1الوحدة السابعة عشرة - زوايا خارجية الرياضيات المدمجة الوحدة السابعة عشرة - زوايا خارجية

خارجية زوايا عشرة: السابعة الوحدة الدرس الأول: زوايا خارجية للمضلع

ما المشترك لجميع الزوايا المشار إليها بنقطة؟

سنتعرف على الزاوية الخارجية للمضلع، ونجد صفة الزاوية الخارجية للمثلث.

زوايا خارجية للمضلع

جميع الزوايا المشار إليها في مهمة الافتتاحية هي زوايا خارجية للمضلع المحدب. . 1اذكروا في كل بند أي زوايا من الزوايا المشار إليها ليست زوايا خارجية للمضلع. اشرحوا.

γ

αβα

β

αβδ

γ

αβ

γ

ث. ت. ب. أ.

تعريفي الزاوية المجاورة لإحدى زوايا المضلع المحدب "زاوية خارجية للمضلع" نسمِّ

ارسموا مثلثاً وجميع زواياه الخارجية. أ. .2كم زاوية خارجية توجد للمثلث؟

كم زاوية خارجية توجد للشكل الرباعي؟ اشرحوا. ب. كم زاوية خارجية توجد بجانب كل رأس في المضلع؟ ت.

ارسموا مثلثاً حاد الزوايا وزواياه الخارجية )واحدة بجانب كل رأس(. أ. .3ب. ارسموا مثلثاً قائم الزاوية وزاوية خارجية مجاورة لإحدى زواياه الحادة.

ت. ارسموا مثلثاً منفرج الزاوية وزاوية خارجية مجاورة للزاوية المنفرجة.

الوحدة السابعة عشرة - زوايا خارجيةالرياضيات المدمجة2

انتبهوانتطرق من هنا فصاعدًا إلى زاوية خارجية واحدة بجانب كل رأس.

أشرنا في كل رسمة إلى الزوايا المتساوية بنفس اللون. .4احسبوا زوايا المضلع.

54˚

113˚

96˚ب.أ.

زوايا خارجية للمثلث

.α احسبوا في كل بند مقدار الزاوية .5

35˚93˚

α

39˚

30˚

α

90˚

43˚

α

ت.ب.أ.

نفكّر ب ...

.γ عبروا عن مقدار الزاوية δ بواسطة أ. .6.β α وَ عبروا عن مقدار الزاويةδ بواسطة ب.

.α + β قالت جواهر: مقدار الزاوية للزاوية δ تساوي ت. هل قول جواهر صحيح؟ اشرحوا.

نظريةمقدار الزاوية الخارجية للمثلث يساوي مجموع الزاويتين الداخليتين غير المجاورتين لها.

δγ

α

β

3الوحدة السابعة عشرة - زوايا خارجية الرياضيات المدمجة الوحدة السابعة عشرة - زوايا خارجية

احسبوا في كل بند مقدار زوايا المثلث )ارسموا رسمة تعرض ذلك(. .7مقدار إحدى زوايا المثلث هو ˚42، ومقدار إحدى الزوايا الخارجية هو ˚80. أ.

.70˚ مقدار إحدى الزوايا الخارجية للمثلث هو ˚130، ومقدار زاوية خارجية أخرى هو ب.

مجموعة مهامّ

في أي بنود زاوية α هي زاوية خارجية؟ .1

αα

α

α

α

ج. ث. ت. ب. أ.

ارسموا مثلثاً بحيث تكون له زاوية خارجية قائمة. على أي مثلث حصلتم؟ أ. .2ارسموا مثلثاً بحيث تكون له زاوية خارجية حادة. على أي مثلث حصلتم؟ ب.

ارسموا مثلثاً بحيث تكون جميع زواياه الخارجية حادة. على أي مثلث حصلتم؟ اشرحوا. ت.

.β سجلوا في كل بند ثلاث إمكانيات لمقدار الزاويتين α وَ .3

130˚

α

β

30˚α

β

ب.أ.

حددوا ما إذا الادعاءات الآتية صحيحة. .4إذا كانت الإجابة نعم، فاشرحوا. إذا كانت الإجابة لاـ فارسموا مثالًا مضادًّا.

إذا كانت لمثلث زاوية خارجية حادة، فإن المثلث منفرج الزاوية. أ.

إذا كانت لمثلث زاوية خارجية منفرجة، فإن المثلث حاد الزوايا. ب.

إذا كانت لمثلث زاويتان خارجيتان منفرجتان، فإن المثلث حاد الزوايا. ت.

إذا كانت لمثلث ثلاث زوايا خارجية منفرجة، فإن المثلث حاد الزوايا. ث.

