семинар 15 март егэ матем

49
Подготовка учащихся к итоговой аттестации по математике Тема: «Производная. Применение производной к исследованию функций» С.Л. Орлова, старший преподаватель кафедры Физико-математического образования БОУ ДПО «ИРООО»

Upload: nanatatianuch

Post on 27-Jul-2015

109 views

Category:

Documents


5 download

TRANSCRIPT

Page 1: семинар 15 март егэ матем

Подготовка учащихся к итоговой аттестации по математике

Тема: «Производная. Применение производной к исследованию

функций»

С.Л. Орлова, старший преподаватель кафедры Физико-математического образования

БОУ ДПО «ИРООО»

Page 2: семинар 15 март егэ матем

План занятияАнализ заданий В8, В11 ЕГЭ- 2011

Методические рекомендации по отбору содержания учебного материала для обобщающего повторения темы «Производная. Применение производной к исследованию функций»

Практическая работа

Page 3: семинар 15 март егэ матем

3

Анализ задач типа В8, В11, проверяющих умения выполнять действия с функциями Умения

(КТ)

Знания (КЭС)

3.1. Определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания

функции;описывать по графику поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения; строить графики изученных функций

3.2. Вычислять производные и Первообразные элементарных функций

3.3. Исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций

4.1.1. Понятие о производной функции, геометрический смыслпроизводной

В81) (№ 6041); 2) (№ 6071)

3) № 9581; 4) № 7321 ; 5) № 8781

В8 В8, В11

4.1.2. Физический смысл производной, нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком

В8(№ 119975-

119979)

В8

Page 4: семинар 15 март егэ матем

4

Анализ задач типа В8, В11, проверяющих умения выполнять действия с функциями

Умения (КТ)

Знания (КЭС)

3.1. Определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания

функции;описывать по графику поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения; строить графики изученных функций

3.2. Вычислять производные и Первообразные элементарных функций

3.3. Исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций

4.1.3. Уравнение касательной к графику функции

В8(№ 119972); (№

119973);(№ 119974)

В8

4.1.4. Производные суммы, разности, произведения, частного

1) (№ 6041); 2) (№ 6071)

В8, В11 В11

4.1.5. Производные основных элементарных функций

1) (№ 6041); 2) (№ 6071)

В8, В11 В11

Page 5: семинар 15 март егэ матем

5

Анализ задач типа В8, В11, проверяющих умения выполнять действия с функциями

Умения (КТ)

Знания (КЭС)

3.1. Определять значение функции по значению

аргумента при различных способах задания функции;

описывать по графику поведение и свойства функций, находить по

графику функции наибольшие и наименьшие значения; строить графики

изученных функций

3.2. Вычислять производные и Первообразные элементарных функций

3.3. Исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций

4.1.6. Вторая производная и ее физический смысл

Задания В8 не представлены в

открытом банке задач

4.2.1. Применение производной к исследованию функций и построению графиков

В86) № 7081; 7) № 7791;8) № 8041; 9) № 8541

В11 В11

4.2.2. Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических, задачах

Задания В8 не представлены в

открытом банке задач

Page 6: семинар 15 март егэ матем

Анализ заданий В8

Тип задания

Проверяемое содержание

В8 Геометрический смысл

производной

Пример задания

На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой x=-1. Найдите значение производной функции y=f(x) в точке .

10 x

Page 7: семинар 15 март егэ матем

7

Анализ задач В8: «Геометрический смысл производной»

(№№ 1, 2, 3, 4, 5 )

1. B8 (№ 6041). Прямая y=-3x-6 параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Решение Анализ решения (требования к учащимся)

1) , где k – угловой коэффициент касательной, проведенной в точку касания . k=-3.

2) , ,

Ответ. -4.

1. Понимание геометрического смысла производной.2. Умение определять угловой коэффициент прямой по ее уравнению.3. Применение геометрического

смысла производной для нахождения

абсциссы точки касания по значению производной в точке касания (нахождение значения аргумента по значению функции при аналитическом способе задания функции ).

kxf 0

52 xxf

452 xxy

0x

4,352 00 xx

Page 8: семинар 15 март егэ матем

8

Анализ задач В8: «Геометрический смысл производной»

(№№ 1, 2, 3, 4, 5 )

2. B8 (№ 6071). Прямая является касательной к графику функции

. Найдите абсциссу точки касания.

