Физика. Часть 2: Рабочая программа и методические...

Министерство образования Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий

УТВЕРЖДЕНА учебно-методическим советом академии “18” мая 1999 г. Председатель, проректор по учебной работе, проф. Е. И. Борзенко

ФИЗИКА РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

ЧАСТЬ 2

Методические указания для студентов 3-го курса всех специальностей факультета заочного обучения и экстерната

Кафедра физики

Санкт-Петербург 2006

http://www.pdffactory.com


2

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Учебная работа студента-заочника всех специальностей складывается из

самостоятельного изучения курса физики по рекомендованным ниже учебным пособиям, решения задач, выполнения контрольных и лабораторных работ, сдачи зачётов и экзаменов.

Изучение курса физики по учебникам 1. Изучать курс необходимо систематически в течение всего учебного

года последовательно по разделам, соответствующим материалам трёх кон-трольных работ ( 4, 5, 6), выполнение которых предусмотрено учебным планом третьего года обучения. Программа курса третьего года обучения для всех специальностей приведена ниже. Она разбита на отдельные группы во-просов, в конце которых указаны номера параграфов основного учебного по-собия, где эти вопросы изложены.

2. Работу по учебнику рекомендуется сопровождать составлением кон-спекта.

3. Необходимо тщательно изучить системы единиц физических величин. Следует обратить внимание на то, что в разделе “Основы квантовой физики” часто используют разрешенные к применению внесистемные единицы.

Решение задач Успешное овладение курсом физики возможно только при условии ре-

шения задач. Это помогает уяснить физический смысл изучаемых явлений, закрепить в памяти формулы, получить навыки практического применения знаний и подготовиться к выполнению контрольных работ. Задачи для само-стоятельного решения можно брать из рекомендованных учебных пособий.

Выполнение контрольных работ 1. К выполнению контрольных работ следует приступить только после

изучения теоретического материала по данному разделу программы и внима-тельного ознакомления с примерами решения задач, приведенными в методи-ческих указаниях перед каждой контрольной работой, а также с таблицами приложения, справочный материал которых облегчит Вашу работу и сэконо-мит время.

2. Все контрольные работы, от первой до последней, должны выпол-няться по методическим указаниям.

3. Каждая контрольная работа выполняется чернилами в отдельной школьной тетради. Для замечаний преподавателя, проверяющего работу, ос-тавляют поля.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com



3

4. На лицевой стороне тетради приводятся сведения по следующему об-разцу.

Контрольная работа 6 по физике Студент 3-го курса специализации 170600

СПбГУНиПТ Лебедев В. Н., шифр 12122 Адрес: 210009, г. Витебск, ул. Победы, д.1, кв. 5

5. Каждая задача должна начинаться с новой страницы. Вначале следует

записать полный текст задачи, затем дать буквенную запись условия. Эти тре-бования должны соблюдаться и при повторном выполнении работы с учётом замечаний рецензента.

6. Решение задач следует проводить исключительно в единицах СИ. Не-обходимо использовать общепринятые обозначения физических величин. Значения физических постоянных взять из приложений (или других справоч-ных пособий).

7. Во всех случаях, когда это возможно, нужно сделать аккуратный чер-тёж, поясняющий решение задачи. На чертеже должны быть изображены все векторные величины (силы, импульсы и т. п.).

8. Решение задач необходимо сопровождать подробными пояснениями хода рассуждений. Нужно приводить формулировки используемых законов и давать определения, раскрывающие физический смысл всех входящих в них величин.

9. Задачи следует решать до конца в общем виде, не делая промежуточ-ных вычислений (исключения составляют особо громоздкие задачи). Получив окончательный буквенный ответ, следует проверить его, подставив единицы входящих физических величин. Если после необходимых преобразований и сокращений единицы в правой и левой частях равенства не совпадают, то нужно искать ошибку в решении.

10. В окончательное буквенное решение нужно подставить числовые значения всех входящих в него величин в единицах одной и той же системы и привести окончательный числовой ответ.

Приступая к вычислениям, помните, что числовые значения физических величин являются приближёнными. Поэтому при расчетах руководствуйтесь правилами действий с приближёнными числами (приложение 1). В контроль-ных работах по физике студенты должны проводить вычисления с точностью до трёх значащих цифр, за исключением некоторых задач по ядерной физике, где требуется большая точность.




4

11. В том случае, когда контрольная работа не зачтена, студент обязан выполнить незачтенные задачи заново, соблюдая все указанные выше прави-ла.

Заново выполненная работа высылается обязательно вместе с незачтен-ной и с рецензией на нее.

12. Во избежание повторения ошибок высылать следует только одну контрольную работу. Следующая работа выполняется и высылается после то-го, как зачтена предыдущая.

13. Прием контрольных работ на первое рецензирование прекращается за 10 дней до начала экзаменационной сессии, а на повторное (незачтенных) – за 2–3 дня до экзамена.

14. В случае нарушения указанных выше требований контрольная рабо-та не будет проверяться.

15. С 1 июля по 1 сентября контрольные работы на проверку не прини-маются.

Выполнение лабораторных работ Лабораторные работы выполняются во время сессии на кафедре физики

СПбГУНиПТ. Основная цель лабораторных работ по курсу физики – научить студентов методике экспериментирования и методике обработки результатов опыта. Кроме того, выполнение лабораторных работ закрепляет знания сту-дента по самостоятельно прорабатываемому теоретическому материалу.

В процессе проведения работ следует систематически и аккуратно вести запись результатов измерения в таблицы, формы которых нужно тщательно продумывать. Все факторы, способные оказывать влияние на точность изме-рений, необходимо также записывать. При работе с измерительными прибо-рами следует помнить о необходимости весьма осторожного, аккуратного об-ращения с ними. Правильность записей в протокол проведения лабораторных работ заверяется преподавателем, проводящим лабораторное занятие. Перед выполнением каждой работы студенты должны прорабатывать выдаваемое кафедрой методическое руководство к ним. После выполнения работ следует оформить отчёты по каждой из них. Обработку результатов измерений произ-вести в соответствии с методикой, изложенной в приложении 1.

Работа заканчивается написанием краткого отчёта, который включает: 1) объекты и методы измерений, схемы экспериментальной установки,

таблицы наблюдений, необходимые графики, расчётные формулы и формулы для определения погрешности измерений;

2) полученный результат с указанием абсолютной и относительной по-грешности, а также доверительной вероятности;

3) краткий анализ полученного результата.




5

Сдача зачётов 1. Для получения зачёта студент на зачётном занятии предъявляет уста-

новленное число зачтённых контрольных работ и решает задачу из задачника по теме каждой контрольной работы.

2. Для получения зачёта по лабораторным работам от студентов требу-ется:

а) знание физического смысла, единицы и методики измерения величи-ны, а также основных теоретических вопросов, на которых базируется работа;

б) умение собрать экспериментальную установку по принципиальной схеме и пользоваться применяемой в работе измерительной аппаратурой;

в) умение вывести формулу для расчёта погрешности измеряемой вели-чины и грамотно округлить погрешность и результат измерения, объяснить результаты опытов.

Сдача экзаменов К сдаче экзаменов допускаются студенты, получившие зачёт. В экзаменационные билеты включаются все вопросы программы, при-

веденной в настоящих указаниях. При подготовке к экзамену следует иметь в виду, что от студентов тре-

буется не только знание законов и формул, но и умение выводить эти форму-лы.




6

ПРОГРАММА КУРСА ФИЗИКИ для студентов заочной формы обучения всех специальностей

Программа составлена в соответствии с ГОСами ВПО, утверждёнными Госкомвузом РФ

ЧАСТЬ 2

4. ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН

4.1. Общие представления о колебаниях Колебательный процесс. Механические колебания. Электрические коле-

бания. Единый подход к описанию колебаний различной физической приро-ды. Дифференциальные уравнения механических и электрических колебаний. Гармонические колебания. График колебаний. Амплитуда, циклическая час-тота, период и фаза гармонических колебаний. Представление гармонических колебаний методом векторных диаграмм и с помощью формулы Эйлера.

Сложение гармонических колебаний. Энергия колебаний. Свободные затухающие колебания. Амплитуда затухающих колебаний.

Коэффициент затухания. Логарифмический декремент колебаний. Вынужденные колебания. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний.

Явление резонанса. [1, §140, 141, 143–148].

4.2. Гармонический осциллятор Математический и физический маятники. Груз на пружине. Идеальный

колебательный контур (контур Томсона). Циклическая (угловая) частота, пе-риод, коэффициент затухания, добротность.

Реальный колебательный контур. Вынужденные электрические колеба-ния. Резонанс напряжений и токов. Реактивное сопротивление и импеданс электрической цепи. Цепи переменного тока.

[1, §142, 149–152].

4.3. Общие представления о волнах Волновой процесс. Упругие волны. Электромагнитные волны. Единый

подход к описанию волн различной физической природы. Волновое уравне-ние механических и электромагнитных волн. Гармонические волны. График волны. Амплитуда, круговая частота, период, длина волны, волновой вектор, скорость и фаза гармонических волн. Продольные и поперечные волны. Вол-новая поверхность, фронт волны. Бегущая и стоячая волны. Плоские, сфери-ческие и цилиндрические волны.




7

Упругие волны в газах, жидкостях и твёрдых телах. Энергетические ха-рактеристики упругих волн. Вектор Умова. Эффект Доплера в акустике.

Плоские электромагнитные волны. Энергетические характеристики электромагнитных волн. Вектор Пойнтинга.

[1, §153–155, 158, 161–164].

4.4. Интерференция волн Принцип суперпозиции для волн. Интерференция плоских монохрома-

тических волн. Когерентные волны. Интерференция света. [1, §155–157, 170–175].

4.5. Дифракция волн Принцип Гюйгенса. Принцип Гюйгенса–Френеля. Дифракция света.

Дифракция Френеля. Метод зон Френеля. Дифракция Фраунгофера. Дифрак-ция на круглом отверстии, прямой щели, дифракционной решётке. Дифрак-ционный монохроматор. Разрешающая способность спектральных приборов.

[1, §176–184].

4.6. Поляризация волн Естественный и поляризованный свет. Полностью и частично поляризо-

ванный свет. Степень поляризации. Поляризация при отражении от границы раздела диэлектриков. Угол полной поляризации. Закон Брюстера. Закон Ма-люса.

[1, §190–196].

4.7. Взаимодействие электромагнитных волн с веществом Отражение и преломление электромагнитных волн. Показатель прелом-

ления. Дисперсия электромагнитных волн. Нормальная и аномальная диспер-сия. Групповая скорость. Поглощение света. Рассеяние света.

[1, §185–187].

5. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

5.1. Исходные понятия Тепловое движение. Статистический метод исследования. Термодина-

мический метод исследования. Термодинамические системы. Термодинами-ческие параметры состояния: давление, объём, температура. Равновесный и неравновесный, обратимый и необратимый процессы. Термодинамический процесс и его изображение на термодинамической диаграмме.

[1, §41].




8

5.2. Молекулярная физика Молекулярно-кинетическая теория. Идеальный газ. Основное уравнение

молекулярно-кинетической теории идеального газа. Давление с точки зрения молекулярно-кинетической теории. Молекулярно-кинетический смысл тем-пературы. Частные законы поведения идеального газа. Уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона–Менделеева). Закон Больцмана о равном распределении энергии по степеням свободы молекулы. Внутренняя энергия идеального газа.

[1, §41–43, 50].

5.3. Кинетическая теория газов. Явления переноса в газах Вероятность, плотность вероятности. Распределение Максвелла по про-

екции скорости. Распределение Максвелла по модулям скорости. Распределе-ние Максвелла по энергии. Средняя скорость молекул идеального газа. Сред-няя энергия молекул идеального газа. Распределение Больцмана. Барометри-ческая формула. Эффективный диаметр молекулы. Среднее число соударе-ний. Средняя длина свободного пробега.

Диффузия. Закон Фика. Коэффициент диффузии. Теплопроводность. За-кон Фурье. Коэффициент теплопроводности. Вязкость. Закон Ньютона для вязкости. Коэффициент вязкости. Взаимосвязь коэффициентов переноса в га-зах и их зависимость от давления.

[1, §44–49].

5.4. Основы термодинамики Внутренняя энергия системы. Работа расширения. Работа расширения

идеального газа в простейших процессах. Первое начало термодинамики. Те-плоёмкость. Уравнение Майера для идеального газа. Адиабатный процесс. Уравнение Пуассона. Показатель адиабаты. Политропные процессы. Второе начало термодинамики. Принцип действия тепловой и холодильной машин. Цикл (круговой процесс). Термический КПД. Цикл Карно. Теорема Карно. Энтропия. Тепловая теорема Нернста (третье начало термодинамики). Изме-нение энтропии в различных процессах.

[1, §50–59].

5.5. Реальные газы и пары Силы и потенциальная энергия межмолекулярного взаимодействия.

Уравнение Ван-дер-Ваальса. Изотермы Ван-дер-Ваальса. Критическая изо-терма. Экспериментальные изотермы реального газа. Области жидкости, газа, влажного пара и сухого пара. Линии насыщения пара и жидкости. Перегретая жидкость. Пересыщенный пар. Метастабильные состояния.




9

Внутренняя энергия вандерваальсовского газа. Адиабатный дроссель-ный эффект Джоуля–Томсона. Способы сжижения газов. Жидкий воздух и жидкий гелий.

[1, §60–65].

5.6. Фазовые превращения и фазовые равновесия Фазы. Фазовые превращения. Фазовые переходы I и II рода. Условия

равновесия фаз. Уравнение Клапейрона–Клаузиуса. Фазовые диаграммы. Критическая точка. Тройная точка.

[1, §74–76].

5.7. Жидкое и твёрдое состояния вещества Молекулярная структура жидкостей. Поверхностное натяжение. Смачи-

вание жидкостей. Капиллярные явления. Кристаллическая структура твёрдых тел. Физические типы кристаллов.

Дефекты кристаллической решётки. Классическая теория теплоёмкости кри-сталлов. Закон Дюлонга–Пти.

[1, §66–73].

6. ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ

6.1. Квантовые свойства электромагнитного излучения Тепловое излучение. Энергетическая светимость и поглощательная спо-

собность тел. Закон Кирхгофа. Модель абсолютно чёрного тела. Закон Стефа-на–Больцмана. Спектр излучения чёрного тела. Закон смещения Вина. Фор-мула Рэлея–Джинса. Ультрафиолетовая катастрофа.

Гипотеза квантов излучения. Энергия кванта. Формула Планка и ее следствия. Основы оптической пирометрии. Радиационная, яркостная и цве-товая температуры тел.

Внешний фотоэлектрический эффект. Квантовая теория внешнего фото-эффекта.

Тормозное рентгеновское излучение. Квантовая теория светового давления. Эффект Комптона. Фотоны. Энергия, импульс, масса и скорость фотона. [1, §197–207].

6.2. Элементы квантовой механики Корпускулярно-волновой дуализм света. Гипотеза де Бройля о корпус-

кулярно-волновом дуализме материи. Взаимосвязь волновых и корпускуляр-




10

ных свойств квантовых частиц. Волны де Бройля и их вероятностная природа. Интерференция электронного пучка в двухщелевом интерферометре.

Принцип дополнительности Бора. Соотношения неопределенностей Гейзенберга. Описание состояния квантовых частиц с помощью волн де Бройля. Волновая функция. Волновое уравнение Шрёдингера. Движение сво-бодной частицы. Электрон в “потенциальном ящике”. Квантование энергии и момента импульса квантовых частиц. Туннельный эффект. Квантовый гармо-нический осциллятор. Нулевая энергия и ее проявления.

[1, §213–222].

6.3. Элементы квантовой физики атомов и молекул Планетарная ядерная модель атома. Модель строения атома водорода по

теории Бора. Квантово-механическая модель строения атома водорода. Квантование

энергии и момента импульса (магнитного момента) электронов в атоме. Кван-товые числа. Спин электрона и его квантование. Принцип Паули. Заполнение электронных состояний в атоме. Периодическая система элементов Менде-леева. Запрещённые переходы электронов в атоме (правило отбора).

Оптические спектры молекул. Характеристическое рентгеновское излу-чение вещества. Люминесценция.

Инверсная заселённость состояний в атомах. Индуцированное (вынуж-денное) излучение. Оптические квантовые генераторы (лазеры) и их приме-нение в современной технике.

[1, §208–212, 223–225, 227–233].

6.4. Элементы ядерной физики и физики элементарных частиц Структура ядра атомов. Явление радиоактивности. α , β , γ - распад. Эле-

ментарные и субэлементарные частицы. [1, §251, 252, 254–259, 262, 272, 275].

6.5. Элементы квантовых статистик. Теплоёмкость твёрдых тел Простейшие системы квантовых частиц. Общие сведения о квантовых

статистиках. Фермионы и бозоны. Функция распределения Ферми–Дирака. Функция распределения Бозе–Эйнштейна. Вырождение системы частиц, опи-сываемых квантовыми статистиками. Температура вырождения.

Распределение Ферми–Дирака для вырожденного электронного газа в металлах. Внутренняя энергия и теплоёмкость вырожденного электронного газа.

Классическая теория теплоёмкости кристаллов. Закон Дюлонга и Пти. Опытные значения теплоёмкости тел в области низких и высоких температур.




11

Упрощенная квантовая теория теплоёмкости кристаллов по Эйнштейну. Тео-рия теплоёмкости по Дебаю. Вырожденный фононный газ в кристалле. Ха-рактеристическая температура Дебая. Закон кубов Дебая.

[1, §226, 234–239].

6.6. Зонная теория твёрдых тел. Контактные явления Понятие о зонной теории твёрдых тел. Энергетические зоны в кристал-

лах. Разрешенные и запрещенные зоны. Валентная зона и зона проводимости. Зонные диаграммы металлов, диэлектриков и полупроводников.

Собственная проводимость полупроводников. Электронно-дырочный механизм собственной проводимости. Температурная зависимость сопротив-ления собственных полупроводников.

Примесная проводимость полупроводников. Донорные и акцепторные уровни примеси. Примесные полупроводники с электронной проводимостью (n-полупроводники) и примесные полупроводники с дырочной проводимо-стью (p-полупроводники).

Фотопроводимость полупроводников. Собственная фотопроводимость. Красная граница внутреннего фотоэффекта. Фоторезисторы (фотосопротив-ления).

Работа выхода электронов из металла. Электрохимический потенциал. Контакт двух металлов. Внутренняя и внешняя контактная разность потен-циалов. Контакт металла с полупроводником, влияние внешнего электриче-ского поля (эффект Шотки). Контакт электронного и дырочного полупровод-ников (р–n-переход), запирающий слой. Действие внешней разности потен-циалов на p–n-переход. Пропускное и запирающее напряжения. Полупровод-никовый транзистор (триод). Вентильный фотоэффект в p–n-переходе. Фото-диод.

Замкнутая цепь из разнородных проводников. Термоэлектрический эф-фект Зеебека. Термоэдс, термопары. Электротермический эффект Пельтье. Эффект Томсона. Электротермический способ охлаждения. Полупроводнико-вые холодильники.

[1, §240–250].




12

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ Контрольная работа 4. Тема. Физика колебаний и волн. Контрольная работа 5. Тема. Молекулярная физика и термодинамика. Контрольная работа 6. Тема. Основы квантовой физики.

ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ Лабораторная работа 1. Тема. Динамика гармонических колебаний.

Маятники. Лабораторная работа 2. Тема. Изучение явления поляризации света. Лабораторная работа 3. Тема. Молекулярная физика. Термодинамика. Лабораторная работа 4. Тема. Явления переноса в газах и жидкостях.

Поверхностное натяжение жидкости. Лабораторная работа 5. Тема. Изучение температурной зависимости

электропроводности металлов и полупроводников. Лабораторная работа 6. Тема. Термоэлектрические явления.




13

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основные учебники: 1. Трофимова Т. И. Курс физики. – М.: Высш. шк., 1999. – 542 с.

Дополнительные учебники: 2. Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. – М.: Высш. шк., 1999. –

710 с. 3. Савельев И. В. Курс физики. Т. 1: Механика. Молекулярная физика. –

М.: Наука, 1989. – 352 c. 4. Савельев И. В. Курс физики. Т. 2: Электричество. Колебания и волны.

Волновая оптика. – М.: Наука, 1989. – 464 c. 5. Савельев И. В. Курс физики. Т. 3: Квантовая оптика. Атомная физика.

Физика твёрдого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц. – М.: Наука, 1989. – 304 c.

Задачники: 6. Волькенштейн. В. С. Сборник задач по общему курсу физики. – М.:

Наука, 1990. Лабораторный практикум:

7. Расчеты в лабораторных работах: Метод. указания для студентов всех факультетов. – Л.: ЛТИХП, 1990.




14

Приложение 1

О ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ

При решении физических задач обычно используются величины с при-ближёнными числовыми значениями.

Рассмотрим следующий пример. Пусть требуется определить плотность ρ вещества некоторого тела. При взвешивании тела на весах с точностью до 0,01 г определили его массу

( ) г010389 ,,m ±= .

Затем с точностью до 3см010, был измерен объём тела

( ) 3cм010463 ,,V ±= . Без критического подхода к вычислениям можно получить такой результат

33 смгсмг ...,,,

Vm 6599827102

463389

===ρ .

Но числа 9,38 и 3,46 – приближённые. Последние цифры в этих числах недостоверны. Эти числа при измерении могли быть получены такими: пер-вое – 9,39 или 9,37, а второе – 3,47 или 3, 45. В самом деле, при взвешивании с указанной выше точностью могла быть допущена ошибка на 0,01 г как в сторону увеличения массы, так и в сторону ее уменьшения. То же самое и в отношении объёма. Таким образом, плотность тела, если ее вычислить с точ-ностью до девятого десятичного знака, как это сделано выше, могла оказаться

33 смгсмг ...,,, 1307397212453399

==ρ

или

33 смгсмг ...,,, 1842887002473379

==ρ .

Сравнение всех трёх результатов показывает, что они отличаются уже вторыми десятичными знаками, и, что достоверным является лишь первый десятичный знак, а второй – недостоверен. Цифры, выражающие остальные десятичные знаки, совершенно случайны, способны ввести лишь в заблужде-ние пользующегося вычисленными результатами, и показывают, что автор этих вычислений не знаком с правилами приближённых вычислений и запи-сями приближённых чисел. Следовательно, работа по вычислению большин-ства знаков затрачена не только впустую, но и во вред автору (показывает его неграмотность). Во избежание бесполезных затрат труда и времени принято




15

вычислять кроме достоверных знаков еще только один недостоверный, для возможности дальнейшего округления.

В рассмотренном примере нужно было вести вычисления до второго де-сятичного знака

33 смг712смг463389 ,,,

==ρ .

Теория приближённых вычислений позволяет: 1) зная погрешность исходных данных, оценить погрешность результата

еще до выполнения действий; 2) брать данные с надлежащей точностью, достаточной, чтобы обеспе-

чить требуемую точность результата, но не слишком большой, чтобы изба-вить вычислителя от бесполезных расчетов;

3) рационализировать самый процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на достоверные цифры результата.

Значащими цифрами числа называют все цифры числа, кроме нулей, стоящих впереди числа. Например, в числе 0,00385 три значащие цифры: 3, 8, 5; в числе 2500 – четыре: 2, 5, 0, 0; в числе 31052 ⋅, – две: 2, 5.

Нули, стоящие в середине или в конце числа (справа) являются знача-щими цифрами, т. к. обозначают отсутствие единиц в соответствующем раз-ряде.

Абсолютной погрешностью приближённого числа называется абсолют-ное значение разности между этим числом и его точным значением.

Относительной погрешностью приближённого числа называется отно-шение абсолютной погрешности приближённого числа к самому этому числу.

Способ записи приближённых чисел. При приближённых вычислениях отличают запись 2,4 от 2,40; запись 0,02 от 0,0200 и т. д. Запись 2,4 означает, что достоверны только две значащие цифры – цифры целых и десятых; ис-тинное же значение числа может быть, например 2,43 или 2,38. Запись 2,40 означает, что достоверны три значащие цифры – цифры целых, десятых и со-тых; истинное же значение числа может быть, например 2,403 или 2,398, но не 2,421 и не 2,382.

То же отличие проводится и для целых чисел. Запись 382 означает, что достоверны все три значащие цифры; если же за последнюю цифру ручаться нельзя, то число округляется и записывается в виде 1038 ⋅ , но лучше записы-вать так: 310380 ⋅, . Запись же 380 означает, что последняя цифра (0) досто-верна.

Для каждого приближённого числа должна быть известна его погреш-ность (абсолютная или относительная). Когда она прямо не указана, подразу-мевается, что абсолютная погрешность составляет половину единицы послед-




16

него выписанного разряда. Так, если приведено приближённое число 4,72 без указания погрешности, то подразумевается, что абсолютная погрешность со-ставляет половину от одной сотой, т. е. 0,005; для числа 47,2 – 0,05; для числа 472 – 0,5; для числа 4720 – 0,5; для числа 310724 ⋅, – 5.

Вследствие этого соглашения всегда можно обойтись без указания по-грешности числа, округленного по правилам.

Правила подсчета цифр при выполнении математических действий 1. При сложении, вычитании, умножении и делении в результате сохра-

няют столько значащих цифр, сколько их содержится в числе с наименьшим количеством цифр.

Например, при сложении чисел 4,462+2,38+1,17273+1,0262=9,04093 следует сумму округлить до сотых долей, т. е. принять ее равной 9,04, т. к. слагаемое 2,38 задано с точностью до сотых долей. Например, вместо вычис-ления выражения 18465427233 ,,, ⋅⋅ следует вычислять выражение 254273 ,,, ⋅⋅ .

Исключения из этого правила допускаются в тех случаях, когда один из сомножителей произведения начинается с единицы, а сомножитель, содер-жащий наименьшее количество значащих цифр, начинается с какой-нибудь другой цифры. В этих случаях в результате сохраняют на одну цифру больше (так называемая запасная цифра), чем в числе с наименьшим количеством значащих цифр.

2. Результат расчета значений функций nx , n x , xln , xlg некоторого приближённого числа x должен содержать столько значащих цифр, сколько их имеется в числе x. Например, 741321 2 ,, ≈ или 24 101031102171 −− ⋅≈⋅ ,, .

3. При вычислении промежуточных результатов сохраняют на одну зна-чащую цифру больше, чем рекомендуют правила 1 и 2 (так называемая запас-ная цифра). В окончательном результате запасная цифра отбрасывается с вы-полнением правил округления.

Например,

( )310007215

730621723⋅⋅

⋅+,,

,,, .

Сомножитель 5,1 имеет наименьшее число значащих цифр – две. По-этому результаты всех промежуточных вычислений должны округляться до трёх значащих цифр

( ) 3333 10793

10310039

10310921320

10007215730621723 −⋅≈

⋅≈

⋅⋅

≈⋅⋅

⋅+ ,,

,,

,,,,

,,, .

Окончательный результат округляется до двух значащих цифр. После округления до двух значащих цифр получаем 31083 −⋅, .




17

Правила округления В первую очередь округляется погрешность приближённого числа. По-

грешность должна содержать не более двух значащих цифр. Если первая зна-чащая цифра погрешности 1, 2, 3, то погрешность округляется до двух знача-щих цифр. Если первая значащая цифра погрешности 4, 5, 6, 7, 8, 9, то по-грешность округляется до одной значащей цифры.

Во вторую очередь округляется приближённое число. Оно округляется до того же десятичного разряда, до которого округлялась погрешность этого числа.

Например:

472±23 47,2±2,3 4,72±0,23 0,472±0,023

472±6 47,2±0,6 4,72±0,06 0,472±0,006 1. Если первая из отбрасываемых цифр больше чем 5, то последняя из

сохраняемых увеличивается на единицу. 2. Если первая из отбрасываемых цифр меньше чем 5, то последняя из

сохраняемых не изменяется. 3. Если первая из отбрасываемых цифр равна 5, то последняя из сохра-

няемых не изменяется. Если отбрасывается только одна цифра 5, а за ней нет значащих цифр,

то округление производится на ближайшее чётное число, т. е. последняя из сохраняемых цифр остается неизменной, если она чётная, и увеличивается на единицу, если она нечётная.

В большинстве задач по физике числовые значения исходных данных

содержат три значащие цифры, поэтому ответ в задаче должен содержать так-же три значащие цифры. Исключение составляют некоторые задачи по ядер-ной физике, в которых требуется большая точность и, следовательно, большее число значащих цифр.

Советуем при вычислении пользоваться микрокалькулятором.






Годвинская Н. В., Самолетов В. А.

ФИЗИКА КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 4






2

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Физика колебаний

Колебаниями называются движения или процессы, которые характе-ризуются определённой повторяемостью во времени.

Физическая природа колебаний может быть различной (механическая, электромагнитная), но описываются они одинаковыми по структуре урав-нениями.

Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется по гармоническому зако-ну, т. е. по закону синуса или косинуса.

Колебания бывают свободными и вынужденными. Свободные колеба-ния разделяют на незатухающие (собственные) и затухающие.

Свободные незатухающие или собственные колебания – это такие ко-лебания, которые совершаются за счёт энергии, сообщённой колебательной системе в начальный момент времени, при отсутствии внешнего воздейст-вия на систему.

Дифференциальное уравнение собственных механических гармониче-ских колебаний

0202

2=ω+ x

tx

dd ,

где x – координата точки, совершающей колебания; t – время; 0ω – цикли-ческая (круговая) частота собственных колебаний.

