𝑥− 1)2𝑑(𝑥− 1) =

𝑥− 1

2

√32 − (𝑥− 1)2+

+32

2arcsin

𝑥− 1

3+ 𝐶 =

𝑥− 1

2

√8 + 2𝑥− 𝑥2 +

9

2arcsin

𝑥− 1

3+ 𝐶. J

14.10 Найти интегралы:

1)∫

𝑑𝑥

𝑥2 + 36. 2)

∫𝑑𝑥

3𝑥2 − 10.

3)∫

𝑑𝑥

4𝑥2 + 10𝑥− 24. 4)

∫𝑑𝑥

4𝑥2 − 5𝑥+ 2.

5)∫

𝑑𝑥

𝑥2 − 𝑥− 1. 6)

∫𝑥− 1

𝑥2 − 𝑥− 1𝑑𝑥.

7)∫

𝑑𝑥√3𝑥2 − 6𝑥+ 12

. 8)∫

𝑑𝑥√2 + 3𝑥− 2𝑥2

.

9)∫ √

𝑥2 + 4𝑥+ 13𝑑𝑥. 10)∫ √

5 + 4𝑥− 𝑥2𝑑𝑥.

Ответы: 1) 16arctg 𝑥

6+𝐶. 2) 1

2√30ln√

3𝑥−√10√

3𝑥+√10

+𝐶. 3) 1

22ln2𝑥−32𝑥+8

+𝐶. 4) 2√

7arctg 8𝑥−5√

7+

𝐶. 5) 1√5ln2𝑥−1−

√5

2𝑥−1+√5

+𝐶. 6) 1

2ln |𝑥2−𝑥−1|− 1

2√5ln2𝑥−1−

√5

2𝑥−1+√5

+𝐶. 7) 1√

3ln𝑥− 1 +

√𝑥2 − 2𝑥+ 4

+

𝐶. 8) 1√2arcsin 4𝑥−3

5+𝐶. 9) 𝑥+2

2

√𝑥2 + 4𝑥+ 13+9

2ln𝑥+ 2 +

√𝑥2 + 4𝑥+ 13

+𝐶. 10) 𝑥−2

2

√5 + 4𝑥− 𝑥2+

92arcsin 𝑥−2

3+ 𝐶.

54

Интегрирование тригонометрических функций

14.11 Найти интеграл∫cos𝑥 sin2 𝑥𝑑𝑥..

I Р е ш е н и е. Так как cos𝑥𝑑𝑥 = 𝑑(sin𝑥), по получаем∫cos𝑥 sin2 𝑥𝑑𝑥 =

∫sin2 𝑥𝑑(sin𝑥) =

sin3 𝑥

3+ 𝐶. J

14.12 Найти интеграл∫sin4 𝑥𝑑𝑥.

I Р е ш е н и е. Преобразуя подынтегральную функцию с помощью формул понижения сте-пени, находим∫

sin4 𝑥𝑑𝑥 =

∫(sin2 𝑥)2𝑑𝑥 =

∫ (1− cos 2𝑥

2

)2

𝑑𝑥 =

=1

4

∫(1− 2 cos 2𝑥+ cos2 2𝑥)𝑑𝑥 =

1

4

∫𝑑𝑥− 1

4

∫cos 2𝑥𝑑(2𝑥) +

1

4

∫1

2(1 + cos 4𝑥)𝑑𝑥 =

=1

4

∫𝑑𝑥− 1

4

∫cos 2𝑥𝑑(2𝑥) +

1

8

∫𝑑𝑥+

1

8 · 4

∫cos 4𝑥𝑑(4𝑥) =

=1

4𝑥− 1

4sin 2𝑥+

1

8𝑥+

1

32sin 4𝑥+ 𝐶 =

3

8𝑥− 1

4sin 2𝑥+

1

32sin 4𝑥+ 𝐶. J


𝑑𝑥3+sin𝑥+cos𝑥 .

I Р е ш е н и е. Подынтегральная функция является рациональной функцией от sin𝑥 и cos𝑥.Применяем универсальную тригонометрическую подстановку tg 𝑥

2= 𝑡:

∫𝑑𝑥

3 + sin 𝑥+ cos𝑥=

sin𝑥 = 2𝑡

1+𝑡2

cos𝑥 = 1−𝑡2

1+𝑡2

𝑑𝑥 = 2𝑑𝑡1+𝑡2

= ∫ 1

3 + 2𝑡1+𝑡2

+ 1−𝑡2

1+𝑡2

· 2𝑑𝑡

1 + 𝑡2=

∫1 + 𝑡2

2(𝑡2 + 𝑡+ 2)· 2𝑑𝑡

1 + 𝑡2=

=

∫𝑑𝑡

𝑡2 + 𝑡+ 2=

∫𝑑𝑡

(𝑡+ 12)2 + 7

4

=

∫𝑑(𝑡+ 1

2

)(𝑡+ 1

2

)2+(√

72

)2 =1√72

arctg𝑡+ 1

2√72

+ 𝐶 =

=2√7arctg

2𝑡+ 1√7

+ 𝐶 =2√7arctg

2 tg 𝑥2+ 1

√7

+ 𝐶. J


1)∫

sin𝑥 cos4 𝑥𝑑𝑥. 2)∫

sin3 𝑥 cos3 𝑥𝑑𝑥.

3)∫

sin2 5𝑥𝑑𝑥. 4)∫

sin2 𝑥 cos2 𝑥𝑑𝑥.

5)∫

cos5 𝑥

sin2 𝑥𝑑𝑥. 6)

∫sin𝑥 sin 3𝑥𝑑𝑥.

7)∫

cos 4𝑥 cos 2𝑥𝑑𝑥. 8)∫

sin 3𝑥 cos 2𝑥𝑑𝑥.

9)∫

𝑑𝑥

5 + 4 cos𝑥. 10)

∫𝑑𝑥

7 cos2 𝑥+ 16 sin2 𝑥.

Ответы: 1) − cos5 𝑥5

+𝐶. 2) − cos4 𝑥4

+ cos6 𝑥6

+𝐶. 3) 𝑥2− sin 10𝑥

20+𝐶. 4) 𝑥

8− sin 4𝑥

32+𝐶. 5)

− 1sin𝑥

−2 sin𝑥+ sin3 𝑥3

+𝐶. 6) sin 2𝑥4

− sin 4𝑥8

+𝐶. 7) 112sin 6𝑥+ 1

4sin 2𝑥+𝐶. 8) − cos 5𝑥

10− cos𝑥

2+𝐶.

