{范例 10.8} 与直线电流共面的通电半圆环所受的安培力

[解析 ]直线电流 I1在右边产生的磁感应强度的方向垂直纸面向里，在半圆环电流的直径处产生的磁感应强度大小为

因此直径部分所受的安培力向沿 x轴正向，大小为

如图所示，长直导线通有电流 I1，半径为 a的圆环和直径构成封闭半圆环，通有逆时针方向的电流 I2。封闭半圆环与直线电流共面，直径与直线电流平行，相距为 d，求半圆环和封闭半圆环所受到的安培力。安培力随距离变化的规律是什么？

0 11 2π

IB

d

0 1 21 2 12 .

π

I I aF I aB

d

dFxdF2a

O

B

xd

I1

θ

I2dl

xI2

dFy

y

F1

{范例 10.8} 与直线电流共面的通电半圆环所受的安培力

在圆环上取一电流元 I2dl，直线电流I1在电流元处产生的磁感应强度大小为电流元 I2dl受到的安培力方向沿径向向里，大小为

dFxdF2a

O

B

xd

I1

θ

I2dl

xI2

dFy

y

F1

0 1

2π( )

IB

d x

0 12 2 2d d d

2π( )

IF I lB I l

d x

由于 x = acosθ， dl = adθ，所以0 1 2

2

dd

2π( cos )

I I aF

d a

电流元 I2dl受到安培力的两个分量为0 1 2

2

cos dd d cos

2π( cos )x

I I aF F

d a

0 1 22

sin dd d sin

2π( cos )y

I I aF F

d a

根据对称性可知 y方向的合力为零。

{范例 10.8} 与直线电流共面的通电半圆环所受的安培力

半圆环电流所受的安培力等于 x方向的分量

其中

这里利用了 (0.22.1a)式，并取 k = a/d。半圆环所受的安培力

π/20 1 2

0

cos d

π cosx

I I aF

d a

π/20 1 2

0

( cos )d

π cos

I I d a d

d a

0 1 2 π( )

π 2

I IS

π/2

0

d

1 ( / ) cosS

a d

2

2 1arctan( )

11

k

kk

0 1 2

2

2 1 π[ arctan( ) ]

π 1 21x

I I kF

kk

封闭半圆环所受的总安培力为0 1 2

1 2

2 1 π[ arctan( ) ]

π 1 21.x

I I kF F F k

kk

当半圆环电流在直线电流的右边时，受到直线电流安培力的方向向左，因而安培力为引力；随着距离的增加，引力逐渐减小。

当半圆环电流在直线电流左边时，受到直线电流安培力的方向向右，因而受到的是引力；距离越近，引力越大。

当半圆环电流跨过直线电流时 (两者绝缘 )，受到直线电流安培力的方向也向左；半圆环越往左移，安培力越大。在 d = -a的两侧，

安培力并不连续。

封闭半圆环电流在直线电流左边时，受到直线电流安培力的方向也向右，因而受到的是引力，这是因为半圆环受到的引力大于直径受到的斥力；随着距离减小，引力也增加。

封闭半圆环电流在直线电流右边时，受到直线电流的安培力的方向向右，因而受到的是斥力，这是因为直径受到的斥力大于半圆环受到的引力；随着距离的减小，斥力增加。

封闭半圆环电流跨过直线电流时，受到直线电流的安培力方向向左，这是因为直径和半圆环受到力的方向都向左；半圆环越往左移，安培力越小。

半圆环从左右两边接近直线电流时，安培力趋于无穷大。