2

PËRMBAJTJA

PËRMBAJTJA

HYRJE H.1 Njohuri të përgjithshme......................................................................................................... 6 H.2 Shëndërrimi elektromekanik i energjisë ............................................................................... 8 H.2.1 Mardhëniet energjitike në sistemet elektromekanike................................................... 8 H.2.2 Energjia në sistemin e çiftimin e fushave .................................................................. 12 H.2.3 Interpretimi grafik i shëndrrimit të energjisë ............................................................. 14

KAPITULLI I Një përshkrim i shkurtër i motorit asinkron .................................................................................... 17

1.1 Parimi i punës së makinës asinkrone................................................................................... 19 1.2 Ndërtimi i makinave asinkrone ........................................................................................... 21 1.3 Fusha magnetike e makinës asinkrone ................................................................................ 22

1.3.1 Forca magnetomotore e bobinës me hap të plotë ...................................................... 22 1.3.2 Forca magnetomotore e grupit të bobinave me hap të plotë .................................... 24 1.3.3 F.m.m e fazës ........................................................................................................... 25 1.3.4 Valët rrotulluese të f.m.m.......................................................................................... 26 1.3.5 Forca magnetomotore e pështjellës trefazore............................................................ 27

KAPITULLI II Modeli në kordinata a,b,c (modeli fazorë) i Makinës Asinkrone tre-fazore .................................... 30

2.1 Motori asinkron me rotor me faza ....................................................................................... 30 2.2 Momenti elektromagnetik ................................................................................................... 33 2.3 Ekuacionet e ekuilibrit te makines asinkrone në formën e variablave të gjendjes .............. 35

KAPITULLI III Metoda e vektorit hapësinor ............................................................................................................ 37

3.1 Kuptimi i vektorit përfaqësues ............................................................................................ 37 3.2 Paraqitja e f.m.m, induksionit, densitetin e rrymës dhe fluksin e një bobine anë të vektorëve

hapësinor përkatës ............................................................................................................... 39 3.3 Vektori hapësinor përfaqësues i f.m.m, induksionit, fluksit, densitetit te rrymës në rastin e

grupit të bobinave ................................................................................................................ 42 3.4 Vektori hapësinor përfaqësues i f.m.m, fluksit, te rrymës të pështjellës trefazore të statorit44 3.5 Vektori hapësinor përfaqsues i madhësive të pështjellës trifazore të rotorit ....................... 47 3.6 Paraqitja e vektori hapësinor në një sistem arbitrar referimi ............................................... 49 3.7 Vektori hapësinor përfaqësues i madhësive të krijuar nga kombinimi i fushës magnetike të

statorit dhe rotorit ................................................................................................................ 53 3.7 Vektori hapësinor përfaqësues i madhësive të krijuar nga kombinimi i fushës magnetike të

statorit dhe rotorit ................................................................................................................ 53 3.8 Paraqitja e vektorëve hapësinor të flukseve të statorit dhe rotorit në një sistem arbitrar referimi

............................................................................................................................................. 58 3.9 Marrdhënia midis komponentes nuleare dhe vektorit hapësinor ......................................... 61 3.10 Marrdhënia ndërmjet vlerave të çastit të madhësive fazore dhe vektorit hapësinor............ 62 3.11 Madhësia e vektorit hapësinor trefazor të rrymës në regjim të vendosur në kushte simetrike63 3.12 Madhësia e vektorit hapësinor të rrymës në një regjim të vendosur të një sistemi asimetrik64 3.13 Vektorët hapësinor i tensioneve dhe rrymave lineare në një sistem trefazor ...................... 67 3.13.1 Sistemi i lidhur në yll ............................................................................................... 67 3.13.2Sistemi trefazor në trekëndësh................................................................................... 69 3.14 Fuqia e castit, Energjia Magnetike e Rezervuar, Energjia Mekanike dhe Momenti

Elektromagnetik .................................................................................................................. 70

3

3.14.1Fuqia e çastit.............................................................................................................. 70 3.14.2Fuqia e çastit në një makinë elektrike në të cilën kalon rrymë si në stator dhe rotor 71 3.14.3Fuqia aktive dhe reaktive........................................................................................... 72 3.14.4Energjia magnetike e rezervuar në makinat elektrike................................................ 73 3.14.5Energjia magnetike e rezervuar në makinat elektrike................................................ 74 3.14.6Energjia mekanike ..................................................................................................... 75 3.15 Momenti Elektromagnetik................................................................................................... 76 3.15.1Nxjerrja e shprehjes së momentit elektromagnetik nga shprehja e energjisë mekanike76 3.15.2Nxjerrja e shprehjes së momentit elektromagnetik duke zbatuar ligjin e Amperit ... 78 3.15.3Shprehja e momentit me anë të vektorit hapësinor të shprehur në sistemin arbitrar .... dhe në atë të vecantë të referimi ................................................................................ 80 3.15.4Shprehja e momentit el-mag në termat e komponenteve të vektorëve hapësinor...... 85 3.16 Përcaktimi i llojeve të ndryshme të makinave elektrike...................................................... 88 3.16.1Makina elektrike me hapsirë ajrore kostante ............................................................. 88 3.17 Ekuacionet e ekulibrit te tensioneve të makinës asinkrone me anë të vektorëve hapësinor 95 3.17.1 Shprehja e ekuacioneve te tensioneve të makinës në sistemet e tyre natyrale me anë të vektorëve hapësinor ...................................................................................... 95 3.17.2Shprehja e ekuacione të ekulibrit të tensioneve në sistemin arbitrar të referimit. Modeli i rendit të V i Makinës Asinkrone................................................................. 96 3.17.3Llogaritja e momentit elektromagnetik në kohë reale të makinës asinkrone me anë të madhësive të statorit (vazhdim i modelit fazorë i makinës asinkrone )............... 102 3.18 Reduktimi i Modelit të Makinës Asinkrone ...................................................................... 106 3.18.1Modeli i rendit të parë ............................................................................................. 107 3.18.2Modeli i rendit të dytë ............................................................................................ .109 3.18.3Modeli i rendit të tretë ............................................................................................ .110 3.18.4Ekuacionet e ekuilibrit të tensioneve për ngacmime të “vogla” të makinës............ 111 3.18.5Ekuacionet e makinës asinkrone në formën e variablave të gjendjes...................... 113 3.18.5Llogaritja e momentit .............................................................................................. 114

KAPITULLI IV Modelimi i makinave të rrymës së vazhduar.................................................................................. 118 4.1Hyrje në MRV........................................................................................................................... 118 4.2Modeli i makinës së rrymës së vazhduar me eksitim të pavarur .............................................. 120.

4.2.1 Ekuacionet e M.R.V në regjim të vendosur ........................................................... 122 4.2.2 Ekuacionet e M.R.V në rastin e ngacmimeve të vogla ........................................... 123

4.3Analiza e makinës së rrymës së vazhduar me eksitim në paralel .............................................. 123 4.3.1 Ekuacionet e M.R.V me eksitim në paralel në regjim të vendosur ......................... 124

4.4 Analiza e makinës së rrymës së vazhduar me eksitim në seri .................................................. 126 4.4.1 Ekuacionet e M.R.V me eksitim në seri në regjim të vendosur .............................. 126

4.5Analiza e makinës së rrymës së vazhduar me eksitim të përzier............................................... 127 4.5.1 Ekuacionet e M.R.V me eksitim të përzier në regjim të vendosur.......................... 129

SIMBOLET E PËRDORURA

Simboli Shpjegimi njësia usA, usB, usC :Vleftat e çastit të tensioneve të fazave A , B, C të statoritA....................V

si Fazori kompleks i rrymave të statorit .......................................................A

su Fazori kompleks i tensioneve të statorit...................................................V

ūs Vektori hapësinor i tensioneve të statorit..................................................V

4

si Vektori hapësinor i rrymave të statorit .....................................................A 1

1( )I , 11

( )U Komponentet simetrike të renditjes së drejtë të rrymës dhe tensionit së statorit ..................................................................................................A, V

isA, isB, iSc Vleftat e çastit të rrymave të fazës A, B, C të statorit...............................A ira, irb, irc Vleftat e çastit të rrymave të fazës a, b, c të rotorit ..................................A UsA, UsB, UsC Vlefta efektive të tensioneve të fazave A, B, C të statorit ........................V IsA, IsB, IsC Vleftat efektive të rrymave në fazat e statorit ...........................................A Ura, Urb, Urc Vleftat efektive të tensionit në fazat e rotorit............................................V Ira, Irb, Irc Vleftat efektive të rrymave në fazat të rotorit ...........................................A ψsA, ψsB, ψsC Vlefta e çastit e flukseve në fazat e statorit............................................. Ëb ψra, ψrb, ψrc Vlefta e çastit e flukseve në fazat e rotorit.............................................. Ëb LsA, LsB, LsB Induktiviteti vetjak i fazës së statorit, i cili përfshin induktivitetin vetjak nga

fluksi kryesor i fazës përkatëse dhe induktivitetin nga fluksi i shpërndarjes të të njëjtës fazë.........................................................................................H

Lra, Lrb, Lrc Induktiviteti vetjak i fazës së rotorit, i cili përfshin induktivitetin vetjak nga fluksi kryesor i fazës përkatëse dhe induktivitetin nga fluksi i shpërndarjes të të njëjtës fazë.........................................................................................H

Msr Vlefta maksimale e induktivitetit reciprok ndërmjet një faze të statorit dhe një faze të rotorit (kur akset e tyre puthiten).............................................H

Lss Induktiviteti vetjak i fazës së statorit, i cili përfshin induktivitetin vetjak nga fluksi kryesor i asaj faze, dhe induktivitetin nga fluksi i shpërndarjes të të njëjtës fazë ................................................................................................H

Ls Induktiviteti vetjak i fazës së statorit i cili përfshin induktivitetin vetjak nga fluksi kryesor i krijuar nga fazat e statorit, dhe induktivitetin nga fluksi i shpërndarjes të fazës përkatëse .................................................................H

Lr Induktiviteti vetjak i fazës së rotorit, i cili përfshin induktivitetin vetjak nga fluksi kryesor i krijuar nga fazat e rotorit, dhe induktivitetin nga fluksi i shpërndarjes të fazës përkatëse ................................................................H

Lrr Induktiviteti vetjak i fazës së rotorit, i cili përfshin induktivitetin vetjak nga fluksi kryesor i asaj faze, dhe induktivitetin nga fluksi i shpërndarjes të të njëjtës fazë ................................................................................................H

f1 Frekuenca e burimit të ushqimit .............................................................Hz B Induksioni magnetik.................................................................................. T F Forca magnetomotore ...................................................................A dredha Zr Numri i thuprave të rotorit ......................................................................... - W Numri i dredhave të një bobine.........................................................dredha s Shkarja e motorit asinkron ......................................................................... - H Intesiteti i fushës magnetike..................................................................A/m

1 Shpejtësia këndore sinkrone ........................................................ rad el/sek

5

ωr Shpejtësia këndore e rotorit ......................................................... rad el/sek

r Shpejtësia këndore e rotorit ............................................................ rad/sek

Përçueshmëria magnetike e çelikut.......................................................H/m

Përçueshmëria magnetike e ajrit ...........................................................H/m

r1 Rezistenca aktive e fazës së statorit ..........................................................Ω r2 Rezistenca aktive e fazës së rotorit ...........................................................Ω

