宇宙マイクロ波背景放射 1

樽家 篤史（東大理）

2006/08/13-14 東北大自主セミナー「宇宙における構造形成とダークマター」

理論の部

目次理論の部

CMB とは何か？ / CMB に関わる物理基礎方程式

CMB 非等方性：４つの効果

～温度非等方性を中心に～

定性的ふるまいと解析的な取り扱いまとめ

文献S.Dodelson, “Modern Cosmology” (Academic Press, 2003)

W.Hu, “Wandering in the Background” (Thesis, 1995)

小松英一郎 , “ 宇宙背景放射” ( 集中講義録 , 2000)

Hu & Sugiyama, Phys.Rev.D 51, 2599 (1995)

ApJ 471, 542 (1996)

ApJ 444, 489 (1995)

CMB とは何か？（１）宇宙マイクロ波背景放射CCosmic MMicrowave BBackground

宇宙晴れ上がり時に発せられた光子のエネルギー分布絶対温度 2.7K のプランク分布０次レベル （一様・等方）

１次レベル 0.01% の小さな温度のゆらぎ（非一様・非等方）

物質密度のゆらぎCMB は、宇宙の構造形成・進化を考える上での出発点

Sachs-Wolfe 効果、トムソン散乱

CMB とは何か？（２）膨張宇宙の幾何学を色濃く反映

CMB は、光の最終散乱面からやってくる天球面上の情報

宇宙の構造形成に関連して起こる２次的効果も反映ＣＭＢ anisotropy からわかること：

（再イオン化、ＳＺ効果，重力レンズ、 etc. ）

• 物質密度ゆらぎの初期条件 ( パワースペクトル )• 宇宙論パラメーター・物質組成比

• ダークエイジの手がかり（再イオン化）さらに、初期宇宙（インフレーション）の様子まで

ＣＭＢに関わる物理 （１）

宇宙の始まり　　　　　 38 万年　　　　　　 10 億年　　　100 億年　 現在

陽子

電子電子 初期天体 銀河

マイクロ波背景放射トムソン散乱

晴れ上がり

再結合～脱結合の間に起こる、光子と電子（バリオン）の電磁相互作用ミクロな物理

ＣＭＢに関わる物理 （２）Ph

ysic

al le

ngth

地平線サイズ地平線サイズ (~(~ctct))ゆらぎのサイズゆらぎのサイズ( ∝( ∝ 宇宙のスケール因子宇宙のスケール因子 ))

インフレーション 輻射優勢 物質優勢

晴れ上がり 時間

マクロな物理 （インフレーションによる）超地平線サイズの密度ゆらぎの形成と一般相対論に基づく進化

ＣＭＢに関わる物理 （３）

１次レベル： 宇宙論的摂動論

０次レベル： 膨張宇宙の進化フリードマン方程式再結合の物理イオン化率のレート方程式

相対論的ボルツマン方程式多成分物質系のゆらぎの進化

登場メンバー：

バリオン（電子）輻射（光子）

ＣＤＭニュートリノ

トムソン散乱重力ＣＭＢの観測

大規模構造の観測

基礎方程式（１）フリードマン方程式

;3

82

20

22

aHG

aaH K

DErm

)1(3DE

4r

3m

crit waaa

CDMbm

11 DEmDErmK

a=1 で現在0Hは現在のハッブルパラメーター

GH

83 2

0crit

密度パラメーター曲率パラメーター

Distance-Redshift Relation

Comoving radial distance : zt

t zHdzc

tadtcz

0 )'('

)'(')( 0

az 11;

Angular diameter distance :

Luminosity distance :

)1(

1)(z

zdA

00 )(sinh HzH KK

00 )(sin HzH KK

)(z

)0( K

)0( K

)0( K

)()1()( zzzdL

Distance-Redshift Relation

)(z

)(zdA

)(zdL

71.0,73.0,27.0m h

71.0,0,1m h

基礎方程式（２）（電子）イオン化率の時間発展

eV6.13ε; 0 Saha の式He

e

nnnX e

Peebles の式( 平衡状態 )

( 非平衡反応 )

)(TCr は、 n=2 レベルの影響を考慮した補正因子

2)2(b )()1()()( ebebbr

e XTnXTTCdtXd

※

Recombination History

RECFASTRECFASTSeager, Sasselov & Scott, (1999)