9) 23arctg

(13tg 𝑥

2

)+ 𝐶. 10) 1

4√7arctg 4 tg 𝑥√

7+ 𝐶.

55


14.15 Найти данные неопределенные интегралы.

1)∫

𝑥 cos 3𝑥𝑑𝑥. 2)∫

arccos𝑥𝑑𝑥.

3)∫

(𝑥2 − 2𝑥+ 5)𝑒−𝑥𝑑𝑥. 4)∫

ln2 𝑥𝑑𝑥.

5)∫

𝑥 cos𝑥

sin2 𝑥𝑑𝑥. 6)

∫𝑥3𝑒−𝑥2

𝑑𝑥.

7)∫

𝑒√𝑥𝑑𝑥. 8)

∫sin(ln𝑥)𝑑𝑥.

Ответы: 1) 13𝑥 sin 3𝑥+ 1

9cos 3𝑥+𝐶. 2) 𝑥 arccos𝑥−

√1− 𝑥2+𝐶. 3) −𝑒−𝑥(𝑥2+5)+𝐶. 4)

𝑥 ln2 𝑥−2𝑥 ln𝑥+2𝑥+𝐶. 5) − 𝑥sin𝑥

+lntg 𝑥

2

+𝐶. 6) −1

2𝑒−𝑥2

(𝑥2+1)+𝐶. 7) 2𝑒√𝑥(√𝑥−1)+𝐶.

8) 𝑥2(sin ln𝑥− cos ln𝑥) + 𝐶.

14.16 Найти указанные неопределенные интегралы.

1)∫

𝑑𝑥

𝑥2 + 4𝑥+ 20. 2)

∫3𝑥− 7

𝑥2 + 𝑥+ 1𝑑𝑥.

3)∫

𝑥− 2

𝑥2 − 8𝑥+ 7𝑑𝑥. 4)

∫𝑥3 + 3𝑥

𝑥2 + 2𝑥+ 2𝑑𝑥.

5)∫

3𝑥− 1√𝑥2 − 6𝑥+ 18

𝑑𝑥. 6)∫

8𝑥− 11√5 + 2𝑥− 𝑥2

𝑑𝑥.

7)∫

3𝑥− 1

(𝑥2 + 2𝑥+ 10)2𝑑𝑥. 8)

∫2− 3𝑥√4 + 𝑥2

𝑑𝑥.

Ответы: 1) 14arctg 𝑥+2

4+𝐶. 2) 3

2ln |𝑥2+𝑥+1|− 17√

3arctg 2𝑥+1√

3+𝐶. 3) 1

2ln |𝑥2− 8𝑥+7|+

116ln𝑥−7𝑥−1

+𝐶. 4) (𝑥−2)2

2+ 5

2ln |𝑥2+2𝑥+2|− 9 arctg(𝑥− 1)+𝐶. 5) 3

√𝑥2 − 6𝑥+ 18+5 ln |𝑥−

3+√𝑥2 − 6𝑥+ 18|+𝐶. 6) −8

√5 + 2𝑥− 𝑥2−3 arcsin 𝑥−1√

6+𝐶. 7) − 4𝑥+13

𝑥2+2𝑥+10+ 1

54arctg 𝑥+1

3+𝐶.

8) 2 ln |𝑥+√4 + 𝑥2| − 3

√4 + 𝑥2 + 𝐶.

14.17 Найти интегралы(6):

1)∫

cos2 2𝑥𝑑𝑥. 2)∫

sin4 4𝑥𝑑𝑥.

3)∫

sin2 8𝑥 cos2 8𝑥𝑑𝑥. 4)∫

cos4 𝑥 sin2 𝑥𝑑𝑥.

5)∫

𝑑𝑥

3 + 5 cos𝑥. 6)

∫𝑑𝑥

3 sin2 𝑥+ 5 cos2 𝑥.

7)∫

𝑑𝑥

8− 4 sin𝑥+ 7 cos𝑥. 8)

∫𝑑𝑥

cos𝑥 sin3 𝑥.

Ответы: 1) 𝑥2+ sin 4𝑥

8+𝐶. 2) 3𝑥

8− sin 8𝑥

16+ sin 16𝑥

128+𝐶. 3) 𝑥

8− sin 32𝑥

256+𝐶. 4) 𝑥

16− sin 4𝑥

64+ sin3 2𝑥

48+𝐶.

5) 14ln2+tg 𝑥

2

2−tg 𝑥2

+ 𝐶. 6) 1√

15arctg

√3 tg 𝑥√5

+ 𝐶. 7) lntg 𝑥

2−5

tg 𝑥2−3

+ 𝐶. 8) ln | tg 𝑥| − 1

2 sin2 𝑥+ 𝐶.

(6)в примерах 6) и 8) применить подстановку tg 𝑥 = 𝑡, тогда sin𝑥 = 𝑡√1+𝑡2

, cos𝑥 = 1√1+𝑡2

.

56


Неопределенный интеграл (окончание)

Интегрирование рациональных функций

Для справки. Интегрирование дробной рациональной функции после выделения целой частисводится к интегрированию правильной рациональной дроби

𝑃 (𝑥)

𝑄(𝑥), (15.1)

где 𝑃 (𝑥) и 𝑄(𝑥) — многочлены, причем степень 𝑃 (𝑥) ниже степени 𝑄(𝑥).Если многочлен 𝑄(𝑥) можно привести к виду

𝑄(𝑥) = (𝑥− 𝑎)𝛼 . . . (𝑥− 𝑙)𝜆(𝑥2 + 𝑝1𝑥+ 𝑞1)𝑣1 . . . (𝑥2 + 𝑝𝑠𝑥+ 𝑞𝑠)

𝑣𝑠 ,

где многочлены 𝑥2 + 𝑝𝑘𝑥+ 𝑞𝑘 не имеют действительных корней, то справедливо следующее раз-ложение дроби 15.1 на простейшие дроби:

𝑃 (𝑥)