Уравнение механических гармонических незатухающих колебаний ( )00 ϕ+ω= tAx cos ,

где x – величина смещения точки от положения равновесия; A – амплитуда колебаний (величина максимального смещения); 0ω – циклическая (круго-вая) частота собственных незатухающих колебаний; 0ϕ – начальная фаза колебаний; ( )00 ϕ+ω t – фаза колебаний в момент времени t.

Скорость материальной точки, совершающей гармонические колеба-ния,

( )000 ϕ+ωω−== tAtx sin

ddv .

Ускорение материальной точки, совершающей гармонические коле-бания,

( ) xtAt

a 2000

20 ω−=ϕ+ωω−== cos

ddv .




3

Дифференциальное уравнение собственных электрических гармони-ческих колебаний

0202

2=ω+ q

tq

dd ,

где q – электрический заряд конденсатора; ω0 – циклическая (круговая) частота свободных незатухающих колебаний, LC10 =ω ; L – индуктив-ность контура; C – электрическая ёмкость контура.

Уравнение электрических гармонических колебаний ( )00 ϕ+ω= tqq mcos ,

где qm – амплитуда заряда конденсатора; ϕ0 – начальная фаза. Сила тока в колебательном контуре

( ) ( )

π

+ϕ+ω=ϕ+ω−=ϕ+ωω−==2000 tItItq

tqI mmm cossinsin

dd ,

где mI – амплитуда силы тока, ω= mm qI . Период колебаний – время одного полного колебания. За это время

фаза колебаний получает приращение π2 . Частота колебаний – число колебаний, совершаемых за единицу вре-

мени,

tN

=ν .

Формулы, связывающие период, частоту и циклическую частоту:

ν=

1T , πν=ω 2 , Tπ

=ω2 .

Свободные затухающие колебания – это такие колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени вследствие потерь энергии коле-бательной системой. В механической системе энергия расходуется на рабо-ту против сил трения и сопротивления, а в электрическом колебательном контуре – на джоулеву теплоту и на электромагнитное излучение.

Дифференциальное уравнение затухающих механических колебаний системы, в которой действует сила сопротивления vr

rrF −=c (где r – коэф-

фициент сопротивления; vr – скорость),

02 202

2=ω+δ+ x

tx

tx

dd

dd ,

где δ – коэффициент затухания, ( )mr 2=δ ; m – масса; 0ω – циклическая (круговая) частота собственных незатухающих колебаний.




4

Уравнение затухающих колебаний в случае слабого затухания ( )2

02 ω<δ

( ) ( ) ( )000 ϕ+ω=ϕ+ω= δ− teAttAx t coscos ,

где ( )tA – амплитуда затухающих колебаний, ( ) teAtA δ−= 0 ; A0 – начальная амплитуда затухающих колебаний; ω – частота затухающих колебаний,

220 δ−ω=ω . Дифференциальное уравнение затухающих электрических колебаний

в контуре, имеющем электрическое сопротивление R ,

0dd2

dd 2

02

2=ω+δ+ q

tq

tq ,

где δ – коэффициент затухания, ( )δ = R L2 ; L – индуктивность контура. Уравнение затухающих колебаний в случае слабого затухания

( 20

2 ω<δ )

( ) ( ) ( )000 ϕ+ω=ϕ+ω= δ− teqttqq tm coscos ,

где ( )tqm – амплитуда затухающих колебаний заряда конденсатора, ( ) t

m eqtq δ−= 0 ; q0 – начальная амплитуда колебаний; ω – циклическая час-

тота затухающих колебаний, 220 δ−ω=ω .

Время релаксации – это промежуток времени eτ , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в 7182,e ≈ раз,

( )( ) etA

tAe

=τ+

.

Время релаксации связано с коэффициентом затухания

δ=τ

1e .

Логарифмический декремент колебаний ( )

( )TtAtA

+=Λ ln ,

где T – период затухающих колебаний. Формула, связывающая логарифмический декремент колебаний с ко-

эффициентом затухания и периодом затухающих колебаний: Tδ=Λ .




5

Вынужденные колебания – это такие колебания, которые совершают-ся при наличии внешнего периодически изменяющегося воздействия.

Дифференциальное уравнение вынужденных механических колебаний системы, при наличии силы сопротивления vr

rrF −=c и изменяющейся по

гармоническому закону вынуждающей силы ( )tFF ω= cos0 , где F0 – ам-плитудное значение вынуждающей силы; ω – циклическая частота вынуж-дающей силы,

( )tmFx

tx

tx

ω=ω+δ+ cosdd

dd 02

02

22 ,

где m – масса тела; 0ω – циклическая частота собственных незатухающих колебаний системы.

Уравнение установившихся вынужденных колебаний ( )ϕ∆−ω= tAx cos ,

где А – амплитуда смещения тела от положения равновесия; ω – цикли-ческая частота вынужденных колебаний, совпадающая с частотой вынуж-дающей силы; ϕ∆ – разность фаз между колебаниями вынуждающей силы и тела.

Амплитуда и разность фаз ϕ∆ вынужденных колебаний

( ) 222220

0

4 ωδ+ω−ω=

m

FA , 220

2ω−ω

ωδ=ϕ∆ arctg .

Амплитуда вынужденных колебаний зависит от соотношения между циклическими частотами вынуждающего воздействия ω и собственных колебаний 0ω . Резонансная частота и резонансная амплитуда

220 2δ−ω=ωрез ,

220

0

2 δ−ωδ=

m

FAрез .

Дифференциальное уравнение вынужденных электрических колеба-ний, в контуре, имеющем электрическое сопротивление R , при наличии вынуждающей ЭДС E , изменяющейся по гармоническому закону

( )tm ω= cosEE , где Em – амплитудное значение ЭДС; ω – циклическая час-тота изменения ЭДС,

( )tL

qtq

tq m ω=ω+δ+ cos

dd

dd E2

02

22 ,

где δ – коэффициент затухания, ( )δ = R L2 ; L – индуктивность контура.




6

Уравнение установившихся вынужденных электрических колебаний

( )q q tm= −cos ω ψ ,

где ψ – разность фаз колебаний заряда конденсатора и вынуждающей ЭДС источника тока.

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний заряда конден-сатора

( )q

LC

L Rm

m m=− +

=

−

+

E E

ω ω δ ω ωω

ω02 2 2 2 2 2

24 1.

Разность фаз колебаний заряда конденсатора и вынуждающей ЭДС источника тока

ψδω

ω ωω

ω=

−=

−arctg arctg2

102 2

R

CL

.

Амплитуда вынужденных колебаний зависит от соотношения между циклическими частотами вынуждающего воздействия ω и собственных ко-лебаний 0ω . Резонансная частота и резонансная амплитуда

220 2δ−ω=ωрез ,

2202 δ−ωδ

=m

q mm

Eрез .

Сложение колебаний. 1) Складываются два гармонических колебания одного направления и

одинаковой частоты ( )0111 cos ϕ+ω= tAx , ( )0222 cos ϕ+ω= tAx .

Уравнение результирующего колебания, которое также будет гармо-ническим

( )0ϕ+ω= tAx cosрезрез .

Амплитуда и начальная фаза результирующего колебания

( )01022122

21рез cos2 ϕ−ϕ++= AAAAA ,

( ) ( )( ) ( )022011

0220110 ϕ+ϕ

ϕ+ϕ=ϕ

coscossinsin

arctgAAAA

,

где A1 и A2 – амплитуды складываемых колебаний; 01ϕ и 02ϕ – началь-ные фазы складываемых колебаний.




7

2) Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми амплитудами и близкими частотами ω∆+ω=ω 21 ,

( )21 ωω<<ω∆ ,

( )tAx 11 cos ω= , ( )tAx 22 cos ω= . Уравнение результирующих колебаний, которые не являются гармо-

ническими и называются биениями,

( )ttAx ω

ω∆

= cos2

cos2 ,

где ω∆ – частота биений; ω – частота колебаний, ( ) 221 ω+ω=ω . Амплитуда и период биений

ω∆

= tAA2

cos2б , ω∆π

=2T .

3) Складываются два взаимно перпендикулярных гармонических ко-лебания одинаковой частоты

( )011 ϕ+ω= tAx cos , ( )022 ϕ+ω= tAy cos . Уравнение траектории движения точки

( ) ( )01022

0102212

2

1

2sincos2 ϕ−ϕ=ϕ−ϕ−+

AAyx

Ay

Ax .

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей гармониче-ские колебания,

( )0222

2

21

2ϕ+ωω== tmAmW sinк

v .

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармони-ческие колебания,

( )0222

22

21

2ϕ+ωω=

ω= tmAxmW cosп .

Полная механическая энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания,

2

22 AmWWE ω=+= пкмех .

Энергия электрического поля в колебательном контуре




8

( )02

22

22ϕ+ω== tCUCUW CmC cosэ ,

где C – электрическая ёмкость конденсатора; UC – напряжение на конден-

саторе; UCm – амплитудное значение напряжения, U qCCmm= .

Энергия магнитного поля в колебательном контуре

( )02

22

22ϕ+ω== tLILIW m sinм ,

где L – индуктивность катушки; I – сила тока в катушке; I m – амплитуд-ное значение тока, I qm m= ω .

Полная энергия электрических колебаний в контуре

CqqLLICUWWW mmmm2222

22222

мэ =ω

=+=+= .

Гармонический осциллятор – это система, совершающая гармониче-ские колебания.

Добротность колебательной системы в случае слабого затухания: ( )

δω

≈Λπ

≈∆

π=2

2 0WtWQ ,

где ( )tW – энергия колебательной системы в произвольный момент време-ни; W∆ – убыль энергии за один период затухающих колебаний; Λ – лога-рифмический декремент колебания; δ – коэффициент затухания.

Период, собственная циклическая частота и коэффициент затухания колебаний математического маятника

gT l

π= 20 , l

g=ω0 ,

mr

2=δ ,

где l – длина математического маятника; g – ускорение свободного паде-ния; r – коэффициент сопротивления среды; m – масса колеблющейся ма-териальной точки.

Период, собственная циклическая частота и коэффициент затухания колебаний физического маятника

cigmITl

π= 20 , I

gm cil=ω0 ,

Ir

2=δ ,

где I – момент инерции маятника относительно оси колебаний; cil – рас-стояние от оси колебаний до центра масс.




9

Период, собственная циклическая частота и коэффициент затухания колебаний пружинного маятника

kmT π= 20 ,

mk

=ω0 , mr

2=δ ,

где k – коэффициент упругости (жесткости) пружины. Период, собственная циклическая частота, коэффициент затухания

колебаний и добротность (в случае слабого затухания) электрического ко-лебательного контура

LCT π= 20 , LC1

0 =ω , L

R2

=δ , CL

RQ 1= ,

где L – индуктивность катушки; C – электрическая ёмкость конденсатора; R – активное сопротивление контура.

Период, собственная циклическая частота, коэффициент затухания колебаний и добротность (в случае слабого затухания) электрического ко-лебательного контура

LCT π= 20 , LC1

0 =ω , L

R2

=δ , CL

RQ 1= ,

где L – индуктивность катушки; C – электрическая ёмкость конденсатора; R – активное сопротивление контура.




10

Физика волн Волной называется процесс распространения колебаний в простран-

стве. Физическая природа волн может быть различной (механическая, элек-тромагнитная, гравитационная, волны на поверхности жидкости), но опи-сываются они одинаковыми по структуре уравнениями.

Волновая поверхность – это геометрическое место точек, колеблю-щихся в одной фазе.

Волновой фронт – это геометрическое место точек, до которых дошла волна, т. е. самая первая волновая поверхность. По форме волновой по-верхности волны разделяют на плоские, сферические и цилиндрические.

Бегущая волна – это такая волна, у которой волновые поверхности пе-ремещаются в пространстве.

В продольной волне колебания происходят вдоль направления рас-пространения волны, в поперечной волне – перпендикулярно направлению распространения волны.

Волновое уравнение упругих волн

2

2

22

2

2

2

2

2 1tzyx ∂ξ∂

=∂

ξ∂+

∂ξ∂

+∂

ξ∂v

,

где ξ – смещение точек среды; v – фазовая скорость волны. Уравнение плоской бегущей волны

( ) ( )0ϕ+−ω=ξ kxtAt,x cos ,

где ( )t,xξ – смещение колеблющейся точки среды с координатой x в мо-мент времени t; A – амплитуда волны; ω – циклическая (круговая) частота; k – волновое число; 0ϕ – начальная фаза колебаний; ( )0ϕ+−ω kxt – фаза волны в момент времени t.

Волновое число характеризует пространственную периодичность вол-ны

vω

=λπ

=2k ,

где λ – длина волны; v – фазовая скорость волны. В электромагнитной волне колеблются векторы напряжённости элек-

трического поля Er

и магнитного поля Hr

. Направления их колебаний все-гда взаимно перпендикулярны, а плоскость, в которой они колеблются, перпендикулярна направлению распространения волны (вектору фазовой скорости vr ). Векторы E

r, H

r, vr образуют правовинтовую систему. Будем

считать, что волна распространяется вдоль оси X со скоростью vr , тогда




11

вектор Er

направлен параллельно оси Y , а вектор Hr

направлен парал-лельно оси Z .

Волновое уравнение электромагнитных волн

2

2

22

2 1t

E

x

E yy

∂

∂=

∂

∂

v,

2

2

22

2 1tH

xH zz

∂∂

=∂

∂v

,

где v – скорость электромагнитной волны в среде; εµ= cv ; c – ско-

рость электромагнитной волны в вакууме, см800 1031 ⋅=µε=c ; ε – ди-

электрическая проницаемость среды; µ – магнитная проницаемость среды;

0ε – электрическая постоянная, мФ120 10858 −⋅=ε , ; µ0 – магнитная посто-

янная; мГн70 104 −⋅π=µ .

Уравнение плоской бегущей электромагнитной волны ( )0ϕ+−ω= kxtEE my cos ,

( )0ϕ+−ω= kxtHH mz cos , где mE – амплитудное значение напряжённости электрического поля; mH – амплитудное значение напряжённости магнитного поля; ω – частота волны; k – волновое число; x – расстояние от источника волны до той точки, в ко-торой измеряются yE и zH ; 0ϕ – начальная фаза. Колебания электриче-ского и магнитного векторов в бегущей электромагнитной волне происхо-дят в одной фазе.

Связь модулей электрического и магнитного векторов в электромаг-нитной волне

HE µµ=εε 00 .

Объёмная плотность энергии

VW

dd

=w ,

где W – энергия; V – объём. Объёмная плотность энергии упругих (звуковых) волн

2222

22

ξ

ρ=ερ

+ρ

=+=t

vdd

пкvwww ,




12

где ρ – равновесная плотность среды; v – колебательная скорость, т. е.

скорость смещения частиц; t

vddξ

= ; ε – относительная деформация; xd

dξ=ε ;

ξ – смещение точки от положения равновесия; v – скорость волны. Объёмная плотность энергии электромагнитных волн

vw HEHEHEHE=µµεε=µµ=εε=

µµ+

εε= 00

20

20

20

20

22.

Вектор плотности потока энергии волны. Для упругой (звуковой) вол-ны – это вектор Умова, а для электромагнитной – вектор Умова–Пойнтинга.

Вектор Умова для плоской волны

vwrr=U , vr

r 2

ξ

ρ=t

Udd

Вектор Умова–Пойнтинга

vwrr=S , [ ] v

vrrrrEHHES =×= .

Интенсивность волны – среднее значение плотности потока энергии волны, где усреднение выполняется за большой промежуток времени, а для гармонических волн за целое число периодов.

Интенсивность упругой (звуковой) волны

vw== UIr

.

Для плоской волны – 22

21 AI ωρ= v , для сферической –

202

21

ωρ=

rAI v , где ρ – плотность среды; v – скорость волны; ω – цик-

лическая частота колебаний частиц среды; A – амплитуда колебаний частиц среды; 0A –амплитуда колебаний на расстоянии 1 м от центра волны; r – расстояние от источника сферической волны.

Интенсивность электромагнитной волны

vw== SIr

.




13

Для плоской волны – 2

0

021

mEIµµεε

= , для сферической волны –

20

0

021

µµεε

=r

EI m , где Em – амплитудное значение напряженности элек-

трического поля в электромагнитной волне. Поток энергии через некоторую поверхность площадью F

∫ ⊥=F

w FI dФ ,

где I – интенсивность волны; ⊥F – площадь поверхности, перпендикуляр-ной к направлению распространения волны.

Интерференция волн – это явление, возникающее при наложении ко-герентных волн, и заключающееся в том, что интенсивность результирую-щей волны больше или меньше суммы интенсивностей складываемых волн.

Интенсивность результирующей волны при наложении двух коге-рентных волн

( )ϕ∆++= cos2 2121рез IIIII ,

где ϕ∆ – разность фаз двух волн. Связь между разностью фаз ϕ∆ и разностью хода ∆ двух волн

∆λπ

=ϕ∆2 .

В акустике: разность хода двух волн равна разности путей двух волн. В оптике: оптическая разность хода двух волн – разность оптических

путей:

12 LL −=∆ . Оптический путь – произведение показателя преломления среды n на

путь S , пройденный световой волной в данной среде: SnL = .

Условие существования интерференционного максимума

mπ±=ϕ∆ 2 , или 2

2 0λ±=∆ m ,

где m – порядок интерференционного максимума; m = 0, 1, 2, ...; 0λ – дли-на волны в вакууме.




14

Интенсивность результирующей волны в точках интерференционного максимума

212121 2 IIIIIII +>++=рез ,

Условие существования интерференционного минимума

mπ±π=ϕ∆ 2 , или ( )2

12 0λ+±=∆ m ,

где m – порядок интерференционного минимума; m = 0, 1, 2, ...; 0λ – дли-на волны в вакууме.

Интенсивность результирующей волны в точках интерференционного минимума

212121 2 IIIIIII +<−+=рез ,

Оптическая разность хода световых волн, возникающая при отраже-нии монохроматического света от тонкой плоскопараллельной пластины,

( )2

sin2 0221

22

λ+α−=∆ nnd , или ( )

2cos2 0

2λ

+γ=∆ nd ,

где d – толщина пластинки; 2n – показатель преломления пластинки; 1n – показатель преломления той среды, из которой падает световая волна; α – угол падения; γ – угол преломления; слагаемое 20λ появляется только при отражении света от границы раздела с оптически более плотной средой

Радиусы светлых свmr и темных тmr колец Ньютона в отражённом свете

( )n

Rmrm 212 0λ

−=св , n

Rmrm0λ

=т ,

где m – номер кольца, ...,,,m 321= ; R – радиус кривизны линзы; n – по-казатель преломления среды между линзой и стеклянной пластинкой; 0λ – длина волны в вакууме.

Дифракция волн – это явление огибания волнами препятствий, т. е. проникновение волн в область геометрической тени. Дифракция является результатом многолучевой интерференции.

Радиусы зон Френеля на сферической волновой поверхности

λ+

=ρ mba

bam ,

где a – радиус волновой поверхности; b – расстояние от вершины волно-вой поверхности до точки наблюдения; m – номер зоны, ...,,,m 321= .




15

Радиусы зон Френеля на плоской волновой поверхности

λ=ρ bmm ,

где m – номер зоны, ...,,,m 321= ; b – расстояние от точки наблюдения до волновой поверхности.

Амплитуда колебаний в центре экрана при дифракции Френеля от круглого отверстия

( ) ( )2

12

1 14321

mmm

m AAAAAAAA −−=−−+−+−= K ,

где m – число видимых зон Френеля, открываемых отверстием; 1A – ам-плитуда колебаний, создаваемых первой зоной; mA – амплитуда колебаний, создаваемых последней открытой зоной.

Условие существования дифракционных минимумов от одной щели, на которую свет падает нормально,

( ) ,mb λ±=ϕsin где b – ширина щели; ϕ – угол между нормалью к поверхности щели и на-правлением на точку экрана, в которой наблюдается дифракционная карти-на; m – порядок дифракционного минимума, ...,,,m 321= .

Условие существования дифракционных максимумов от одной щели, на которую свет падает нормально,

( ) ( ) ,mb2

12sin λ+±≈ϕ

где m – порядок дифракционного максимума, ...,,,m 321= ; ϕ – угол между нормалью к поверхности щели и направлением на точку экрана, в которой наблюдается дифракционный максимум.

Дифракционная решётка состоит из большого числа щелей. Период дифракционной решётки (постоянная дифракционной решёт-

ки)

Nbad l

=+= ,

где a – часть дифракционной решётки между щелями; b – ширина одной щели; l – длина дифракционной решётки; N – число щелей дифракцион-ной решётки.

Условие существования главных дифракционных минимумов для ди-фракционной решётки, на которую свет падает нормально (совпадает с ус-ловием для одной щели)

( ) ,mb λ±=ϕsin




16

где b – ширина одной щели; ϕ – угол между нормалью к поверхности ди-фракционной решётки и направлением на точку экрана, в которой наблю-дается дифракционный минимум; m – порядок дифракционного минимума,

...,,,m 321= Условие существования главных дифракционных максимумов для

дифракционной решётки, на которую свет падает нормально, ( ) ,md λ±=ϕsin

где d – период решётки; ϕ – угол между нормалью к поверхности дифрак-ционной решётки и направлением на точку экрана, в которой наблюда-ется дифракционный максимум; m – порядок дифракционного максимума,

...,,,m 321= Поляризованная волна – это такая волна, в которой колебания каким-

либо образом упорядочены, например, происходят в одной плоскости. По-ляризованными могут быть только поперечные волны. Световая волна, во всех точках которой световой вектор (вектор E

r) колеблется только в одном

направлении, называется плоскополяризованной или линейно поляризован-ной, и является полностью поляризованной волной. Плоскость, проходящая через направление колебаний светового вектора и направление распростра-нения волны, называется плоскостью поляризации.

Световая волна, в которой существуют всевозможные равновероятные направления колебаний светового вектора, называется неполяризованной или естественным светом.

Свет, состоящий из полностью поляризованного и естественного, на-зывается частично поляризованным и характеризуется степенью поляриза-ции.

Степень поляризации

p I II I

=−+

max min

max min,

где I max и I min – соответственно максимальная и минимальная интенсив-ности частично поляризованного света, пропускаемого анализатором.

Закон Малюса

( )α= 2cosпадII ,

где I – интенсивность волны, прошедшей через поляризатор; падI – интен-сивность линейно поляризованной волны, падающей на поляризатор; α – угол между плоскостью поляризации падающей волны и плоскостью поля-ризации поляризатора. Если через поляризатор пропустить естественный




17

свет, то из него выйдет линейно поляризованный свет, интенсивностью 2естII = .

Закон Брюстера

( )tg α =nn2

1,

где α – угол падения волны на границу раздела двух диэлектриков, при котором отражённая волна будет полностью поляризована; n1 – показатель преломления того диэлектрика, из которого свет падает на границу; n2 – показатель преломления другого диэлектрика.

Дисперсия света – зависимость показателя преломления n вещества от частоты ν (длины волны λ ) света или зависимость фазовой скорости v световых волн от их частоты ν .

Фазовая скорость v , групповая скорость u и связь между ними (формула Рэлея)

kω

=v , k

uddω

= , λ

λ−=ddvvu ,

где λ – длина волны в среде.




18

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Точка совершает гармонические колебания с частотой 010,=ν Гц. В момент времени, принятый за начальный, точка имела мак-

симальное смещение 001,x =max мм. Написать с числовыми коэффициента-ми уравнение колебаний точки.

Дано: Решение 010,=ν Гц

001,x =max мм x –?

Первый способ. Уравнение колебаний точки можно записать в виде

( )01sin ϕ+ω= tAx (1.1) где A – амплитуда колебаний; ω – циклическая частота; t – время; 01ϕ – начальная фаза.

По определению амплитуда колебаний

maxxA = . (1.2) Циклическая частота ω связана с частотой ν соотношением

πν=ω 2 . (1.3) В момент времени 0=t формула (1.1) принимает вид

( )01ϕ= sinmax Ax , откуда начальная фаза

( ) mA

xπ+

π==

=ϕ 2

21arcsinarcsin max

01 ( )...,,,m 210= .

Изменение фазы на π2 не изменяет значения колеблющейся величи-ны, поэтому можно принять 0=m и тогда

201π

=ϕ . (1.4)

С учётом равенств (1.2) – (1.4) уравнение колебаний (1.1) примет вид

( )

π

+π=ϕ+πν=2

0200012 01 t,,tAx sinsin мм.

Второй способ. Уравнение колебаний точки можно записать в виде

( )02cos ϕ+ω= tAx , (1.5) В момент времени 0=t формула (1.5) принимает вид

( )02ϕ= cosmax Ax ,




19

откуда начальная фаза

( ) π==

=ϕ m

Ax 202 1arccosarccos max ( )...,,,m 210= . (1.6)

Изменение фазы на π2 не изменяет значения колеблющейся величи-ны, поэтому можно принять 0=m и тогда

002 =ϕ . С учётом равенства (1.2), (1.3), (1.6) уравнение колебаний (1.5) примет

вид ( ) ( )t,,tAx π=ϕ+πν= 020cos0012cos 02 мм.

Ответ: ( )t,,x π= 020cos001 мм.




20

Пример 2. Складываются два колебания одинакового направления,

выраженные уравнениями: ( )

τ+

π= 111

2cos tT

Ax и ( )

τ+

π= 222

2cos tT

Ax ,

где 0031 ,A = см; 0022 ,A = см; 611 =τ с; 312 =τ с; 002,T = с. В выбран-ном масштабе произвести сложение указанных колебаний методом вектор-ных диаграмм в момент времени 0=t . Написать уравнение результирую-щего колебания с числовыми коэффициентами.

Дано: 1. Решение

( )1112

τ+π

= tT

Ax cos

( )2222

τ+π

= tT

Ax cos

0031 ,A = см 0022 ,A = см

611 =τ с 312 =τ с

002,T = с x –?

Преобразуем оба уравнения

τ

π+

π= 111

22T

tT

Ax cos и

τ

π+

π= 222

22T

tT

Ax cos .

Сравним их с уравнением, записанным в кано-нической форме ( )0cos ϕ+ω= tAx . Получим, что циклические частоты колебаний одинаковы:

Tπ

=ω2 .

Начальные фазы первого и второго колебаний соответственно равны

1012

τπ

=ϕT

, 2022

τπ

=ϕT

.

Произведём вычисления

1c002

22 −π=π

=π

=ω,T

; рад524061

0022

01 ,,

=⋅π

=ϕ ;

рад05131

0022

02 ,,

=⋅π

=ϕ .

Таким образом, исходные колебания происходят по законам ( )5240cos0031 ,t,x +π= см и ( )051cos0022 ,t,x +π= см.

Так как складываются гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты, то результирующее колебание является гармониче-ским, совершается в том же направлении и имеет ту же частоту, что и сла-гаемые колебания. Уравнение результирующего колебания можно записать в виде

( )0ϕ+ω= tAx cos .




21

Для построения векторной диаграммы сложения двух колебаний од-ного направления нужно фиксировать какой-либо момент времени. Обычно векторную диаграмму строят для момента времени 0=t .

Изобразим на рис. 1 векторы 1Ar

и 2Ar

, длина которых равна амплитуде колебаний. Для этого отложим отрезки длиной 0031 ,A = см и 0022 ,A = см под углом °==ϕ 30рад524001 , и °==ϕ 60рад05102 , к оси X0 .

Рис. 1 Результирующее колебание будет происходить с той же частотой ω ,

что и складываемые колебания. Вектор Ar

, длина которого равна амплитуде результирующего колебания, равен векторной сумме 1A

r и 2A

r

21 AAArrr

+= . Согласно теореме косинусов

( )01022122

21 cos2 ϕ−ϕ++= AAAAA .

Начальную фазу результирующего колебания можно также опреде-лить непосредственно из векторной диаграммы (см. рис. 1).

( ) ( )( ) ( )022011

0220110 ϕ+ϕ

ϕ+ϕ=ϕ

coscossinsinarctg

AAAA .


( ) см4,485240051cos0020032002003 22 =−⋅⋅++= ,,,,,,A ;

( ) ( )( ) ( ) ( ) 73500,898arctg

051cos0025240cos003051sin0025240sin003arctg0 ,,,,,,,,,

==++

=ϕ рад.

0 Xx2x 1x

2Ar

1Ar

Ar

0ϕ

01ϕ02ϕ




22

Таким образом, уравнение результирующего колебания можно запи-сать в виде

( )7350844 ,t,x +π= cos см. Ответ: ( )7350844 ,t,x +π= cos см.




23

Пример 3. Материальная точка участвует одновременно в двух вза-имно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых

( )tAx 11cos ω= , ( )tAy 22 ω= cos ,

где 0011 ,A = см; 11 c−π=ω ; 0022 ,A = см; 1

2 c2 −π=ω . Найти уравнение траектории точки ( )xfy = . Построить траекторию с соблюдением масшта-ба и указать направление движения точки.

Дано: 2. Решение ( )tAx 11cos ω= ( )tAy 22sin ω=

0011 ,A = см 1

1 c−π=ω 0022 ,A = см

12 c2 −π=ω

( )xfy = – ?

Чтобы определить траекторию точки, исключим время из уравнений (3.1) и (3.2).

