С.М.Никольский КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

ТОМ 1 Учебник для студентов физических и механико-математических

специальностей вузов написал на основе курса лекций, читаемого автором в Московском физико-техническом институте. Фактически принят как учебное пособие в некоторых втузах с повышенной программой по математике.

Первый том содержит дифференциальное исчисление функций одной и многих переменных, ряды и интегральное исчисление для функций одной церемонной.

Содержание Предисловие к первому изданию 8 Предисловие ко второму изданию 11 Предисловие к третьему изданию 12 Глава 1. Введение 13 1.1. Вступление 13 1.2. Множество. Интервал, отрезок 13 1.3. Функция 16 1.4. Понятие непрерывности функции 27 1.5. Производная 30 1.6. Первообразная. Неопределенный интеграл 36 1.7. Понятие определенного интеграла. Площадь криволинейной фигуры 38 Глава 2. Действительное число 43 2.1. Рациональные n иррациональные числа 43 2.2. Определение неравенства 48 2.3. Определение арифметических действий 49 2.4. Основные свойства действительных чисел 52 2.5. Изоморфизм различных представлений действительных чисел. Длина

отрезка, физические величины 55

2.6. Дополнение 61 2.7. Неравенства для абсолютных величин 63 2.8. Точные верхняя и нижняя грани множества 64 Глава 3. Предел последовательности 66 3.1. Понятие предела последовательности 66 3.2. Арифметические действия с пределами 70 3.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины 72

3.4. Существование предела у монотонной ограниченной последовательности 74

3.5. Число e 76 3.6. Леммы о вложенных отрезках, существовании точных граней множества

и сечения во множестве действительных чисел 77

3.7. Подпоследовательности. Верхний и нижний пределы 79 3.8. Критерий Коши существования предела 86 3.9. Теорема Вейерштрасса 88 3.10. Счетное множество. Счетность множества рациональных чисел.

Несчетность множества действительных чисел 89

Глава 4. Предел функции 92 4.1. Понятии продела функции 92 4.2. Непрерывность функции в точке 100 4.3. Пределы функции справа и слева. Монотонная функция 105 4.4. Функции, непрерывные на отрезке 109 4.5. Обратная функция 113 4.6. Показательная и логарифмическая функции 116 4.7. Степенная функция xb 120 4.8. Еще о числе e 121

4.9. x

xx

sinlim0→

122

4.10. Порядок переменной, эквивалентность (асимптотика) 123 Глава 5. Дифференциальное исчисление для функции одной переменной 127 5.1. Производная 127 5.2. Дифференциал функции 131 5.3. Производная функции от функции 133 5.4. Производная обратной функции 135 5.5. Таблица производных простейших элементарных функций 138 5.6. Производные и дифференциалы высшего порядка 139 5.7. Возрастание и убывание функции на интервале и в точке. Локальный

экстремум 143

5.8. Теоремы о среднем значении. Критерии возрастания и убывания функции на ннтервале. Достаточные критерии локальных экстремумов 145

5.9. Формула Тейлора 150 5.10. Формулы Тейлора для важнейших элементарных функций 158 5.11. Ряд Тейлора 162

5.12. Выпуклость кривой в точке. Точка перегиба 166 5.13. Выпуклость кривой на отрезке 168 5.14. Раскрытие неопределенностей 169 5.15. Кусочно непрерывные и кусочно гладкие функции 174 Глава 6. n-мерное пространство. Геометрия кривой 177 6.1. n-мерное пространство. Линейное множество 177 6.2. Евклидово n-мерное пространство. Пространство со скалярным

произведением 178

6.3. Линейное нормированное пространстве 181 6.4. Вектор-функция в n-мерном евклидовом пространстве 182 6.5. Кривая в n-мерном пространстве 185 6.6. Геометрический смысл производной вектор-функции 191 6.7. Длина дуги кривой 192 6.8. Касательная. Нормаль к плоской кривой 194 6.9. Кривизна и радиус кривизны кривой. Плоская кривая. Эволюта и

