Сегодня: Friday, April 21, 2023

Ларионов В.В.

Фазовые портреты

Как изменяется характер движения при изменении функции F(r,v)

Если сила постоянная, то решение обратной задачи кинематики производят простейшим образом. Из 2-го закона Ньютона ускорение a = F/m, но a=dV/dt. Подставляя получаем,

dV=(F/m)dt, m = const. Интегрируем

dtmF

dvtv

v 00

tmF

vv 0

В векторном виде

dttmF

vvrddtvrddtrd

v )( 0

Интегрирование уравнения по позволяет найти изменение радиуса-вектора.

rd

Если сила пропорциональна смещению (например, сила упругости), то получаем колебательное движение. Рассмотрим частный случай одномерного движения, которое происходит под действием квазиупругой силы F= -kx, где х – изменение длины пружины (r=x).

x

m

Направление движенияF=-kx

Уравнение движения имеет следующий вид:

kxxm Так обозначено ускорение

Это однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка.

Его решение известно из курса средней школы и имеет вид (это уравнение колебательного движения):

А- амплитуда колебаний, ω0 - циклическая частота, φ-начальная фаза.

002 xxx

m

kx

)cos( 0 tAx

mk /0

ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ

Итак смещение точки при колебательном движении имеет вид:

Найдем ее скорость

)cos( 0 tAx

)sin( 00 tAdtdx

v

И импульс )sin( 00 tAmmvp

Преобразуем уравнения в виде

)cos( 0 tAx

)sin( 00

tA

p

Возведем в квадрат и сложим

1)()( 2

0

2 Ap

Ax

Полученное уравнение – эллипс или окружность носит название - фазовый портрет колебательного движения частицы

P(x)

x

A

0A

Площадь эллипса равна равна произведению его полуосей и можно доказать, что это

энергия Е колебательного движения за один период, деленная на частоту

E

pdxS - линейная частота колебаний

0/2

Фазовый портрет гармонических колебаний

Фазовый портрет при наличии затухания

Третий закон НьютонаТретий закон Ньютона

Третий закон утверждает: если тело 1 действует на тело 2 с силой F1, то в свою очередь тело 1 обязательно действует на тело 2 с силой F2, равной по величине и противоположной по знаку силе F1; обе силы направлены вдоль одной прямой. Третий закон отражает тот факт, что сила есть результат взаимодействия двух различных тел.

1

F1 F2

2

Закон сохранения импульса

Из 3-его закона Ньютона, как следствие, можно получить закон сохранения импульса.

Пусть имеем замкнутую систему тел 1 и 2.

1

F1 F2

2

3-ий закон говорит о том, откуда берется сила во 2-ом законе

Запишем третий закон Ньютона.

С учетом 2-го закона, имеем:

Тогда:

Или

21 FF

11 F

dt

pd

22 F

dt

pd

021 dt

pd

dt

pd

0)( 21 ppdt

d

Т.е. после интегрирования, получаем:

В замкнутой системе двух тел их импульс есть величина постоянная.

Этот результат может быть распространен на любое число N тел

constpp )( 21

constpi

N

i

1

Закон сохранения импульса выполняется для замкнутой системы тел. Система считается замкнутой, если внешнее воздействие отсутствует или мало по сравнению с внутренними силами.

А12=

2

1

Fdr

12

Работой А называют интеграл от точки 1 по криволинейной траектории до точки 2 (под интегралом – векторы)

F

Работа и энергия

Кинетическая энергияРассмотрим частицу массой m, на которую действует некоторая сила F. Вычислим работу данной силы при движении частицы (тела) по некоторой траектории от 1 до 2.

По определению А12=  

но dr/dt =v.

В классической механике m=const, т.е. массу можно вынести за знак интеграла.

2

1

Fdr

F = = m dt

dvdrdr drdt

dp = mvdv

Этот интеграл равен

mV22/2 – mV1

2/2 =ΔEk

Из формулы видно, что кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела, т.е. кинетическая энергия есть функция состояния ее движения.

Кинетическая энергия в релятивистском случае

Если масса зависит от скорости, то ее величину нельзя вынести за знак интеграла.

Преобразуем данную формулу (т.е. возведем в квадрат и раскроем скобки, введем импульс)

(1) c2m2-p2 = m02c2 ,т.к. p= mv

Продифференцируем формулу (1)

2c2mdm – 2pdp =0. Сократим на 2.

c2mdm = pdp, или c2dm = pdp/m

Вычисляем работу, помня, что Fdr = mv dv=p(dv m)/m= (p dp)/m.