𝑄(𝑥)=

𝐴1

(𝑥− 𝑎)+

𝐴2

(𝑥− 𝑎)2+

𝐴𝛼

(𝑥− 𝑎)𝛼+ . . .+

𝐵1

(𝑥− 𝑎)+

𝐵2

(𝑥− 𝑏)2+ . . .+

𝐵𝛽

(𝑥− 𝑏)𝛽+ . . .+

+𝐿1

(𝑥− 𝑙)+

𝐿2

(𝑥− 𝑙)2+ . . .+

𝐿𝜆

(𝑥− 𝑙)𝜆+

𝐶1𝑥+𝐷1

𝑥2 + 𝑝1𝑥+ 𝑞1+

𝐶2𝑥+𝐷2

(𝑥2 + 𝑝1𝑥+ 𝑞1)2+ . . .+

+𝐶𝑣1𝑥+𝐷𝑣1

(𝑥2 + 𝑝1𝑥+ 𝑞1)𝑣1+ . . .+

𝑀1𝑥+𝑁1

𝑥2 + 𝑝𝑠𝑥+ 𝑞𝑠+

𝑀2𝑥+𝑁2

(𝑥2 + 𝑝𝑠 + 𝑞𝑠)2+ . . .+

𝑀𝑣𝑠 +𝑁𝑣𝑠

(𝑥2 + 𝑝𝑠𝑥+ 𝑞𝑠)𝑣𝑠. (15.2)

Постоянные 𝐴1, 𝐴2, . . . , 𝐴𝛼, 𝐵1, . . . , 𝐵𝛽, 𝐿1, . . . , 𝐿𝜆, 𝐶1, 𝐷1, . . . ,𝑀𝑣𝑠 , 𝑁𝑣𝑠 находятся методомнеопределенных коэффициентов.


9− 5𝑥

𝑥3 − 6𝑥2 + 11𝑥− 6𝑑𝑥.

I Р е ш е н и е. Так как корнями знаменателя являются числа 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 2, 𝑥3 = 3, то всоответствии с формулой 15.2 ищем разложение данной дроби на простейшие

9− 5𝑥

𝑥3 − 6𝑥2 + 11𝑥− 6=

9− 5𝑥

(𝑥− 1)(𝑥− 2)(𝑥− 3)=

𝐴

𝑥− 1+

𝐵

𝑥− 2+

𝐶

𝑥− 3.

Приводя дроби в правой части к общему знаменателю, получаем

9− 5𝑥

𝑥3 − 6𝑥2 + 11𝑥− 6=

𝐴(𝑥− 2)(𝑥− 3) +𝐵(𝑥− 1)(𝑥− 3) + 𝐶(𝑥− 1)(𝑥− 2)

(𝑥− 1)(𝑥− 2)(𝑥− 3).

Сравниваем числители

9− 5𝑥 = 𝐴(𝑥− 2)(𝑥− 3) +𝐵(𝑥− 1)(𝑥− 3) + 𝐶(𝑥− 1)(𝑥− 2). (15.3)

Раскрывая скобки в правой части равенства 15.3 и группируя члены, находим

9− 5𝑥 = (𝐴+𝐵 + 𝐶)𝑥2 − (5𝐴+ 4𝐵 + 3𝐶)𝑥+ (6𝐴+ 3𝐵 + 2𝐶).

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 𝑥 в обеих частях равенства, получим триуравнения для определения неизвестных коэффициентов 𝐴, 𝐵, 𝐶 (7):⎧⎪⎨⎪⎩

𝐴+ 𝐵 + 𝐶 = 0,

5𝐴+ 4𝐵 + 3𝐶 = 5,

6𝐴+ 3𝐵 + 2𝐶 = 9.

(7)Коэффициенты разложения 1 можно было бы найти, полагая в равенстве 15.3 𝑥 = 1, 𝑥 = 2, 𝑥 = 3. Действительно,при 𝑥 = 1 имеем 9− 5 = 𝐴(−1)(−2), 4 = 2𝐴, откуда 𝐴 = 2. Аналогично получаем 𝐵 = 1, 𝐶 = −3.

57

Решая эту систему, находим: 𝐴 = 2, 𝐵 = 1, 𝐶 = −3. Следовательно,

9− 5𝑥

𝑥3 − 6𝑥2 + 11𝑥− 6=

2

𝑥− 1+

1

𝑥− 2− 3

𝑥− 3

и поэтому∫9− 5𝑥

𝑥3 − 6𝑥2 + 11𝑥− 6𝑑𝑥 =

∫ (2

𝑥− 1+

1

𝑥− 2− 3

𝑥− 3

)𝑑𝑥 =

= 2

∫𝑑𝑥

𝑥− 1+

∫𝑑𝑥

𝑥− 2− 3

∫𝑑𝑥

𝑥− 3= 2

∫𝑑(𝑥− 1)

𝑥− 1+

∫𝑑(𝑥− 2)

𝑥− 2− 3

∫𝑑(𝑥− 3)

𝑥− 3=

= 2 ln |𝑥− 1|+ ln |𝑥− 2| − 3 ln |𝑥− 3|+ 𝐶. J


𝑥3 + 𝑥2 + 2

𝑥(𝑥2 − 1)2𝑑𝑥.

I Р е ш е н и е. Разложим подынтегральную функцию на элементарные дроби. Так как зна-менатель имеет корни 𝑥1 = 1 и 𝑥2 = −1 кратности 2 и простой корень 𝑥3 = 0, то разложениепримет вид

𝑥3 + 𝑥2 + 2

𝑥(𝑥2 − 1)2=

𝐴

𝑥+

𝐵1

𝑥− 1+

𝐵2

(𝑥− 1)2+

𝐶1

𝑥+ 1+

𝐶2

(𝑥+ 1)2,

откуда

𝑥3 + 𝑥2 + 2 = 𝐴(𝑥− 1)2(𝑥+ 1)2 +𝐵1𝑥(𝑥− 1)(𝑥+ 1)2+

+𝐵2𝑥(𝑥+ 1)2 + 𝐶1(𝑥+ 1)(𝑥− 1)2 + 𝐶2𝑥(𝑥− 1)2;

𝑥3 + 𝑥2 + 2 = 𝑥4(𝐴+𝐵1 + 𝐶1) + 𝑥3(𝐵1 +𝐵2 − 𝐶1 + 𝐶2)+

+ 𝑥2(2𝐵2 − 2𝐴−𝐵1 − 2𝐶2 − 𝐶1) + 𝑥(𝐵2 −𝐵1 + 𝐶2 + 𝐶1) + 𝐴.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 𝑥, получим пять уравнений для опреде-ления пяти неизвестных: ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝐴+𝐵1 + 𝐶1 = 0,

𝐵1 + 2𝐵2 − 𝐶1 + 2𝐶2 = 1,

−2𝐴−𝐵1 + 2𝐵2 − 𝐶1 − 2𝐶2 = 1,

−𝐵1 + 𝐵2 + 𝐶1 + 𝐶2 = 0,

𝐴 = 2.

