混沌电子学讲座 2004.5

2004.5混沌电子学讲座

混沌电子学讲座2004.5


混沌电子学讲座 ——目的

•简介•定性•不准确之处，还望鉴谅


讲述内容（一）混沌的概念

——什么是混沌（二）抛物线映射及混沌（三）混沌电子学的概念 —— 什么是混沌电子学（四）混沌电子学实验方法（五）混沌电子学的应用


混沌的概念（ 1 ） —— 什么是混沌• 非线性动力系统• 输出波形图• 相图• 分岔图• Lyapunov 指数• Poincare 映射• 功率谱• 测度和熵……• 什么是混沌 1. 用上面的各种方法所描述的现象 2. 动力系统的方程的解不能定量给出 3. 一般由相图、分岔图和 Lyapunov 指数来研究通向混沌的道路


混沌的概念（ 2 ） —— 混沌的定义• 至今没有严格的数学定义

研究者尚未充分理解混沌从事不同研究领域的学者对混沌的理解不同

• 混沌定性的定义· 混沌是指在确定性系统中出现的类似随机的过程，这种随机的过程来自于系统的非线性。

· 某些完全确定论的系统，不加任何随机因素，就可能出现与布朗运动不能区分的行为；“失之毫厘，差之千里”的对初值细微变化的敏感依赖性，使得确定论系统必须借助概率论方法描述。这就是混沌。－－－郝柏林


混沌的概念（ 3 ） —— 混沌定义的要素• 混沌定义的要素· 确定论 —— 摆的运动是一个混沌运动· 随机论· 非线性· 确定论中的随机轨道是混沌轨道的特例，即其中近似重复图式的长度为 1 －－郝柏林•混沌是一种新的动力学的观点· 混沌企图，也有可能消除确定论和随机论之间的鸿沟· 20 世纪科学将永远记住的三件事将是相对论、量子力学和混沌－－ M.Shlesinger · 相对论消除了关于绝对空间和时间的幻想；量子力学则消除了关于可控测量过程牛顿式的梦；而混沌则彻底消除了拉普拉斯关于决定式可预测性的幻想 —— J. Ford


混沌的概念（ 4 ） —— 混沌的特征• 叠加原理对非线性系统不再适用 •确定论系统的行为处于混沌状态时似乎是随机的，与噪声混杂在一起•实际系统的不可预测性· 使用实际的仪器测量初始条件只能是近似的· 混沌对初始条件的敏感的依赖性•非线性系统建模的困难——仅有少数的数学模型•简单的映射系统具有混沌普适的性质•混沌现象具有次序•短期预报和控制的可能性


抛物线映射及混沌（ 1 ） —— 虫口模型• 昆虫数目变化的数学模型（虫口模型）xn+1 ＝ axn ( 线性差分方程）其中， xn 为第 n 年的虫口数目， a 为每只成虫平均产卵的数目 , xn+1 为第（ n ＋ 1 ）年的虫口数目。用 x ＝ Aeλt代入，可解得 xn ＝ x0an ；其中， x0 为起始年虫口的数目。• 虫口模型的修正虫子之间的咬斗会造成 xn 只虫子的减员，此类事件的总数为 xn(xn+1)/2xn2 （ xn>>1 ）则修正后的虫口模型为 xn+1 ＝ axn － bxn2此方程为虫口数目的演化方程，是一个抛物线方程，该方程很难有解析解。


抛物线映射及混沌（ 2 ） —— 虫口模型的等价形式• 虫口模型演化方程迭代的实质虫口数目的演化方程实质上是反复使用抛物线的函数关系

y ＝ ax － bx2 进行迭代。• 抛物线方程的拓扑等价

y ＝ ax － bx2 的拓扑等价方程为 y ＝ 1 － μx2 相应的演化方程为 xn+1 ＝ 1 － μxn2 其中 μ 隐含着成虫平均产卵的数目。研究抛物线演化方程，除了研究其迭代外，还要研究 μ 变化对虫口数目的影响

• 单峰映射和抛物线映射为同一个拓扑等价类• 虫口模型或抛物线映射的研究，具有拓扑等价意义上的普适性


抛物线映射及混沌 (3) —— 抛物线映射的研究方法• 混沌分类

• 瞬态混沌系统处于瞬态时的混沌行为• 空间混沌无穷维动力系统对初值和边界条件都有敏感性• 时空混沌无穷维动力系统在时间和空间上都有混沌行为• 随机混沌随机非线性系统（非确定性系统）产生的混沌行为• 一般混沌研究对长期或短期行为的预报感兴趣，所以只研究瞬态之后出现的混沌

