Імовірнісні основи обробки даних · 2015. 9. 25. · Рисунок...

Міністерство освіти і науки України

Запорізька державна інженерна академія

С.І. Павлик

А.С. Сечин

Імовірнісні основи обробки даних

Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт

для студентів спеціальності 6.050801

«Мікро- та наноелектроніка»

Запоріжжя

2010

Міністерство освіти і науки України

Запорізька державна інженерна академія

С.І. Павлик

А.С. Сечин

Імовірнісні основи обробки даних

Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт

для студентів спеціальності 6.050801

«Мікро- та наноелектроніка»

Рекомендовано до видання

на засіданні кафедри ФБМЕ

протокол №10 від 24.12.2010

Запоріжжя

2010

Імовірнісні основи обробки даних. Методичні вказівки до виконання ла-

бораторних робіт для студентів спеціальності 6.050801 «Мікро- та наноелект-

роніка» / Укл.: С.І. Павлик, А.С. Сечин -Запоріжжя: ЗДІА, 2010. – 52с.

Методичні вказівки призначені для студентів спеціальності 6.050801 «Мікро-

та наноелектроніка», які виконують лабораторні роботи по курсу «Імовірнісні

основи обробки даних». Вказівки містять теоретичні відомості, приклади вико-

нання з використанням Excel, завдання.

Укладачі: Павлик Сергій Ігорович – доцент,

Сечин Андрій Сергійович – аспірант

Відповідальний за випуск: завідувач кафедрою ФБМЕ

професор Швець Є.Я.

Зміст

Вступ…………………………………………..………………………………..4

1. Лабораторна робота № 1. Рішення комбінаторних та імовірнісних

завдань в MS Excel................................................................……………………….5

2. Лабораторна робота № 2. Визначення числових характеристик

випадкової величини в MS Excel…..…………………………..........……………23

3. Лабораторна робота №3. Побудова розподілів випадкових величин

в MS Excel. Біноміальний розподіл………………………………………………34

4. Лабораторна робота № 4. Побудова розподілів випадкових величин в

MS Excel. Нормальний розподіл……………………..…………………………...40

5. Лабораторна робота № 5. Використання електронних таблиць

Excel для побудови вибіркових функцій розподілу…………………..…….......45

Рекомендована література…………………………………………………..…52

4

Вступ

Дисципліна ―Імовірнісні основи обробки даних‖ вивчає різноманітні ме-

тоди обробки експериментальних даних та вимірювань у галузі електронної

техніки із застосуванням імовірнісних методів. Слід зазначити, що теорія імо-

вірностей та математична статистика відігріває важливу роль у виявленні кі-

лькісних закономірностей і якісних тверджень у природничо-наукових,

інженерно-технічних і гуманітарних дослідженнях. Необхідність її вивчення

диктується сучасним рівнем розвитку науки й техніки, коли математика стала

універсальною мовою науки й елементом загальної культури.

Необхідність застосування персональних комп'ютерів у процесі обробки

даних управлінських рішень у наш час стала особливо актуальна. Однак, на

жаль, не всі фахівці володіють простим і доступним навіть непрофесійним

програмістам засобом рішення задач теорії ймовірностей. Це засіб - таблич-

ний процесор Excel. Для успішного рішення задач за допомогою Excel необ-

хідно знати основні ідеї й методи теорії ймовірностей, умови їхнього

застосування. Ціль лабораторного практикуму - допомогти студентам засвоїти

елементи теорії імовірностей і методи пошуку рішень її задач із використан-

ням Excel, що дає можливість оперативно й на сучасному рівні приймати рі-

шення в майбутній діяльності студентів як фахівців.

Курс лабораторних робот виключає розрив між математичною й ком-

п'ютерною підготовкою й забезпечує тісний зв'язок навчання математичним

методам із загально інженерною підготовкою фахівця.

5

Лабораторна робота № 1

«Рішення комбінаторних та імовірнісних завдань в MS Excel»

Мета роботи складається у вивченні й освоєнні практичних можливос-

тей MS Excel для рішення імовірнісних і комбінаторних завдань.

Зміст роботи: послідовне виконання завдань.

Завдання 1. Класичне визначення імовірності

Теоретичні відомості

Імовірність є одним з основних понять теорії імовірностей. Існує кілька

визначень цього поняття. Розглянемо визначення, що називають класичним.

Кожний з можливих результатів випробування, тобто кожну подію, що

може наступити у випробуванні, назвемо елементарним результатом.

Ті елементарні результати, при яких подія, що цікавить нас, наступає,

назвемо сприяючими цій події.

Імовірністю події А називають відношення числа сприяючих цій події

результатів до загальної кількості всіх єдиноможливих і рівноможливих ре-

зультатів випробування.

m

Ð Àn

,

де m – кількість елементарних результатів, що сприяють події A ;

n – кількість всіх можливих елементарних результатів випробування.

Відносною частотою події називають відношення числа випробувань, у

яких подія з'явилася, до загального числа фактично зроблених випробувань.

m

W An

,

де m – кількість появи події;

n – загальна кількість випробувань.

Імовірність обчислюють до випробування, а відносну частоту - після

випробування.

6

Завдання. З використанням засобів пакета MS Excel створити шаблон

для обчислення імовірності (класичне визначення).

Хід виконання завдання

1. Запустити програму для роботи з електронними таблицями (Пуск-

Програми-Microsoft Office-Excel).

Рисунок 1.1 – Інтерфейс програми

2. Зберегти файл у своєму робочому каталозі на диску D (Файл- Збе-

регти як...).

Рисунок 1.2 – Діалогове вікно для збереження файлу

7

3. Змінити назву «Аркуш1» на «Розрахунок імовірності» (правою кноп-

кою мишки на ярличку Аркуша 1, вибрати «Переіменувати»).

4. Встановити курсор миші в комірку А1 і ввести текст «Загальна кіль-

кість результатів випробування».

5. Встановити курсор миші в комірку В1 і ввести текст «Сприятлива кі-

лькість результатів випробування».

6. Встановити курсор миші в комірку С1 і ввести текст «Імовірність».

7. Мишею виділити комірки А1, В1, С1. З контекстного меню викликати

«Формат комірок» і застосувати «Переносити за словами», вирівнювання по

вертикалі - «По середині».

Рисунок 1.3 – Діалогове вікно «Формат комірок»

До заголовків застосувати жирне накреслення шрифту, відцентрувати по

горизонталі.

Після застосування формату комірок аркуш із обчисленням імовірнос-

тей прийме вигляд:

8

Рисунок 1.4 – Вигляд електронної таблиці

8. У комірку А2 ми будемо вводити число, що відповідає загальній кіль-

кості всіх можливих результатів події, а в комірку В2 – кількість результатів,

сприяючих появі результату, що цікавить. Для обчислення імовірності необхід-

но до комірки С2 увести формулу, що, по класичному визначенню імовірності,

буде підраховувати й виводити в цю комірку результат розподілу сприяючої

кількості результатів на загальну кількість. Таким чином, формула у цій комір-

ці повинна бути наступна:

=В1/А1

Зверніть увагу на те, що в результаті введення формули у комірку С2

з'явилось значення #ДЕЛ/0!, що є результатом того, що в А2 і В2 поки значень

не міститься, а отже відбувається ділення на нуль, про що й попереджає про-

грама.

9. Уведіть в комірки А2 і В2 значення, які визначаються з умови наступ-

ного завдання:

Гральний кубик кидається один раз. Яка імовірність того, що на верхній

грані випаде парне число, більше 3-х?

Рішення: Загальне число результатів дорівнює шести, тому що в граль-

ному кубику 6 граней, що відповідають певним числам. Результати, сприятливі

появі події, що цікавить, складаються у випаданні на верхній грані кубика або

четвірки, або шістки. Отже, число сприятливих результатів випробування дорі-

9

внює двом. Тоді електронна таблиця буде мати вигляд:

Рисунок 1.5 – Електронна таблиця після введення вхідних даних завдання

10. Якщо змінити значення в комірках А2 і В2, то й імовірність автома-

тично зміниться в комірці С2, тому що в ній утримується формула, дані якої не

є конкретними числами, а посилаються на значення інших комірок.