2r Rezistenca e aktive e qarkut të rotorit e reduktuar....................................Ω

x1 Rezistenca induktive e pështjellës së statorit ............................................Ω

x Rezistenca induktive e pështjellës së rotorit .............................................Ω

2x Rezistenca induktive e pështjellës së rotorit e reduktuar ..........................Ω

p Numri i çift poleve të makinës asinkrone .................................................. - (1)2I Komponentja e renditjes së drejtë e rrymës së rotorit...............................A (2)2I Komponentja e renditjes së kundërt e rrymës së rotorit ...........................A

me Vlefta e çastit e momentit elektromagnetik ...........................................Nm Me Momenti el-mag që zhvillon makina në një regjim të vendosur .......... Nm Mng Momenti i ngarkesës ..............................................................................Nm Pem Fuqia elektomagnetike e makinës asinkrone .......................................... kË I1k Vlefta efektive e rrymës së statorit për harmonikën e k-të .......................A U1k Vlefta efektive e tensionit në pështjellën e statorit për harmonikën e k-tëV

g Shpejtësia këndore e sistemit kordinativ të përgjithshëm................ rad/sek

6

HYRJE

MODELIMI I MAKINAVE ELEKTRIKE H. I Njohuri të përgjithshme

Një teori, shpesh është një formulim përgjithsues i një principi që në të cilin arrihet pas studimesh e vëzhgimesh dhe një model është paraqitja e kësaj teorie në mënyrë që të mund të përdoret për parashikim ose kontroll. Që të jetë i vlefshëm një model duhet të jetë sa më realist dhe megjithatë i thjeshtë për t’u kuptuar dhe i lehtë për t’u manipuluar. Këto dy kërkesa janë kontradiktore, pasi modelet realiste janë rrallë të thjeshtë dhe modelet e thjeshtë janë rrallë realistë. Shpesh shtrirja e modelit është brenda interesave përkatëse të studimit. Pra, tiparet ose sjelljet që paraqesin interes për fushën e studimit i përfshijmë në model dhe të tjerat i injorojmë. Modelimi si i tillë i referohet procesit të analizës dhe sintezës përmes së cilit arrihet në një përshkrim matematikor të përshtatshëm që vlerëson karakteristikat dinamike përkatëse të komponentes në shqyrtim, mundësisht dhe aq më mirë në termat e parametrave që janë të përcaktueshëm lehtësisht në praktikë. Në modelimin matematik, ne mundohemi të përcaktojmë marrëdhëniet funksionale ndërmjet madhësive që studiohen. Një model pra supozohet se imiton ose riprodhon karakteristika ose kushte të caktuara të objektit aktual shpesh në një shkallë të ndryshme. Mund të marrë forma të ndryshme, formë fizike, si në modelet-shkallë apo makinat elektrike analoge të sistemeve mekanike; formë mendore, si në njohuritë intuitive dhe imagjinare; simbolike, si në paraqitjet skematike, grafike, gjuhësore apo matematike. Simulimi mund të jetë i dobishëm në shumë studime shkencore që janë si më poshtë:

1. Studimi i sistemit fizik të dhënë 2. Formulimi një hipoteze apo hartimi i një modeli matematik për ta shpjeguar atë. 3. Parashikimi i sjelljes së sistemit me anë të zgjidhjes dhe natyrës së modelit matematik. 4. Vënia në provë e saktësisë dhe vlefshmërisë së hipotezës së bërë apo të modelit të

ndërtuar.

Në varësi nga natyra e sistemit fizik aktual dhe qëllimit të simulimit përkufizimi i modelimit dhe simulimit do të jetë i ndryshëm. Në kuptimin më të gjerë të fjalës, simulimi është një teknikë që përfshin hartimin e një modeli për një proces konkret dhe kryerjen e eksperimenteve mbi modelin e hartuar.

Modelet matematike mund të klasifikohen si më poshtë:

Linearë ose jolinearë: modelet linearë përshkruhen nga ekuacione lineare në të cilat është i aplikueshëm principi i superpozimit. Modelet jolinearë, nga ana tjetër, përshkruhen nga ekuacione matematike jo linearë.

Me parametra të përqëndruar ose me parametra të shpërndarë. Modelet me parametra të përqëndruar përshkruhen nga ekuacione diferenciale me derivate të plotë që kanë vetëm një variabël të pavarur. Modelet me parametra të shpërndarë përshkruhen nga ekuacione diferenciale me derivate të pjesshme shpesh me kohën dhe një ose më shumë koordinata hapësinore si varibla të pavarur.

7

Statikë dhe dinamikë. Modelet statikë marrin parasysh regjimet e stabilizuara (të vendosura) ndërsa modelet dinamikë marrin parasysh karakteristikat gjatë regjimeve kalimtare.

Të vazhdueshëm ose diskretë. Modelet e vazhdueshëm përshkruhen nga ekuacione në të cilat variablat e varur janë të vazhdueshëm në kohë. Modelet diskrete përshkruhen nga ekuacione variablat e varur të të cilëve përcaktohen vetëm në çaste të caktuara kohe.

Të fiksuar ose statistikorë: një model quhet i vendosur nëse në të nuk merret parasysh faktori i rastit ose statistikor. Modeli quhet statistikor nëse merr parasysh faktorë të rastit.

Procedura e hartimit të një modeli është shpesh një procedurë iterative. Cikli fillon me përcaktimin e qëllimit që do realizojmë me modelin dhe kufizimet e tij, si dhe me supozimet apo lëshimet që do bëjmë, mënyrën si do përcaktojmë parametrat për modelin, dhe njohjen e ndihmës kompjuterike të mundshme në atë drejtim. Nevojitet njohje dhe kuptim i mirë dhe i thellë i disiplinës përkatëse për të bërë lëshimet e nevojshme për ta thjeshtuar modelin. Thjeshtësia është karakteristika dalluese e modelit të mirë. Një model që e tepron me detaje mund të jetë tepër i vështirë dhe madje i pavolitshëm për t’u përdorur. Por nga ana tjetër lëshimet dhe thjeshtimet e tepruara mund të na çojnë në rezultate me saktësi të pakënaqshme. Mund të ketë më shumë se një model për të njëjtin sistem fizik, që dallojnë nga preçizioni, aspekti dhe shtrirja e tyre. Për shembull një linjë transmetimi mund të paraqitet përmes një modeli me parametra të shpërndarë, ose përmes një modeli RLC me parametra të përqëndruar ose një modeli RL me parametra të përqëndruar. Po ashtu modeli i një qarku elektromagnetik me bërthamë çeliku, mund të marrë parasysh efektet e ngopjes së qarkut magnetik apo efektet e histerezisë së bërthamës në varësi të qëllimit të simulimit.

Çdo model ka parametra që duhen vlerësuar. Prandaj hartimi i një modeli varet nga metodat eksperimentale për përcaktimin e këtyre parametrave ose përndryshe modeli nuk është i plotë. Modeli i hartuar duhet verifikuar dhe duhet përcaktuar shkalla e saktësisë së tij. Verifikimi përfshin kontrollimin e saktësisë matematikore të ekuacioneve të shkruara, procedurën e zgjidhjes, dhe të lëshimeve të bëra. Shkalla e saktësisë përcakton se sa i jemi afruar (me ç’saktësi) aspekteve përkatëse të sistemit aktual me modelin e hartuar. Nëse gabimi i bërë është tepër i madh ose i papranueshëm atëherë cikli përsëritet nga e para. Të dhënat e përdorura për përcaktimin e parametrave nuk duhet të jenë të njëjta me të dhënat e përdorura për verifikimin e modelit.

Modelimi dhe simulimi kanë përdorim të gjerë. Ato janë veçantërisht të leverdisshëm kur sistemi real nuk ekziston ose është tepër i shtrenjtë, kërkon shumë kohë, ose është i rrezikshëm për t’u ndërtuar, ose kur eksperimentimi me modelin real mund të ketë pasoja të papranueshme. Të eksperimentosh me vlera të parametrave të ndryshuar apo të eksplorosh një koncept të ri ose një strategji të re operimi mund të bëhet shumë herë më lehtë në një proces simulimi sesa në një seri të tërë eksperimentesh që do të kërkohej të kryheshin mbi sistemin aktual, gjithsesi. Simulimi gjithashtu është një mënyrë e mirë studimi, një teknikë përmes së cilës studentët mund të mësojnë më shumë, të njohin më thellë dhe të kuptojnë më mirë sistemin që ata po studiojnë.

Një pyetje që bëhet menjëherë sapo kemi një model të një sistemi të dhënë është shkalla e saktësisë së tij. Pra, a reflektojnë rezultatet e simulimit rezultatet e sistemit aktual për të njëjtat kushte? Edhe për modele të sakta, duhet pasur kujdes në shtrirjen e përdorimit të modelit në një simulim më të gjerë, duke pasur një qëllim të fiksuar mirë dhe duke iu përmbajtur atij. Përndryshe do të arrinim në rezultate pa kurrfarë vlere e rëndësie.

8

H. II Shëndrrimi elektromekanik i energjisë Principi i shëndrrimit të energjisë në paisjet e ndryshme është i njëjtë, stuktura në të cilën arrihet ajo (shëndrrimi) është në varësi të funksionit të tyre. Një kategori të shëndrrimit të energjisë janë paisjet që sherbejnë për sistemin e matjeve dhe të kontrollit ku karateristika e hyrje-daljeve e tyre është lineare. Një kategori tjetër janë paisjet që ushtrojnë një forcë të caktuar si p.sh reletë e ndryshme elektromekanike, elektromagnetët etj. Një kategori tjetër shumë e rëndësishme përfshihen paisjet që shëndrrojnë enërgjinë në mënyrë të vazhdueshme si motorët asinkronë, motorët sinkronë, gjeneratorët sinkron , gjeneratorët e rrymës së vazhdueshme etj.

H. II.1. Mardhëniet energjitike në Sistemet elektromekanike Sistemi elektro-mekanik përbëhet nga sisteme elektrike dhe mekanike të cilët në të

njëjtën kohë këto sisteme bashkëveprojnë me njëri tjetrin duke realizuar shëndrrimin e energjisë nga një formë (elektrike-mekanike) në një formë tjetër (mekanike – elektrike). Sistemi elektrik përbëhet nga fusha elektromagnetike dhe elektro-statike të cilët mund të ekzistojnë të dyja së bashku në të njëjtën kohë ose veç e veç. Zakonisht sistemet mekanike përfshijnë energjinë kinetike apo potenciale të trupave. Për të analizuar shëndrrimin e energjisë ( elektrike në mekanike) do të marrim në studim rastin më të thjeshtë të një sistemi elektromekanik i cili përbëhet nga sistemi elektrik, sistemi mekanik dhe sistemi i çiftimit të fushave siç është treguar në figurën 1.