• 迭代作图虫口数目可以用简单的计算机程序来计算。为形象化地说明问题，可以用线段映射的方法作图来表示

• 轨道（轨线）由上作图，可以得到轨道 x0 ， x1 ，…， xi ， xi ＋ 1 ，…，其中， xi 称为轨道点


抛物线映射及混沌 (4) —— 不动点和周期轨道• 不动点（平衡点 / 奇点）

• xi ＝ x* （任意 i≥N) 在某次迭代后，轨道点 xi 不再变化，则称 x* 为不动点• 从物理上讲，不动点是动力系统的平衡点• 从数学上讲，不动点是动力学方程的奇点

• 周期轨道• xN ， xN ＋ 1 ， …， xN ＋ p － 1

xN ＋ p ， xN ＋ p+1 ，…， xN ＋ 2p － 1

• 上述两列各轨道点的值完全相同，且上一列最后一个轨道点与下一列的第一个相邻；所有的轨道点按上述规律无限循环 • 轨道点的个数即是周期数；如上述一列中的个数为 4 ，则称该轨道为周期 4 轨道• 周期 1 轨道就是不动点


抛物线映射及混沌 (4) —— 准周期轨道和随机轨道• 准周期轨道

** 对于某个 xi 的轨道点，迭代一定的次数 (周期）后，轨道点就回到 xi附近，但是不会等于 xi ；等到下一个循环，轨道点再次回到 xi ，而且更加接近 xi

**如此周而复始，轨道点会随循环次数的增多，逐渐地逼近 xi

** 这种看似周期轨道，却不是严格的周期轨道，称为准周期轨道• 随机轨道 ** 轨道点完全随机

** 此处的随机是在确定性动力系统中，由非线性产生


抛物线映射及混沌 (4) — 混沌轨道、相空间和相图• 混沌轨道** 在有限长的轨道点中，有某些近似的重复图式或“结构” ** 用该有限长为单位考察整个轨道时，该有限长的出现为随机的** 当该有限长轨道点个数为 1 时，混沌轨道即为随机轨道** 混沌轨道对初值极为敏感• 相空间和相图** 扩展相空间动力系统方程组所对应的矢量空间** 相空间去除时间 t后的矢量空间** 流动力系统方程组解曲线实体（ 2维空间为曲面， 3维空间为曲体）** 相图流中某一个解曲线（对应于某个初值）在相空间的轨迹** 抛物线的迭代轨道离散相空间的相图


抛物线映射及混沌 (4) —— 分岔图• 分岔图研究的必要性

• 抛物线方程 xn+1 ＝ 1 － μxn2 中 μ 的意义 ** 成虫每年平均产卵的数目 ** 动力系统的参数• 参数 μ 的变化，将极大地影响轨道的变化

• 分岔图及其特点** 把相空间和参量空间联合起来组成平面图，考察轨道行为 ** 分岔图中有分岔点、暗线和周期窗口等丰富的结构


抛物线映射及混沌 (4) —— 分岔图结构（ 1 ）• 周期稳定区 / 混沌区** Feigenbaum （ F点）左边 /右边** Feigenbaum常数＝ 1. 40115518909295…• 分岔点周期变化之间的交叉点• 超稳定轨道

------ 映射复合函数的导数在轨道中每一个轨道点处的值＝ 0 ----- 图中周期 2 、周期 4等都是超稳定轨道

• 超稳定轨道稳定范围两分岔点之间的参数值• 倍周期分岔序列 (Feigenbaom常数 F点的左边 ) 1->2->4->8->16-> … ->2n -> 无穷•结论倍周期稳定区间越来越小参数值越来越接近 F点的常数