Решение Анализ решения (требования к учащимся)

1) , где k – угловой коэффициент касательной, проведенной в точку касания x0. k=7. 2) , ,

1 и ⅓ - абсциссы точек касания, графика функции и касательных, имеющих угловой коэффициент к=7. 3) Найдем координаты точек касания: y(1)=16,

, (1;16); .

4) Проверим, какая из точек лежит на касательной

y(1)=16, , точка (1;16) лежит на касательной,

точка не лежит на касательной.

Ответ. 1

1. Понимание геометрического смысла производной.2. Применение

геометрического смысла производной для нахождения абсциссы точки касания по значению производной в точке касания. 3. Умение определять по координатам точки и уравнению линии,

принадлежит ли точка данной линии.

97 xy

982 23 xxxy

kxf 0

843 2 xxxf 7843 2 xx3

1,1 21 xx

27

1311

3

1

y

27

1311;1

97 xy

3

111

3

1

y

27

1311;1

Page 9: семинар 15 март егэ матем

9

Анализ задач В8: «Геометрический смысл производной» (№№ 1, 2, 3, 4, 5 )

(3) B8 (№ 9581). На рисунке изображён

график функции и касательная к нему в точке

с абсциссой x0. Найдите значение производной

функции f (x) в точке x0.

Page 10: семинар 15 март егэ матем

10

Анализ задач В8: «Геометрический смысл производной» (№№ 1, 2, 3, 4, 5 )

Решение (3. В8 № 9581) Анализ решения (требования к учащимся)

1) , где k – угловой коэффициент касательной, проведенной в точку касания ; где – угол наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс.Задача сводится к нахождению .

1. Понимание геометрического смысла производной.2. Понимание связи между угловым коэффициентом касательной, ее уравнением и углом наклона касательной к положительной полуоси абсцисс. 3. Умение переформулировать задачу, постановка задачи о нахождении тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике.4. Умение находить тангенс острого

угла в прямоугольном треугольнике.

2) найдем tg α в прямоугольном треугольнике, гипотенузой которого является отрезок касательной: ,

где a=2; b=4; , значит, k=0,5,

следовательно, .

Ответ. 0,5.

kxf 0

b

atg

5,02

1tg

5,00 xf

0x ,tgk

tg

Page 11: семинар 15 март егэ матем

11

Анализ задач В8: «Геометрический смысл производной» (№№ 1, 2, 3, 4, 5 )

(4) B8 (№7321 ) На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-6; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=-6.

Page 12: семинар 15 март егэ матем

12

Анализ задач В8 : «Геометрический смысл производной»

(№№ 1, 2, 3, 4, 5 )

Решение (4. В8 № 7321) Анализ решения (требования к учащимся)

1) Касательная параллельна прямой y=-6, следовательно ее угловой коэффициент

равен угловому коэффициенту данной прямой: k=0, где k – угловой коэффициент касательной, проведенной в точку касания ; k=tg α, где α – угол наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс, . Следовательно, касательная параллельна оси ОX (возможно другое объяснение).

1. Понимание геометрического смысла производной.2. Понимание связи между угловым коэффициентом касательной, ее уравнением и углом наклона касательной к положительной полуоси абсцисс. 3. Умение переформулировать задачу, постановка задачи о нахождении по графику функции количества касательных к нему, параллельных оси ОX.4. Понимание, что касательные к графику функции, параллельные к оси абсцисс проходят через точки минимума (максимума) функции5. Нахождение точек максимума (минимума)

функции по ее графику

2) Касательные к графику функции, параллельные оси абсцисс проходят через точки (экстремума) с абсциссами: -5; -2; 0; 1; 2; 3; 4. Таких точек 7.

Ответ. 7.

