autori

ilustrovao

recenzenti

urednik

lektor

grafi~ko oblikovawe

priprema za {tampu

izdava~

za izdava~a

{tampa

tira`

copyright

Mirjana Stojsavqevi}-Radovanovi}, Qiqana Vukovi}, Jagoda Ran~i}, Zorica Jon~i}

Du{an Pavli}

dr Zorana Lu`anin, redovni profesor, Prirodno-matemati~ki fakultet u Novom Sadu

dr Zoran Lu~i}, vanredni profesor, Matemati~ki fakultet u Beogradu

dr Dragica Pavlovi}-Babi}, docent, Filozofski fakultet u Beogradu

Gordana Nikoli}, profesor, O[ „Du{ko Radovi}“ u Beogradu

Vesna Stanojevi}, nastavnik, O[ „1300 kaplara“ u Beogradu

Svjetlana Petrovi}

Ivana Igwatovi}

Du{an Pavli}

Qiqana Pavkov

Kreativni centar

Gradi{tanska 8

Beograd

Tel./faks: 011/ 38 20 464, 38 20 483, 24 40 659www.kreativnicentar.rs

mr Qiqana Marinkovi}

Publikum

7.000

© Kreativni centar 2010

MATEMATIKAuxbenik za {esti razred osnovne {kole – 2. deoprvo izdawe

Ministar prosvete Republike Srbije odobrio je izdavawe i upotrebu ovog

uxbenika u okviru uxbeni~kog kompleta za matematiku u {estom razredu

osnovne {kole re{ewem broj 650-02-00190/2010-06 od 22. 07. 2010.

CIP – Katalogizacija u publikacijiNarodna biblioteka Srbije, Beograd

37.016:51(075.2)

MATEMATIKA : uxbenik za {esti razredosnovne {kole. #Deo #2 / MirjanaStojsavqevi}-Radovanovi} … [i dr.] ;[ilustrovao Du{an Pavli}]. – 1. izd. –Beograd : Kreativni centar, 2010 (Beograd :Publikum). – 133 str. : ilustr. ; 27 cm. –(Kreativna {kola)

Tira` 7.000.

ISBN 978-86-7781-787-91. Stojsavqevi}-Radovanovi}, Mirjana[autor]

COBISS.SR-ID 177628684

MATEMATIKAuxbenik za {esti razred osnovne {kole

drugi deo

Mirjana Stojsavqevi}-Radovanovi}, Qiqana Vukovi}

Jagoda Ran~i}, Zorica Jon~i}

[TA SADR@I OVA KWIGA

UVOD U TEME

Racionalni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–5

^etvorougao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68–69

Povr{ina ~etvorougla i trougla . . . . . . 104–105

RACIONALNI BROJEVI

Skup racionalnih brojeva – skup Q . . . . . . . . 6–11

Prikazivawe racionalnih brojeva na brojevnoj pravoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12–15

Upore|ivawe racionalnih brojeva . . . . . . . 16–19

Sabirawe i oduzimawe racionalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20–31

Mno`ewe racionalnih brojeva . . . . . . . . . . . 34–41

Deqewe racionalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . 42–47

Jedna~ine oblika a x = b, x : a = b, a : x = b, a ⋅ x + b = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49–53

Nejedna~ine oblika a ⋅ x > b, a ⋅ x < b, x : a > b, x : a < b, a ⋅ x + b > ci a ⋅ x + b < c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54–63

Procenat i primena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64–66

^ETVOROUGAO

^etvorougao. Elementi ~etvorougla . . . . . . 70–73

Zbir unutra{wih uglova ~etvorougla. Zbir spoqa{wih uglova ~etvorougla . . 74–76

Pojam centralne simetrije . . . . . . . . . . . . . . . . 77–79

Paralelogram. Vrste paralelograma.Konstrukcija paralelograma . . . . . . . . . . . 80–89

Trapez. Vrste trapeza. Konstrukcije trapeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90–99

Deltoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100–101

POVR[INA TROUGLA I ^ETVOROUGLA

Pojam povr{ina ravnih figura.Jednakost povr{ina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106–107

Povr{ina pravougaonika . . . . . . . . . . . . . . . 111–113

Povr{ina paralelograma . . . . . . . . . . . . . . . 114–115

Povr{ina trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116–117

Povr{ina trapeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118–119

Povr{ina ~etvorougla s normalnim dijagonalama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120–121

I TO JE MATEMATIKA . . . . . . . . . . 32, 66, 102, 122

ISTRA@IVA^KI ZADATAK . . . . . . . . . . . . . . . 48, 123

ZAPAMTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33, 67, 103, 124

REZULTATI I UPUTSTVA . . . . . . . . . . . . . . . . 125–132

4

RACIONALNI BROJEVI

Na~in na koji su se brojevi zapisivali mo`e se pratiti kroz istorijupo~ev od matematike drevnog Egipta, Vavilona, drevne Gr~ke, isto~nihcivilizacija – indijske, arapske, kineske – matematike sredweg veka,pa do dana{wih dana.