11. Щоб зберегти дані розрахунків імовірностей для інших завдань, бу-

демо вводити вихідні дані завдання в наступні рядки таблиці. Тому що форму-

ла для підрахунку імовірності знаходиться у комірці С2, скопіюємо її на

наступні рядки. Для цього лівою кнопкою мишки необхідно нажати на нижній

правий кут комірки та, утримуючи кнопку, тягти вниз до необхідної комірки.

Формула з комірки С2 автоматично скопіюється на наступні рядки, причому

таким чином, що адреси комірок, за значеннями яких будуть робитися обчис-

лення, автоматично зміняться, тому що ми маємо справу з відносною адресаці-

єю.

12. З використанням шаблона вирішити наступні завдання:

1). Монета кинута один раз. Знайти імовірність появи гербу.

2). У коробці 4 синіх і 5 червоних футболок. Навмання витягають одну

футболку. Знайти імовірність того, що вона виявиться синьою.

10

Рисунок 1.6 – Вигляд електронної таблиці при копіюванні формули

Рисунок 1.7 – Вигляд електронної таблиці після копіювання формули

3). Студент вивчив тільки 5 квитків з 20 можливих. Яка імовірність того,

що навмання витягнутий квиток виявиться вивченим?

4). Задумано двозначне число. Знайти імовірність того що задуманим

числом виявиться: а) випадково назване число; б) випадково назване число,

цифри якого різні.

5). В урні знаходиться 6 однакових, ретельно перемішаних куль, причо-

11

му 2 з них - червоні, 3 - сині й 1 - біла. З урни навмання виймають одну кулю.

Яка імовірність того, що витягнута куля: а) червона; б) синя; в) біла?

6). Кинуто гральну кістку. Знайти імовірність того, що на верхній грані

з'явиться:

а) число «2»; б) парне число; в) число «7»; г) не більше 6-и очок.

Завдання 2. Основні формули комбінаторики


Формули комбінаторики становлять теоретичну базу при використан-

ні класичного визначення імовірності, що у прикладних завданнях відіграє важ-

ливу роль.

Залежно від правил складання можна виділити три типи комбінацій:

Перестановки;

Розміщення;

Сполучення.

I. Перестановки

Комбінації з n елементів, які відрізняються друг від друга тільки поряд-

ком елементів, називають перестановками.

Позначаються символом nÐ ;

!nÐ n

Приклад. У змаганні брало участь 4 команди, скільки існує варіантів ро-

зподілити місця між ними.

Рішення. Кількість варіантів розподілу чотирьох команд по місцях дорі-

внює числу перестановок із чотирьох елементів: 244321!44 Р .

Приклад. У ящику п'ять однакових пронумерованих кубиків. Навмання

по одному витягають всі кубики з ящика. Знайти імовірність того, що номера

витягнутих кубиків з'являться в зростаючому порядку.

12

Рішення. Позначимо A подію, що складається в тім, що номера витяг-

нутих кубиків з'являться в зростаючому порядку.

Сприяє події A тільки один результат, 1m (із всіх можливих комбі-

націй номерів тільки одна з порядком зростання номерів).

Загальна кількість можливих результатів – кількість комбінацій з 5 но-

мерів, 12054321!55 Pn .

Шукана імовірність: 120

1

!5

1)( n

mAP .

ІІ. Розміщення

Комбінації з n елементів по k елементів, які відрізняються друг від друга

або самими елементами, або порядком елементів називають розміщеннями.

Позначаються символом k

nА

n - кількість всіх наявних елементів;

k – кількість елементів у кожній комбінації nk .

!!

kn

nAkn

.

Приклад. Скільки існує варіантів розміщення 3-х призових місць, якщо в

розіграші беруть участь 7 команд?

Рішення. Необхідно прорахувати число можливих комбінацій витягну-

тих з 7 елементів і що включають по 3 елемента (причому {I–«Таврія», II–

«Динамо», III–«Спартак»} і { I–«Динамо», II–«Таврія», III–«Спартак»} – різні

комбінації). Використовуємо число розміщень із 7 елементів по 3:

210!4

765!4

!4

!73

7

А .

Приклад. З п'яти карток з буквами О, П, Р, С, Т навмання одну за іншою

вибирають три й розташовують у ряд у порядку появи. Яка імовірність того, що

вийде слово «ТОР»?

13

Рішення. Позначимо A подію, що складається в тім, що вийде слово

«ТОР».

Сприяє події A тільки один результат, 1m (комбінація букв «ТОР»).

Загальна кількість можливих результатів дорівнює числу способів, яки-

ми можна відібрати 3 картки з наявних 5, одержуючи при цьому комбінації

букв що відрізняються або самими буквами (СОР – ТОР), або їхнім порядком

(РОТ – ОРТ). Воно визначається числом розміщень із 5 елементів по 3:

60543!2

543!2

!2

!5

)!35(

!53

5

An .

Шукана імовірність:

60

11)(

3

5

An

mAP .

ІІІ. Сполучення

Сполученнями називають всі можливі комбінації з n елементів по k

елементів, які відрізняються друг від друга принаймні хоча б одним елементом.

Позначаються символом k

nС

n - кількість всіх наявних елементів;

k – кількість елементів у кожній комбінації nk .

!!

!

knk

nС k

n

.

Приклад. Скількома способами можна вибрати 3 студентів, із групи

чисельністю 30 чоловік.

Рішення. Необхідно прорахувати число можливих комбінацій витягну-

тих з 30 елементів що включають по 3 елемента (причому комбінації: {Пархо-

менко, Сергієнко, Божок} і {Сергієнко, Божок, Пархоменко}– однакові

комбінації). Використовуємо число розміщень із 30 елементів по 3:

3

30

30! 30! 27! 28 29 304060

3! 30 3 ! 3! 27! 1 2 3 27!C

14

Приклад. В урні 5 білих і 4 червоних кулі. З урни навмання витягають 3

кулі. Знайти імовірність того, що витягнуті кулі - білі.

Рішення. Позначимо A подію, що складається в тім, що всі 3 кулі бу-

дуть білими.

Усього в урні 945 куль.

Загальне число можливих елементарних исходов випробування дорів-

нює числу способів, якими можна витягти 3 кулі з 9:

84!6321

987!6

!6!3

!9

)!39(!3

!93

9

Cn

Число результатів, що сприяють події A , дорівнює числу способів, яки-

ми можна відібрати 3 білих кулі з наявних 5 білих:

1021!3

54!3

!2!3

!5

)!35(!3

!53

5

Cm .

Шукана імовірність дорівнює:

42

5

84

10)(

3

9

3

5 C

CAP

Приклад. У ящику є 11 однакових куль. Причому 4 з них пофарбовані в

синій колір, а інші білі. Навмання витягають 5 куль. Знайти імовірність того,

що серед них 2 сині.

Рішення. Позначимо A подію, що складається в тім, що серед витягну-

тих 5 куль 2 сині.

Загальні кількість можливих елементарних результатів випробування

дорівнює кількості способів, якими можна витягти 5 куль із 11, тобто

462!65432

1110987!6

!6!5

!11

)!511(!5

!115

11

Cn

Підрахуємо кількість результатів, що сприяють події A : 2 синіх кулі

можна взяти з 3 наявних синіх куль 2

4C способами; при цьому інші 325

15

кулі повинні бути білими, взяти ж 3 білих кулі з наявних 7 можна 3

7C спосо-

бами. Отже, кількість сприятливих результатів дорівнює:

210!34

7654!3

!4!3

!7

22

!4

)!37(!3

!7

)!24(!2

!43

7

2

4

CCm

Шукана імовірність: 77

35

462

210)(

5

11

3

7

2

4

C

CCAP .

У загальному випадку, для розв’язання завдань типу: У партії з N дета-

лей є n стандартних. Навмання відібрані m деталей. Знайти імовірність того, що

серед відібраних деталей рівно k стандартних. Можна використовувати форму-

лу:

k m kC Cn N np mCN

.