Решая полученную систему, находим 𝐴 = 2, 𝐵1 = −34, 𝐵2 = 1, 𝐶1 = −5

4, 𝐶2 = −1

2. Следова-

тельно, подынтегральная функция разлагается на элементарные дроби следующим образом:

𝑥3 + 𝑥2 + 2

𝑥(𝑥2 − 1)2=

2

𝑥− 3

4(𝑥− 1)+

1

(𝑥− 1)2− 5

4(𝑥+ 1)− 1

2(𝑥+ 1)2.

Интегрируя, получаем∫𝑥3 + 2𝑥+ 2

𝑥(𝑥2 − 1)2𝑑𝑥 = 2

∫𝑑𝑥

𝑥− 3

4

∫𝑑(𝑥− 1)

𝑥− 1+

∫𝑑(𝑥− 1)

(𝑥− 1)2− 5

4

∫𝑑(𝑥+ 1)

𝑥+ 1− 1

2

∫𝑑(𝑥+ 1)

(𝑥+ 1)2=

= 2 ln 𝑥−3

4ln |𝑥−1|− 1

𝑥− 1−5

4ln |𝑥+1|+ 1

2(𝑥+ 1)+𝐶 =

𝑥+ 3

2(1− 𝑥2)+ln

𝑥2

4√

|𝑥− 1|3|𝑥+ 1|5+𝐶. J

58

15.3 Найти интегралы от рациональных функций:

1)∫

𝑥2 + 2

𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥𝑑𝑥. 2)

∫2𝑥𝑑𝑥

𝑥2 + 3𝑥− 4.

3)∫

𝑑𝑥

𝑥2(1 + 𝑥2)2. 4)

∫𝑥2𝑑𝑥

(𝑥+ 2)2(𝑥+ 1).

5)∫

𝑥2 − 𝑥+ 2

𝑥4 − 5𝑥2 + 4𝑑𝑥. 6)

∫4𝑥2 + 4𝑥− 11

(2𝑥− 1)(2𝑥+ 3)(3𝑥− 5)𝑑𝑥.

7)∫

𝑥3 + 4𝑥2 + 6

(𝑥+ 1)2(𝑥2 + 2)𝑑𝑥. 8)

∫3𝑥+ 1

𝑥(1 + 𝑥2)2𝑑𝑥.

Ответы: 1) ln(𝑥−1)(𝑥+2)

𝑥

+𝐶. 2) ln 5

√(𝑥− 1)2(𝑥+ 4)8+𝐶. 3) − 1

𝑥− 1

2· 𝑥1+𝑥2 − 3

2arctg 𝑥+𝐶.

4) ln |𝑥+ 1|+ 4𝑥+2

+ 𝐶. 5) 13ln(𝑥+1)2(𝑥−2)(𝑥−1)(𝑥+2)2

+ 𝐶. 6) 1

8ln(2𝑥−1)2(2𝑥−5)3

2𝑥+3

+ 𝐶. 7) 1

3ln |𝑥+ 1| −

3𝑥+1

+ 13ln(𝑥2 + 2)−

√23arctg 𝑥√

2+ 𝐶. 8) ln |𝑥| − 1

2ln(1 + 𝑥2) + 3𝑥+1

2(1+𝑥2)+ 3

2arctg 𝑥+ 𝐶.

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Для справки 1. Интегралы вида∫𝑅

[𝑥,

(𝑎𝑥+ 𝑏

𝑐𝑥+ 𝑑

) 𝑝1𝑞1

,

(𝑎𝑥+ 𝑏

𝑐𝑥+ 𝑑

) 𝑝2𝑞2

, . . . ,

(𝑎𝑥+ 𝑏

𝑐𝑥+ 𝑑

) 𝑝𝑘𝑞𝑘

]𝑑𝑥, (15.4)

где 𝑅 — рациональная функция и 𝑝1, 𝑞1, . . . , 𝑝𝑘, 𝑞𝑘 — целые числа, находятся с помощью подста-новки

𝑎𝑥+ 𝑏

𝑐𝑥+ 𝑑= 𝑡𝑛,

где 𝑛 — наименьшее общее кратное чисел 𝑞1, 𝑞2, . . . , 𝑞𝑘.2. Интеграл от дифференциального бинома, т. е. интеграл∫

𝑥𝑚(𝑎+ 𝑏𝑥𝑛)𝑝𝑑𝑥, (15.5)

где 𝑚,𝑛, 𝑝 — рациональные числа, 𝑎 и 𝑏 — постоянные, отличные от нуля, сводится к интегралуот рациональной функции в трех случаях:

1) когда 𝑝 — целое число, — разложением на слагаемые по формулам бинома Ньютона;2) когда 𝑚+1

𝑛— целое число, — подстановкой 𝑎+ 𝑏𝑥𝑛 = 𝑡𝑠, где 𝑠 — знаменатель дроби 𝑝;

3) когда 𝑚+1𝑛

+ 𝑝 — целое число, — подстановкой 𝑎𝑥−𝑛 + 𝑏 = 𝑡𝑠.


𝑥+ 9

𝑥𝑑𝑥.

I Р е ш е н и е. Это интеграл вида 15.4, для которого 𝑎𝑥+𝑏𝑐𝑥+𝑑

= 𝑥 + 9 (т. е. 𝑎 = 1, 𝑏 = 9, 𝑐 = 0,𝑑 = 1), 𝑝1

𝑞1= 1

2.

Применим подстановку 𝑥+ 9 = 𝑡2, тогда

∫ √𝑥+ 9

𝑥𝑑𝑥 =

𝑥+ 9 = 𝑡2

𝑥 = 𝑡2 − 9𝑑𝑥 = 2𝑡𝑑𝑡

= ∫ 1

𝑡2 − 92𝑡𝑑𝑡 = 2

∫𝑡2

𝑡2 − 9𝑑𝑥 = 2

∫(𝑡2 − 9) + 9

𝑡2 − 9𝑑𝑡 =

= 2

∫𝑑𝑡+ 18

∫𝑑𝑡

𝑡2 − 9= 2𝑡+

18

2 · 3ln

𝑡− 3

𝑡+ 3

+ 𝐶 = 2

√𝑥+ 9 + 3 ln

√𝑥+ 9− 3√𝑥+ 9 + 3

+ 𝐶. J

59


3

√2− 𝑥

2 + 𝑥· 1

(2− 𝑥)2𝑑𝑥.

I Р е ш е н и е. Это интеграл вида 15.4, для которого 𝑎𝑥+𝑏𝑐𝑥+𝑑

= 2−𝑥2+𝑥

, 𝑝1𝑞1

= 13.

Применим подстановку2− 𝑥

2 + 𝑥= 𝑡3.

