ΔΕΟ 13 - studypal.gr”ΕΟ13-2... · 22 16 20 18 2 qq Γνικά ο ρινυμο ax bx c2...

ΔΕΟ 13

2η Γραπτή Εργασία 2016-17

Ενδεικτική απάντηση

Επιμέλεια: Γιάννης Πουλόπουλος

ΑΣΚΗΣΗ 11[25 μονάδες (7+7+4+7)]

Η συνάρτηση προσφοράς ( )SP P Q ενός μονοπωλίου περιγράφεται από την σχέση,

20,5 0,5 8 18 0P Q Q , όπου P η τιμή και Q η ποσότητα παραγόμενου

προϊόντος. Η συνάρτηση ζήτησης ( )DP P Q του προϊόντος περιγράφεται από την

σχέση 23 15 360 3 0Q Q P

(Α) Να βρεθεί το κοινό πεδίο ορισμού των συναρτήσεων SP και DP όταν γνωρίζουμε

ότι τιμή και ποσότητα προϊόντος είναι μη-αρνητικά και ταυτόχρονα η συνάρτηση

προσφοράς είναι γνησίως αύξουσα ενώ η συνάρτηση ζήτησης γνησίως φθίνουσα.

(7 μονάδες)

Απάντηση:

Η συνάρτηση προσφοράς γράφεται: 2

2 2

22

0,5 8 180,5 0,5 8 18 0 0,5 0,5 8 18

0,5

0,5 8 1816 36

0,5 0,5 0,5S

Q QP Q Q P Q Q P

Q QP P Q Q

Η συνάρτηση ζήτησης γράφεται: 2

2 2

22

3 15 3603 15 360 3 0 3 3 15 360

3

3 15 3605 120

3 3 3D

Q QQ Q P P Q Q P

Q QP P Q Q

Για το πεδίο ορισμού της συνάρτησης προσφοράς θα πρέπει ταυτόχρονα να ισχύει:

0Q , 0SP και 0SdP

dQ (αύξουσα)

Οπότε: 20 16 36 0SP Q Q

Για την εξίσωση2 16 36 0Q Q έχουμε:

Διακρίνουσα: 2 24 16 4 ( 1) 36 400 0b a c

Επομένως υπάρχουν 2 άνισες πραγματικές λύσεις:

1,2

16 400 16 20

2 2 ( 1) 2

bQ

Οπότε:

1 1

16 202

2Q Q

και,

1 Παρατήρηση: Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων δεν απαιτείται να γραφούν


1

2 2

16 2018

2Q Q

Γενικά το τριώνυμο2ax bx c είναι ομόσημο του a εκτός του διαστήματος των

ριζών 1 2 και x x (όταν Δ>0).

Οπότε το τριώνυμο 2 16 36Q Q είναι αρνητικό (ομόσημο του 1a ) εκτός του

διαστήματος των ριζών 1 2= 2 και 18Q Q . Επομένως2 16 36 0Q Q εντός του

διαστήματος των ριζών. Δηλαδή, στο διάστημα [ 2, 18] .

Επιπλέον η συνάρτηση προσφοράς είναι αύξουσα.

2' 16

0 16 36 0 2 16 0 2 16 82

SdPQ Q Q Q Q Q

dQ

Άρα με βάση τις λύσεις των ανισώσεων 0Q , 0SP και 0SdP

dQ , αυτές

συναληθεύουν στο διάστημα [0, 8) που είναι και το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

προσφοράς

Για το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ζήτησης ισχύει:

0Q , 0DP και 0DdP

dQ (φθίνουσα)

Οπότε: 20 5 120 0DP Q Q

Για την εξίσωση2 5 120 0Q Q έχουμε:

Διακρίνουσα: 2 24 ( 5) 4 ( 1) 120 505 0b a c

Επομένως υπάρχουν 2 άνισες πραγματικές λύσεις:

1,2

( 5) 505 5 22,47

2 2 ( 1) 2

bQ

Οπότε:

1 1

5 22,4713,73

2Q Q

και,

2 2

5 22,478,73

2Q Q


2

Οπότε το τριώνυμο 2 5 120Q Q είναι αρνητικό (ομόσημο του 1a ) εκτός του

διαστήματος των ριζών 1 2= 13,73 και 8,73Q Q . Επομένως 2 5 120 0Q Q

εντός του διαστήματος των ριζών. Δηλαδή, στο διάστημα [ 13,73, 8,73] .

