1

2

Perturbed Scalar Homotopy Algorithm (PSHA)

• PSHA 由顧承宇老師在 2012年所提出。

• 本法建立在純量同倫上，藉由引入攝動理論，用來解決當 Jacobian矩陣為奇異系統之非線性代數方程的問題。

]x)[F(xxFxB[]x)[F(xxFxB

xFxx 0

T

0T

kkkt

kkkt

kt

kk ee

eht

)()(

)()(2

)(2

2

1

3

Dynamical Newton-Like Method (DNM)• 由顧承宇老師在 2012 年所提出。

• DNM 是以純量同倫為基礎而發展出來的新方法。

• 其中 T = I 、 B-1 、 BT可以將其轉變為 DNM 、 DJIFM 與MBECA 。

)()(

)()()()(

)(

12

2

1 kkkkkk

k

mkk

t

htvxFxT

xFxTxBxF

xFxx

T

4

Perturbed Dynamical Newton-Like Methods

(P-DNM) 引入攝動理論的 DNM 法• 考慮一方程式 並將其轉換為純量

• 現將固定點牛頓同倫轉換為純量式

0xF

,02 xF 022

22

1

2 nxFxFxF xF

0)F(xF(x)xH 0 )1()( ,

0)1(2

1

2

1)(

22 )F(xF(x)x 0,h ]1,0[

5

• 引入擬時間函數

• 利用攝動理論，添加一極小的參數

• 考慮一致性條件

)(tQ

02

1)(

2

1)(

22 )F(xF(x)x 0tQ,th

02

1

2

1,

22 x)F(xxFx 0 tQth

0

dt

dh

t

h

dt

dh x

x 2)(

2

1F(x)tQ

t

h

xxFF(x)Bx

T

0)(tQh

6

• 令

• 其可能解為

• 可知

dt

dxx

xTFx

xFTxxFxFB

xFT

0T

2

2

tQ

tQ

其中 B 為 Jacobian 矩陣， T 可為 BT 、 B-1 、單位向量 I 或任何 n ×n 之矩陣

其中 B 為 Jacobian 矩陣， T 可為 BT 、 B-1 、單位向量 I 或任何 n ×n 之矩陣

7

• 本研究中令 T = I ，可得

• 再令

• 代回上式

xFxFxxFxFB

xFx T

0T

2

2

tQ

tQ

tt etQetQ )()(

xF

xFx])[F(xxFB

xFx

0

TT

2

)(2

)(

t

t

e

e

8

• 利用尤拉向前差分可將其改寫為疊代方程式

• 其中 ht 為虛擬時間步長、 ε 為一微小之值 ( 攝動參數 )

)()()()(

)(

2 TT

2

1 k

kkkkt

kt

kk

e

ehtxF

xF]x)[F(xxFxB

xFxx

0

9

• B.C.

• 有限差分離散

1,50

8,1

hx

hx

02 222

11

iiihhh

150

2

2

15050

49

48

3

2

1

50505049

504948

494847

432

321

21

1

0

0

0

0

8

2000000

200000

020000

000020

000002

0000002

h

h

h

h

h

h

hh

hhh

hhh

hhh

hhh

hh

02

02

22

Ndx

hdKh控制方程式

10

現利用 PDNM 與 PSHA 做比較 令 K = 2 、 N = 1×10-3

• 給予的參數為

• 當 x0 = 0 時，收歛步數為

擬時間步長 ht = 1×10-3

攝動參數 ε = 1×10-3

收斂誤差 1×10-5

PDNM 36158

PSHA 60000 步無法收斂

11

以 PDNM 之數值解與解析解做比較

12

13