SISTEMI ELEKTRIK

ÇIFTIMII FUSHAVE

SISTEMI MEKANIK

Fig.1 bllokdiagrama e një sistemi elementar elektromekanik

Fokusi i studimit nëmaterial do të jenë sistemet elektrike të cilët operojnë me frekuencë të ulët (50 Hz) ku rrezatimin elektromagnetik nuk do ta marrim parasysh dhe sistemin elektrik do ta pranojmë me parametra të përqëndruar. Në të gjitha hallkat e sistemit elektromekanik kemi humbje të energjisë. Humbjet në sistemin mekanik janë kryesisht janë për shkak të fërkimit të boshtit në kushineta si qarkut të rotorit me ajrin. Në sistemet elektrike ekzistojnë humbjet për shkak të kalimit të rrymës elektrike në përcjellës ( bobinë , pështjellë etj), humbjet në materialet ferromagnetike për shkak të rrymave fuko dhe lakut të histerezës si dhe humbje në dialektrikë. Duke shënuar EE energjinë e plotë të sistemit elektrik dhe EM energjinë e plotë të sistemit mekanik ateherë ekuacioni i ekulibrit të energjisë të sistemeve përkatëse do të jetë: EE=Ee+EeH+EeR (1) EM=Em+EmH+EmR (2)

Ku:

EeR është e rezervuar ( magazinuar ) në fushën elektrike apo magnetike e cila nuk bashkëvepron me sistemin mekanik.

EeH është energjia e cila përfaqëson humbjet në sistemin elektrik e cila kthehen në nxehtësi.

Ee është ajo pjesë e energjisë së sistemit elektrik që transferohet te çiftimi i fushave e cila merr pjesë në shëndrrimin e energjisë.

9

EmR është e rezervuar ( magazinuar ) në pjesët lëvizëse të sistemit mekanik dhe nuk merr pjesë te çiftimi i fushave ( nuk bashkëvepron me sistemin elektrik).

EmH është energjia e cila përfaqëson humbjet në sistemin mekanik e cila kthehen në nxehtësi.

Em është ajo pjesë e energjisë së sistemit mekanik që transferohet te çiftimi i fushave e cila merr pjesë në shëndrrimin e energjisë.

Duke shënuar me EF energjinë e plotë të transferuar në çiftimin e fushave atëherë ekuacioni i ekulibrit të energjisë në të do të jetë: EF=EfH+EfR (3)

Ku:

EfH është energjia e rezervuar ( magazinuar ) në sistemin e çiftimit të fushave.

EfR është energjia që humbet në sistemin e çiftimit të fushave. Në bazë të ligjit të ruajtjes së energjisë për sistemin elektromekanik kemi: EfH+EfR = (EE−EeH−EeR ) + ( EM −EmH−EmR ) (4) EfH+EfR =Em + Ee (5)

Në figurën 2 tregohet në mënyrë skematike marrëdhëniet e mësipërme të energjisë.

∑ ∑ ∑EE +

_

_

+_

_

_

_

+

EeH

EeR

Ee

EfR

EfH EmH

EmR

EMEm+

Sistemi elektrik Çiftimi i fushave Sistemi mekanik

fig.2 Paraqitja në mënyrë skematike e ballancave të energjisë.

Siç shikohet dhe nga figura 2, shëndrrimi i energjisë nga elektrike në mekanike dhe anasjelltas nuk varet nga:

1. humbjet në sistemin elektrik dhe mekanik përkatësisht EeH, EmH. 2. energjia e rezervuar në sistemin elektrik EeR 3. energjia e rezervuar në sistemin mekanik EmR

Në qoftë se pranojmë humbje te çiftimi i fushave të neglizhueshme ekuacioni (5) merr trajtën: EfR = Ef = Em + Ee (6)

Për të ilustruar një sistem elektromekanik elementar marrim një shembull konkret të treguar në figurën 3.

10

fig.3 Një sistem elementar elektro-mekanik

Në këtë sistem u është tensioni i burimit të sistemit elektrik të ushqimit dhe f është një forcë mekanike e jashtme e ushtruar në sistemin elektrik. Forcën elektromagnetike që ushtrohet në materialin ferromagnetik lëvizës do ta shënojmë me fe. Me r do të shënojmë rezistencën e përcjellësit në të cilën kalon rryma i dhe me L do të shënojmë induktivitetin e sistemit elektromagnetik të cilën do ta pranojmë kostant energjia në të cilën grumbullohet në të nuk merr pjesë në sistemin e çiftimit me sistemin mekanik. Sistemi mekanik i treguar në figurën 3 përfaqësohet nga:

M masa e trupit ferromagnetik i cili bën lëvizje drejtvizore

D koeficienti i shuarjes (qetësimit) të trupit lëvizës

K kostantja e sustës

Zhvendosja x0 përfaqëson një pozicion ekuilibri të sistemit mekanik. Ekuacioni i ekuilibrit të f.e.m dhe tensioneve në sistemin e dhënë elektrik do të jetë i barabartë me shprehjen: fdiu ir L edt (7)

Ku ef është f.e.m që induktohet në bobinën me W dredha e cila do të marrë pjesë në sistemin e çiftimit të fushave. Në bazë të ligjit të Njutonit (lëvizjes) ekuacionet dinamike të sistemit të dhënë mekanik është i barabartë me ekuacionin e mëposhtëm:

2

02 ed x dxf M D K fx xdt dt

(8)

Energjia e plotë e sistemit elekrik është e barabartë me shprehjen: EE uidt (9) Energjia e plotë e sistemit mekanik është e barabartë me shprehjen: ME fdx (10) Duke zëvendësuar shprehjen (7) te (9) përftojmë shprehjen e energjisë së plotë në trajtën e mëposhtme: 2E fE r i dt L idi e idt (11)

Termi i parë djathtas 2r i dt përfaqëson humbjet elektrike EeH për shkak të kalimit të rrymës në përcjellësin me rezistencë r të sistemit elektrik. Termi i dytë djathtas L idi përfaqëson energjinë magnetike të rezervuar EeR e cila siç është theksuar dhe më sipër nuk merr pjesë në

11

shëndrrimin e energjisë. Energjia e transferuar te sistemi i çiftimit të fushave nga sistemi elektrik është e barabartë me shprehjen: e fE e idt (12) Në mënyrë të njëtë përcaktojmë dhe shprehjen e energjisë së plotë të sistemit mekanik duke zëvendësuar shprehjen (8) te (10) duke marrë formën e mëposhtme:

22

02M ed x dxE M dx D dt K dx f dxx xdt dt

(13)

Termi i parë dhe i tretë te shprehja 13 përkatësisht 2

02d xM dx K dxx xdt

përfaqësojnë mekanike të rezervuar respektivisht në masën M dhe në sustën EmR, ndersa termi i dytë

2dxD dtdt

përfaqëson humbjet për shkak të fërkimit EmH. Energjia e transferuar te sistemi i

çiftimit të fushave nga sistemi mekanik është e barabartë me shprehjen: m eE f dx (14) Duhet theksuar se forca pozitive, fe është konsideruar të jetë në të njëjtën drejtim me zhvendosjen dx. Duke zëvendësuar shprehjet e mësipërme të energjisë te ekuacioni (5) përftojmë : fR eE eidt f dx (15) N.q.s se do të kemi një sistem elektromekanik i cili përbëhet nga disa sisteme elektrike dhe mekanike shprehja (15) merr formën:

1 1

J K

fR ej mkj k

E E E

(16)

Ku J dhe K janë hyrjet e sistemeve elektrike dhe mekanike në çiftimin e fushave. Energjia e plotë e transferuar nga sistemet elektrike te sistemi i çiftimit të fushave do të jetë:

1 1

J J

ej fj jj j

E e i dt

(17)

Energjia e plotë e transferuar nga sistemet mekanike te sistemi i çiftimit të fushave do të jetë:

1 1

K K

ej ek kk k

E f dx

(18)

Ballanca e energjisë është e barabartë me shprehjen e mëposhtme:

1 1

J K

f fj j ek kj k

E e i dt f dx

(19)

Dhe në trajtë diferenciale do të ketë formën:

1 1

J K

f fj j ek kj k

dE e i dt f dx

(20)

12

1eE1mE

2eE

3eE

eJE

2mE

3mE

mKE

fig.4 bashkëveprimi i disa sistemeve elektrike dhe mekanike

H. II.2 Energjia në sistemin e çiftimin e fushave Për të përcaktuar forcën elektromagnetike nga shprehja (20) fillimisht duhet të

përcaktojmë energjinë e rezervuar të sistemi i çitimit të fushave. Energjia e rezervuar në çiftimin e fushave në rastin e makinave elektrike rezervohet në hapësirën ajrore të sistemit elektromekanik. Ajri duke qënë se klasifikohet si një konservues i mesëm, e gjithë energjia e rezervuar do ti rikthehet sistemit elektrik dhe mekanik. Energjia e rezervuar në një fushë konservative është funksion i variabllave të gjendjes. N.q.s trupi me masë M qëndron i palëvizur (dx=0) dhe sistemin elektrik e ushqejmë me një burim të caktuar atëherë energjia mekanike është e barabartë me zero Emk = 0 dhe shprehja (19) merr formën e mëposhtme:

1

J

f fj jj

E e i dt

(21)

f.e.m që induktohet në një bobinë është e barabartë me shrehjen f de dt , kështu që për një

sistem të vetëm elektrik shprehja (21) do të ketë formën: f dE eidt i dt iddt

(22) Në figurën 4 është paraqitur karakteristika ëeber-ampere e sistemit elektrik. Sipërfaqja në të majtë të grafikut Δ(OAB) përfaqëson shprehjen (22) e cila është energjia e rezervuar e fushës për vlerat i=iA dhe Ψ= ΨA. Sipërfaqja në të djathtë të varësisë Ψ=f(i) paraqet ko-energjinë e barabartë si madhësi: cE di (23) Ko-energjinë mund ta përcaktojmë dhe me shprehjen e mëposhtme: c fE i E (24)

Ko-energjia nuk ka ndonjë kuptim fizik por është një madhësi e gjetur për të përcaktuar në një formë më të thjeshtë siç do ta shikojmë më vonë shpehjen e forcës elektromagnetike (momentit elektromagnetik) në një sistem elektro-mekanik. Zhvendosja x përcakton ndikimin (influencën) e sistemit mekanik te sistemi i çiftimit të fushave. Duke qenë se fluksi i plotë Ψ dhe rryma i kanë një varësi të caktuar ( në rast se njihet njëra madhësi në bazë të një marrdhënie të caktuar mund të përcaktojmë tjetrën ) atëherë për të përshkruar gjendjen e sistemitelektro-mekanik nevojitet përveç zhvendosjes x dhe një variabëll tjetër e cila mund të

13

jetë fluksi Ψ ose rryma i. Në qoftë se marrim zhvendosjen x dhe rrymën i si variablla gjendjeje, energjia e fushës Ef si dhe fluksi i plotë Ψ mund të shprehen si më poshtë: ( , )f fE E i x (25)

iAi

d

di

AA

O

Fig.4 energjia e rezervuar në sistemin elektrik ( , )i x (26)

Ndryshimi i fluksit të dhënë nga shprehja (26) është e barabartë:

( , ) ( , )i x i xd di dxi x

(27)

Duke pranuar dx=0 si dhe duke zëvendësuar shprehjen (27) tek shprehja (22) përftojmë energjinë e fushës të barabartë me :

0

( , ) ( , ),

i

fi x xE id i di di xi

(28)

Ku

është variabëll integrimi

Ndërsa shprehja e ko-energjisë është e barabartë:

0

,,i

cE di dxi x (29)

