( )2 4 · gdje su v i s brzina odnosno put za tijelo pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo...

1

Zadatak 161 (Matea, gimnazija) Sila 2 N djelovala je na tijelo 4 sekunde i dala mu energiju 6.4 J. Kolika je masa tijela?

Rješenje 161 F = 2 N, t = 4 s, Ek = 6.4 J, m = ?

Tijelo obavlja rad W ako djeluje nekom silom F na putu s na drugo tijelo. Ako sila djeluje u smjeru

gibanja tijela, vrijedi

.W F s= ⋅

Tijelo mase m i brzine v ima kinetičku energiju

1 2

2.E m v

k= ⋅ ⋅

Kad tijelo obavlja rad, mijenja mu se energija. Promjena energije tijela jednaka je utrošenom radu.

Jednoliko ubrzano gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijede izrazi

1 2,

2s a t v a t= ⋅ ⋅ = ⋅

gdje su s i v put odnosno brzina za tijelo pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano

akceleracijom a za vrijeme t.

Drugi Newtonov poučak: Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima

akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i

sila.

.F

a F m am

= ⇒ = ⋅

1.inačica

Budući da je promjena energije jednaka utrošenom radu, slijedi:

metoda 1/

supstitucije.

E W Ek kE F s E F s s

k FW F s Fk

=⇒ ⇒ = ⋅⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

= ⋅

Uporabom formule za put pri jednoliko ubrzanom pravocrtnom gibanju dobije se akceleracija:

metoda 2/

2komparacij

21 12 2.

22 21 2

2

e

Eks E E E

F k k ka t a t aF F F t

s at

t

= ⋅⇒ ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ =

⋅=

⋅

⋅ ⋅

Masu tijela izračunamo pomoću drugog Newtonova poučka:

metoda/

komparacij

2 22

22 2 2

2

e

Fa

Em F m F t m F tkE m F E F Ek F k

F

t ka

F t

=⋅ ⋅ ⋅

⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅

⋅

=

( ) ( )2 22 2

2 45 .

2 2 2 6.4

F t N sF tm m kg

E E Jk k

⋅ ⋅⋅⇒ = ⇒ = = =

⋅ ⋅ ⋅

2.inačica

Iz formule za kinetičku energiju uz uporabu drugog Newtonova poučka i izraza za brzinu pri jednoliko

ubrzanom pravocrtnom gibanju izračuna se masa:

metoda metoda

supstitucij

1 12 2

2 2

e supstitu,

cije

E m v E m vk k

F Fa v a t v t

m m

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

= = ⋅ = ⋅

2

2 2 2 21 1 1 12 2 2

22 2 2 22

F F F FE m t E m t E t E t

k k k km mm

m m

⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒

( ) ( )2 22 2

2 2 2/

F t F tF tE E E

k k k

m

m m m Ek

⋅ ⋅⋅⇒ = ⇒ = ⇒

⋅⋅= ⇒

⋅ ⋅

( ) ( )2 2

2 45 .

2 2 6.4

F t N sm kg

E Jk

⋅ ⋅⇒ = = =

⋅ ⋅

Vježba 161 Sila 4 N djelovala je na tijelo 2 sekunde i dala mu energiju 6.4 J. Kolika je masa tijela?

Rezultat: 5 kg.

Zadatak 162 (Mario, tehnička škola) Vlak mase 106 kg uspinje se stalnom brzinom 30 km/h po strmini koja se na svaki kilometar

diže za 10 m. Odredi snagu lokomotive ako je koeficijent trenja 0.002. (g = 10 m/s2)

Rješenje 162 m = 10

6 kg, v = 30 km/h = [30 : 3.6] = 8.33 m/s, s = 1 km = 1000 m, h = 10 m,

µ = 0.002, g = 10 m/s2, P = ?



.W F s= ⋅

Silu kojom Zemlja privlači sva tijela nazivamo silom težom. Pod djelovanjem sile teže sva tijela

padaju na Zemlju ili pritišću na njezinu površinu.

Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom

Newtonovom poučku

,G m g= ⋅

gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome mjestu

na Zemlji jednaka.

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijedi izraz

,s v t= ⋅

gdje je v brzina tijela pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo stalnom, konstantnom brzinom v za

vrijeme t.


Brzinu rada izražavamo snagom. Snaga P jednaka je omjeru rada W i vremena t za koje je rad

obavljen, tj.

.W F s s

P P P F P F vt t t

⋅= ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

Trenje je sila koja se javlja kad se neko tijelo giba površinom nekoga drugog tijela ili kad se tek

počinje gibati. Trenje ima smjer suprotan smjeru gibanja i može se izračunati pomoću izraza

,F Ftr Nµ= ⋅

gdje je Ftr trenje, µ faktor trenja, FN veličina okomite komponente sile kojom tijelo djeluje na podlogu

po kojoj se giba. Na vodoravnoj površini sila trenja za tijelo težine G iznosi:

.F G F m gtr trµ µ= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

1.inačica

Sa slika vidi se:

2 2

sin , cos .s hh

s sα α

−= =

3

Pitagorin

poučak

αααααααα

s2 - h

2?

h hs s

Gαααα αααα

αααα

F2

Ftr

F1

F

1.inačica

Sila F1 je komponenta sile teže G koja vlak ubrzava niz kosinu, a ima vrijednost (gledaj gornju sliku):

1 1sin sin sin s/ in .1

sin1 1

F F hF G F m g F

hgG

sm

G G sα α α αα= ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ =⋅ ⋅ ⋅=

Sila F2 je komponenta sile teže G kojom vlak pritišće kosinu, a iznosi (gledaj gornju sliku):

2 2cos cos cos cos2

/ cos2

2 2F FF G F m g

G G

s hG

sαα α α α= ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

−⋅ =⇒ ⇒

2 2

.2

s hF m g

s

−⇒ = ⋅ ⋅

Trenje Ftr jednako je umnošku faktora trenja µ i sile F2 koja djeluje okomito na kosinu pa vrijedi:

2 2

.2

s hF F F m gtr tr

sµ µ

−= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅

Budući da se vlak giba jednoliko uz kosinu, vučna sila F po iznosu jednaka je zbroju sila F1 i Ftr:

2 22 2

,1

1

s hhs hhF m g F m gtr F m g m gs s

s sF F Ftr

µµ

−−= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

= +

2 2

.s hh

F m gs s

µ−

⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅

Snaga lokomotive iznosi:

2 2s hh

P F v P m g vs s

µ−

= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

4

( ) ( )2 2

1000 10106 610 10 0.002 8.33 999591.67 10 .