Επιπλέον η συνάρτηση ζήτησης είναι φθίνουσα.

2' 5

0 5 120 0 2 5 0 2 5 2,52

DdPQ Q Q Q Q Q

dQ

Άρα με βάση τις λύσεις των ανισώσεων 0Q , 0DP και 0DdP

dQ , αυτές

συναληθεύουν στο διάστημα [0, 8,73]που είναι και το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

προσφοράς.

Επομένως το κοινό πεδίο ορισμού της συνάρτησης προσφοράς και της συνάρτησης

ζήτησης θα είναι το [0, 8) .

(Β) Να βρεθεί αλγεβρικά το σημείο ισορροπίας. (7 μονάδες)

Απάντηση:

Για το σημείο ισορροπίας εξισώνουμε τη συνάρτηση ζήτησης με τη συνάρτηση

προσφοράς:

2 216 36 5 120 16 5 36 120

8421 84 4 (ποσότητα ισορροπίας)

21

S DP P Q Q Q Q Q Q

Q Q Q

Αντικαθιστώντας την ποσότητα ισορροπίας Q=4 στη συνάρτηση προσφοράς (ή στη

συνάρτηση ζήτησης) προκύπτει:

2 216 36 4 16 4 36 84 (τιμή ισορροπίας)P Q Q P P

(Γ) Με χρήση Excel να γίνει η γραφική παράσταση των δύο συναρτήσεων στο ίδιο

διάγραμμα για τιμές της ποσότητας από 0 έως 10 με βήμα 0,25. Η ποσότητα να

τοποθετηθεί στον οριζόντιο άξονα. (4 μονάδες)

Απάντηση:

Q PS=-Q

2+16Q+36 PD=-Q

2-5Q+120

0 36,00 120,00

0,25 39,94 118,69

0,5 43,75 117,25


3

0,75 47,44 115,69

1 51,00 114,00

1,25 54,44 112,19

1,5 57,75 110,25

1,75 60,94 108,19

2 64,00 106,00

2,25 66,94 103,69

2,5 69,75 101,25

2,75 72,44 98,69

3 75,00 96,00

3,25 77,44 93,19

3,5 79,75 90,25

3,75 81,94 87,19

4 84,00 84,00

4,25 85,94 80,69

4,5 87,75 77,25

4,75 89,44 73,69

5 91,00 70,00

5,25 92,44 66,19

5,5 93,75 62,25

5,75 94,94 58,19

6 96,00 54,00

6,25 96,94 49,69

6,5 97,75 45,25

6,75 98,44 40,69

7 99,00 36,00

7,25 99,44 31,19


4

7,5 99,75 26,25

7,75 99,94 21,19

8 100,00 16,00

8,25 99,94 10,69

8,5 99,75 5,25

8,75 99,44 -0,31

9 99,00 -6,00

9,25 98,44 -11,81

9,5 97,75 -17,75

9,75 96,94 -23,81

10 96,00 -30,00

(Δ) Να υπολογιστούν η ελαστικότητα ζήτησης (ως προς την τιμή) και η ελαστικότητα

προσφοράς (ως προς την τιμή) στο σημείο ισορροπίας του ερωτήματος (Β) και να

ερμηνευτούν τα αποτελέσματα. (7 μονάδες)

Απάντηση:

Ελαστικότητα ζήτησης:

DD

dQ P

dP Q

-40,00

-20,00

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

140,00

0 2 4 6 8 10 12

P

Q

Ps

PD


5

Όμως 2

1 1 1 1

' 2 55 120 '