( )tAx 11cos ω= , (3.1)

( )tAy 22 ω= cos . (3.2)

Заметив, что 21

2ω

=ω и

ω

= tAy2

cos 12 , приме-

ним формулу косинуса половинного угла для выражения (3.2)

( )2

12

12

12

tAtAy ω+±=

ω

=coscos . (3.3)

Из выражения (3.1) получим

( )1

1 Axtx =ω= cos . (3.4)

Подставим выражение (3.4) в уравнение (3.3):

xA

AAAx

Ay1

22

221

2 222

1+±=

+

±= , или x,,y 002002 +±= см. (3.5)

Последнее уравнение представляет собой уравнение параболы, ось ко-торой совпадает с осью X. Как показывают уравнения (3.1) и (3.2), ампли-туда колебаний точки по оси X равна 1,00 см, а по оси Y равна 2,00 см. Сле-довательно, абсциссы всех точек траектории заключены в пределах от –1,00 до 1,00 см, а ординаты – от –2,00 до 2,00 см. Для построения траектории найдем по уравнению (3.5) значения y , соответствующие ряду значений x , удовлетворяющих условию 1≤x ,00 см:




24

x x,,y 002002 +±= x x,,y 002002 +±=

–1,00 0 0 ± 1,41 –0,750 ± 0,707 0,500 ± 1,73 –0,500 ± 1,00 1,00 ± 2,00

Начертив координатные оси и выбрав единицу длины – сантиметр, построим точки. Соединив их плавной кривой, получим траекторию ре-зультирующего колебания точки (рис. 2 ).

Рис. 2

Она представляет собой часть пара-болы, заключённую внутри прямо-угольника амплитуд ABCD. В на-чальный момент ( 0=t ) имеем

001,x = см, 002,y = см (точка нахо-дится в положении А). При 1=t с получим 1=x ,00 см и 2−=y ,00 см (точка находится в положении D). После этого она будет двигаться в обратном направлении.

Ответ: x,,y 002002 +±= см.

X101−

Y

1

1−

2−

AB

C D




25

Пример 4. Частица массой 010,m = г совершает гармонические коле-бания с периодом 002,T = с. Полная энергия колеблющейся частицы

100=E мкДж. Определить амплитуду колебаний и наибольшее значение силы maxF , действующей на частицу.

Дано: Решение кгг 310010010 −⋅== ,,m

002,T = с 100=E мкДж 610100 −⋅= Дж

A –?; maxF –?

Для определения амплитуды колеба-ний воспользуемся выражением для пол-ной энергии частицы:

2

22 AmE ω= ,

где Tπ=ω 2 . Отсюда амплитуда

mETA 2

2π= . (4.1)

Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, дейст-вующая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выра-жена соотношением kxF = , где k – коэффициент квазиупругой силы; x – смещение колеблющейся точки. Максимальной сила будет при максималь-ном смещении maxx , равном амплитуде A ,

kAkxF == maxmax . (4.2)

Коэффициент k выразим через период колебаний.

2

22 4

Tmmk π

=ω= . (4.3)

Подставив выражение (4.1) и (4.3) в (4.2) и произведя упрощения, по-лучим

TmE

mET

TmF

2222

42

2 π=

ππ

=max . (4.4)


мм045м0450010010101002

1432002

3

6,,

,,,A ==

⋅⋅⋅

⋅= −

−;

мН444H10444101001001020021432 363

max ,,,,

,F =⋅=⋅⋅⋅⋅⋅

= −−− .

Ответ: мм045,A = ; мН444max ,F = .




26

Пример 5. Гиря массой 500=m г подвешена к пружине, коэффици-ент жёсткости которой мН032,k = , и совершает затухающие колебания. Определить их период, если за время двух колебаний ( 2=n ) амплитуда уменьшилась в 20=N раз. Записать дифференциальное уравнение зату-хающих колебаний с числовыми коэффициентами.

Дано: Решение 5000500 ,m == г кг

мН032,k = Tntt =− 12

2=n

202

1 == NAA

T –? Диффер. ур-е –?

Дифференциальное уравнение затухающих ко-лебаний имеет вид

02 202 =ω+δ+ x

tx

tx

dd

dd2

, (5.1)

где δ – коэффициент затухания; 0ω –циклическая частота собственных незатухающих колебаний пру-жинного маятника.

Для записи уравнения необходимо найти значе-ния δ и 0ω .

Циклическая частота собственных колебаний пружинного маятника

mk

=ω0 . (5.2)

Амплитуда затухающих колебаний для двух моментов времени 1t и 2t

101

teAA δ−= ; 202

teAA δ−= Рассмотрим отношение амплитуд

nTttt

tee

eAeA

AAN δδ−δ

δ−

δ−==== 12

2

1

0

0

2

1 .

Отсюда получаем выражение для коэффициента затухания

NnT

ln1=δ . (5.3)

Период колебаний

220

22δ−ω

π=

ωπ=T ,

где ω – циклическая частота затухающих колебаний, 220 δ−ω=ω .

Воспользуемся формулой (5.3)




27

220

2

−ω

π=

nTN

Tln

.

Решая это квадратное уравнение относительно T , получим

0

2

2ln

ω

+π= n

N

T

24. (5.4)

Произведём вычисления по формулам (5.2), (5.4) и (5.3)

10 008

5000320 −===ω c,,m

k ; 220 064 −=ω с, ;

c4lnln 2

0

2

2

8070008

2014344 22

,,

,n

N

T =+⋅

=ω

+π= .

8612080702

11 ,,

NnT

=⋅

==δ lnln .

Дифференциальное уравнение (5.1) примет вид

00647232 =++ x,tx,

tx

dd

dd2

.

Дифференциальное уравнение (5.1) примет вид

00647232 =++ x,tx,

tx

dd

dd2

.

Ответ: c8070,T = , 00647232 =++ x,tx,

tx

dd

dd2

.




28

Пример 6. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью см015,=v . Период колебаний точек шнура равен 201,T = с, а амплитуда 002,A = см. Определить: длину волны λ ; фазу колебаний ϕ ,

смещение точек ξ , колебательную скорость td

dξ и ускорение 2tdd2ξ точки, от-

стоящей на 045,x = м от источника волны в момент 004,t =∗ с; разность фаз ϕ∆ колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих от источника волны на 0201 ,x = м и 0302 ,x = м.

Дано: Решение см015,=v

201,T = с 002,A = см 045,x = 004,t =∗ с

0201 ,x = м 0302 ,x = м

λ – ? ( )∗ϕ t,x –? ( )∗ξ t,x –?

( )tt,x

dd ∗ξ –?

( )2

2

tt,x

dd ∗ξ –?

12 ϕ−ϕ=ϕ∆ –?

Длина волны равна расстоянию, которое волна проходит за один период, и может быть найдена из от-ношения

Tv=λ . Подставив значения величин v и T , получим

018201015 ,,, =⋅=λ м. Запишем уравнение волны

( )xktA −ω=ξ cos , (6.1) где ξ – смещение колеблющейся точки; ω – цикличе-ская частота; k – волновое число, λπ= 2k ; x – рас-стояние точки от источника волны.

Фаза колебаний точки с координатой x в момент времени t определяется выражением, стоящим в урав-нении волны под знаком косинуса,

λ−π=

λπ

−π

=−ω=ϕx

Ttxt

Txkt 222 ,

где учтено, что Tπ

=ω2 и

λπ

=2k .

Произведём вычисления фазы колебаний для момента времени ∗t

( ) рад245018045

2010041432 ,

,,

,,,t,x =

−⋅=ϕ ∗ .

Смещение точки определим, подставив в уравнение волны (6.1) зна-чения амплитуды A и фазы ( )∗ϕ t,x ,

( ) 0115030002245002 ,,,,,t,x =⋅=⋅=ξ ∗ cos см.




29

Колебательную скорость точки найдём, взяв первую производную от смещения колеблющейся точки (уравнение волны) по времени:

( ) ( )kxtT

AkxtAt

−ωπ

−=−ωω−=ξ sinsin

dd 2 .

Произведём вычисление колебательной скорости в момент времени ∗t

( ) ( )[ ] ссмsinsind

d 059245201

00214322 ,,,

,,t,xT

Att,x

=⋅⋅

−=ϕπ

−=ξ ∗

∗.

Ускорение есть первая производная от скорости по времени, поэтому

( )[ ] ( ) ( )kxtT

AkxtAkxtAtt

−ωπ

−=−ωω−=−ωω−=ξ cosсossin

dd

dd2

2

22

24 .

Произведём вычисления ускорения точки в момент времени ∗t

( ) ( )[ ] 2ссмcoscosd

d 627245201

002143442

2

2

2

2

2,,

,,,t,x

TA

tt,x

=⋅⋅

−=ϕπ

−=ξ ∗

∗.

Найдем разность фаз ϕ∆ колебаний двух точек волны

( ) ( ) ( ) ( )121212122 xxxxkkxtkxt −λπ

=−=−ω−−ω=ϕ−ϕ=ϕ∆ .

Подставив значения величин λ , 1x , 2x , получим

( ) рад4930200300181432 ,,,,,

=−⋅

=ϕ∆ .

Ответ: 018,=λ м, 245,=ϕ рад, ( ) 011,t,x =ξ ∗ см,

( )ссм059

dd ,

tt,x

=ξ ∗

, ( ) 2

2

2ссм627

dd ,

tt,x

=ξ ∗

, рад493,=ϕ∆ .




30

Пример 7. Свет с длиной волны 555=λ нм падает на поверхность стеклянного клина под углом °=α 20 . Показатель преломления стекла

551,n = , угол при вершине 001 ′=ϕ , . Определить расстояние S∆ между дву-мя соседними минимумами при наблюдении интерференции в отражённом свете.

Дано: Решение 555=λ нм

°=α 20 551,n =

001 ′=ϕ , . S∆ – ?

На рис. 3 показан ход лучей, отражённых от нижней и верхней поверхностей клина. При угле клина 001 ′=ϕ , толщина клина d всюду мала. Это позволяет считать, что интерференционная картина при рассмотрении ее в отра-жённом свете локализована на верхней поверхности клина (пунктирная линия,

на которой пересекаются лучи, располагается на верхней поверхности кли-на).

На рис. 4 показаны величины S∆ , ϕ и толщина клина в местах распо-ложения соседних минимумов m -го и ( 1+m )-го порядков.

Условие интерференционного минимума

( )2

12 λ+=∆ m , K,,,m 210 ±±= ,

где ∆ – оптическая разность хода лучей; m – порядок интерференционного минимума.

Рис. 3 Рис. 4

Условия для двух соседних интерференционных минимумов m -го и ( 1+m )-го порядков

( ) ( )2

122 22 λ+=α− mndm sin ,

( ) ( )[ ]2

1122 221

λ++=α−+ mndm sin .

αα

ϕϕ

S∆

1+mdmd




31

Вычтем одно выражение из другого и разделим левую и правую части

полученного уравнения на ( )α− 222 sinn

( )α−

λ=−+

221

2 sinndd mm .

Как видно из рис. 4, ( )ϕ∆=−+ sinSdd mm 1 .

Тогда расстояние между соседними темными полосами

( ) ( )α−ϕ

λ=∆

222 sinsin nS .

Подставим числовые значения и произведём вычисления

( ) ( )мм0,661мкм

sinsin==

°−′=∆ 631

205510012

555022,,

,S .

Ответ: мм0,661=∆S .




32

Пример 8. Радиус третьей зоны Френеля для сферического фронта 0033 ,=ρ мм. Определить радиус девятой зоны Френеля 9ρ для сфериче-

ского фронта. Сколько зон Френеля должно открывать круглое отверстие, чтобы интенсивность в центре дифракционной картины была бы больше: три или девять?

Дано: Решение 0033 ,=ρ мм

9ρ –? Воспользуемся формулой для радиуса внешней гра-

ницы m -й зоны Френеля сферической волны

λ+

=ρ mba

abm .

Радиус третьей зоны: λ+

=ρba

ab33 .

Радиус девятой зоны: λ+

=ρba

ab99 .

Из двух последних формул следует, что 339 ρ=ρ .

2057310039 ,,, =⋅=ρ мм. Амплитуда колебаний в центре экрана при дифракции Френеля от

круглого отверстия, открывающего три зоны,

2231

321AAAAAA* +=+−= ,

где 1A , 2A и 3A – амплитуды волн от первой, второй и третьей зон. Если отверстие открывает девять зон, то

2291 AAA ** += .

Так как амплитуда колебаний волн от различных зон Френеля моно-тонно убывает с ростом номера зоны, то есть 39 AA < , то

*** AA < . Интенсивность волны прямо пропорциональна квадрату амплитуды

волны, поэтому *** II < .

Таким образом, для получения большей интенсивности отверстие должно открывать три зоны Френеля.

Ответ: 2059 ,=ρ мм, отверстие должно открывать три зоны Френеля.




33

Пример 9. На дифракционную решетку в направлении нормали к ее поверхности падает монохроматический свет. Период решетки

002,d = мкм. Определить наибольший порядок дифракционного максиму-ма, который дает эта решетка в случае красного ( 7000,=λкр мкм) и в слу-чае фиолетового ( 4100,=λф мкм) света.

Дано: Решение 002,d = мкм

7000,=λкр мкм 4100,=λф мкм

maxкрm –?

maxфm –?

Из формулы, определяющей положение главных максимумов дифракционной решетки, найдем порядок m дифракционного максимума

( )ϕλ

= sindm ,

где d – период решетки; ϕ – угол дифракции; λ – длина волны монохроматического света.

Так как ( )ϕsin не может быть больше 1, то число m не может быть больше λd , т. е.

λ≤

dm .

Подставив в это выражение числовые значения в микрометрах, полу-чим m для красных и фиолетовых лучей

6627000002 ,

,,m =≤кр , 884

4100002 ,

,,m =≤ф .

Необходимо учесть, что порядок максимумов является целым числом. Следовательно,

2=maxкрm , 4=maxфm .

Ответ: 2=maxкрm , 4=maxфm .




34

Пример 10. Пучок естественного света падает на полированную по-верхность стеклянной пластины ( 501,n =ст ), погружённой в жидкость. Угол между отражённым и падающим лучами o097,=ϕ . Определить пока-затель преломления жn жидкости, если отражённый свет максимально по-ляризован. Дано: Решение

o097,=ϕ 501,n =ст

жn – ?

Согласно закону Брюстера, пучок света, отражённый от диэлектрика, максимально поляризован в том случае, если тангенс угла падения численно равен относительному пока-зателю преломления

( )ж

стtgnnn ==α 21 ,

где 21n – показатель преломления второй среды (стекла) относительно пер-вой (жидкости).

Так как угол отражения равен углу падения, то (рис. 5)

Рис. 5

2ϕ

=α ,

следовательно,

ж

стtgnn

=

ϕ

2,

откуда

ϕ

=

2tg

стж

nn .


331131501

2097

501 ,,,

,

,n ==

=

otg

ж .

Ответ: 331ж ,n = .

α

ϕ




35

Пример 11. Два поляризатора 1N и 2N расположены так, что угол между их плоскостями пропускания составляет o060,=α . Определить, во сколько раз уменьшится интенсивность 0I естественного света при прохо-ждении через оба поляризатора. Коэффициент поглощения света в каждом поляризаторе 050,k = . Потери на отражение света не учитывать. Дано: Решение

o60=α kkk == 21

050,k =

2

0II – ?

Естественный свет, падая на поляризатор, поляризует-ся. Интенсивность поляризованного луча, в соответствии с законом Малюса,

естII21

1 = ,

где естI – интенсивность естественного света, 0II =ест .

С учетом поглощения света в поляризаторе интенсивность света, про-шедшего через первый поляризатор

( )101 121 kII −= .

Рис. 6

Плоско поляризованный луч света интенсивностью 1I падает на вто-рой поляризатор. Интенсивность 2I луча, вышедшего из поляризатора, оп-ределяется законом Малюса (без учета поглощения света)

( )α= 212 cosII ,

где α – угол между плоскостью колебаний в поляризованном пучке и плос-костью пропускания поляризатора.

Учитывая потери интенсивности на поглощение во втором поляриза-торе, получаем

( ) ( )α−= 2212 1 coskII .

1O1O

0I 1I 2I

1O1O

2O

2Oα




36

Таким образом, интенсивность 2I луча, прошедшего оба поляризато-ра,

( )( ) ( ) ( ) ( )α−=α−−= 220

22102 1

2111

21 coscos kIkkII .

Искомое уменьшение интенсивности при прохождении света через оба поляризатора

( ) ( )α−= 22

2

0

12coskI

I .

Произведём вычисления.

( ) ( ) 8680600501

222

2

0 ,,,I

I=

−=

ocos.

Таким образом, после прохождения света через два поляризатора ин-тенсивность его уменьшилась в 8,86 раза.

Ответ: 8682

0 ,II

= .




37

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 4

Вариант контрольной работы выбирается из таблицы по двум послед-ним цифрам номера зачётной книжки (шифра).

Номер варианта Порядковый номер задачи Предпоследняя

цифра шифра

Последняя цифра шифра

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 401 412 423 434 445 456 467 478 489 4100 2 402 413 424 435 446 457 468 479 490 491 3 403 414 425 436 447 458 469 480 481 492 4 404 415 426 437 448 459 470 471 482 493

0, 1, 2, 3 5 405 416 427 438 449 460 461 472 483 494 6 406 417 428 439 450 451 462 473 484 495 7 407 418 429 440 441 452 463 474 485 496 8 408 419 430 431 442 453 464 475 486 497 9 409 420 421 432 443 454 465 476 487 498 0 410 411 422 433 444 455 466 477 488 499 1 401 413 425 437 449 451 463 475 487 499 2 402 414 426 438 450 452 464 476 488 4100 3 403 415 427 439 441 453 465 477 489 491 4 404 416 428 440 442 454 466 478 490 492

4, 5, 6 5 405 417 429 431 443 455 467 479 481 493 6 406 418 430 432 444 456 468 480 482 494 7 407 419 421 433 445 457 469 471 483 495 8 408 420 422 434 446 458 470 472 484 496 9 409 411 423 435 447 459 461 473 485 497 0 410 412 424 436 448 460 462 474 486 498 1 401 414 427 440 443 456 469 472 485 498 2 402 415 428 431 444 457 470 473 486 499 3 403 416 429 432 445 458 461 474 487 4100 4 404 417 430 433 446 459 462 475 488 491

7, 8, 9 5 405 418 421 434 447 460 463 476 489 492 6 406 419 422 435 448 451 464 477 490 493 7 407 420 423 436 449 452 465 478 481 494 8 408 411 424 437 450 453 466 479 482 495 9 409 412 425 438 441 454 467 480 483 496 0 410 413 426 439 442 455 468 471 484 497




38

ЗАДАЧИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ 4 4001. Материальная точка совершает гармонические колебания

по закону ( )0ϕ+ω= tAx sin . Наблюдение начинается из положения с коор-динатой 0020 ,x = см. Амплитуда колебаний 004,A = см, а период

002,T = с. Написать уравнение колебаний с числовыми коэффициентами. 4002. Материальная точка совершает гармонические колебания

по закону ( )0ϕ+ω= tAx sin . В начальный момент времени смещение 0040 ,x = см, а скорость ссм0 010,=v . Определить амплитуду A и началь-

ную фазу 0ϕ колебаний, если их период 002,T = с. Написать уравнение ко-лебаний с числовыми коэффициентами.

4003. Материальная точка совершает гармонические колебания по закону ( )0ϕ+ω= tAx sin . Определить величину ее максимального уско-рения maxa , если амплитуда колебаний 015,A = см, наибольшая скорость точки ссм030max ,=v , начальная фаза колебаний 00 =ϕ . Написать уравне-ние колебаний с числовыми коэффициентами.

4004. Материальная точка совершает гармонические колебания по закону ( )0ϕ+ω= tAx sin . Написать уравнение колебательного движения с числовыми коэффициентами, если максимальное ускорение точки

2max смм493=a , период колебаний 003,T = с и смещение точки от поло-жения равновесия в начальный момент времени 0250 ,x = мм.

4005. Частица совершает гармонические колебания вдоль оси по закону ( )tAx ω= sin . Циклическая частота колебаний срад004,=ω . В не-который момент времени 1t координата частицы 0251 ,x = см и ее скорость

см1 001,=v . Найти координату 2x и скорость 2v этой частицы в момент 4022 ,t = с. Написать уравнение колебаний с числовыми коэффициентами. 4006. Материальная точка совершает гармонические колебания

по закону ( )tAx ω= sin . В некоторый момент времени 1t смещение точки 0051 ,x = см, скорость ссм0201 ,=v , а ускорение 2

1 ссм080,a = . Найти амплитуду колебаний A , циклическую частоту ω , период T и фазу колеба-ний ϕ в заданный момент времени 1t .

4007. Точка совершает гармонические колебания вдоль прямой линии по закону ( )0ϕ+ω= tAx sin с периодом 500=T мс и амплитудой

010,A = см. Найти среднюю скорость точки за время, в течение которого она проходит путь 2AS = : а) из положения равновесия, б) из крайнего положения.




39

4008. Материальная точка совершает гармонические колебания по закону ( )0ϕ+ω= tAx sin . В некоторый момент времени смещение точки

1501 =x мм. В другой момент времени, когда фаза колебаний увеличилась в 2 раза, смещение оказалось равным 2402 =x мм. Определить амплитуду колебаний.

4009. Материальная точка совершает гармонические колебания по закону ( )0ϕ+ω= tAx sin . Ее наибольшее смещение и наибольшая ско-рость равны соответственно 050max ,x = см и ссм012max ,=v . Найти вели-чину наибольшего ускорения maxa , а также скорость v и ускорение a точки в тот момент, когда смещение 003,x = см. Начальная фаза колебаний

00 =ϕ . 4010. Тело совершает колебания по закону ( )0ϕ+ω= tAx sin . На-

чальная фаза колебаний 00 =ϕ , частота 200=ν Гц, амплитуда 003,A = мм. Найти наибольшую скорость maxv и наибольшее ускорение maxa тела.

4011. Складываются два одинаково направленных гармониче-ских колебания: ( )tAx 111 sin ω= и ( )[ ]τ+ω= tAx 222 sin , где

03021 ,AA == мм, 121 c−π=ω=ω , 500=τ мс. В выбранном масштабе про-

извести сложение указанных колебаний методом векторных диаграмм в момент времени 0=t . Определить амплитуду A и начальную фазу 0ϕ ре-зультирующего колебания. Написать уравнение результирующего колеба-ния с числовыми коэффициентами.

4012. Складываются два колебания одинакового направления: ( )tAx 111 cos ω= и ( )[ ]τ+ω= tAx 222 cos , где 03021 ,AA == мм,

121 c−π=ω=ω , 500=τ мс. В выбранном масштабе произвести сложение

указанных колебаний методом векторных диаграмм в момент времени 0=t . Определить амплитуду A и начальную фазу 0ϕ результирующего ко-

лебания. Написать уравнение результирующего колебания с числовыми ко-эффициентами.

4013. Точка одновременно участвует в двух гармонических коле-баниях одного направления с одинаковыми периодами 50121 ,TT == с и ам-плитудами 02021 ,AA == мм. Начальная фаза колебаний 201 π=ϕ и

302 π=ϕ . В выбранном масштабе произвести сложение указанных колеба-ний методом векторных диаграмм в момент времени 0=t . Определить ам-плитуду A и начальную фазу 0ϕ результирующего колебания. Написать уравнение результирующего колебания с числовыми коэффициентами.




40

4014. Разложите гармоническое колебание, совершаемое по за-кону ( )π+= 20628100 ,tx cos мм, на два одинаково направленных гармони-ческих колебания той же частоты так, чтобы начальные фазы этих колеба-ний были равны: π=ϕ 1001 , и π=ϕ 5002 , соответственно.

4015. Два одинаково направленных гармонических колебания одинаковой частоты с амплитудами 0301 ,A = мм и 0502 ,A = мм складыва-ются в одно гармоническое колебание с амплитудой 070,A = мм. Найти разность фаз ϕ∆ складываемых колебаний.

4016. При сложении двух гармонических колебаний одного на-правления уравнение результирующего колебания имеет вид

( ) ( )t,t,Ax 050cos012cos= . Найти циклические частоты складываемых коле-баний и период биений результирующего колебания.

4017. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпенди-кулярных колебаниях, уравнения которых имеют вид ( )tAx 11sin ω= и

( )tAy 22sin ω= , где 0801 ,A = мм, 0402 ,A = мм, 121 002 −=ω=ω c, . Написать

уравнение траектории движения точки и построить ее с соблюдением мас-штаба. Показать направление движения точки.

4018. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпенди-кулярных колебаниях, уравнения которых имеют вид ( )tAx 11cos ω= и

( )tAy 22cos ω= , где 1001 =A мм, 0502 ,A = мм, 121 002 −=ω=ω c, . Написать


4019. Материальная точка участвует одновременно в двух взаим-но перпендикулярных колебаниях, уравнения которых имеют вид

( )tAx 11cos ω= и ( )tAy 22sin ω= , где 0201 ,A = мм, 0402 ,A = мм, 1

21 002 −=ω=ω c, . Написать уравнение траектории движения точки и по-строить ее с соблюдением масштаба. Показать направление движения точ-ки.

4020. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпенди-кулярных колебаниях, уравнения которых имеют вид ( )tAx 11sin ω= и

( )tAy 22cos ω= , где 02021 ,AA == мм, 11 001 −=ω c, , 12 2ω=ω . Написать


4021. На тонком вертикальном стержне длиной 300=l мм укре-плены два маленьких груза. Первый груз массой 1001 =m г находится на середине стержня, второй груз массой 1502 =m г – на нижнем конце. Стер-




41

жень с грузами колеблется относительно горизонтальной оси, проходящей через свободный верхний конец стержня. Определить период T гармониче-ских колебаний данного физического маятника. Массой стержня пренеб-речь.

4022. Определить период T гармонических колебаний диска ра-диусом 200=R мм относительно горизонтальной оси, перпендикулярной диску и проходящей через середину радиуса диска перпендикулярно его плоскости.

4023. Определить период T гармонических колебаний диска ра-диусом 400=R мм относительно горизонтальной оси, перпендикулярной диску и совпадающей с его образующей.

4024. Определить период T гармонических колебаний стержня длиной 300=l мм относительно горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец.

4025. Индуктивность колебательного контура 500=L мкГн. Ка-кова должна быть электроёмкость C контура, чтобы он резонировал на дли-ну волны 300=λ м?

4026. Катушка (без сердечника) длиной 500=l мм и площадью сечения 2

1 300 мм=S имеет 1000=N витков. Параллельно катушке под-соединен воздушный конденсатор, состоящий из двух пластин площадью

22 075 см,S = каждая. Расстояние между пластинами 050,d = мм. Опреде-

лить период T электрических колебаний контура. 4027. Определить период T гармонических колебаний физиче-

ского маятника, состоящего из однородного стержня длиной 300=l мм. Точка подвеса (центр колебаний) находится на расстоянии 100=d мм от центра инерции стержня.

4028. Определить период T собственных электрических колеба-ний контура, который состоит из конденсатора ёмкостью 002,C = мкФ и катушки длиной 100=l мм и радиусом 010,r = мм, содержащей 500=N витков. Магнитная проницаемость среды, заполняющей катушку, 002,=µ . Активным сопротивлением катушки можно пренебречь.

4029. Три одинаково заряженных конденсатора ёмкостью 005,C = мкФ каждый соединяют в батарею и подключают к катушке ин-

дуктивностью 020,L = мГн. На сколько будут различаться периоды коле-баний контуров, если сначала конденсаторы соединить параллельно, а за-тем – последовательно?

4030. Колебательный контур радиоприемника состоит из катуш-ки индуктивностью 001,L = мГн и переменного конденсатора, ёмкость ко-




42

торого C может изменяться в пределах от 9,70 до 92,0 пФ. В каком диапа-зоне длин волн λ может работать этот приемник?

4031. Тело массой 500=m г, прикрепленное к пружине, совер-шает гармонические колебания по закону ( )tAy ω= sin . Амплитуда колеба-ний 100=A мм, коэффициент жесткости пружины мН005,k = . Найти максимальную силу упругости пружины.

4032. Заряженный конденсатор ёмкостью 500=C нФ подключи-ли к катушке индуктивностью 005,L = мГн. Определить, через сколько вре-мени от момента подключения катушки, энергия электрического поля кон-денсатора станет равной энергии магнитного поля катушки. Активным со-противлением катушки пренебречь.

4033. Шарик массой 060,m = г колеблется по закону ( )0ϕ+ω= tAx sin с периодом 002,T = с. В начальный момент времени сме-

щение шарика 0400 ,x = мм и полная энергия 020,W = мДж. Написать урав-нение гармонических колебаний шарика и закон изменения возвращающей силы во времени с числовыми коэффициентами.

4034. Определить возвращающую силу F в момент времени 200=t мс и полную механическую энергию W точки массой 020,m = г,

совершающей гармонические колебания, согласно уравнению ( )tAx ω= sin , где 150=A мм, 1c4 −π=ω .

4035. Период электрических колебаний контура, состоящего из катушки и конденсатора, составляет 010,T = мкс. Максимальная энергия электрического поля в конденсаторе 900=maxэW мкДж, и максимальная разность потенциалов на его обкладках 900max =U В. Определить макси-мальную силу тока maxI в катушке.