З використанням засобів пакета MS Excel реалізувати можливості обчи-

слень за основними формулами комбінаторики (сполучення, розміщення, пере-

становки).

Хід виконання завдання

1. У раніше створеному файлі (при виконанні завдання 1) перейменува-

ти «Аркуш 2» в «Комбінаторика».

2. Сполучення. Довільна k-елементна підмножина даної множини з n

елементів називається сполученням з N елементів по k. Порядок елементів у

сполученні не суттєвий. Приклад типового завдання на сполучення: є 2 черво-

них і 5 жовтих тюльпанів; букет складають із 3-х квіток; скільки різних варіан-

тів складання букета? Тут береться підмножина з 3-х елементів із множини, що

складається з 7-ми елементів, порядок зовсім не важливий.

3. Кількість сполучень можна обчислити за допомогою функції ЧИС-

ЛОКОМБ(n;k), що відноситься до математичних функцій.

4. На відповідному аркуші введіть заголовок в комірку А1 («Сполучен-

ня»).

16

5. В комірку А2 введіть текст «Загальна кількість елементів», в комірку

В2 - «Кількість елементів підмножини», в комірку С2 - «Кількість сполучень».

Рисунок 1.8 – Зовнішній вигляд аркуша електронної таблиці після введення за-

головків

6. Об'єднайте комірки А1, В1 і С1. Для цього виділите відповідні комір-

ки й виберіть пункт «Формат комірок» з меню «Формат», або з контекстного

меню. У вікні, що відкрилося, активуйте пункт «Об'єднання комірок». Натис-

ніть ОК.

7. Змініть формат комірок із заголовками відповідно до попереднього

завдання.

Рисунок 1.9 – Зовнішній вигляд таблиці після форматування заголовків

17

8. В комірку С3 введіть формулу для обчислення сполучень:

=ЧИСЛКОМБ(А3;В3)

Цю формулу ви можете ввести двома способами: або вручну, набравши

її із клавіатури, або з використанням майстра функцій, піктограма для якого

перебуває в рядку формул вікна електронної таблиці.

Рисунок 1.10 – Вигляд електронної таблиці після введення формули

9. Підставте значення, зазначені в прикладі вище, для обчислення кіль-

кості сполучень.

Рисунок 1.11 – Вигляд електронної таблиці після введення значень

18

10. Скопіюйте дану формулу на 10 рядків нижче.


11. Розміщення. Різні впорядковані k-елементні підмножини множини з

n елементів називаються розміщеннями з n елементів по k. Розміщення відріз-

няються один від одного або елементами, або їхніми порядками проходження.

Приклад типового завдання на обчислення розміщень: у групі 5 дівчин і 8 юна-

ків. Для представництва цієї групи на конференції вибирають 4 людини, яким

привласнюються номери для виступу на даній конференції. Скільки різних ва-

ріантів складання такої групи можна побудувати? У даному завданні буде мі-

нятися як склад підмножини, так і порядок елементів даної підмножини. Тому

застосовується формула для обчислення розміщень.

12. Обчислення розміщень засобами MS Excel можна реалізувати із за-

стосуванням функції ПЕРЕСТ(n;k), де n– кількість елементів ісходної множи-

ни, а k – кількість елементів обраної підмножини.

13. Виділіть в аркуші «Комбінаторика» діапазон комірок А1:С2. Скопі-

юйте їхній зміст у буфер (або сполученням клавіш Ctrl+C, або Виправлення -

Копіювати).

14. Встановіть курсив миші в комірку Е1. Вставте вміст буфера (сполу-

19

чення клавіш Ctrl+V або Виправлення - Вставити).

15. Замініть текст комірки Е1 на «розміщення», а текст комірки G2 - на

«Число розміщень».

16. До комірки G3 введіть функцію для обчислення розміщень.

17. Вирішіть задачу, зазначену як типову в даному завданні.

Рисунок 1.13 – Вигляд електронної таблиці після введення формули і

значень із приклада

18. Скопіюйте формулу на 10 комірок вниз.


20

19. Перестановки. Різні впорядковані множини, які відрізняються лише

порядком елементів, тобто можуть бути отримані з тої ж самої множини перес-

тановкою місцями елементів, називаються перестановками цієї множини.

Приклад типового завдання на обчислення перестановок: скільки способів іс-

нує для того, щоб розставити 5 різних книг на книжковій полиці? Важливий

порядок, кількість елементів зберігається, значить - перестановка. Це окремий

випадок розміщень.

20. Обчислення перестановок можна виконати з використанням тої ж

функції ПЕРЕСТ(n;n). Помітьте, що обидва параметри у цієї функції в цьому

випадку будуть посилатися на ту саму комірку, тому що кількість елементів

зберігається.

21. В осередок I1 введіть текст «Перестановки», об'єднайте її з коміркою

J1.

22. В комірки I2 і J2 введіть текст «Кількість елементів» і «Кількість пе-

рестановок», відповідно.

23. Отформатуйте дані заголовки.

24. В комірку J3 введіть формулу для обчислення перестановок.

25. Розв’яжіть типове завдання, зазначене вище.

26. Скопіюйте формулу на 10 рядків нижче.

Рисунок 1.15 – Вигляд електронної таблиці після створення шаблона для

обчислення перестановок

21

27. Самостійно з використанням цього шаблона вирішите наступні

комбінаторні завдання (для обчислень можна використовувати вільні комірки,

якщо явно в умові завдання не зазначена кількість елементів множини й обира-

ної підмножини):

1. Скількома способами можуть вісім чоловік стати в чергу до театраль-

ної каси?

2. У магазині "Усе для чаю'' є 5 різних чашок і 3 різні блюдця. Скількома

способами можна купити чашку із блюдцем?

3. В автомашині 7 місць. Скількома способами сім чоловік можуть сісти

в цю машину, якщо зайняти місце водія можуть тільки троє з них?

4. Скільки слів можна утворити з букв слова фрагмент, якщо слова по-

винні складатися: (а) з восьми букв, (б) із семи букв, (в) із трьох букв?

5. Скільки існує різних автомобільних номерів, які складаються з п'яти

цифр, а) якщо перша з них не дорівнює нулю; б) якщо номер складається з од-

нієї букви латинського алфавіту, за котрою ідуть чотири цифри, відмінні від

нуля?

6. Алфавіт деякої мови містить 30 букв. Скільки існує слів іх шести лі-

тер (ланцюжок букв від пробілу), складених з букв цього алфавіту, якщо: (а) лі-

тери в словах не повторюються? (б) букви в словах можуть повторюватися?

7. Скількома способами можна розставити на полці сім книг, якщо (а)

дві певні книги повинні завжди стояти поруч,(б) ці дві книги не повинні стояти

поруч?

8. Скількома способами з восьми чоловік можна обрати комісію, що

складається з п'яти членів?

9. Скількома способами можна відібрати кілька фруктів із семи яблук,

чотирьох лимонів і дев'яти апельсинів? (Ми вважаємо, що фрукти одного виду

нерозрізнені.)

10. Скільки слів із 5 літер, кожне з яких складається із трьох приголос-

них і двох голосних, можна утворити з букв слова рівняння?

22

Контрольні питання

1. Яке програмне забезпечення (ПЗ) для роботи з електронними табли-

цями (ЕТ) вам відомо? Які основні функції виконує ПЗ для роботи з ЕТ?

2. Які адреси мають комірки ЕТ?

3. Яким чином можна додати формулу для обчислень в ЕТ? Де можна

вводити формулу?

4. Як можна викликати попередньо встановлений список стандартних

формул програми?

5. Які функції існують для обчислень максимуму й мінімуму в ЭТ?

6. Які функції існують для обчислення середнього значення в ЭТ?

7. Як здійснюється копіювання значень комірки в інші комірки?

8. Чим відрізняються абсолютна й відносна адресації комірок у форму-

лах? Привести приклади використання.

9. Як знайти суму значень яких-небудь комірок?