0x

0,0 tg

Page 13: семинар 15 март егэ матем

13

Анализ задач В8: «Геометрический смысл производной» (№№ 1, 2, 3, 4, 5 )

(5) B8 (№ 8781)На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале (-11; 3). Найдите количество точек, в которых касательная к графикуфункции f(x) параллельна прямой y=-4x+13 или совпадает с ней.

Page 14: семинар 15 март егэ матем

14

Анализ задач В8: «Геометрический смысл производной» (№№ 1, 2, 3, 4, 5 )

Решение (5. В8 № 8781) Анализ решения (требования к учащимся)

1) Так как касательная параллельна прямой y=-4x+13, то к = -4.

2)

1. Понимание геометрического смысла производной.

2. Понимание, что угловые коэффициенты параллельных прямых равны.3. Умение переформулировать задачу, постановка задачи о нахождении количества точек графика с заданной

ординатой.4. Умение находить с помощью графика значение абсциссы точки по значению ее ординаты.

3) Определим по графику производной, сколько точек графика имеют ординату, равную -4: таких точек 4.

Ответ. 4.

kxf 0 40 xf

Page 15: семинар 15 март егэ матем

Анализ заданий В8

Тип задания

Проверяемое содержание

В8 Уравнение касательной к

графику функции

Примеры заданий

1) Прямая y=3x+1 является касательной к графику функции y=ax2+2x+3. Найдите a.

2) Прямая является касательной к графику функции . Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Задание: проверьте представленные ниже решения и оцените их.

Задание 1. Прямая y=3x+1 является касательной к графику функции y=ax2+2x+3. Найдите a.

Решение: Прямая и парабола имеют общую точку при условии:

Ответ. 0, 125.Можно ли данное решение

считать верным?

85 xy

1528 2 bxxy

,13322 xxax

,022 xax .125,0,081,81 aaaD

Page 16: семинар 15 март егэ матем

Анализ заданий В8

Тип задания

Проверяемое содержание

В8 Уравнение касательной к

графику функции

Примеры заданий

1) Прямая y=3x+1 является касательной к графику функции y=ax2+2x+3. Найдите a.

2) Прямая является касательной к графику функции . Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Задание: проверьте представленные ниже решения и оцените их.

Задание 2. Прямая является касательной к графику функции . Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Решение:

Ответ. 23.Можно ли данное решение

считать верным? Почему?

85 xy

1528 2 bxxy

85 xy

1528 2 bxxy

0,72845

,07528

,851528

2

2

2

DbD

xbx

xbxx

.33,23,0285 2122 bbb

Page 17: семинар 15 март егэ матем

17

Анализ задач В8: «Уравнение касательной к графику функции»

(№№ 6, 7, 8)

6. В8 (№ 119972)Прямая y=3x+1

является касательной к графику функции

Найдите а.

322 xaxy

Решение:

1. Так как прямая y=3x+1 - касательная к графику функции

, то где -

абсцисса точки касания.2.

3. Точка касания – общая точка прямой и параболы, поэтому верно равенство:

Ответ 0, 125.

322 xaxy ,30 xy0x

,322,22 0 axaxxy .2

10 ax

,1332 0020 xxax

8

1,2

4

1

,12

33

2

2

4

12

aa

aaaa

Page 18: семинар 15 март егэ матем

18

Анализ задач В8: «Уравнение касательной к графику функции»

(№№ 6, 7, 8)

Решение:

1.Уравнение прямой имеет вид: y=kx+m. Для прямой y=-5x+8 k=-5, m=8.2.Так как прямая y=-5x+8 – касательная к параболе , то ее уравнение имеет вид: или .

3. ;

4.

откуда .5. Уравнение (*) примет вид:

Ответ . -33.

7. В8 (№ 119973)Прямая y=-5x+8

является касательной к

графику функции

.

Найдите b,

учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

1528 2 bxxy

1528 2 bxx 000 xxxfxfy

mk

xxfxfxxfy 0000

5, 00 xykxy

*855 0000 xxfxxfm

556,56 00 bxkxybxxy

0565 xb

,851556528 00020 xxxx

.33,23;5,0;5,0 2100 21 bbxx

Page 19: семинар 15 март егэ матем

19

Анализ задач В8: «Уравнение касательной к графику функции»

(№№ 6, 7, 8)

Решение

1. Так как прямая y=3x+4 является касательной к графику функции

, то где - абсцисса точки касания.