4036. Материальная точка массой 005,m = г колеблется согласно уравнению ( )0002100 ϕ+= t,x cos (в миллиметрах). Найти максимальную возвращающую силу maxF , действующую на точку, и полную энергию W точки.

4037. Груз массой 300=m г, подвешенный к пружине, соверша-ет колебания по закону ( )tAx ω= cos . Определить кинетическую кW , потен-циальную пW и полную W энергии груза через 003,t =∆ с после начала ко-лебаний. В начальный момент груз был смещен на 0500 ,x = мм от положе-ния равновесия, а затем предоставлен самому себе. Коэффициент упругости пружины мН15=k .

4038. Тело совершает колебания по закону ( )0ϕ+ω= tAx sin . Полная механическая энергия тела 100=W мДж, масса 001,m = кг, макси-мальная возвращающая сила, действующая на тело, 100=maxF мН. Напи-




43

сать уравнение колебаний с числовыми коэффициентами, если начальная фаза °=ϕ 450 .

4039. Уравнение движения тела массой 016,m = г имеет вид ( )48020 π+π= t,x sin (в миллиметрах). Определить кинетическую кW , по-

тенциальную пW и полную механическую W энергии тела, а также возвра-щающую силу F через 002,t =∆ с после начала наблюдения.

4040. Определить массу тела m , совершающего гармонические колебания по закону ( )0ϕ+ω= tAx sin с амплитудой 100=A мм, частотой

002,=ν Гц и начальной фазой °=ϕ 300 , если полная энергия колебаний 707,W = мДж. Через сколько секунд после начала наблюдения кинетиче-

ская энергия будет равна потенциальной? 4041. Начальная амплитуда затухающих колебаний маятника 2000 =A мм, а после совершения им 10=N полных колебаний амплитуда

010,A = мм. Определить логарифмический декремент колебаний Λ и ко-эффициент затухания δ , если период колебаний 005,T = с.

4042. Определить логарифмический декремент колебаний β ма-тематического маятника длиной 500=l мм, если за время колебаний

400=t с он теряет 80 % своей первоначальной энергии. 4043. Колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью

010,C = мкФ, катушки индуктивностью 010,L = мГн и резистора с сопро-тивлением 020,R = Ом. Определить период T , циклическую частоту зату-хающих колебаний ω , логарифмический декремент Λ колебаний контура.

4044. Математический маятник длиной 500=l мм, выведенный из положения равновесия, отклонился от него при первом колебании на

0501 ,x = мм, а при втором (в ту же сторону) – на 0402 ,x = мм. Определить логарифмический декремент колебаний Λ и время релаксации τ (время убывания амплитуды в e раз).

4045. Камертон колеблется с частотой 100=ν Гц. Логарифмиче-ский декремент колебаний 310002 −⋅=Λ , . Через какой промежуток времени

t∆ амплитуда колебаний уменьшится в 100=n раз? 4046. Логарифмический декремент колебаний маятника

310020 −⋅=Λ , . Во сколько раз уменьшится амплитуда после совершения маятником 50=N полных колебаний?

4047. Через время 0101 ,t =∆ с амплитуда колебаний маятника уменьшилась в 31 =n раза. Через какое время 2t∆ она уменьшится в 102 =n раз по сравнению с первоначальной?

4048. Амплитуда затухающих колебаний убывает за время со-вершения 10=N колебаний на 101 часть своей первоначальной величины.




44

Период колебаний 400=T мс. Определить коэффициент затухания δ и ло-гарифмический декремент колебаний Λ .

4049. Определить, во сколько раз уменьшится энергия математи-ческого маятника длиной 300=l мм за время 180=∆t с, если логарифми-ческий декремент затухающих колебаний, совершаемых маятником,

310005 −⋅=Λ , . 4050. Колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью 002,C = мкФ, катушки индуктивностью 100=L мГн и резистора сопро-

тивлением 010,R = Ом. Определить логарифмический декремент колеба-ний Λ контура.

4051. Источник звука совершает колебания по закону ( )t,x π= 200001 sin (в сантиметрах). Скорость распространения звука см340=v . Написать уравнение бегущей волны с числовыми коэффициен-

тами. Определить для точки, находящейся на расстоянии 102=y м от ис-точника, ее смещение от положения равновесия в момент времени

001,t = с. Потерями энергии пренебречь, волну считать плоской. 4052. Точка, находящаяся на расстоянии 500=x мм от источни-

ка колебаний, имеет в момент 3Tt = смещение, равное половине амплиту-ды 2Ay = . Найти длину волны λ , если в момент времени 0=t смещение источника равно нулю ( 00 =y ).

4053. Источник совершает колебания по закону ( )t,y 3140sin005= (в сантиметрах). Определить смещение от положения

равновесия y и колебательную скорость ty

dd точки, находящейся на рас-

стоянии 200=x м от источника, через время 001,t =∆ с после начала коле-бания. Написать уравнение бегущей волны с числовыми коэффициентами. Скорость распространения волны см340=v .

4054. Две точки лежат на прямой, вдоль которой распространя-ется волна со скоростью см050,=v . Период колебаний 050,T = мс, рас-стояние между точками 500=∆ x мм. Найти разность фаз ϕ∆ колебаний в этих точках.

4055. На каком минимальном расстоянии от источника гармони-ческих колебаний, совершаемых по закону ( )tAy ω= sin , находится точка, у которой в момент времени 2Tt = смещение от положения равновесия рав-но половине амплитуды ( 2Ay = )? Скорость распространения колебаний

см340=v , период колебаний 001,T = мс, амплитуда 002,A = мм. Напи-сать уравнение бегущей волны с числовыми коэффициентами.




45

4056. Найти скорость распространения звуковых колебаний в воздухе v , если длина волны 340=λ мм, а частота колебаний 1000=ν Гц.

Чему равна максимальная колебательная скорость частиц среды maxd

d

ty ,

если амплитуда колебаний 002,A = мкм? 4057. Уравнение бегущей плоской волны имеет вид

( )x,t, 3051800cos060 −=ξ , где ξ – в микрометрах, t – в секундах, x – в метрах. Найти: отношение амплитуды колебаний частиц к длине волны;

амплитуду колебательной скорости частиц среды td

dξ и ее отношение к

скорости распространения волны v . 4058. В воздухе распространяется плоская звуковая волна

( )kxtAy −ω= sin . Частота звука 1000=ν Гц, амплитуда колебаний частиц среды 008,A = мкм, волновое число 1м18,5 −=k . Определить длину волны и ее скорость.

4059. В металлическом стержне распространяется плоская звуко-вая волна ( )x,tAy 5716280sin −= , где y, A, x – в сантиметрах, t – в секундах. Определить скорость звука в этом металле и частоту колебаний источника.

4060. В вакууме распространяется электромагнитная волна ( )krtEE −ω= sin0

rr. Длина волны 550=λ нм. Найти частоту колебаний ис-

точника и волновое число. 4061. Световая волна проходит через две узкие щели в преграде.

Расстояние от преграды до экрана 001,L = м. Определить расстояние между щелями d , если на экране на отрезке длиной 010,=l мм укладывается

10=N тёмных интерференционных полос. Длина волны света 633=λ нм. 4062. На тонкую глицериновую пленку толщиной 501,d = мкм

нормально к ее поверхности падает белый свет. Определить длину волн ви-димого участка спектра ( 800400 ≤λ≤ ) нм, которые будут максимально ос-лаблены в результате интерференции. Показатель преломления глицерина

471,n = . 4063. На стеклянную пластину нанесен тонкий слой прозрачного

вещества с показателем преломления 301,n = . Пластина освещена парал-лельным пучком монохроматического света с длиной волны 640=λ нм, па-дающим на пластину нормально. Какую минимальную толщину mind дол-жен иметь слой, чтобы отражённый пучок имел наименьшую яркость? По-казатель преломления стекла 501,nc = .

4064. Какова толщина мыльной пленки, если при наблюдении в отражённом свете она представляется зеленой ( 500=λ нм). Угол между от-




46

ражёнными лучами и нормалью к пленке °=ϕ 35 ? Показатель преломления мыльной воды принять 331,n = .

4065. Между стеклянной пластинкой и лежащей на ней плоско-выпуклой линзой находится жидкость. Найти показатель преломления жид-кости жn , если радиус третьего темного кольца Ньютона (при наблюдении в отражённом свете с длиной волны 600=λ нм) 82003 ,r = мм. Радиус кри-визны линзы 500=R мм.

4066. Плосковыпуклая кварцевая линза с фокусным расстоянием 001,f = м лежит выпуклой стороной на стеклянной пластинке. Радиус пя-

того темного кольца Ньютона при наблюдении в отражённом свете 1015 ,r = мм. Определить длину световой волны λ . Показатель преломления кварца

461,n = . 4067. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается нор-

мально падающим монохроматическим светом ( 590=λ нм). Радиус кри-визны R линзы равен 50,0 см. Определить толщину h воздушного проме-жутка между линзой и пластинкой в том месте, где в отражённом свете на-блюдается третье светлое кольцо.

4068. Стеклянная собирающая линза положена на плоскую стек-лянную пластинку. Радиус кривизны R линзы равен 2,00 м. В отражённом свете ( 600=λ нм) наблюдается интерференционная картина. Определить радиус пятого темного кольца 5r , если: а) между линзой и пластинкой воз-дух ( 001,n = ); б) между линзой и пластинкой вода ( 331,n = ).

4069. На тонкий стеклянный клин падает нормально параллель-ный пучок света с длиной волны 500=λ нм. Расстояние между соседними темными интерференционными полосами в отражённом свете 500=b мкм. Определить угол α между поверхностями клина. Показатель преломления стекла, из которого изготовлен клин, 601,n = .

4070. На тонкий стеклянный клин падает нормально параллель-ный пучок света с длиной волны 600=λ нм. Угол между поверхностями клина 020 ′′=α , . Определить ширину b интерференционных полос (рас-стояние между двумя соседними максимумами), наблюдаемых в отражён-ном свете. Показатель преломления стекла, из которого изготовлен клин,

701,n = . 4071. Плоская световая волна ( 500=λ нм) падает на преграду с

круглым отверстием. На расстоянии 002,b = м за преградой расположен экран. При каком наименьшем диаметре отверстия mind освещенность эк-рана в точке, лежащей на оси светового пучка, будет максимальна?

4072. Сферическая световая волна ( 450=λ нм) падает на пре-граду с круглым отверстием. Источник света расположен на расстоянии




47

002,a = м от преграды. На расстоянии 003,b = м за преградой расположен экран. При каком наименьшем диаметре отверстия mind освещенность эк-рана в точке, лежащей на оси светового пучка, будет максимальной?

4073. Сферическая световая волна ( 500=λ нм) падает на прегра-ду с круглым отверстием. Диаметр отверстия 003,d = мм. На расстоянии

002,b = м за преградой расположен экран. При каком наибольшем расстоя-нии a от источника до преграды освещенность экрана в точке, лежащей на оси светового пучка, будет максимальной?

4074. Плоская световая волна ( 632=λ нм) падает на преграду с круглым отверстием. Диаметр отверстия 002,d = мм. На каком наиболь-шем расстоянии b от преграды следует расположить экран, чтобы осве-щенность экрана в точке, лежащей на оси светового пучка, была макси-мальной?

4075. Точечный источник монохроматического света ( 500=λ нм) находится на расстоянии 756,a = м от преграды с отверстием, диаметр которого 5041 ,d = мм. На расстоянии ab = от преграды расположен экран. Как и почему изменится освещенность в точке экрана, лежащей на оси пуч-ка, если диаметр отверстия увеличить до 2052 ,d = мм? Ответ подтвердить расчётами.

4076. Точечный источник монохроматического света ( 550=λ нм) освещает экран, расположенный на расстоянии 011,L = м от источника. Между источником света и экраном на расстоянии 005,b = м от экрана по-мещена преграда с круглым отверстием, диаметр которого 204,d = мм. Как и почему изменится интенсивность света в центре получающейся на экране интерференционной картины, если преграду убрать? Ответ подтвердить расчётами.

4077. Плоская световая волна ( 750=λ нм) падает на преграду с отверстием, диаметр которого 003,d = мм. На расстоянии 003,b = м от пре-грады расположен экран. Как и почему изменится интенсивность света в точке экрана, лежащей на оси пучка, если диаметр отверстия увеличить в два раза? Ответ подтвердить расчётами.

4078. Точечный источник света ( 520=λ нм) находится на рас-стоянии 001,L = м от экрана. Между источником и экраном расположена преграда с отверстием. Расстояние от преграды до экрана 600=b мм. Диа-метр отверстия 001,d = мм. Что будет наблюдаться в центре экрана (ин-терференционный максимум или минимум)? Ответ подтвердить расчётами.

4079. Вычислить радиусы 1r , 2r , 3r , 4r , 5r первых пяти зон Фре-неля, если расстояние от точечного источника света до волновой поверхно-




48

сти 001,a = м, расстояние от волновой поверхности до точки наблюдения 501,b = м и длина волны 500=λ нм. 4080. Расстояние от точечного источника монохроматического

света ( 500=λ нм) до экрана 001,L = м. На расстоянии L,50 от источника помещена круглая непрозрачная преграда с отверстием, диаметр которого

001,d = мм. Сколько зон Френеля открывает отверстие? Что будет наблю-даться в центре экрана (интерференционный максимум или минимум)? От-вет подтвердить расчётами.

4081. Какое наименьшее число minN штрихов должна содержать дифракционная решётка, чтобы в спектре второго порядка можно было ви-деть раздельно две жёлтые линии натрия с длинами волн 05691 ,=λ нм и

65892 ,=λ нм? Какова длина l такой решётки, если постоянная решётки 005,d = мкм? 4082. На дифракционную решётку нормально к ее поверхности

падает монохроматический свет. Постоянная дифракционной решётки d в 64,n = раза больше длины световой волны λ . Найти наибольшее число ди-

фракционных максимумов, наблюдение которых теоретически возможно в данном случае.

4083. На дифракционную решётку падает нормально пучок бело-го света. Спектры третьего и четвертого порядка частично накладываются друг на друга. На какую длину волны в спектре четвёртого порядка накла-дывается граница ( 7803 =λ нм) спектра третьего порядка?

4084. На дифракционную решётку, содержащую 600=n штри-хов на каждом миллиметре длины, по нормали к поверхности падает белый свет. Спектр проецируется на экран линзой, помещенной вблизи решётки. Определить длину l спектра первого порядка на экране, если расстояние от линзы до экрана 201,L = м. Границы видимого диапазона спектра:

780кр =λ нм, 400ф =λ нм. 4085. На дифракционную решётку, содержащую 100=n штрихов

на 1 мм, нормально падает монохроматический свет. Зрительная труба спектрометра наведена на максимум второго порядка. Чтобы навести трубу на другой, симметричный максимум того же порядка, ее нужно повернуть на угол °=ϕ∆ 16 . Определить длину волны λ света, падающего на решётку.

4086. На дифракционную решётку нормально падает монохрома-тический свет ( 633=λ нм). Угол между нормалью и направлением на ди-фракционный максимум третьего порядка °=ϕ 711, . Определить число n штрихов на миллиметре длины дифракционной решётки.

4087. Постоянная дифракционной решётки d в 4=n раза боль-ше длины световой волны λ монохроматического света, нормально па-




49

дающего на ее поверхность. Определить угол α между двумя первыми симметричными дифракционными максимумами.

4088. Расстояние между штрихами дифракционной решётки 004,d = мкм. На решётку по нормали к ее поверхности падает свет с дли-

ной волны 580=λ нм. Максимум какого наибольшего порядка возможно наблюдать в этом случае?

4089. На непрозрачную пластину с узкой щелью падает нормаль-но плоская световая волна ( 550=λ нм). Угловая ширина центрального максимума (угловое расстояние между минимумами первого порядка)

°=ϕ∆ 10 Определить ширину щели b . 4090. На непрозрачную пластину с узкой щелью по нормали к ее

поверхности падает плоская монохроматическая световая волна ( 600=λ нм). В точке второго дифракционного максимума интерферируют лучи, от-клонившиеся от нормали к пластине на угол °=ϕ 202 . Определить ширину b щели.

4091. Параллельный пучок света переходит из глицерина ( 471гл ,n = ) в стекло ( 71c ,n = ) так, что пучок, отражённый от границы раз-дела этих сред, оказывается максимально поляризованным. Определить угол ϕ между падающим и преломленным пучками.

4092. Свет переходит из воздуха в стекло. Угол падения луча на поверхность стекла °=α 60 . При этом отражённый пучок света оказывается максимально поляризованным. Определить угол преломления γ луча.

4093. Пучок света падает на плоскопараллельную стеклянную пластину, нижняя поверхность которой находится в воде, а верхняя в воз-духе. При каком угле падения α света на верхнюю поверхность стекла луч, отражённый от поверхности воды, будет максимально поляризованным? Показатель преломления стекла 461c ,n = , воды 331в ,n = .

4094. Стеклянная пластинка полностью погружена в воду ( 721,n =c , 331в ,n = ). Каким должен быть угол падения луча на стекло, что-бы отражённый луч был полностью поляризованным?

4095. Предельный угол полного внутреннего отражения луча на границе жидкости с воздухом °=α 43пр . Каков должен быть угол падения луча α из воздуха на поверхность жидкости, чтобы отражённый луч был максимально поляризован? Найти показатель преломления n жидкости.

4096. Угол между плоскостями поляризации двух поляризаторов °=ϕ 50 . Естественный свет, проходя через такую систему, ослабляется в

8=n раз. Пренебрегая потерей энергии света при отражении, определить коэффициент поглощения k света в поляризаторах.




50

4097. Естественный свет проходит через поляризатор и анализа-тор, поставленные так, что угол между их плоскостями поляризации равен ϕ . Как поляризатор, так и анализатор поглощают и отражают по 8=k % падающего на них света. Оказалось, что интенсивность луча aI , вышедше-го из анализатора, равна 9 % интенсивности естественного света 0I , па-дающего на поляризатор. Найти угол ϕ .

4098. Естественный свет проходит последовательно через два поляризатора, угол между плоскостями поляризации которых °=ϕ 60 . Ин-тенсивность естественного света 2

0 млм010,I = . Определить интенсив-ность света 1I , вышедшего из первого, и 2I , вышедшего из второго поляри-затора. Поглощением света в поляризаторах пренебречь.

4099. Плоско поляризованный свет интенсивностью 2

0 млм010,I = проходит последовательно через два поляризатора, плоско-сти которых образуют с плоскостью колебаний светового вектора в исход-ном луче углы °=α 0201 , и °=α 0502 , (углы отсчитываются от плоскости колебаний вектора E

r по часовой стрелке, если смотреть вдоль луча). Опре-

делить интенсивность света 1I , прошедшего первый, и 2I , прошедшего вто-рой поляризатор. Поглощением света пренебречь.

4100. Естественный свет проходит последовательно через два поля-ризатора, угол между плоскостями поляризации которых °=ϕ 60 . Интен-сивность естественного света 2

0 млм100=I . Первый поляризатор погло-щает и отражает 101 =k % падающего на него света, а второй – 162 =k %. Определить интенсивность света 1I , вышедшего из первого, и 2I , вышед-шего из второго поляризатора.




51

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица 1 Единицы СИ

Физическая величина Единица

Наименование Наименование Обозначение

русское международное

Основные единицы Длина метр м m Масса килограмм кг kg Время секунда с s Термодинамическая температура

кельвин К K

Сила электрического тока

ампер А A

Количество вещества моль моль mol Сила света кандела кд cd

Дополнительные единицы Плоский угол радиан рад rad Телесный угол стерадиан ср sr

Производные единицы Скорость метр в секунду м/с m/s Ускорение метр на секунду в

квадрате м/с2 m/s2

Угловая скорость радиан в секунду рад/с rad/s Угловое ускорение радиан на секунду в

квадрате рад/с2 rad/s2

Период секунда с s Частота периодического процесса

герц Гц Hz

Частота вращения секунда в минус пер-вой степени

с–1 s–1

Волновое число метр в минус первой степени

м–1 m–1




52

Окончание табл. 1 Физическая величина Единица


русское международное Коэффициент затухания секунда в минус пер-

вой степени с–1 s–1

Момент инерции килограмм-метр в квадрате

кг⋅м2 kg⋅m2

Сила ньютон Н N Энергия джоуль Дж J Работа джоуль Дж J Мощность ватт Вт W Теплота джоуль Дж J Электрический заряд кулон Кл C Напряжённость элек- трического поля

вольт на метр В/м V/m

Потенциал электриче- ского поля

вольт В V

Электрическая ёмкость фарад Ф F Напряжение, электро- движущая сила

вольт В V

Электрическое сопро- тивление

ом Ом Ω

Индуктивность генри Гн H




53

Таблица 2 Десятичные кратные и дольные приставки и множители

Приставка

Наименование Обозначение Множитель Пример


экса Э E 1810 1 Эм = 1810 м пета П P 1510 1 Пм = 1510 м тера Т T 1210 1 Тм = 1210 м гига Г G 910 1 Гм = 910 м мега М M 610 1 Мм = 610 м кило к k 310 1 км = 310 м гекто г h 210 1 гм = 210 м дека да da 110 1 дам = 110 м деци д d 110− 1 дм = 110− м санти с c 210− 1 см = 210− м милли м m 310− 1 мм = 310− м микро мк µ 610− 1 мкм = 610− м нано н n 910− 1 нм = 910− м пико п p 1210− 1 пм = 1210− м фемто ф f 1510− 1 фм = 1510− м атто а a 1810− 1 ам = 1810− м

Приставку или её обозначение следует писать слитно с наименовани-

ем единицы, к которой она присоединяется, или с её обозначением. Присоединение двух и более приставок подряд не допускается. Кратные и дольные единицы должны выбираться таким образом, что-

бы числовые значения величины находились в диапазоне от 0,1 до 1000. (Выбор десятичной кратной или дольной единицы диктуется прежде всего удобством ее применения.)

Для уменьшения вероятности ошибок при расчётах десятичные крат-ные и дольные единицы рекомендуется подставлять только в конечный ре-зультат, а в процессе вычислений все величины выражать в единицах СИ, заменяя приставки множителями n10 .






Курепин В. В., Самолетов В. А.

ФИЗИКА КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 5






2

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Молекулярная физика

Уравнение Клапейрона–Менделеева (уравнение состояния идеального газа)

RTmpVµ

= , TkNpV = ,

где p – давление; V – объём; m – масса; µ – молярная масса; T – термо-динамическая температура газа; R – универсальная газовая постоянная,

318,R = Дж/(моль·К); N – число молекул; k – постоянная Больцмана, 2310381 −⋅= ,k Дж/К.

Уравнение Клапейрона

tTpV cons= .

Уравнения обратимых (квазистатических) процессов: 1) Изобарный процесс ( const=p , const=m )

VT

VT

1

1

2

2= , или const=

TV .

2) Изохорный процесс ( const=V , const=m ) pT

pT

1

1

2

2= , или t

Tp cons= .

3) Изотермический процесс ( const=T , const=m ) pV p V1 1 2 2= , или tpV cons= .

4) Адиабатный процесс (Q = 0, const=m ): в координатах pV

γγ = 2211 VpVp , или const=γpV ,

в координатах TV 1

221

11−γ−γ = VTVT , или const=−γ 1TV ,

в координатах Tp γ−γγ−γ = 1

22111 pTpT , или const=γ−γ 1pT ,

где γ – коэффициент Пуассона (показатель адиабаты).




3

Закон Дальтона. Давление смеси смp идеальных газов равно сумме парциальных ip давлений

∑=

=N

iipp

1см ,

где N – число компонентов смеси. Молярная масса смеси

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

µ

=

ν

=µ N

i i

i

N

ii

N

ii

N

ii

m

mm

1

1

1

1см ,

где im – масса i-го компонента смеси; iν – число молей i-го компонента смеси; iµ – молярная масса i-го компонента смеси; N – число компонентов смеси.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа

кWpV32

= ,

где кW – суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул идеального газа, 0ε= NWк ; 0ε – средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа; N – число молекул в объёме газа.

Зависимость давления идеального газа от концентрации и температу-ры

kTnp = ,

где k – постоянная Больцмана, 2310381 −⋅= ,k Дж/К; n – концентрация мо-лекул.




4

Статистическая физика

Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по про-екциям скорости

( )

−

π=

kTm

kTmf x

x 2exp

2

200 vv ,

где vx – проекция скорости молекулы на ось X ; 0m – масса одной молеку-лы.

Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по мо-дулям скорости

( )

−

π

π=kT

mkT

mF2

exp2

42

023

0 vvv ,

где v – модуль скорости молекулы. Наиболее вероятная скорость молекул

0в

22m

TkTR=

µ=v .

Средняя скорость молекул

0

88mTkTR

π=

µπ=v .

Средняя квадратичная скорость молекул

0

2кв

33m

TkTR=

µ== vv .

Вероятность того, что модуль скорости заключен в интервале [ ]vvv d+, ,

( ) ( ) vvvvvv d2

exp2

4dd2

023

0

−

π

π==kT

mkT

mFP .

Число молекул, скорости которых заключены в интервале [ ]vvv d+, ,

( ) ( ) vvv ddd FNPNN == , где N – общее число молекул.

Число молекул, скорости которых заключены в интервале [ ]v v1 2, ,




5

( ) ( )∫∫ ==∆2

1

2

1

ddv

v

v

vvvv FNPNN .

Число молекул N∆ , скорости которых заключены в сравнительно уз-ком интервале [ ]vvv ∆+, (ширина интервала должна удовлетворять сле-дующему условию vv 020,≤∆ ),

( ) uuuNkT

mkT

mNN ∆−π

=∆

−

π

π=∆ 222

023

0 exp42

exp2

4 vvv ,

где u – относительная скорость, вvv=u ; u∆ – величина относительного интервала скорости, вvv∆=∆u .

Число молекул xN , скорости которых превышают заданное значение скорости 1v ,

( ) ( )∫∫∞∞

==

11

ddvv

vvv FNPNN x .

Для расчёта числа молекул xN , удобно пользоваться графиком ( )uNN x ϕ= (где u – относительная скорость, вvv=u ), который построен

методом численного интегрирования вышеприведенной формулы (рис. 1). Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по энер-

гиям

( )

−

π=

kTWW

kTWF к

кк exp312 ,

где кW – кинетическая энергия. Распределение Больцмана для частиц во внешнем потенциальном по-

ле

−=

kTWnn пexp0 ,

где пW – потенциальная энергия частицы во внешнем потенциальном поле; n0 – концентрация частиц с нулевой потенциальной энергией; n – концен-трация частиц, потенциальная энергия которых пW .

Барометрическая формула ( const=T )

−=

µ−=

kTghmp

RTghpp 0

00 expexp ,




6

где p – давление идеального газа на высоте h; 0p – давление на высоте 0=h ; µ – молярная масса; g – ускорение свободного падения; 0m – масса

одной молекулы.

Рис. 1 Среднее число соударений, испытываемых молекулой газа за 1 с,

vndz 22 эфπ= ,

где эфd – эффективный диаметр молекулы; n – концентрация молекул; v – средняя скорость молекул.

Средняя длина свободного пробега молекул газа

20,

0

40,

60,

NN x

80,

10,

30,

50,

70,

u0 1 250, 51, 52,




7

pdTk

ndz 2эф

2эф 22

1π

=π

==v

l ,

где k – постоянная Больцмана; T – термодинамическая температура; p – дав-ление.

Выражения для коэффициентов диффузии D , динамической вязкости η , теплопроводности λ газа, полученные в молекулярно-кинетической тео-рии

lv31

=D , lvρ=η31 , lvρ=λ V.cуд3

1 ,

где V.cуд – удельная теплоёмкость при постоянном объёме; ρ – плотность; v – средняя скорость молекул; l – средняя длина свободного пробега.

Коэффициент кинематической вязкости

ρη

=ν ,

где ρ – плотность вещества.




8

Термодинамика Закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням

свободы

kTi2

=ε ,

где ε – средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа; i – сум-ма поступательного, вращательного и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы, колврпост iiii 2++= .

Внутренняя энергия идеального газа

TCmRTimkTiNNU Vµµ=

µ==ε=

22,

где VCµ – молярная теплоёмкость при постоянном объёме; N – число моле-кул.

Изменение внутренней энергии идеального газа

TCmU V dd µµ= , ( )121221 TTCmUUU V −

µ=−=∆ µ− ,

где индексы 1 и 2 соответствуют начальному и конечному состояниям. Полная работа расширения

∫=−

2

1

d21

V

V

VpA .

Работа расширения в изобарном процессе ( )1221 VVpA −=− .

Работа расширения в изохорном процессе 021 =−A .

Работа расширения, совершаемая идеальным газом в изотермическом процессе,

2

1

1

221 lnln

ppTRm

VVTRmA

µ=

µ=− .

Работа расширения, совершаемая идеальным газом в адиабатном про-цессе,

2121 −− ∆−= UA .




9

( ) ( )211221 TTCmTTCmA VV −µ

=−µ

−= µµ− .

Работа расширения, совершаемая идеальным газом в политропном процессе,

−

−=

−

−

1

2

11121 1

1

n

VV

nVpA ,

где n – показатель политропы. Первое начало термодинамики

AUQ δ+=δ d , 212121 −−− +∆= AUQ . Теплота Qδ положительная, если она сообщается системе, и отрица-

тельная, если она забирается от нее. Работа Aδ , производимая системой над внешними телами, имеет положительный знак, а работа, производимая внешними силами над системой, имеет отрицательный знак.

