Введение в комбинаторику слов, осень 2011: Слова Штурма

Слова Штурма

Анна (Эдуардовна) Фрид

ИМ им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск[email protected]

Лекция 3, 16.10.2011

Лекция 3 Слова Штурма 1/32

Источник

Опять пользуемся книгой

M. Lothaire, Algebraic Combinatorics on Words. Cambridge Univ. Press,2002.

Глава 2, Sturmian words (J. Berstel, P. Seebold)Книга полностью выложена в сеть



Слова Штурма допускают множество эквивалентных определений, изкоторых основные следующие:

Непериодические слова с минимальной комбинаторнойсложностью.Непериодические уравновешенные слова.Слова, кодирующие траекторию прямой с иррациональнымнаклоном.Слова, кодируемые иррациональным вращением.Слова, возникающие как коды прямоугольных бильярдов.




Непериодические слова с минимальной комбинаторнойсложностью.

Непериодические уравновешенные слова.Слова, кодирующие траекторию прямой с иррациональнымнаклоном.Слова, кодируемые иррациональным вращением.Слова, возникающие как коды прямоугольных бильярдов.




Непериодические слова с минимальной комбинаторнойсложностью.Непериодические уравновешенные слова.

Слова, кодирующие траекторию прямой с иррациональнымнаклоном.Слова, кодируемые иррациональным вращением.Слова, возникающие как коды прямоугольных бильярдов.




Непериодические слова с минимальной комбинаторнойсложностью.Непериодические уравновешенные слова.Слова, кодирующие траекторию прямой с иррациональнымнаклоном.

Слова, кодируемые иррациональным вращением.Слова, возникающие как коды прямоугольных бильярдов.




Непериодические слова с минимальной комбинаторнойсложностью.Непериодические уравновешенные слова.Слова, кодирующие траекторию прямой с иррациональнымнаклоном.Слова, кодируемые иррациональным вращением.

Слова, возникающие как коды прямоугольных бильярдов.




Непериодические слова с минимальной комбинаторнойсложностью.Непериодические уравновешенные слова.Слова, кодирующие траекторию прямой с иррациональнымнаклоном.Слова, кодируемые иррациональным вращением.Слова, возникающие как коды прямоугольных бильярдов.


Комбинаторная сложность

ОпределениеКомбинаторной сложностью бесконечного слова w называетсяфункция pw (n), равная числу его подслов длины n.

ExampleВ слове Туэ-Морса

0110 1001 1001 0110 1001 0110 0110 1001 · · ·

не встречаются слова 000 и 111, поэтому pTM(3) = 6.


Свойства функции сложности

Напомним, что слово (со временем) периодическое, если имеет видuvvvvvv · · · .

Для любого бесконечного слова над алфавитом мощности q

1 ≤ pw (n) ≤ qn;Функция pw (n) не убывает;Функция pw (n) ограничена тогда и только тогда, когда слово w современем периодично.





1 ≤ pw (n) ≤ qn;

Функция pw (n) не убывает;Функция pw (n) ограничена тогда и только тогда, когда слово w современем периодично.





1 ≤ pw (n) ≤ qn;Функция pw (n) не убывает;

Функция pw (n) ограничена тогда и только тогда, когда слово w современем периодично.





1 ≤ pw (n) ≤ qn;Функция pw (n) не убывает;Функция pw (n) ограничена тогда и только тогда, когда слово w современем периодично.


Лемма Морса-Хедлунда и первое определение

LemmaСледующие утверждения эквивалентны:

Слово w не является со временем периодическим;pw (n) ≥ n + 1.

DefinitionСлово w называется словом Штурма, если pw (n) = n + 1 для всех n.


Пример: слово Фибоначчи

Example

ϕ(0) = 01, ϕ(1) = 0

0→ 01→ 01 0→ 010 01→ 01001 010→ 01001010 01001→ · · ·

Предел: слово Фибоначчи

ϕ∞(a) = 0100101001001010010100100101001001 · · ·

LemmaСлово Фибоначчи является словом Штурма.


Уравновешенные слова

Напомним, что |x | — длина слова x , а |x |1 — количество единиц вслове x .

Обозначим δ(x , y) = ||x |1 − |y |1|.

DefinitionБесконечное слово называется уравновешенным, если для любых егодвух подслов x и y одинаковой длины верно неравенство

δ(x , y) = ||x |1 − |y |1| ≤ 1.


Уравновешенные слова

Напомним, что |x | — длина слова x , а |x |1 — количество единиц вслове x .Обозначим δ(x , y) = ||x |1 − |y |1|.

DefinitionБесконечное слово называется уравновешенным, если для любых егодвух подслов x и y одинаковой длины верно неравенство

δ(x , y) = ||x |1 − |y |1| ≤ 1.


Второе определение

LemmaПусть x бесконечное слово. Следующие условия эквивалентны:

x — слово Штурма;x — уравновешенное непериодичное слово.

Схема доказательства.1 В уравновешенном множестве слов длины n не более n + 1

элемента.2 Множество F неуравновешено и замкнуто относительно взятия

подслов ⇐⇒ существует палиндром w | 0w0, 1w1 ∈ F .






элемента.

2 Множество F неуравновешено и замкнуто относительно взятияподслов ⇐⇒ существует палиндром w | 0w0, 1w1 ∈ F .






элемента.2 Множество F неуравновешено и замкнуто относительно взятия

подслов ⇐⇒ существует палиндром w | 0w0, 1w1 ∈ F .


Наклон слова

DefinitionНаклон конечного слова x над алфавитом {0, 1} — это число |x |1/|x |.