2. 3.

4. с=7.

Ответ. С=7.

8. B8 (№ 119974)

Прямая y=3x+4 является

касательной к графику

функции .

Найдите с.

cxxy 33 2

cxxy 33 2 ,30 xy0x

.1,336,36 00 xxxxy

,74130 y

,71313,71 2 cy

Page 20: семинар 15 март егэ матем

Анализ задач В8: «Уравнение касательной к графику функции»

Анализ решений задач №№ 119972-119973(требования к учащимся)

1. Понимание геометрического смысла производной и его применение к составлению уравнения касательной.

2. Понимание сходства и различия между касательной и секущей

3. Понимание связи между компонентами уравнения касательной. и компонентами общего вида уравнения прямой.

4. Составление уравнения касательной к графику функции в данной точке.

5. Нахождение точки касания данной прямой к графику данной функции.

6. Нахождение отдельных компонентов аналитической формулы функции по заданному уравнению касательной на основе использования геометрического смысла производной, уравнения касательной, понятия точки касания, алгоритма нахождения общей точки графиков функций.

20

Page 21: семинар 15 март егэ матем

21

Большинство учащихся не умеют самостоятельно устанавливать связи меду отдельными предметными знаниями из разных тем и разделов курса математики

знания

k=tg α

Касательная(прямая)

и ее уравнениеПонятие тангенса

угла

Геометрический смысл

производной

Линейная функция, ее

график и свойстваy=kx+b соотношение

между сторонами и

углами в прямоугольном треугольнике

Взаимное расположение прямых, угол

между прямыми

Page 22: семинар 15 март егэ матем

22

Отбор содержания обобщающего повторения. Система задач по теме: «Геометрический смысл производной»

Аналитический способ задания функций, касательной

k=tg α y=kx+b

№ п/п

Функция y= f(x)

Производная

Точка

x0 Угловой коэффициент

касательной Угол

между касатель

ной и положит. направ.

оси OX, α

касательна

я

Примечания

k k=tg α

1 + + ? I

2 + + ?

3 + ? +

4 + ? +

5 + + ? II

6 + + ?

7 + ? +

8 + ? +

xfy kxf 0

kxf 0

Page 23: семинар 15 март егэ матем

23

Отбор содержания обобщающего повторения. Система задач по теме: «Геометрический смысл производной»

Аналитический способ задания функций, касательной

k=tg α y=kx+b

№ п/п

Функция y= f(x)

Производная

Точка

x0 Угловой коэффициент

касательной Угол

между касатель

ной и положит. направ.

оси OX, α

касательна

я

Примечания

k k=tg α

9 + + ? III

10 + + ?

11 + ? +

12 + ? +

13 + ? +

Графический способ задания функции, касательной

14 + + ? ? + IV

15 + ? ?+ V

xfy kxf 0

kxf 0

Page 24: семинар 15 март егэ матем

24

Отбор содержания повторенияВиды задания

В8 Обобщенные формулировки задач для повторения,

закрепления, корректировки умений

Для системы устных упражнений (подготовительные задания)

1. Задачи на понимание и применение Геометрического смысла производной

1) нахождение углового коэффициента касательной по формуле производной и значению точки касания x0: задание № 1.2) нахождение углового коэффициента касательной по функции, заданной формулой и значению точки касания x0: задание № 2.3) Нахождение тангенса угла наклона касательной по формуле производной и значению точки касания: задание № 54) Нахождение угла наклона касательной по формуле производной и значению точки касания: задание № 95) Нахождение значения производной в точке касания по графикам функции и касательной: задание № 146) Нахождение точки касания по графику производной и информации об угловом коэффициенте касательной: задание № 15

Page 25: семинар 15 март егэ матем

25

Отбор содержания повторения

Виды задания

В8

Обобщенные формулировки задач для повторения, закрепления, корректировки умений

Для системы письменных упражнений

1. Задачи на понимание и применение Геометричес

кого смысла производной

1) Нахождение точки касания по известным: формуле производной

и значению углового коэффициента касательной (№3)