2 1000 1000

m mm m mkg W

m m ss

−= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ≈

2.inačica

Gαααα αααα

αααα

F2

Ftr

F1

F

Sila F2 je komponenta sile teže G kojom vlak pritišće kosinu, a iznosi (gledaj gornju sliku):

2 2cos cos cos cos2

/ cos2

2 2F FF G F m g

G G

s hG

sαα α α α= ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

−⋅ =⇒ ⇒

2 2

.2

s hF m g

s

−⇒ = ⋅ ⋅

Trenje Ftr jednako je umnošku faktora trenja µ i sile F2 koja djeluje okomito na kosinu pa vrijedi:

2 2

.2

s hF F F m gtr tr

sµ µ

−= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅

Kinetička energija lokomotive troši se na svladavanje trenja na putu s. Promjena kinetičke energije

jednaka je utrošenom radu pa slijedi:

2 2 2 2s h s h

W F s W m g s W m gtr tr tr trs

ss

µ µ− −

= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

2 2.W m g s htr µ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ −

Promjena gravitacijske potencijalne energije takoñer je jednaka utrošenom radu pa vrijedi:

.W m g hgp = ⋅ ⋅

Ukupan rad W utrošen prilikom gibanja vlaka uz kosinu, visine h, na putu s iznosi:

2 2 2 2.W W W W m g s h m g h W m g s h hgptr µ µ= + ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ − +

Budući da se vlak giba na putu s jednolikom, konstantnom brzinom v, vrijeme gibanja je

.s

tv

=

Snaga lokomotive iznosi:

2 2 2 2m g s h h m g s h h v

WP P P

st s

v

µ µ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅

= ⇒ = ⇒ = =

5

( ) ( )2 26

10 10 0.002 1000 10 10 8.332 6

999591.67 10 .1000

m mkg m m m

ss Wm

⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅

= = ≈

Vježba 162 Vlak mase 106 kg uspinje se stalnom brzinom 60 km/h po strmini koja se na svaki kilometar

diže za 10 m. Odredi snagu lokomotive ako je koeficijent trenja 0.002. (g = 10 m/s2)

Rezultat: 2 · 106 W.

Zadatak 163 (Kate, srednja škola) Dizalicu pokreće motor snage 7.36 kW. Koliku masu ima tijelo koje podiže ta dizalica

brzinom 6 m/min ako je korisnost dizalice 80%? (g = 9.81 m/s2)

Rješenje 163 Pu = 7.36 kW = 7360 W, v = 6 m /min = [6 : 60] = 0.1 m/s, η = 80% = 0.80,

g = 9.81 m/s2 m = ?

Omjer izmeñu energije koju iskorišćujemo od nekoga stroja i ukupne energije koju ulažemo u stroj

zovemo korisnost stroja η. Često je izražavamo u postocima.

iskorišteni rad iskorištena snaga, ili ,

utrošeni rad utrošena snag.

a

W Pi i

W Pu u

η η η η= = = =


padaju na Zemlju ili pritišću na njezinu površinu.

Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom

Newtonovom poučku

,G m g= ⋅

gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome mjestu

na Zemlji jednaka.


obavljen, tj.

.W F s s

P P P F P F vt t t

⋅= ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

Budući da dizalica podiže tijelo stalnom brzinom, njezina vučna sila F po iznosu jednaka je težini

tijela G.

.F G

F m gG m g

=⇒ = ⋅

= ⋅

Snaga Pi koju dizalica iskorišćuje je

P F v P m g vi i= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

pa masa tijela iznosi:

1/ /

P Pi i P P m g v P m g v Pu u uiPugP Pu vu

η η η η η= ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ ⋅⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅⋅

⋅ ⇒

0.80 7 3606 002.04 6 .

9.81 0.12

P Wum m kg tm mg v

ss

η ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = = ≈

⋅⋅

Vježba 163 Dizalicu pokreće motor snage 7.36 kW. Koliku masu ima tijelo koje podiže ta dizalica

brzinom 3 m/min ako je korisnost dizalice 80%? (g = 9.81 m/s2)

Rezultat: 12 t.

6

Zadatak 164 (Željko, gimnazija) Tramvaj mase 18 tona postigne 2 sekunde nakon početka gibanja brzinu 10.8 km/h. Odredi

srednju vrijednost snage koju je morao razviti motor tramvaja za vrijeme gibanja?

Rješenje 164 m = 18 t = 18000 kg, t = 2 s, v = 10.8 km/h = [10.8 : 3.6] = 3 m/s, P = ?


1 2,

2v a t s a t= ⋅ = ⋅ ⋅

gdje su v i s brzina odnosno put za tijelo pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano




.W F s= ⋅

Ako na tijelo mase m djeluje stalna sila F u smjeru njegova gibanja, tijelo ima akceleraciju a koja je

razmjerna (proporcionalna) sili, a obrnuto razmjerna (proporcionalna) masi tijela te ima isti smjer kao i

sila (drugi Newtonov poučak):

.F

a F m am

= ⇒ = ⋅


obavljen, tj.