Теплоёмкость (полная теплоёмкость)

TQC

dδ

= , T

QC∆

= .

Удельная теплоёмкость (теплоёмкость единицы массы вещества)

TQ

mc

d1

удδ

= , T

Qm

c∆

=1

уд ,

где m – масса вещества. Молярная теплоёмкость (теплоёмкость одного моля вещества)

TQC

d1 δν

=µ , T

QC∆ν

=µ1 ,

где ν – число молей. Полная С, удельная удc и молярная µC теплоёмкости связаны между

собой следующими соотношениями: ν== µCmcC уд , удсC µ=µ .

Расчётное соотношение для молярной теплоёмкости идеального газа при постоянном объёме

RiC V 2=µ .

Расчётное соотношение для молярной теплоёмкости идеального газа при постоянном давлении




10

RiC p 22+

=µ .

Уравнение Майера для идеального газа RCC Vp += µµ .

Коэффициент Пуассона (показатель адиабаты) для идеального газа

V

p

CC

µ

µ=γ .

Связь коэффициента Пуассона с числом степеней свободы

ii 2+

=γ .

Молярная теплоёмкость идеального газа в политропном процессе

( )( ) Rn

nC n 11 −−γγ−

=µ ,

где n – показатель политропы; γ – коэффициент Пуассона. Показатель политропы для идеального газа

Vn

pn

CCCC

nµµ

µµ

−

−= .

Работа, совершенная рабочим телом, в прямом цикле (тепловая маши-на)

хнхнц QQQQA −=+= ,

где нQ – теплота, полученная рабочим телом от нагревателя; хQ – теплота, отданная рабочим телом холодильнику.

Термический КПД для прямого цикла

н

х

н

хн

н

ц 1QQ

QQQ

QA

−=−

==η .

Холодильный коэффициент для обратного цикла

хн

х

ц

хQQ

QAQ

−==ε ,

где хQ – теплота, отбираемая от охлаждаемого тела; нQ – теплота, переда-ваемая окружающей среде (нагреваемому телу).

Термический КПД для прямого цикла Карно




11

н

х

н

хнК 1

TT

TTT

−=−

=η ,

где нT – температура нагревателя; хT – температура холодильника. Холодильный коэффициент для обратного цикла Карно

хн

хК TT

T−

=ε ,

где хT – температура охлаждаемого тела; нT – температура окружающей среды (нагреваемого тела).

Изменение энтропии идеального газа в произвольном обратимом (квазистатическом) процессе

=µ

+µ

=− µ1

2

1

212 lnln

VVRm

TTCmSS V

=µ

+µ

= µµ1

2

1

2 lnlnVVCm

ppCm

pV

2

1

1

2 lnlnppRm

TTCm

p µ+

µ= µ ,

где индексы 1 и 2 соответствуют начальному и конечному состояниям. Изменение энтропии идеального газа в обратимом (квазистатическом)

адиабатном процессе (Q = 0, const=m ) 0=Sd или ∆S = 0, т.е. const=S .

Изменение энтропии идеального газа в обратимом (квазистатиче-ском) изотермическом процессе ( const=T , const=m )

2

1

1

212 lnln

ppRm

VVRmSS

µ=

µ=− .

Изменение энтропии идеального газа в обратимом (квазистатическом) изохорном процессе ( const=V , const=m )

1

2

1

212 lnln

ppCm

TTCmSS VV µµ µ

=µ

=− .

Изменение энтропии идеального газа в обратимом (квазистати-ческом) изобарном процессе ( const=p , const=m )

1

2

1

212 lnln

TTCm

VVCmSS pp µµ µ

=µ

=− .




12

Изменение энтропии идеального газа в обратимом (квазистатическом) политропном процессе ( const=C , const=m )

1

212 ln

TTCmSS nµµ

=−

Изменение энтропии при нагревании (охлаждении) конденсированно-го вещества

1

2уд12 ln

TTcmSS =− ,

где m – масса тела, удc – среднее значение удельной теплоёмкости в интер-вале температур от 1T до 2T .

Изменение энтропии при плавлении (затвердевании) вещества

плTmS λ

=∆ ,

где λ – удельная теплота плавления; 0>∆S при переходе из твердой фазы в жидкую.

Изменение энтропии при испарении (конденсации) вещества

кипTrmS =∆ ,

испTrmS =∆ ,

где r – удельная теплота испарения; 0>∆S при переходе из жидкой фазы в газообразную.




13

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Пример 1. Определить число N молекул, содержащихся в объёме

3мм001,V = воды, и массу 0m одной молекулы воды, считая условно, что молекулы воды имеют вид шариков, соприкасающихся друг с другом. Най-ти эффективный диаметр d молекулы.

Дано: Решение OH2

393 м10001мм001 −⋅== ,,V молькг1018 3−⋅=µ

N – ? 0m – ?

d – ?

Число N молекул, содержащихся в неко-торой системе массой m , равно произведению постоянной Авогадро AN на количество веще-ства ν

ANN ν= . Так как µ=ν m (где µ – молярная масса), то

( ) ANmN µ= . Выразив в этой формуле массу как произведение плотности ρ на объ-

ём V , получим

ANVNµ

ρ= . (1.1)

Произведем вычисления, учитывая, что плотность воды 3мкг1000=ρ :

молекул103,34100261018

100011000 19233

9⋅=⋅

⋅⋅⋅

= −

−,,N .

Массу одной молекулы 0m можно найти по формуле

A0 N

m µ= . (1.2)

Подставив в формулу (1.2) значения µ и AN , найдем массу молекулы воды

кг102,9910026

1018 2623

3

0−

−⋅=

⋅⋅

=,

m .

Если молекулы воды плотно прилегают друг к другу, то можно счи-тать, что на каждую молекулу приходится объём (кубическая ячейка)

30 dV = , где d – эффективный диаметр молекулы. Отсюда

30Vd = . (1.3)




14

Объём одной молекулы 0V найдем, разделив молярный объём µV на число молекул в моле, т. е. на число Авогадро AN :

A0 N

VV µ= . (1.4)

Молярный объём (объём одного моля вещества) можно найти одним из двух следующих способов:

ρµ

=ν

=µVV . (1.5)

Подставим выражение (1.4) в формулу (1.3)

3A

3A NN

Vd

ρµ

== µ ,

где ρµ=µV . Произведём вычисления

нм0,310м1031001002610001

1018 93233

3=⋅=

⋅⋅⋅⋅

= −−

,,,

d .

Ответ: 19103,34 ⋅=N , кг102,99 26

0−⋅=m , нм0,310=d .




15

Пример 2. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа при нормальных условиях см480кв =v . Сколько молекул содержит 1,00 г этого газа?

Дано: Решение см480кв =v

Па101,01кПа101 50 ⋅==p

К2730 =T кг101,00г001 3−⋅== ,m

N – ?

Нормальные условия это такие физиче-ские условия, при которых давление

325101=p Па (760 мм рт. ст.), температура 15273,T = К ( С0 ° ).

Количество молекул N в газе массой m

0mmN = , (2.1)

где 0m – масса одной молекулы. Средняя квадратичная скорость молекул идеального газа

0

0кв

3m

Tk=v , (2.2)

где k – постоянная Больцмана. Из формулы (2.2) получаем выражение для массы одной молекулы

2кв

00

3v

Tkm = . (2.3)

Подставим выражение (2.3) в формулу (2.1)

0

2кв

3 TkmN v

= .


2223

2310042

27310381348010001

⋅=⋅⋅⋅

⋅⋅= −

−,

,,N молекул.

Ответ: 2210042 ⋅= ,N .




16

Пример 3. В баллоне объёмом л010,V = находится гелий ( )He под давлением МПа0011 ,p = и при температуре К3001 =T . После того, как из баллона было взято г010,m = гелия, температура в баллоне понизилась до

К2902 =T . Определить давление 2p гелия, оставшегося в баллоне. Дано: Решение

He 33 м1010,0л010 −⋅== ,V Па101,00МПа001 6

1 ⋅== ,pК3001 =T

кг1010,0г010 3−⋅== ,m К2902 =T

молькг104 3−⋅=µ

2p – ?

Запишем уравнение Клапейрона–Менделеева для начального и конечного со-стояния газа,

11

1 RTmVpµ

= , (3.1)

22

2 RTmVpµ

= . (3.2)

Из уравнения (3.1) выразим массу газа в начальном состоянии

1

11 TR

Vpm µ= . (3.3)

Тогда масса 2m оставшегося в баллоне газа

mmm −= 12 . (3.4) Из уравнения (3.2) найдем давления газа в конечном состоянии

VTRmp

µ= 2

22 . (3.5)

Подставив выражение (3.3) для массы 1m в формулу (3.4), а затем вы-ражение (3.4) для 2m в уравнение (3.5), получим

VTRmp

TT

VTRm

TRVpp 2

11

22

1

12 µ

−=µ

−

µ= . (3.6)

Произведём вычисления по формуле (3.6)

кПа364Па103,6410010290318

1041001010001

300290 5

33

36

2 =⋅=⋅

⋅⋅

⋅

⋅−⋅⋅=

−−

−

,,,,p .

Ответ: кПа3642 =p .




17

Пример 4. Баллон содержит г0801 ,m = кислорода ( )2O и г3202 =m аргона ( )Ar . Давление смеси МПа001см ,p = , температура К300=T . При-нимая данные газы за идеальные, определить объём V баллона.

Дано: Решение 2О

кг1080,0г080 31

−⋅== ,m молькг1032 3

1−⋅=µ

Ar кг10320г320 3

2−⋅==m

молькг1040 32

−⋅=µ Па101,00МПа001 6

см ⋅== ,p К300=T

V – ?

По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси.

По уравнению Клапейрона–Менделеева парциальные давления 1p ки-слорода и 2p аргона выражаются формула-ми:

RTV

mp1

11 µ

= , RTV

mp2

22 µ

= .

Следовательно, по закону Дальтона давление смеси газов

21см ppp += или VRTmmp

µ

+µ

=2

2

1

1см .

Откуда объём баллона

см2

2

1

1pRTmmV

µ

+µ

= .


л226м0262010001

300318104010320

103210080 3

3

3

3

3

6 ,,,

,,V ==⋅

⋅⋅

⋅⋅

+⋅⋅

= −

−

−

−.

Ответ: л226,V = .




18

Пример 5. Найти среднюю кинетическую энергию вращε враща-тельного движения одной молекулы кислорода ( )2O при температуре

К350=T , а также кинетическую энергию врW вращательного движения всех молекул кислорода массой г004,m = .

Дано: Решение К350=T

кг104,00г004 3−⋅== ,m ( )2

3 Омолькг1032 −⋅=µ

врε – ?

врW – ?

Двухатомная молекула кислорода обладает двумя степенями свободы вращательного дви-жения 2вр =i . Поэтому в соответствии с зако-ном Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы средняя энергия вращательного движения

TkTki

==ε2вр

вр , (5.1)

где k – постоянная Больцмана; T – термодинамическая температура газа. Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа

TkNNW =ε= врвр . (5.2)

Число всех молекул газа

AA NmNNµ

=ν= , (5.3)

где ν – количество вещества; AN – постоянная Авогадро. Подставив выражение (5.3) в формулу (5.2), получаем

TkNmW Aвр µ= . (5.4)

Произведём вычисления:

Дж1083435010381 2123вр

−− ⋅=⋅⋅==ε ,,kT ,

Дж36435010381100261032104 2323

3

3

вр =⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅= −

−

−,,W .

Ответ: Дж10834 21

вр−⋅=ε , , Дж364вр =W .




19

Пример 6. Плотность некоторого газа 3мкг08200,=ρ при давлении кПа100=p и температуре С17 °=t . Найти среднюю квадратичную ско-

рость квv молекул газа. Какова молярная масса µ этого газа? Дано: Решение

3мкг08200,=ρ Па10100кПа100 3⋅==p

С17 °=t ; К290=T

квv – ? µ – ?

Средняя квадратичная скорость молекул идеального газа

0кв

3m

Tk=v , (6.1)

где k – постоянная Больцмана; T – термоди-намическая температура; 0m – масса одной молекулы.

Плотность газа равна произведению концентрации n на массу одной молекулы

0mn=ρ . (6.2) Давление идеального газа связано с концентрацией и температурой

Tknp = . (6.3) Из формул (6.2) и (6.3) выразим массу молекулы и температуру

nm ρ

=0 , kn

pT = .

Подставив полученные выражения в формулу (6.1), получим

ρ=

p3квv . (6.4)

Молярная масса может быть определена как произведение массы мо-лекулы на число Авогадро

A0 Nm=µ . (6.5) Выразим из формулы (6.1) массу молекулы

2кв

03v

Tkm = .

Подставим её в выражение (6.5)

2кв

A2кв

33vv

TRNTk==µ . (6.6)




20

Произведём вычисления по формулам (6.4) и (6.6)

см1910191308200

101003 3

кв ≈=⋅⋅

=,

v ,

молькг109811913

2903182 32

−⋅=⋅⋅

=µ ,, .

Ответ: см1910кв =v , молькг10981 3−⋅=µ , .




21

Пример 7. Какая часть молекул азота ( )2N NN∆ при температуре С150°=t обладает скоростями от см3001 =v до см3052 =v . Дано: С150°=t ; К423=T см3001 =v см3052 =v

( )23 Nмолькг1028 −⋅=µ

NN∆ – ?

Решение Наиболее вероятная скорость молекул азо-

та при температуре 423 К

µ=

RT2вv ,

где R – универсальная газовая постоянная; µ – молярная масса; T – термо-динамическая температура.


см5011028

42331823в =

⋅⋅⋅

= −,v .

Относительные скорости молекул азота для заданных скоростей:

5990501300

в

11 ,u ===

vv , 6090

501305

в

22 ,u ===

vv ,

010005990609012 ,,,uuu =−=−=∆ . Ширина относительного интервала скорости составляет

%2%67110671599001000 2

1<=⋅==

∆ − ,,,

,u

u .

Так как эта величина меньше 2 %, то воспользуемся следующей фор-мулой для вычисления относительного числа молекул

( ) uuuNN

∆−π

=∆ 22exp4 .


( ) 322 10665010005990exp5990143

4 −⋅=⋅−⋅⋅=∆ ,,,,

,NN .

Ответ: 310665 −⋅=∆ ,NN .




22

Пример 8. В баллоне находится г502,m = кислорода ( )2O . Найти число молекул кислорода xN , скорости которых превышают значение средней квадратичной скорости квv .

Дано: Решение кг102,50г502 3−⋅== ,m

( )23 Oмолькг1032 −⋅=µ

−xN ?

Наиболее вероятная и средняя квадратич-ная скорости молекул кислорода при температу-ре T равны соответственно:

µ=

RT2вv и

µ=

RT3квv ,

где R – универсальная газовая постоянная; µ – молярная масса. Значение относительной скорости

22123

в

кв ,u ===vv .

По графику (рис. 1) находим

390,NN x = .

Общее число молекул в баллоне

ANmNµ

= ,

где m – масса тела; AN – число Авогадро. Окончательно: число молекул, скорость которых превышает среднюю

квадратичную,

A390390 Nm,N,N x µ== .


223

23310831

10321002610502390

⋅=⋅

⋅⋅⋅⋅= −

−,,,,N x .

Ответ: 2210831 ⋅= ,N x .




23

Пример 9. Вычислить удельную теплоёмкость при постоянном объё-ме Vcуд и при постоянном давлении pcуд неона ( )Ne и водорода ( )2H , при-нимая эти газы за идеальные.

Дано: Решение ( )Neмолькг1020 3

1−⋅=µ

31 =i ( )2

32 Hмолькг102 −⋅=µ

52 =i

1удVc – ?

1удpc – ?

2Vcуд – ?

2pcуд – ?

Удельные теплоёмкости идеальных га-зов выражаются формулами:

µ⋅=Ric V 2уд , (9.1)

µ⋅

+=

Ric p 22

уд , (9.2)

где i – число степеней свободы молекулы га-за; µ – молярная масса.

Произведём вычисления: Для неона

( )КкгДж6241020318

23

31уд ⋅=⋅

⋅= −,c V ,

( ) ( )КкгкДж041КкгДж100411020318

223 3

31уд ⋅=⋅⋅=⋅

⋅+

= − ,,,c p .

Для водорода

( ) ( )КкгкДж410КкгДж10410102318

25 3

32уд ⋅=⋅⋅=⋅

⋅= − ,,,c V ,

( ) ( )КкгкДж614КкгДж10614102318

225 3

32уд ⋅=⋅⋅=⋅

⋅+

= − ,,,c p .

Ответ: ( )КкгДж6241уд ⋅=Vc , ( )КкгкДж0411уд ⋅= ,c p ,

( )КкгкДж4102уд ⋅= ,c V , ( )КкгкДж6142уд ⋅= ,c p .




24

Пример 10. Вычислить удельные теплоёмкости при постоянном объ-ёме Vcуд и при постоянном давлении pcуд смеси неона ( )Ne и водорода ( )2H , если массовые доли неона и водорода составляют %801 =w и

%202 =w . Значения удельных теплоёмкостей взять из примера 9. Дано: Решение

Ne 0,8%801 ==w

2H 0,2%202 ==w

Vcуд – ?

pcуд – ?

Удельную теплоёмкость Vcуд смеси при по-стоянном объёме найдем следующим образом. Теп-лоту, необходимую для нагревания смеси на T∆ , выразим двумя способами:

( ) TmmcQ V ∆+= 21уд ; (10.1) TmcTmcQQQ VV ∆+∆=+= 22уд11уд21 ,

(10.2)

где 1удVc – удельная теплоёмкость неона; 2удVc – удельная теплоёмкость водорода.

Приравняв правые части выражений (10.1) и (10.2) и разделив обе час-ти полученного равенства на T∆ , получим

( ) 22уд11уд21уд mcmcmmc VVV +=+ ,

откуда

21

22уд

21

11удуд mm

mcmm

mcc VVV ++

+= , (10.3)

или

22уд11удуд wcwcc VVV += , (10.4)

где 1w и 2w – массовые доли, 21

11 mm

mw+

= и 21

22 mm

mw+

= .

Рассуждая так же, получим формулу для вычисления удельной тепло-ёмкости смеси при постоянном давлении

22уд11удуд wcwcc ppp += . (10.5)

Произведём вычисления по формулам (10.4) и (10.5):

( ) ( ) ( )КкгкДж582КкгДж1058220100418010246 342уд ⋅=⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅= ,,,,,,c V ,

( ) ( ) ( )КкгкДж753КкгДж1075320104618010041 343уд ⋅=⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅= ,,,,,,c p .

Ответ: ( )КкгкДж582уд ⋅= ,c V , ( )КкгкДж753уд ⋅= ,c p .




25

Пример 11. Кислород ( )2O массой кг002,m = занимает объём 3

1 м001,V = и находится под давлением кПа2001 =p . Газ был нагрет сна-чала при постоянном давлении до объёма 3

2 м003,V = , а затем при посто-янном объёме до давления кПа5003 =p . Найти изменение U∆ внутренней энергии газа, совершенную им работу A и теплоту Q , переданную газу. Построить график процесса.

Дано: Решение кг002,m =

молькг1032 3−⋅=µ ( )2O 3

1 м001,V = Па10200кПа200 3

1 ⋅==p 3

2 м003,V = 12 pp =

23 VV = Па10500кПа500 3

3 ⋅==p U∆ – ?

A – ? Q – ?

Графическое изображение процессов показано на рис. 2.

Рис. 2

Изменение внутренней энергии идеального газа

( ) ( )1313 2TTmRiTTmCU V −

µ=−

µ=∆ µ , (11.1)

где i – сумма числа степеней свободы поступательного и вращательного движения молекул газа (для двухатомных молекул кислорода 5=i ); 3T , 1T –температуры газа в конечном (третьем) и начальном состояниях.

Температуры газа в характерных точках процесса найдем из уравне-ния Клапейрона–Менделеева

TRmpVµ

=


К385318002

103200110200 3311

1 =⋅

⋅⋅⋅⋅=

µ=

−

,,,

RmVpT ,

К1155318002

103200310200 3322

2 =⋅

⋅⋅⋅⋅=

µ=

−

,,,

RmVpT ,

p

3p

1p

1V 2V V

12

3




26

К2887318002

103200310500 3333

3 =⋅

⋅⋅⋅⋅=

µ=

−

,,,

RmVpT .

Рассчитаем изменение внутренней энергии по формуле (11.1)

( ) ( ) МДж2531032491032

385288700231825

23

313 ,,,TTmRiU ≈⋅=⋅

−⋅⋅=−

µ=∆

−.

Работа, совершаемая газом,

213221 −−− =+= AAAA , так как работа расширения газа в изохорном процессе 032 =−A .

Работа изобарного расширения ( )12121 VVpA −=− .


( ) кДж400Дж1040000100310200 3321 =⋅=−⋅⋅=− ,,A ,

кДж40021 == −AA . Согласно первому началу термодинамики, теплота Q , переданная га-

зу, равна сумме изменения внутренней энергии U∆ и работы A :

AUQ +∆= . Произведём вычисления

( ) МДж3,65Дж106493104003249 33 ≈⋅=⋅+=Q .

Ответ: МДж253,U =∆ , кДж400=A , МДж3,65=Q .




27

Пример 12. В цилиндре под поршнем находится водород ( )2H массой г020,m = при температуре К3001 =T . Водород сначала расширился адиа-

батно, увеличив свой объём в 51 =n раз, а затем был сжат изотермически, причем объём газа уменьшился в 52 =n раз. Найти температуру в конце адиабатного расширения и работу, совершенную газом при этих процессах. Изобразить процесс графически.

Дано: Решение кг10020г020 3−⋅== ,,m

К3001 =T 5121 == VVn 5322 == VVn

13 TT = молькг1032 3−⋅=µ ( )2H

2T – ? 21−A – ? 32−A – ?

Графическое изображение процессов дано на рис. 3.

Рис. 3

Температуры и объёмы газа, совершающего адиабатный процесс, свя-заны между собой соотношением

11

1

2

1

1

2 1−γ

−γ

=

=

nVV

TT , (12.1)

где γ – коэффициент Пуассона (показатель адиабаты)

ii

CC

V

p 2+==γ

µ

µ .

Для двухатомной молекулы водорода 5=i , поэтому 41,=γ . Из соотношения (12.1) получаем следующее выражение для конечной

температуры:

11

12 −γ=

nTT .

Работа 21−A газа при адиабатном расширении может быть определена по формуле

p

1p

2p

3p

1

2

3

V1V 2V




28

( ) ( )212121 2TTRimTTCmA V −

µ=−

µ= µ− ,

где VCµ – молярная теплоёмкость газа при постоянном объёме. Работа 32−A газа при изотермическом процессе может быть выражена

в виде

22

2

3232

1lnlnn

RTmVVRTmA

µ=

µ=− .


К1575300

5300

401412 === − ,,T ,

( ) Дж 1029,81573002102

318510020 33

3

21−

−

−

− ⋅=−⋅⋅

⋅⋅⋅=

,,A ,

Дж 102151ln157318

10210020 3

3

3

32−

−

−

− ⋅−=⋅⋅⋅

⋅= ,,A .

Отрицательное значение работы 32−A означает, что при сжатии работа совершается над газом внешними силами.

Ответ: К1572 =T , Дж 1029,8 3

21−

− ⋅=A , Дж 1021 332

−− ⋅−=A .




29

Пример 13. Тепловая машина работает по циклу Карно. Температура нагревателя К500н =T . Определить термический КПД цикла и температу-ру хT холодильника тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от нагревателя, машина совершает работу

Дж350ц =A . Дано: Решение

К500н =T Дж350ц =A Дж1000н =Q

η – ? хT – ?

Термический КПД тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от нагревателя, превра-щается в механическую работу. Термический КПД выра-жается формулой

н

ц

QA

=η ,

где нQ – теплота, полученная от нагревателя; цA – работа, совершенная ра-бочим телом тепловой машины.

Зная КПД цикла, можно по формуле ( ) нхн TTT −=η определить тем-пературу холодильника

( )η−= 1нх TT . Произведём вычисления:

%03535001000350 ,, ===η ,

( ) К32535001500х =−= ,T .

Ответ: %035,=η , К325х =T .




30

Пример14. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, 70 % количе-ства теплоты нQ , полученной от нагревателя, отдает холодильнику. Коли-чество теплоты, полученное от нагревателя равно 5,00 кДж. Определить термический КПД цикла η , работу, совершаемую в цикле цA .

Дано: Решение нх 7000 Q,Q =

ДжкДжн310005005 ⋅== ,,Q

η – ? цA – ?

Термический КПД цикла можно выра-зить через теплоты нQ и хQ :

3000700011н

н

н

х

н

хн ,Q

Q,QQ

QQQ

=−=−=−

=η

С другой стороны, КПД цикла можно выразить через работу цA , со-вершаемую рабочим телом за цикл,

н

ц

QA

=η .

Отсюда

кДж51Дж1051100053000 33нц ,,,,QA =⋅=⋅⋅=η= .

Ответ: 3000,=η , кДж51ц ,A = .




31

Пример15. Гелий ( )He массой г010,m = в качестве рабочего тела используется в прямом цикле, состоящем из двух изобар, адиабаты и изо-хоры. В начальном состоянии гелий занимает объём л5121 ,V = при давле-нии кПа5001 =p . При изобарном нагревании объём газа увеличивается в 2 раза, а затем газ адиабатно расширяется, в результате чего его температура уменьшается на К100=∆T . Затем газ изобарно охлаждают до первона-чального объёма и изохорно повышают давление до первоначального зна-чения. Изобразить цикл в pV –координатах. Определить температуры ха-рактерных точек цикла, КПД цикла η и изменение энтропии на участке изохорного нагревания.

Дано: Решение кг10010г010 3−⋅== ,,m

молькг104 3−⋅=µ ( )He 33-

1 м1012,5л512 ⋅== ,V Па10500кПа500 3

1 ⋅==p 12 2VV =

К10032 =∆ −T 34 pp =

14 VV =

1T – ? 2T – ? 3T – ? 4T – ?

η – ? 14−∆S – ?

Графическое изображение цикла дано на рис. 4.

Рис. 4

Одноатомный газ гелий имеет три степе-ни свободы 3=i .

Найдем изохорную и изобарную молярные теплоёмкости гелия:

( )КмольДж51231823

2⋅===µ ,,RiC V ,

( )КмольДж8203182

232

2⋅=

+=

+=µ ,,RiC p

Коэффициент Пуассона (показатель адиабаты)

6713

232 ,i

iCC

V

p =+

=+

==γµ

µ .

Количество вещества в рабочем теле

1 2

34

p

V

1p

4p

1V 2V 3V




32

моль502104

100103

3,,m

=⋅

⋅=

µ=ν −

−.

Температуры газа в начальном состоянии найдем из уравнения Кла-пейрона–Менделеева

111 TRVp ν= .

К301318502

1051210500 3311

1 =⋅

⋅⋅⋅=

ν=

−

,,,

RVpT .

Температуры и объёмы в изобарном процессе 1–2 связаны следующим соотношением:

2

2

1

1TV

TV

= ,

откуда и находим температуру 2T

К60223011

212 =⋅==

VVTT .

Температура 3T в точке 3

К0251006023223 =−=∆−= −TTT . Температуры и давления в адиабатном процессе 2–3 связаны следую-

щим соотношением: γ−γγ−γ = 1

33122 pTpT .

Давление 3p в точке 3

кПа318Па1031850260210500 36711

67131

3

223 =⋅=

⋅⋅=

= −γ−

γ

,,

TT

pp .

Давление 4p и объём 4V в точке 4

кПа31834 == pp , 3314 м10512 −⋅== ,VV .

Температуры газа в точке 4 найдем из уравнения Клайперона–Менделеева

444 TRVp ν= ,

К119318502

1051210318 3344

4 =⋅

⋅⋅⋅=

ν=

−

,,,

RVpT .




33

КПД цикла

н

х1QQ

−=η ,

где хQ – теплота, отданная рабочим телом холодильнику; нQ – теплота, пе-реданная от нагревателя рабочему телу.

Теплота 21−Q в изобарном процессе 1–2

( ) ( ) кДж615Дж10615301602820502 31221 ,,,,TTCQ p =⋅=−⋅⋅=−ν= µ− .

Теплота в адиабатном процессе 2–3 032 =−Q . Теплота 43−Q в изобарном процессе 3–4

( ) ( ) кДж216Дж10216502191820502 33443 ,,,,TTCQ p −=⋅−=−⋅⋅=−ν= µ− .

Теплота 14−Q в изохорном процессе 4–1

( ) ( ) кДж443Дж10443191301512502 34114 ,,,,TTCQ V =⋅=−⋅⋅=−ν= µ− .

Если теплота положительная, то она передается от нагревателя рабо-чему телу, следовательно

( ) кДж019Дж1001910443615 331421н ,,,,QQQ =⋅=⋅+=+= −− .

Если теплота отрицательная, то она передается от рабочего тела холо-дильнику, следовательно,

кДж21643х ,QQ −== − . На рис. 5 показано, в каких процессах осуществляется подвод от на-

гревателя и отвод теплоты к холодильнику. КПД цикла

%7141470019216

1 ,,,,

==−

−=η .

