北京时间 2005 年 10 月 12 日 9 时整，中国第二艘载人飞船“神舟”六号，在酒泉卫星发射中心发射升空。

及其标准方程及其标准方程 (-)(-)

忻州师院附中忻州师院附中赵瑞萍制作赵瑞萍制作

数 学 实 验

(1)(1) 取一条细绳，取一条细绳， (2)(2) 把它的两端把它的两端 固定在板上的两固定在板上的两 点点 FF11 、、 FF22

(3)(3) 用铅笔尖用铅笔尖 MM 把细绳拉紧，在把细绳拉紧，在 板上慢慢移动看板上慢慢移动看 看画出的图形看画出的图形

观察做图过程 :(1) 绳长应当大于 F1 、 F2 之间 的距离。(2) 由于绳长固定，所以 M 到 两个定点的距离和也固定。

（一）椭圆的定义（一）椭圆的定义

平面内到两个定点的平面内到两个定点的距离的和（距离的和（ 2a2a ）等于）等于定长（大于定长（大于 |F|F11FF22 | | ））的点的轨迹叫椭圆。的点的轨迹叫椭圆。

定点定点 FF11 、、 FF22 叫做椭圆叫做椭圆的焦点。的焦点。

两焦点之间的距离叫两焦点之间的距离叫做焦距（做焦距（ 2C2C ）。）。

椭圆定义的文字表述： 椭圆定义的符号表述：aMFMF 221

(2a>2c)

M

F2 F1

小结（小结（ 11 ）：满足几个条件的动点）：满足几个条件的动点的的 轨迹叫做椭圆？ 轨迹叫做椭圆？

平面上平面上 -------- 这是大前提这是大前提 动点 动点 M M 到两个定点 到两个定点 FF11 、、 FF22 的距离之和是常的距离之和是常

数 数 2a 2a 常数 常数 2a 2a 要大于焦距 要大于焦距 2C2C

aMFMF 221 (2a>2c)

(2) 如果 2a=2c 时在平面内满足到两个定点距离等 于定长的点的轨迹是 ______________.(3) 如果 2a<2c 满足条件的点的轨迹 __________.

思考 :(1) 如果 2a>2c 满足条件的点的轨迹是 _______.

思考 : 平面内与两定点的距离的和等于常数的点的集合 , 是点成椭圆的什么条件 ?

不存在 .线段 .

椭圆 .

（ 1 ）建系设点

（ 2 ）写等式

（ 3 ）等式坐标化

（ 4 ）化简

（ 5 ）检验

O X

Y

F1 F2

M

O X

Y

F1

F2

M

方案一

方案二

（二）椭圆方程的推导（二）椭圆方程的推导

F1 F2

M

0 x

y

解：以线段 F1F2 中点为坐标原点， F1F2 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，则 F1(-c , 0) ， F2(c , 0) 。

设 M(x, y) ，则 |MF1| ＋ |MF2| ＝ 2a , 即

aycxycx 2)()( 2222 将这个方程移项，两边平方，整理得a2－cx=a 22)( ycx ,

两边再平方，得a4 － 2a2cx+c2x2=a2x2 － 2a2cx+a2c2+a2y2,整理得 (a2 － c2)x2+a2y2=a2(a2 － c2),

由椭圆的定义可知 2a>2c 即 a>c 所以

022 ca

两边同时除以 22ba 12

2

2

2

b

y

ax

得

0222 bbca令 222222 bayaxb 得

12

2

2

2

b

y

ax 叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆

的焦点在 x 轴上。焦点是 ,0,1 cF ,0,2 cF 222 bac

如果使点21 FF , 在 y 轴上，点

21 FF , 的坐标分别 ,,01 cF cF ,02 ， a,b 的意义同上。

那么方程为1

2

2

2

2

bx

a

y

它也是椭圆的标准方程，它所表示的椭圆

焦点是 : ,,01 cF .,02 cF的焦点在 y 轴上。

(( 三三 ).). 椭圆的标准方程椭圆的标准方程 (1)(1)