Në rast se do të pranonim si variablla gjendjeje fluksin Ψ dhe zhvendosjen x energjia e fushës si dhe rryma do të shpreheshin si më poshtë: ( , )f fE E x (30) ( , )i i x (31)

Duke bërë zëvendësimin përkatëse përcaktojmë shprehjen e energjisë së fushës në funksion të fluksit dhe zhvendosjes

0

, ,cE i d i dx x

(32)

14

Për të përcaktuar ko-energjinë kur fluksi Ψ dhe zhvendosja x janë variablat e gjendjes fillimisht duhet të përcaktojmë ndryshimi e rrymës di të barabartë me:

( , ) ( , )i x i xdi d dxx

(33)

Dhe shprehja e ko-energjisë është e barabartë me:

0

( , ) ( , ),ci x i xE d dx

(34)

Për sistemin elektromagnetik linear karakteristika ëeber-ampere është një vijë e drejtë dhe jepet me anë të relacioneve të mëposhtme: , L ii x x (35)

,i x L x (36)

Ndryshimi i fluksit do të jetë i barabartë me xd L di . Enrgjia e fushës për sistemin linear do të jetë e barabartë me shprehjen:

20

1,

2

i

fE L d L ii x x x (37)

Në rast se do të kishim një sistem elektro-mekanik me dy sisteme elektrike me qarqe elektromagnetike lineare dhe një mekanike atëherë energjia e rezervuar mund ta përcaktojmë si më poshtë: 1 11 1 12 21 2, , L i L ii i x x x (38) 2 21 1 22 21 2, , L i L ii i x x x (39)

Duke pranuar zhvendosjen dx=0, ndryshimet përkatëse të flukseve të jenë të barabartë me shprehjen e mëposhtme: 1 11 1 12 21 2, ,d L di L dii i x x x (40) 2 21 1 22 21 2, ,d L di L dii i x x x (41)

Shprehja e Energjisë së fushës është e barabartë me shprehjen e mëposhtme:

1 2

1 2

1 1 2 11 21

0 0

11 1 12 220 0

2 211 1 1 12 1 2 22 2

( , , ) ( , , )( , , ),

1 12 2

i i

f

i i

i x i xi x i d dE di x

L d i L d L dx x x

L i i L i i L ix x x

(42)

Në trajtë të përgjithshme shprehja (42) merr formën e mëposhtme:

11 1

1, ,2

J J

f pq p qJp q

E L i ii i x

(43)

H.II.3. Interpretimi grafik i shëndrrimit të energjisë. Në figurën 4 është paraqitur karakteristika ëeber- ampere e qarkut elektro-magnetik

për zhvendosjen e trupit me masë M nga kordinata me x=xA në x=xB.ndryshimi i energjisë së fushës është e barabartë diferencën e sipërfaqes OACO me sipërfaqen OBDO pra:

15

ΔEf= Sip(OACO)− Sip(OBDO) (44)

i

B

O

AC

D

x = xb

x = xa

Fig.5 Interpretimi grafik i shëndrrimit të energjisë në një sistem elektromekanik për

karakteristikën ψ=f(i) ,drejtimi nga A në B

i

B

O

AC

D

x = xb

x = xa

Fig.6 Interpretimi grafik i shëndrrimit të energjisë në një sistem elektromekanik për

karakteristikën ψ=f(i) ,drejtimi nga B në A

Ndryshimi i energjisë së sistemit elektrik do të përcaktohet me anë të shprehjes së mëposhtme:

( )B

A

eE id Sip CABDC

(45)

Ndërsa ndryshimi i energjisë së sistemit mekanik do të jetë:

( ) ( ) ( ) ( )m f eE E E Sip OACO Sip OBDO Sip CABDC Sip OABO (46)

16

i

B

O

AC

D

x = xb

x = xa

Fig.7 Interpretimi grafik i shëndrrimit të energjisë në një sistem elektromekanik për

karakteristikën ψ=f(i) ,drejtimi nga A në B në A

Për të llogaritur forcën elektro-magnetike fe të një sistemi elektro-mekanik nisemi nga shprehja (20):

1 1

K J

ek k fj j fk j

f dx e i dt dE

(47)

Ose

1 1

K J

ek k j fj fk j

f dx i d dE

(48)

Energjia e fushës Ef si dhe flukset të një sistemi elektro-mekanik i cili përbëhet nga disa sisteme elektrike dhe mekanike jepet me shprehjet e mëposhtme: 1 1, , ,f f J KE E i i x x (49) 1 1, , ,j j J Ki i x x (50)

Ndryshimi i energjisë së fushës si dhe i fluksit të sistemit elektromekanike do të jenë:

1 1

J Kf f

f j kj kj k

E EdE di dx

i x

(51)

1 1

( , ) ( , )J Kjj j k

j kj k

i x i xd di dxi x

(52)

Duke zëvendësuar shprehjet (51) dhe (52) tek shprehja (48) përftojmë sprehjen e ndryshimit të energjisë mekanike të sistemit elektro-mekanik i cili është i barabartë me:

1 11 1 1 1

( , ) ( , )J KK J J Kj f fj kek k j j k

j kj kk j j kj k

i x E Ei xdi dxf dx i di dxi x i x

(53)

Duke e zhvilluar më tej shprehjen (53) përftojmë një formë më të thjeshtë të saj si më poshtë:

111 1 1

( , )( , ) JJK K J j ffjjek k k j

nj n jk k jk k

i x EEi x iif dx dx dii ix x

(54)

17

Nga shprehja (54) gjejmë shprehjen e forcës elektro-magnetike të sistemit elektrik të barabartë me shprehjen :

1

( , ),

Jf

ek jj k k

Ei xf ii xx x

(55)

Forcën elektromagnetike të sistemit mund ta përcaktojmë shumë thjeshtë nga shprehja e ko-energjisë si më poshtë:

1

J

c j j fj

E i E

(56)

Duke derivuar shprehjen (56) në lidhje me zhvendosjen x përftojmë forcën elektromagnetike të sistemit elektro-mekanikë:

1

( , )J fcek j

jk k k

EE i xf ix x x

(57)

Zakonisht në makinat elektrike shëndrrimi i energjisë mekanike në elektrike dhe anasjelltas realizohet me anë të energjisë kinetike rrotulluese të pjesës së lëvizshme (rotorit) të makinës kështu që në vend të forcës elektromagnetike përdorim momentin elektromagnetik që zhvillon sistemi elektrik i barabartë me shprehjen e mëposhtme:

cekk

EM

(58)

18

KAPITULLI I

PARIMI I PUNES DHE NDERTIMI I MAKINES ASINKRONE

1.1 Parimi i punës së makinës asinkrone. Në fig 1-4 është treguar në formë skematike pamja e një makine asinkrone në

drejtimin aksial. Pështjella trefazore e statorit është vendosur në kanalet e bërthamës së statorit dhe lidhet me rrjetin trefazor të rrymës alternative me frekuencë 1f . Në kanalet e rotorit është vendosur pështjella trefazore e rotorit, daljet e së cilës zakonisht lidhen në të shkurtër. Çdo faze e këtyre pështjellave në makinën e treguar në fig 1-1 , është e formuar nga një dredhe ku fillimet janë shënuar me A, B, C dhe fundet me X, Y, Z. Dredhat janë të zhvendosura në hapësire me 0120 . Në rast se në pështjellën e statorit zbatohet nje sistem simetrik trefazor tensionesh atehere ne te do te kaloje nje sistem simetrik rrymash : AI , BI ,

CI .

A+

A-

B+

B-

C+

C-b

a

rot

c

b

c

a) b)

AI

BI

CI

Fig.1.1 Paraqitja skematike e një makine asinkrone me një cift polesh (p=1)

a) Makina asinkrone trefazore. b) F.m.m në një kohë të dhënë. c) Diagrama e rrymave për një kohë të caktuar.

19

Ne fig 1-1 eshte treguar drejtimi i rrymes ne percjellesit e peshtjelles se statorit ne një cast të caktuar të kohës.

a

b

b’c’

c

a’

a

b

b’c’

c

a’Peshtjellaekuivalente e thjeshte e statorit

ias

Peshtjellaekuivalente e thjeshte e statorit

Peshtjellaekuivalente e thjeshte e statorit

iasias

Aksi magnetik i fazes AAksi magnetik i fazes A

Aksi magnetik i fazes B

Aksi magnetik i fazes C

Aksi magnetik i fazes B

Aksi magnetik i fazes C

ics

ibs

ics

ibs

Fig 1-2 Fusha magnetike e statorit.

Ne fig 1-2 shihet se fusha magnetike e krijuar nga rrymat qe kalojne ne peshtjellen e statorit ka dy pole. Në këtë rast thuhet se makina ka një çift polesh; p=1. Kjo fushë do të rrotullohet rreth pështjellës që e krijoj me shpejtësi:

pfn 111

22

ku:

f1 është frekuenca e rrymës qe kalon në pështjelle p është numri i cift poleve te makinës Ω1 është shpejtesia sinkrone e fushës magnetike e krijuar nga rrymat e statorit.

Fluksi magnetik i krijuar nga rrymat që kalojnë në pështjellën e statorit duke u rrotulluar,pret përcjellësit e peshtjellave te statorit dhe rotorit dhe indukton ne to f.e.m 1e dhe

2e . Nën veprimin e f.e.m 2e te induktuar në rotor, në pështjellën tre-fazore të tij, të lidhur në të shkurtër do të kalojë një sistem simetrik rrymash. Këto rryma nga ana e tyre do të krijojnë një fluks magnetik i cili ka të njëjtën numër polesh dhe rrotullohet me të njëjtën shpejtësi dhe kahje me fushën e statorit. Pra fusha magnetike e statorit dhe e rotorit janë të palëvizshme kundrejt njëra tjetrëes dhe së bashku formojnë një fluks rezultant që rrorullohet me shpejtësi

1 . Nga bashkëveprimi i fushës magnetike rezultante dhe rrymës 2i në pështjellën e rototit në këta te fundit do të linde forca elektromagnetike ( siç tregohet në fig 1.3) dhe si rrjedhim rotori do të rrotullohet.