2) Нахождение точки касания по известным: функции, заданной формулой и значению углового коэффициента касательной (№4)3) Нахождение тангенса угла наклона касательной по известным: функции, заданной формулой и значению точки касания (№ 6)4) Нахождение точки касания по известным: формуле производной, и значению тангенса угла наклона касательной (№ 7)5) Нахождение точки касания по известным: функции, заданной формулой и значению тангенса угла наклона касательной (№ 8)6) Нахождение угла наклона касательной по известным: функции, заданной формулой и значению точки касания (№ 10)7) Нахождение значения точки касания по известным: формуле производной и углу наклона касательной (№ 11)8) Нахождение значения точки касания по известным: функции, заданной формулой и углу наклона касательной (№ 12)9) Нахождение значения точки касания по известным: функции, заданной формулой и уравнению касательной (№ 13)

Page 26: семинар 15 март егэ матем

26

Отбор содержания повторения

Виды задания В8

Обобщенные формулировки задач для повторения, закрепления, корректировки умений

Для системы письменных упражнений

1. Задачи на составление уравнения касательной к графику функции

1) Составление уравнения касательной к графику данной функции в данной точке.

2) Выявление, является ли данная прямая касательной к графику данной функции.

3) Нахождение одного из коэффициентов в данной аналитической формуле, которой задана функция по данному уравнению касательной к графику этой функций.

Page 27: семинар 15 март егэ матем

27

Анализ задач В8: «Физический смысл производной» (№№ 9, 10, 11, 12)

9. В8 (№ 119975)Материальная точка движется прямолинейно по закону

(где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с

начала движения).

Найдите ее скорость (в

м/с) в момент времени t=9 с.

17486 2 tttx

4812 ttxtv

ñìv /6048108489129

10. В8 (№ 119976)Материальная точка движется прямолинейно по закону

(где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время

в секундах, измеренное с

начала движения).

Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t=6 с.

ttttx 232

1 23

Page 28: семинар 15 март егэ матем

28

Анализ задач В8: «Физический смысл производной» (№№ 9, 10, 11, 12)

11. В8 (№ 119977)Материальная точка движется прямолинейно по закону

(где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с

начала движения).

Найдите ее скорость (в

м/с) в момент времени t=3с.

2356 34 ttttx

4812 ttxtv

ñìv /6048108489129

12. В8 (№ 119979)Материальная точка движется прямолинейно по закону

(где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения).

В какой момент времени (в секундах) ее скорость

была

равна 2 м/с?

3533

1 23 ttttx

Page 29: семинар 15 март егэ матем

29

Отбор содержания повторения

Виды задания В8 Обобщенные формулировки задач для повторения, закрепления, корректировки

умений

Для системы устных и письменных упражнений (подготовительные задания)

3. Задачи по теме:

«Физический смысл

производной» (нахождение

скорости для процесса,

заданного формулой или

графиком)

1. Нахождение значения момента времени по заданному значению скорости движения объекта и функции, описывающей процесс движения.2. Нахождение значения мгновенной скорости движения объекта в заданный момент времени при известном законе движения объекта (функции).

Page 30: семинар 15 март егэ матем

30

Анализ задач В8: «Применение производной к исследованию функций»

(№№ 13, 14, 15, 16)

13. В8 ( № 7081)На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-1; 12). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Page 31: семинар 15 март егэ матем

31

Анализ задач В8: «Применение производной к исследованию функций» (№№ 13, 14, 15, 16)

Решение (13. № 7081) Анализ решения (требования к учащимся)

1) Так как функция имеет производную и убывает на промежутках: (0,5; 3); (6; 10); (11; 12), то На этих интервалах.

2) Данные интервалы содержат точки с целыми значениями абсцисс: 1; 2; 7; 8; 9 – всего пять.

Ответ. 5

1. Знание и понимание взаимно обратных утверждений

об условиях возрастания (убывания) функции: «Если на некотором промежутке функция y=f(x) возрастает (убывает) и дифференцируема на этом промежутке,

то ( ), причем равенство нулю производной не может быть на промежутке ненулевой длины».2. Умение определять по графику промежутки возрастания (убывания) функции.3. Понимание, что под точками, в которых

производная отрицательна, подразумевают их абсциссы.4. Понимание, что производная отрицательна в точках интервала, а не отрезка, на котором функция возрастает (убывает).5) Нахождение целых чисел, принадлежащих интервалу.