Выразим 𝑥, 2− 𝑥 и 𝑑𝑥 через новую переменную 𝑡:

2− 𝑥 = 𝑡3(2 + 𝑥), 2− 2𝑡3 = 𝑥+ 𝑥𝑡3, 2− 2𝑡3 = 𝑥(1 + 𝑡3),

𝑥 = 2−2𝑡3

1+𝑡3, 2− 𝑥 = 2− 2−2𝑡3

1+𝑡3= 4𝑡3

1+𝑡3, 1

(2−𝑥)2= (1+𝑡3)2

16𝑡6;

𝑑𝑥 = −6𝑡2(1+𝑡3)−3𝑡2(2−2𝑡3)(1+𝑡3)2

𝑑𝑡 = −12𝑡2

(1+𝑡3)2𝑑𝑡.

Подставляя найденные значения в интеграл, получим

∫3

√2− 𝑥

2 + 𝑥· 1

(2− 𝑥)2𝑑𝑥 =

2−𝑥2+𝑥

= 𝑡3

1(2−𝑥)2

= (1+𝑡3)2

16𝑡6

𝑑𝑥 = −12𝑡2

(1+𝑡3)2𝑑𝑡

= ∫ 𝑡 · (1 + 𝑡3)2

16𝑡6· (−12𝑡2)

(1 + 𝑡3)2𝑑𝑡 =

= −3

4

∫𝑑𝑡

𝑡3=

3

8𝑡2+ 𝐶 =

3

83

√(2 + 𝑥

2− 𝑥

)2

+ 𝐶. J


1 + 3√𝑥

3√𝑥2

𝑑𝑥.

I Р е ш е н и е. Переписав интеграл в виде∫𝑥− 2

3 (1 + 𝑥13 )

12𝑑𝑥

и сравнив его с интегралом 15.5, заключаем, что 𝑚 = −23, 𝑛 = 1

3, 𝑝 = 1

2.

Так как𝑚+ 1

𝑛=

−23+ 113

=1313

= 1

есть целое число, то мы имеем второй случай интегрируемости дифференциального бинома.Подстановка 𝑎+ 𝑏𝑥𝑛 = 𝑡𝑠 в данном случае примет вид

(1 + 𝑥13 ) = 𝑡2,

откуда

𝑥13 = 𝑡2 − 1,

1

3𝑥− 2

3𝑑𝑥 = 2𝑡𝑑𝑡, 𝑥− 23𝑑𝑥 = 6𝑡𝑑𝑡.

Подставив эти выражения в интеграл, получим∫𝑥− 2

3 (1 + 𝑥13 )

12𝑑𝑥 =

∫(1 + 𝑥

13 )

12𝑥

23𝑑𝑥 =

∫𝑡 · 6𝑡𝑑𝑡 = 6

∫𝑡2𝑑𝑡 = 6 · 𝑡

3

3+ 𝐶 =

= 2(1 + 𝑥13 )

32 + 𝐶. J

60


1)∫

6√2𝑥− 1 + 1

(2𝑥− 1)( 3√2𝑥− 1− 1)

𝑑𝑥. 2)∫

𝑑𝑥4√(𝑥− 1)3(𝑥+ 2)5

.

3)∫

𝑑𝑥3√

(𝑥− 1)(𝑥+ 1)2. 4)

∫𝑥+

3√𝑥2 + 6

√𝑥

𝑥(1− 3√𝑥)

.

5)∫

𝑑𝑥

𝑥 3√1 + 𝑥5

. 6)∫

𝑑𝑥3√𝑥2(1 +

√𝑥)2

.

7)∫

𝑥−6(1 + 𝑥2)12𝑑𝑥. 8)

∫𝑑𝑥

3√𝑥2(1 +

3√𝑥2)

.

Ответы: 1) 3 ln | 5√2𝑥− 1 − 1| − 3 ln 6

√2𝑥− 1 + 𝐶. 2) 4

34

√𝑥−1𝑥+2

+ 𝐶 (8). 3) 12ln 𝑡2+𝑡+1

(𝑡−1)2+

√3 arctg 2𝑡+1√

3+𝐶, где 𝑡 = 3

√𝑥+1𝑥−1

. 4) 32

3√𝑥2+6arctg 6

√𝑥+𝐶. 5) 1

10ln (𝑡−1)2

𝑡2+𝑡+1+

√35arctg 2𝑡+1√

3+𝐶,

𝑡 = 3√1 + 𝑥5. 6) − 3

3√𝑥+1+ 𝐶. 7) −1

5

(1+𝑥2

𝑥2

) 52+ 1

3

(1+𝑥2

𝑥2

) 32+ 𝐶. 8) 3 arctg 3

√𝑥+ 𝐶.

Интегрирование гиперболических функций

Для справки. Интегрирование гиперболических функций основано на формулах:∫ch𝑥𝑑𝑥 = sh𝑥+ 𝐶; (15.6)∫sh𝑥𝑑𝑥 = ch𝑥+ 𝐶; (15.7)∫

𝑑𝑥

ch2 𝑥= th𝑥+ 𝐶; (15.8)∫

𝑑𝑥

sh2 𝑥= − ctg 𝑥+ 𝐶; . (15.9)

Интегралы от четных степеней ch𝑥 и sh𝑥 находятся с помощью формул:

ch2 𝑥 =1

2(ch 2𝑥+ 1); sh2 𝑥 =

1

2(ch 2𝑥− 1); sh𝑥 ch𝑥 =

sh 2𝑥

2.

Интегралы от нечетных степеней sh𝑥 и ch𝑥 находятся отделением множителя первой степени.

15.8 Найти интегралы от гиперболических функций:

1)∫

ch2 𝑥𝑑𝑥. 2)∫

ch3 𝑥𝑑𝑥.

3)∫

sh3 4𝑥 ch 4𝑥𝑑𝑥. 4)∫

tg2 𝑥𝑑𝑥.

5)∫

ch4 𝑥 sh𝑥𝑑𝑥. 6)∫

sh5 𝑥 ch𝑥𝑑𝑥.

7)∫

1 + 2 ch𝑥

sh2 𝑥𝑑𝑥. 8)

∫1 + sh 𝑥

ch2 𝑥𝑑𝑥.

Ответы: 1) 14sh 2𝑥 + 1

2𝑥 + 𝐶. 2) sh𝑥 + sh3 𝑥

3+ 𝐶. 3) sh4 4𝑥

16+ 𝐶. 4) th𝑥 + 𝑥 + 𝐶. 5)

ch5 𝑥5

+ 𝐶. 6) sh6 𝑥6

+ 𝐶. 7) − ch𝑥+2sh𝑥

+ 𝐶. 8) sh𝑥−1ch𝑥

+ 𝐶.