Следовательно,

А12=

Получили элементарный интеграл,

который равен С2(m2 – m1). Если частица стартовала с массой покоя m0 , то индекс 1 заменяем на 0, а m2 становится текущей, т.е получаем С2(m – m0). Величина С2 m0 называется энергией покоя.

Кинетическая энергия равна Ek = С2m - С2 m0.

Ek + m0 С2 = С2 m = E – полная энергия!!!

m0 – масса покоя частицы

Потенциальная энергия. Потенциальная энергия.

Консервативные силыКонсервативные силы Есть силы, для которых выполняется условие

Путь 1 Путь 2 Путь 3

B

A

B

A

B

A

ddd rF,rF,rF,

Рис.

Рис.

Такие силы называют консервативными и

для сил, обладающих таким свойством, интеграл называют потенциальной энергией и обозначают буквой U:

Потенциальную энергию можно представить себе

как энергию, запасенную для дальнейшего

использования. Во многих случаях ее можно

преобразовать в другие полезные формы энергии.

r,F dU

Закон сохранения импульса, наряду с законом сохранения энергии, составляют систему двух линейных уравнений и применяется для анализа физических систем, когда учет всех сил затруднен.

Например, при соударениях частиц (шаров), при расчете движения протонов в БАК (ЦЕРН, Швейцария).

Сегодня: Friday, April 21, 2023

Лекция № 4

Момент силыМомент силы

Моментом силы F относительно произвольной

оси называется векторное произведение радиуса-

вектора r на вектор силы F. Радиус-вектор r и сила

F лежат в одной плоскости, перпендикулярной оси

вращения частицы m. M =[r,F] = - [F,r]

Вектор М направлен вдоль оси вращения по правилу

векторного произведения или правилу правого

буравчика. Скалярное значение момента силы равно

M =r F sin α

Схема векторов

M

α

rF

β

z

Момент импульса

Понятие момента импульса вводится аналогично понятию момента силы.

Моментом импульса L частицы массы m называется векторное произведение радиуса-вектора r на вектор импульса частицы p L = [r,p] = - [p,r].

Вектор направлен по оси вращения по правилу векторного произведения и правилу правого буравчика. Его скаляр равен L=rpsin α

Схема векторов для определения момента импульса

Рассмотрим ось, произвольно ориентирован-ную в пространстве, вокруг которой вращается частица с импульсом Р.

L

α

rP

βLz

z

Момент силы и момент импульса

связаны между собой

следующим образом

dL/dt = M

Если система замкнута, или силы действуют вдоль

оси, что также означает отсутствие момента силы,

то

dL/dt = 0 или L = const. Мы доказали, что если на тело действует

центральная сила любого происхождения, или

система замкнута, то

момент импульса этого тела

будет сохраняться.

Для твердого тела момент импульса вычисляется следующим образом

- момент инерции твердого тела – аналог массы для вращательного движения

I

I

L =

dmrI 2

dmr

Ось вращения

Моменты инерции некоторых тел

Материальной точки -

Диска -

Шара -

2mrI

2

2

1mRI

2

5

2mRI

Три фундаментальных закона механики (закон сохранения импульса, энергии и момента импульса имеют общефизическое значение и применяются во всех других областях физики, включая атомную и ядерную)

Специальная теория Специальная теория относительностиотносительности

Механика Ньютона (называемая также

классической) неверна при скоростях движения тел,

близких к скорости света (v с). Теория для

случая v с называется релятивистской механикой

или специальной теорией относительности.

Классический закон сложения скоростей по Галилею:

Из простого сложения отрезков находим X= X′ + V0t, и взяв производную по времени получаем

vx = vx′ + v0

K’K

x

x’

0 0’ x,x’

y y’V0

K′K

Частица мV0t

Скорость света по формуле Галилея равна сR = сV0,

т.е. может быть различной в разных системах отсчета

Постулаты Эйнштейна:

1. Скорость света в вакууме постоянна во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от скорости движения источника и наблюдателя.

2. Все инерциальные системы отсчета физически эквивалентны (принцип относительности Эйнштейна).

Закон сложения скоростей в теории относительности (при больших скоростях) имеет вид

21

c

VvVv

Vx

xx

При малых скоростях (V<<c) этот закон принимает вид классического закона Галилея

02

0 β1 lll

,1

,1 2222 c

txx

c

txx

// v

v

v

v

Связь координат имеет вид

Сокращение длины по теории Эйнштейна

Замедление времени

21

T

Тема: ПРИНЦИПЫ Тема: ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ. СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ.

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСВЕЛЛА И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСВЕЛЛА И БОЛЬЦМАНАБОЛЬЦМАНА

В газах и жидкостях большое число

сталкивающихся атомов и молекул обуславливает

важные закономерности в поведении

статистических переменных, не свойственные

отдельным атомам и молекулам.

