Теория сложности доказательств, осень 2010: Системы...
TRANSCRIPT
Сложность пропозициональных доказательств
Эдуард Алексеевич Гирш
http://logic.pdmi.ras.ru/~hirsch
ПОМИ РАН
23 сентября 2010 г.
1 / 6
Полиномиальное моделирование
Определение
Пусть S ,W — системы для одного и того же языка L.S моделирует W (пишем S≤W ) ⇐⇒
S-док-ва — не длиннее W -док-в (с точностью до полинома p):∀F ∈ L |кратчайшее S-док-во для F | ≤ p(|кратчайшее W -док-во для F |).
2 / 6
Полиномиальное моделирование
Определение
Пусть S ,W — системы для одного и того же языка L.S моделирует W (пишем S≤W ) ⇐⇒
S-док-ва — не длиннее W -док-в (с точностью до полинома p):∀F ∈ L |кратчайшее S-док-во для F | ≤ p(|кратчайшее W -док-во для F |).
S строго моделирует W (пишем S<W ), если ещё и W 6≤ S .Например, CP (секущие плоскости) < Res (метод резолюций).
2 / 6
Полиномиальное моделирование
Определение
Пусть S ,W — системы для одного и того же языка L.S моделирует W (пишем S≤W ) ⇐⇒
S-док-ва — не длиннее W -док-в (с точностью до полинома p):∀F ∈ L |кратчайшее S-док-во для F | ≤ p(|кратчайшее W -док-во для F |).
S строго моделирует W (пишем S<W ), если ещё и W 6≤ S .Например, CP (секущие плоскости) < Res (метод резолюций).
Определение
p-моделирование (≤p) — конструктивная версия:за полиномиальное время можно трансформироватьW -доказательство размера w в S-доказательство размера p(w).
2 / 6
Полиномиальное моделирование
Определение
Пусть S ,W — системы для одного и того же языка L.S моделирует W (пишем S≤W ) ⇐⇒
S-док-ва — не длиннее W -док-в (с точностью до полинома p):∀F ∈ L |кратчайшее S-док-во для F | ≤ p(|кратчайшее W -док-во для F |).
S строго моделирует W (пишем S<W ), если ещё и W 6≤ S .Например, CP (секущие плоскости) < Res (метод резолюций).
Определение
p-моделирование (≤p) — конструктивная версия:за полиномиальное время можно трансформироватьW -доказательство размера w в S-доказательство размера p(w).
Определение
(p-)оптимальная система док-в — наименьший элемент для ≤ (≤p). 2 / 6
Системы ФрегеОпределение
Системой Фреге называется система, состоящая из корректных правил вида
F1 F2 . . . Fk
G,
I Fi ,G — формулы логики высказываний,I в качестве переменных можно подставлять произвольные формулы с
выбранным множеством операций (“базисом”),I вывод начинается с аксиом (где k = 0),I новые формулы выводятся (`) правилами из ранее выведенных.
Пример
P ⊃ (Q ⊃ P),
(¬Q ⊃ ¬P) ⊃ ((¬Q ⊃ P) ⊃ Q),
P P ⊃ QQ
,(P ⊃ (Q ⊃ R)) ⊃ ((P ⊃ Q) ⊃ (P ⊃ R))
.
3 / 6
Системы ФрегеЭквивалентность
Система полна, если F ∈ L =⇒ ∃ док-во F .
4 / 6
Системы ФрегеЭквивалентность
Система Фреге полна, если F ∈ L =⇒ `∗ F .Система Фреге импликативно полна, если ∀̃(F ⊃ G ) =⇒ F `∗ G .
4 / 6
Системы ФрегеЭквивалентность
Система Фреге полна, если F ∈ L =⇒ `∗ F .Система Фреге импликативно полна, если ∀̃(F ⊃ G ) =⇒ F `∗ G .
Теорема
Все корректные полные импликативно полные системы Фрегеполиномиально p-эквивалентны (т.е. p-моделируют друг друга).
I Док-во для одинаковых базисов: промоделируем каждое правило.I При смене базиса глубокие формулы могут вырасти!I Непрямой перевод:
F = T [G � H],
F ′ = ((G � H) ∧ T [1]) ∨ (¬(G � H) ∧ T [0]).
Ясно, что собственно операции переводятся на нижнем уровне,а уровней получается O(log . . .).
I Остаётся научиться работать с таким представлением.
4 / 6
Системы ФрегеЭквивалентность
Система Фреге полна, если F ∈ L =⇒ `∗ F .Система Фреге импликативно полна, если ∀̃(F ⊃ G ) =⇒ F `∗ G .
Теорема
Все корректные полные импликативно полные системы Фрегеполиномиально p-эквивалентны (т.е. p-моделируют друг друга).