(8)У к а з а н и е . Преобразовать вначале подынтегральную функцию 4√(𝑥− 1)3(𝑥+ 2)5 = (𝑥− 1)(𝑥+ 2) 4

√𝑥+2𝑥−1

61

Домашнее задание

15.9 Найти указанные неопределенные интегралы.

1)∫

𝑑𝑥

(𝑥+ 1)2(𝑥2 + 1). 2)

∫2𝑥2 + 𝑥+ 3

(𝑥+ 2)(𝑥2 + 𝑥+ 1)𝑑𝑥.

3)∫

𝑑𝑥

𝑥3 − 8. 4)

∫𝑥3 + 𝑥+ 1

𝑥4 − 1𝑑𝑥.

5)∫

7𝑥2 − 1

𝑥4 + 4𝑥2 − 5𝑑𝑥. 6)

∫𝑥+ 1

(𝑥2 + 1)(𝑥2 + 9)𝑑𝑥.

7)∫

𝑑𝑥

𝑥5 − 𝑥2. 8)

∫𝑥3 + 𝑥

(𝑥+ 1)(𝑥2 + 2𝑥+ 2)𝑑𝑥.

9)∫

3𝑥3 + 𝑥2 + 5𝑥+ 1

𝑥3 + 𝑥𝑑𝑥. 10)

∫𝑥4

𝑥4 − 16𝑑𝑥.

Ответы: 1) − 12(𝑥+1)

+ 14ln (𝑥+1)2

𝑥2+1+𝐶. 2) 3 ln |𝑥+ 2| − 1

2ln(𝑥2 + 𝑥+ 1) + 1√

3arctg 2𝑥+1√

3+𝐶.

3) 124ln (𝑥−2)2

𝑥2+2𝑥+4−

√3

12arctg 𝑥+1√

3+ 𝐶. 4) 1

4ln |(𝑥 − 1)3(𝑥 + 1)| − 1

2arctg 𝑥 + 𝐶. 5) 1

2ln𝑥−1𝑥+1

+

6√5arctg 𝑥√

5+𝐶. 6) 1

16ln 𝑥2+1

𝑥2+9+ 1

8arctg 𝑥− 1

24arctg 𝑥

3+𝐶. 7) 1

𝑥+ 1

6ln (𝑥−1)2

𝑥2+𝑥+1+ 1√

3arctg 2𝑥+1

3+𝐶.

8) 𝑥 − 12ln |(𝑥2 + 2𝑥 + 2)(𝑥 + 1)4| + 3arctg(𝑥 + 1) + 𝐶. 9) 3𝑥 + ln |𝑥| + 2arctg 𝑥 + 𝐶. 10)

𝑥+ 12ln𝑥−2𝑥+2

− arctg 𝑥

2+ 𝐶.

15.10 Найти неопределенные интегралы:

1)∫ 3√

1 +4√𝑥3

𝑥2𝑑𝑥. 2)

∫ √1 + 𝑥

𝑥2√𝑥

𝑑𝑥.

3)∫

𝑑𝑥

𝑥√1 + 𝑥3

𝑑𝑥. 4)∫ √

1− 𝑥4

𝑥5𝑑𝑥.

5)∫

𝑑𝑥

𝑥3 3√2− 𝑥2

𝑑𝑥. 6)∫

3√1 + 4

√𝑥√

𝑥𝑑𝑥.

7)∫

𝑑𝑥

𝑥4√1 + 𝑥2

. 8)∫

𝑑𝑥√𝑥( 4√𝑥+ 1)10

.

9)∫

𝑑𝑥

𝑥 3√

(𝑥+ 1)2. 10)

∫𝑑𝑥

4√1 + 𝑥4

𝑑𝑥.

Ответы: 1) −(

1+4√𝑥3

4√𝑥3

)4/3+ 𝐶. 2) −2

3

(1+𝑥𝑥

)3/2+ 𝐶. 3) 2

3ln(

√1 + 𝑥3 − 1) − ln |𝑥| + 𝐶.

4) 14ln 1+

√1−𝑥4

𝑥2 − 14

√1−𝑥4

𝑥4 + 𝐶. 5) −14

(3√2−𝑥3

𝑥

)2+ 𝐶. 6) 3

7(4√𝑥 + 4

√𝑥 − 3) 3

√1 + 4

√𝑥 + 𝐶. 7)

(2𝑥2−1)√1+𝑥2

3𝑥3 +𝐶. 8) − 12( 4√𝑥+1)8

+ 49( 4√𝑥+1)9

+𝐶. 9) 33√𝑥+1

+ ln |𝑥|( 3√𝑥+1)3

+𝐶. 10) 14ln

4√1+𝑥4+𝑥4√1+𝑥4−𝑥

−12arctg

4√1+𝑥4

𝑥+ 𝐶.

62


Определенный интеграл. Несобственные интегралы

Вычисление определенного интеграла

Для справки. Определенный интеграл от непрерывной функции в данном промежутке равенразности значений любой первообразной функции для верхнего и нижнего пределов интегриро-вания: ∫ 𝑏

𝑎

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹 (𝑥)

𝑏𝑎

= 𝐹 (𝑏)− 𝐹 (𝑎), где 𝐹 ′(𝑥) = 𝑓(𝑥). (16.1)

16.1 Вычислить определенный интеграл∫ 4

1 𝑥2𝑑𝑥.I Р е ш е н и е. По формуле 16.1 имеем∫ 4

1

𝑥2𝑑𝑥 =𝑥3

3

41

=43

3− 13

3=

64

3− 1

3= 21. J

16.2 Вычислить интеграл∫ 9

4

(2𝑥5 + 1

2√𝑥

)𝑑𝑥.

I Р е ш е н и е. На основании свойств определенного интеграла и формулы 16.1 получаем

∫ 9

4

(2𝑥

5+

1

2√𝑥

)𝑑𝑥 =

2

5

∫ 9

4

𝑥𝑑𝑥+

∫ 9

4

𝑑𝑥

2√𝑥=

2

5· 𝑥

2

2

94

+√𝑥

94

=

=1

5(92 − 42) + (

√9−

√4) =

1

5· 65 + 1 = 14. J

16.3 Вычислить∫ 5

0 𝑥√𝑥+ 4𝑑𝑥.