эвольвента 196

6.10. Соприкасающаяся плоскость и подвижный триэдр кривой 202 6.11. Асимптота 207 6.12. Замена переменных 209 Глава 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных 211 7.1. Открытое множество 211 7.2. Предел функции 214 7.3. Непрерывная функция 217 7.4. Частные производные и производная но направлению 221 7.5. Дифференцируемая функция. Касательная плоскость 223 7.6. Производная сложной функции; производная по направлению; градиент 227 7.7. Независимость от порядка дифференцирования 233 7.8. Дифференциал функции. Дифференциал высшего порядка 235 7.9. Предельная точка. Теорема Вейерштрасса. Замкнутые и открытые

множества 239

7.10. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций на замкнутом ограниченном множестве 245

7.11. Продолжение равномерно непрерывной функции. Частная производная на границе области 250

7.12. Лемма о вложенных прямоугольниках и лемма Бореля 251 7.13. Формула Тейлора 252

7.14. Формула Тейлора с остатком в форме Пеано. Единственность 257 7.15. Локальный (абсолютный) экстремум функции 258 7.16. Теоремы существования неявной функции 262 7.17. Теорема существования решения системы уравнений 267 7.18. Отображения 272 7.19. Гладкая поверхность 275 7.20. Гладкая поверхность, заданная параметрически. Ориентируемая

поверхность 279

7.21. Пример неориентируемои поверхности. Лист Мёбиуса 284 7.22. Локальный относительный экстремум 285 7.23. Особые точки кривой 292 7.24. Кривые на поверхности 296 7.25. Криволинейные координаты в окрестности гладкой границы области 302 7.26. Замена переменных в частных производных 304 7.27. Система зависимых функций Глава 8. Неопределенные интегралы. Алгебра многочленов 312 8.1. Введение. Методы замены переменной и интегрирования по частям 312 8.2. Комплексные числа 318 8.3. Предел последовательности комплексных чисел. Функция комплексного

переменного 322

8.4. Многочлены 326 8.5. Разложение рациональной функции на простейшие дроби 330 8.6. Интегрирование рациональных дробей 336 8.7. Метод Остроградского выделения рациональной части из интеграла 336 8.8. Интегрирование алгебраических иррациональностей 340 8.9. Подстановки Эйлера 341 8.10. Биномиальные дифференциалы. Теорема Чебышева 343 8.11. Интегрирование тригонометрических выражений 344 8.12. Тригонометрические подстановки 348 8.13. Несколько важных интегралов, не выражаемых в элементарных

функциях 348

Глава 9. Определенный интеграл Римана 350 9.1. Вводная часть и определение 350 9.2. Ограниченность интегрируемой функции 351 9.3. Суммы Дарбу 352

9.4. Основная теорема 354 9.5. Теоремы о существовании интеграла от непрерывной и монотонной

функции на [a, b] 357

9.6. Теорема Лебега 358 9.7. Аддитивные и однородные свойства интеграла 360 9.8. Неравенства и теорема о среднем 362 9.9. Интеграл как функция верхнего предела. Теорема Ньютона—Лейбница 364 9.10. Вторая теорема о среднем 368 9.11. Видоизменение функции 369 9.12. Несобственные интегралы 371 9.13. Несобственные интегралы от неотрицательных функций 375 9.14. Интегрирование по частям 378 9.15. Несобственный интеграл и ряд 380 9.16. Несобственные интегралы с особенностями в нескольких точках 384 9.17. Формула Тейлора с остатком в интегральной форме 388 9.18. Формулы Валлиса и Стирлинга 389 Глава 10. Некоторые приложения интегралов. Приближенные методы 393 10.1. Площадь в полярных координатах 393 10.2. Объем тела вращения 394 10.3. Длина дуги гладкой кривой 395 10.4. Площадь поверхности тела вращения 397 10.5. Интерполяционный многочлен Лагранжа 398 10.6. Квадратурные формулы прямоугольников и трапеций 399 10.7. Общая квадратурная-формула. Функционал 401 10.8. Формула Симпсона 402 10.9. Общий метод получения оценок квадратурных формул 403 10.10. Еще о длине дуги 409 10.11. Число π. Тригонометрические функции 410 Глава 11. Ряды 413 11.1. Понятие ряда 413 11.2. Действия с рядами 414 11.3. Ряды с неотрицательными членами 415 11.4. Ряд Лейбница 421 11.5. Абсолютно сходящиеся ряды 421 11.6. Условно и безусловно сходящиеся ряды с действительными членами 425