Fig1.3 Forca elektromagnetike në një përcjellës me rrymë

në një fushë magnetike

20

1

2 2e if

2 2e i f

1

1

Fig1.4 a,b,c. Rrymat dhe forcat në pështjellën e rotorit

Në fig 1.4 a,tregohet lakorja e induksionit rezultant B e cila rrotullohet me shpejtësi sinkrone 1 , ndërsa në fig 1-4 b tregohet drejtimi i f.e.m 2e në përcjellesit e rotorit kur ai është i palëvizshëm 0 dhe kahja e forcave elektromagnetike që veprojnë në përcjellësit e rotorit, kur rrymat e rotorit 2i dhe f.e.m 2e janë në fazë.Forca që veprojnë në këtë rast, e rrotullojnë rotorin në drejtimin e fushës. Drejtimi i f.e.m 2e dhe i rrymave 2i do të mbetet e pandryshuar për cdo vlerë të shpejtesisë së rotorit nga 0 deri ne 1 . Per 1 fusha magnetike e statorit nuk e pret pështjellën e rotorit prandaj në këtë të fundit nuk do të induktohet f.e.m, rrjedhimisht dhe rryma 2i do të jetë zero pra rrjedhimisht dhe forca elektomagnetike do të jetë zero. Në këtë mënyrë momenti elektromagnetik i makinës asinkrone është rrotullues kur rotori i saj rrotullohet me shpejtësi nga 0 deri në 1 . Në këtë diapazon shpejtësish makina punon në regjim motori.Në rast se rotorin e makinës e rrotullojmë me shpejtësi më të madhe se shpejtësia sinkrone > 1, në drejtim të rrotullimit të fushës, atëherë do të ndryshojë dhe drejtimi i f.e.m 2e , rrjedhimisht dhe i rrymës 2i dhe i forcave elektromagnetike f (fig 1-4 c). Makina në këtë rast punon në regjim gjeneratori dhe momenti elektromagnetik i saj është frenues. Regjimi i vendosur ( kostant ) do të arrihet kur momenti rrotullues i motorit parësor do të barazohet nga momenti elektromagnetik frenues i makinës.Një regjim tjetër i makinës asinkrone është ai i kycjes së kundërt. Në këtë rast rotori rrotullohet në drejtim të kundërt me drejtimin e rrotullimit të fushës: < 0 , atëherë drejtimi i f.e.m e2, i rrymës i2 dhe i forcave elektromagnetike do të jetë si në fig 1-4b. Momenti elektromagnetik do të veprojë në të njejtin drejtim me rrotullimin e fushës, duke penguar lëvizjen e rotorit.Në këtë mënyrë për shpejtësi të ndryshme të rrotullimit të rotorit të makinës asinkrone , ajo mund të punojë në këto regjime: Regjim motori 0 < < 1 Regjim gjeneratori > 1 Regjim i kycjes se kundërt < 0

Në analizën e punës se makines asinkrone përdoret dhe kuptimi i “shkarjes” e cila paraqet diferencën relative të shpejtësise së rotorit kundrejt shpejtësise së fushës magnetike .

1 1

1 1

n nsn

dhe shpejtësi e rrotullimit të rotorit në varësi të shkarjes është: s 11

21

1 1n n s

1.2 Ndërtimi i makinave asinkrone. Motori Asinkron përbëhet nga dy pjesë kryesore, nga statori e cila është pjesa e

palëvizshme e makinës dhe rotori e cila është pjesa e lëvizshme. Statori i makinës formohet prej qarkut magnetik, pështjellës trefazore dhe zgjedha (fig 1.5). Elementet aktive të statorit që destinohen për formimin e fushës magnetike rrotulluese janë qarku magnetik dhe pështjella e rrymës alternative, kurse zgjedha kryen vetëm funksion konstruktiv duke fiksuar pozicionin e duhur të pjesëve aktive. Bërthama e statorit formohet prej fletësh celiku elektroteknik, zakonisht me trashesi 0.5 mm, të izoluara nga te dy anet me llak. Në makinat me fuqi te vogel rolin e izoluesit e luan oksidi i krijuar ne sipërfaqet e fletës në mënyrë natyrore ose artificiale. Kur diametri i jashtëm i fletës së statorit është më i vogël se një metër, ajo përgatitet me stampim prej një cope të vetme. Për diametër të jashtëm më të madh se një metër, fleta e statorit përgatitet prej disa segmentesh. Në anë të bredshme të statorit hapen kanalet për vendosjen e pështjellës së statorit.

Fig 1.5 Statori i një makine Asinkrone Fig. 1.6 Një fletë celiku elektroteknik e

bërthamës së statorit.

Rotori i makinës formohet prej qarku magnetik në të cilën janë hapur kanalet për vendosjen e pështjellës së rotorit ,boshti dhe ventilatori (shih fig.1.7). Elemente aktive te rotorit qe marrin pjese ne proqesin e shëndrrimit të energjisë janë qarku magnetik dhe pështjella.

Fig 1.7 Rotori i një makine Asinkrone Fig. 1.8 Një fletë celiku elektroteknik e

bërthamës së rotorit

22

Bërthama e rotorit pregatitet gjithashtu prej fletësh celiku elektroteknik me trashësi 0,5 mm, në aneë e jashtme të së cilave hapen kanale për vendosjen e pështjellës së rotorit (fig 1-7). Në varësi nga ndërtimi konstruktiv i pështjëllës së rotorit dallohen dy lloje motorësh asinkrone:

a Motor asinkron me pështjellë të rotorit në formë kafazi ose sic thuhet ndryshe me pështjellë të rotorit të lidhur në të shkurtër (fig 1.8).

b Motore asinkron me rotor me faza. Për pergatitjen e pështjellës së rotorit në formë kafazi (fig 1-9) në çdo kanal të

bërthamës së rotorit vendoset një thupër përcjellëse e paizoluar prej bakri ose alumini. Të gjitha thuprat lidhen shkurt me anë të dy unazave përcjellëse. Thuprat e rotorit, unazat dhe fletët e ventilatorit, shpeshherë pergatiten njëherësh nëpërmjet derdhjes së aluminit në kanalet e rotorit.

Fig. 1.9 Pështjhella e rotorit në formë kafazi.

Në makinat me rotor me faza pështjella trefazore e rotorit pergatitet njëlloj si e statorit. Tri daljet e saj lidhen me tri unaza përcjellëse të vendosura në boshtin e makinës dhe të izoluara prej tij. Mbi këto unaza rrëshqasin furcat nëpërmjet të cilave pështjella e rotorit lidhet me qarkun e jashtëm. Boshti i rotorit mbështetet në kuzhinetat, të cilat nga ana e tyre vendosen në kapaket të montuar në zgjedhë. Kushinetat centrojnë rotorin jo vetëm në drejtimin radial, por dhe aksial. Meqënëse hapësira ndërmjet qarkut magnetik të statorit dhe rotorit në makinat asinkrone është shumë e vogël (0,3-1 mm), boshti i rotorit duhet të jetë mjaft i ngurtë dhe përpunimi mekanik i detaleve konstruktive, që të sigurojnë pozicionin e rregullt të boshtit në hapësirë, duhet të bëhet me saktësi të lartë.

1.3 Fusha magnetike e makinës asinkrone.

1.3.1 Forca magnetomotore e bobinës me hap të plotë. Pranojmë një makinë me hapsirë ajrore të pandryshueshme gjatë gjithë periferisë së

saj në të cilën është vendosur një bobinë që ka W dredha të lidhura në seri (fig.1-11). Qarkun magnetik do ta pranojmë të pangopur. Fusha magnetike e hapësirës ajrore e krijuar nga rryma ib që kalon në bobinë tregohet në figurën 1-12. Për një vijë të induksionit magnetik të kësaj fushe mund te shkruajme : b bHdl W i (1-1) Duke pranuar për qarkun magnetik ç = ∞ ( Hc= 0 ), shprehja 1-1 shkruhet në formën:

2 b bH W i (1-2)

ku është hapsira ajrore (hapsira midis statorit dhe rotorit siç tregohet në figurën 1-11 Induksioni magnetik në hapsirën ajrore është:

00 2b b

bW iB H F

(1-3)

23

-

Fa

a

f( )

1aF

-Fa

Fig. 1.11 Një bobinë me hap të plotë. Fig.1-12. Fusha magnetike dhe f.m.m e bobinaveme

hap të plotë

Madhësitë:

0

(1-4)

dhe

2b b

bW iF (1-5)

quhen përkatësisht përcjellshmëria magnetike specifike e hapsirës ajrore dhe f.m.m e bobinës në një hapsirë ajrore.

Me lëshimet e bëra përcjellshmëria magnetike specifike e hapsirës ajrore e pranojmë konstante ( = kostant ), prandaj lakorja e f.m.m në një shkallë tjetër jep dhe lakoren e shpërndarjes së induksionit magnetik në hapsirën ajrore. Sic shihet nga figura 1-12, kjo lakore është periodike, me periodë të barabartë me gjatësinë e dy ndarjeve polare. Duke e zberthyer në seri Furie, meqënëse është simetrike me boshtin e abshisave, ajo do të përmbaje harmonikat teke () (fig.1-11). Në qoftë se vendosim boshtin e ordinatave në aksin e simetrisë së bobinës (ose sic thuhte ndryshe në aksin magnetik të bobinës), f.m.m e bobinës shkruhet: 1 3 5( ) cos cos3 cos5 ...b b b bF F F F (1-6)

Amplitude e harminikës së rendit jepet me barazimin :

2

2

2 4cosb b bF F d F

(1-7)

Në rast se rryma që kalon në bobinë është sinusoidale 2 sinb bi I t (1-8)

Atëherë f.m.m e bobinës është funksion i kohës dhe sipas barazimit 1-5 do të jetë:

( ) 2 sin sin2

bb b bm

WF t I t F t (1-9)

Në këtë rast dhe amplitudat e harmonikave të rendit do të jenë funksione të kohës dhe në bazë të barazimeve (1-7) dhe (1-9) mund të shkruhet në formën e mëposhtme:

4 2 22( ) sin sin2

b b bb b

W W IF t I t t (1-10)

24

Ose:

( ) sinb b mF t F t (1-11)

Në këtë mënyrë kur në bobinë kalon rrymë sinusoidale, f.m.m e bobinës do të jetë: 1 3( , ) sin cos sin cos3 ...b b m b mF t F t F t (1-12) ose

1,3,5,7..

( , ) sin cosb b mF t t F

(1-13)

Siç shihet, f.m.m e bobinës pulson në kohë me frekuencën e rrymës që kalon në të , dhe me të njëjtën frekuencë pulsojnë dhe harmonikat përbërëse të saj. Secila prej harmonikave të f.m.m është e shpërndarë gjatë hapsirës ajrore sipas një ligji sinusoidal.

1.3.2 Forca magnetomotore e grupit të bobinave me hap të plotë. Boshtet e simetrisë së bobinave që përbëjnë grupin janë të shfazuara në hapsirë me

këndin

2 pZ m q

(1-14)

prandaj dhe harmonikat e rendit të f.m.m të secilës bobinë janë të shfazuara në hapësirë me këndin x dhe mund të paraqiten me vektorë të shfazuar nga njëri tjetri me këtë kënd. Duke mbledhur këta vektorë, gjendet amplituda e harmonikës së rendit e f.m.m të grupit të bobinave. q b pF qF k (1-15)

ku kp është koeficenti i përhapjes së pështjellës për harmonikën e rendit .

/2-/2-

fig.1-13. F.m.m e grupit te bobinave me hap të plotë

Duhet vënë në dukje se aksi i f.m.m të grupit të bobinave përputhet me aksin e simetrisë së grupit, prandaj duke vendosur boshtin e ordinatave në aksin e simetrisë së gruit të bobinave mund të shprehet me barazimin 1-13 duke vendosur Fqm në vend të Fbm

1,3,5,7..( , ) sin cosq q mF t t F

(1-16)

25

1.3.3 F.m.m e fazës. Në figurën 1-14 a, tregohet një fazë e një pështjelleje dyshtresore me hap të shkurtuar

(< ) e një makine me një cift polesh. Mëqënëse f.m.m përcaktohet nga vendosja e përcjellësve dhe nga kahja e rrymës në to, mund të pranohet se përcellësit e shtresës së mësipërme formojnë një grup bobinash me hap të plotë dhe ato të shtresës së poshtme formojnë grupin tjetër po me hap të plotë. Akset e simetrisë së këtyre grupeve janë të zhvendosura me këndin ( 1−) . Harmonika e parë e f.m.m. të grupit të përcjellësve të shtresës së sipërme është zhvendosur në hapsirën nga harmonika e parë e grupit të formuar nga përcjellësit e shtresës së poshtme me të njëjtin kënd (në figurën 1-14,b këto harmonika janë treguar me vija të ndërprera ). Shuma e këtyre dy lakoreve jep një sinusoidë (të treguar në figurën 1-14,b me vijë të plotë), që paraqet harmonikën e parë të f.m.m të fazës. Amplituda e saj është e barabartë me shumën e vektorëve të harmonikave të parë të f.m.m të grupeve të bobinave (fig.1-15).