I Р е ш е н и е. Введем новую переменную по формуле√𝑥+ 4 = 𝑡. Определим новые преде-

лы интегрирования. Подставляя старые пределы в формулу√𝑥+ 4 = 𝑡, получаем:

√0 + 4 = 𝑡,

откуда 𝑡 = 2 и 𝛼 = 2;√5 + 4 = 𝑡, откуда 𝑡 = 3, 𝛽 = 3.

Таким образом,

∫ 5

0

𝑥√𝑥+ 4𝑑𝑥 =

𝑡 =

√𝑥+ 4

𝑥 = 𝑡2 − 4, 𝑑𝑥 = 2𝑡𝑑𝑡𝑥 = 0, 𝑡 = 2𝑥 = 5, 𝑡 = 3

= ∫ 3

2

(𝑡2 − 4)𝑡2𝑡𝑑𝑡 =

∫ 3

2

(2𝑡4 − 8𝑡2)𝑑𝑡 =

= 2

∫ 3

2

𝑡4𝑑𝑡−8

∫ 3

2

𝑡2𝑑𝑡 = 2 · 𝑡5

5

32

− 8 · 𝑡3

3

32

=2

5(35−25)− 8

3(33−23) =

2

5·211− 8

3·19 =

506

15. J

16.4 Вычислить∫ 𝜋

0 𝑥 sin𝑥𝑑𝑥.I Р е ш е н и е. Интегрируя по частям, получаем∫ 𝜋

0

𝑥 sin𝑥𝑑𝑥 =

∫ 𝜋

0

𝑥𝑑(− cos𝑥) = 𝑥(− cos𝑥)

𝜋0

−∫ 𝜋

0

(− cos𝑥)𝑑𝑥 =

= − 𝑥 cos𝑥

𝜋0

+ sin𝑥

𝜋0

= −(𝜋 cos 𝜋 − 0 · cos 0) + (sin 𝜋 − 𝑠𝑖𝑛0) = 𝜋. J

63


1)∫ 4

2

(𝑥3 + 𝑥)𝑑𝑥. 2)∫ 𝑒

1

𝑑𝑥

𝑥.

3)∫ 𝜋/4

0

𝑑𝑥

cos2 𝑥. 4)

∫ 9

4

(3√𝑥+

1√𝑥

)𝑑𝑥.

5)∫ −2

−5

𝑑𝑥

𝑥2 + 4𝑥− 21. 6)

∫ 0

−2

𝑑𝑥√𝑥2 + 2𝑥+ 4

.

7)∫ −1

−2

𝑑𝑥√5− 4𝑥− 𝑥2

. 8)∫ 6

1

𝑥√𝑥+ 3

𝑑𝑥.

9)∫ 2

0

𝑥2√4− 𝑥2𝑑𝑥. 10)

∫ 0

𝜋

𝑥 cos𝑥𝑑𝑥.

Ответы: 1) 66. 2) 1. 3) 1. 4) 40. 5) −0,2 ln 2. 6) ln 3. 7) arcsin 13. 8) 20

3. 9) 𝜋.

10) 2.

Несобственные интегралы

16.6 Показать, что несобственный интеграл∫ +∞0

𝑑𝑥1+𝑥2 сходится.

I Р е ш е н и е. По определению∫ +∞

0

𝑑𝑥

1 + 𝑥2= lim

𝑏→+∞

∫ 𝑏

0

𝑑𝑥

1 + 𝑥2.

Так как

lim𝑏→+∞

∫ 𝑏

0

𝑑𝑥

1 + 𝑥2= lim

𝑏→+∞arctg 𝑥

𝑏0

= lim𝑏→+∞

(arctg 𝑏− arctg 0) =𝜋

2− 0 =

𝜋

2,

то интеграл сходится. J

16.7 Исследовать на сходимость несобственный интеграл∫ 1

−1

𝑑𝑥√1− 𝑥2

.

I Р е ш е н и е. Это интеграл от неограниченной функции (подынтегральная функция не опре-делена в точках 𝑥1 = −1, 𝑥2 = 1, при 𝑥 → −1 и 𝑥 → 1 функция неограниченно возрастает).

По определению имеем∫ 1

−1

𝑑𝑥√1− 𝑥2

=

∫ 0

−1

𝑑𝑥√1− 𝑥2

+

∫ 1

0

𝑑𝑥√1− 𝑥2

= lim𝜀→0

∫ 0

−1+𝜀

𝑑𝑥√1− 𝑥2

+ lim𝜀→0

∫ 1−𝜀

0

𝑑𝑥√1− 𝑥2

=

= lim𝜀→0

arcsin𝑥

0−1+𝜀

+ lim𝜀→0

arcsin𝑥

1−𝜀

0

= lim𝜀→0

[− arcsin(−1 + 𝜀)] + lim𝜀→0

[arcsin(1− 𝜀)] =

=𝜋

2+

𝜋

2= 𝜋. J

64

16.8 Исследовать на сходимость несобственные интегралы:

1)∫ ∞

−∞

𝑑𝑥

1 + 𝑥2. 2)

∫ ∞

2/𝜋

1

𝑥2sin

1

𝑥𝑑𝑥.

3)∫ ∞

0

cos𝑥𝑑𝑥. 4)∫ 𝑏

𝑎

𝑑𝑥

(𝑏− 𝑥)𝑛(𝑏 > 𝑎, 𝑛 > 0).

5)∫ 2

−2

2𝑥𝑑𝑥

𝑥2 − 4. 6)

∫ 1

0

ln𝑥𝑑𝑥.

7)∫ 2

1

𝑑𝑥

𝑥 ln𝑥. 8)

∫ 1

0

𝑑𝑥√1− 𝑥

.

Ответы: 1) 𝜋. 2) 1. 3) Расходится. 4) Расходится. 5) −1. 6) Расходится. 7) 2.


16.9 Вычислить определенные интегралы.

1)∫ 2

1

(2𝑥2 +

2

𝑥4

)𝑑𝑥. 2)

∫ 4

1

√𝑥𝑑𝑥.

3)∫ 𝑒3

1

𝑑𝑥

𝑥√1 + ln 𝑥

. 4)∫ 1

0

𝑑𝑥

𝑥2 + 4𝑥+ 5.

5)∫ 𝜋/2

−𝜋/2

√cos𝑥− cos3 𝑥𝑑𝑥. 6)

∫ 4

0

𝑑𝑥

1 +√2𝑥+ 1

.

7)∫ √

3

0

𝑥5√

1 + 𝑥2𝑑𝑥. 8)∫ 2

0

√4− 𝑥2𝑑𝑥.

9)∫ 3

1

𝑑𝑥

𝑥√𝑥2 + 5𝑥+ 1

. 10)∫ 5

0

𝑑𝑥

2𝑥+√3𝑥+ 1

.