D

D D

dQ

dPdP P QQ Q

dQ

Οπότε:

2 21 5 120 5 120

2 5 2 5

D DD D

dQ P Q Q Q Q

dP Q Q Q Q Q

Οπότε αντικαθιστώντας την ποσότητα ισορροπίας Q=4 προκύπτει:

2 25 120 4 5 4 120 16 20 1201,61

2 5 2 4 5 4 2 4 5 4D D

Q Q

Q Q

Ερμηνεία: Αν η τιμή P αυξηθεί κατά 1% η ζητούμενη ποσότητα θα μειωθεί κατά

1,61%.

Ελαστικότητα προσφοράς:

SS

dQ P

dP Q

Όμως 2

1 1 1 1

' 2 1616 36 '

S

S S

dQ

dPdP P QQ Q

dQ

Οπότε:

2 21 16 36 16 36

2 16 2 16

S SS S

dQ P Q Q Q Q

dP Q Q Q Q Q

Οπότε αντικαθιστώντας την ποσότητα ισορροπίας Q=4 προκύπτει:

2 216 36 4 16 4 36 16 64 362,625

2 16 2 4 16 4 2 4 16 4S D

Q Q

Q Q

Ερμηνεία: Αν η τιμή P αυξηθεί κατά 1% η ζητούμενη ποσότητα θα αυξηθεί κατά

2,625%.

ΑΣΚΗΣΗ 2[25 μονάδες (3+5+5+5+5+2)]

Η συνάρτηση του συνολικού κόστους ενός προϊόντος στην μοναδική εταιρεία που

παρασκευάζεται είναι 23 14 40TC Q Q , ενώ η συνάρτηση ζήτησης του

συγκεκριμένου προϊόντος είναι 250 2,5P Q

(Α) Να βρεθούν οι συναρτήσεις συνολικού εσόδου (TR) της εταιρείας από την

πώληση του προϊόντος, μέσου εσόδου (AR) ανά μονάδα προϊόντος, και οριακού

εσόδου (MR). (3 μονάδες)

Απάντηση:

2(250 2,5 ) 250 2,5TR P Q TR Q Q TR Q Q


6

2 2250 2,5 250 2,5250 2,5

TR Q Q Q QAR AR AR AR Q

Q Q Q Q

2' 250 2,5 ' 250 5MR TR Q Q MR Q

(Β) Να υπολογιστεί η ποσότητα 0Q για την οποία μεγιστοποιούνται τα συνολικά

έσοδα της εταιρείας. Για αυτήν την ποσότητα 0Q να υπολογιστούν τα συνολικά έσοδα

0TR , η τιμή 0P την οποία πρέπει να καθορίσει η εταιρεία και η ελαστικότητα ζήτησης

στη συγκεκριμένη τιμή. (5 μονάδες)

Απάντηση:

2

0 0

' 250 2,5 ' ' 250 5

'' 250 5 ' '' 5

250: ' 0 250 5 0 250 5 50

5

TR Q Q TR Q

TR Q TR

TR Q Q Q Q

ΚΔΠ: Επειδή για κάθε Q (άρα και για Q=50), '' 0TR τα συνολικά έσοδα

μεγιστοποιούνται για 0 50Q . Οπότε: 2 2

0 0 0 0 0250 2,5 250 50 2,5 50 6250TR Q Q TR TR

Επιπλέον, 0 0 0 0250 2,5 250 2,5 50 125P Q P P

Ελαστικότητα ζήτησης:

DD

dQ P

dP Q

Όμως

1 1 1 10,4

' 250 2,5 ' 2,5

D D

D D

dQ dQ

dPdP P Q dP

dQ

Οπότε:

250 2,5 250 2,5 500,4 0,4 1

50

D DD D

QdQ P

dP Q Q

(Γ) Να υπολογιστούν το οριακό έσοδο και οριακό κόστος της εταιρείας στο επίπεδα

προϊόντος 0Q . Αν η επιχείρηση παράγει 0Q , θα πρέπει να αυξήσει ή να μειώσει την