Staroegipatski matemati~ari koristili su, izuzev razlomka i ,

samo jedini~ne razlomke. To su razlomci koji u brojiocu imaju

jedinicu: , , …112

15

13

34

23

Razlomci su zapisivani tako {to se pored niza hijeroglifaza oznaku broja crtao hijeroglif u obliku usana.

O staroegipatskoj matematici saznajemo najvi{e iz Moskovskogi Ahmesovog papirusa.

Jedan zadatak na Ahmesovom papirusu glasi: Ako zbir nepoznatog broja nekih stvari i wihovesedmine iznosi 19, koliki je broj stvari?Danas odgovor na to pitawe dobijamo re{avaju}i jedna~inu . Weno re{ewe je .133

8x x+ =17

19

U ovom poglavqu nau~i}e{:

• {ta su to racionalni brojevi

• kako se zapisuju, upore|uju, predstavqaju na brojevnoj pravoj

• da ra~una{ sa racionalnim brojevima – da ih sabira{, oduzima{, mno`i{ i deli{.

Iz istorije matematike

broj 1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000

hijeroglif

276

1249

12

14

Stari Egip}ani koristili su simbole iz prirode i `ivota za pisaweprirodnih brojeva.

Sve ostale razlomke izra`avalisu kao zbir jedini~nih razlomaka.

Na primer: 451215110

= + +

5

1, 2, 3, KRENI…

! Zaokru`i mawi broj. 34

12

" Zaokru`i ve}i broj. 54,504 54,54

# Zaokru`i najmawi broj. 115

1 5 54

,

$ 13

23

+

U zadacima od 4 do 10 izra~unaj izraz i zaokru`i slovo ispred ta~nog rezultata.

a) 1 b) v) 39

36

% 34

23

⋅

a) b) v) 298

12

& 54

53

:

' 1 + 0,11

a) 0,12 b) 0,21 v) 1,11

( 5,19 – 3,2a) 2,17 b) 1,99 v) 2,99

) 1,2 ⋅ 6a) 0,72 b) 7,2 v) 72

* 0,26 : 0,2 a) 13 b) 1,3 v) 0,13

+ Izra~unaj.

112

12

2+ ⋅ =

, Izra~unaj.

a) 1 0 75 45

−( ) ⋅ =,

a) b) v) 34

2012

112

b) 100 0 1 5 12

⋅ − =, :

OVO NE}EBITI TE?KO.

6

U petom razredu upoznali smo se sa skupom razlomaka. Pored toga {to smo nau~ili da razlomke upore|ujemo, sabiramo, oduzimamo, mno`imo i delimo, nau~ili smo i da ihpredstavqamo na brojevnoj polupravoj.

Na primer:

6

SUPROTAN BROJ POZITIVNOMRACIONALNOM BROJU. SKUP RACIONALNIH BROJEVA – SKUP Q

• pozitivni razlomci• negativni razlomci• suprotni razlomci• skup racionalnihbrojeva

! Na kojoj su od prikazanih brojevnih pravih ta~kama T i P pridru`enisuprotni brojevi? Zaokru`i slovo ispred tog crte`a.

–2 –1 0 1 2 3 4 5

xT Pa)

–2 –1 0 1 2 3 4 5

xT Pb)

–2 –1 0 1 2 3 4 5

xT P

0 1 2 3

x

v)

Podseti se

Brojevi 3 i –3 jesusuprotni brojevi.

Nau~ili smo da svaki pozitivan ceo broj mo`emo zapisati tako {to }emo ispred weganapisati znak „+“ . Na isti na~in mo`emo napisati i svaki pozitivan razlomak.

Na primer:

Brojevi , , … jesu pozitivni razlomci.176

176

= +125125

=12

12

= +

Kao {to svakom pozitivnom celom broju pridru`ujemo suprotan broj, tako i svakom pozitivnom razlomku pridru`ujemo suprotan razlomak. Suprotne razlomke mo`emo predstaviti na brojevnoj pravoj.

Na primer:

Ta~ke pridru`ene me|usobno suprotnim razlomcima, na primer: i , i , nalaze

se sa raznih strana ta~ke O(0) i na istom su rastojawu od we.

Brojevi , … jesu negativni razlomci.

Svaki negativni razlomak, kao i svaki negativan ceo broj, zapisujemo tako {to ispred wegapi{emo znak „–“.