10. Введіть формули (математичні, НЕ електронних таблиць) для обчис-

лення сполучень, розміщень і перестановок з використанням засобу Equation у

складі пакета MS Word. Поясніть значення даних формул.

11. Наведіть приклади, у яких використовуються формули на обчислен-

ня сполучень, розміщень і перестановок.

12. Що значить «правило добутку» у комбінаториці? Приведіть прикла-

ди.

13. Дайте класичне визначення імовірності.

14. Що таке умовна імовірність?

15. Для чого застосовується формула Байеса? Приведіть приклади.

16. Для чого застосовується формула Бернуллі? Приведіть приклади.

17. Що значить «повна імовірність»? Як її розрахувати?

23


«Визначення числових характеристик випадкової величини в MS Excel»

Мета роботи: навчитися обчислювати числові характеристики випад-

кової величини.

Завдання роботи:

- вміти знаходити математичне очікування дискретної випадкової вели-

чини за допомогою Excel;

- вміти знаходити дисперсію дискретної випадкової величини;

- вміти знаходити середньоквадратичне відхилення дискретної випадко-

вої величини за допомогою Excel;

- вміти знаходити математичне очікування, дисперсію, моду, медіану,

середньоквадратичне відхилення безперервної випадкової величини.


Дискретною називають випадкову величину, можливі значення якої є

ізольовані числа, які ця величина приймає з певними імовірностями.

Законом розподілу дискретної випадкової величини називають перелік

її можливих значень і відповідних їм імовірностей. Закон розподілу дискретної

випадкової величини Х може бути заданий у вигляді таблиці, перший рядок

якої містить можливі значення iх , а друга імовірності ip :

X 1x 2x ... nx

P 1p 2p ... np

де 11

n

i

ip .

Закон розподілу дискретної випадкової величини Х можна зобразити

графічно, для чого будують прямокутну систему координат, причому по осі аб-

24

сцис відкладають можливі значення iх , а по осі ординат – відповідні значення

імовірності ip . Будують крапки );(),...,;(),;( 222111 ппп рхМрхМрхМ й з'єд-

нують їхніми відрізками прямих. Отриману фігуру називають багатокутником

розподілу.

Математичним очікуванням дискретної випадкової величини Х на-

зивають суму добутків всіх її можливих значень на їхній імовірності:

....)( 2211

1

nn

n

i

ii pxpxpxpxХМ

Математичне очікування служить характеристикою середнього значення

випадкової величини.

Дисперсією випадкової величини Х називають математичне очікування

квадрата відхилення:

.)]([)( 2XMXMXD

Обчислювати дисперсію зручно по формулі:

.)]([)()( 22 XMXMXD

Середнім квадратическим відхиленням випадкової величини Х нази-

вають квадратний корінь із дисперсії:

.)()( XDX

Дисперсія й середнє квадратическое відхилення служать характеристи-

ками розсіювання можливих значень випадкової величини навколо математич-

ного очікування.

Приклад. Знайти математичне очікування )(ХМ , дисперсію )(XD й

середнє квадратическое відхилення )(X дискретної випадкової величини

Х , закон розподілу якої заданий у вигляді таблиці:

Х 2 2 3 4 7

Р 3.0 1.0 2.0 3.0 1.0

25

Рішення. Математичне очікування дорівнює сумі добутків всіх можли-

вих значень Х на їхній імовірності:

1.21.073.042.031.023.02)( ХМ .

Для обчислення дисперсії скористаємося формулою:

.)]([)()( 22 XMXMXD

Складемо закон розподілу 2Х :

2Х 4 4 9 16 49

Р 3.0 1.0 2.0 3.0 1.0

Знайдемо математичне очікування 2Х :

1.131.0493.0162.091.043.04)( 2 ХМ .

Підставивши у формулу для обчислення дисперсії )( 2ХМ та )(ХМ

знайдене раніше, одержимо:

69.841.41.13)]([)()( 22 XMXMXD .

Знайдемо шукане середнє квадратическое відхилення:

948.269.8)()( XDX .

Початковим моментом порядку k випадкової величини Х називають

математичне очікування величини kX :

)( k

k XM .

Зокрема, )(),( 2

21 XMXM .

Центральним моментом порядку k випадкової величини Х називають

математичне очікування величини kXMX )]([ :

]))([( k

k XMXM .

Зокрема, )(]))([(,0)]([ 2

21 XDXMXMXMXM .

26

Центральні моменти доцільно обчислювати, використовуючи формули,

що виражають центральні моменти через початкові:

.23

,

3

12133

2

122

Приклад. Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу:

Х 1 2 3 4 5

Р 1.0 3.0 2.0 3.0 1.0

Знайти початкові й центральні моменти першого, другого та третього

порядків.

Рішення. Знайдемо початковий момент першого порядку:

31.053.042.033.021.01)(1 ХМ .

Складемо закон розподілу величини 2Х :

2Х 1 4 9 16 25

Р 1.0 3.0 2.0 3.0 1.0

Знайдемо початковий момент другого порядку:

4.101.0253.0162.093.041.01)( 2

2 ХМ .

Складемо закон розподілу величини 3Х :

3Х 1 8 27 64 125

Р 1.0 3.0 2.0 3.0 1.0

Знайдемо початковий момент третього порядку:

6.391.01253.0642.0273.081.01)( 3

3 ХМ .

Центральний момент першого порядку дорівнює нулю: 01 .

27

Для обчислення центральних моментів другого й третього порядків зру-

чно скористатися формулами, що виражають центральні моменти через почат-

кові:

.0324.10336.3923

;4.134.10

33

12133

22

122

4. Загальний опис завдання

Лабораторна робота припускає попереднє вивчення, і засвоєння теоре-

тичних положень. У роботі напрацьовуються навички обчислення математич-

ного очікування, дисперсії, среднеквадратического відхилення випадкових

величин. При рішенні завдань вивчаються різні властивості числових характе-

ристик випадкових величин.

Для безперервних випадкових величин вивчаються поняття моди й ме-

діани. При виконанні лабораторної роботи студент повинен вирішити завдання

свого варіанта.

Завдання 1. Обчислення математичного очікування

Розглянемо знаходження математичного очікування для ряду дискретних

значень. На рисунку 2.1 представлений ряд дискретних значень, причому в лі-

вому стовпці представлені значення, а в правом – їхньої імовірності. Матема-

тичне очікування представленого ряду значень обчислюється по наступній

формулі:

=СУММПРОИЗВ(A2:A11;B2:B11).

Результат обчислень математичного очікування поміщений в комірку В13.

28

Рисунок 2.1 – Обчислення математичного очікування

Завдання 2. Обчислення дисперсії Розглянемо приклад знаходження дисперсії випадкової величини. Знайдемо

математичне очікування й зведемо його квадрат (рис. 2.2). Результат обчислень

представлений осередку B13:

Рисунок 2.2 – Обчислення математичного очікування

29

Тепер знайдемо математичне очікування квадрата випадкової величини.

Для цього зведемо випадкову величину у квадрат запишемо значення в стов-

пець С. Потім знайдемо математичне очікування для випадкової величини зі

стовпця С. Результат обчислень представлений в комірці C13:

Рисунок 2.3 – Обчислення математичного очікування квадрата випадкової ве-

личини

Після цього залишається обчислити різницю між комірками С13 і В13,

що й буде дисперсією випадкової величини Х.

Завдання 3. Обчислення середньоквадратичного відхилення випадкової

величини

Після завершення роботи з попереднім завданням вам необхідно обчис-

лити квадратний корінь зі знайденого значення дисперсії, що й буде середнім

квадратичним відхиленням. В MS Excel квадратний корінь обчислюється з ви-

користанням функції КОРІНЬ(число). Помістіть результат в комірку В15.

30

Завдання для самостійної роботи.

1. Знайти математичне очікування, дисперсію й середнє квадратичне ві-

дхилення дискретної випадкової величини Х, заданої одним з наступних законів

розподілу:

1.

Х 10 13 17 20 25

Р 0,4 0,3 0,1 0,15 0,05

2.