Изменение энтропии 14−∆S при изохорном нагревании

КДж214191301ln512502ln

4

14114 ,,,

TTCSSS V =⋅⋅=ν=−=∆ µ− .




34

Рис. 5

Ответ: К3011 =T , К6022 =T , К0253 =T , К1194 =T , %714,=η , КДж21414 ,S =∆ − .

1 2

34

p

V

032 =−Q

21−Q

14−Q

43−Q




35



Номер варианта Порядковый номер задачи Предпоследняя

цифра шифра

Последняя цифра шифра

1 2 3 4 5 6 7 8

1 501 512 523 534 545 556 567 578 2 502 513 524 535 546 557 568 579 3 503 514 525 536 547 558 569 580 4 504 515 526 537 548 559 570 571

0, 1, 2, 3 5 505 516 527 538 549 560 561 572 6 506 517 528 539 550 551 562 573 7 507 518 529 540 541 552 563 574 8 508 519 530 531 542 553 564 575 9 509 520 521 532 543 554 565 576 0 510 511 522 533 544 555 566 577 1 501 513 525 537 549 551 563 575 2 502 514 526 538 550 552 564 576 3 503 515 527 539 541 553 565 577 4 504 516 528 540 542 554 566 578

4, 5, 6 5 505 517 529 531 543 555 567 579 6 506 518 530 532 544 556 568 580 7 507 519 521 533 545 557 569 571 8 508 520 522 534 546 558 570 572 9 509 511 523 535 547 559 561 573 0 510 512 524 536 548 560 562 574 1 501 514 527 540 543 556 569 572 2 502 515 528 531 544 557 570 573 3 503 516 529 532 545 558 561 574 4 504 517 530 533 546 559 562 575

7, 8, 9 5 505 518 521 534 547 560 563 576 6 506 519 522 535 548 551 564 577 7 507 520 523 536 549 552 565 578 8 508 511 524 537 550 553 566 579 9 509 512 525 538 541 554 567 580 0 510 513 526 539 542 555 568 571




36

ЗАДАЧИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ 5 501. Микроскопическая пылинка углерода ( )C обладает массой

нг1000,m = . Определить количество вещества ν и число атомов N в пы-линке.

502. Сколько атомов N ртути ( )Hg содержится в воздухе объёмом 3м301,V = в помещении, зараженном ртутью, при температуре С20 °=t ,

если давление насыщенного пара ртути при этой температуре Па1330,p = ? 503. Какова длина ребра куба a , содержащего 610001 ⋅= ,N молекул

идеального газа при нормальных условиях? 504. В сосуде объёмом 3дм001,V = содержится некоторый газ при

температуре С17 °=t . Найти приращение давления газа p∆ , если вследст-вие утечки газа из него выйдет 2110001 ⋅=∆ ,N молекул.

505. Вода при температуре С4°=t занимает объём 3cм010,V = . Оп-ределить количество вещества ν и число N молекул воды ( )OH2 .

506. Определить концентрацию n молекул идеального газа, находя-щегося в сосуде объёмом л005,V = . Количество вещества 5000,=ν моль.

507. Сколько атомов N содержится в натрии ( )Na : 1) количество ве-щества моль001,=ν ; 2) масса г003,m = ?

508. Найти молярную массу µ и массу 0m одной молекулы поварен-ной соли (NaCl).

509. В баллоне объёмом л005,V = содержится аргон ( )Ar массой г020,m = . Определить концентрацию n молекул газа.

510. Сколько молекул воды ( )OH2 содержится в стакане вместимо-стью 0,250 л при температуре С4° .

511. Баллон вместимостью л020,V = заполнен азотом ( )2N при тем-пературе К600=T . Когда часть газа была израсходована, давление в бал-лоне понизилось на кПа150=∆ p . Определить массу m∆ израсходованно-го газа. Процесс считать изотермическим.

512. В одном баллоне вместимостью 3дм0151 ,V = находится газ под давлением кПа2001 =p , а в другом – тот же газ под давлением

МПа0012 ,p = . Баллоны, температура которых одинакова, соединены труб-кой с краном. Если открыть кран, то в обоих баллонах устанавливается дав-ление кПа400=p . Какова вместимость 2V второго баллона?




37

513. Плотность газа при давлении кПа200=p и температуре С7 °=t 3мкг412,=ρ . Какова масса µ одного моля этого газа?

514. Газ находится при температуре С201 °=t и давлении кПа5001 =p . Какое давление 2p потребуется для того, чтобы увеличить

плотность газа в 2 раза, если температура его будет доведена до С802 °=t ? 515. Определить массу одного моля смеси, состоящей из кислорода

( )2O массой г0081 ,m = и углекислого газа ( 2СО ) массой г0222 ,m = . 516. Найти объём смеси, состоящей из азота ( )2N массой кг8021 ,m =

и кислорода ( )2O массой кг2032 ,m = и имеющей температуру С17 °=t и давление кПа400=p .

517. Определить плотность смеси ρ , состоящей из гелия ( )He массой г0081 ,m = и аргона ( )Ar массой г0042 ,m = , при температуре С17 °=t и

давлении кПа100=p . 518. В баллоне вместимостью л020,V = находится аргон ( )Ar под

давлением кПа8001 =p и при температуре К3001 =T . Когда из баллона было взято некоторое количество газа, давление в баллоне понизилось до

кПа4002 =p , а температура установилась К2502 =T . Определить массу m аргона, взятого из баллона.

519. Определить молярную массу µ газа, если при температуре К309=T и давлении кПа560=p он имеет плотность 3мкг106,=ρ .

520. Определить плотность ρ водяного пара ( )OH2 , находящегося под давлением кПа005,p = и имеющего температуру К350=T .

521. Определить внутреннюю энергию U кислорода ( )2O , а также среднюю кинетическую энергию ε молекулы этого газа при температуре

К600=T , если количество вещества ν этого газа равно 0,500 моль. 522. Определить суммарную кинетическую энергию кW поступатель-

ного движения всех молекул газа, находящегося в сосуде объёмом л010,V = под давлением кПа600=p .

523. Определить суммарную кинетическую энергию кW поступатель-ного движения всех молекул газа, находящегося при температуре

К200=T . Количество вещества моль002,=ν . 524. Молярная внутренняя энергия µU некоторого двухатомного газа

равна 12,04 кДж. Определить среднюю кинетическую энергию врε вра-щательного движения одной молекулы этого газа. Газ считать идеальным.




38

525. Молярная внутренняя энергия µU некоторого трехатомного газа

равна 10,5 кДж. Определить среднюю кинетическую энергию врε враща-тельного движения одной молекулы этого газа. Газ считать идеальным.

526. При какой температуре T средняя кинетическая энергия посту-пательного движения одной молекулы газа 2110288 −⋅=ε ,пост Дж?

527. Полная кинетическая энергия молекул многоатомного газа, мас-са которого г020,m = , кДж203к ,W = . Найти среднюю квадратическую скорость молекул этого газа квv .

528. Какова средняя квадратическая квv и средняя арифметическая скорость v пылинки, находящейся в воздухе во взвешенном состоянии при температуре С17 °=t , если масса ее нг1000,m = ?

529. При какой температуре 1T молекулы аргона ( )Ar имеют такую же среднюю квадратическую скорость, как молекулы гелия ( )He при

К1002 =T ? 530. Определить среднюю кинетическую энергию ε одной молеку-

лы водяного пара ( )OH2 при К400=T и среднюю кинетическую энергию вращательного движения врε .

531. Какая часть молекул NN∆ кислорода ( )2O обладает скоростя-ми, отличающимися от наиболее вероятной скорости не больше, чем на

см010,=∆ v , при температурах С01 °=t и С3002 °=t ? 532. Определить отношение числа молекул 21 NN ∆∆ водорода

( )2H , обладающих скоростями в диапазоне от 2,00 до 2,01 скм , к числу молекул, обладающих скоростями в диапазоне от 1,00 до 1,01 скм , если температура водорода С0 °=t .

533. Определить какая часть молекул NN∆ азота ( )2N , обладает скоростями в диапазоне от см1 500=v до см2 505=v при температурах

К5001 =T и К10002 =T . 534. Используя рисунок приложения, определить какая часть молекул NN∆ азота ( )2N при температуре C°= 150t имеет скорости, лежащие в

интервале от см1 300=v до см2 800=v ? 535. В сосуде находится г008,m = кислорода ( )2O при температуре К1600=T . Какое число молекул кислорода N∆ имеет скорость поступа-

тельного движения, превышающую скорость звука см340зв =v ?




39

536. Определить высоту горы h , если давление на ее вершине равно половине давления на уровне моря 20pp = . Температуру считать всюду одинаковой С0 °=t .

537. На поверхности Земли барометр показывает кПа1010 =p . Како-во будет показание барометра p при подъеме его на Останкинскую телеви-зионную башню, высота которой м540=h ? Температуру считать всюду одинаковой С17 °=t .

538. Каковы давление p и концентрация n молекул воздуха на высо-те 2,00 км над уровнем моря? Давление на уровне моря 101 кПа, а темпера-тура С10 °=t . Изменением температуры с высотой пренебречь.

539. На какой высоте h давление воздуха составляет 75 % от давле-ния на уровне моря? Температуру воздуха считать постоянной С0 °=t .

540. Определить отношение давления воздуха на высоте 1,00 км к давлению на дне шахты глубиной 1,00 км. Воздух у поверхности Земли на-ходится при нормальных условиях, а его температура не зависит от высоты.

541. Удельная теплоёмкость при постоянном давлении некоторого га-за ( )КкгДж970уд ⋅=pc , молярная масса его мольг030,=µ . Определить, каким числом степеней свободы обладают молекулы этого газа.

542. Вычислить удельные теплоёмкости при постоянном давлении pcуд и постоянном объёме Vcуд газа, зная, что его молярная масса

мольг040,=µ , а отношение теплоемкостей 671удуд ,cc Vp = . 543. Плотность некоторого газа при нормальных условиях

3мкг251,=ρ . Коэффициент Пуассона 401,=γ . Определить удельные теп-лоёмкости pcуд и Vcуд этого газа.

544. Определить коэффициент Пуассона γ для газовой смеси, со-стоящей из водорода ( )2H массой г0041 ,m = и углекислого газа ( 2СО ) массой г0222 ,m = .

545. Коэффициент Пуассона смеси 351,=γ . Смесь состоит из не-скольких 1ν молей азота ( )2N и моль0052 ,=ν аммиака ( 3NH ). Опреде-лить 1ν – число молей азота в смеси.

546. Найти удельные теплоёмкости pcуд и Vcуд и молярные pCµ и

VCµ теплоёмкости кислорода ( )2O . 547. Трехатомный газ под давлением кПа240=p при температуре С50 °=t занимает объём л015,V = . Определить теплоёмкость всей массы

этого газа при постоянном давлении.




40

548. Одноатомный газ при нормальных условиях занимает объём л010,V = . Вычислить теплоёмкость VC всей массы газа при постоянном

объёме. 549. Определить молярную массу µ двухатомного газа и его удель-

ные теплоёмкости, если известно, что разность удельных теплоёмкостей этого газа ( )КкгДж260удуд ⋅=− Vp cc .

550. Найти удельные pcуд и Vcуд , а также молярные pCµ и VCµ теп-лоёмкости азота ( )2N .

551. Азот ( )2N массой кг005,m = , нагретый на К250=∆T , сохра-нил неизменный объём V . Найти: 1) количество теплоты Q , сообщенное газу; 2) изменение U∆ внутренней энергии; 3) совершенную газом работу A .

552. Водород ( )2H занимает объём 3м0101 ,V = при давлении кПа1001 =p . Газ нагрели при постоянном объёме до давления кПа3002 =p . Определить: 1) изменение U∆ внутренней энергии газа;

2) совершенную газом работу A ; 3) количество теплоты Q , сообщенное га-зу.

553. Баллон объёмом л020,V = содержит водород ( )2H при темпе-ратуре К3001 =T под давлением кПа4001 =p . Каковы будут температура

2T и давление 2p , если газу сообщить количество теплоты кДж006,Q = ? 554. Кислород ( )2O при неизменном давлении кПа080,p = нагрева-

ется. Его объём увеличивается от 3м0011 ,V = до 3м0032 ,V = . Определить: 1) изменение U∆ внутренней энергии кислорода; 2) работу A , совершае-мую им при расширении; 3) количество теплоты Q , сообщенное газу.

555. На нагревание кислорода ( )2O массой г160=m на К012,T =∆ было затрачено количество теплоты кДж761,Q = . Как протекал процесс: при постоянном объёме или при постоянном давлении?

556. Азот ( )2N массой г200=m расширяется изотермически при температуре К280=T , причем объём газа увеличивается в два раза. Най-ти: 1) изменение U∆ внутренней энергии газа; 2) совершенную при рас-ширении газа работу A ; 3) количество теплоты Q , полученное газом.

557. При адиабатном сжатии кислорода ( )2O массой кг001,m = со-вершена работа кДж100=A . Определить конечную температуру 2T газа, если до сжатия кислород находился при температуре К3001 =T .




41

558. Водород ( )2H при нормальных условиях имел объём 31 м100=V .

Найти изменение U∆ внутренней энергии газа при его адиабатном расши-рении до объёма 3

2 м150=V . 559. Гелий ( )He , находящийся при нормальных условиях, изотерми-

чески расширяется от объёма л0101 ,V = до л0202 ,V = . Определить: 1) изменение U∆ внутренней энергии газа; 2) работу A , совершённую га-зом при расширении; 3) количество теплоты Q , полученное газом.

560. Азот ( )2N , находящийся при температуре К4001 =T , подвергли адиабатному расширению, в результате которого его объём увеличился в 5=n раз, а внутренняя энергия уменьшилась на кДж004,U =∆ . Опреде-лить массу азота m и конечную температуру 2T .

561. Тепловую машину, работающую по циклу Карно с КПД %020,=η , используют при тех же условиях как холодильную машину.

Найти ее холодильный коэффициент ε . 562. Какую работу цA совершают внешние силы в идеальной холо-

дильной машине, работающей по обратному циклу Карно, чтобы отнять у холодильника, температура которого С10х °−=t , кДжх 100=Q теплоты. Температура окружающей среды С10н °=t .

563. Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно, имеет температуру нагревателя С227н °=t , а температуру холодильника

С127х °=t . Во сколько раз нужно увеличить температуру нагревателя, что-бы КПД η машины увеличился в 3 раза.

564. Двухатомный газ совершает цикл Карно. Определить КПД η цикла, если известно, что на каждый моль этого газа при его адиабатном сжатии затрачивается работа 2,00 кДж. Температура нагревателя

С127н °=t . 565. Газ, совершающий цикл Карно, КПД η которого 25 %, при изо-

термическом расширении производит работу 240 Дж. Какова работа, со-вершаемая газом при изотермическом сжатии?

566. Идеальный газ совершая цикл Карно, 32 количества теплоты нQ , полученной от нагревателя, отдает охладителю. Температура охладите-ля Кх 280=T . Определить температуру нT нагревателя.

567. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура нT нагрева-теля равна 470 К, температура хT охладителя равна 280 К. При изотермиче-ском расширении газ совершает работу Дж100=A . Определить термиче-




42

ский КПД η цикла, а также количество теплоты хQ , которое газ отдает ох-ладителю при изотермическом сжатии.

568. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, получив от нагрева-теля количество теплоты кДжн 204,Q = , совершил работу Джц 590=A . Найти термический КПД η этого цикла. Во сколько раз температура нT на-гревателя больше температуры хT охладителя?

569. В цикле Карно газ получил от нагревателя теплоту Джн 500=Q и совершил работу Джц 100=A . Температура нагревателя Кн 400=T . Оп-ределить температуру хT охладителя.

570. Домашний холодильник потребляет ток средней мощностью Вт040,N = . Какое количество теплоты нQ выделится на радиаторе холо-

дильника за сутки, если холодильный коэффициент 9=ε ? 571. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества моль001,=ν , совершает прямой цикл, состоящий из двух изобар и двух

изохор. Наименьший объём лmin 010,V = , наибольший лmax 020,V = , наи-меньшее давление кПа246min =p , наибольшее кПа404max =p . Построить график цикла в координатах V,p . Определить температуру T газа для ха-рактерных точек цикла, его термический КПД η , а также изменение энтро-пии S∆ на участке изобарного расширения.

572. Идеальный двухатомный газ в количестве моль001,=ν находит-ся под давлением кПа1001 =p при температуре К3001 =T . Вначале газ изохорно нагревают до давления кПа2002 =p . После этого газ изотерми-чески расширился до начального давления и затем изобарно был сжат до начального объёма 1V . Построить график цикла в координатах V,p . Опре-делить температуры T газа для характерных точек цикла, его термический КПД η , а также изменение энтропии S∆ на участке изотермического рас-ширения.

573. Идеальный многоатомный газ, содержащий количество вещества 002,=ν моль, совершает прямой цикл, состоящий из трех изопроцессов.

Начальная температура газа К2801 =T , начальное давление кПа1001 =p . Вначале изохорно давление газа увеличивают до кПа3002 =p , а затем газ адиабатно расширяют до первоначального давления, после чего изобарно объём доводят до первоначального. Построить график цикла в координатах

V,p . Определить температуры T для характерных точек цикла, его терми-ческий КПД η , а также изменение энтропии S∆ на участке изохорного на-гревания.




43

574. Идеальный двухатомный газ совершает прямой цикл, состоящий из изохоры, изобары, изотермы и изобары. Начальные параметры состоя-ния: К3501 =T , кПа3001 =p , л0151 ,V = . При изохорном нагревании дав-ление поднимается до кПа4002 =p , а при изобарном расширении объём увеличивается в 2 раза. Построить график цикла в координатах V,p . Оп-ределить температуры T газа для характерных точек цикла, его термиче-ский КПД η , а также изменение энтропии S∆ на участке изотермического расширения.

575. Идеальный одноатомный газ, содержащий количество вещества 1000,=ν моль, совершает прямой цикл, состоящий из изохоры, изобары,

адиабаты и изобары. В начальном состоянии температура газа К2501 =T , давление кПа1501 =p . Температуру газа увеличивают изохорно на

К1001 =∆T , затем увеличивают изобарно еще на К1002 =T . После этого газ адиабатно расширяется до начального давления, и изобарно возвращают в исходное состояние. Построить график цикла в координатах V,p . Опре-делить температуры T газа для характерных точек цикла, его термический КПД η , а также изменение энтропии S∆ на участке изобарного сжатия.

576. Кислород ( )2O в количестве 16,0 г совершает прямой цикл, со-стоящий из изотермы, изобары и адиабаты. В начальном состоянии газ за-нимает объём л0101 ,V = при давлении кПа1201 =p . Вначале давление га-за изотермически уменьшается в 2 раза, затем путем изобарного сжатия и адиабатного сжатия газ возвращается в начальное состояние. Построить график цикла в координатах V,p . Определить температуры T газа для ха-рактерных точек цикла, его термический КПД η , а также изменение энтро-пии S∆ на участке изотермического расширения.

577. Идеальный многоатомный газ в количестве 002,=ν моль, со-вершает прямой цикл. В начальном состоянии газ занимает объём

л0201 ,V = при давлении кПа1501 =p . Вначале объём газа изобарно увели-чивается в 3 раза, а затем путем изохорного охлаждения и изотермического сжатия он возвращается в первоначальное состояние. Построить график цикла в координатах V,p . Определить температуры T газа для характер-ных точек цикла, его термический КПД η , а также изменение энтропии S∆ на участке изотермического сжатия.

578. Идеальный двухатомный газ в количестве 1000,=ν моль, совер-шает прямой цикл, состоящий из изобары, изохоры и адиабаты. В началь-ном состоянии газ занимает объём л0041 ,V = при давлении кПа2001 =p . Газ изобарно нагревают на К150=∆T , а затем изохорно охлаждают и, на-конец, адиабатно сжимают до начального состояния. Построить график




44

цикла в координатах V,p . Определить температуры T газа для характер-ных точек цикла, его термический КПД η , а также изменение энтропии S∆ на участке изобарного расширения.

579. Идеальный одноатомный газ в количестве 3000,=ν моль, со-вершает прямой цикл, состоящий из изохоры, адиабаты и изотермы. В на-чальном состоянии газ занимает объём л0031 ,V = при температуре

К4001 =T . Газ изохорно нагревают до давления кПа5002 =p . Затем газ адиабатно расширяют до первоначальной температуры и изотермически сжимают до первоначального давления. Построить график цикла в коорди-натах V,p . Определить температуры T газа для характерных точек цикла, его термический КПД η , а также изменение энтропии S∆ на участке изо-термического сжатия.

580. Идеальный многоатомный газ в количестве 4000,=ν моль, со-вершает прямой цикл, состоящий из изобары, адиабаты и изотермы. В на-чальном состоянии газ занимает объём л0101 ,V = при давлении

кПа1001 =p . При постоянном давлении объём газа увеличивается в 3=n раза, и путем адиабатного расширения его температура уменьшается

до первоначальной, затем изотермическим сжатием газ возвращается в пер-воначальное состояние. Построить график цикла в координатах V,p . Оп-ределить температуры T газа для характерных точек цикла, его термиче-ский КПД η , а также изменение энтропии S∆ на участке изобарного нагре-вания.




45


Таблица 1 Единицы СИ




Основные единицы

Длина метр м m Масса килограмм кг kg Время секунда с s Термодинамическая температура

кельвин К K


ампер А A

Количество вещества моль моль mol Сила света кандела кд cd

Дополнительные единицы Плоский угол радиан рад rad Телесный угол стерадиан ср sr

Производные единицы молекулярно-кинетических и термодинамических величин Объём, вместимость кубический метр м3 m3 Плотность килограмм на кубиче-

ский метр кг/м3 kg/m3

Удельный объём кубический метр на килограмм

м3/кг m3/kg

Энергия джоуль Дж J Работа джоуль Дж J Мощность ватт Вт W

Давление паскаль Па Pa Молярная масса килограмм на моль кг/моль kg/mol Коэффициент диффузии квадратный метр на

секунду м2/с m2/s

Коэффициент тепло- проводности

ватт на метр-кельвин Вт/(м⋅К) W/(m⋅К)




46

Окончание табл. 1




Коэффициент динами- ческой вязкости

паскаль-секунда Па⋅с Pa⋅s

Коэффициент кинема- тической вязкости

квадратный метр на секунду

м2/с m2/s

Теплота джоуль Дж J Тепловой поток ватт Вт W Поверхностная плот- ность теплового потока

ватт на квадратный метр

Вт/м2 W/м2

Теплоёмкость джоуль на кельвин Дж/К J/K Удельная теплоёмкость джоуль на килограмм-

кельвин Дж/(кг⋅К) J/(kg⋅К)

Молярная теплоёмкость джоуль на моль-кельвин

Дж/(моль⋅К) J/(mol⋅К)

Теплопроводность ватт на метр-кельвин Вт/(м⋅К) W/(m⋅K) Температуропровод- ность

квадратный метр на секунду м2/с m2/s

Коэффициент теплооб- мена

ватт на квадратный метр-кельвин Вт/(м2⋅К) W/(m2⋅K)

Коэффициент теплопе- редачи

ватт на квадратный метр-кельвин

Вт/(м2⋅К) W/(m2⋅K)

Внутренняя энергия джоуль Дж J Энтропия джоуль на кельвин Дж/К J/K Энтальпия джоуль Дж J Свободная энергия джоуль Дж J

Свободная энтальпия джоуль Дж J Химический потенциал джоуль Дж J

Примечание : Кроме шкалы Кельвина (обозначение температуры T ) до-пускается также применять шкалу Цельсия (обозначение температуры t );

0TTt −= , где 152730 ,T = К. Температура по шкале Кельвина измеряется в кель-винах (К), температура по шкале Цельсия – в градусах Цельсия ( C° ). По размеру градус Цельсия равен кельвину ( )С1К °=1 , поэтому разность температур можно выражать как в кельвинах, так и в градусах Цельсия ( )tT ∆=∆ .




47

Таблица 2

Десятичные кратные и дольные приставки и множители

Приставка



экса Э E 1810 1 Эм= 1810 м пета П P 1510 1 Пм = 1510 м тера Т T 1210 1 Тм = 1210 м гига Г G 910 1 Гм = 910 м мега М M 610 1 Мм = 610 м кило к k 310 1 км = 310 м гекто г h 210 1 гм = 210 м дека да da 110 1 дам = 110 м деци д d 110− 1 дм = 110− м санти с c 210− 1 см = 210− м милли м m 310− 1 мм = 310− м микро мк µ 610− 1 мкм = 610− м нано н n 910− 1 нм = 910− м пико п p 1210− 1 пм = 1210− м фемто ф f 1510− 1 фм = 1510− м атто а a 1810− 1 ам = 1810− м

Приставку или её обозначение следует писать слитно с наименовани-ем единицы, к которой она присоединяется, или с её обозначением.

Присоединение двух и более приставок подряд не допускается. Кратные и дольные единицы должны выбираться таким образом, что-

бы числовые значения величины находились в диапазоне от 0,1 до 1000. (Выбор десятичной кратной или дольной единицы диктуется прежде всего удобством ее применения.)

Для уменьшения вероятности ошибок при расчётах десятичные крат-ные и дольные единицы рекомендуется подставлять только в конечный ре-зультат, а в процессе вычислений все величины выражать в единицах СИ, заменяя приставки множителями n10 .




48

Таблица 3 Основные физические постоянные (округленные значения)

Величина Обозначение Значение величины

Число Авогадро АN 2310026 ⋅, моль–1 Универсальная газовая постоянная R 318, Дж/(моль⋅К) Постоянная Больцмана k 2310381 −⋅, Дж/К Нормальное атмосферное давление 325101 Па Объём моля идеального газа при нормаль- ных условиях

µV 310422 −⋅, м3/моль

Нормальное ускорение свободного паде- ния

ng 819, м/с2

Таблица 4

Свойства жидкостей

Жидкость Плотность, 3мкг

Удельная теплоёмкость,

( )КкгДж ⋅

Коэффициент поверхностного натяжения,

мН

Удельная теплота испарения,

кгДж Вода 1000

(при 4 С° ) 4190 0,0729

(при 20 С° ) 510622 ⋅,

(при 100 С° ) Глицерин 1200 2430 0,0594

(при 20 С° ) –

Ртуть 13600 138 0,465 (при 25 С° )

310295 ⋅ (при 357 С° )

Таблица 5

Свойства твердых тел

Вещество Плотность, 3мкг

Температура плавления,

С°

Удельная теп-лоёмкость,

( )КкгДж ⋅

Удельная теп-лота плавле-

ния, кгДж

Железо 7870 1538 478 510462 ⋅, Лед 917 0 2100 510343 ⋅, Медь 8960 1083 382 510052 ⋅, Олово 7290 232 228 410056 ⋅,




49

Таблица 6 Относительные атомные массы (округленные значения)

некоторых элементов (кг/кмоль)

Элемент Символ Атомная масса

Элемент Символ Атомная масса

Азот N 14 Натрий Na 23 Аргон Ar 40 Неон Ne 20 Водород H 1 Ртуть Hg 201 Гелий He 4 Углерод C 12 Кислород O 16 Хлор Cl 35 Олово Sn 119

Относительное число молекул, скорости которых превышают заданное значение

20,

0

40,

60,

NN x

80,

10,

30,

50,

70,

u0 1 250, 51, 52,





Санкт-Петербургский государственный университетнизкотемпературных и пищевых технологий

Костко А. Ф., Самолетов В. А.

ФИЗИКАКОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 6

Методические указаниядля студентов 3-го курса всех специальностейфакультета заочного обучения и экстерната





2

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫКвантовая оптика

Фотон – квант электромагнитного излучения. Этот термин использу-ется, когда электромагнитное излучение проявляет корпускулярные свойст-ва. Фотон движется со скоростью см103 8⋅=c . Масса покоя равна нулю,т. е. фотон не существует в состоянии покоя. Фотон не имеет электрическо-го заряда.

Энергия фотона

λ=ω=ν=εγ

chh h ,

где h, – постоянная Планка, 34106266 −⋅= ,h Дж·с; ν – частота излучения; ћ –постоянная Планка, ( ) сДж1005512 34 ⋅⋅=π= −,hh ; ω – циклическая (круго-вая) частота излучения; λ – длина волны излучения; c – скорость света ввакууме, 8103 ⋅=c м/с.

Импульс фотона

λ=

ω=

ν=γ

hcc

hp h .

Релятивистская масса фотона

λ=

ν=γ c

hchm 2 .

Проекция собственного момента импульса (проекция спина) фотонана направление движения равна h . Говорят, что спин фотона целочислен-ный и равен единице (т. е. на самом деле h ), хотя значение h относится нек полному моменту, а только к его проекции.

Тепловое излучениеПоток излучения (мощность излучения)

tE

dd

=Φ ,

где Ed – энергия электромагнитных волн всевозможных частот (или длинволн), испускаемая поверхностью тела за время td .

Энергетическая светимость (плотность потока излучения)

⊥

Φ=

SRT d

d ,

где ⊥S – площадь поверхности, перпендикулярной направлению потока.