I Док-во для одинаковых базисов: промоделируем каждое правило.
I При смене базиса глубокие формулы могут вырасти!I Непрямой перевод:
F = T [G � H],
F ′ = ((G � H) ∧ T [1]) ∨ (¬(G � H) ∧ T [0]).
Ясно, что собственно операции переводятся на нижнем уровне,а уровней получается O(log . . .).
I Остаётся научиться работать с таким представлением.
4 / 6
Системы ФрегеЭквивалентность
Система Фреге полна, если F ∈ L =⇒ `∗ F .Система Фреге импликативно полна, если ∀̃(F ⊃ G ) =⇒ F `∗ G .
Теорема
Все корректные полные импликативно полные системы Фрегеполиномиально p-эквивалентны (т.е. p-моделируют друг друга).
I Док-во для одинаковых базисов: промоделируем каждое правило.I При смене базиса глубокие формулы могут вырасти!
I Непрямой перевод:F = T [G � H],
F ′ = ((G � H) ∧ T [1]) ∨ (¬(G � H) ∧ T [0]).
Ясно, что собственно операции переводятся на нижнем уровне,а уровней получается O(log . . .).
I Остаётся научиться работать с таким представлением.
4 / 6
Системы ФрегеЭквивалентность
Система Фреге полна, если F ∈ L =⇒ `∗ F .Система Фреге импликативно полна, если ∀̃(F ⊃ G ) =⇒ F `∗ G .
Теорема
Все корректные полные импликативно полные системы Фрегеполиномиально p-эквивалентны (т.е. p-моделируют друг друга).
I Док-во для одинаковых базисов: промоделируем каждое правило.I При смене базиса глубокие формулы могут вырасти!I Непрямой перевод:
F = T [G � H],
F ′ = ((G � H) ∧ T [1]) ∨ (¬(G � H) ∧ T [0]).
Ясно, что собственно операции переводятся на нижнем уровне,а уровней получается O(log . . .).
I Остаётся научиться работать с таким представлением.
4 / 6
Системы ФрегеЭквивалентность
Система Фреге полна, если F ∈ L =⇒ `∗ F .Система Фреге импликативно полна, если ∀̃(F ⊃ G ) =⇒ F `∗ G .
Теорема
Все корректные полные импликативно полные системы Фрегеполиномиально p-эквивалентны (т.е. p-моделируют друг друга).
I Док-во для одинаковых базисов: промоделируем каждое правило.I При смене базиса глубокие формулы могут вырасти!I Непрямой перевод:
F = T [G � H],
F ′ = ((G � H) ∧ T [1]) ∨ (¬(G � H) ∧ T [0]).
Ясно, что собственно операции переводятся на нижнем уровне,а уровней получается O(log . . .).
I Остаётся научиться работать с таким представлением.
4 / 6
Секвенциальное (генценовское) исчисление
I Секвенция F1, . . . ,Fk→G1, . . . ,Gl
I Смысл:∧i
Fi ⊃∨j
Gj .
I Аксиомы F →F , ослаблениеΓ→∆
F , Γ→G ,∆.
I Правила введения ∧, ∨, ¬:Γ→F ,∆
Γ→F ∨ G ,∆,
F , Γ→∆ G , Γ→∆
F ∨ G , Γ→∆,
F , Γ→∆
Γ→¬F ,∆,
F , Γ→∆
F ∧ G , Γ→∆,
Γ→F ,∆
¬F , Γ→∆.
I Правило сечения: F , Γ→∆ Γ→F ,∆
Γ→∆.
I Эквивалентны системам Фреге.I Сечение важно для длины вывода, но не для полноты.I Доказательство от противного очевидно преобразуется в прямое.
5 / 6
Секвенциальное (генценовское) исчисление
I Секвенция F1, . . . ,Fk→G1, . . . ,Gl (списки как множества!).I Смысл:
∧i
Fi ⊃∨j
Gj .
I Аксиомы F →F , ослаблениеΓ→∆
F , Γ→G ,∆.
I Правила введения ∧, ∨, ¬:Γ→F ,∆
Γ→F ∨ G ,∆,
F , Γ→∆ G , Γ→∆
F ∨ G , Γ→∆,
F , Γ→∆
Γ→¬F ,∆,
F , Γ→∆
F ∧ G , Γ→∆,
Γ→F ,∆ Γ→G ,∆
Γ→F ∧ G ,∆,
Γ→F ,∆
¬F , Γ→∆.
I Правило сечения: F , Γ→∆ Γ→F ,∆
Γ→∆.
I Эквивалентны системам Фреге.I Сечение важно для длины вывода, но не для полноты.I Доказательство от противного очевидно преобразуется в прямое.
5 / 6
Секвенциальное (генценовское) исчисление
I Секвенция F1, . . . ,Fk→G1, . . . ,Gl (списки как множества!).I Смысл:
∧i
Fi ⊃∨j
Gj .