抛物线映射及混沌 (4) —— 分岔图结构（ 2 ）• 混沌带

• F点右边的区域黑色的部分• I-H部分为 1带混沌区• H-G部分为 2带混沌区• G-F部分为 4带以上的混沌区

• 混沌带倍周期合并序列 (Feigenbaom常数 F点的右边 )无穷 ->…->2n->…->16->8->4->2->1

•结论• 混沌带倍周期合并序列持续区间越来越小• 倍周期混沌带合并序列的收敛速率与倍周期分岔序列的收敛速率相等


抛物线映射及混沌 (4) —— 分岔图结构（ 3 ）• 暗线

• 以迭代相应的映射函数的导数等于 0 的点作初值，每一次迭代的方程在相——参空间的曲线• 可以描述动力系统不稳定的不动点

• 周期窗口• 混沌区中白的竖条• 周期窗口较为复杂，需要符号动力学使用揉序列来计算，或是使用动力系统的功率谱来观察• 最右边的最宽的白竖条为周期

3窗口


抛物线映射及混沌 (4) —— 切分岔与阵发混沌• 周期 3窗口（切分岔）特征

• 3带（上、中、下）• 混沌自相似现象（每一个带都与前页的抛物线分岔图一样）

• 阵发混沌在 μ ＝ 1.709 处，发生突变

• 周期 3 轨道机理• 右下图左侧为 f （ 3 ）（ x,μ)的曲线；该曲线与对角线在 A点相切， B点处有一条窄缝• 迭代进入窄缝后，要经过若干次迭代，才可能从窄缝中穿出去• 穿出去后，经过若干次在 f （ 3 ）曲线其它部分的迭代，有可能再次进入窄缝，再次重复以上过程• 上述过程，形成右侧上图的阵发混沌


抛物线映射及混沌 (4) —— Lyapunov 指数• Lyapunov 指数

• 初值相邻的轨道• 在相空间按指数规律发散• 用相空间体积的散度来定义

Lyapunov 指数• Lyapunov 指数特征

• <0: 静止• =0: 周期运动• >0：混沌运动

• 测度和熵（略）


抛物线映射及混沌 (4) —— 奇怪吸引子• 耗散系统能量不守恒的有摩擦力的系统实际的物理系统都是耗散系统• 耗散系统吸引子相空间体积随时间增长不断收缩到一个区域 (集合 )中• 奇怪吸引子

• 耗散系统相空间体积收缩• 混沌轨道在某个方向上按 Lyapunov 指数发散• 在相空间体积收缩的同时，相空间轨道无穷折叠、扭曲和拉伸，构造出一种复杂的几何图像，即奇怪吸引子（如图）

• 奇怪吸引子特征• 图形镜像或对称• 局部与整体有自相似结构• 其中的轨道永远不相交和重复（区别于周期轨道）• 与 Lyapunov 指数密切相关

• 奇怪吸引子 => 混沌


抛物线映射及混沌 (4) —— 通向混沌的道路• 倍周期分岔通向混沌的道路• 切分岔通向混沌的道路（阵发混沌道路）• N＋ 1 周期增加通向混沌的道路


混沌电子学的概念 (1) —— 历史（ 1 ）•混沌电子学形成

• 80 年代初，电子学界开始关注非线性电路系统的动力学行为• 出现了模拟各种物理系统的非线性电路

• Chua 电路历史（ 1）• 1983 年前 Leon O. Chua （蔡绍棠）给出了 Chua 电路的原型• 1983 年 T. Matsymoto 给出了 Chua 电路的计算机模拟结果，并命名为 Chua 电路• 1984年 G. Q. Zhong 和 F. Ayrom给出了第一个混沌实验结果• 1984年继Zhong 和 Ayrom后， T. Matsymoto ，给出了第二个 Chua 电路的实验结果，该实验电路由 Tokynaga设计• 1985年 M. Komuro 和 T. Matsymoto 研究组的学生给出了 chua 电路的分岔图（图 17， 20 ， 22 由艺术家画出）• Chua 混沌电路已经成形，但是没有得到理论的证明


混沌电子学的概念 (1) —— 历史（ 2 ）•Chua 电路历史（ 2）

• 1986年 M. Komuro等人给出了 Chua 电路满足 Shilnikov 定理的证明，但该证明没有给出 Chua 电路的双螺旋吸引子就是混沌吸引子的结论• 1990 年 L. O. Chua 和 G. N. Lin 给出了 Chua 电路在连续的奇对称线性矢量场中的 C*类电路（动力学等效电路）• 1993 年 V. N. Belykh 和 L. O. Chua 在 2维几何图形上给出了双螺旋吸引子就是混沌吸引子的证据• 历经 10 年， Chua 电路以其最简的形式，从实验和理论上，得到了确认和普遍的认可• 在最近的 10 年中， Chua 电路被广泛地使用在各种混沌应用中


混沌电子学的概念 (2) —— 稳定和不稳定的不动点（ 1 ）• 不动点定义

• 离散系统：抛物线轨道点不变，即 xi ＝ x*

• 连续系统：对自治系统 dx/dt ＝ f(x) ，令 f(x*) ＝ 0 ，即 dx/dt不变化，则 x* 是不动点• 不动点稳定性判断方法

• Lyapunov 第一近似方程将 f(x) 泰勒展开，略去高次项，得到线性方程 dx/dt ＝ Ax

其中， A ＝ Dx f(x0) 为在 x ＝ x0 处 Jacobi矩阵的值• 不动点稳定性判断方法可以根据 Dx f(x0) 本征值实部和虚部的不同情况，来判断不动点的稳定性