.W

Pt

=


1 2

2.E m v

k= ⋅ ⋅


1.inačica

Budući da se tramvaj giba jednoliko ubrzano, za put s vrijedi:

metoda 2

supstitucij

1 1 12.1 2

1 2 2 222

e

2

vv a t a

v vts t s t s v t

ts a ts a t

t

= ⋅ =

⇒ ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

Utrošeni rad W motora tramvaja za vrijeme gibanja t na putu s iznosi:

metoda

supstituci

1 1

2 2

2

je1

W F sv

F m a W m a v t W m v tt

va

t

t

s v

= ⋅

= ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

⋅ ⋅

=

=

1 1 2.

2 2

vW m v W m vt

t⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

Srednja vrijednost snage koju mora razviti motor tramvaja za vrijeme gibanja ima vrijednost:

21 2 18000 322 40500 40.5 .

2 2 2

mkgm v

W m v sP P P W kW

t t t s

⋅⋅ ⋅⋅

= ⇒ = ⇒ = = = =⋅ ⋅

2.inačica

7

Utrošeni rad motora tramvaja za vrijeme gibanja jednak je promjeni kinetičke energije tramvaja.

metoda

supstituci

1 2.1 2 2je

2

W Ek

W m vE m v

k

=

⇒ ⇒ = ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

Srednja vrijednost snage koju mora razviti motor tramvaja za vrijeme gibanja ima vrijednost:

21 2 18000 322 40500 40.5 .

2 2 2

mkgm v

W m v sP P P W kW

t t t s

⋅⋅ ⋅⋅

= ⇒ = ⇒ = = = =⋅ ⋅

Vježba 164 Tramvaj mase 36 tona postigne 4 sekunde nakon početka gibanja brzinu 10.8 km/h. Odredi

srednju vrijednost snage koju je morao razviti motor tramvaja za vrijeme gibanja?

Rezultat: 40.5 kW.

Zadatak 165 (Vedran, gimnazija) Kamion mase 3 t vozi brzinom 45 km/h. Kolika mora biti sila kočenja da se kamion zaustavi

na 50 m udaljenosti?

Rješenje 165 m = 3 t = 3000 kg, v = 45 km/h = [45 : 3.6] = 12.5 m/s, s = 50 m, F = ?



.W F s= ⋅


1 2

2.E m v

k= ⋅ ⋅

Kad tijelo obavlja rad, mijenja mu se energija. Promjena energije tijela jednaka je

utrošenom radu.

Promjena kinetičke energije kamiona jednaka je utrošenom radu koji obavi kamion kad silom kočenja

F djeluje na putu s. Zato vrijedi:

1 2

1 221 2

2metoda metoda

komparacije supstitucije 2

E m vk

E m vkW F s F s m v

F s EW E kk

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅= ⋅ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒

⋅ ==

2

3000 12.521 2

4687.5 .2 2 2 50

1/

mkg

m v sF s m v F N

ss m

⋅⋅

⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = =⋅ =⋅ ⋅

Vježba 165 Kamion mase 6 t vozi brzinom 45 km/h. Kolika mora biti sila kočenja da se kamion zaustavi

na 100 m udaljenosti?

Rezultat: 4687.5 N.

Zadatak 166 (Tina, gimnazija) Stalnom silom F podižemo uteg mase 4 kg do visine 1 m. Pritom utrošimo rad 80 J. Kolikim

smo ubrzanjem podizali uteg? (g = 9.81 m/s2)

8

Rješenje 166 F = const., m = 4 kg, h = 1 m, W = 80 J, g = 9.81 m/s2, a = ?



.W F s= ⋅

Drugi Newtonov zakon: Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima


sila.

.F

am

=

Težina tijela jest sila kojom tijelo zbog Zemljina privlačenja djeluje na horizontalnu podlogu ili ovjes.

Za slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju jednoliko po pravcu s obzirom na

Zemlju, težina tijela je veličinom jednaka sili teže.

.G m g= ⋅

Rad utrošen na podizanje utega na visinu h stalnom silom F definiran je izrazom:

.W

W F h Fh

= ⋅ ⇒ =

Rezultantna sila kojom tijelo podižemo uvis jednaka je zbroju stalne sile F i težine tijela G. Prema

drugom Newtonovom poučku ona iznosi:

809.81 29.81

1/ 30 .

2 2 24 1

W W J m m mm a F G m a m g a g

h m h kg m sm s s

⋅ ⋅= + ⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒ = + = + = ≈⋅ ⋅

Vježba 166 Stalnom silom F podižemo uteg mase 8 kg do visine 1 m. Pritom utrošimo rad 160 J. Kolikim

smo ubrzanjem podizali uteg? (g = 9.81 m/s2)

Rezultat: 30 m/s2.

Zadatak 167 (Tina, gimnazija) Na horizontalnoj podlozi gurnemo tijelo brzinom 3 m/s. Faktor trenja izmeñu tijela i podloge

iznosi 0.4. Odredi put što ga tijelo prevali prije nego što se zaustavi. (g = 9.81 m/s2)

Rješenje 167 v = 3 m/s, µ = 0.4, g = 9.81 m/s

2, s = ?



.W F s= ⋅

Sila trenja (klizanja) definira se kao umnožak koeficijenta trenja µ (klizanja) i pritisne sile FN okomito

(ili normalno) na podlogu.

.F Ftr Nµ= ⋅

Ako je podloga horizontalna, tada je:

.F G m gtr µ µ= ⋅ = ⋅ ⋅


1 2

2.E m v

k= ⋅ ⋅


utrošenom radu.

Jednoliko ubrzano (usporeno) gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijedi izraz

22 ,v a s= ⋅ ⋅

gdje su v i s brzina odnosno put za tijelo pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano


9




.G m g= ⋅

1.inačica

Kinetička energija Ek tijela troši se na svladavanje trenja Ftr na putu s pa slijedi:

1/

21 2

2 2

vE W E F s m v m g s str trk k gm g

µµµ

= ⇒ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = =⋅

⋅⋅⋅ ⋅

2

3

1.15 .