Multi-level calculation の結果を高精度で再現する近似計算コードCMBFAST などのボルツマンコードに実装

Sahaの式

RECFAST

71.073.004.0

23.0

b

cdm

h

基礎方程式（ 4 ）ゆらぎの進化の記述：

相対論的ボルツマン方程式

曲がった空間での線形進化（宇宙論的摂動）

dxdxgds 2計量テンソル ji

ij dxdxtxtadttx ),(21)(),(21 22

平坦な時空上のスカラー型摂動（密度ゆらぎ）の場合、

アインシュタイン方程式

Newtonポテンシャル曲率ゆらぎ

Longitudinal gauge

物質場の進化時空の進化

],[ )1()0()1(

ffCdtdf

)1()1( 8 TGG

基礎方程式（５）相対論的ボルツマン方程式

][ˆ

ˆfC

pf

dtpd

pf

dtdp

xf

dtdx

tf

dtdf

i

i

CDMニュートリノ

(massless)

バリオン（電子）

輻射（光子）

C[f]

トムソン散乱トムソン散乱

なしなし

プランク分布からのずれ );ˆ,,(1)( tppxtT

プランク分布からのずれ );ˆ,,(1)( tppxtT

N

摂動量

分布関数のモーメント ),(1)( bb txtn

),(vb tx

),(1)(CDM txtn

),(v tx

分布関数のモーメント

基礎方程式（５）

CDM

ニュートリノ(massless)

バリオン（電子）

輻射（光子）

フーリエ変換)(

)2()( 3

3

kekdx xki

ki

]3v[ 1b iR

ki

ルジャンドル関数

)()()(1

1 2

Pi d

kpk

/)ˆ(

P0

P22

モーメント

adtd

dd

;)(.

r

b

43

R

共形時間

コメント輻射（とニュートリノ）の温度ゆらぎは、方向依存性を表す変数 μ に依存する

輻射とバリオンの相互作用の強さは、

無限階層の連鎖方程式モーメントを取ると、

andd

e T

で決まる（時間的に変化する）

)2(

b1 v

3i

再結合～脱結合時に効く

基礎方程式（６）アインシュタイン方程式

)1()1( 8 TGG

(00)- 成分から

(ij)- 成分のトレースレス部分から

非等方ストレス

Longitudinal gauge

jiij dxdxtxdttxads ),(21),(21)( 222

近似的に無視

基礎方程式のまとめ０次

１次

K2

DE)1(3

r4

m32

02 )1()1()1()1( zzzzHH w

ki

]3v[ 1b iR

ki

2)2(b )()1()()( ebebbr

e XTnXTTCdtXd

(0th-1)

(0th-2)

(1st-1)(1st-2)(1st-3)(1st-4)(1st-5)(1st-6)(1st-7)

(1st-8)

(1st-9)

flat の場合0K

How to Solve Equations得られた方程式をどうやって解くか？直接、数値計算 :

CMBFAST, CAMB, CMBEASY, …

0.1%以下の高精度で、 CMB の角度パワースペクトル、質量密度ゆらぎのパワースペクトルが、高速に求まるその前に…

初期条件観測量との対応

初期条件得られた基礎方程式を解く際に、どんな初期条件を課せばよいか？

• 断熱ゆらぎ断熱ゆらぎの条件

• 等曲率ゆらぎ等曲率ゆらぎの初期条件

十分過去にさかのぼると、 1k（ゆらぎの波長が、地平線スケールを超える）（輻射優勢期）

0)()( ii

0)()( ii

2/)()()( 00 iii N

)(3)()( 0b iii

const.)(or,const.)( b ii

.0)()( 00 ii N

観測量との対応： CMB

• 観測から求まるもの： 温度マップ統計量として評価：

mmmYa

TT

,

),(),(

Caa mmmm ''*

'' アンサンブル平均 角度パワースペクトル

0

20init

2 );()(2

kkPkdkC

• 理論計算から求まるもの： );ˆ,()2(

),;ˆ( 03

3

000

pkekdxp

TT xki

一方、

密度ゆらぎの初期振幅を 1 に規格化原始密度ゆらぎのスペクトル(※)