παραγωγή (και τις πωλήσεις) ώστε να πετύχει αύξηση του κέρδους; Θα πρέπει να

αυξήσει ή να μειώσει την τιμή ώστε να πετύχει τον στόχο της; (5 μονάδες)

Απάντηση:

0 0 0 0

2

0 0 0 0

250 5 250 5 50 0

' 3 14 40 ' 6 14 6 50 14 286

MR Q MR MR

MC TC Q Q Q MC

Επειδή 0 0MR MC η επιχείρηση πρέπει να μειώσει την παραγωγή. Για να μειώσει

όμως την παραγωγή πρέπει να αυξήσει την τιμή.


7

(Δ) Να γραφεί η συνάρτηση του κέρδους της εταιρείας. Ποιο είναι το κέρδος που

αντιστοιχεί στην ποσότητα 0Q ; Υπολογίστε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης

κέρδους στο σημείο 0Q δώστε την ερμηνεία της τιμής αυτής σε σχέση με κέρδος. (5

μονάδες)

Απάντηση:

2 2 2 2

2

250 2,5 3 14 40 250 2,5 3 14 40

5,5 264 40

TR TC Q Q Q Q Q Q Q Q

Q Q

Οπότε: 2 2

0 0 0 0 05,5 264 40 5,5 50 264 50 40 590Q Q

2' 5,5 264 40 ' 11 264Q Q Q

Οπότε:

0 0 0 0' 11 264 ' 11 50 264 ' 286Q

Ερμηνεία:

Αν η παραγωγή αυξηθεί κατά μία επιπλέον μονάδα το κέρδος θα μειωθεί κατά 286

μονάδες.

(Ε) Να βρεθεί η ποσότητα *Q που θα πρέπει να παρασκευάσει η εταιρεία ώστε να

μεγιστοποιήσει το κέρδος της. Ποια είναι η τιμή του μέγιστου κέρδους * την

εταιρεία; (5 μονάδες)

Απάντηση:

25,5 264 40Q Q

2' 5,5 264 40 ' ' 11 264

'' 11 264 ' '' 11

Q Q Q

Q

ΚΠΠ:*' 0 11 264 0 11 264 24Q Q Q

ΚΔΠ: Για κάθε Q, άρα και για * 24Q ισχύει '' 11 0 . Επομένως για

* 24Q

το κέρδος μεγιστοποιείται.

Οπότε:

2 2* * * * *5,5 264 40 5,5 24 264 24 40 3128Q Q

(ΣΤ) Με χρήση Excel να γίνει η γραφική παράσταση των συναρτήσεων συνολικού

εσόδου TR και κέρδους Π για τιμές της ποσότητας Q από 1 έως 59 με βήμα 1. (Η

ποσότητα να τοποθετηθεί στον οριζόντιο άξονα.) (2 μονάδες)

Απάντηση:


8

Q TR=250Q-2,5Q2 Π=-5,5Q

2+264-40

1 247,5 218,5

2 490,0 466

3 727,5 702,5

4 960,0 928

5 1187,5 1142,5

6 1410,0 1346

7 1627,5 1538,5

8 1840,0 1720

9 2047,5 1890,5

10 2250,0 2050

11 2447,5 2198,5

12 2640,0 2336

13 2827,5 2462,5

14 3010,0 2578

15 3187,5 2682,5

16 3360,0 2776

17 3527,5 2858,5

18 3690,0 2930

19 3847,5 2990,5

20 4000,0 3040

21 4147,5 3078,5

22 4290,0 3106

23 4427,5 3122,5

24 4560,0 3128

25 4687,5 3122,5

26 4810,0 3106

27 4927,5 3078,5

28 5040,0 3040


9

29 5147,5 2990,5

30 5250,0 2930

31 5347,5 2858,5

32 5440,0 2776

33 5527,5 2682,5

34 5610,0 2578

35 5687,5 2462,5

36 5760,0 2336

37 5827,5 2198,5

38 5890,0 2050

39 5947,5 1890,5

40 6000,0 1720

41 6047,5 1538,5

42 6090,0 1346

43 6127,5 1142,5

44 6160,0 928

45 6187,5 702,5

46 6210,0 466

47 6227,5 218,5

48 6240,0 -40

49 6247,5 -309,5

50 6250,0 -590

51 6247,5 -881,5

52 6240,0 -1184

53 6227,5 -1497,5

54 6210,0 -1822

55 6187,5 -2157,5

56 6160,0 -2504

57 6127,5 -2861,5


10

58 6090,0 -3230

59 6047,5 -3609,5

ΑΣΚΗΣΗ 3

Μια εταιρεία έχει συνάρτηση μεταβλητού κόστους VC, και σταθερού κόστους FC,

ενός προϊόντος που δίνονται αντίστοιχα:

3 218 275 , FC=700

3VC Q Q Q

(Α) Να γραφούν οι εξισώσεις για το συνολικό κόστος TC, μέσο κόστος AC, μέσο

μεταβλητό κόστος AVC, μέσο σταθερό κόστος AFC, και οριακό κόστος MC. (4

μονάδες)

Απάντηση:

3 218 275 700

3TC VC FC TC Q Q Q

3 22

18 275 700

7003 8 2753

Q Q QTC Q

AC AC AC QQ Q Q

3 22

18 275

3 8 2753

700

Q Q QVC Q

AVC AVC AVC QQ Q

FCAFC AFC

Q Q

3 2 21' 8 275 700 ' 16 275

3MC TC Q Q Q MC Q Q

-6000,0

-4000,0

-2000,0

0,0

2000,0

4000,0

6000,0

8000,0

0 10 20 30 40 50 60 70

Q TR

Π


11

(Β) Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης συνολικού κόστους TC για θετικές

τιμές της ποσότητας Q. (5 μονάδες)

Απάντηση:

3 218 275 700

3TC Q Q Q

2' 16 275TC Q Q

Για την εξίσωση 2 16 275 0Q Q έχουμε:

Διακρίνουσα: 2 24 ( 16) 4 1 275 844 0b a c

Επομένως το τριώνυμο είναι ομόσημο του 3 (δηλαδή θετικό) για κάθε Q. Επομένως

επειδή 2' 3 16 275 0TC Q Q η συνάρτηση του κόστους είναι αύξουσα για

θετικές τιμές της ποσότητας.

(Γ) Να βρεθούν θετικές τιμές (αν υπάρχουν) της ποσότητας Q για τις οποίες οι

συναρτήσεις MC, AVC, και AFC ελαχιστοποιούνται, και να προσδιοριστούν οι

αντίστοιχες (ελάχιστες) τιμές. (6 μονάδες)

Απάντηση:

2 16 275MC Q Q

2' 16 275 ' ' 2 16

'' 2 16 '' '' 2

MC Q Q MC Q

MC Q MC

ΚΠΠ: 16

' 0 2 16 0 2 16 82

MC Q Q Q Q

ΚΔΠ: Για 8Q , '' 2 0MC . Επομένως η συνάρτηση MC ελαχιστοποιείται.

2

min min3 8 16 8 275 339MC MC

2

8 2753

QAVC Q

2'

'

2' 8 275 ' 8

3 3

2 2'' 8 ''

3 3

Q QAVC Q AVC

QAVC AVC


12

ΚΠΠ: 2 2

' 0 8 0 8 2 3 8 2 24 123 3

Q QAVC Q Q Q

ΚΔΠ: Για 12Q , 2

'' 03

AVC . Επομένως η συνάρτηση AVC ελαχιστοποιείται.