Х 8 14 17 20 23

Р 0,2 0,1 0,2 0,4 0,1

3.

Х 20 24 29 34 37

Р 0,2 0,3 0,25 0,15 0,1

4.

Х 14 15 17 25 26

Р 0,1 0,35 0,3 0,2 0,05

5.

Х 16 20 25 30 35

Р 0,2 0,15 0,15 0,3 0,2

6.

Х 0 1,5 1,9 2,5 2,9

Р 0,1 0,25 0,35 0,25 0,05

7.

Х 100 114 128 144 160

Р 0,2 0,35 0,2 0,15 0,1

8.

Х 45 53 67 80 95

Р 0,25 0,3 0,25 0,19 0,01

9.

Х 25 45 60 75 98

Р 0,15 0,25 0,3 0,2 0,1

10.

Х 60 75 80 105 110

Р 0,05 0,25 0,45 0,15 0,1

11.

Х 1 2 3 7 9 10 12

31

Р 0,04 0,26 0,31 0,09 0,18 0,11 0,01

12.

Х 6 8 14 17 19 20 23

Р 0,1 0,11 0,14 0,17 0,18 0,22 0,08

13.

Х 20 24 28 30 34 37 40

Р 0,1 0,23 0,25 0,18 0,13 0,08 0,03

14.

Х 10 13 15 17 25 27 29

Р 0,1 0,12 0,23 0,3 0,17 0,05 0,03

15.

Х 8 16 18 20 25 30 35

Р 0,01 0,17 0,19 0,26 0,15 0,12 0,1

16.

Х 0,5 1,5 1,9 2,3 2,5 2,9 3,2

Р 0,1 0,25 0,27 0,13 0,15 0,07 0,03

17.

Х 100 114 125 128 144 157 160

Р 0,1 0,25 0,23 0,17 0,15 0,08 0,02

18.

Х 45 53 61 67 78 80 95

Р 0,12 0,17 0,22 0,25 0,16 0,07 0,01

19.

Х 25 37 45 60 68 75 98

Р 0,015 0,085 0,125 0,17 0,3 0,2 0,1

20.

Х 60 75 77 80 105 108 110

Р 0,005 0,13 0,225 0,375 0,125 0,09 0,05

2. Дискретна випадкова величина приймає три можливих значення: х1=5

з імовірністю р1=0,5; х2=8 з імовірністю р2=0,3; х3 з імовірністю р3. Знайти зна-

чення величин х3 і р3, знаючи, що математичне очікування випадкової величини

M ( X ) = 7.

3. Для кожного з варіантів завдання знайти математичне очікування, ди-

сперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини Z = 4X + 5Y,

якщо відомі математичні очікування M(X) і M(Y) та дисперсії D(X) і D(Y) випа-

32

дкових величин X і Y :

Завдання 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

M ( X ) 15 3,4 103 19 25 11 46 39 93 74 45 14 12 20 54

M (Y ) 61 4,6 321 31 54 90 68 32 22 27 41 17 8 31 50

D( X ) 0,02 7,1 32 2,4 6,8 0,2 8 3 4,1 0,8 5 4 2 0,3 5,8

D(Y ) 0,04 1,2 46 1,1 7,7 0,4 2 4 3,3 0,1 3 8 6 0,1 8,7


дхилення випадкової величини Z = 3X − 2Y, якщо відомі математичні очікуван-

ня та дисперсії випадкових величин X та Y :

Завдання 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

M ( X ) 32 25 112 34 55 46 73 54 123 236 46 24 53 167 41

M (Y ) 16 127 57 13 67 37 112 33 101 213 78 93 45 321 57

D( X ) 4 12 42 23 3 2 11 14 13 17 5 11 3 34 3

D(Y ) 6 19 12 40 4 6 21 15 17 6 8 9 6 67 5


дхилення випадкової величини Z = 7X + 4Y, якщо відомі математичні очікуван-


Завдання 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

M ( X ) 3,5 2,3 4,8 9,4 5,5 5 3,9 8,5 4,3 6,5 2,1 5,4 7,1 8,7 3

M (Y ) 2,7 2,1 8,6 2,3 7,7 7 1,1 2,8 9,5 2,7 2,9 4,7 2,7 3,3 2

D( X ) 0,1 0,4 0,2 1,1 0,3 1 2,1 1,4 1,3 0,4 0,1 0,6 0,3 0,6 1

D(Y ) 0,5 0,3 0,9 1,9 0,2 5 3,5 0,5 1,8 0,6 0,5 0,5 1,5 1,3 5


дхилення випадкової величини Z = 6X - 3Y, якщо відомі математичні очікуван-


Завдання 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

M ( X ) 23 51 12 37 54 416 43 59 196 316 61 14 73 163 98

M (Y ) 56 207 57 18 69 317 135 38 185 231 75 9 45 311 37

D( X ) 3 21 42 29 7 4 27 31 28 25 6 11 3 34 8

D(Y ) 7 17 12 42 2 3 33 56 57 63 3 5 7 55 4

33


дхилення випадкової величини Z = 8X-5Y+4, якщо відомі математичні очіку-

вання та дисперсії випадкових величин X та Y :

Завдання 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

M ( X ) 54 31 12 82 54 168 43 59 106 116 81 14 33 113 68

M (Y ) 87 17 57 18 69 217 135 38 185 231 55 79 45 311 47

D( X ) 2 5 22 15 7 4 27 31 28 25 6 10 4 84 11

D(Y ) 8 7 11 5 2 3 33 56 57 63 3 5 6 95 19


дхилення випадкової величини Z = 4X-9Y+5, якщо відомі математичні очіку-

вання та дисперсії випадкових величин X та Y :

9. Можливі значення дискретної випадкової величини x1 = 1; x2 = 2; x3 =

3, а математичні очікування цієї величини та її квадрата рівні відповідно: M (X)

= 2, 3; M (X2) = 5, 9. Знайти закон розподілу цієї випадкової величини та її фун-

кцію розподілу.


1. Що таке математичне очікування випадкової величини? По якій

формулі обчислюється дана характеристика?

2. Що таке дисперсія випадкової величини? По якій формулі обчис-

люється дана характеристика?

3. Що таке середньоквадратичне відхилення випадкової величини? По

якій формулі обчислюється дана характеристика?

Завдання 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

M ( X ) 6,5 9,3 8,8 9,8 8,5 9 7,9 8,7 4,3 7,5 5,1 5,4 7,8 8,7 11 M (Y ) 8,7 8,1 8,4 2,6 9,7 5 9,1 2,4 5,5 9,6 2,4 4,6 2,3 3,7 12

D( X ) 0,5 0,9 0,3 1,4 1,3 3 1,1 1,2 0,3 0,6 0,8 0,2 0,9 0,6 3

D(Y ) 0,4 0,5 0,3 1,2 2,2 4 4,5 0,3 0,8 0,2 0,5 0,7 1,3 1,8 8

34

Лабораторна робота №3

«Побудова розподілів випадкових величин в MS Excel.

Біноміальний розподіл»

Мета роботи: навчитися використанню біноміального розподілу для

рішення завдань теорії імовірності


- уміти знаходити імовірності дискретної випадкової величини, що під-

коряється біноміальному розподілу, за допомогою Excel;

- будувати діаграму біноміального розподілу;

- уміти використовувати інтегральний розподіл.


Розподіл імовірностей – одне з центральних понять теорії імовірності й

математичної статистики. Визначення розподілу імовірності рівносильне за-

вданню імовірностей всіх випадкових величин (ВВ), що описують деяку випад-

кову подію. Розподіл імовірностей деякої ВВ, можливі значення якої x1,x2,

…xn утворять вибірку, задається вказівкою цих значень і відповідних їм імові-

рностей p1, p2,… pn (pn повинні бути позитивні й у сумі давати одиницю).

У даній лабораторній роботі будуть розглянуті й побудовані за допомо-

гою MS Excel найпоширеніший розподіл імовірності: біноміальний.