1 1 1 12 sin 22f q q yF F F k (1-16)

Ku ky1 është koeficenti i shkurtimit të hapit për harmonikën e parë.

Harmonikat e rendit të f.m.m. të këtyre dy grupeve janë të zhvendosura në hapsirë në këndin ( 1-) ., prandaj amplitude e harmonikës së rendit të f.m.m. të fazës është: 2f q yF F k (1-17)

1 Y

1Ff

1Fq

a

b

Fig1-14. harmonika e parë e f.m.m. të fazës në pështjellën me hap të shkurtuar.

1qF

2qF

fF

(1 )

Fig.1-15. Përcaktimi i harmonikës së parë të f.m.m. të fazës.

Duke zëvendësuar në (1-17) barazimet (1-15) dhe (1-10), amplitude e harmonikës së rendit të f.m.m. të fazës shkruhet:

2 2( ) 2 sinf b w bF t qW k I t (1-18)

26

ose

( ) sinf f mF t F t (1-19)

ku Ffm është vlera maksimale e amplitudës së harmonikës së rendit të f.m.m. dhe është e barabartë:

2 2 2f m b w bF qW k I (1-20)

Në pështjellat dyshtresore numri i dredhave te lidhura në seri në një fazë është:

2 bpqWWa

(1-21)

kurse rryma në bobinë është

bIIa

(1-22)

Ku:

a është numri i degëve në parale I është rryma e fazës Duke pasur parasysh (1-21) dhe (1-22), shprehja (1-20) merr formën:

2 2 0.9w wf mWk WkF I I

p p

(1-23)

Shprehja (1-23) është e vlefshme edhe për pështjellat njështresore. Sic shihet nga fig.1-13 aksi i f.m.m. të fazës puthitet me aksin e simetrisë së pështjellës së fazës, prandaj duke marrë boshtin e ordinatave të përputhur me aksin e simetrisë së fazës, f.m.m e fazës do të jetë:

2 1

1( , ) sin cos

k

f f mF t t F

(1-24)

Nga shprehja (1-24) duket se f.m.m. e fazës përbëhet nga një seri harmonikash të palëvizshme në hapsirë dhe që pulsojnë në kohë me frekuencën e rrymës që kalon në pështjellë, prandaj dhe f.m.m. e fazës pulson me të njëjtën frekuencë.

1.3.4 Valët rrotulluese të f.m.m. Secila prej harmonikave pulsuese të f.m.m.të fazës paraqitet si shumë e dy valëve

rrotulluese:

1 1sin( ) cos( ) sin( ) sin( )2 2f m f m f m

F t F t F t (1-25)

Sic dihet secili prej termave të anës djathtë paraqet një valë rrotulluese me amplitudë të pandryshueshme të barabartë me ½ Ffm. Këto valë me amplitudë të njëjta rrotullohen në kahje të kundërta me të njëjtën shpejtësi këndore dhe të barabartë me:

(1-26)

pra vala e drejtë me shpejtësi / dhe ajo e kundërt –(/, ku =2f është frekuenca këndore e rrymës.Shpejtësia këndore e këtyre valëve e shprehur në radian gjeometrikë do të jetë:

27

2 2f np p

(1-27)

ku :

fnp

është numri i rrotullimeve të valëve të fushës në rrot/sek.

Në figurën 1-16 ilustrohet në mënyrë grafike zbërthimi i valës pulsuese të harmonikës së parë të f.m.m. të fazës në dy valë rrotulluese me amplituda të njëjta dhe që rrotullohen në kahje të kundërta me të njëjtën madhësi.

Fig.1-16. Vala pulsuese e f.m.m. të fazës dhe valët

rrotulluese përbërëse të saj

1.3.5 Forca magnetomotore e pështjellës trefazore. Një pështjellë trefazore simetrike është e formuar nga tri pështjella një fazore të

njëjta akset e simetrisë të të cilave janë të zhvendosura në hapsirë me 2/3 radian elektrikë. Në rast se pështjellën trefazore simetrike e ushqejmë me një sistem simetrik rrymash:

2 sin

2 sin 120

2 sin 240

A

B

C

i I t

i I t

i I t

(2-29)

atëherë secila prej fazave krijon f.m.m. të saj të shprehur me barazimin (1-24) si më poshtë:

28

2 1

12 1

12 1

1

( , ) sin cos

( , ) sin( 120 ) cos

( , ) sin( 240 ) cos

k

A f m A

k

B f m B

k

C f m C

F t t F

F t t F

F t t F

(3-30)

Fig.1-17 Paraqitja skematike e motorit asinkron trefazor.

Në këto barazime këndi matet nga aksi i secilës fazë. Për të mbledhur f.m.m. të fazave duhet që këndi të matet jo nga aksi i secilës fazë, por nga e njëjta pikë, p.sh nga aksi i fazës A. Për këtë qëllim mjafton që në barazimet e f.m.m. të fazave B,C në vend të këndit të vendosen përkatësisht këndet ( -1200 ) dhe ( -2400 ). Në përputhje me barazimin 1-25 secila prej harmonikave të f.m.m. për fazat e ndryshme shkruhet:

1 1( , ) sin( ) sin( )2 21 1( , ) sin 120 120 sin 120 1202 21 1( , ) sin 240 240 sin 240 2402 2

A f m f m

B f m f m

C f m f m

F t F t F t

F t F t F t

F t F t F t

(1-31)

Termat e para të anës së djathtë paraqesin valët e drejta të f.m.m. të fazave kurse termat e dyta valët e kundërta. Valët e drejta mund të shkruhen në formën:

1( , ) sin 0 1 12021( , ) sin 1 1 12021( , ) sin 2 1 1202

A f m

B f m

C f m

F t F t

F t F t

F t F t

(1-32)

Shprehja 1-32 tregon se valët e drejta të harmonikave të f.m.m. të fazave janë të zhvendosura në hapsirë me këndin ( -1 )1200. Për të gjetur shumën e tyre , harmonikat ndahen në tri grupe në ato të rendeve:

1) = 2mk+1

2) = 2mk-1

3) = m(2k+1)

A

B

Y

Z

C

X

120o 120o

120o

29

Ku k është numër i plotë pozitiv k=0, 1, 2, 3, ...Për pështjellat trefazore do të kemi në grupin e parë harmonikat e rendit =1, 7, 13, 19, në grupin e dytë harmonikat e rendit =5, 11, 17,... dhe në grupin e tretë rendin =3, 9, 15,... Për grupin e parë të harmonikave këndi i shfazimit në hapsirë është: 1 120 2 1 1 120 2 3 120 2 360mk k k (1-32) pra ato janë të puthitura me njëra tjetrën dhe mblidhen aritmetikisht.Për grupin e dytë këndi i shfazimit në hapsirë ndërmjet valëve të drejta të f.m.m. për një harmonikë të rendit do të jetë: 1 120 2 1 1 120 6 2 120 2 360 240 120mk k k (1-33) kështu që shuma e tyre do të jetë zero. Për grupin e tretë këndi i shfazimit : 1 120 (2 1) 1 120 6 2 120 2 360 240 240m k k k (2-34) prandaj shuma e tyre do të jetë zero. Në të njëjtën mënyrë provohet se nga valët e kundërta të harmonikave të f.m.m. të fazave (termat e dyta të anës së djathtë në barazimin 1-31) ekzistojnë vetëm ato të grupit të dytë. Në këtë mënyrë f.m.m. e pështjellës trefazore simetrike, që ushqehet me një system simetrik rrymash, përbëhet prej harmonikave të rendit =6k+1, (1,7,13….) të cilat janë valë të drejta dhe harmonikave të rendit =6k-1, (5,11,17….) që janë valë të kundërta. Amplitude e valës së rendit , në bazë të shprehjeve (2-23) dhe (2-32) është:

3 1,352

wm f m

WkF F Ip

(2-33)

Në rastin e përgjithshëm pështjella simetrike “m” fazore, që ushqehet nga një system simetrik rrymash, krijon valë rrotulluese të f.m.m. me amplitudë:

0, 452

wm f m

WkmF F m Ip

(2-34)

Nga të gjitha harmonikat e f.m.m. të pështjellës shumefazore rëndësi të vecantë ka ajo e para:

1 1( , ) sin2 f mmF t F t p (2-35)

e cila formon një valë të drejtë që rrotullohet në kahjen positive të renditjes së fazave me shpejtësi 1==2f dhe amplitudë të pandryshueshme të barabartë me:

11 1 0, 452w

m f mWkmF F m I

p (2-36)

30

KAPITULLI 2

MODELI NË KORDINATA A, B, C (MODELI FAZORË) I MAKINËS ASINKRONE TRE-FAZORE.

2.1 Motori asinkron me rotor me faza. Ekuacionet që përshkruajnë transformimin e energjisë në motorin asinkron tre-fazor

paraqesin në vetvete një sistem ekuacionesh diferenciale, të formuar nga ekuacionet e ekuilibrit elektrik në pështjellat e motorit si dhe ato të ekuilibrit mekanik. Për nxjerrjen e modelit matematik të motorit asinkron do të bëjmë lëshimet e mëposhtme:

Qarku magnetik pranohet i pangopur ç=kostant dhe humbjet magnetike nuk merren parasysh.

Hapësira ajrore pranohet uniforme dhe f.m.m e çdo pështjelle, pra edhe fusha magnetike e saj është shpërndarë sipas ligjit sinusoidal, gjatë periferisë së hapësirës ajrore.

Pështjellat e tri fazave të statorit janë simetrike dhe akset e tyre janë të zhvendosura në këndin 2 /3 radianë elektrikë. Të njëjtat supozime pranohet edhe për pështjellat e rotorit.

