信号処理システム特論

20150514

本日の内容

○ （固定係数）ディジタルフィルタ

‐Z領域表現と周波数特性

○ フィルタの構成法

○ フィルタの分類

•Z 変換 – 離散的な時系列の特性を解析する手法の一つ

– は離散時間信号

∑∞

−∞=

−⋅=n

nznxzX )()(

)(nx})(...,),1(),0(),1(),...,({)( ∞−−∞= xxxxxnx ←実数

↑ 複素数

は１サンプル時間遅れを表す演算子 1−z

∫ ⋅= −c

n dzzzXj

nx 1)(21)(π

準備）Ｚ変換

mサンプルの時間遅れ ： 時間領域での畳み込み演算 ＝ Z領域での積演算

)()()()()()( zHzXzYnhnxny ⋅=⇔∗=

mzzXmnx −⇔− )()(

Z変換と逆Z変換の定義

Z変換の性質

ディジタルフィルタの概要

フィルタ： 様々な信号の中から，所望の信号を取り出すもの 用途：雑音除去，信号の帯域制限など 構成要素：加算器，乗算器，遅延器

ディジタル フィルタ x(n) y(n)

ディジタルフィルタの構成

IIRディジタルフィルタの直接型構成

∑∑==

−−−=N

ll

M

ii lnybinxany

10)()()(

a x(n)

(a) 乗算器 y(n) = a x(n)

y(n) z –1 x(n)

(c) 遅延器 y(n) = x(n–1)

y(n)

入出力差分方程式

フィルタの構成要素

:, li ba フィルタ係数 (ここでは実数と仮定する）

伝達関数と周波数特性(1)

( )( )

( )

( )

( )

( )∏

∏

∏

∏

∑

∑

=

=

=

−

=

−

=

−

=

−

−

−=

−

−=

+== N

ll

j

M

ii

j

N

l

jl

M

i

ji

N

l

jll

M

i

jii

j

jj

e

eC

e

eC

eb

ea

eBeAeH

1

1

1

1

1

0

1

1

1)(

β

α

β

α

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ωω

∑∑==

−−−=N

ll

M

ii lnybinxany

10)()()(

( )

( )

( )

( )∏

∏

∏

∏

∑

∑

=

=−−

=

−

=

−

=

−

=

−

−

−=

−

−=

+== N

ll

M

ii

MNN

ll

M

ii

N

l

ll

M

i

ii

z

zzC

z

zC

zb

za

zBzAzH

1

1)(

1

1

1

1

1

0

1

1

1)()()(

β

α

β

α

差分方程式

伝達関数

周波数特性

:iα 零点， :lβ 極， :C 定数

Ｚ変換

Tjez ω=1/1 == fsT（ただし，ここでは を仮定）

伝達関数と周波数特性(2)

( ){ } ( ) ∑∑==

−+−−==M

ii

M

ii

j NMeH11

arg)( ψφωωθ ω

+−−=

∑

∑

∑

∑

=

−

=

−

=

−

=

−

N

l

jll

N

l

jll

M

i

jii

M

i

jii

eb

elb

ea

eia

1

1

0

0

1Re)(

ω

ω

ω

ω

ωτ

振幅特性

位相特性

群遅延特性

( )( )

( )

( )

( )

( )∏

∏

∏

∏

∑

∑

=

=

=

−

=

−

=

−

=

−

−

−=

−

−=

+== N

ll

j

M

ii

j

N

l

jl

M

i

ji

N

l

jll

M

i

jii

j

jj

e

eC

e

eC

eb

ea

eBeAeH

1

1

1

1

1

0

1

1

1)(

β

α

β

α

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ωω

ijii

j eAe φω α =− ijii

j eBe ψω β =−ここで， と置くと，

Ｚ平面の意味

大きさは１

Tω

Tωcos

Tj ωsin

0

TjTez Tj ωωω sincos +==Z平面

1ωje

TωRe

Im

1 -1

j

の軌道

0=ω

2/πω =T

πω =T

2/πω −=T

πω −=T

fsfT /2πω =

Tjez ω=

フィルタの周波数特性

Tje ω

TωRe

Im

( )0jeH

単位円上のH(z)の値が 周波数特性

( )2/πjeH

( )πjeH

( )2/πjeH −

( )πjeH −

極・零点と周波数特性の関係

Re

Im

( )( )