3

Интегральный коэффициент черноты

,RR

T

TT 0=ε

где 0TR – энергетическая светимость абсолютно чёрного тела.Спектральная плотность энергетической светимости (испускательная

способность)

λ=λ d

d TT

Rr , ν

=ν dd T

TRr ,

где λ –длина волны, ν – частота.Спектральный коэффициент черноты

,rr

T

TT 0

λ

λλ =ε ,

rr

T

TT 0

ν

νν =ε

где 0Trλ , 0

Trν – испускательная способность абсолютно чёрного тела.Закон Кирхгофа: отношение спектральной плотности энергетической

светимости (испускательной способности) тела к его поглощательной спо-собности не зависит от природы тела и равно спектральной плотностиэнергетической светимости (испускательной способности) абсолютно чёр-ного тела при тех же значениях температуры и длины волны (частоты)

( ),T,fr...rrT

T

T

T

T λ===

α

=

α λ

λ

λ

λ

λ 0

21

( ),T,fr...rrT

T

T

T

T ν===

α

=

α ν

ν

ν

ν

ν 0

21

где Tλα , Tνα – спектральная поглощательная способность.Закон Стефана–Больцмана: энергетическая светимость абсолютно

чёрного тела пропорциональна четвёртой степени его термодинамическойтемпературы

,TRT40 σ=

где σ – постоянная Стефана–Больцмана, ( )4810675 КмВт 2−⋅=σ , ; T – тер-модинамическая температура.




4

Связь постоянной Стефана–Больцмана с фундаментальными констан-тами

832

45

32

421067035

152

60−⋅=

π=

π=σ ,

hck

ckh

Вт/(м2 К4).

Энергетическая светимость серого тела4TR T

cT σε= .

Закон смещения Вина: длина волны излучения абсолютно чёрного те-ла, соответствующая максимуму спектральной плотности энергетическойсветимости, обратно пропорциональна термодинамической температуреизлучающего тела

,Tb

=λ0

где 0λ – длина волны, соответствующая максимальному значению спект-ральной плотности энергетической светимости (испускательной способ-ности) тела; T – термодинамическая температура; b – постоянная в законесмещения Вина, мК ⋅⋅= −31092,b .

Связь постоянной b в законе смещения Вина с фундаментальнымиконстантами:

Км ⋅⋅=⋅

= −310897792965114

,k,

hcb .

Закон Вина для зависимости максимального значению спектральнойплотности энергетической светимости (испускательной способности) абсо-лютно чёрного тела от температуры

( ) 50 CTr T =λ max ,

где ( )53 КмВт ⋅⋅= −510301,C .Формула Планка для испускательной способности абсолютно чёрного

тела

1

125

20

−λ

π=

λ

λ

kThcT

e

hcr ;

1

122

30

−

νπ= νν

kThT

echr .

Внешний фотоэлектрический эффект – испускание электронов твёр-дыми телами и жидкостями под действием электромагнитного излучения.




5

Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффектакинmaxвых EAh +=ν ,

где hν – энергия фотона, падающего на поверхность металла; выхA – рабо-та выхода электрона из металла; кин

maxE – максимальная кинетическая энер-гия электрона. При вычислениях следует учитывать, что при больших ско-ростях электронов нужно применять для кин

maxE формулу из теории относи-тельности.

Красная граница фотоэффекта

hAвых

кр =ν , вых

кр Ahc

=λ ,

где крλ – максимальная длина волны излучения ( крν – соответственно ми-нимальная частота), при которой фотоэффект ещё возможен.

Давление светового луча

( ) ( ) ( ) ( )αρ+=αρ+= 22 cos1cos1 wcIp ,

где ( )StNI ∆ε= γ – энергия всех фотонов, падающих на единицу площадиповерхности в единицу времени (энергетическая освещённость); ρ – коэф-фициент отражения; w – объёмная плотность энергии излучения; α –угол между нормалью к поверхности и направлением движения фотона.

Эффект Комптона. Упругое рассеяние фотонов на свободных или сла-бо связанных электронах, в результате которого увеличивается длина волныизлучения. При каждом упругом столкновении выполняются законы сохра-нения энергии и импульса. Уравнения, выражающие законы сохраненияэнергии и импульса, имеют следующий вид:

220 mchcmh +ν′=+ν ,

γγ ′+= pmp rr rv ,

где h – постоянная Планка; c – скорость света в вакууме; 0m – масса покояэлектрона; ν и γpr – частота и импульс фотона до столкновения; ν′и γ′pr –частота и импульс фотона после столкновения; vr – скорость электрона;m – релятивистская масса электрона.




6

Изменение длины волны при комптоновском рассеянии

( )[ ] ,

θ

Λ=θ−Λ=λ−λ′=λ∆2

sin2cos1 2КК

где λ и λ′ – длины волн падающего и рассеянного излучений; θ – уголрассеяния фотона; КΛ – комптоновская длина волны.

Комптоновская длина волны электрона

м104262 12

0К

−⋅==Λ ,cm

h ,

где 0m – масса покоя электрона; с – скорость света в вакууме.




7

Элементы квантовой механикиСвойства водородоподобных атомов по теории БораРадиусы орбит электрона в водородоподобном атоме

2022

204 n

Zan

mZern =

πε=

h ,

где Z – порядковый номер элемента в системе Менделеева; e – заряд элек-трона; m – масса электрона; 0ε – электрическая постоянная,

120 10858 −⋅=ε , Ф м ; n – номер стационарной орбиты (главное квантовоечисло), n = 1, 2, 3, ...; 0a – боровский радиус, м105290 10

0−⋅= ,a .

Кинетическая энергия электрона в водородоподобном атоме

22

2220

2

42кин 11

32 nEZ

nemZE in =

επ=

h,

где iE – энергия ионизации атома водорода, 613,Ei = эВ.Потенциальная энергия электрона в водородоподобном атоме

22

2220

2

42пот 121

16 nEZ

nemZE in −=

επ−=

h.

Полная энергия электрона в водородоподобном атоме

22

2220

2

42 1132 n

EZn

emZE in −=επ

−=h

.

Обобщённая формула Бальмера для водородоподобных атомов

,nn

RZ

−=

λ 22

21

2 111

где λ – длина волны спектральных линий в спектре атома водорода; R –постоянная Ридберга, 1м −⋅= 7100971,R ; 1n и 2n – номера стационарныхорбит электрона, 1n – определяет серию ( ...,,,n 3211 = ), n2 – определяетотдельные линии соответствующей серии ( ...,n,nn 21 112 ++= ). Серии Лай-мана соответствует 11 =n , серии Бальмера – 21 =n , серии Пашена – 31 =n ,серии Брэкета – 41 =n , серии Пфунда – 51 =n , серии Хэмфри – 61 =n .




8

Волновые свойства частицСвязь дебройлевской длины волны частицы с её импульсом

ph

=λБ .

Импульс частицы и его связь с кинетической энергией кE :– нерелятивистский импульс ( c<<v )

vrr0mp = , кEmp 02= .

– релятивистский импульс

20

1 β−==

vvrrr mmp , ( )0кк 21 EEE

cp += ,

где m – релятивистская масса; vr – скорость частицы; 0m – масса покоя;β – отношение скорости частицы к скорости света в вакууме, cv=β ; 0E –энергия покоя, 2

00 cmE = .Соотношения неопределённостей Гейзенберга:– для координаты и проекции импульса частицы

2h

≥∆⋅∆ xpx , 2h

≥∆⋅∆ yp y , 2h

≥∆⋅∆ zpz ,

где z,y,x ∆∆∆ – интервалы координат (неопределённость координат), в ко-торых может быль локализована частица, если проекции её импульса на со-ответствующие оси координат заключены в интервалах zyx p,p,p ∆∆∆ (не-определённость импульса). Неопределённость импульса следует пониматькак те интервалы значений импульса, которыми может обладать частица свероятностью отличной от нуля;

– для энергии и времени

2h

≥∆⋅∆ tE ,

где E∆ – неопределённость энергии данного квантового состояния; t∆ –время пребывания системы в данном состоянии с энергией E .

Уравнение Шрёдингера

tiU

m ∂Ψ∂

=Ψ+∆Ψ− hh

2

2,

где Ψ – волновая функция, описывающая состояние частицы; U – потенци-альная энергия частицы; m – масса частицы; i – мнимая единица, 1−=i .




9

Стационарное уравнение Шрёдингера (уравнение Шрёдингера длястационарных состояний)

( ) 02

2=ψ−+ψ∆ UE

mh ,

где ψ – волновая функция, зависящая только от координат; E – полнаяэнергия частицы.

Вероятность нахождения частицы в элементарном объёме Vd

,VVP ddd 2Ψ=ΨΨ= ∗

где ∗Ψ – функция, комплексно сопряжённая с Ψ ; 2Ψ – квадрат модуля

волновой функции, ∗ΨΨ=Ψ 2 .Условие нормировки волновой функции

∫∞+

∞−

=Ψ 12 dV .

Квантовые свойства некоторых системВолновая функция, импульс, полная энергия частицы, которая нахо-

дится в одномерной потенциальной яме с вертикальными бесконечно высо-кими стенками

( )

π=ψ n

Hx

Hx sin2 , n

Hpn

hπ= , 2

2

22

2n

mHEn

hπ= ,

где H – ширина потенциальной ямы; n – квантовое число, ...,,,n 321=Энергия квантового гармонического осциллятора

021

ω

+= hnEn ( )...,,,,n 3210= .

где 0ω – циклическая частота колебаний; n – колебательное квантовоечисло.

Частота колебаний двухатомной молекулы

0

2

2

0 dd1

RrrU

=

µ=ω ,

21

21MMMM

+⋅

=µ ,

где µ – приведённая масса; 0R – расстояние между ядрами, соответствую-щее минимуму потенциальной энергии U; 1M , 2M – массы атомов.




10

Правило отбора для колебательного квантового числа1±=∆n .

Энергия вращения двухатомной молекулы

( )12

2+= JJ

IEJ

h ,

где I – момент инерции молекулы; J – вращательное квантовое число, J = 0,1, 2, 3, ...

20RI µ= ,

где µ – приведённая масса; 0R – расстояние между ядрами, соответствую-щее минимуму потенциальной энергии U.

Правило отбора для вращательного квантового числа1±=∆J .

Свойства водородоподобных атомов по квантовомеханической теорииСобственное значение энергии электрона в водородоподобном атоме

2220

2

42 132 n

emZEnhεπ

−= ,

где n – главное квантовое число, ... ,3 ,2 ,1 = n .Абсолютная величина момента импульса электрона в атоме водорода

( ),L 1+= llh

где l – орбитальное квантовое число, ( )10 −= n,...,l .Правило отбора для орбитального квантового числа

1±=∆l .Проекция момента импульса электрона на направление внешнего

магнитного поля

lhmLz = ,где lm – магнитное квантовое число, lll +−= ,...,,...,m 0 .

Правило отбора для магнитного квантового числа101 +−=∆ ,,ml .

Абсолютная величина спина электрона

( )1+= sss hr ,

где s – спиновое квантовое число (другое название – спин), 21=s .




11

Проекция вектора спина электрона на направление магнитного поля, вкотором находится электрон. (При этом несущественно, является ли этомагнитное поле внешним, например, созданным проводниками с током, иливнутренним магнитным полем самого вещества)

,ms sz h=

где sm – магнитное спиновое квантовое число, 21±=sm .




12

Элементы квантовой статистики и физики твёрдого телаФункция распределения в квантовой статистике, т. е. среднее число

частиц в одном квантовом состоянии( )

i

ii g

ENn∆

∆= ,

где ( )iEN∆ – число частиц с энергией от iE до ii EE ∆+ ; ig∆ – число кван-товых состояний в этом интервале энергий.

Распределение Больцмана в квантовой статистике

kTE

i

i

enµ−

−= ,

где in – среднее число частиц, приходящихся на одно квантовое состоя-ние; iE – энергия; µ – химический потенциал; k – постоянная Больцмана; T– термодинамическая температура.

Распределение Ферми–Дирака (для частиц с полуцелым спином)

1

1

+

= µ−kT

Ei i

e

n .

Распределение Бозе–Эйнштейна (для частиц с целочисленным значе-нием спина)

1

1

−

= µ−kT

Ei i

e

n .

Температура вырождения – температура, ниже которой отчётливопроявляются квантовые свойства идеального газа. При вTT << – системачастиц вырождена и должна описываться законами квантовой статистики,при вTT >> – система частиц не вырождена, и её поведение может описы-ваться законами классической статистики. Выражение для температурывырождения

kmnh

Tπ

=2

320

2

в ,

где 0n – концентрация частиц; m – масса частиц; h – постоянная Планка;k – постоянная Больцмана.




13

Распределение вырожденного электронного газа в металле по кванто-вым состояниям

g

e

gnNkT

Ei d

1

1dd

+

== µ− .

Распределение вырожденного электронного газа в металле по энерги-ям

EV

e

EmNkT

E d

1

2d 32

3

+π

= µ−h,

где m – масса электрона; V – объём; Nd – число электронов с энергией отE до EE d+ .

Энергия Ферми (максимальное значение энергии, которую можетиметь электрон в кристалле при абсолютном нуле температуры) вырожден-ного электронного газа в металле

( )32

02

23

2n

mEF π=

h ,

где 0n – концентрация электронов в металле.Зависимость химического потенциала вырожденного электронного га-

за металла от температуры

π−=µ

22

121

FF E

kTE .

Средняя энергия электрона в металле

π+=

22

1251

53

FF E

kTEE .

Закон Видемана-Франца

Tek 22

3

π

=σλ ,

где λ – теплопроводность; σ – удельная электропроводность; k – посто-янная Больцмана, КДж10381 23−⋅= ,k ; e – заряд электрона; T – термоди-намическая температура.




14

Молярная теплоёмкость вырожденного электронного газа в металле

REkTС

FV 2

2эл π

=µ ,

где R – универсальная газовая постоянная, 318,R = Дж/(моль·К).Молярная теплоёмкость кристаллической решётки (по теории Дебая)

θ=

−

θ

−−

θ= ∫

θ

θµ TDR

e

Txe

xTRCT

TxV

Д

0

Д3

Д

реш 3

1

3d

1123

Д

Д,

где Дθ – характеристическая температура Дебая;

θT

D Д – функция Дебая.

Функция Дебая при различных температурах

TДθ

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

θ

TD Д 1,00 0,952 0,825 0,663 0,503 0,369 0,266 0,191 0,138 0,101 0,076

Температура Дебая разграничивает область низких и высоких темпе-ратур по отношению к решёточным свойствам кристалла. При температуре,меньшей температуры Дебая ( )T < θД , проявляются квантовые эффекты инеобходима квантовая статистика. При температуре, большей температурыДебая ( )T > θД , справедлива классическая статистическая механика. Вели-чина kθД представляет собой минимальный квант энергии, способный воз-будить весь спектр колебаний решётки. Если температура выше, чем тем-пература Дебая ( )T > θД , то возбуждены все возможные колебания. Если

температура ниже, чем температура Дебая ( )T < θД , то какие-то колебанияне возбуждаются.

Закон кубов Дебая для молярной теплоёмкости кристаллической ре-шётки при температуре Д10 θ< ,T : теплоёмкость пропорциональна кубутемпературы.

3

Д

3

Д

4реш 234

512

θ=

θπ

=µTRTRC V .




15

Закон Дюлонга–Пти для молярной теплоёмкости кристаллическойрешётки при Дθ>T

RC V 3реш =µ .

Молярная теплоёмкость металловэлрешVVV CCC µµµ += .




16

Атомное ядро. РадиоактивностьЯдерная реакция – превращение атомного ядра, вызванное взаимо-

действием атомных ядер друг с другом или с элементарными частицами.Символическая запись ядерной реакции:

ba AZ

AZ

AZ

AZ

44

33

22

11

BA +→+ ,

где A11

AZ – исходное ядро; aA

Z22

– исходная частица; B33

AZ – конечное ядро;

bAZ

44

– конечная частица; A – массовое число; Z – зарядовое число.

В ядерной реакции выполняются законы сохранения энергии, импуль-са, зарядовых и массовых чисел и особые законы сохранения лептонногозаряда, барионного заряда, изотопического спина и его проекции, странно-сти, очарования и др.

Массовое число ядра выражает число нуклонов в ядреNZA += ,

где A – массовое число; Z – зарядовое число, равное числу протонов в яд-ре; N – число нейтронов в ядре.

Закон сохранения зарядовых чисел в ядерной реакции

4321 ZZZZ +=+ .Закон сохранения массовых чисел в ядерной реакции

4321 AAAA +=+ .Энергией ядерной реакции называется величина

( ) ( )[ ] 2cmmmmQ bBaA +−+= ,где im – массы участвующих в реакции частиц и ядер; c – скорость света ввакууме.

Дефект массы ядра – физическая величина, равная разности междусуммой масс нуклонов (нейтронов и протонов), составляющих атомное яд-ро, и массой ядра. Выражается равенством

ая mmZmNmZmmNmZm enpnp −++=−+=∆ ,

где Z – зарядовое число; N – число нейтронов в ядре; pm – масса протона;

nm – масса нейтрона; яm – масса ядра; em – масса электрона; аm – массаатома. Единицей дефекта массы ядра в СИ является килограмм (кг), но ча-ще её выражают в атомных единицах массы (а. е. м.) или в энергетическихединицах – электронвольтах (эВ), по величине соответствующей энергиисвязи ядра.




17

Энергия связи ядра2

св cmE ∆= ,где m∆ – дефект массы ядра; c – скорость света в вакууме. Единицей энер-гии связи ядра в СИ является джоуль (Дж), но чаще её выражают во вне-системных единицах – электронвольтах (эВ). Если дефект массы ядра выра-зить в атомных единицах массы (а. е. м.), то энергия связи ядра в мегаэлек-тронвольтах (МэВ): m,E ∆= 5931св .

Закон радиоактивного распада:– в дифференциальной форме

NtN

λ−=dd ,

где Nd – число ядер радиоактивного вещества, распадающихся за времяtd ; λ – постоянная радиоактивного распада; N – число имеющихся нерас-павшихся ядер.

– в интегральной формеteNN λ−= 0 ,

где 0N – число имеющихся нераспавшихся ядер в момент времени 0=t ;N – число нераспавшихся ядер по истечении времени t .

Число ядер, распавшихся за время t :

( )teNNNN λ−−=−=∆ 100 .Характеристикой радиоактивных источников является активность ра-

дионуклида – физическая величина, равная отношению числа dN спонтан-ных переходов из определённого ядерно-энергетического состояния радио-нуклида в источнике (образце), происходящих за интервал времени dt , кэтому интервалу времени, иными словами, величина, равная числу радио-активных распадов в единицу времени:

teNNtNA λ−λ−=λ−== 0d

d.

Единицей активности радионуклида в СИ является беккерель (Бк).Соотношение между внесистемной единицей – кюри и единицей СИ – бек-керелем: 1 Ки =3,700.1010Бк (точно).

Удельная активность радионуклида – физическая величина, равнаяотношению активности радионуклида в источнике (образце) A к его массеm :




18

mAAm = .

Единицей удельной активности радионуклида в СИ является бекке-рель на килограмм (Бк/кг).

Связь периода полураспада с постоянной радиоактивного распада

λ≈

λ=

69302ln2

1,T .




19

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Определить максимальную скорость maxv фотоэлектронов,вырываемых с поверхности серебра: 1) ультрафиолетовым излучением сдлиной волны 15501 ,=λ мкм; 2) γ -излучением с длиной волны 0012 ,=λпм.

Дано: РешениеДж10886эВ304 19

вых−⋅== ,,A

15501 ,=λ мк 710551 −⋅= , м12 =λ ,00 пм 1210001 −⋅= , м

max1v – ?max2v – ?

Максимальную скорость фотоэлек-тронов можно определить из уравненияЭйнштейна для фотоэффекта:

кинmaxвых EA +=ε , (1.1)

где ε – энергия фотона, падающего наповерхность металла; выхA – работа вы-хода электрона из металла; кин

maxE – мак-симальная кинетическая энергия выле-тевшего фотоэлектрона.

Энергия фотона вычисляется по формуле

λ=ε

hc , (1.2)

где h – постоянная Планка; c – скорость света в вакууме; λ – длина волныпадающего излучения.

Кинетическая энергия фотоэлектрона, в зависимости от величиныскорости v , может быть выражена или по нерелятивистской формуле

2

20кин vmE = , (1.3)

или по релятивистской формуле

−

β−=−= 1

1

12

02

02кин EcmmcE , (1.4)

где m – масса движущегося электрона; 0m – масса покоя; 0E – энергия по-

коя; cv

=β .

Если кинетическая энергия электрона много меньше его энергии по-коя 0Е , то применяется формула (1.3). Если же она сравнима по величине с

0Е , то вычисление скорости по формуле (1.3) приводит к ошибке, поэтомунужно пользоваться формулой (1.4). Критерием выбора формулы служит




20

погрешность, с которой необходимо рассчитать скорость: если погреш-ность скорости должна быть не более 1 %, то при соотношении энергий

0100кин ,EE < можно использовать формулу (1.3).

1. Вычислим энергию фотона ультрафиолетового излучения по фор-муле (1.2)

7

834

1 1055110310636

−

−

⋅⋅⋅⋅

=ε,

, Дж 1810281 −⋅= , Дж.

или во внесистемных единицах

19

18

1 1060110281

−

−

⋅⋅

=ε,, эВ 8= ,00 эВ.

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона в первом случаеэВ703304008вых1

кинmax ,,,AE =−=−ε= много меньше энергии покоя элек-трона ( 51100 ,Е = МэВ). Следовательно, для данного случая кинетическаяэнергия фотоэлектрона в формуле (1.1) может быть выражена по нереляти-вистской формуле (1.3)

2

2max0

вых1vmA +=ε .

Откуда

( )0

вых1max1

2m

A−ε=v . (1.5)

Подставив значения величин в формулу (1.5), найдём

( )см10141см

10119106880102812 6

31

1818

max1 ⋅=⋅

⋅−⋅−

−−= ,

,,,v .

2. Вычислим энергию фотона γ -излучения

7

834

2 1055110310636

−

−

⋅⋅⋅⋅

=λ

=ε,

,hc Дж 1310991 −⋅= , Дж;

или во внесистемных единицах

19

13

2 106110991

−

−

⋅⋅

=ε,, эВ 610241 ⋅= , эВ 241,= МэВ.

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона во втором случаеэВ102413410241 66

вых1кинmax ⋅=−⋅=−ε= ,,,AE больше энергии покоя элек-




21

трона ( 51100 ,Е = МэВ). Следовательно, для данного случая кинетическаяэнергия фотоэлектрона в формуле (1.1) должна быть выражена по реляти-вистской формуле (1.4). Заметив, что в нашем случае 2

кинmax

кин ε== EE , изформулы (1.4) получим

2

0

22

0

кинmax2

1

11

1

11

+

ε−=

+

−=

E

c

EE

cv .

Произведём вычисления (энергии 0E и 2ε входят в формулу в видеотношения, поэтому их можно не выражать в единицах СИ):

см10852

15110241

11103 82

8max2 ⋅=

+

−⋅= ,

,,

v .

Ответ: см10141 6max1 ⋅= ,v , см10852 8

max2 ⋅= ,v .




22

Пример 2. В результате эффекта Комптона фотон при соударении сэлектроном был рассеян на угол o90=θ . Энергия рассеянного фотона

40002 ,=ε МэВ. Определить энергию фотона 1ε до рассеяния.Дано: Решение

o90=θ40002 ,=ε МэВ

1ε – ?

Энергия фотона 1ε до рассеяния может быть по-лучена на основании формулы Комптона:

( )θ−=λ−λ′=λ∆ cos10cmh ,. (2.1)

где λ∆ – изменение длины волны фотона в результате рассеяния на сво-бодном электроне (λ и λ′ – длины волн фотона соответственно до и послерассеяния); h – постоянная Планка; 0m – масса покоя электрона; c – ско-рость света в вакууме; θ – угол рассеяния фотона.

Энергия фотона связана с его длиной волны соотношением

λ=ε

hc . (2.2)

Формулу (2.1) с учётом (2.2) можно переписать в виде

( )θ−=ε

−ε

cos12012 cmhchchc , (2.3)

откуда искомая величина энергии фотона до рассеяния

( ) ( )θ−ε−ε

=θ−ε−

ε=ε

cos1cos1 20

02

22

0

202

1 EE

cmcm , (2.4)

где 5110200 ,cmE == МэВ – энергия покоя электрона.

Вычисления по формуле (2.4) удобнее вести во внесистемных едини-цах:

( ) 84109cos140005110

511040001 ,

,,,,

=°−−

⋅=ε МэВ.

Ответ: 8411 ,=ε МэВ.




23

Пример 3. На поверхность площадью 2см100=S ежеминутно нор-мально падает световой поток энергией 063,W = Дж. Найти световое дав-ление p в двух случаях, когда поверхность полностью отражает и полно-стью поглощает излучение.

Дано: Решение2см100=S

1=t мин 60= с063,W = Дж.

1) 1=ρ2) 0=ρ

1p – ?2p – ?

При нормальном падении излучения на поверх-ность световое давление может быть найдено по фор-муле

( )c

Ip 1+ρ= (3.1)

где I – суммарная энергия всех фотонов, падающих наединицу поверхности в единицу времени (энергетиче-ская освещённость); c – скорость света в вакууме; ρ –коэффициент отражения света.

Согласно определению, величина I вычисляется как

tSWI = , (3.2)

где W – энергия светового потока; S – площадь поверхности, на которуюпадает световой поток; t – время воздействия светового потока на поверх-ность.

На основании формулы (3.1) с учётом (3.2) получаем выражение длясветового давления:

( )tcS

Wp 1+ρ= . (3.3)

1. Вычислим величину светового давления 1p в случае, когда поверх-ность полностью отражает излучение. Если тело зеркально отражает свето-вые лучи, то коэффициент отражения 1=ρ . Произведём вычисления:

( ) 6481 107000

601010010311063 −− ⋅=

⋅⋅⋅⋅+

= ,,p Па 7000,= мкПа.

2. Вычислим величину светового давления 2p , когда поверхностьполностью поглощает всё излучение. В этом случае коэффициент отраже-ния равен нулю ( 0=ρ ).Произведём вычисления:

( ) 6482 103500

601010010310063 −− ⋅=

⋅⋅⋅⋅+

= ,,p Па 3500,= мкПа.

Ответ: =1p 0,700 мкПа, =2p 0,350 мкПа.




24

Пример 4. Энергетическая светимость абсолютно чёрного тела20 мкВт250=TR . На какую длину волны 0λ приходится максимум испус-

кательной способности этого тела?Дано: Решение

2520 мВт10502мкВт250 ⋅== ,RT

0λ – ?

В соответствии с законом Сте-фана–Больцмана энергетическая све-тимость 0

TR абсолютно чёрного телавыражается

формулой40 TRT σ= , (4.1)

где σ – постоянная Стефана–Больцмана, T – термодинамическая темпера-тура.

Температура T связана с длиной волны 0λ , приходящейся на макси-мум испускательной способности тела, законом смещения Вина:

Tb

=λ0 , (4.2)

где b – постоянная закона смещения Вина.Из формулы (4.2) с учётом (4.1) получаем выражение для искомой ве-

личины

4 00TR

b σ=λ . (4.3)

Подставив значения величин в формулу (4.3), найдём

645

83

0 10002105021067510902 −

−− ⋅=

⋅⋅

⋅=λ ,,

,, м 2= ,00 мкм.

Ответ: =λ0 2,00 мкм.




25

Пример 5. Электрон в атоме водорода перешёл с четвёртого энерге-тического уровня на второй. Определить в электронвольтах энергию ε ис-пущенного при этом фотона.Дано: Решение

21 =n42 =n

ε – ?

Для определения энергии фотона воспользуемся сери-альной формулой для водородоподобных ионов

−=

λ 22

21

2 111nn

RZ , (5.1)

где λ – длина волны фотона; R – постоянная Ридберга; Z – заряд ядра вотносительных единицах (при 1=Z формула переходит в сериальную фор-мулу для водорода); 1n – номер орбиты, на которую перешёл электрон; 2n –номер орбиты, с которой перешёл электрон ( 1n и 2n – главные квантовыечисла).

Энергия фотона ε связана с длиной волны излучения λ известнымсоотношением

λ=ε

hc . (5.2)

С учётом выражения (5.1) формула (5.2) может быть переписана в ви-де

−=ε 2

221

2 11nn

RhcZ . (5.3)

Так как величина Rhc есть энергия ионизации iE атома водорода, то дляупрощения расчётов сделаем замену и перепишем выражение (5.3)

−=ε 2

221

2 11nn

ZEi . (5.4)

Вычисления по формуле (5.4) выполним во внесистемных единицах,зная, что 613,Ei = эВ; 1=Z :

−⋅=ε 22

2

41

211613, эВ 552,= эВ.

Ответ: =ε 2,55 эВ.




26

Пример 6. Электрон, начальной скоростью которого можно пренеб-речь, прошёл ускоряющую разность потенциалов U . Найти длину волны деБройля электрона для двух случаев: 1) 1511 ,U = В; 2) 5112 =U кВ.

Дано: Решение1511 ,U = В

5112 =U кВ = 310511⋅ В

1λ – ?2λ – ?

Длина волны де Бройля для частицы за-висит от её импульса p и определяется фор-мулой

ph

=λ , (6.1)

где h – постоянная Планка.Импульс частицы можно определить, если известна её кинетическая

энергия кинE . Связь импульса с кинетической энергией различна для нере-лятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньшеее энергии покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энер-гия сравнима с энергией покоя частицы).