I Аксиомы F →F , ослаблениеΓ→∆
F , Γ→G ,∆.
I Правила введения ∧, ∨, ¬:Γ→F ,∆
Γ→F ∨ G ,∆,
F , Γ→∆ G , Γ→∆
F ∨ G , Γ→∆,
F , Γ→∆
Γ→¬F ,∆,
F , Γ→∆
F ∧ G , Γ→∆,
Γ→F ,∆ Γ→G ,∆
Γ→F ∧ G ,∆,
Γ→F ,∆
¬F , Γ→∆.
I Правило сечения: F , Γ→∆ Γ→F ,∆
Γ→∆.
I Эквивалентны системам Фреге.I Сечение важно для длины вывода, но не для полноты.I Доказательство от противного очевидно преобразуется в прямое.
5 / 6
Секвенциальное (генценовское) исчисление
I Секвенция F1, . . . ,Fk→G1, . . . ,Gl (списки как множества!).I Смысл:
∧i
Fi ⊃∨j
Gj .
I Аксиомы F →F , ослаблениеΓ→∆
F , Γ→G ,∆.
I Правила введения ∧, ∨, ¬:Γ→F ,∆
Γ→F ∨ G ,∆,
F , Γ→∆ G , Γ→∆
F ∨ G , Γ→∆,
F , Γ→∆
Γ→¬F ,∆,
F , Γ→∆
F ∧ G , Γ→∆,
Γ→F ,∆ Γ→G ,∆
Γ→F ∧ G ,∆,
Γ→F ,∆
¬F , Γ→∆.
I Правило сечения: F , Γ→∆ Γ→F ,∆
Γ→∆.
I Эквивалентны системам Фреге.I Сечение важно для длины вывода, но не для полноты.
I Доказательство от противного очевидно преобразуется в прямое.
5 / 6
Секвенциальное (генценовское) исчисление
I Секвенция F1, . . . ,Fk→G1, . . . ,Gl (списки как множества!).I Смысл:
∧i
Fi ⊃∨j
Gj .
I Аксиомы F →F , ослаблениеΓ→∆
F , Γ→G ,∆.
I Правила введения ∧, ∨, ¬:Γ→F ,∆
Γ→F ∨ G ,∆,
F , Γ→∆ G , Γ→∆
F ∨ G , Γ→∆,
F , Γ→∆
Γ→¬F ,∆,
F , Γ→∆
F ∧ G , Γ→∆,
Γ→F ,∆ Γ→G ,∆
Γ→F ∧ G ,∆,
Γ→F ,∆
¬F , Γ→∆.
I Правило сечения: F , Γ→∆ Γ→F ,∆
Γ→∆.
I Эквивалентны системам Фреге.I Сечение важно для длины вывода, но не для полноты.I Доказательство от противного очевидно преобразуется в прямое.5 / 6
Правило расширения
Разрешим вводить новые переменные: аксиома x ≡ F .
Фреге с правилом расширения ≡ резолюции с правилом расширения!(Для резолюции: аксиомы (¬x ∨ a1 ∨ . . . ∨ ak) и (¬a1 ∨ x), . . . , (¬ak ∨ x).)
6 / 6
Правило расширения
Разрешим вводить новые переменные: аксиома x ≡ F .
Фреге с правилом расширения ≡ резолюции с правилом расширения!(Для резолюции: аксиомы (¬x ∨ a1 ∨ . . . ∨ ak) и (¬a1 ∨ x), . . . , (¬ak ∨ x).)
Короткое доказательство принципа Дирихле:
доказываем по индукции (n + 1→ n→ . . .), вводя новые переменные,очередное m-е отображение селит m кроликов в m − 1 клеток;тех, кто сидел, как надо (j < m), оставляем;в клетку, где был (m + 1)-й, селим того, кто сидел в m-й клетке:
6 / 6
Правило расширения
Разрешим вводить новые переменные: аксиома x ≡ F .
Фреге с правилом расширения ≡ резолюции с правилом расширения!(Для резолюции: аксиомы (¬x ∨ a1 ∨ . . . ∨ ak) и (¬a1 ∨ x), . . . , (¬ak ∨ x).)
Короткое доказательство принципа Дирихле:
доказываем по индукции (n + 1→ n→ . . .), вводя новые переменные,очередное m-е отображение селит m кроликов в m − 1 клеток;тех, кто сидел, как надо (j < m), оставляем;в клетку, где был (m + 1)-й, селим того, кто сидел в m-й клетке:
q(m)i , j ≡ q(m+1)
i , j ∨ (q(m+1)m+1, j ∧ q(m+1)
i ,m ),
q(n+1)i , j ≡ pi , j .
6 / 6