Ekuacionet e ekuilibrit të tensioneve të pështjellave të statorit dhe rotorit për makinën asinkrone me rotor me faza ku skematikisht është treguar në fig. 2.1 janë si më poshtë:

sAsA s sAdu R i

dt

(2.1-1)

sBsB s sBdu R i

dt

(2.1-2)

sCsC s sCdu R i

dt

(2.1-3)

rara r radu R idt

(2.1-4)

rbrb r rbdu R idt

(2.1-5)

rcrc r rcdu R idt

(2.1-6)

Ndërsa flukset e plota të fazave të makinës asinkrone janë të barabartë me: 4 2( ) cos cos cos3 3s ss s s s sC sr r ra sr r rb sr r rc

L i i i i i i

(2.1-7)

2 4( ) cos cos cos3 3sC ss sC s s s sr r ra sr r rb sr r rc

L i i i i i i

(2.1-8)

2 4( ) cos cos cos3 3s ss s s s sC sr r ra sr r rb sr r rc

L i i i i i i

(2.1-9)

31

4 2( ) cos cos cos3 3ra rr s r rb rc sr r sA sr r sB sr r sC

L i i i i i i

(2.1-10)

2 4( ) cos cos cos3 3rb rr rb r ra rc sr r sA sr r sB sr r sC

L i i i i i i

(2.1-11)

4 2( ) cos cos cos3 3rc rr rc s ra rb sr r sA sr r sB sr r sC

L i i i i i i

(2.1-12)

sM

sMsM rMrM

rM

r

sAi

sBi

sCi

rbi

rai

rci

srM

fig.2.1 Paraqitja skematike e makinës asinkrone

ku :

Lss është induktiviteti vetjak i fazës së statorit. Ms është induktiviteti reciprok ndërmjet fazave të statorit. Ls është induktiviteti i plotë i fazës së statorit i cili merr parasysh dhe ndikimin e

fazave të tjera të statorit të makinës asinkrone.

Lrr është induktiviteti vetjak i fazës së rotorit. Mr është induktiviteti reciprok ndërmjet fazave të rotorit. Lr është induktiviteti i plotë i fazës së rotorit i cili merr parasysh dhe ndikimin e

fazave të tjera të rotorit të makinës asinkrone.

Msr është vlefta maksimale e induktiviteti reciprok ndërmjet pështjellave të statorit dhe rotori.

Rs rezistenca aktive e fazës së statorit. Rr rezistenca aktive e fazës së rotorit.

Marrdhëniet ndërmjet induktiviteteve vetjake, reciproke të pështjellës së statorit dhe rotorit janë si më poshtë: ssmsssss MLLMLL

12

12

s sm

r rr r r rm r

r rm

M L

L L M L L M

M L

(2.1-12/1)

Në përgjithësi në makinat asinkrone numri efektiv i dredhave të statorit seff ws sW k W është i ndryshëm nga numri efektiv i dredhave të rotorit reff wr rW k W dhe raportin e tyre do ta shënojmë me k ( seff

reff

Wk W ). Marrdhënia ndërmjet induktivitetit të magnetizimit të statorit

32

dhe rotorit si dhe induktivitetit reciprok janë; 2kLL smrm dhe k

LM smrs . Në bazë të

ekuacioneve (2.1-1) – (2.1-6) dhe (2.1-7) – (2.1-12) shkruajmë si përfundim ekuacionet e ekulibrit të tensioneve në rotor dhe stator në trajtë matricore.

1 2

2

1 2

2 1

cos cos coscos cos coscos cos cos

cos cos cos

s s ss s s sr r sr r sr r

s s s ss s sr r sr r sr r

sC s s s ss sr r sr r sr r

ra sr r sr r sr r r rr

rb

rc

u R pL p p p p pu p R pL p p p pu p p R pL p p pu p p p R pLuu

1 2

2 1

cos cos coscos cos cos

s

s

sC

r r ra

sr r sr r sr r r r rr r rb

sr r sr r sr r r r r rr rc

iii

p p ip p p p R pL p ip p p p p R pL i

(2.1-13)

Me dp dt është shënuar operatori diferencial, 32

1 rr dhe 3

42

rr , r

është këndi ndërmjet aksit të pështjellës së fazës A të statorit dhe aksit a të fazës së rotorit (siç është treguar në fig. 2.1). Siç shikohet në ndërtimin e ekuacioneve të tensionit të rotorit dhe statorit duhet ndërtuar një matricë me 36 elementë të cilët vështirson studimin e madhësive elektrike të makinave në kordinata fazore. Krahas saj matrica përbëhet nga elementë të cilët varen nga pozicioni i rotorit pra nga këndi r . Duhet theksuar se ekuacionet (2.1-13) të statorit janë shprehur në sistemin e referimit të palëvizshëm në stator dhe ekuacionet e tensionit të rotorit janë shprehur në sistemin e fiksuar në rotor. Ekuacionet e mësipërme mund të shkruhen dhe në trajtë matricore si më poshtë:

ss srs s

sr ssr r

Z Zu i=

Z Zu i (2.1-14)

ku: , , ,s r su u i ir janë përkatësisht vektorët shtyllor të rrymave, tensioneve të statorit dhe rotori respektivisht: ts sA sB sCu u uu ,

tr ra rb rcu u uu (2.1-15)

ts sA sB sCi i ii , t

r ra rb rci i ii

Matricat e rezistencave të modelit jepen : a) Matrica e impedancave vetjake të statorit

ss ss s s

ss s ss ss s ss ss

s s ss ss

R pL pM pMpM R pL pM ppM pM R pL

Z R L (2.1-16)

ku s ssR L, janë matricat e rezistencave aktive dhe të induktiviteteve të statorit.

0 0

0 00 0

s

ss s

s

RR

R

R ss s s

ss s ss s

s s ss

L M MM L MM M L

L (2.1-16/1)

Ndërsa matrica e impedancave reciproke të statorit dhe rotorit është:

1 2

2 1

1 2

cos cos coscos cos coscos cos cos

sr r sr r sr r

sr r sr r sr r

sr r sr r sr r

pM pM pMpM pM pMpM pM pM

srZ (2.1-17)

33

dhe matrica e impedancave vetjake të rotorit është:

r rr r r

r r rr r

r r r rr

R pL pM pMpM R pL pM ppM pM R pL

rr r rrZ R L (2.1-18)

ku:

0 0

0 00 0

r

r

r

RR

R

rrR (2.1-18/1)

dhe

rr r r

r rr r

r r rr

L M MM L MM M L

rrL (2.1-18/2)

matrica e impedancave reciproke rotor-stator është po ajo e impedancave reciproke stator-rotor por e transponuar. trs srZ = Z (2.1-19)

2.2 Momenti elektromagnetik Momentit elektromagnetik të makinës asinkrone tre-fazore simetrike e cila ka p-çifte polesh e përcaktojmë duku përdorur shprehjen ko-energjisë (shih kap.I) si më poshtë:

12

tce

r

Em p T

s r s r

i i i i (2.1-20)

ku T është matrica e momentit e cila përcaktohet me shprehjen:

L

r

dTd

(2.1-21)

ku :

L është matrica e induktiviteteve të makinës e barabartë:

1 2

2

1 2

2 1

1 2

2 1

cos cos coscos cos coscos cos cos

cos cos coscos cos coscos cos cos

ss s s sr r sr r sr r

s ss s sr r sr r sr r

s s ss sr r sr r sr r

sr r sr r sr r rr r r

sr r sr r sr r r rr r

sr r sr r sr r r r rr

LpL

LL

LL

L

(2.1-22)

Në bazë të ekuacionit (2.1-21) dhe shprehjes (2.1-22) përcaktojmë matricëm e momentit e cila është:

34

000000000

000000000

12

21

12

21

2

21

rrr

rrr

rrr

rrr

rrr

rrr

sr

sinsinsinsinsinsinsinsinsin

sinsinsinsinsinsinsinsinsin

MT

(2.1-23)

Elementët zero në matricën e momentit elektromagnetik janë për faktin se induktivitetet vetjake dhe ato reciproke të statorit dhe rotorit janë kostant pra nuk varen nga pozicioni i rotorit ose e thënë ndryshe nga këndi r në makinën elektrike me hapësirë ajrore uniforme. Në bazë të ekuacioneve (2.1-20) , (2.1-21) dhe (2.1-23) momentin elektromagnetik mund ta shprehim në termat e rrymave të rotorit dhe statorit si dhe këndit r të rotorit si më poshtë:

321

2

12

21

sinsinsinsinsinsin

)sinsinsin(

eee

rrcrrbrrasC

rrcrrbrrasB

rrcrrbrrasA

sre mmmiiiiiiii

iiiipMm

(2.1-24)

Siç shikohet nga ekuacioni (2.1-24) momenti elektromagnetik që zhvillon makina mund të monitorohet me anë të rrymave të statorit dhe rotorit si dhe këndit r . Gjithashtu duhet më parë të llogaritet induktiviteti reciprok srM i pështjellave të statorit dhe rotorit. Në motorin asinkron monitorimi i rrymave në rotorin në formë kafazi (rotori i lidhur në të shkurtër) është shumë i vështirë për shkak të ndërtimit të tij. Prandaj për të monitoruar momentin elektromagnetik duhet të gjejmë mënyra të tjera ku madhësitë e nevojshme të jenë lehtësisht të matshme. Përfundimisht ekuacionet (2.1-1) –(2.1-12) së bashku me ekuacionin e momementit elektromagnetik si dhe ekuacionin e lëvizjes formojnë sistemin e ekuacioneve diferenciale të makinës elektrike pra modelin matematik të makinës asinkrone në kordinata A, B, C. Këto ekuacione po i rishkruajmë më poshtë në mënyrë të përmbledhur:

sAsA s sA

sBsB s sB

sCsC s sC

du R idt

du R idt

du R idt

,

rara r ra

rbrb r rb

rcrc r rc

du R idt

du R idt

du R idt

(2.1-24/1)

2 4( ) cos cos cos3 3s ss s s s sC sr r ra sr r rb sr r rc

L i i i i i i

4 2( ) cos cos cos3 3s ss s s s sC sr r ra sr r rb sr r rc

L i i i i i i

2 4( ) cos cos cos3 3sC ss sC s s s sr r ra sr r rb sr r rc

L i i i i i i

4 2( ) cos cos cos3 3ra rr s r rb rc sr r sA sr r sB sr r sC

L i i i i i i

(2.1-24/2)

2 4( ) cos cos cos3 3rb rr rb r ra rc sr r sA sr r sB sr r sC

L i i i i i i

4 2( ) cos cos cos3 3rc rr rc s ra rb sr r sA sr r sB sr r sC

L i i i i i i

35

1 2

2 1 1 2 3

2

( sin sin sin )sin sin sin

sin sin sin

sA ra r rb r rc r

e sr sB ra r rb r rc r e e e

sC ra r rb r rc r

i i i im pM i i i i m m m

i i i i

(2.1-24/3)

1 L2 rm ngrm r

dp D md d

dt J

ti i (2.1-24/4)

Modeli matematik i makinës asinkrone në kordinata fazore përbëhet nga 14 ekuacione me 14 të panjohura ku gjashtë janë rrymat e statorit dhe rotorit, gjashtë të tjera janë flukset e plota të pështjellave, ekuacioni i momentit elektromagnetik si dhe ekuacioni i lëvizjes. Ky sistem ekuacionesh mund të zgjidhet me metoda numerike. Duhet theksuar se për shkak të prezencës së këndit r , ekuacionet e mësipërme kanë koeficentë periodik (që varen nga këndi r ) gjë që rrit kohën e llogaritjes së madhësive.