( )

( )

( )

( )∏

∏

∏

∏

∑

∑

=

=−−

=

−

=

−

=

−

=

−

−

−=

−

−=

+== N

ll

j

M

ii

j

MNjN

l

jl

M

i

ji

N

l

jll

M

i

jii

j

jj

e

eeC

e

eC

eb

ea

eBeAeH

1

1)(

1

1

1

0

1

1

1)(

β

α

β

α

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ωω

周波数特性

○×

○：零点，×：極

×

ijii

j eAe φω α =−lj

llj eBe ψω β =−

1α

2α

1β

2β∏

∏

=

== N

ll

M

ii

j

B

ACeH

1

1)( ω

○

1φ

2φ

1ψ

2ψ

1A

2A2B

1B

( ) ∑∑==

−=N

ll

M

ii

11ψφωθ

振幅：各極・零点と単位円までの距離の比

位相：偏角の総和

極 ： 分母＝0の解 ⇒ H（ｚ）の山

零点： 分子＝0の解 ⇒ H（ｚ）の谷

1

○

×

○

零点 極

f→

対数振幅特性

)( ωjezH =

極と零点の意味

•極の配置とシステムの安定性

– 極の位置が単位円内 ⇒ システムは安定

単位円外 ⇒ システムは不安定

– 極が単位円に接近 ⇒ 周波数特性上に強いピーク

×

分母1次のIIRフィルタ（単一極フィルタ）の例

Y(z) X(z) )1(

11

1−− zβ

)()1(

1)( 11

zXz

zY −−=

β)()()1( 1

1 zXzYz =− −β

)()()( 11 zYzzXzY −+= β )1()()( 1 −+= nynxny β

フィードバック信号は 倍（極倍）される ⇒ だと発散する

（振動する場合もある） 1β

y(n) x(n) +

1β 1−z

1|| 1 ≥β

フィルタの安定判別法

)1()1()()( 110 −−−+= nybnxanxany

)2()1()2()1()()(

21

210

−−−−−+−+=

nybnybnxanxanxany

∑∑==

−−−=N

ll

M

ii lnybinxany

10)()()(

１次のフィルタ ２次のフィルタ

３次以上のフィルタでは？

1|| 1 <b1

-1 2 -2

（安定三角形）

1b

2b安定な係数の範囲 安定な係数の範囲

Ｎ次フィルタの安定条件

( )

( )( )( ) ( )( )( ) ( )

112

21

1

1

0

11

0

112

11

112

11

1

1

1

1

111

1

111111

1

1)(

−−−−

=

=−

−

=

−−−

−−−

=

−

=

−

−++

−+

−+=

−+=

−−−−−−

=−

−=

∑

∑∑

∏

∏

zD

zD

zDzC

zDzC

zzzzzzC

z

zCzH

N

NiM

ii

N

l l

liM

ii

N

MN

ll

M

ii

βββ

β

βββααα

β

α

フィルタが安定である（発散や振動しない）条件は， 伝達関数H(z)のすべての極 の絶対値が を満たすこと

),...,2,1( Nll =β

Nll ,...2,1,1|| =<β

フィルタの安定判別の必要性

X(z) H(z) X(z)