Такие закономерности называются

вероятностными или статистическими.

Если ограничиться случаем теплового

равновесия в физических системах, то мы будем

иметь дело со статистической физикой или

статистической механикой.

Статистическая физика

позволяет решить принципиальные

вопросы, связанные с

детализацией описания большой

совокупности атомов и молекул.

Это вопросы касаются распределения атомов

и молекул идеального газа по скоростям и по

энергиям, распределения атомов и молекул в

пространстве, где на них действуют силы, и от

точки к точке меняется их потенциальная

энергия.

Распределение молекул поРаспределение молекул по скоростям. скоростям. Распределение МаксвеллаРаспределение Максвелла

Пусть у нас имеется N тождественных атомных частиц, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при определенной температуре.

В результате каждого акта столкновения молекул

их скорости меняются случайным образом.

В процессе большого числа столкновений

устанавливается стационарное равновесное

состояние, когда число молекул в заданном

интервале скоростей сохраняется постоянным.

Функция распределения Максвелла F(v) по абсолютным значениям скоростей

kT

m

ekT

m

d

dN

NF 22

23 2

24

1v

vv

v

/

)(

Позволяет определить долю молекул

= F(v) Δv, имеющих скорости в интервале от v до v + Δv

NdN

На рис. показана зависимость F(v) при различных

температурах.

Рис.

NdN

Величина площадки под кривой – это доля молекул, обладающих скоростями от v до v + Δv

Наиболее вероятная, средне квадратичная и

средняя арифметическая

скорости молекул газаСкорость, соответствующая максимуму распределения есть наиболее вероятная скорость

m

kТυ

2в – для одной молекулы.

Средняя квадратичная скорость равна

m

kТυ

3кв

Средняя арифметическая скорость

m

kТυ

8

ср

Сегодня: Friday, April 21, 2023

Лекция № 5

Следствия из распределения Максвелла

Из распределения Максвелла следует, что средняя кинетическая энергия молекулы массой m идеального газа равна

m

kТυ

3кв kTmυ 3кв

2

kTmυ2

3

2

1кв

2 средняя кинетическая энергия молекулы, состоящей из одного атома

Если молекула состоит из 2 и более атомов, то энергия равна

kTi

2 I - число степеней свободы, k-постоянная

Больцмана

Энергия моля (киломоля) газа

Чтобы получить полную кинетическую (внутреннюю) энергию моля газа U надо умножить среднюю энергию одной молекулы на число молекул (например, число Авогадро)

231002,6 N 1/моль

RTi

NkTi

NU22

R - универсальная газовая постоянная

Распределение БольцманаРаспределение Больцмана

Распределение Больцмана определяет

распределение частиц в силовом поле, в условиях

теплового равновесия

n(x) = n0exp[U(x)/kT]. Это соотношение называется законом распределения Больцмана или просто распределением Больцмана.

Условно это можно изобразить так:

U1

U2

Uk

В однородном поле тяжести, если перейти к давлению, формула преобразуется к виду

P(x) = P0exp[gx/RT], где молярная масса газа, P0 давление

при x = 0 (например, на поверхности Земли).

Полученное соотношение носит название барометрической формулы.

ИДЕАЛЬНЫЙ И РЕАЛЬНЫЙ ГАЗЫ ИДЕАЛЬНЫЙ И РЕАЛЬНЫЙ ГАЗЫ

Идеальный газ Реальный газ-радиус взаимодействия двух молекул много меньше среднего расстояния между ними, т.е молекулы взаимодействуют только при столкновениях (рис. 1.1).

- объем всех молекул газа

много меньше объема,

занятого газом.

- потенциальная энергия взаи-модействия молекул равна нулю

радиус взаимодействия двух молекул сравним с средним расстоянием между ними, т.е молекулы могут вза-имодействовать не только при столкновениях, но и на некотором расстоянии между ними

– собственный объем молекул газа может быть сравним

с объемом газа (сосуда.

Уравнения состояния для газов

Уравнение состояния Уравнение состояния

идеального газа реального газа (Ван-

дер-Ваальса) RTbVVa

P ))(( 2RTm

VP

))((

Основное отличие состоит в следующем: 1) количественное – по виду уравнений; 2) качественное – состоит в том, что реальный газ может быть сжижен, идеальный газ перевести в жидкость нельзя.

a, b – постоянные Ван-дер Ваальса, учитывающие взаимо-действие и собственный объем молекул газа, соответственно.

(Менделеева-Клапейрона)

ГЛАВНЫЕ СЛОВА: Термодинамика дает полное количественное описание обратимых процессов. Для необратимых указывает направление их протекания.