Біноміальний розподіл являє собою розподіл імовірностей числа на-

стань деякої події («вдачі») в n повторних незалежних випробуваннях, якщо

при кожному випробуванні імовірність настання цієї події дорівнює p. При

цьому розподілі розкид варіант (є чи ні події) є наслідком впливу ряду незале-

жних і випадкових факторів.

Проводиться серія з n випробувань, у кожному з яких з імовірністю р

може відбутися подія А, з імовірністю q= 1-р подія А .

Імовірність настання події А не залежить від числа випробувань n і ре-

зультатів інших випробувань.

35

Така схема випробувань із двома результатами (подія А настала або не

настала) називається схемою послідовних випробувань Бернуллі.

Нехай при n випробуваннях подія А настала k раз, (n-k) раз подія А .

!!

!

knk

nС k

n

- число різних комбінацій події А.

Імовірність кожної окремої комбінації:

1kkqp

Імовірність того, що в серії з n випробувань подія А, імовірність якої до-

рівнює р, з'явиться k раз:

knkk

nn qpCkP

10

n

k

n kP

- умова нормування.

Прикладом практичного використання біноміального розподілу може

бути контроль якості партії фармакологічного препарату. Тут потрібно підра-

хувати число виробів (упакувань), що не відповідають вимогам. Всі причини,

що впливають на якість препарату, приймаються однаково імовірними й не за-

лежними другом від друга. Суцільна перевірка якості в цій ситуації неможлива,

оскільки виріб, що пройшло випробування, не підлягає подальшому викорис-

танню. Тому для контролю з партії на удачу вибирають певну кількість зразків

виробів (n). Ці зразки всебічне перевіряють і реєструють число бракованих ви-

робів (k). Теоретично число бракованих виробів може бути від 0 до n.

В Excel функція БИНОМРАСП застосовується для обчислення імовірно-

сті в завданнях з фіксованим числом тестів або випробувань, коли результатом

будь-якого випробування може бути тільки успіх або невдача.

Функція використовує наступні параметри:

БИНОМРАСП (число_успіхів; число_випробувань; імовір-

ність_успіху; інтегральна)

число_успіхів — це кількість успішних випробувань;

36

число_випробувань — це число незалежних випробувань (число успіхів

і число випробувань повинні бути цілими числами);

імовірність_ успіху — це імовірність успіху кожного випробування;

інтегральний — це логічне значення, що визначає форму функції.

Якщо даний параметр має значення ІСТИНА (=1), то вважається інтег-

ральна функція розподілу (імовірність того, що число успішних випробувань не

менш значення число_ успіхів);

якщо цей параметр має значення НЕПРАВДА (=0), то обчислюється

значення функції щільності розподілу (імовірність того, що число успішних

випробувань у точності дорівнює значенню аргументу число_ успіхів).

Приклад 1. Яка імовірність того, що троє із чотирьох немовлят будуть

хлопчиками?

Рішення:

1. Установлюємо табличний курсор у вільну комірку, наприклад в А1.

Тут повинне виявитися значення шуканої імовірності.

2. Для одержання значення імовірності скористаємося спеціальною фун-

кцією: натискаємо на панелі інструментів кнопку Вставка функції (fx).

3. У діалоговому вікні Майстер функцій - крок 1 з 2 ліворуч у полі Ка-

тегорія зазначені види функцій. Вибираємо Статистична. Праворуч у полі

Функція вибираємо функцію БИНОМРАСП і натискаємо на кнопку ОК.

З'являється діалогове вікно функції. У поле Число_успіхів уводимо із

клавіатури кількість успішних випробувань (3). У поле Число випробувань

уводимо із клавіатури загальну кількість випробувань (4). У робоче поле Імові-

рність_успіху вводимо із клавіатури імовірність успіху в окремому випробу-

ванні (0,5). У поле Інтегральний уводимо із клавіатури вид функції розподілу

— інтегральна або вагова (0). Натискаємо на кнопку ОК.

37

Рисунок 3.1 – Діалогове вікно уведення параметрів функції БИНОМРАСП

В комірці А1 з'являється шукане значення імовірності р = 0,25. Рівно 3

хлопчика з 4 немовлят можуть з'явитися з імовірністю 0,25.

Якщо змінити формулювання умови завдання й з'ясувати імовірність

того, що з'явиться не більше трьох хлопчиків, то в цьому випадку в робоче поле

Інтегральний уводимо 1 (вид функції розподілу інтегральний). Імовірність цієї

події буде дорівнювати 0,9375.

Рисунок 3.2 – Вигляд електронної таблиці після рішення завдання

38

Приклад 2. Побудувати діаграму біноміальної функції розподілу P(m)

при n=10, P=0,2.

Рішення.

1. В комірку А1 уводимо символ кількості успішних ісходів, а в комірку

В1 символ імовірності p.

2. Заповнюємо кількість ісходів в А1 - від 0 до 10.

3. В комірку В2 вставляємо, через «вставка функції» БИНОМРАСПР.

У робоче поле «число» уводимо кількість успішних випробувань (адре-

са комірки А2). В «випробування» - число випробувань (у нас – 10). В «імовір-

ність» - 0,2. У робоче поле «Інтегральний» уводимо із клавіатури вид функції –

у цьому випадку «0». В осередку В2 з'являється шукана імовірність, що «про-

стягаємо» на весь діапазон.

4.Через «майстер діаграм» будуємо шукану діаграму біноміального роз-

поділу, тип діаграми – гістограма.

Зберігаємо діаграму з відповідними написами на осях.

Приклад 3. В умовах попереднього приклада знайти значення числа m,

для якого імовірність інтегрального розподілу дорівнює або більше 0,3.

1. Установлюємо табличний курсор у вільну комірку, наприклад в А1.

Тут повинне виявитися значення шуканого числа m.

2. Для одержання значення імовірності скористаємося функцією КРИТ-

БИНОМ.

3. У діалогове вікно вводимо: Випробування – 10, імовірність – 0,2. У

робоче поле Альфа – критичне значення імовірності інтегрального розподілу

(0,3).

4. В комірці А1 з'являється шукане значення числа успішних випробу-

вань, у даному прикладі m=1.

Необхідно перевірити результат прямим розрахунком.

39


1. Яка імовірність того, що вісім з десяти студентів, що здають залік,

одержать «незалік». (0,04)

2. При киданні монети може випасти орел або решка. Знайти імовірність

того, що орел випаде в точності 6 разів з 10.

3. Побудувати діаграму біноміальної функції щільності імовірності при

n=10, p=0.5.

4. Побудувати діаграму біноміальної інтегральної функції розподілу

P(A<m) при n=10, p=0.2.

5. Вибірковий контроль продукції проводять так: з 100 вибирається 20 і

при виявленні хоча б одного дефектного виробу вся партія бракується. У партії

є 10 дефектних виробів. Яка імовірність того, що хоча б один дефектний виріб

потрапить у вибірку?

6. Знайти кількість успішних випробувань для критичного значення ін-

тегральної функції розподілу, рівного 0,75, якщо загальна кількість випробу-

вань дорівнює 6, а імовірність успіху у випробуванні - 0,5.


1. Що називають законом розподілу випадкової величини?

2. Що значить «біномінальний розподіл»?

3. Вивід біномінального розподілу, при яких умовах застосовується.

4. Чому дорівнює математичне очікування й дисперсія?

5. Куди зрушується максимум біномінального розподілу при великій кі-

лькості випробувань?

6. Привести приклади біномінального розподілу.

7. Які функції в MS Excel використовуються для роботи із цим розподі-

лом.

40


«Побудова розподілів випадкових величин в MS Excel.

Нормальний розподіл»

Мета роботи: навчитися використовувати нормальний розподіл для

рішення задач теорії імовірності .


- уміти знаходити імовірності безперервної випадкової величини, що пі-

дкоряється нормальному розподілу, за допомогою Excel;

- будувати діаграму нормального розподілу;

- уміти використовувати інтегральний розподіл.


Нормальний розподіл - це сукупність об'єктів, у якій крайні значення

деякої ознаки — найменш і найбільше — з'являються рідко; чим ближче зна-

чення ознаки до математичного очікування, тим частіше воно зустрічається.