В нерелятивистском случаекин

02 Emp = , (6.2)

где 0m – масса покоя частицы.В релятивистском случае

( )0кинкин 21 EEE

cp += , (6.3)

где 0E – энергия покоя частицы, 200 cmE = .

Формула (6.1) с учётом соотношений (6.2) и (6.3) запишется:в нерелятивистском случае

кин02 Em

h=λ , (6.4)

в релятивистском случае

( )0кинкин 2EEE

hc

+

=λ . (6.5)

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные вусловиях задачи разности потенциалов 1511 ,U = В и 5112 =U кВ, с энерги-ей покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул, (6.4)или (6.5), следует применить для вычисления длины волны де Бройля.




27

Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего уско-ряющую разность потенциалов U ,

eUE =кин .В первом случае эВ1511

кин1 ,eUE == , что много меньше энергии по-

коя электрона 5110200 ,cmE == МэВ. Следовательно, в этом случае можно

применить нерелятивистскую формулу (6.4). Переведём внесистемнуюединицу электронвольт в единицу СИ – джоуль:

Дж108,176эВ151 18кин1

−⋅== ,E . Произведём вычисления

пм171м10171101768101192

10636 121831

34

1 =⋅=⋅⋅

⋅=λ −

−

−

,,

, .

Во втором случае кинетическая энергия 5112кин2 == eUE кэВ =

= 510, 1 МэВ, т. е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимоприменить релятивистскую формулу (6.5). Учитывая, что 2

0кин2 cmE = , по

формуле (6.5) находим

( ) cmh

cmcmcm

ch

020

20

20

232

=+

=λ

Подставим значение и произведём вычисления:

пм401м10401103101193

10636 12831

34

2 ,,,,

=⋅=⋅⋅⋅⋅

⋅=λ −

−

−.

Ответ: =λ1 171 пм, =λ2 1,40 пм.




28

Пример 7. Вычислить дефект массы ядра атома и энергию связи ядраLi7

3 . Масса атома 7,016003 а.е.м.Дано: Решение3=Z7=N

m∆ – ?свE – ?

Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных(находящихся вне ядра) протонов и нейтронов, из которыхядро образовалось. Дефект массы ядра m∆ и есть разностьмежду суммой масс свободных нуклонов (протонов и ней-тронов) и массой ядра, т. е.

яmmNmZm np −+=∆ , (7.1)

где Z – атомный номер (число протонов в ядре); N – число нейтронов в яд-ре; pm , nm , яm – соответственно массы протона, нейтрона и ядра.

Число нейтронов в ядре найдем, зная массовое число (число нукло-нов, составляющих ядро) A и атомный номер Z :

ZAN −= .В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных атомов, но

не ядер, поэтому формулу (7.1) целесообразно преобразовать так, чтобы внеё входила масса аm нейтрального атома. Можно считать, что масса ней-трального атома равна сумме масс ядра и электронов, составляющих элек-тронную оболочку атома: eяa mZmm += , откуда

eaя mZmm −= . (7.2)Выразив в равенстве (7.1) массу ядра по формуле (7.2), получаем

( ) enp ZmmmZAZmm +−−+=∆ a ,

( ) ( ) ammZAmmZm nep −−++=∆ . (7.3)

Подставив в выражение (7.3) числовые значения масс, получим( ) ( ) 13204200030167665008137549000027600713 ,,,,,m =−⋅−++⋅=∆ а.е.м.

В соответствии с законом пропорциональности массы и энергии

mcE ∆= 2 , (7.4)где c – скорость света в вакууме.

Коэффициент пропорциональности 2c может быть выражен двояко:

22162 см109 ⋅=c или кгДж109 62 ⋅=∆∆

=mEc .

Если вычислить энергию связи, пользуясь внесистемными единицами,то а.е.м.МэВ59312 ,c = С учётом этого формула (7.4) примет вид




29

m,E ∆= 5931 МэВ. (7.5)Подставив найденное значение дефекта массы ядра в формулу (7.5),

получим13204205931 ,,E ⋅= МэВ 239,= МэВ.

Ответ: 1320420,m =∆ а.е.м., =Е 39,2 МэВ.




30

Пример 8. Используя квантовую теорию теплоёмкости Дебая, вычис-лить удельную изохорную теплоёмкость удVc кристаллической решёткиалюминия при температурах 0021 ,T = К и 8002 =T К.

Дано: РешениеAl

const=V0021 ,T = К

8002 =T КDθ =394 К

молькг1027 3−⋅=µ

удVc – ?

Удельная теплоёмкость удVc вещества можетбыть выражена через молярную теплоёмкость µVCсоотношением

µ= µV

VC

c уд , (8.1)

где µ – молярная масса.

Молярная теплоёмкость при постоянном объёме при температуреD,T Θ< 10 по теории Дебая выражается законом кубов Дебая

31

1 234

θ

=µD

VTRC . (8.2)

Подставив (8.2) в (8.1), получим3

уд234

θµ

=D

VTRc . (8.3)


( )КкгДж10429394

0021027

318234 33

3уд1−

− ⋅=

⋅

⋅= ,,,cV .

Молярную теплоёмкость при температуре DT Θ>2 найдём по законуДюлонга–Пти:

RCV 32 =µ . (8.4)

Подставив (8.4) в (8.1), получим

µ=

RcV3

уд . (8.3)


( )КкгДж9231027

318332уд =

⋅

⋅= −

,сV .

Ответ: ( )КкгДж10429 3уд1

−⋅= ,cV , ( )КкгДж9232уд =Vс .




31



Номер варианта Порядковый номер задачиПредпоследняя

цифрашифра

Послед-няя цифрашифра

1 2 3 4 5 6 7 8

1 601 612 623 634 645 656 667 6782 602 613 624 635 646 657 668 6793 603 614 625 636 647 658 669 6804 604 615 626 637 648 659 670 671

0, 1, 2, 3 5 605 616 627 638 649 660 661 6726 606 617 628 639 650 651 662 6737 607 618 629 640 641 652 663 6748 608 619 630 631 642 653 664 6759 609 620 621 632 643 654 665 6760 610 611 622 633 644 655 666 6771 601 613 625 637 649 651 663 6752 602 614 626 638 650 652 664 6763 603 615 627 639 641 653 665 6774 604 616 628 640 642 654 666 678

4, 5, 6 5 605 617 629 631 643 655 667 6796 606 618 630 632 644 656 668 6807 607 619 621 633 645 657 669 6718 608 620 622 634 646 658 670 6729 609 611 623 635 647 659 661 6730 610 612 624 636 648 660 662 6741 601 614 627 640 643 656 669 6722 602 615 628 631 644 657 670 6733 603 616 629 632 645 658 661 6744 604 617 630 633 646 659 662 675

7, 8, 9 5 605 618 621 634 647 660 663 6766 606 619 622 635 648 651 664 6777 607 620 623 636 649 652 665 6788 608 611 624 637 650 653 666 6799 609 612 625 638 641 654 667 6800 610 613 626 639 642 655 668 671




32

ЗАДАЧИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ 6

601. Красная граница фотоэффекта для цинка 2930 =λ нм. Опреде-лить максимальную кинетическую энергию кин

maxE фотоэлектронов в элек-трон-вольтах, если на цинк падает свет с длиной волны 200=λ нм.

602. На поверхность калия падает свет с длиной волны 150=λ нм.Определить максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов кин

maxE вэлектронвольтах.

603. Фотон с энергией 010,=ε эВ падает на серебряную пластину ивызывает фотоэффект. Определить импульс p , полученный пластиной, ес-ли принять, что направление движения фотона и электрона лежат на однойпрямой, перпендикулярной поверхности пластин.

604. На фотоэлемент с катодом из лития падает свет с длиной волны200=λ нм. Найти наименьшее значение задерживающей разности потен-

циалов minU , которую нужно приложить к фотоэлементу, чтобы прекратитьфототок.

605. Какова должна быть λ длина волны γ -излучения, падающего наплатиновую пластину, чтобы максимальная скорость фотоэлектронов maxvбыла равна см10003 6⋅, ?

606. На металлическую пластину направлен пучок ультрафиолетово-го излучения ( 250=λ нм). Фототок прекращается при минимальной задер-живающей разности потенциалов 960min =U мВ. Определить работу выхо-да A электронов из металла в электронвольтах.

607. На поверхность металла падает монохроматический свет с дли-ной волны 100=λ нм. Красная граница фотоэффекта 3000 =λ нм. Какаядоля энергии фотона расходуется на сообщение электрону кинетическойэнергии?

608. Для прекращения фотоэффекта, вызванного облучением ультра-фиолетовым светом платиновой пластины, нужно приложить задерживаю-щую разность потенциалов 7031 ,U = В. Если платиновую пластину заме-нить пластиной из другого металла, то задерживающую разность потенциа-лов придётся увеличить до 0062 ,U = В. Определить работу выхода 2Aэлектронов с поверхности этой пластины.

609. Какая доля энергии фотона, вызывающего фотоэффект, расходу-ется на работу выхода, если наибольшая скорость электронов, вырванных споверхности металла, см10001 6

max ⋅= ,v ? Красная граница фотоэффектадля этого металла соответствует длине волны 2900 =λ нм.




33

610. Определить максимальную скорость электрона, вылетевшего изцезия при освещении светом с длиной волны 400=λ нм.

611. Фотон с длиной волны 010,=λ пм рассеялся на свободном элек-троне под углом °=θ 090, . Определить, какую долю первоначальной энер-гии теряет при этом фотон.

612. Фотон при эффекте Комптона на свободном электроне был рас-сеян на угол °=θ 090, . Определить импульс p , приобретённый электроном,если энергия фотона до рассеяния 1ε была равна 1,022 МэВ.

613. Рентгеновское излучение ( 010,=λ пм) рассеивается электрона-ми, которые можно считать практически свободными. Определить макси-мальную длину волны maxλ рентгеновского излучения в рассеянном пучке.

614. Какая доля энергии фотона приходится при эффекте Комптонана электрон отдачи, если рассеяние фотона происходит на угол °=θ 090, ?Энергия фотона до рассеяния 51101 ,=ε МэВ.

615. Определить импульс ep электрона отдачи, если фотон с энерги-ей 53311 ,=ε МэВ в результате рассеяния потерял 31 своей энергии.

616. Определить угол θ , на который был рассеян квант света с энер-гией 53311 ,=ε МэВ при эффекте Комптона, если кинетическая энергияэлектрона отдачи 5110кин ,E = МэВ.

617. Фотон с энергией 51101 ,=ε МэВ при рассеянии на свободномэлектроне потерял половину своей энергии. Определить угол рассеяния θ .

618. Фотон с энергией 51101 ,=ε МэВ был рассеян при эффекте Ком-птона на свободном электроне на угол °=θ 180 . Определить кинетическуюэнергию кинE электрона отдачи в электронвольтах.

619. В результате эффекта Комптона фотон с энергией 02211 ,=ε МэВрассеян на свободных электронах на угол °=θ 150 . Определить энергию 2εрассеянного фотона в электронвольтах.

620. Определить максимальное изменение длины волны ( )maxλ∆ прикомптоновском рассеянии света на свободных протонах.

621. Определить энергетическую освещённость I зеркальной по-верхности, если давление, производимое излучением, 040,p = мкПа. Излу-чение падает нормально к поверхности.

622. Давление p света с длиной волны 400=λ нм, падающего нор-мально на чёрную поверхность, равно 2,00 нПа. Определить число N фо-тонов, падающих за время 10=t ,0 с на площадь 2мм001,S = этой поверх-ности.




34

623. Определить коэффициент отражения ρ поверхности, если приэнергетической освещённости 2мВт120=I давление p света на нее ока-залось равным 500 нПа. Свет падает на поверхность нормально.

624. Давление света, производимое на зеркальную поверхность,5=p ,00 мПа. Определить концентрацию 0n фотонов вблизи поверхности,

если длина волны света, нормально падающего на поверхность, 500=λ нм.(Учесть падающие и отражённые фотоны.)

625. Найти силу светового давления, действующую на зеркало пло-щадью 2м300=S , развёрнутое в околоземном космическом пространстведля освещения участков земной поверхности. Считать, что поверхностьзеркала расположена под углом °=β 060, к солнечным лучам. Солнечнаяпостоянная (энергия излучения, падающая на единицу поверхности, пер-пендикулярной лучам, в единицу времени) ( )смДж10351 23

с ⋅⋅= ,E .626. Лазер излучил в импульсе длительностью 130=∆t мкс пучок

света с энергией 010,W = Дж. Найти среднее давление светового импульса,если его сфокусировать в пятнышко диаметром 010,d = мкм на поверх-ность, перпендикулярную к пучку, с коэффициентом отражения 5000,=ρ .

627. Определить давление p лучей Солнца на поверхность чёрноготела, помещённого на таком же как Земля расстоянии от Солнца. Угол па-дения лучей равен нулю. Солнечная постоянная (энергия излучения, па-дающая на единицу поверхности, перпендикулярной лучам, в единицу вре-мени) ( )смДж10351 23

с ⋅⋅= ,E . Произвести тот же расчёт для тела, отра-жающего все лучи.

628. Свет с длиной волны 600=λ нм нормально падает на зеркаль-ную поверхность и производит на неё давление 004,p = мкПа. Определитьчисло N фотонов, падающих за время 10=∆t с на площадь 2мм001,S =этой поверхности.

629. На зеркальную поверхность 2cм006,S = падает нормально по-ток излучения 800=Φ мВт. Определить давление p и силу давления Fсвета на эту поверхность.

630. Точечный источник монохроматического излучения находится вцентре сферической зачернённой колбы радиусом 100=r мм. Определитьсветовое давление p , производимое на внутреннюю поверхность колбы,если мощность источника 001,=P кВт.




35

631. Определить энергетическую светимость 0TR и температуру T аб-

солютно чёрного тела, если максимум энергии излучения приходится надлину волны 6500 =λ нм.

632. Земля вследствие излучения в среднем ежеминутно теряет с по-верхности площадью 2м001,S = энергию 405,W = кДж. При какой темпе-ратуре T абсолютно чёрное тело излучало бы такую же энергию.

633. Найти мощность P , излучаемую абсолютно чёрным шаром ра-диусом 100=r мм, который находится в комнате при температуре C20°=t .

634. Во сколько раз увеличится мощность излучения абсолютно чёр-ного тела и его температура, если максимум спектральной плотности энер-гетической светимости переместится от 700 до 600 нм?

635. Мощность излучения абсолютно чёрного тела 100=P Вт. Найтиплощадь его излучающей поверхности S , если известно, что максимум егоспектральной плотности энергетической светимости приходится на длинуволны 0020 ,=λ мкм.

636. Оценить температуру поверхности Солнца, если максимум спек-тральной плотности энергетической светимости его излучения приходитсяна зелёную область видимого диапазона спектра с длиной волны

нм550=λ . Считать, что Солнце излучает как абсолютно чёрное тело.637. Температура абсолютно чёрного тела изменилась при нагрева-

нии от C13271 °=t до C17272 °=t . На сколько изменилась при этом длинаволны 0λ∆ , на которую приходится максимум спектральной плотностиэнергетической светимости, и во сколько раз увеличилось максимальноезначение ( )max

0Trλ спектральной плотности энергетической светимости?

638. Определить температуру в печи, если из маленького отверстия веё дверце излучается за время 1 с энергия Дж527,W = . Площадь отверстия

2см441,S = . Считать, что печь излучает как абсолютно чёрное тело.639. Диаметр вольфрамовой нити накала в электрической лампочке

300=d мкм, длина 050,=l мм. При включении лампочки в цепь напряже-нием 220=U В по ней течёт ток 310=I мА. Найти температуру нити T ,если вся выделяющаяся энергия испускается за счёт излучения. Коэффици-ент черноты вольфрама 3100,T =ε .

640. При увеличении температуры T абсолютно чёрного тела в 2=nраза длина волны 0λ , на которую приходится максимум спектральнойплотности энергетической светимости ( )max

0Trλ , уменьшилась на

4000 =λ∆ нм. Определить начальную 1T и конечную 2T температуры.




36

641. Во сколько раз увеличится радиус орбиты электрона у атома во-дорода, находящегося в основном состоянии, при возбуждении его фотономэнергией 0912,=ε эВ?

642. Вычислить по теории Бора номер n орбиты, на которой скоростьэлектрона v атома водорода равна скм734 ?

643. Вычислить по теории Бора период T вращения электрона в ато-ме водорода, находящегося в возбуждённом состоянии, определяемом глав-ным квантовым числом 2=n .

644. Переход электрона в атоме водорода с n -й на k -ю орбиту ( 1=k )сопровождается излучением фотона с длиной волны 6102,=λ нм. Найтирадиус nrn -й орбиты.

645. Вычислить длины волн всех видимых спектральных линий се-рии Бальмера.

646. Найти наибольшую maxλ и наименьшую minλ длины волн вультрафиолетовой серии водорода (серии Лаймана).

647. Атом водорода переведён из нормального состояния в возбуж-дённое, характеризуемое главным квантовым числом 2=n . Найти энергиюε , необходимую для перевода атома водорода в указанное возбуждённоесостояние. Ответ выразить в электронвольтах.

648. В однозарядном ионе гелия электрон перешёл с третьего энерге-тического уровня ( 32 =n ) на первый ( 11 =n ). Определить длину волны λизлучения, испущенного ионом гелия.

649. Электрон в атоме водорода находится на третьем энергетиче-ском уровне ( 3=n ). Определить кинетическую кин

3E , потенциальную пот3E

и полную 3E энергию электрона. Ответ выразить в электрон-вольтах.650. Фотон выбивает из атома водорода, находящегося в основном

состоянии, электрон с кинетической энергией 010кин ,E = эВ. Определитьэнергию ε фотона. Ответ выразить в электрон-вольтах.

651. Вычислить длину волны де Бройля электрона, имеющего кине-тическую энергию 100 эВ.

652. Вычислить длину волны де Бройля протона, имеющего кинети-ческую энергию 100 эВ.

653. Вычислить длину волны де Бройля атома урана U23892 , имеющего

кинетическую энергию 100 эВ.654. Вычислить длину волны де Бройля молекулы водорода, соответ-

ствующую среднеквадратической скорости при температуре C20 ° .655. Вычислить длину волны де Бройля молекулы кислорода, соот-

ветствующую среднеквадратической скорости при температуре C20 ° .




37

656. Какую энергию необходимо дополнительно сообщить электрону,чтобы его длина волны де Бройля уменьшилась от 1001 =λ до 0502 ,=λ пм?Ответ дать в электронвольтах.

657. При каком значении кинетической энергии (в мегаэлектронволь-тах) дебройлевская длина волны электрона равна его комптоновской длиневолны?

658. В электронном микроскопе электроны ускоряются разностьюпотенциалов 90,0 кВ. Какова дебройлевская длина волны таких электронов?

659. В цветном телевизоре электроны ускоряются разностью потен-циалов 25,0 кВ. Какова дебройлевская длина волны таких электронов?

660. Кинетическая энергия электрона равна его энергии покоя. Како-ва дебройлевская длина волны такого электрона?

661. Какой изотоп свинца образуется из α -активного Ra22688 в резуль-

тате пяти α - распадов и четырех β -распадов?662. Сколько α - и сколько β -распадов испытывает уран U238

92 , пре-вращаясь в конечном счёте в стабильный изотоп свинца Pb206

82 ?663. Какая доля ω радиоактивных ядер кобальта, период полураспада

которых 71,3 суток, распадется за 30 суток?664. Сколько β -частиц испускает в течение одного часа 1,0 мкг изо-

топа натрия Na2411 , период полураспада которого равен 15 часам?

665. Активность некоторого препарата уменьшилась в 2,5 раза за 7,0суток. Найти период его полураспада.

666. Вычислить (в атомных единицах массы) массу m атома литияLi7

3 , энергия связи ядер которого 339св ,E = МэВ.667. Вычислить (в атомных единицах массы) массу m ядра углерода

C126 , у которого энергия связи свE на один нуклон равна 6,04 МэВ.

668. Считая, что в одном акте деления ядра урана U23592 освобождает-

ся энергия 200=E МэВ, определить какое количество урана расходуется всутки на атомной электростанции мощностью 1,00 МВт.

669. Считая, что в одном акте деления ядра урана U23592 освобождает-

ся энергия 200=E МэВ, определить какое количество энергии в киловат-часах можно получить от деления 1,00 г урана U235

92 .670. Какое количество теплоты выделяется при образовании одного

грамма He42 из дейтерия H2

1 , если массы их ядер равны соответственно4,00260 а.е.м. и 2,01410 а.е.м.?




38

671. Вычислить удельную изохорную теплоёмкость удVc кристалли-ческой решётки меди при температурах К0101 ,T = ; К10002 =T .

672. Вычислить удельную изохорную теплоёмкость удVc кристалли-ческой решётки железа при температурах К0151 ,T = ; К15002 =T .

673. Вычислить удельную изохорную теплоёмкость удVc кристалли-ческой решётки цинка при температурах К0121 ,T = ; К6002 =T .

674. Вычислить удельную изохорную теплоёмкость удVc кристалли-ческой решётки свинца при температурах К0101 ,T = ; К3002 =T .

675. Во сколько раз уменьшится удельная изохорная теплоёмкостьудVc кристаллической решётки алюминия при охлаждении от температуры

К7001 =T до температуры К0022 ,T = .676. Во сколько раз уменьшится удельная изохорная теплоёмкость

удVc кристаллической решётки серебра при охлаждении от температурыК0201 ,T = до температуры К0072 ,T = .

677. Выберите материал с наименьшей удельной изохорной теплоём-костью кристаллической решётки при криогенных температурах из сле-дующего списка: алюминий, вольфрам, железо, золото, медь, молибден,платина, серебро. Обосновать выбор. Чему равна теплоёмкость удVc вы-бранного материала при температуре К010,T = .

678. Выберите материал с наибольшей удельной изохорной теплоём-костью кристаллической решётки при криогенных температурах из сле-дующего списка: алюминий, вольфрам, железо, золото, медь, молибден,платина, серебро. Обосновать выбор. Чему равна теплоёмкость удVc вы-бранного материала при температуре К010,T = .

679. Медная и алюминиевая детали работают при температуреК010,T = . Найти массу медной детали, у которой изохорная теплоёмкость

кристаллической решётки равна изохорной теплоёмкости кристаллическойрешётки алюминиевой детали массой г100=m .

680. Ниобий и висмут используются в приборах, работающих прикриогенных температурах. Найти изохорные теплоёмкости кристалличе-ской решётки деталей из ниобия и висмута одинаковой массы г010,m =при температуре К011,T = .




39


Таблица 1Единицы СИ




Основные единицыДлина метр м mМасса килограмм кг kgВремя секунда с sТермодинамическая температура

кельвин К K


ампер А A

Количество вещества моль моль molСила света кандела кд cd

Дополнительные единицыПлоский угол радиан рад radТелесный угол стерадиан ср sr

Производные единицыАктивность радионук- лида

беккерель Бк Bq

Волновое число метр в минус первойстепени

м–1 m–1

Давление паскаль Па PaИмпульс килограмм-метр в

секундукг⋅м/с kg⋅m/s

Индукция магнитного поля

тесла Тл T

Интенсивность волны ватт на квадратныйметр

Вт/м2 W/m2

Молярная масса килограмм на моль кг/моль kg/molМолярная теплоёмкость джоуль на моль-

кельвинДж/(моль⋅К) J/(mol ⋅К)




40

Продолжение табл. 1




Мощность ватт Вт W

Напряжённость магнит- ного поля

ампер на метр А/м A/m

Напряжённость элек- трического поля

вольт на метр В/м V/m

Поверхностная плот- ность потока излуче- ния

ватт на квадратныйметр

Вт/м2 W/m2

Поверхностная плот- ность теплового потока


Вт/м2 W/м2

Поглощённая доза излучения

грэй Гр Gy

Потенциал электриче- ского поля

вольт В V

Поток энергии, поток излучения

ватт Вт W

Работа джоуль Дж JСветовая энергия люмен-секунда лм⋅с lm⋅sСветовой поток люмен лм lmСпектральная плотность энергетической свети- мости а) по длине волны

б) по частоте

ватт на кубическийметр

джоуль на квадратныйметр

Вт/ м3

Дж/м2

W/m3

W/m2

Тепловой поток ватт Вт WТеплоёмкость джоуль на кельвин Дж/К J/KТеплота джоуль Дж JУдельная теплоёмкость джоуль на килограмм-

кельвинДж/(кг⋅К) J/(kg ⋅К)

Химический потенциал джоуль Дж JЧастота периодического процесса

герц Гц Hz




41

Окончание табл. 1




Электрический заряд кулон Кл C

Энергетическая осве- щённость


Вт/м2 W/m2

Энергетическая свети- мость


Вт/м2 W/m2

Энергия джоуль Дж J

Таблица 2

Внесистемные единицы, допущенные к применению

Величина ЕдиницаНаименование Обозначение Соотношение с единицей СИ

Время минута мин 60 счас ч 3600 ссутки сут 86 400 с

Плоский угол градус o... ( )180π рад 210741 −⋅= , радминута ... ′ 410912 −⋅, радсекунда ... ′′ 610854 −⋅, рад

Энергия электронвольт эВ 1910601 −⋅, ДжМасса атомная единица

массыа.е.м. 2710661 −⋅, кг

Относительная величина

процент % 210−




42

Таблица 3

Десятичные кратные и дольные приставки и множители

Приставка



экса Э E 1810 1 Эм= 1810 мпета П P 1510 1 Пм = 1510 мтера Т T 1210 1 Тм = 1210 мгига Г G 910 1 Гм = 910 ммега М M 610 1 Мм = 610 мкило к k 310 1 км = 310 мгекто г h 210 1 гм = 210 мдека да da 110 1 дам = 110 мдеци д d 110− 1 дм = 110− мсанти с c 210− 1 см = 210− ммилли м m 310− 1 мм = 310− ммикро мк µ 610− 1 мкм = 610− мнано н n 910− 1 нм = 910− мпико п p 1210− 1 пм = 1210− мфемто ф f 1510− 1 фм = 1510− матто а a 1810− 1 ам = 1810− м

Приставку или её обозначение следует писать слитно с наименованием еди-ницы, к которой она присоединяется, или с её обозначением.

Присоединение двух и более приставок подряд не допускается.Кратные и дольные единицы должны выбираться таким образом, чтобы чи-

словые значения величины находились в диапазоне от 0,1 до 1000. (Выбор деся-тичной кратной или дольной единицы диктуется прежде всего удобством ее при-менения.)

Для уменьшения вероятности ошибок при расчётах десятичные кратные идольные единицы рекомендуется подставлять только в конечный результат, а впроцессе вычислений все величины выражать в единицах СИ, заменяя приставкимножителями n10 .




43

Таблица 4Основные физические постоянные (округленные значения)

Величина Обозначение Значение величины

Скорость света в вакууме c 810003 ⋅, м/сМагнитная постоянная 0µ 7104 −⋅π Гн/мЭлектрическая постоянная 0ε 1210858 −⋅, Ф/мГравитационная постоянная γ 1110676 −⋅, Н⋅м2/кг2

Постоянная Планка h

h

3410636 −⋅, Дж⋅с34100551 −⋅, Дж⋅с

Элементарный электрический заряд e 1910601 −⋅, КлКомптоновская длина волны электрона kΛ 1210432 −⋅, мПостоянная Ридберга R 7100971 ⋅, м-1

Число Авогадро АN 2310026 ⋅, моль–1

Универсальная газовая постоянная R 318, Дж/(моль⋅К)Постоянная Больцмана k 2310381 −⋅, Дж/КПостоянная Стефана–Больцмана σ 810675 −⋅, Вт/(м2⋅К4)Боровский радиус 0a 10105290 −⋅, мЭнергия ионизации атома водорода iE 1810182 −⋅, Дж

13,6 эВ

Таблица 5Работа выхода электронов из металла

Металл А, эВ А, 1910− Дж Металл А, эВ А, 1910− ДжКалий 2,22 3,55 Серебро 4,30 6,88Литий 2,38 3,81 Платина 5,32 8,51Цинк 4,24 6,78 Цезий 1,81 2,90

Таблица 6Масса и энергия покоя некоторых частиц

Частица 0m 0Eкг а.е.м. Дж МэВ

Электрон 3110119 −⋅, 0,000549 1410168 −⋅, 0,511Протон 27106731 −⋅, 1,007276 1010501 −⋅, 938,3Нейтрон 27106751 −⋅, 1,008665 1010511 −⋅, 939,6α -частица 2710646 −⋅, 4,00150 1010965 −⋅, 3733




44

Таблица 7Молярная масса µ , температуры Дебая Дθ и плавления плT

некоторых веществ

µ Дθ плTВещество

Обозначениехимическогоэлемента

Порядковыйномер

в периодическойсистеме кг/моль К К

Алюминий Al 13 0,027 394 934Висмут Bi 83 0,209 120 544Вольфрам W 74 0,184 312 3687Железо Fe 26 0,056 373 1808Золото Au 79 0,197 170 1337Медь Cu 29 0,064 315 1356Молибден Mo 42 0,096 377 2895Ниобий Nb 41 0,093 260 2760Платина Pt 78 0,195 230 2042Свинец Pb 82 0,207 88 600Серебро Ag 47 0,108 215 1234Цинк Zn 30 0,065 234 692




Физика. Часть 2: Рабочая программа и методические...

Documents