Первое начало термодинамикиПервое начало термодинамики есть закон сохранения энергии для макроскопических явлений, в которых одним из существенных параметров, определяющих состояние тел, является температура.

Закон сохранения энергии для систем, в которых существенную роль играют тепловые процессы, или первое начало термодинамики записывается в виде

Q = dU + A или Q = dU + PdV.

dU=CvdT; dQ=CpdT; dA = PdV

В формулах приняты следующие обозначения: dU-изменение внутренней энергии газа; Cv-теплоемкость газа при постоянном объеме V, Cp – теплоемкость газа при постоянном давлении P. Теплоемкость- это количество теплоты, необходимое для нагревания одного моля газа на 1 градус.

dT

dQС

Цикл Карно (обратимый).Никола Леонард Сади КАРНО –французский офицер инженерных войск в 1824 г. показал, что работу можно получить в случае, когда тепло переходит от нагретого тела к более холодному (второе начало термодинамики). Ввел понятие кругового и обратимого процессов, идеального цикла тепловых машин, заложил тем самым основы их теории.

Циклы или круговые процессы

Первое начало термодинамики не может указать направление развития процесса. Этот закон позволяет указать, как изменяются термодинамические величины в процессе.

Направление развития процессов описывается вторым началом термодинамики .

Цикл Карно

Идеальный цикл Карно состоит из 2-х изотерм и 2-х адиабат. Газ получает тепло Q1 при изотермическом расширении (T1) и отдает Q2 при изотермическом сжатии (но при более низкой температуре T2).

Рис.

Для обратимого цикла Карно

Для необратимого цикла

Т.е всегда ηобр > ηнеобр – этот вывод справедлив

независимо от причин необратимости цикла Карно.

.11

2

1

21обр Т

Т

Т

ТТη

.1Δ

Δ1

1

2

1

2необр Т

Т

ТТ

ТТη

η – это коэффициент полезного действия

Термический коэффициент полезного действия для кругового процесса

Все термодинамические процессы, в том числе и круговые, делят на две группы: обратимые и необратимые.

Процесс называют обратимым, если он протекает таким образом, что после окончания процесса он может быть проведен в обратном направлении через все те же промежуточные состояния, что и прямой процесс. После проведения кругового обратимого процесса никаких изменений в среде, окружающей систему, не произойдет.

.11

2

1

21

1 Q

Q

Q

QQ

Q

Aη

Процесс называется необратимым, если он протекает так, что после его окончания систему нельзя вернуть в начальное состояние через прежние промежуточные состояния. Нельзя осуществить необратимый круговой процесс, чтобы нигде в окружающей среде не осталось никаких изменений.

Например, обратимым можно считать процесс адиабатического расширения или сжатия газа. При адиабатическом процессе условие теплоизолированности системы исключает непосредственный теплообмен между системой и средой.

dST

dQ

Функция состояния, дифференциал которой , называется – энтропией. dQ – элементарное тепло, полученное (отданное) газом при температуре газа ТЭнтропия обозначается S – это отношение полученной или отданной теплоты к температуре при которой произошла эта отдача. С ее помощью определяют направление процесса

T

dQ

Задание на дом

Найти изменение энтропии при переходе газа из состояния T1V 1 в T2V2 (все величины известны)

T

dQdS

V

RTPPdVdTCPdVdUdQ V

12

2

1

SSdSS

S

P

VV1 V2

T1

T2

QdQ

Лекция № 6

Тема: Заряд и егосвойства, закон Кулона

Сегодня: Friday, April 21, 2023

Сформулировал законы трения, качения и скольжения. Установил законы упругого кручения. В 1725 г., построил прибор для измерения силы – крутильные весы. В 1725 году Кулон открыл закон, названный в последствии его именем. Раньше ожидали, этот закон должен быть похож на закон всемирного тяготения. Так оно и оказалось, только величина сил разная: если передать 1% электронов от одного человека к другому, то сила взаимодействия между ними на расстоянии вытянутой руки будет больше веса земного шара. (Ранее крутильные весы изобрел Кавендиш и на 10 лет раньше Кулона он установил этот закон).

КУЛОН Шарль Огюстен (14.6.1736 – 23.8.1806) –

(Couloumb) французскийфизик и военный инженер.

Макроскопические носители зарядов. Кварки.

Заряженные частицы и ионы, q=1,6021892*10-19Кл. mе = 9,1*10-31кг.

Протон. Нейтрон.

Рис. 1.Рис. 2.

0 0,5 1 1,5 r,10-15мr r+dr

4πr2ρ

0 0,5 11,5 r,10-15м

4πr2ρ

7