11.7. Последовательность и ряды функции. Равномерная сходимость 427 11.8. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов

на отрезке 433

11.9. Кратные ряды. Перемножение абсолютно сходящихся рядов 438 11.10. Суммирование рядов и последовательностей методом средних

арифметических 442

11.11. Степенные ряды 443 11.12. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов 447 11.13. Степенные ряды функции ez, cos z, sin z комплексной переменной 451 Дополнение. Приближенное вычисление элементарных функций 454 Предметный указатель 460

Предметный указатель Абеля преобразование 431 - теорема о сходимости степенного

ряда 446, 451 - теоремы о рядах 432 Абсолютная величина числа 49, 63 Абсолютно сходящийся интеграл 374 - - ряд 421, 438 Аддитивность интеграла 360 Алгоритм Евклида 328 Аналитическая функция 164, 453 Аргумент (независимая переменная)

16 - комплексного числа 320 Арифметические действия над

числами 49, 319 Архимедово свойство чисел 54 Асимптота 207 Асимптотическое равенство 124 Ассоциативный закон сложения

чисел 53 - - умножения чисел 53 Астроида 190, 201 Бесконечная десятичная дробь 44 Бесконечно большая величина

(последовательность) 72 - малая величина

(последовательность) 72 Бесконечный интервал 15 - полуинтервал 15

- предел 72 Биномиальный дифференциал 343 Бином Ньютона 151, 161 Бинормаль кривой 203 Бореля лемма (о покрытии) 251 Буняковского неравенство 179 Валлиса формула 389 Вейерштрасса признак равномерной

сходимости 429 - теорема 88 - - об ограниченности непрерывной

функции 110 - - об экстремальных значениях

непрерывной функции 110 Вектор n-мерный 177 Вектор-функция 182 Величина физическая 61 Верхняя грань точная 64 - сумма Дарбу 352 Винтовая линия 205 Вложенных отрезков лемма 77, 251 Внутренняя точка множества 212 Выпуклость кривой в точке 166 - - на отрезке 168 Гамильтона оператор (набла) 232 Гармонический ряд 419 Гиперболическая точка 299 Главная нормаль кривой 203

Главное значение интеграла по Коши 387

Главные радиусы кривизны 298 Главный линейный член приращения

132, 224, 236 - степенной член функции 126 Годограф вектор-функции 185 Градиент функции 229 Граница множества 244 График функции 18 Даламбера признак сходимости ряда

416 Дарбу интегральные суммы 352 Дедекинда сечение 77 Действительная часть комплексного

числа 318 Десятичная дробь 44 Дирихле признак 379, 431 - функция 357 - ядро 322 Дифференциал функции 131, 235 Дифференциалы высших порядков

139, 235 Дифференциальный бином 343 Дифференцирование рядов 433 Дифференцируемое многообразие

190 Длина дуга кривой 192, 395, 406 Допустимые параметры гладкой

кривой 186 - - - поверхности 281 Евклида алгоритм 328 Евклидово n-мерное пространство

178 e (число) 76, 120, 158 Зависимая переменная 16, 140, 236 Замена переменных 209, 304 Замкнутое множество 242 Значение интеграла по Коши 387 Изолированная точка множества 245 Изоморфизм 55, 319 Инвариантность формы первого

дифференциала 141, 238 Интеграл неопределенный 36, 312

- несобственный 371 - определенный 38, 350 - от монотонной функции 357 - от непрерывной функции 357 - с переменным верхним пределом

364 - эллиптический 349 Интегральная сумма Римана 350 - теорема о среднем 362 Интегральные суммы Дарбу 353 Интегральный признак сходимости

рядов 381 Интегрирование подстановкой 313 - по частям 316, 378 - рядов 433 - тригонометрических выражений

344 Интервал 13 Интерполяционный многочлен

Лагранжа 398 Иррациональное число 43 Касательная 31, 203 Колебание функции в точке 248 - - на множестве 353 Коммутативный закон сложения

чисел 53 - - умножения чисел 53 Комплексное число 318 Комплекснозначная функция 324 Координаты криволинейные 302 - полярные 26 Корень (нуль) многочлена 327 Коши вид остаточного члена