Наклон бесконечного слова w над алфавитом {0, 1} — это предел

π(w) = limn→∞

|wn|1n

, где wn — префикс длины n слова w .

LemmaУ каждого уравновешенного бесконечного слова есть наклон.

LemmaУравновешенное слово периодично тогда и только тогда, когда егонаклон рационален.


Наклон слова

DefinitionНаклон конечного слова x над алфавитом {0, 1} — это число |x |1/|x |.Наклон бесконечного слова w над алфавитом {0, 1} — это предел

π(w) = limn→∞

|wn|1n

, где wn — префикс длины n слова w .

LemmaУ каждого уравновешенного бесконечного слова есть наклон.

LemmaУравновешенное слово периодично тогда и только тогда, когда егонаклон рационален.


Пример

Example

01001 01001 01001 01001 · · ·

периодическое уравновешенное слово с наклоном 2/5.


Наклон слова Фибоначчи

Example

ϕ(0) = 01, ϕ(1) = 0

0→ 01→ 01 0→ 010 01→ 01001 010→ 01001010 01001→ · · ·

ϕ∞(a) = 0 1 0 01 010 01001 01001010 0100101001001 · · ·

π(w) = limn→∞

|ϕn(a)|1|ϕn(a)|

= limn→∞

Fn−2

Fn=

1

τ2,

где τ = (1 +√

5)/2,

π(w) =1

τ2= 0, 38 · · · .


Механические слова

y = σx + ρ, 0 ≤ σ, ρ < 1.

1 0 1 0 0 1 0 1 0 1

w = w1w2 · · ·

wn = bnσ + ρc − b(n − 1)σ + ρc.


Тонкость

?1 0

0 1

wn = bnσ + ρc − b(n − 1)σ + ρc.

или

wn = dnσ + ρe − d(n − 1)σ + ρe.


Формальное определение

DefinitionБесконечное слово w = w1w2 · · · над алфавитом {0, 1} называетсямеханическим, если для всех n > 0 верно одно из двух: либо

wn = bnσ + ρc − b(n − 1)σ + ρc,

либоwn = dnσ + ρe − d(n − 1)σ + ρe.


Три эквивалентных определения

TheoremДля слова x над алфавитом {0, 1} следующие условия эквивалентны:

px(n) = n + 1 ∀n;x — уравновешенное непериодичное слово;x — механическое слово с иррациональным наклоном σ.

В случае выполнения любого из этих условий слово x называетсясловом Штурма.


Механические слова и вращения

σ

0=1

ρ



σ

0=1

ρ

ρ+σ

w = 1 · · ·



0=1

σ

ρ

ρ+σρ+2σ

w = 10 · · ·



0=1

σ

ρ

ρ+σρ+2σ

ρ+3σ

ρ+4σ

ρ+5σ

w = 10001 · · ·


Сложность механических слов

w1 = 1⇐⇒ 1− σ < ρ < 1

−σ

0=1

2 интервала, в каком ρ — такой и первый символpw (1) = 2


Сложность механических слов

wk = 1⇐⇒ −(k − 1)σ < ρ < −kσ

−σ

0=1

−2σ

−κσ−3σ

k + 1 интервалов, в каком ρ — такой и префикс длины kpw (k) = k + 1.


Еще одно определение

00 0 0 0 0 01 111111


Бильярды

0

0

1

0

1

0

010001 · · ·


Это тоже слова Штурма

0

0

1

0

1

0

010001 · · ·


Свойства слов Штурма

LemmaНи одно слово Штурма не является автоматным.

У слов Штурма частота символов иррациональна (и равнанаклону), а у автоматных — рациональна.



LemmaМножество подслов слова Штурма зависит только от его наклона.

Значит, для многих рассуждений можно считать, что ρ = 0 или —даже лучше — ρ = σ. Такие слова Штурма называютсяхарактеристическими.



LemmaХарактеристическое слово Штурма cσ с наклоном σ можно построить,используя разложение наклона σ в цепную дробь.

Подробности. Пусть

σ =1

m1 + 1 +1

m2 +1

m3 +1

m4 + · · ·

= [0,m1 + 1,m2,m3, · · · ].

Тогда cσ = limn→∞ sn, где

s−1 = 1, s0 = 0, sn = smnn−1sn−2.


Пример: слово Фибоначчи

Наклон слова Фибоначчи равен

1

τ2= [0, 2, 1, 1, 1, 1, · · · ], где τ =

1 +√

5

2.

s−1 = 1

s0 = 0

s1 = 01

s2 = 01 0

s3 = 010 01

s4 = 01001 010

Это действительно слово Фибоначчи.


Ограниченность степеней

CorollaryСлово Штурма избегает достаточно больших степеней тогда и толькотогда, когда числа mn в разложении σ = [0,m1 + 1,m2,m3 · · · ]ограничены.


Штурмовские неподвижные точки морфизмов

TheoremХарактеристическое слово Штурма с наклоном σ являетсянеподвижной точкой морфизма тогда и только тогда, когда

σ = [0, 1, a0, a1, . . . , ak ], где ak ≥ a0

илиσ = [0, 1 + a0, a1, . . . , ak ], где ak ≥ a0 ≥ 1.

ЗамечаниеВсе такие числа — квадратические иррациональные. Число σ(0 < σ < 1) дает штурмовскую неподвижную точку морфизма тогда итолько тогда, когда 1/σ < 1.


После перерыва

Количество всех слов Штурма.Вращательные слова.Перекладывание отрезков.


Введение в комбинаторику слов, осень 2011: Слова Штурма

Documents