理論計算例71.0

)1(73.004.0

23.0

b

cdm

hw

0/ ST

adiabatic

isocurvature

再イオン化なし

by CMBFAST4.5.1

重力レンズ効果なしns=1 (adiabatic)ns=2 (isocurvature)

Primary Anisotropy

（インフレーション時の）原始ゆらぎの情報を含む

宇宙の曲率･バリオン密度に敏感

CDM ･バリオン密度に敏感

Acoustic oscillationAcoustic oscillation

Diffusion dampingDiffusion damping

Sachs-Wolfe(SW) effectSachs-Wolfe(SW) effect

Integrated Sachs-Wolfe (ISW) effectIntegrated Sachs-Wolfe (ISW) effect宇宙膨張の変化に伴う重力ポテンシャルの動的変化

Primary Anisotropy & Cl

SW effectSW effect

Diffusion damping

Log scale Linear scaleAcoustic oscillation

Acoustic oscillation

ISW effect

Integral solution

00

0

)(0 ),(~);,(

kki Seedk

)(

21v)( 2b0 Pkiki

0

0 000 )]([),(),()();(

kjkkgdk

摂動方程式 ：(1st-1)

モーメントを取って部分積分：

形式解

無視

0

0 0b )]([v)(

kj

dd

kigd

0

0 0 )]([),(),( kjkked

eg )(

Visibility function & Optical depth

eg )(

Visibility function

)'()'('0

T

enadOptical depth

1100z

Last scattering surface(最終散乱面 )

Approximate Expression

)]([),(),();( *0**00 kjkkk

)(

)]([)1()]([v

*0

*0*01

b

kkjkj

ki

0

0 0 )]([),(),( kjkked

Visibility function のふるまいから、

(Recombination以後に効く )

Integrated Sachs-Wolfe 項

* ：最終散乱面 の時刻

Early typeLate type

(★)

Large-scale Anisotropy

(★) 式の第１，２項の評価をするため、摂動方程式 (1st-1) :

長波長極限 (k→0) :

0

)(

21v)( 2b0 Pkiki

初期条件より解 )()()( 23

**0 i

より、)(

31

* )()(2)()( 2

3***0 i

)(2 *

断熱ゆらぎ等曲率ゆらぎ

)()( 109

* i

0)( i

これがいわゆる、「 Sachs-Wolfe 効果」原始密度ゆらぎの痕跡

Simple Derivation of Factor 1/3 (W.Hu, Lecture note より )

Small-scale Anisotropy引き続き、 (★) 式の第１、２項の評価に戻って…

小スケール のふるまいに着目 : トムソン散乱が強く効くk

1k

の状況で、摂動方程式 を見直すと、(1st-1) (1st-4)

10 k

b1201 v

3332

3ikkk

]3v[ 1b iR

ki

11 121

12k 2;

(1st-1)

(1st-4)

は無視モーメントを取った

2 で1

Tight-coupling Approximation

10 k

b101 v

333ikk

]3v[ 1b iR

ki

(1st-1)

(1st-4)

]vv[3v bb1b kiRi H

]33[3 111 kiiiRi H

(1st-4)