2 0.4 9.812

m

sm

m

s

= =

⋅ ⋅

2.inačica

Sila F koja tijelo usporava jest sila trenja Ftr izmeñu tijela i podloge. Prema drugom Newtonovom

poučku slijedi:

22

/ : 22

F F m a G m a mv

m vg a gt s ar as

µ µ µ = ⋅ ⋅ ⇒ == ⇒⋅

⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ ⇒

/

2

32 2 2

1.15 .2 2 2

2 0.4 9.812

m

v v v sg g s m

ms s g

s

s

gµ µ

µµ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =⋅

⋅= =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

Vježba 167 Na horizontalnoj podlozi gurnemo tijelo brzinom 3 m/s. Faktor trenja izmeñu tijela i podloge


Rezultat: 2.29 m.

Zadatak 168 (Marko, srednja škola) Automobil mase 1 t može se kočnicama zadržati sve do uspona od 24%. Na kojoj će se

udaljenosti zaustaviti pomoću kočnica vozeći po horizontalnom putu brzinom 64.8 km/h?

(g = 9.81 m/s2)

Rješenje 168 m = 1 t = 1000 kg, n = 24% = 0.24, v = 64.8 km/h = [64.8 : 3.6] = 18 m/s,

g = 9.81 m/s2, s = ?



.W F s= ⋅


1 2

2.E m v

k= ⋅ ⋅


utrošenom radu.




.G m g= ⋅

10

G

hααααshs

F1

G

αααα ααααQ

Uspon od 24% znači da se na svakih 100 m duljine puta nadmorska visina poveća za 24 m. Iz

podataka za kosinu (pravokutan trokut s katetom h i hipotenuzom s) dobije se:

100 240.24 sin sin 0.sin 24.

24 100

h

s

s mn

h mαα α

== ⇒ ⇒ ⇒ = ⇒ =

==

Sa slike vidi se da je F1 sila kočenja koju možemo izračunati pomoću funkcije sinus (uočimo

pravokutan trokut s katetom F1 i hipotenuzom G).

1sin sin sin .1 1

FF G F m g

Gα α α= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

Promjena kinetičke energije Ek automobila jednaka je utrošenom radu W sile F1 na putu s pa slijedi:

21 12 2

s1

/s

in12 2 2 ni in s

vE W m v F s m v m g s s

k m g gα

α α= ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =

⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅=

2

18

68.81 .

2 9.81 0.242

m

sm

m

s

= =

⋅ ⋅

Vježba 168 Automobil mase 2 t može se kočnicama zadržati sve do uspona od 24%. Na kojoj će se

udaljenosti zaustaviti pomoću kočnica vozeći po horizontalnom putu brzinom 64.8 km/h?

(g = 9.81 m/s2)

Rezultat: 68.81 m.

Zadatak 169 (Marko, srednja škola) Čekićem mase 4 kg zabijamo čavao u drvenu podlogu. U času kad čekić udari o čavao, čekić ima brzinu 500 cm/s, a čavao pritom zañe u drvo 30 mm duboko. Kolikom srednjom silom udari čekić o čavao i koliko dugo traje djelovanje te sile?

Rješenje 169 m = 4 kg, v = 500 cm/s = 5 m/s, s = 30 mm = 0.030 m, F = ?, t = ?


1 2

2.E m v

k= ⋅ ⋅


utrošenom radu.



.W F s= ⋅


, ,1

2s v t v a t= ⋅ ⋅ = ⋅

11

gdje su s i v put odnosno brzina za tijelo pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano


Ako je početna brzina nula, za tijelo mase m na koje je za vrijeme t djelovala sila F vrijedi:

,F t m v⋅ = ⋅

gdje je v brzina na kraju vremenskog intervala t za koji je sila djelovala. Umnožak

I F t= ⋅

zovemo impulsom sile F, a umnožak p m v= ⋅

količinom gibanja mase m.



sila.

.F

a F m am

= ⇒ = ⋅

Srednja sila F kojom čekić udari u čavao iznosi:

2

4 521 12 2

1666.67 .2 2 2 2 0.

1/

03

mkg

m v sE W m v F s m v F s F N

k s s m

⋅⋅

= ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ = = =⋅ ⋅

⋅

Vrijeme t za koje je djelovala sila F iznosi:

1.inačica

Iz formule za put pri jednoliko ubrzanom gibanju dobije se vrijeme:

1 1 2 2 0.030.012 .

2 25

2/

s ms v t s v t t s

mv

s

v

⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = = =⋅

2.inačica

Uporabom izraza za impuls sile i količinu gibanja slijedi:

4 5

0.012 .1666.67

mkg

m v sF t m v t sF N

⋅⋅

⋅ = ⋅ ⇒ = = =

3.inačica

Koristeći drugi Newtonov poučak mehanike i formulu za brzinu pri jednoliko ubrzanom gibanju

dobije se vrijeme:

metoda/

supstit

4 5

0.012 .1666.uc 6e 7ij

mF m a kg

F m a v m v sF m t svv a t t F NFa

t

t

= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

⇒ ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ = = == ⋅ =

⋅

Vježba 169 Čekićem mase 8 kg zabijamo čavao u drvenu podlogu. U času kad čekić udari o čavao, čekić ima brzinu 500 cm/s, a čavao pritom zañe u drvo 60 mm duboko. Kolikom srednjom silom udari čekić o čavao?

Rezultat: 1666.67 N.

12

Zadatak 170 (Kristina, gimnazija) Tijelo slobodno pada s visine h. U točki A ima brzinu vA = 29.43 m/s, a u točki B brzinu

vB = 49.05 m/s. Kolika je visinska razlika točaka A i B? Za koje će vrijeme tijelo prijeći put AB?

(g = 9.81 m/s2)

Rješenje 170 h, vA = 29.43 m/s, vB = 49.05 m/s, g = 9.81 m/s2, ∆h = ?, ∆t = ?