)0(12

2

2

2

bab

y

a

x

它表示：

(1) 椭圆的焦点在 x 轴上

(2) 焦点是 F1 （ -C ， 0 ） ,F2 （ C ，0 ）

(3)C2= a2 - b2

F1 F2

M

0 x

y

椭圆的标准方程（椭圆的标准方程（ 22 ））

)0(12

2

2

2

bab

x

a

y

它表示 :

(1) 椭圆的焦点在 y 轴上

(2) 焦点是 F1 （ 0 ， -C ） ,F2 （ 0 ，C ）

(3) C2= a2 - b2

F1

F2

M

0 x

y

O X

Y

F1 F2

M

(-c,0)

(c,0)

O X

Y

F1

F2

M

(0,-c)

(0 , c)

)0(12

2

2

2

bab

y

a

x)0(1

2

2

2

2

bab

x

a

y

小结 (2): 椭圆的标准方程的再认识：（ 1 ）椭圆的标准方程有两种 , 但其中三个参数 a 、 b 、c 总 满足 : a > b > 0 , a2 = b2 + c2 。（ 2 ）椭圆的标准方程中， x2 与 y2 的分母哪一个大，则焦

点就在哪一个轴上。

写出椭圆的标准方程。

(1) (1) 两个焦点的坐标分别是（两个焦点的坐标分别是（ -4-4 ，， 00 ）、（）、（ 44 ，，00 ）） 椭圆上一点 椭圆上一点 PP 到两焦点距离的和等于到两焦点距离的和等于 1010 ；；（（ 22 ）两个焦点的坐标分别是（）两个焦点的坐标分别是（ 00 ，， -2-2 ）、（）、（ 00 ，，22 ）） 并且椭圆经过点（ 并且椭圆经过点（ -3/2-3/2 ，， 5/25/2 ）。）。

例例 1 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：

根据已知求出 a 、 c ，再推出 a 、 b

设出椭圆的标准方程为

判断方程类型：由焦点坐标知，点的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆。

分析（ 1 ）

例题讲解

)0(12

2

2

2

bab

y

a

x

分析（ 2 ） 1 ）已知焦点为（ 0 ， -2 ），（ 0 ， 2 ）。可知焦点 在 y 轴上，并且 2C=4 ，可以设所求

由点（ -3/2 ， 5/2 ）到两个焦点的距离之和求 2a , 再求 b. 可得方程。

2 ）或：设方程为 ,142

2

2

2

a

x

a

y

,12

2

2

2

b

x

a

y椭圆方程为：

将点（ -3/2 ， 5/2 ）代入可求方程（待定系数法）

（解见课本。）

“ ”如图， 神舟六号 载人飞船的运行轨道是以

地心（地球的中心） F2 为一个焦点的椭圆，已知它的

近地点 A 距地面 200km, 远地点 B 距地面约 350km, 椭

圆的另一个焦点是 F1, 且 F1 、 F2 、 A 、 B 在同一直线

上，地球半径约为 6400km ，求“神舟六号”运行轨道

的方程 .

． ．B 2F1F A

思考题 :

（精确到 1km，参考数据：

小结

)667444550000

． ．B 2F1F AO x

y

求椭圆的方程

分析：条件有三： 近地点距地面 200km ，

地球半径约为 6400km，远地点距地面 350km ，

解：如图，建立直角坐标系，由题意可知：

a c =6400+200

a c =6400+350

解得：a=6675 ， c=75 2 2 26675 75b 445500002 2

2 21

6675 6674

x y 故 为椭圆方程．

作业 : P96 习题 8.1 1, 2, 3, 4.

（ 2 ）椭圆的标准方程有两种 , 但其中三个参数 a 、 b 、c 总 满足 : a > b > 0 , a2 = b2 + c2 。（ 3 ）椭圆的标准方程中， x2 与 y2 的分母哪一个大，则焦

点就在哪一个轴上。

(1) (1) 平面内到两个定点的距离的和（平面内到两个定点的距离的和（ 2a2a ）等于定长）等于定长（大 于（大 于 |F|F11FF22 | | ）的点的轨迹叫椭圆。）的点的轨迹叫椭圆。

aMFMF 221 (2a>2c)

小 结

2007 、 3 、 14

再见再见