2

min min

128 12 275 227

3AVC AVC

700AFC

Q

2 2

'700 700' 700 ' 700

' ' ' 0Q Q

AFC AFC AFCQ Q Q

Επειδή για θετικές τιμές του Q, ' 0AFC η συνάρτηση AFC είναι φθίνουσα και

δεν εμφανίζει ελάχιστο.

(Δ) Να δειχθεί ότι η καμπύλη MC περνάει από το ελάχιστο σημείο της καμπύλης

AVC. Δηλαδή, MC=AVC όταν το AVC είναι ελάχιστο. (5 μονάδες)

Απάντηση:

Για Q=12 η συνάρτηση AVC ελαχιστοποιείται.

Όμως για Q=12: 2 2

min16 275 12 16 12 275 227MC Q Q MC MC AVC

(Ε) Με χρήση Excel να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης μέσου κόστους

AC για τιμές της ποσότητας Q από 15 έως 17 με βήμα 0,1 (το Q στον οριζόντιο

άξονα). Στη συνέχεια, με την βοήθεια της γραφικής παράστασης και του πίνακα

τιμών να εντοπιστεί εκείνη από τις τιμές του Q στην οποία το AC γίνεται ελάχιστο.

Κατόπιν, επαληθεύστε αλγεβρικά ότι η τιμή αυτή ικανοποιεί προσεγγιστικά τις

μαθηματικές συνθήκες για τοπικό ελάχιστο. (5 μονάδες)

Απάντηση:

Q AC=Q2/3-8Q+275+700/Q

15 276,667


13

15,1 276,561

15,2 276,466

15,3 276,382

15,4 276,308

15,5 276,245

15,6 276,192

15,7 276,149

15,8 276,117

15,9 276,095

16 276,083

16,1 276,082

16,2 276,090

16,3 276,108

16,4 276,136

16,5 276,174

16,6 276,222

16,7 276,280

16,8 276,347

16,9 276,423

17 276,510


14

Από το διάγραμμα και τον πίνακα τιμών διαπιστώνουμε ότι το AC γίνεται ελάχιστο

για Q=16,1.

Δουλεύοντας αλγεβρικά για Q=16,1ικανοποιούνται τα κριτήρια 1ης

και 2ης

παραγώγου για τη συνάρτηση:

2 7008 275

3

QAC Q

Q

Συγκεκριμένα,

2

2

2

2 2

22 2

4 3 3

'

'

700 2 700: ' 8 275 ' 8

3 3

2 16,1 700' 8 ' 0,03 ' 0

3 16,1

700 ' 700 '2 700 2: '' 8 ''

3 3

2 1400 2 1400 2 1400'' '' '' 0

3 3 3 16,1

Q QAC Q AC

Q Q

AC AC AC

Q QQAC AC

Q Q

QAC AC AC

Q Q

ΑΣΚΗΣΗ 4

ΜΕΡΟΣ Α) Να υπολογιστούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων:

1. 7

3( )

(2 1)f x

x

276,000

276,100

276,200

276,300

276,400

276,500

276,600

276,700

14,5 15 15,5 16 16,5 17 17,5

AC

Q

AC


15

Απάντηση:

7 7

27 7

6 6 6

14 14 14

8

'' ''

'

3 (2 1) 3 (2 1)3( )

(2 1) (2 1)

3 7 (2 1) (2 1) 3 7 (2 1) 2 42 (2 1)

(2 1) (2 1) (2 1)

42

(2 1)

x xf x

x x

x x x x

x x x

x

2. 22( ) xg x e

Απάντηση:

2 2 22 2 2 2'

' '( ) (2 ) 4x x xg x e x e x e

3. 2 2( ) (3 7) ln( )h x x x

Απάντηση:

2 2 2 2 2 2

22 2 2 2

2 2

2 2

' '' '

'

( ) (3 7) ln( ) (3 7) ln( ) (3 7) ln( )

( ) 26 ln( ) (3 7) 6 ln( ) (3 7)

26 ln( ) (3 7)

h x x x x x x x

x xx x x x x x

x x

x x xx

4.