Ответы: 1) 214

. 2) 143

. 3) 2. 4) arctg 17. 5) 4

3. 6) 2−ln 2. 7) 848

105. 8) 𝜋. 9) ln 1+2

√7

9.

10) 15ln 112.

16.10 Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

1)∫ ∞

𝑒

𝑑𝑥

𝑥(ln𝑥)3. 2)

∫ ∞

0

𝑥3𝑒−𝑥2

𝑑𝑥.

3)∫ ∞

1

2 + sin 𝑥√𝑥

𝑑𝑥. 4)∫ 1/𝑒

0

𝑑𝑥

𝑥(ln𝑥)2.

5)∫ 𝑒

1

𝑑𝑥

𝑥√ln𝑥

. 6)∫ ∞

0

𝑥𝑑𝑥

(1 + 𝑥)3.

Ответы: 1) 0,5. 2) 0,5. 3) Расходится. 4) 1. 5) 2. 6) 0,5.

65


Приложения определенных интегралов

Вычисление площадей плоских фигур и длин дуг кривых

17.1 Вычислить площадь фигуры, ограниченной. . .

1) линиями 𝑦2 = 9𝑥, 𝑦 = 3𝑥. (Ответ: 0,5)

2) линиями 𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥, 𝑦 = 𝑥+ 4. (Ответ: 125/6)

3) линиями 𝑦 =1

1 + 𝑥2, 𝑦 =

𝑥2

2. (Ответ: 𝜋/2− 1/3)

4) замкнутой линией 𝑦2 = 𝑥2 − 𝑥4. (Ответ: 4/3)

5) первой аркой циклоиды

{𝑦 = 𝑎(1− cos 𝑡),

𝑥 = 𝑎(𝑡− sin 𝑡)и осью 𝑂𝑥. (Ответ: 3𝜋𝑎2)

6) петлей линии 𝑥 = 3𝑡2, 𝑦 = 3𝑡− 𝑡3. (Ответ: 72√3/5)

7) линией 𝑦 = 𝑥𝑒−𝑥2/2 и ее асимптотой. (Ответ: 2)

8) кардиоидой 𝜌 = 𝑎(1− cos𝜙). (Ответ: 2𝜋𝑎2/2)

9) линиями 𝑥2 + 𝑦2 = 4, 𝑥2 + 𝑦2 = 9, 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = − 𝑥√3

. (Ответ: 25𝜋/24)

17.2 Вычислить длину. . .

1) дуги параболы 𝑦 = 2√𝑥 между точками 𝑥1 = 0 и 𝑥2 = 1.

(Ответ:√2 + ln(1 +

√2))

2) астроиды

{𝑥 = 𝑎 cos3 𝑡,

𝑦 = 𝑎 sin3 𝑡. (Ответ: 6𝑎)

3) кардиоиды 𝜌 = 𝑎(1− cos𝜙). (Ответ: 8𝑎)

4) дуги кривой 𝑦 = 23

√(𝑥− 1)3 между точками 𝑥1 = 1 и 𝑥2 = 9. (Ответ: 56/3)

Вычисление объемов тел и площадей поверхностей тел вращения

17.3 Вычислить объем тела,. . .

1) ограниченного поверхностями 𝑧 =𝑥2

4+

𝑦2

2, 𝑧 = 1. (Ответ: 𝜋

√2)

2) полученного при вращении вокруг оси 𝑂𝑥 фигуры, лежащей в плоскости𝑂𝑥𝑦 и ограниченной линиями 𝑦 = 𝑥2, 𝑥 = 𝑦2. (Ответ: 3𝜋/10)

66

3) полученного при вращении вокруг оси обсцисс фигуры, ограниченной пер-

вой аркой циклоиды

{𝑥 = 𝑎(𝑡− sin 𝑡),

𝑦 = 𝑎(1− cos 𝑡)и осью 𝑂𝑥. (Ответ: 5𝑎2𝜋2)

17.4 Вычислить площадь. . .

1) поверхности вращения, полученной при вращении дуги кривой 𝑦 = 12

√4𝑥− 1

от точки 𝑥1 = 1 до точки 𝑥2 = 9. (Ответ: 104𝜋/3)

2) катеноида — поверхности, образованной вращением цепной линии 𝑦 = ch 𝑥𝑎

вокруг оси 𝑂𝑥 от точки 𝑥1 = 0 до точки 𝑥2 = 𝑎. (Ответ: 𝜋𝑎2

4(𝑒2 − 𝑒−2 + 4))


17.5 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) 𝑦2 = 𝑥+ 5, 𝑦2 = −𝑥+ 4. 2) 𝜌 = 𝑎 cos 2𝜙.Ответы: а) 9

√2. б) 𝜋𝑎2/2.

17.6 Вычислить площадь фигуры:

а) ограниченной линиями 𝑦 = (𝑥− 4)2, 𝑦 = 16− 𝑥2.б) заключенной между первым и вторым витками спирали Архимеда 𝜌 = 𝑎𝜙.Ответы: а) 64/3. б) 8

3𝜋3𝑎3.

17.7 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) 4𝑦 = 8𝑥− 𝑥2, 4𝑦 = 𝑥+ 6. 2) 𝑦 = 4𝑡2 − 6𝑡, 𝑥 = 2𝑡и осью Ox.Ответы: а) 49/24. б) 9/2.

17.8 Вычислить длину дуги кривой. . .

1) 𝑦 = 13

√(2𝑥− 1)3 между точками 𝑥1 = 2 и 𝑥2 = 8. (Ответ: 56/3)

2) 𝑦 = 43𝑥, заключенной между точками 𝑥1 = 2, и 𝑥2 = 5. (Ответ: 5)

3) 𝑦 = ln𝑥 между точками 𝑥1 =√3 и 𝑥2 =

√8. (Ответ: 1 + 1

2ln 3

2)

17.9 Найти площадь поверхности вращения, полученной при вращении от-резка прямой 𝑦 = 3𝑥, заключенного между точками 𝑥1 = 0 и 𝑥2 = 2, вокруг оси𝑂𝑥. (Ответ: 12

√10𝜋)

17.10 Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями 𝑦 = 𝑥2

1 +𝑧2

4 , 𝑦 = 1.(Ответ: 𝜋)

17.11 Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси 𝑂𝑥 фи-гуры, лежащей в плоскости 𝑂𝑥𝑦 и ограниченной линиями 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2 и 𝑦 = 0.(Ответ: 16𝜋/15)

67

ОБ-10, практикум, ч. 2

Documents