Slobodni pad je jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 = 0 m/s i konstantnom

akceleracijom a = g = 9.81 m/s2. Za slobodni pad vrijede izrazi:

1 2 22

2, , .v g t h g t v g h= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

gdje su v brzina pada, h visina pada.

Odredimo vremena za koje će tijelo najprije doći u točku A, a zatim u točku B:

• vrijeme za koje tijelo doñe u točku A

.v

Av g t tA A A g

= ⋅ ⇒ =

• vrijeme za koje tijelo doñe u točku B

.vBv g t t

B B B g= ⋅ ⇒ =

Vrijeme za koje tijelo prijeñe put od točke A do točke B jednako je razlici

vremena tB i tA:

49.05 29.43

2 .

9.812

m mv v vv

B s sB A At t t t t sB A mg g g

s

−−∆ = − ⇒ ∆ = − ⇒ ∆ = = =

1.inačica

Da bismo izračunali visinsku razliku točaka A i B najprije odredimo udaljenosti od početne točke do

točaka A i B:

• udaljenost od početne točke do točke A

1 2.

2h g t

A A= ⋅

• udaljenost od početne točke do točke B

1 2.

2h g tB B

= ⋅

Visinska razlika točaka A i B (duljina puta AB) jednaka je razlici udaljenosti

hB i hA:

( )1 1 12 2 2 2

2 2 2h h h h g t g t h g t t

B B BA A A∆ = − ⇒ ∆ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ ∆ = ⋅ ⋅ − ⇒

( )22 22

1 1 1 2 22 2 22 2 2

v vv v gB A B Ah g h g h v vB Ag g g g g

⇒ ∆ = ⋅ ⋅ − ⇒ ∆ = ⋅ ⋅ − ⇒ ∆ = ⋅ ⋅ − ⇒

( ) ( )2 2

1 1 12 2 2 249.05 29.43 78.48

2.

2 22 9.81

2

m mh v v h v v m

B BA A m

s

g

g s sg

⇒ ∆ = ⋅ ⋅ − ⇒ ∆ = ⋅ − = ⋅ − = ⋅ ⋅

2.inačica

Da bismo izračunali visinsku razliku točaka A i B najprije odredimo udaljenosti od početne točke do

točaka A i B:

• udaljenost od početne točke do točke A

∆∆∆∆hh

hB

hA

B

A

O

13

2

.2

vAh

A g=

⋅

• udaljenost od početne točke do točke B

2

.2

vBh

B g=

⋅

Visinska razlika točaka A i B (duljina puta AB) jednaka je razlici udaljenosti hB i hA:

( )22

1 2 2

2 2 2

vvB Ah h h h h v v

B BA Ag g g∆ = − ⇒ ∆ = − ⇒ ∆ = ⋅ − =

⋅ ⋅ ⋅

2 21

49.05 29.43 78.48 .

2 9.812

m mm

m s s

s

= ⋅ − = ⋅

Vježba 170 Tijelo slobodno pada s visine h. U točki A ima brzinu vA = 58.86 m/s, a u točki B brzinu

vB = 98.10 m/s. Za koje će vrijeme tijelo prijeći put AB? (g = 9.81 m/s2)

Rezultat: 4 s.

Zadatak 171 (Nino, gimnazija) Tijelo mase m1 udari u tijelo mase m2 koje miruje. Odrediti koliki treba biti odnos masa ovih

tijela (m1/m2) da bi se pri centralnom elastičnom sudaru brzina prvog tijela smanjila tri puta?

Rješenje 171

m1, m2, v1, v2 = 0 m/s, 1

,1 13

u v= ⋅ 1 ?

2

m

m=

Zakon o sačuvanju količine gibanja

Zbroj količina gibanja dva tijela prije njihova meñusobnog djelovanja jednak je zbroju njihovih

količina gibanja nakon meñusobnog djelovanja. To vrijedi i za više od dva tijela.

Centralni elastični sraz (sudar)

poslije sraza

prije sraza

u1 u2

v2v1

m1 m2

m2m1

Centralni sraz je sraz kod kojega se tijela gibaju po spojnici njihovih središta. Centralni sraz dva tijela

nastaje:

1) ako se tijela gibaju jedno prema drugom

2) ako sustižu jedno drugo.

Kod elastičnog sraza ne mijenja se ukupna kinetička energija tijela prije i poslije sraza. Jednadžbe koje

odreñuju gibanje tijela poslije sraza glase:

• 1 1 2 2 1 1 2 2

m v m v m u m u⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ (zakon o sačuvanju količine gibanja),

• 1 1 1 12 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 22 2 2 2m v m v m u m u⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ (zakon o sačuvanju kinetičke energije).

gdje su m1, m2 mase prvog i drugog tijela; v1, v2 brzine prvog i drugog tijela prije sraza; u1, u2 brzine

prvog i drugog tijela poslije sraza.

14

Iz zakona o sačuvanju mehaničke energije i količine gibanja primijenjenih na savršeno elastičan sraz

tijela masa m1, m2 i brzina v1, v2 slijede brzine tijela nakon sraza:


1 2

2.E m v

k= ⋅ ⋅

Zakon očuvanja energije:

• Energija se ne može ni stvoriti ni uništiti, već samo pretvoriti iz jednog oblika u drugi.

• Ukupna energija zatvorenog (izoliranog) sustava konstantna je bez obzira na to koji se procesi

zbivaju u tom sustavu.

• Kad se u nekom procesu pojavi gubitak nekog oblika energije, mora se pojaviti i jednak prirast

nekog drugog oblika energije.

Budući da tijelo mase m1 udari u tijelo mase m2 koje miruje, zbog očuvanja količine gibanja slijedi:

1 1 2 2 1 1 2 2,

1 1 1 1 2 202

m v m v m u m u

m v m u m umv

s

⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ + ⋅

=

gdje su v1 brzina tijela mase m1 prije sudara, u1 brzina tijela mase m1 poslije sudara, u2 brzina tijela

mase m2 poslije sudara.