r

b

43

R

3)1(31 011k

Rk

RRH

(1st-1) 第２式に代入：

(1st-1) 第１式を時間微分（ d/d ）した後、上式を代入し、1 を消去

Acoustic Oscillation （１）

Rkck

RR

s 13)()(

1)(

2

022

00

調和振動子型の方程式に帰着：

)1(31R

cs : sound velocity of

baryon-photon fluidWKB近似解：

)(sin)(cos)1(

1)()( 214/10 ss rkCrkCR

)'()(sin1

'1''1

''3 4/1

4/3

0

ss rrkRR

Rdk

0

)'(' ss cdr : sound horizon

C1, C2 は任意定数

Acoustic Oscillation （２）const.,, R と思うと、 (★) 式の第１項： )(sin)(cos)2()1( 210

4/1 ss rkCrkRCR

4/1)1(2)2( RR

2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

12

14

02

31

1

CC

100015.31

43 4

7.22

br

b zThR

220 /

srk

02.02b h実線：

04.02b h波線：

奇数次と偶数次のピークの高さの比が、バリオン密度に依存して異なる

定数項振動項

コメント（１）• 断熱ゆらぎなら、 cos型、等曲率ゆらぎなら、 sin型

ピークの位置)0,0( 21 CC )0,0( 21 CC

)( *peak srkn

)( 21n

（断熱ゆらぎ）（等曲率ゆらぎ）

• 角度パワースペクトルに現れるピークの位置

0

2*0**0init

2 )()()()( kjkPkdkC

(※) 式より、

)(~ *0peakpeak k (注・ flat の場合）

cos or sin

コメント（２）

2D )/()(

10 ~, kkrik ee s

一般には、 ),()1(~ *0*peakpeak Adzk

Comoving angular diameter distance特に曲率パラメーター　　　に敏感K

• Diffusion dampingTight-coupling 近似の高次効果：

98

'1'

)')('1(6')(

2

0

2

RR

RdkD

2/12

m12

b )()( hh

トムソン散乱によるゆらぎの減衰

（続き）

宇宙論パラメーター依存性（１）11stst peak peak と と 22ndnd peak peakの振幅比の振幅比バリオン密度大バリオン密度小断熱ゆらぎ

バリオン密度と音響振動

宇宙論パラメーター依存性（２）

曲率大Doppler peak Doppler peak の位置の位置

Doppler peak Doppler peak の高さの高さ

密度パラメーター大

曲率小

密度パラメーター小断熱ゆらぎ

曲率パラメーターと音響振動

バリオン振動との関係Baryon acoustic Baryon acoustic

oscillation (BAO)oscillation (BAO)

質量密度ゆらぎのパワースペクトル P(k) に現れる振動脱結合前に、輻射と強く結合していたバリオンの音響振動の痕跡振動の空間スケールを“ものさし”にすれば、距離 -赤方偏移関係がわかるダークエネルギーの性質

Percival et al. astro-ph/0608636

SDSS Main sample + LRG (77800個 )

Velocity overshoot effect

)(∝ 1bm

bCDM

m

CDM D

)(),(),( 1b

21

2CDM

21

2

dec

DVkDDW

DDDW

D

)(sin)()( 01 srkk

)(sin3)(v 1b srki

)()(

2

1

DD Growing mode

Decaying mode脱結合後、

（断熱ゆらぎのとき）Tight-coupling limit :

2|)(|)( kkP パワースペクトル：

振動

Evolution of linear P(k)

Secondary Anisotropy

• 宇宙再イオン宇宙再イオン化化• 重力レンズ効重力レンズ効果果• Sunyaev-Zel’dovich (SZ)Sunyaev-Zel’dovich (SZ) 効効果果• Ostriker-Vishniac (OV)Ostriker-Vishniac (OV) 効果効果• Rees-Sciama (RS)Rees-Sciama (RS) 効果効果

Zaldarriaga (1997)

Seljak (1996);

Komatsu & Kitayama (1999); Komatsu & Seljak (2002)

Zaldarriaga & Seljak (1998)

Variation of Angular Spectrum再イオン化の影響

重力レンズの影響レンズ効果ありレンズ効果なし

)(eT tncdt (Thomson

optical depth)

Cl of secondary anisotropy

再イオン化を除くと、 primary anisotropy を凌駕しうるのは、小スケールにおいてのみ

(Hu & Dodelson 2002)

まとめ• CMB 非等方性の物理：

宇宙晴れ上がり時の物理素過程大スケールのゆらぎの進化

• CMB 非等方性４つの効果：

相対論的ボルツマン方程式宇宙論的摂動

Sachs WolfeIntegrated Sachs WolfeAcoustic oscillationDiffusion damping

大角度

小角度

原始密度ゆらぎの情報ポテンシャルの時間変動

バリオン密度・曲率パラメーターに敏感バリオン密度・ＣＤＭ密度に敏感

付録

Legendre polynomial1)(0 P

)(1P

1321)( 2

2 P

)()()1(12

1)( 11

PPP

''

1

1 122)()(

PPd

（積分公式）

（漸化式）

1

!21)( 2

ddP

3521)( 3

3 P

定義

More on Cosmological Dependencies

Fiducial model parameters:

Hu & Dodelson (2002)

Late-time ISW

Early-time ISW

Late-time ISW

Baryon compression

Angular projection