формулы Тейлора 155 - критерий для несобственных

интегралов 372 - - для последовательностей 86 - - для рядов 413 - - для функций 97, 214 - - равномерной сходимости 428 - неравенство 181 - признак сходимости ряда 417 - теорема о среднем 146 Край поверхности 278

Кратный ряд 438 Кривая гладкая 174, 180 - Жордана 188 - замкнутая 189 Кривая кусочно непрерывная 188 - непрерывная 188 - ориентированная 186 - плоская 188 - самонепересекающаяся 189 - спрямляемая 192 Кривизна кривой 196 Круг сходимости степенного ряда

443 Кручение кривой 204 Куб 211, 213 Кусочно гладкая функция 174 Лагранжа вид остаточного члена

формулы Тейлора 153, 155, 254 - теорема о среднем 146 Лапласа оператор 306 Лейбница формула 140 Линейное множество 177 - нормированное пространство 181 Лист Мёбиуса 284 Локальный экстремум 143, 258 Лопиталя правило 169 Мгновенная скорость 30 Мнимая часть комплексного числа

319 Многообразие одномерное 190 Многочлен 150, 219, 326 - Тейлора 150 Множество 13 - замкнутое 242 - неограниченное 64 - ограниченное 64 - - сверху 64 - - снизу 64 - открытое 212 - счетное 89 Множителей Лагранжа метод 285 Модуль комплексного числа 319 - непрерывности 247 Набла (оператор Гамильтона) 232

Независимая переменная 16, 140, 236 Необходимое условие

интегрируемости функции 351 - - сходимости ряда 413 Неопределенностей раскрытие 109 Непрерывная вектор-функция 183 - кривая 185 - функция 27, 100 - - комплексного переменного 322 Неравенство Бернулли 117 - Коши 180 - Минковского 181 - треугольника 181 - чисел 48 Несчетность действительных чисел

89 Неявная функция 23, 262 Нижний интеграл Дарбу 352 - предел последовательности 74 Нижняя грань точная 64 - сумма Дарбу 352 Норма элемента 182 Нормаль (к кривой) 194, 203 - главная 203 Ньютона—Лейбница теорема 42, 366 Область определения функции 17 Обобщенная производная 250 Образ посредством функции 17 Обратная функция 113 Обратные тригонометрические

функции 25, 114 Объединение (сумма) множеств 15 Объем тела вращения 394 Однозначная функция 20 Односторонние окрестности 105 - пределы 105 Окрестность символов ∞ , ∞+ , ∞−

105 - точки 95, 212 Операция дифференцирования 33 - интегрирования 39 Ориентированная кривая 186 Ориентируемая поверхность 279, 282 Особая точка кривой 292

Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме 256, 388

- - - - в форме Коши 154 - - - - - - Лагранжа 154, 256 - - - - - - Пеано 156, 256, 257 Остроградского метод 336 Отображение 272 Отрезок (числовой) 13, 59 Параметр кривой допустимый 186 Первообразная 36, 312 Переменная (величина) 16 - зависимая 16, 140, 230 - независимая 16, 140, 236 Переместительный (коммутативный)

закон сложения 52 - - - умножения 53 Пересечение множеств 15 Плоскость касательная 223 - соприкасающаяся 202 Площадь в полярных координатах

393 - криволинейной фигуры 38 Поверхность гладкая 275 - ориентированная 282 - ориентируемая 282 - параметрически заданная 279 - самопересекающаяся 280 Подпоследовательность 79 Подстановки Эйлера 341 Полином (многочлен) 24, 219, 326 Полярные координаты 26 Порядок дифференцирования 139,

222 - переменной 123 Последовательность 66 - бесконечно большая 72 - - малая 72 - монотонная 74 - неубывающая 74 - ограниченная 64 - - - сверху 49 - равномерно сходящаяся 427 - стабилизирующаяся 49 - функций (функциональная) 427

Правило Лопиталя 169 Предел вектор-функции 183 - по направлению 215, 227 - последовательности 66 - - верхний 79 - - комплексных чисел 322 - - нижний 79 - - слева 105 - - справа 105 - функции 92, 214 Предельная точка множества 239 Преобразование Абеля 431 Признак равномерной сходимости

Абеля 432 - - - Вейерштрасса 429 - правая 30, 128 - суперпозиции (функции от

функции) 17, 133, 227 - частная 221 Производное множество 240 Пространство евклидово (n-мерное)