2.3 Ekuacionet e ekuilibrit te Makines Asinkrone në formën e variablave të gjendjes. Ekuacionet e tensionit në modelin fazor të makinës siç u trajtua më lartë janë

ekuacione diferenciale me koeficientë variabëll në lidhje me kohën. Në përgjithësi zgjidhja e tyre mund të realizohet me metoda numerike. Për këtë qëllim ekuacionet e ekuilibrit është mirë të shprehen në formën e variablave të gjendjes. Nga ekuacioni (2.1-50) kemi që:

ddt

u Ri Li (2.1-33)

ku u dhe i janë vektorët shtyllorë të tensioneve dhe rrymave të statorit dhe rotorit. ts ru u u ,

ts ri i i (2.1-34)

R është matrica e rezistencave aktive të makinës e barabartë me : s s s r r rdiag R R R R R RR (2.1-35) Në qoftë se zgjedhim si variabla gjendjeje rrymat e statorit dhe rotorit atëherë ekuacioni i ekuilibrit elektrik të pështjellave do të jetë:

1 1ddt t

i LL R i L u (2.1-36)

dhe në rast se supozojmë se qarku magnetik është i pangopur d.m.th që induktivitetet nuk varen nga rryma shprehja e mësipërme merr formën :

1 1rr

d ddt d

i LL R i L u (2.1-37)

ku:

r është shpejtësia këndore e rotorit e shprehur në radian elektrik per sekond

r është këndi i rotorit i shprehur në radian elektrik

L

r

dd

është matrica e momentit

36

për qark magnetik jo-linear induktivitetet janë funksion i rrymës kështu që derivati i rrymës Lt

do të përmbajë dtdi)

didL( ku

didL është matrica e induktiviteteve dinamike e cila ekzistojnë

për shkak të ngopjes së qarkut magnetik. Në qoftë se si variabla gjendjeje do të përdorim flukset magnetike të pështjellave, në bazë të ekuacioneve të ekuilibrit elektrik të pështjellave do të kemi:

ddt

ψu Ri (2.1-38)

ku ψ është vektori shtyllor i flukseve të plota të pështjellave. tsA sB sC ra rb rc ψ (2.1-39) ψ Li (2.1-40)

1ddt

ψ RL ψ u (2.1-41)

1i L ψ (2.1-42

siç shikohet përdorimi si variablla gjendjeje flukset magnetike, ekuacionet ( modeli ) është më i thjeshtë se në rastin kur përdorim rrymat si variabla gjendjeje. Ekuacionet e nxjerra më lartë janë të vlefshme për çdo regjim. Zgjidhja e ekuacioneve diferenciale realizohet me anë të teknikave numerike. Vështirësia qëndron në faktin se matrica e induktiviteteve është funksion i kohës. Ekuacionet e ekuilibrit elektrik të pështjellave plotësohet me ekuacionin e lëvizjes si dhe ekuacionin e ekulibrit të momenteve të cilët janë:

12

i it rm ngrm r

dLp D md d

dt J

(2.1-80)

r rm rd pdt (2.1-81)

Parametrat e makinës në modelin me kordinata fazore janë në vlerat reale të tyre (fizike) pra nuk është e nevojshme që të transformohen. Vështërsia qëndron në faktin se modeli në vetvehte ka koeficientë të cilët varen nga koha. Ky model është i përshtatshëm kur kërkohet të merren parasysh harmonikat e larta, kur tensionet dhe rrymat nuk njihen në mënyrë eksplicite si dhe kur përdorim gjysëmpërçues për rregullimin e shpejtësisë së makinës asinkrone.

37

KAPITULLI 3

METODA E VEKTORIT HAPËSINOR

3.1 Kuptimi i vektorit përfaqësues Në teorinë e qarqeve të rrymës së alternative, ku tensionet dhe rrymat janë sinusoidale në kohë, një metodë që përdoret zakonisht është paraqitja e madhësive që ndryshojnë në mënyrë sinusoidale me kohën, nëpërmjet një fazori kompleks. Kjo siguron një mënyrë vërtet të përshtatshme për arritjen e zgjidhjeve të dëshiruara. Në makinat e rrymës alternative janë disa madhësi fizike që mund të konsiderohen si funksione periodike ( për shembull, densiteti i fluksit, f.m.m e statorit dhe rrotorit) të cilat mund të zbërthehen në një seri madhësish harmonike që janë të shpërndara në hapësirë në mënyrë sinusoidale në zonën përreth periferisë së makinës në hapësirën ajrore. Kështu që, ashtu si në qarqet e rrymës alternative mund të paraqesim madhësitë që ndryshojnë me kohën me anën e fazorëve të kohës, po ashtu valët hapësinore sinusoidale të hapësirës ajrore mund t’i paraqesim me anën e fazorëve kompleksë hapësinorë, të cilët shpesh njihen me emrin vektorët hapësinorë, edhe pse, në fakt, emri “fazorët hapësinorë” do të ishte më korrekt. Para se të bëjmë transformimin e ekuacioneve diferencilalë të motorit asinkron është e domosdoshme që të japim kuptimin e vektorit hapësinor. Siç dihet në pështellat e makinave elektrike të rrymës alternative në regjime normale rrymat, tensionet, flukset etj janë funksione harmonikë të kohës dhe si të tillë mund të paraqiten me anën e vektorëve ( fazorët kompleks). Kështu, p.sh në një sistem trefazor, rrymat paraqiten

1

1

1

sin( )2sin( )3

4sin( )3

a m i

b m i

c m i

i I t

i I t

i I t

(3-1)

me tre vektorë të barabartë në madhësi dhe të zhvendosur me kënd 2/3 që rrotullohen në lidhje me një aks të palëvizshëm, që quhet aksi i kohës, me shpejtësi këndore të barabartë me frekuencën këndore të rrymës fig (3.1-a). Moduli i vektorëve është i barabartë me amplitudën e rrymës ( )mI ndërsa pozicioni i tyre në lidhje me aksin e kohës përcaktohet nga këndi ndërmjet vektorit përkatës dhe këtij aksi. Këto kënde janë të barabartë me argumentin e funksionit sinusoidal minus /2 , p.sh, për fazën a këndi ndërmjet vektorit përkatës aI dhe aksit të kohës 1( 2)it . Në këtë mënyrë projeksionet e vektorëve në aksin e kohës japin vlerat e çastit të rrymave në të tre fazat. Mirëpo vlerat e çastit të rrymave mund të përcaktohen ndryshe dhe pikërisht me anën e një vektori të vetëm dhe tre akseve të palëvizshme a, b, c të zhvendosura nga njëri-tjeetri me 2/3, pra tre akseve të fazave. Që projeksioni i këtij vektori në tre akset e fazave a, b, c të na japë vlerat e çastit të rrymës në këto tre faza, duhet që moduli i tij të jetë i barabartë me amplitudën e rrymës së fazës ( )mI , këndi ndërmjet tij dhe aksit të fazës “a” të jetë 1( 2)it dhe të rrotullohet me shpejtësi këndore 1 të barabartë me frekuencën këndore të rrymës.

38

ci

ai

bi

cI

aI

bI

1

iai

bai

2ca i

1( )2it

1

Fig 3.1-a. Paraqitja vektoriale e rrymave të fazave. Fig.3.1-b. Paraqitja e rrymave të fazave

nëpërmjet vektorit hapësinor

Një vektor i tillë quhet vektor përfaqësues dhe shënohet me i. Duke vendosur boshtin real (+1) të planit kompleks të puthitur me aksin e fazës “a” (fig 3.1-b), vektori hapësinor mund të shkruhet

22 ( )3 a b c

i i ai a i (3-2)

ku: ia, ib, ic janë vlerat e çastit të rrymës në fazat a, b, c.

Koeficienti 2/3 në barazimin (3-2) është i nevojshëm pasi shuma 2( )a b c

i ai a i është një

vektor me modul të barabartë me 3 2 mI . Projeksioni i këtij vektori në boshtin real (aksi i fazës “a”) është i barabartë me vlerën e çastit të rrymës në fazën “a”. Po ashtu projeksioni i këtij vektori në akset b dhe c jep vlerat e çastit të rrymave në fazat b dhe c. Në rast se në pështjellat e motorit kalojnë rryma të renditjes së drejtë dhe të kundërt, atëherë vektori hapësinor përfaqësues rezultant i rrymës në pështjella gjendet duke mbledhur vektorët hapësinor të renditje së drejtë dhe të kundërt. 1 2i i i (3-3)

Duhet theksuar se me anën e vektorit përfaqësues mund të caktohen vlerat e castit të rrymave të fazave vetëm n.q.s shuma e tyre në cdo cast kohe është e barabartë me zero 0

a b ci i i .

Në ato raste që ekziston përbërsja e renditjes zero të rrymës , vlerat e çastit të rrymave të fazave do të jenë 0ai i , 0bi i , 0ci i dhe vektori përfaqësues i rrymës jepet nga ekuacioni

20 0 02 [( ) ( ) ( )]3 a b c

i i i a i i a i i (3-4)

ose

2 202 [ (1 )]3 a b c

i i ai a i i a a

Prej ku

22 ( )3 a b c

i i ai a i (3-5)

Siç shihet vektori përfaqësues nuk varet nga përbërsja nuleare 0i , kështu që nuk mund ta përfaqësojë atë, prandaj përbërsja nuleare duhet marrë parasysh veçmas. Paraqitja e vlerave të çastit të rrymave fazore me anën e vektorit hapsinor dhe tre akseve është e drejtë edhe në regjimet kalimtare me ndryshimin e vetëm që moduli dhe shpejtësia e këtij vektori janë funksion i kohës.

39

3.2 Paraqitja e f.m.m, induksionit, densitetin e rrymës dhe fluksin e një bobine anë të vektorëve hapësinor përkatës. Në makinat elektrike pështjellat e saj vendosen në anën e jashtme dhe të brendshme

të hapësirës ajrore ( shih kap.II ). Në këtë pështjellë kalon rryma që krijon fushën magnetike rezultante, e cila ndryshon në hapësirë dhe kohë, dhe këto ndryshime kanë efekt shumë të rëndësishëm në sjelljen e makinës në regjimet e vendosura dhe në ato kalimtare. Nëse mund të përcaktojmë fillimisht fushën magnetike të krijuar nga një bobinë e vetme, fusha magnetike rezultante e krijuar nga një sistem çfarëdo përcjellësish mund të përftohet si shumë e komponenteve të fushës të prodhuara nga bobinat e këtij sistemi. Për thjeshtësi, marrim në shqyrtim një bobinë në statorin e një makine me hapësirë ajrore uniforme, dhe shënojmë me a-a’ dy faqet e saj. Vlera e çastit e rrymës që kalon nëpër këtë bobinë është i a (t) e cila varet nga koha, e shënuar me t, dhe duhet vënë në dukje se rryma mund të mos ndryshojë në mënyrë sinusoidale. Numri i dredhave në këtë bobinë është Wa. Do të pranojmë përcjellshmërinë magnetike të hekurit infinit, fluksi në hapësirën ajrore është radial dhe fluksit i shpërndarjes së bobinës nuk merret parasysh. Në këtë mënyrë, përcjellësit e vendosur në kanalet e statorit mund t’i pranojmë të vendosur në sipërfaqe të statorit, siç tregohet në figurën 3.2, dhe një bobinë a është zhvendosur me këndin a nga aksi i referimit, që është aksi real të sistemit ortogonal të referimit, i fiksuar në pjesën e palëvizshm të makinës (statorin).

Fig 3.2 Bobina me hap të plotë dhe vendosja e saj në hapsirë.

Në fig. 3.2 statori dhe rotori janë marrë cilindrikë, prandaj hapësira ajrore është e njëjtë. Forca magneto-motore rezultante (f.m.m) e bobinës është Waia(t)/2,