0)( xf 0)( xf

0 xf

Page 32: семинар 15 март егэ матем

32

Анализ задач В8: «Применение производной к исследованию функций» (№№ 13, 14, 15, 16)

14. Задание B8 (№ 7791)На рисунке изображен график производной функции f

(x), определенной на интервале (-

5; 8) . В какой точке отрезка [-1;3] f

(x) принимает наибольшее

значение?

Page 33: семинар 15 март егэ матем

33

Анализ задач В8: «Применение производной к исследованию функций» (№№ 13, 14, 15, 16)

Решение (14. № 7791) Анализ решения (требования к учащимся)

Функция y=f (x) определена и дифференцируема на интервале (-5; 8) и на отрезке [-1; 3], лежащем внутри данного интервала, значит y=f (x) возрастает на отрезке [-1; 3].2) Так как функция возрастает на отрезке [-1;3], то функция принимает наибольшее значение в точке x0=3.

Ответ. 3.

1. Знание и понимание взаимно обратных утверждений об условиях возрастания (убывания) функции: «Если на некотором Промежутке ( ), причем равенство нулю производной достигается лишь

в конечном числе точек этого промежутка, тофункция y=f (x) возрастает (убывает) на этом промежутке».2. Умение находить промежутки

знакопостоянства функции по ее графику.3. Понимание смысла определения

возрастающей Функции.

0)( xf0)( xf 0)( xf

Page 34: семинар 15 март егэ матем

34

Анализ задач В8: «Применение производной к исследованию функций» (№№ 13, 14, 15, 16)

15. Задание B8 (№ 8041)

На рисунке изображен график

производной функции f (x),

определенной на интервале

(-4; 19). Найдите количество

точек максимума функции f (x)

на отрезке [-3; 18].

Page 35: семинар 15 март егэ матем

35

Анализ задач В8: «Применение производной к исследованию функций» (№№ 13, 14, 15, 16)

Решение (15. № 8041) Анализ решения (требования к учащимся)

1) По графику производной найдем точки, в которых производная равна нулю: x= -2; 2; 9; 11; 14; 17 – стационарные точки, среди которых имеются точки максимума.2) В соответствие с достаточным условием экстремума, точки -2; 9; 14 являются точками максимума. Количество этих точек – 3.

Ответ. 3

1. Знание и понимание необходимого и достаточного условия экстремума.2. Умение переформулировать задачу, сводить ее к задаче на определение нулей функции по ее графику, при переходе через которые функция меняет значения с положительного на отрицательное.3. Умение определять по графику нули функции.

Page 36: семинар 15 март егэ матем

36

Анализ задач В8: «Применение производной к исследованию функций» (№№ 13, 14, 15, 16)

16. Задание B8 (№ 8541)На рисунке изображен график производной функции f (x), определенной на

интервале(-17; 2). Найдите промежутки возрастания функции f

(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Page 37: семинар 15 март егэ матем

37

Анализ задач В8: «Применение производной к исследованию функций» (№№ 13, 14, 15, 16)

Решение (9. № 8541) Анализ решения (требования к учащимся)

1) Так как на промежутках (-17; 18]; [-12; -9]; [-3; 1], то функция f (x) возрастает на этих промежутках. 2) Наибольшую длину, равную 4, имеет отрезок [-3; 1].

Ответ. 4.

1. Знание и понимание взаимно обратных утверждений об условиях возрастания (убывания) функции: «Если на некотором промежутке ( ), причем равенство нулю производной достигается лишь в конечном числе точек этого промежутка, то функция y=f (x) возрастает (убывает) на этом промежутке».2. Умение находить промежутки знакопостоянства функции по ее графику.3. Умение находить длину

промежутка.