混沌电子学的概念 (2) —— 稳定和不稳定的不动点（ 2 ）•二维动力系统不动点的稳定性（ 1）

•二维系统动力学近似方程最后一行为二维系统动力学方程的特征根方程

•结点特征根为实数且同号•稳定结点同号为负 ,收敛（汇结点）• 不稳定结点同号为正 ,发散

(源结点 )注：图中的直线时特征根＝ 0 的情况


混沌电子学的概念 (2) —— 稳定和不稳定的不动点（ 3 ）•二维动力系统不动点的稳定性（ 2）

• 鞍点特征根异号鞍点粗略地讲是不稳定的• 焦点特征根为共轭复数

• 稳定焦点实部为负 ,收敛（渐进）稳定• 不稳定焦点实部为正 ,发散不稳定

• 中心点特征根为虚数，即实部为 0轨道以不动点为中心的封闭曲线族，动力系统作周期运动，稳定


混沌电子学的概念 (2) —— 稳定和不稳定的不动点（ 4 ）不动点类型特征根实部特征根虚部稳定性轨道汇结点同号

负无稳定轨道向不动点运动

源结点同号正

无不稳定轨道由不动点向外运动鞍点异号无不稳定向不动点运动的轨道稳定焦点 1 负有 (共轭 )

稳定焦点 2 正有 (共轭 )

不稳定中心点 0 有 (共轭 )

稳定周期轨道• 在 Lyapunov 第一近似条件下得到以上结论• 除鞍点外，特征根实部为表征轨道运动方向的数；为负时收敛，稳定；为正，则发散，不稳定；为 0时，轨道作周期运动• 特征根为共轭复数时，轨道为螺旋线；为实数时，两者相等为直线，两者不等，为抛物线（同为负），或双曲线（同为正）


混沌电子学的概念 (3) —— Chua 电路原理（ 1 ）• Lorenz 奇怪吸引子分析

• 上下两个轨道为螺旋线两个焦点• 上下部分对称，且向对方延伸不是平面的焦点，应为三维焦点• 中心部分也有螺旋型的结构中心部分也应为三维的焦点

• Chua 电路的必要条件• 应该三维• 有三个不动点• 不动点应该为不稳定的焦点• 应该有一个非线性器件


混沌电子学的概念 (3) —— Chua 电路原理（ 2 ）• Chua 电路原理图电感 ×1 ，电容 ×2 ，电阻 ×1 ，负阻 ×1 （分段非线性电阻，又称 Chua二极管）• 系统方程

式中， G＝ 1/R， Ga 和 Gb如图所示• Chua 二极管 V－ I特性曲线 Ga<0, Gb<0 ， E>0(Gb与 Ga交点处的 VR值）三个区 : D0 ( -E< VR <E ) D ＋（ VR < -E ）； D －（ VR > E ）三个区粘结在一起组成一个负阻器件 (注意不是线性叠加）


• Chua 电路不动点研究• 中心区 D0 动力学方程特征根方程

特征根一个实数根 γ0 一对共轭复数根设置参数使特征根为

• γ0 ≈ 25291• 三维不动点性质• 复共轭根为稳定的焦点O，在复平面 EC（ 0 ）上轨道向不动点运动 (如图）• γ0 为垂直于复平面的一个矢量，不稳定

• 中心区 D0 轨道轨道向不动点运动，且随时间而逐渐沿 Er(0)方向（指数发散）向上或向下盘旋

混沌电子学的概念 (3) —— Chua 电路原理（ 3 ）

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混沌电子学的概念 (3) —— Chua 电路原理（ 4 ）• Chua 电路不动点研究

• 外区 D ＋ /D-动力学方程特征根方程特征根一个实数根γ1 一对共轭复数根参数与中心区相同，可以使 D ＋ /D-区特征根

• • 三维不动点性质• 复共轭根为不稳定的焦点 P ＋ /P-，在复平面 Er(P ＋ )/ Er(P － )上，轨道由不动点向外运动 (如图）• r1 ，为垂直于复平面的一个矢量，稳定（收敛）

• 外区 D ＋ /D-轨道• 轨道由不动点向外运动，且随时间而逐渐沿 Er(P ＋) 、 Er(P －) 方向（指数收敛）向上或向下盘旋• P ＋， P －由初始条件决定


混沌电子学的概念 (3) —— Chua 电路原理（ 5 ）• Chua 电路的全局行为

D0 、 D ＋和 D －区粘接在一起的情况• Chua 电路周期和分岔的产生

• Chua 电路不动点方程• IR为 Chua二极管负阻• Chua 动力学方程左端＝ 0 ，为直流解• 动力学方程的直流解为 IR＝－ GVR ( G＝ 1/R )