−134

− 12

−134

134

− 12

12

12

= +

POZITIVNI I NEGATIVNI RAZLOMCI

12

113

176

–2 –1 0 1 2 3

x

−134

− 12

− 12

134

, , …125

125

= +176

176

= +12

12

= +

7

" Iz skupa izdvoj podskup negativnih razlomaka.4 1127562335249

, , , , ,− − −{ }

# Upi{i znak ∈ili ∉tako da dobije{ ta~no tvr|ewe.

a) .......... Q+ b) –37 .......... Q v) .......... Q

– g) .......... Q d) .......... Q+ |) .......... Q− 22

9− 229

523

117

67

$ Dat je skup A = .

a) Napi{i podskup negativnih racionalnih brojeva.

b) Napi{i podskup pozitivnih racionalnih brojeva.

v) Koji su brojevi iz skupa A me|usobno suprotni? Napi{i ih.

% Koji broj je suprotan broju ? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.56

& Popuni prazna poqa u tabeli.

Skup pozitivnih racionalnih brojeva ~ine svi pozitivni razlomci. Obele`avamo ga sa Q+.

Skup negativnih racionalnih brojeva ~ine svi negativni razlomci. Obele`avamo ga sa Q–. Skup racionalnih brojeva jeste skup koji ~ine svi pozitivni racionalni brojevi, nula i svi negativniracionalni brojevi. Ozna~avamo ga sa Q .

Q = Q– ∪ {0} ∪ Q+

SKUP RACIONALNIH BROJEVA

Definicija suprotnih brojeva u skupu Z va`i i u skupu Q.Za svaki broj a ∈Q brojevi a i –a su suprotni brojevi.

SUPROTNI BROJEVI

Q0

Q– Q+

broj + 611

−53

259

− 16

suprotanbroj

Da ti ka`em

Suprotan broj pozitivnombroju jeste negativan broj. Suprotan broj negativnombroju jeste pozitivan broj.

a) b) v)−65

−65

− 56

–a 0 ax

8

' Zaokru`i slovo ispred crte`a na kojem su ta~kama A i B pridru`eni suprotni brojevi.

( Svakom od datih brojeva napi{i suprotan broj.

1 0,5 –12,45 − 29

357

− 32

) Zaokru`i slovo ispred ta~ne jednakosti.

a) –4 = b) –4 = v) –4 = −328

−84

− 832

* Zapi{i dati broj u obliku razlomka ~iji je imenilac 3.

a) 9 b) –30 v) –5 g) 0

+ Date brojeve napi{i u obliku razlomaka.

0,9 –1,01 –3,75 –2,125

a)

b)

v)

–2 –1 0 1 2 3

x23

32

BA

–2 –1 0 1 2 3

x

− 23

32

BA

–2 –1 0 1 2 3

x

− 32

32

BA

Svi brojevi koji se mogu napisati u obliku razlomka pripadaju skupu Q.Na primer:

0,5 = –1,2 = –5,14 =

Skupu racionalnih brojeva pripadaju prirodni i celi brojevi jer se mogunapisati u obliku razlomka.

0 010203

= = = = …− = − = − = − = …2 21

42

84

7 71142

213

= = = = …

−1210

−5 14100

12

! Dati su brojevi: ; –0,05; 4; ; –101; . Prepi{i negativne racionalne brojeve.135

−279

54

" Napi{i suprotne brojeve datim brojevima. 7 –25,7 0,032 59

−325

245

# Napi{i tri pozitivna racionalna broja mawa od 5.

$ Napi{i tri negativna racionalna broja.

% Brojeve 3; –5,8; –1,45 napi{i u obliku razlomaka.

Proveri {ta zna{

HE, HE, HE.ZNAM!!!

9

SKUP RACIONALNIH BROJEVA • racionalan brojje koli~nik dvacela broja

! U prazna poqa upi{i ∈ili ∉tako da dobije{ ta~na tvr|ewa.

–12...........N ...........Z ...........Q ...........Q–

...........Q+ 0...........Q

42

−334

12

343

" U tabeli zaokru`i DA ako su suprotni brojevi ta~no odre|eni, a ako nisu, zaokru`i NE.

$ Ako je p = i q = –0,6, izra~unaj:

a) –p b) –q v) –(–p) g) –(–q)

89

% Decimalni broj –1,2 napisan u obliku razlomka je:

a) b) v) g)

Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.

−1 150

−115

− 12100

− 12

& Od datih brojeva zaokru`i onaj koji je jednak .

a) –2,5 b) –2,15 v) –2,2 g) –2,02

−215

' Pove`i suprotne brojeve.

broj 0,75 −2 12

1,2 –45

suprotan broj + 34

+ 52

−56

1353

DA NE DA NE DA NE DA NE

Podseti se

–(–2) = 2–(+2) = –2

( Pove`i jednake brojeve.

45

32

− 273

62

02

− 810

–3 –1,5 9 0

− 1110

− 310

−135

–2,6 –1,1

–2,75

−35

−114

− 610

–0,3

# Izra~unaj.

a) b) –(–0,34) v) –(+12,6) g) − +( ) =7 19

− −( ) =23