0)( xf

0)( xf 0)( xf

Page 38: семинар 15 март егэ матем

38

Отбор содержания обобщающего повторения. Система задач по теме «Применение производной к

исследованию функций»

I. «Если на некотором промежутке функция y= f (x) возрастает (убывает) и дифференцируема на этом промежутке, то ( ), причем равенство нулю производной не может быть на промежутке ненулевой длины».II. «Если на некотором промежутке ( ), причем равенство нулю производной достигается лишь в конечном числе точек этого промежутка, то функция y=f (x) возрастает (убывает) на этом промежутке».III. Необходимое и достаточное условие экстремума.

Производная Функция Примечания

График

Значения График

возрастание

убывание

Наибольшее (наименьшее) знач.

Точка максимума (минимума)0 «+» «-»

? + # № 13.

+ # # # # # ? # № 14

+ # # # ? № 15

+ # # ? или ? № 16

0)( xf0)( xf

0)( xf 0)( xf

xf

Page 39: семинар 15 март егэ матем

39

Отбор содержания повторения

Виды задания В8

Обобщенные формулировки задач для повторения, закрепления, корректировки умений

Для системы устных и письменных упражнений (подготовительные задания)

2. Задачи на применение производной к исследованию функций

1. Нахождение промежутков знакопостоянства производной по графику функции (№ 13).2. Нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции по графику производной (№ 14).3. Нахождение точек экстремума по графику производной (№ 15).4. Нахождение промежутков монотонности функции по графику производной (№ 16).

Page 40: семинар 15 март егэ матем

40

Анализ задач В11: «Нахождение наибольшего (наименьшего) значения

функции на промежутке» (№№ 17, 18, 19, 20)

17. Задание B11 (№ 3383)Найдите наименьшее значение функции на

отрезке [6;8].Решение.

78 xex

I Способ.1) ООФ: x€R 2) 3) , 7€(6; 8).4) Исследование точки x=7 на экстремум показало, что 7 – единственная точка экстремума (минимума) на отрезке [6; 8] , значит в этой точке функция принимает наименьшее значения на отрезке [6;8]. 5) y(7)=-1.

Ответ. -1.

II Способ.1) ООФ: x€R2)

3) , 7€(6; 8).4) , , y(7)=-1

5) , значит, -1 – наименьшее значение функции на

отрезке [6; 8].

Ответ. -1.

77 xexxy 70 xxy

77 xexxy

70 xxy

e

y2

6 08 y

,2

1e

01

Page 41: семинар 15 март егэ матем

41

Анализ задач В11: «Нахождение наибольшего (наименьшего) значения

функции на промежутке» (№№ 17, 18, 19, 20)

18. Найдите наибольшее значение функции

на отрезке .

Решение.1) ООФ: x€R

2)

3) Исследование точки на экстремум на интервале показало, что - единственнаяточка максимума на этом интервале, значит в этой точке функция принимает наибольшее значение на отрезке 4)

Ответ. 16.

518

311

3

311cos

3

322

xxy

2;0

2

1sin01sin20 xxxy

Zkkx

Znnx

,26

5

,26

2;0

6

x

6

x

2;0

6

x

2;0

5

18

311

63

311

6cos

3

322

6

y

16511518

311

18

311

2

3

3

322

1sin23

311 xxy

Page 42: семинар 15 март егэ матем

42

Анализ задач В11: «Нахождение наибольшего (наименьшего) значения

функции на промежутке» (№№ 17, 18, 19, 20)

19. Найдите наименьшее значение функции y=12cosx-13x+7

на отрезке .

Решение.1) ООФ: x € R

2) при всех x € R, следовательно функция y=12cosx-13x+7 – убывающая на области определения и в том числе на заданном отрезке. Следовательно функция принимает наименьшее значение на заданном отрезке в точке x=0.

3) y(0)=12cos0-13·0=12.

Ответ. 12

0;2

3 0)

12

11(sin1213sin12 xxxy

Page 43: семинар 15 март егэ матем

43

Анализ задач В11: «Нахождение наибольшего (наименьшего) значения

функции на промежутке» (№№ 17, 18, 19, 20)

20. Найдите наименьшее значение функции

на отрезке [-7,5;0].