Zbog uvjeta zadatka slijedi:

1 1 1 1 2 2 13 31 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 23

1 13

/ 3

m v m u m u

m v m v m u m v m v m uu v

⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒

= ⋅

⋅

213 3 2 3 .

1 1 1 1 2 2 1

1/

31 2 2 2 32

12

mm v m v m u m v m

mu u v

m

⋅⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ =

⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅

Iz zakona o očuvanju ukupne energije dobije se traženi odnos masa:

1 1 1 12 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 1 12 2 22 2 2 2

1 1 1 1 2 22 2 20

2

m v m v m u m u

m v m u m um

vs

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒=

2uvrštavamo izraze za i1 2

21 1,1 1 2 13 3

2

2 21 1 1 12 11 1 1 1 2 12 2 3 2 3

2

mm v m v m v

u u

mu v u v m

m

⋅ ⇒ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅

⋅= ⋅ = ⋅

⋅

2 24 21 1 1 1 1 12 2 2 2 2 21 1

1

18/

21 1 1 2 1 1 1 1 1 122 2 9 2 2 18 99 22 1

m mm v m v m v m v v

m vv m

m

⋅ ⋅⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒

⋅⋅

2 2 24 4 4

1 1 1 1 19 9 8 2 2.1 1 1 1 1

2 2

1

2 2 2

/4

1

m m m m mm m m m m

m m m m mm⇒ ⋅ = + ⇒ ⋅ − = ⇒ ⋅ ⇒ = ⇒

⋅=⋅=

Vježba 171 Tijelo mase m1 udari u tijelo mase m2 koje miruje. Odrediti koliki treba biti odnos masa ovih

tijela (m2/m1) da bi se pri centralnom elastičnom sudaru brzina prvog tijela smanjila tri puta?

Rezultat: 0.5.

Zadatak 172 (Ana, gimnazija) Sila stalnog intenziteta F = 1 N daje tijelu ubrzanje a = 10 cm/s2. Ako je prije djelovanja sile

tijelo mirovalo izračunati njegovu kinetičku energiju poslije vremena t = 5 s od početka gibanja.

15

Rješenje 172 F = 1 N, a = 10 cm/s2 = 0.1 m/s2, t = 5 s, Ek = ?


1 2

2.E m v

k= ⋅ ⋅

Jednoliko ubrzano gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijedi izraz

,v a t= ⋅

gdje je v brzina za tijelo pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano akceleracijom a za

vrijeme t.



sila.

.F F

a mm a

= ⇒ =

Kinetička energija tijela, mase m i brzine v, poslije vremena t iznosi:

( )metoda

supstitucij

,1 12 2 2

1 2 22 e

2

Fm v a t

F FaE a t E a t

k ka aE m v

k

= = ⋅

⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

= ⋅ ⋅

( )1 1 1 22 2

1 0.1 5 1.25 .2

2

2 2 2

F mE a t E F a t N s J

k ksa

⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

Vježba 172 Sila stalnog intenziteta F = 2 N daje tijelu ubrzanje a = 5 cm/s2. Ako je prije djelovanja sile

tijelo mirovalo izračunati njegovu kinetičku energiju poslije vremena t = 5 s od početka gibanja.

Rezultat: 1.25 J.

Zadatak 173 (Dunja, gimnazija) Vlak ubrzava iz stanja mirovanja iz točke A. U točki B postigne brzinu 10 m/s, a u točki C

brzinu 15 m/s. Kako se odnosi rad WAB, utrošen na ubrzanje vlaka na dijelu puta AB, prema radu

WBC? Rad utrošen na savladavanje trenja i otpora zraka zanemarite.

Rješenje 173 vA = 0 m/s, vB = 10 m/s, vC = 15 m/s, WAB : WBC = ?


1 2

2.E m v

k= ⋅ ⋅


Rad utrošen na dijelu puta AB jednak je razlici kinetičke energije u točki B i točki A:

( )1 1 12 2 2 2.

2 2 2W E E W m v m v W m v v

B BAB AB A AB AkB kA= − ⇒ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ −

Rad utrošen na dijelu puta BC jednak je razlici kinetičke energije u točki C i točki B:

( )1 1 12 2 2 2.

2 2 2W E E W m v m v W m v v

B BBC BC C BC CkC kB= − ⇒ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ −

Računamo omjer rada WAB i WBC.

vCvB

A B C

16

( )( )

( )( )

1 2 2 2 2 2 22

2 21

1

2 2 2 2

2

21

2

m v v v vW W W v vB BA A BAB ABm

m

AB A

W W W v vm v v v vBC BC BC BCB BC C

⋅ ⋅ − ⋅ − −= ⇒ = ⇒ = ⇒

−⋅ ⋅ − ⋅ −

⋅

⋅

2 2

10 0100 4

.2 2 125 5

15 10

m mW W Ws sAB AB AB

W W Wm mBC BC BC

s s

−

⇒ = ⇒ = ⇒ =

−

Vježba 173

Vlak ubrzava iz stanja mirovanja iz točke A. U točki B postigne brzinu 36 km/h, a u točki C

brzinu 54 km/h. Kako se odnosi rad WAB, utrošen na ubrzanje vlaka na dijelu puta AB, prema radu

WBC? Rad utrošen na savladavanje trenja i otpora zraka zanemarite.

Rezultat: 4 : 5.

Zadatak 174 (Malena, medicinska škola) Automobil mase 1000 kg giba se brzinom 72 km/h.

a) Kolika je kinetička energija automobila?

b) Koliki je rad potreban za ubrzavanje automobila iz mirovanja do te brzine?

c) Koliki rad trebaju obaviti kočnice da bi se automobil zaustavio? Zanemarite gubitke.

Rješenje 174 m = 1000 kg, v = 72 km/h = [72 : 3.6] = 20 m/s, E k = ?, W = ?