Наприклад, розподіл студентів по їхній вазі наближається до нормального роз-

поділу. Цей розподіл має дуже широке коло додатків у статистику, включаючи

перевірку гіпотез.

Нормальний закон розподілу.

2

2

2

2

1

mx

exf

, >0

При =1 і m=1 – нормальний стандартний розподіл ( m-мат. очікування,

2 - дисперсія ). Діаграма нормального розподілу симетрична щодо точки m

(математичного очікування). Медіана нормального розподілу дорівнює теж m.

При цьому в точці m функція f(x) досягає свого максимуму.

В Excel для обчислення значень нормального розподілу використову-

ється функція НОРМРАСП, що обчислює значення імовірності нормальної

функції розподілу для зазначеного середнього й стандартного відхилення.

41

Функція має параметри:

НОРМРАСП (х; середнє; стандартне_відх; інтегральна), де:

х — значення вибірки, для яких будується розподіл;

середнє — середнє арифметичне вибірки;

стандартне_відх — стандартне відхилення розподілу;

інтегральний — логічне значення, що визначає форму функції. Якщо

інтегральна має значення ІСТИНА(1), то функція НОРМРАСП повертає інте-

гральну функцію розподілу; якщо це аргумент має значення НЕПРАВДА (0),

то обчислює значення функція щільності розподілу.

Якщо середнє = 0 і стандартне_відх = 1, то функція НОРМРАСП повер-

тає стандартний нормальний розподіл.

Приклад 1. Побудувати графік нормальної функції розподілу f(x) при x,

що міняється від 19,8 до 28,8 із кроком 0,5, математичним очікуванням 24,3 і

стандартним відхиленням 1,5.

Рішення

1. В комірку А1 уводимо символ випадкової величини х, а в комірку B1

— символ функції щільності імовірності — f(x).

2. Уводимо в діапазон А2:А21 значення х від 19,8 до 28,8 із кроком 0,5.

Для цього скористаємося маркером автозаповнення: в комірку А2 уводимо ліву

границю діапазону (19,8), в осередок A3 ліву границю плюс крок (20,3). Виді-

ляємо блок А2:А3. Потім за правий нижній кут простягаємо мишею до осере-

дку А21 (при натиснутій лівій кнопці миші).

3. Установлюємо табличний курсор в осередок В2 і для одержання зна-

чення імовірності скористаємося спеціальною функцією — натискаємо на па-

нелі інструментів кнопку Вставка функції (fx). У діалоговому вікні, що

з'явилося, Майстер функцій - крок 1 з 2 ліворуч у поле Категорія зазначені

види функцій. Вибираємо Статистична. Праворуч у поле Функція вибирає-

мо функцію НОРМРАСП. Натискаємо на кнопку ОК.

4. З'являється діалогове вікно НОРМРАСП. У робоче поле X уводимо

адресу осередку А2 клацанням миші на цьому осередку. У робоче поле Се-

42

реднє вводимо із клавіатури значення математичного очікування (24,3). У ро-

боче поле Стандартне_відх уводимо із клавіатури значення середньоквадра-

тичного відхилення (1,5). У робоче поле Інтегральна вводимо із клавіатури

вид функції розподілу (0). Натискаємо на кнопку ОК (рис 4.1).

Рисунок 4.1 – Заповнені аргументи функції

5. В комірці В2 з'являється імовірність р = 0,002955. Курсором миші за

правий нижній кут табличного курсору протяганням (при натиснутій лівій

кнопці миші) з осередку В2 до В21 копіюємо функцію НОРМРАСП у діапа-

зон В3:В21.

6. За отриманим даними будуємо шукану діаграму нормальної функції

розподілу. Клацанням курсором миші на кнопці на панелі інструментів ви-

кликаємо Майстер діаграм. У діалоговому вікні, що з'явилося, вибираємо тип

діаграми Графік, вид - лівий верхній. Після натискання кнопки Далі вказуємо

діапазон даних — В1:В21 (за допомогою миші). Перевіряємо, положення пе-

ремикача Ряди в: стовпцях. Вибираємо закладку Ряд і за допомогою миші

вводимо діапазон підписів осі X: А2:А21. Нажавши на кнопку Далі, уводимо

назви осей Х и В і натискаємо на кнопку Готово.

Приклад 2. Побудувати діаграму стандартного нормального інтеграль-

ного розподілу.

1. В комірку А1 уводимо символ випадкової величини x, а в осередок В1

- символ стандартного нормального розподілу імовірності - Ф(x).

43

Рисунок 4.2 – Графік нормальної функції розподілу

2. Уводимо діапазон по x від -3 до 3 із кроком 0,5.

3. В В2 – вставка функції НОРМРАСПР. Розтягуємо В2 до В14.

4. Через майстер діаграм будуємо графік.

Приклад 3. Знайти верхню й нижню квартили для нормальної щільності

при М=24,3 і дисперсії 2,25.

1. Для одержання значення верхньої квартили скористаємося спеціаль-

ною функцією НОРМОБР, що вставляємо в комірку А1.

2. У діалогове вікно, у робоче поле Імовірність уводимо значення імо-

вірності верхньої квартили – 0,75, у Середнє – 24,3, у Стандартне_відх - сере-

дньоквадратичне відхилення ( у прикладі – 1.5). Після ОК в А1 з'являється

значення верхньої квартили.

3. Повторюємо для осередку А2 (в Імовірність – 0.25).

44

Завдання для самостійної роботи

1. Побудувати графік нормальної функції щільності розподілу f(x) при

x, що змінюється від 20 до 40 із кроком 1 при =3.

2. Знайти імовірність того, що з'явиться випадкова величина x 42 при

нормальному законі розподілу імовірностей з М=40 і 1,5 .

3. Побудувати діаграму нормальної функції щільності імовірності при

М=40 і 2 .

4. Знайти квантиль для р=09087089 і нормального розподілу із задачі 2.

5. Побудувати діаграму інтегральної функції розподілу імовірності при

М=30 і 3 .

6. Знайти нормалізоване значення x, якщо x=21, М=20, 1,5 .


1. Що називають законом розподілу випадкової величини?

2. Що значить «нормальний» закон розподілу?

3. Який графік даного розподілу?

4. Чому дорівнює математичне очікування?

5. Чому дорівнює дисперсія?

6. Чому дорівнює мода і медіана?

45


«Використання електронних таблиць Excel для побудови

вибіркових функцій розподілу»

Мета роботи: Побудувати вибіркові функції розподілу за допомогою

MS Excel.


Розглянуті раніше розподіли імовірностей випадкової величини (ВВ)

опираються на знання закону розподілу ВВ. Для практичних задач таке знання

– рідкість. Тут закон розподілу звичайно невідомий, або відомий з точністю до

деяких невідомих параметрів. Зокрема, неможливо розрахувати точне значення

відповідних імовірностей, тому що не можна визначити кількість загальних і

сприятливих ісходів. Тому вводиться статистичне визначення імовірності.

По цьому визначенню імовірність дорівнює відношенню числа випробувань, у

яких подія відбулася, до загального числа зроблених випробувань. Така імовір-

ність називається статистичною частотою.

Статистичним розподілом вибірки називають перелік варіант і відповід-

них їм частот або відносних частот.

Зв'язок між емпіричною функцією розподілу й функцією розподілу

(теоретичною функцією розподілу) така ж, як зв'язок між частотою події і його

імовірністю.

Для побудови вибіркової функції розподілу весь діапазон зміни випад-

кової величини X (вибірки) розбивають на ряд інтервалів (кишень) однакової

ширини. Кількість інтервалів звичайно вибирають не менш 3 і не більше 15.

Потім визначають число значень випадкової величини X, що потрапили в кож-

ний інтервал (абсолютна частота, частота інтервалів).

Сума всіх абсолютних частот називають об'ємом вибірки (тобто кіль-

кість всіх об'єктів вибірки). Наприклад, у наступній гістограмі осі ординат від-

кладені ni / h (h – довжина інтервалу), отже, об'єм вибірки дорівнює 2 * (1 + 2 +

4 + 5) = 24.