Решение.1) ООФ: x≠82)

3)

-7€(-7,5;0);

Исследование точки x=-7 на экстремум показало, что точка x=-7 – точка минимума, и так как она единственная точка экстремума на интервале (-7,5; 0), то в ней функция принимает наименьшее значение на отрезке [-7,5;0]. 4) y(-7)=4·(-7)-ln1=-28/Ответ. -28.

48ln4 xxy 8

74

8

114

x

x

xxy

8,70 xxxy

0;5,78

Page 44: семинар 15 март егэ матем

44

Анализ задач В11: «Нахождение наибольшего (наименьшего) значения

функции на промежутке» Задачи В11 на нахождение

наибольшего (наименьшего) значения функции на промежутке

Анализ решения (требования к учащимся)

1. Нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке:• внутри отрезка одна стационарная точка и она - точка экстремума;•Внутри отрезка одна стационарная точка – один из концов отрезка;•внутри отрезка несколько стационарных точек;• производная на заданном промежутке имеет постоянный знак.2. Нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции на интервале:

1. Знание двух способов нахождения

наибольшего (наименьшего) значения функции на промежутке с помощью производной.2. Выбор рационального способа решения типовой задачи.3. Умение обосновывать выбор наибольшего (наименьшего) значения функции на промежутке: • сравнение значений числовых

выражений,• применение понятия точки

минимума (максимума) функции

Page 45: семинар 15 март егэ матем

Практическая работа

Разработка системы заданий для обобщающего повторения темы

«Производная. Применение производной к исследованию функций»

на основе анализа задач типов В8, В11

Page 46: семинар 15 март егэ матем

Практическая работаРешите задачи В8,

проанализируйте решения. Результаты анализа

представьте в соответствии с предложенной формой

1. Прямая является касательной к графику функции

. Найдите а.

2. Прямая является касательной к графику функции . Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания меньше 0.

3. Прямая является касательной к графику функции

. Найдите с.

Форма представления результата

Таблица 1.

Вид задачи Требования к учащимся

Таблица 2.

Система подготовител

ьных упражнений

Система тренировочн

ых упражнений

29 xy

6112 xaxy

59 xy

718 2 bxxy

73 xy

cxxy 1518 2

Page 47: семинар 15 март егэ матем

Практическая работаРешите задачи В8,

проанализируйте решения. Результаты анализа представьте в

соответствии с предложенной формой

4. Материальная точка движется прямолинейно по закону

(где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t=6с.

5. Материальная точка движется прямолинейно по закону

(где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t=4с.

6. Материальная точка движется прямолинейно по закону

(где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t=6с.

7. Материальная точка движется

прямолинейно по закону

(где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 96 м/с?

2046

1 2 tttx

20343

1 23 ttttx

55743

1 234 tttttx

166

1 23 tttx

Page 48: семинар 15 март егэ матем

Практическая работаРешите задачи В11,

проанализируйте решения. Результаты анализа

представьте в соответствии с предложенной формой

1. Найдите наибольшее значение функции

на отрезке .

2. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

3. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

4. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

5. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

6. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

Форма представления результата

Таблица 1.

Вид задачи Требования к учащимся

Таблица 2.

Система подготовительных упражнений

Система тренировочн

ых упражнений

63236cos12 xxy

2;0

533 xtgxy

0;4

39ln9 xxy

18

5;

18

1

23 23 xxy 4;1

13 xxxy 9;1

xxy9

1;4

Page 49: семинар 15 март егэ матем

Практическая работа(Продолжение )

7. Найдите наименьшее значение функции на

отрезке

8. Найдите точку минимума функции

9. Найдите точку максимума функции

10. Найдите точку минимума функции

11. Найдите точку минимума функции

12. Найдите точку максимума функции

13. Найдите точку максимума функции

14. Найдите точку минимума функции

15. Найдите точку максимума функции

16. Найдите точку максимума функции , принадлежащую промежутку

17. Найдите точку максимума функции

xexxy 22 88 7;1

xexy 33

xexxy 52 1010

23 23 xxy

132

3

xxy

133

2 xxxy

x

xy

2892

33ln3 xxy

8ln9132 2 xxxy

5sin2cos32 xxxy

2;0

2892 x

xy