)(zH

X(z) H(z) X(z) )(

1)(zH

zG =

伝送路（ヘッドホン，スピーカー，室内，通信など）

元信号

伝送路の影響 を受けた信号

伝送路の影響を受けた信号H(z)X(z) 元の信号X(z)を復元したい

得られるのは この信号

G(z)は安定か? *安定でないフィルタは基本的には使い物にならない！

フィルタの構成法

0a

1a

2a

Ma

1b−

2b−

Mb−

)(nx )(ny 0a

1a

2a

Ma

1b−

2b−

Mb−

)(nx )(ny

)(nx )(ny01a

11a

21a

11b−

21b−

02a

12a

22a

12b−

22b−

Na0

Na1

Na2

Nb1−

Nb2−

IIRフィルタの代表的な構成法

各種構成法の特徴

係数語長の影響(１)

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency [Hz]

Mag

nitude R

esp

onse

[dB

]

フィルタ係数を６ビットで表現した際の振幅特性 黒：直接形（無限語長），青：バイクワッド従属形（６ビット） 赤：バイクワッド並列（６ビット）， 黄緑：直接形（６ビット）

【設計仕様】 ・サンプリング周波数：１０００Ｈｚ ・Ｌｏｗ 通過域端周波数：２００Ｈｚ ・Ｈｉｇｈ通過域端周波数：３００Ｈｚ ・通過域リプル：１ｄＢ ・阻止域減衰量：４０ｄＢ

係数語長の影響(２)

66

55

44

33

22

11

66

55

44

33

22

110

1)( −−−−−−

−−−−−−

++++++++++++

=zbzbzbzbzbzb

zazazazazazaazH

223

113

223

11303

222

112

222

11202

221

111

221

11101

111)( −−

−−

−−

−−

−−

−−

++++

⋅++++

⋅++++

=zbzb

zbzaazbzb

zbzaazbzbzbzaazH

直接形構成では，ある係数の変化が， すべての極（あるいは零点）に影響 ⇒ 特性に影響

バイクワッド縦続形では，ある段の係数が変化しても，他の段の極（あるいは零点）には影響を与えない ⇒ 特性への影響が少ない

直接形

バイクワッド従属形

信号処理システムにおける主な劣化要因

入力信号の量子化

係数値の 有限語長化

乗算結果の 丸め・切り捨て量子化

加算器の オーバフロー

雑音の発生

周波数特性の理論値から

の偏移

不安定化 （発振）

要因 劣化現象

＊

＊

＊

＊：ＩＩＲフィルタのみで発生

フィルタの色々な分類

FIRフィルタの場合 IIRフィルタの場合

インパルス応答が有限長で0に

収束

インパルス応答が無限に続く

)(nx )(ny-3 -2 -1 0 1 2 3 → n

≠=

=0001

)(nn

nx

フィルタ

インパルス応答によるフィルタの分類

極・零点によるフィルタの分類

( )

( )∏

∏

=

−

=

−

−

−= N

ll

M

ii

z

zCzH

1

1

1

1

1

1)(

β

α

( )∏=

−−= N

ll z

CzH

1

11)(

β

( )∏=

−−=M

ii zCzH

1

11)( α

極・零フィルタ

全極フィルタ

全零フィルタ

極によるスペクトル表現 ピークの表現 ⇒共振系の表現に適合 音声生成のモデル ＡＲ(Auto Regressive)モデル

零点によるスペクトル表現 高次数で急峻な特性も実現可 ＭＡ(moving Average)モデル

極と零点によるスペクトル表現 極と零点を上手く使うことで 低次で急峻な特性を実現可

極・零と周波数特性の関係（ノッチフィルタを例として）

サンプリング周波数：1000Hz ノッチ周波数：50Hz

0 100 200 300 400 500

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

周波数 (Hz)

振幅

(dB

)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.5

0

0.5

1

実部

虚部

0 100 200 300 400 500

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

周波数 (Hz)

振幅

(dB

)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.5

0

0.5

1

実部

虚部 2

0 100 200 300 400 500

-10

-5

0

5

10

15

20

25

周波数 (Hz)