46

Частота інтервалів – число, що показує скільки разів значення, що ста-

вляться до кожного інтервалу угруповання, зустрічаються у вибірці. Поділив-

ши ці числа на загальну кількість спостережень (n), знаходять відносну

частоту (частість) влучення випадкової величини X у задані інтервали.

По знайдених відносних частотах будують гістограми вибіркових функ-

цій розподілу.

Гістограма розподілу частот – це графічне подання вибірки, де по осі

абсцис (ОХ) відкладені величини інтервалів, а по осі ординат (ОУ) – величини

частот, що попадають у даний класовий інтервал. При збільшенні нескінченно

розміру вибірки вибіркові функції розподілу перетворюються в теоретичні: гіс-

тограма перетворюється в графік щільності розподілу.

Накопичена частота інтервалів – це число, отримане послідовним пі-

дсумовуванням частот у напрямку від першого інтервалу до останнього, до то-

го інтервалу включно, для якого визначається накопичена частота.

В Excel для побудови вибіркових функцій розподілу використовуються

спеціальна функція ЧАСТОТА й процедура Гістограма з пакета аналізу.

Функція ЧАСТОТА (масив_даних, двійковий_масив)обчислює часто-

ти появи випадкової величини в інтервалах значень і виводить їх як масив

цифр, де

• масив_даних — це масив або посилання на множину даних, для яких

обчислюються частоти;

• двійковий_масив — це масив інтервалів, по яких групуються значення

вибірки.

Процедура Гістограма з Пакету аналізу виводить результати вибірко-

47

вого розподілу у вигляді таблиці й графіка. Параметри діалогового вікна Гісто-

грама:

• Вхідний діапазон - діапазон досліджуваних даних (вибірка);

• Інтервал кишень – діапазон комірок або набір граничних значень, що

визначають обрані інтервали (кишені). Ці значення повинні бути уведені в зро-

стаючому порядку. Якщо діапазон кишень не був уведений, то набір інтервалів,

рівномірно розподілених між мінімальним і максимальним значеннями даних,

буде створений автоматично.

• вихідний діапазон призначений для уведення посилання на ліву верх-

ню комірку вихідного діапазону.

• перемикач Інтегральний відсоток дозволяє встановити режим вклю-

чення в гістограму графіка інтегральних відсотків.

• перемикач Вивід графіка дозволяє встановити режим автоматичного

створення убудованої діаграми на аркуші, що містить вихідний діапазон.

Завдання 1.

Побудувати емпіричний розподіл ваги студентів у кілограмах для на-

ступної вибірки: 64, 57, 63, 62, 58, 61, 63, 70, 60, 61, 65, 62, 62, 40, 64, 61, 59, 59,

63, 61.

Рішення

1. В комірку А1 уведіть слово Спостереження, а в діапазон А2:А21 —

значення ваги студентів.

2. В комірку В1 уведіть назви інтервалів Вага, кг. У діапазон В2:В8 уве-

діть граничні значення інтервалів (40, 45, 50, 55, 60, 65, 70).

3. Уведіть заголовки створюваної таблиці: в комірки С1 — Абсолютні

частоти, в комірки D1 — Відносні частоти, в комірки E1 — Накопичені ча-

стоти.

4. За допомогою функції Частота заповніть стовпець абсолютних час-

тот, для цього виділите блок комірок С2:С8. З панелі інструментів Стандартна

викличте Майстер функцій (кнопка fx). У діалоговому вікні, що з'явилося, ви-

беріть категорію Статистичні й функцію ЧАСТОТА, після чого натисніть

48

кнопку ОК. Курсором миші в робоче поле Масив_даних уведіть діапазон да-

них спостережень (А2:А21). У робоче поле Двійковий_масив мишею введіть

діапазон інтервалів (В2:В8). Ліворуч на клавіатурі послідовно натисніть комбі-

націю клавіш Ctrl+Shift+Enter. У стовпці C повинен з'явитися масив абсолют-

них частот.

Рисунок 5.1 – Вигляд діалогового вікна для введення параметрів

функції ЧАСТОТА

Рисунок 5.2 – Вигляд електронної таблиці після обчислення абсолютних частот

49

5. В комірці C9 знайдіть загальну кількість спостережень. Активізуйте

осередок С9, на панелі інструментів Стандартна натисніть кнопку Автосума.

Переконайтеся, що діапазон підсумовування зазначений правильно й натисніть

клавішу Enter.

Рисунок 5.3 – Вигляд електронної таблиці після підсумовування

6. Заповніть стовпець відносних частот. В комірку введіть формулу для

обчислення відносної частоти: =C2/$C$9. Натисніть клавішу Enter. Протяган-

ням (за правий нижній кут при натиснутій лівій кнопці миші) скопіюйте уведе-

ну формулу в діапазон і одержіть масив відносних частот.

Рисунок 5.4 – Вигляд електронної таблиці після обчислення відносних частот

50

7. Заповніть стовпець накопичених частот. В комірку D2 скопіюйте

значення відносної частоти з комірки E2. В комірку D3 уведіть формулу:

=E2+D3. Натисніть клавішу Enter. Протяганням (за правий нижній кут при на-

тиснутій лівій кнопці миші) скопіюйте уведену формулу в діапазон D3:D8.

Одержимо масив накопичених частот.

Рисунок 5.5 – Результат обчислень

8. Побудуйте діаграму відносних і накопичених частот. Клацанням кур-

сору миші по кнопці на панелі інструментів викличте Майстер діаграм. У діа-

логовому вікні, що з'явилося, виберіть закладку Нестандартні й тип діаграми

Графік/гістограма.

Завдання 2.

Для даних 64, 57, 63, 62, 58, 61, 63, 70, 60, 61, 65, 62, 62, 40, 64, 61, 59,

59, 63, 61.. (додайте самостійно до 55 штук) побудувати емпіричні розподіли,

скориставшись процедурою Гістограма.

1. В комірку А1 уведіть слово Спостереження, а в діапазон А2:Е12 -

дані.

2. Для виклику процедури Гістограма з меню Сервіс підпункт Аналіз

51

даних; Інструменти аналізу - Гістограма.

3. У вікні, що з'явилося, Гістограма заповніть робочі поля :

У вхідний діапазон - (А2:Е12);

У вихідний діапазон посилання на ліву верхню комірку вихідного ді-

апазону (F1). Встановіть перемикачі в положення Інтегральний відсоток і Вивід

графіка. ОК.

Діаграма відрізняється від попереднього приклада. Поясніть чому.


1. Побудувати вибіркові функції розподілу (відносні й накопичені час-

тоти) для росту в см. 20 студентів: 181, 169, 178, 178, 171, 179, 172, 181, 179,

168, 174, 167, 169, 171, 179, 181, 181, 183, 172, 176.

2. Знайдіть розподіл по абсолютних частотах для наступних результатів

тестування в балах: 79, 85, 78, 85, 83, 81, 95, 88, 97, 85 (використовуйте границі

інтервалів 70, 80, 90).


1. Генеральна сукупність.

2. Вибірка.

3. Поняття й формування випадкової вибірки.

4. Що таке вибіркова функція розподілу. Як вона будується.

5. Процедури Excel.

52

Рекомендована література

1. Гельман В.Я. Решение математических задач средствами Excel. Прак-

тикум. – СПБ.: Питер, 2003. – 240с.

2. Князев Б.А., Черкасский В.С. Начала обработки экспериментальных

данных. –Новосибирск: Издательство НГУ, 1996. – 47с.

3. Єлейко Я.І., Тріщ Б.М. Теорія ймовірностей. — Львів: ЛНУ ім. Івана

Франка, 2001. – 197с.

4. Бобик О.І., Берегова Г.І., Копитко Б.І. Теорія ймовірностей і матема-

тична статистика. Львів: ЛБІ НБУ, 2003. – 160с.

5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике. – М.: Высшая школа, 2001. - 450с.

Імовірнісні основи обробки даних · 2015. 9. 25. · Рисунок...

Documents