1 2

2.E m v

k= ⋅ ⋅


Da bi se tijelu povećala kinetička energija, mora okolica na njemu obaviti rad. Ako se tijelu smanjuje

kinetiča energija, tijelo obavlja rad.

a) Kinetička energija automobila mase m i brzine v iznosi:

21 12 5

1000 20 2 10 .2 2

mE m v kg J

k s

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

b) Ako su gubici (trenje, otpor zraka i dr.) zanemarivi, rad potreban za ubrzanje jednak je promjeni

kinetičke energije:

21 1 12 2 5

0 1000 20 2 10 .2 2 2

mW E W m v W m v kg J

k s

= ∆ ⇒ = ⋅ ⋅ − ⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

c) Rad pri zaustavljanju automobila mase m i brzine v takoñer je jednak njegovoj kinetičkoj energiji i

iznosi:

52 10 .W E W J

k= ∆ ⇒ = ⋅

Vježba 174 Automobil mase 2000 kg giba se brzinom 72 km/h. Kolika je kinetička energija automobila?

Rezultat: 54 10 .J⋅

17

Zadatak 175 (Ivica, strojarska škola) Na niti duljine 1 m obješena je kuglica. Koliku horizontalnu brzinu moramo dati kuglici da se

ona otkloni do iste visine na kojoj se nalazi objesište niti? (g = 9.81 m/s2)

Rješenje 175 h = 1 m, g = 9.81 m/s

2, v = ?

Potencijalna energija je energija meñudjelovanja tijela. Ona ovisi o meñusobnom položaju tijela ili o

meñusobnom položaju dijelova tijela. U polju sile teže tijelo mase m ima gravitacijsku potencijalnu

energiju

,E m g hgp = ⋅ ⋅

gdje je g akceleracija slobodnog pada, a h vertikalna udaljenost tijela od mjesta gdje bi prema

dogovoru tijelo imalo energiju nula.


1 2

2.E m v

k= ⋅ ⋅








• Kad se u nekom procesu pojavi gubitak nekog oblika energije, mora se pojaviti i jednak prirast

nekog drugog oblika energije.

v

h h

Da bi se kuglica otklonila do iste visine na kojoj se nalazi objesište niti mora, zbog zakona o očuvanju

energije, gravitacijska potencijalna energija kuglice biti jednaka kinetičkoj energiji u času kad prolazi

najnižom točkom.

1 12 2 22

2

2/

2E E m g h m v m g h m v v g hgp

mk= ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅⋅ ⇒

22 2 2 9.81 1 4.43/ .

2

m mv g h v g h m

ss⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Vježba 175 Na niti duljine 100 cm obješena je kuglica. Koliku horizontalnu brzinu moramo dati kuglici da

se ona otkloni do iste visine na kojoj se nalazi objesište niti? (g = 9.81 m/s2)

Rezultat: 4.43 m/s.

Zadatak 176 (Ivica, strojarska škola) Na horizontalnoj podlozi gurnemo tijelo brzinom 3 m/s. Faktor trenja izmeñu tijela i podloge


Rješenje 176 v = 3 m/s, µ = 0.4, g = 9.81 m/s2, s = ?


1 2

2.E m v

k= ⋅ ⋅

18





padaju na Zemlju ili pritišću na njezinu površinu. Akceleracija g kojom tijela padaju na Zemlju naziva

se akceleracija slobodnog pada.

.G m g= ⋅


gibanja tijela, vrijedi:

.W F s= ⋅

Trenje je sila koja se javlja kad se neko tijelo giba površinom nekoga drugog tijela ili kad se tek

počinje gibati. Trenje ima smjer suprotan smjeru gibanja i može se izračunati pomoću izraza

,F Ftr Nµ= ⋅

gdje je Ftr trenje, µ faktor trenja, FN veličina okomite (normalne) komponente sile kojom tijelo djeluje

na podlogu po kojoj se giba. Kada je tijelo na horizontalnoj podlozi sila trenja iznosi:

.F G F m gtr trµ µ= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

Budući da se kinetička energija tijela troši na svladavanje trenja na putu s, rad sile trenja jednak je

promjeni kinetičke energije.

1/

EkE W E F s E G s E G s str Gk k k k G

µ µµµ

= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =⋅ ⋅

⋅ ⇒

21 12 2 322 2 1.15 .

22 0.4 9.81

2

mm v v

v sm

ms s s m

mm g g g

s

µ µ µ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⇒ = ⇒ = ⇒ = = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

Vježba 176 Na horizontalnoj podlozi gurnemo tijelo brzinom 10.8 km/h. Faktor trenja izmeñu tijela i

podloge iznosi 0.4. Odredi put što ga tijelo prevali prije nego što se zaustavi. (g = 9.81 m/s2)

Rezultat: 1.15 m.

Zadatak 177 (Mily, gimnazija)

Srednja kinetička energija čestica plina pri temperaturi T iznosi .Ek

Pri kojoj će temperaturi

srednja kinetička energija čestica plina biti dvostruko veća?

1 2 3. . . . 2

2 3 2A T B T C T D T⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Rješenje 177

Pri odreñenoj temperaturi srednja kinetička energija molekule svih plinova jednaka je. Ona ovisi samo

o temperaturi T plina

3

2,E k T

Bk= ⋅ ⋅

gdje je kB Boltzmanova konstanta.

1.inačica

Budući da su srednja kinetička energija čestice i temperatura razmjerne (veća temperatura → veća

srednja kinetička energija, manja temperatura → manja srednja kinetička energija)

,E Tk∼

srednja kinetička energija čestice plina bit će dvostruko veća ako je i temperatura dvostruko veća.

Odgovor je pod D.

19

2.inačica

3podijelimo 2

3jednadžbe

3 3 ' '2 22 2

33

2

'2

22

kE Bk

E k

E k T k T TEBk Bk

E k T TkE k T BBk Bk

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ ⋅ ⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⋅

⋅

⋅

''

2 2 .T

T TT

⇒ = ⇒ = ⋅

Odgovor je pod D.