• Chua 电路的周期和分岔• 调节电阻R（改变 G），也即改变图中红线（直流解）的斜率• 图（ b） D ＋和 D －的实不动点随着红线（直流解）改变为虚不动点• 在改变过程中，不动点的实特征值和复共轭特征值的稳定性也会改变，从而形成轨道周期或分岔的现象

• 改变其它参数也可以改变不动点的稳定性，得到相同的结果


混沌电子学的概念 (4) —— Chua 电路相图和分岔图• 分岔图

• Chua 电路实测的分岔图• 与抛物线映射的分岔图一致

• 相图• 倍周期增加通向混沌的道路• 阵发混沌的道路• N ＋ 1 分岔通向混沌的道路

• 事实上，为周期窗口通向混沌的道路（分岔图中的空白处）• 每个双螺旋中间都有混沌图形出现• 在分岔图上为逆向

• 出现模糊轨道的单 / 双螺旋吸引子就是奇怪吸引子，就是混沌；也即，轨道可以分成若干个局部，每个局部有相似 / 相同的结构，但是局部的出现是随机的• Zhua 电路吸引子的理论证明略


混沌电子学的概念 (5) —— 实际的 Chua 电路


混沌电子学实验方法 —— 概述• 硬件实验

• 相图• 分岔图

• 数值实验• 内容

• 相图• 分岔图• Lyapunov 指数• 功率谱

• 方法• PSpice• MATLAB


混沌电子学实验方法 —— 硬件实验方法 • 相图获取方法观测 Vc1 － Vc2 的李萨育图，即 Vc1 － Vc2 相空间图• 分岔图获取方法

• 1-D map代表了相轨道的性质• Poincare Cross Section取得输入的 Vc1 ＋ Vc2 （轨线）的变化而产生 dτ 和 d 的脉冲• dτ 和 d 在同一时刻开始，

dτ 较 d脉冲窄，用来保持 Vc1 ＋ Vc2 变化的当前状态（ xn ＋1 ），而 d 则用来保持 Vc1 ＋Vc2 变化的过去的状态 xn

• 锯齿波控制电容，使 Chua 电路 Vc1 ＋ Vc2发生变化， 1-D map circuit部件把当前状态和上一个状态（ Chua 电路轨线的周期变化的情况）送到示波器中观测


混沌电子学实验方法 —— 数值实验方法• PSPICE

• 输入线路图进行模拟（必须要有线路部件的模型）• 输入文件法——建立理想电路模型解微分方程

• MATLAB• 解微分方程计算相图和分岔图• 时间序列——重构相空间计算最大 Lyapunov 指数• MATLAB是最重要的数值实验平台


混沌电子学的应用 —— 混沌同步混沌控制的应用• 混沌同步和控制的应用

• 改善和提高激光器美国海军研究实验室利用混沌电路，跟踪和控制激光系统随时间演化的参数变化，使激光在 23周期时也能稳定输出，使激光的功率提高了 15倍• 混沌通讯

• Carroll 和 Pecora发现了混沌锁相环电路，实现了混沌模拟通信电路• Chua 实现了利用 Chua 电路混沌编码的方法的混沌编码通信电路• 为了难以破译，目前大部分研究者都集中在高维系统的超混沌通信方面进行研究

• 混沌编码• 图像加密的水印研究• 大容量的动态信息存储器

• 受控热核反应的等离子体混沌控制时空混沌的同步


混沌电子学的应用 —— 其它应用• 其它方面的应用

• 医学方面的应用• 心脏运动是一个混沌运动，利用 OGY控制方法做成的混沌控制电路，有利于治疗心室纤维颤动• 脑神经系统混沌运动监测电路

• 混沌神经元网络利用 Chua 电路做成神经元网络，使用混沌编码

• 混沌模拟识别• 磁场感应探测器


混沌电子学讲座 ——主要参考文献• 郝柏林，《从抛物线谈起——混沌动力学引论》，非线性科学丛书，上海科技教育出版社， 1993年 9月第 1版• Michael Peter Kennedy ，“ Three Steps to Chaos

——Part II: Chua’s Circuit Primer” ， IEEE Trans. on Circ. And Sys. － I: Fund. Theory and Appl., V.40, No.10, Oct. 1993

• Chai Wah Wu, etc., “Studying Chaos via 1-D Maps——A Tutorial” ， IEEE Trans. on Circ. And Sys. － I: Fund. Theory and Appl., V.40, No.10, Oct. 1993


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