振幅

(dB

)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.5

0

0.5

1

実部

虚部 2

極・零と周波数特性の関係（ノッチフィルタを例として）

零点のみの特性 極のみの特性

40 45 50 55 60-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

周波数 (Hz)

振幅

(dB

)

0 100 200 300 400 500

-25

-20

-15

-10

-5

0

周波数 (Hz)

振幅

(dB

)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.5

0

0.5

1

実部

虚部

極・零と周波数特性の関係（ノッチフィルタを例として）

極と零点を近づけると 急峻な特性を実現できる

0 100 200 300 400 500-50

-40

-30

-20

-10

0

周波数 (Hz)

振幅

(dB

)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.5

0

0.5

1

実部

虚部

極・零と周波数特性の関係（Combフィルタを例として）

振幅特性の形状（リプルの有無）による分類

位相特性の種類による分類

直線位相（線形位相） ＦＩＲフィルタでのみ実現可，位相歪みなし 零点は，単位円に対して鏡像関係

近似的直線位相 直線位相フィルタよりも低遅延で同等の振幅特性を実現可。 位相歪みはわずか

最小位相 遅延時間は最小。遅延歪みは大 極・零点とも単位円内に存在 最小位相系 遅延時間は最小位相よりも大きい。遅延歪みは大 極・零点とも単位円内に存在

FIR (Finite Impulse Response)

IIR (Infinite Impulse Response)

インパルス応答の継続時間

有限 無限

差分方程式

伝達関数

安定性 常に安定 注意が必要 直線位相 実現可能 困難

次数 高い次数が必要 比較的低い次数でＯＫ

ＦＩＲフィルタ vs ＩＩＲフィルタの比較

∑=

−=M

ii inxany

0)()( ∑∑

==

−−−=N

ll

M

ii inybinxany

10)()()(

∑=

−=M

i

ii zazH

0)(

∑

∑

=

−

=

−

+= N

l

ll

M

i

ii

zb

zazH

1

0

1)(

直線位相フィルタの例

0 100 200 300 400 500-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

周波数 (Hz)

振幅

(dB

)

0 100 200 300 400 50014.5

15

15.5

周波数 (Hz)

群遅

延 (

サン

プル

)

-2 -1 0 1 2

-1

-0.5

0

0.5

1

実部

虚部 30

0 5 10 15 20 25 30-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

n (sample)

振幅

直線位相となる条件

インパルス応答が対象性をもつこと 対象となるパターンは以下の４つ

偶対象，M が偶数

偶対象，M が奇数

奇対象，M が偶数

奇対象，M が奇数

0a Ma0a Ma

0a Ma0a Ma

直線位相のメリット(1)

位相歪みがない 線形位相

ローパスフィルタ

非線形位相 ローパスフィルタ

＝

線形位相のフィルタでは，異なる周波数成分の信号もすべて同じ時間だけ遅れて出力される。 ⇒歪みなし 非線形位相のフィルタでは，各周波数成分によって遅れ時間が異なる ⇒歪みの原因

直線位相のメリット(2)

ノイズリダクションＡの回路（遅延器なし）

ノイズリダクションＢの回路（遅延器あり）

ノイズリダクションＡの出力

ノイズリダクションＢの出力

システム間の同期が取りやすい

直線位相のメリット：位相歪みを生じない。

データ伝送，画像処理，脳波計測等では重要！

直線位相が重要でない場合もある 電話などでは最小位相フィルタ ⇒ 遅延時間重視

最小位相FIRフィルタの例

0 100 200 300 400 500

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

周波数 (Hz)

振幅

(dB

)

0 100 200 300 400 5000

5

10

15

20

周波数 (Hz)

群遅

延 (

サン

プル

)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.5

0

0.5

1

実部

虚部 50

サンプリング周波数：1000Hz 通過域端周波数：100Hz

0 10 20 30 40 50-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

n (sample)