Vježba 177

Srednja kinetička energija čestica plina pri temperaturi T iznosi .Ek

Pri kojoj će temperaturi

srednja kinetička energija čestica plina biti trostruko veća?

2 3. 2 . . . 3

3 2A T B T C T D T⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Rezultat: D.

Zadatak 178 (Mily, gimnazija) Ljuljajući se na ljuljački Hana proñe kroz najnižu točku putanje brzinom 2 m/s. Trenje je

zanemarivo. Kolika je visina s koje se Hana spustila mjereno u odnosu na najnižu točku putanje?

(g = 9.81 m/s2)

Rješenje 178 v = 2 m/s, g = 9.81 m/s

2, h = ?


1 2

2.E m v

k= ⋅ ⋅





energiju

,E m g h E G hgp gp= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅







Kad se u nekom procesu pojavi gubitak nekog oblika energije, mora se pojaviti i jednak prirast nekog

drugog oblika energije.

Zbog zakona o očuvanju energije bit će gravitacijska potencijalna energija ljuljačke u najvišoj točki

putanje jednaka kinetičkoj energiji u najnižoj točki putanje. Visina s koje se Hana spustila iznosi:

21 12

2

12

2/

2

vE E m g h m v m g h m v hgp k gm g

= ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =⋅⋅

=

2

2

0.204 .

2 9.812

m

sm

m

s

= =

⋅

20

hv

Vježba 178 Ljuljajući se na ljuljački Hana proñe kroz najnižu točku putanje brzinom 4 m/s. Trenje je

zanemarivo. Kolika je visina s koje se Hana spustila mjereno u odnosu na najnižu točku putanje?

Rezultat: 0.815 m.

Zadatak 179 (Mily, gimnazija) Kolica mase 0.4 kg gibaju se brzinom 2 m/s. Njima ususret gibaju se druga kolica mase 0.25

kg. Koliko treba iznositi brzina drugih kolica da nakon sudara oboja kolica miruju?

Rješenje 179 m1 = 0.4 kg, v1 = 2 m/s, m2 = 0.25 kg, u1 = u2 = 0 m/s, v2 = ?

Zakon o sačuvanju količine gibanja

Zbroj količina gibanja dva tijela prije njihova meñusobnog djelovanja jednak je zbroju njihovih

količina gibanja nakon meñusobnog djelovanja. To vrijedi i za više od dva tijela.

Centralni elastični sraz (sudar)

poslije sraza

prije sraza

u1 u2

v2v1

m1 m2

m2m1

Centralni sraz je sraz kod kojega se tijela gibaju po spojnici njihovih središta. Centralni sraz dva tijela

nastaje:

1) ako se tijela gibaju jedno prema drugom

2) ako sustižu jedno drugo.

Kod elastičnog sraza ne mijenja se ukupna kinetička energija tijela prije i poslije sraza. Jednadžbe koje

odreñuju gibanje tijela poslije sraza glase:

• 1 1 2 2 1 1 2 2

m v m v m u m u⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ (zakon o sačuvanju količine gibanja),

• 1 1 1 12 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 22 2 2 2m v m v m u m u⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ (zakon o sačuvanju kinetičke energije).

gdje su m1, m2 mase prvog i drugog tijela; v1, v2 brzine prvog i drugog tijela prije sraza; u1, u2 brzine

prvog i drugog tijela poslije sraza.

Iz zakona o sačuvanju količine gibanja dobije se brzina v2 drugih kolica prije sudara:

0 0 01 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2

m v m v m u m u m v m v m m m v m v⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒

0.41 2 3.2 .2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 .25

2

1

20

/m

m kg m mm v m v m v m v v v

m kg s s⇒ ⋅ = − ⋅ ⇒ ⋅ = − ⋅ ⇒ = − ⋅ = − ⋅ = −⋅

Vježba 179

Kolica mase 0.8 kg gibaju se brzinom 2 m/s. Njima ususret gibaju se druga kolica mase 0.5

kg. Koliko treba iznositi brzina drugih kolica da nakon sudara oboja kolica miruju?

Rezultat: – 3.2 m/s.

21

Zadatak 180 (Ivana, gimnazija) Kamen mase 4 kg bačen je vertikalno dolje s visine 120 m početnom brzinom v0 = 10 m/s.

Kolika je energija potrebna za savladavanje otpora zraka, ako kamen udari u zemlju brzinom v = 20

m/s? (g = 9.81 m/s2)

Rješenje 180 m = 4 kg, h = 120 m, v0 = 10 m/s, v = 20 m/s, g = 9.81 m/s

2, ∆E = ?


1 2

2.E m v

k= ⋅ ⋅






energiju

,E m g h E G hgp gp= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅







Kad se u nekom procesu pojavi gubitak nekog oblika energije, mora se pojaviti i jednak prirast nekog

drugog oblika energije.

Energija ∆E potrebna za savladavanje otpora zraka jednaka je razlici zbroja gravitacijske potencijalne

energije na visini h i kinetičke energije pri brzini v0 te kinetičke energije koju kamen ima prilikom

pada na zemlju brzinom v.

1 12 202 20

E E E E E m g h m v m vgp k k

∆ = + − ⇒ ∆ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒

1 1 1 12 2 2 20 02 2 2 2

E m g h m v m v E m g h v v

⇒ ∆ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ ∆ = ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ =

2 21 1

4 9.81 120 10 20 4108.8 4.109 .2 2 2

m m mkg m J kJ

s ss

= ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ = ≈

Vježba 180

Kamen mase 8 kg bačen je vertikalno dolje s visine 120 m početnom brzinom v0 = 10 m/s.

Kolika je energija potrebna za savladavanje otpora zraka, ako kamen udari u zemlju brzinom v = 20

m/s? (g = 9.81 m/s2)

Rezultat: 8217.6 J.

( )2 4 · gdje su v i s brzina odnosno put za tijelo pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo...

Documents