178 - со скалярным произведеним 178 Прямоугольник 211 Равномерная непрерывность 247 Равномерно сходящаяся

последовательность 427 - сходящийся ряд 427 Радиус кривизны 196 - сходимости степенного ряда 443 Разность комплексных чисел 318 - множеств 15 Разрыв второго рода 109 - первого рода 109 Рациональная функция 24, 330 Рациональное число 43 Римана интегральная сумма 350 Ролля теорема о среднем 145 Ряд 413 - гармонический 419 - кратный 438 - Лейбница 421 - равномерно сходящийся 427 - с неотрицательными членами 415

- степенной 162, 443 - сходящийся 413 - - абсолютно 421 - - безусловно 425 - - условно 425 - Тейлора 162, 453 - функций 427 Свойство Архимеда вещественных

чисел 54 Система зависимых функций 308 Скалярное произведение 178 Скорость мгновенная 30 Сочетательный (коммутативный)

закон сложения 53 - - - умножения 53 Спрямляемая кривая 192 Средняя скорость 30 Степенная функция 24, 120 Степенной ряд 162, 443 Стирлинга формула 389 Строго возрастающая функция 143 - убывающая функция 143 Сумма Дарбу интегральная 352 - (объединение) множеств 15 - Римана интегральная 350 - ряда 413 - - частичная 413 Суммирование рядов 442 Суперпозиция функций 17, 219 Существование n a 115 - решения системы уравнений 267 Счетное множество 89 Таблица интегралов 313 - производных 138 Тейлора многочлен 150 - ряд 162 - формула 150 Теорема Вейерштрасса о

равномерной сходимости 429 Теорема Коши о промежуточных

значениях непрерывной функции 112

- - о среднем 146

- Лагранжа о среднем 146 - Лебега 358 - о среднем интегральная 362 - - Ролля 145 - Ферма 144 - Чебышева 343 Точка возврата кривой 295 - выпуклости кверху 166 - - книзу 166 - гиперболическая 299 - изолированная 245 - множества внутренняя 212 - - граничная 244 - параболическая 299 - перегиба 166 - разрыва 29, 101 - - второго рода 109 - - первого рода 108 - стационарная 286 - устранимого разрыва 108 - эллиптическая 299 - n-мерного пространства 177 Тригонометрическая форма

комплексного числа 320 Формула Валлиса 389 - квадратурная 399 - Лейбница 140 - Менье 297 - Ньютона—Лейбница 42, 366 - Остроградского 336 - прямоугольников 399 - Симпсона 402 - Стирлинга 389 - Тейлора 150 - трапеций 399 - Френе 204 Фундаментальное решение

уравнения теплопроводности 235

Функции эквивалентные 124 Функционал 401 - линейный 401 Функция 16 - аналитическая 164

- бесконечно дифференцируемая 164 - гладкая 174 - Дирихле 357 - дифференцируемая 131, 223 - комплексного переменного 322 - комплекснозначная от

действительного переменного 324

- кусочно гладкая 174 - - непрерывная 174 - логарифмическая 11й - многих переменных 21 Функция многозначная 20 - монотонная 106 - на множестве 245 - непрерывная в точке 27, 217 - - - - слева 108 - - - - справа 108 - - на замкнутом ограниченном

множестве 245 - нечетная 19 - неявная 23, 262 - обратная 113 - - тригонометрическая 25 - показательная 116, 158, 451 - постоянная 24 - разрывная в точке 27 - рациональная 24 - сложная 102, 219

- степенная 24, 120 - тригонометрическая 25, 158, 409,

451 - четная 19 - элементарная 24 Центр кривизны 196 Циклоида 201 Чисел аксиомы 52 - свойства 52 Число действительное 43 - иррациональное 43 - комплексное 318 - рациональное 43, 47 - e 76, 121, 158 - π 409 Шар 211, 277, 283 Эвольвента 198 Эволюта кривой 198 Эйлера подстановки 341 Эквивалентные функции 124 Экстремум локальный 143, 258 Элемент последовательности 66 Эллипс 190, 201 Эллиптические интегралы в форме

Лежандра 349 Ядро Дирихле 322 - Пуассона 337 Якобиан 267