12 3

2

5

5

xy

x

Απάντηση:


16

11 12 2 23 3

2 2 2

22 2 2 2 2 3

2 2 2

22 2 2 3

2 2 2

2

''

'

' '

5 1 5 5

5 3 5 5

1 ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) 5

3 ( 5) 5

1 2 ( 5) ( 5) 2 5

3 ( 5) 5

1 2 ( 5

3

x x xy

x x x

x x x x x

x x

x x x x x

x x

x x x

22 2 3

2 2 2

2 22 23 3

2 2 2 2 2 2

22 3

2 2 2

5) 5

( 5) 5

1 2 ( 10) 5 1 20 5

3 ( 5) 5 3 ( 5) 5

20 5

3( 5) 5

x

x x

x x x x

x x x x

x x

x x

ΜΕΡΟΣ Β) Υπολογίστε τα ολοκληρώματα και επαληθεύστε τα αποτελέσματα της

ολοκλήρωσης δια της αντίστροφης πράξης:

5. 3 2(8 9 2 5)x x x dx

Απάντηση:

3 2 3 2

3 2

4 3 24 3 2

(8 9 2 5) 8 9 2 5

8 9 2 5

8 9 2 5 2 3 54 3 2

x x x dx x dx x dx xdx dx

x dx x dx xdx dx

x x xx c x x x x c

Επαλήθευση:

4 3 2 4 3 2

3 2 3 2

2 3 5 2 3 5

8 9 2 5 0 8 9 2 5

΄ ΄ ΄ ΄ ΄ ΄x x x x c x x x x c

x x x x x x

6. 4

6 2( 5 )xe dxx x

Απάντηση:


17

4 4 4

34

3

6 2 6 2 1 1( 5 ) 5 6 2 5

16 2 5 6 2ln | | 5

3

2 2ln | | 5

x x x

x x

x

e dx dx dx e dx dx dx e dxx x x x x x

xx dx dx e dx x e c

x

x x e c

Επαλήθευση:

3 3

4

4

' ' '' '2 2ln | | 5 2 2ln | | 5

1 6 22 ( 3 ) 2 5 0 5

x x

x x

x x e c x x e c

x e ex x x

ΜΕΡΟΣ Γ) Δίνεται η συνάρτηση

32( ) 2

3

xf x x

7) Να υπολογίσετε το ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης στο διάστημα [-5, -1].

Κατόπιν, κατασκευάστε στο Excel τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) για

τιμές του x στο διάστημα [-6, 0] με βήμα 0,5 και στη συνέχεια με αναφορά στο σχήμα

δώστε γεωμετρική ερμηνεία στο αποτέλεσμα του ολοκληρώματος.

3 31 1 1 1 1 1

2 2 3 2

5 5 5 5 5 5

1 14 3 4 4 3 3

5 5

1( ) 2 2 2

3 3 3

1 1 ( 1) ( 5) ( 1) ( 5) 1 1 625 1 ( 125)2 2 2

3 4 3 3 4 4 3 3 3 4 4 3 3

1 624

3 4

x xf x dx x dx dx x dx x dx x dx

x x

24852 82,66 30,66

3

x f(x)=(x3/3)+2x

2

-6 0,00

-5,5 5,04

-5 8,33

-4,5 10,13

-4 10,67

-3,5 10,21

-3 9,00

-2,5 7,29


18

-2 5,33

-1,5 3,38

-1 1,67

-0,5 0,46

0 0,00

Γεωμετρική Ερμηνεία:

Το αποτέλεσμα του ολοκληρώματος ισούται με το εμβαδό που περικλείεται μεταξύ

της γραφικής παράστασης, του άξονα x και των ευθειών x = –5 και x = –1.

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

f(x)

x


19

ΔΕΟ 13 - studypal.gr”ΕΟ13-2... · 22 16 20 18 2 qq Γνικά ο ρινυμο ax bx c2...

Documents