الوحدة السابعة عشرة - زوايا خارجيةالرياضيات المدمجة4

استعينوا برسومات توضيحية وافحصوا. .5هل يمكن أن يكون مثلث جميع زواياه الخارجية حادة؟ اشرحوا. أ.

هل يمكن أن يكون مثلث جميع زواياه الخارجية منفرجة؟ اشرحوا. ب.

هل يمكن أن يكون مثلث له زاويتان خارجيتان حادتان وزاوية خارجية حادة واحدة؟ اشرحوا. ت.

هل يمكن أن يكون مثلث له زاويتان خارجيتان منفرجتان وزاوية خارجية حادة واحدة؟ اشرحوا. ث.

هل يمكن أن يكون مثلث له زاويتان خارجيتان منفرجتان وزاوية خارجية قائمة واحدة؟ اشرحوا. ج.

احسبوا في كل بند مقدار زوايا المثلث )ارسموا رسمة توضيحية(. .6مقدار إحدى زوايا المثلث هو °102، ومقدار إحدى الزوايا الخارجية 125°. أ.

مقدار كل زاوية من الزاويتين الخارجيتين للمثلث هو °135. ما هو نوع المثلث؟ ب.

حددوا في كل بند ما إذا يمكن أن يكون مثلث يحقق المعطيات، واشرحوا. .7مقدار إحدى زوايا المثلث هو °102، ومقدار إحدى الزوايا الخارجية 102°. أ.

مقدار إحدى الزوايا الخارجية للمثلث هو °95، ومقدار زاوية خارجية أخرى 112°. ب.

مقدار إحدى زوايا المثلث هو °130، ومقدار إحدى الزوايا الخارجية 70°. ت.

مقدار إحدى زوايا المثلث هو °130، ومقدار إحدى الزوايا الخارجية 50°. ث.

أشرنا في الرسمة إلى أربع زوايا. .8.α + γ = β + δ بيِّنوا أن

).BD )إرشاد: ارسموا

BC || DE معطى: .9AB || EG

. ABC∆ زاوية تساوية زاوية جدوا في المثلث اشرحوا كيف وجدتم؟

معطى: .10ما هو نوع المثلثABC؟ اشرحوا.

D C

B

Aα

δ γ

β

D E

CG

B

A

DE

C

B

A

α

γ β

5الوحدة السابعة عشرة - زوايا خارجية الرياضيات المدمجة الوحدة السابعة عشرة - زوايا خارجية

الدرس الثاني: الزاوية الخارجية وتطابق مثلثات

هل المثلثان متطابقان؟ اشرحوا. )نشُير بنفس الإشارة إلى القطع المتساوية بالطول، وإلى الزوايا المتساوية بالمقدار(.

نستعمل صفات الزوايا الخارجية للمثلث في الأسئلة التي تتناول تطابق المثلثات.

نفكّر ب ...

حددوا في كل بند حسب معطيات الرسمة ما إذا يمكن الاستنتاج أن المثلثين متطابقين. .1إذا كانت الإجابة نعم، فسجلوا ثلاثة شروط ونظرية التطابق المناسبة.

إذا لا فارسموا مثالًا مضادًا.

A

A

A

A

EB

B

B

B

CC

CC

D

D

D

D E

E

E

أ.

ب.

ت.

ث.

للتذكيرالزوايا المتبادلة بين مستقيمين متوازتين متساوية بالمقدار. ●

الزوايا المتناظرة بين مستقيمين متوازيين متساوية بالمقدار. ●

الوحدة السابعة عشرة - زوايا خارجيةالرياضيات المدمجة6

يمكنكم إيجاد الفعالية "مثلثات داخل دائرة" "משולשים בתוך מעגל" في موقع "الرياضيات المدمجة"، في قسم "مواد .2وستشرحون المثلثات، من أزواج تطابق الفعالية هذه في ستفحصون الثامن". للصف "الهندسة - إضافية تعليمية

مكتشفاتكم. نفذوا الفعالية حسب التعليمات.

فعّاليّة بديلة في الحاسوب

حددوا في كل بند حسب معطيات الرسمة ما إذا يمكن الاستنتاج أن المثلثين متطابقين. .3إذا كانت الإجابة نعم، فسجلوا ثلاثة شروط ونظرية التطابق المناسبة. إذا لا فارسموا مثالًا مضادًا.

AB قطُر في الدائرة معطى: أ. MD ينصف الزاوية

D

MBA

C

AB قطُر في الدائرة معطى: ت. MD ينصف الزاوية

MCينصف الزاوية D

MBA

C

AB قطُر في الدائرة معطى: ب. BD = AC

D

MBA

C

معطى: AB قطُر في الدائرة ث. BD || MCD

MBA

C

موقع في שוקיים" - שווה במשלש לבסיס "מקביל الساقين" متساوي مثلث لقاعدة "موازي الفعالية إيجاد يمكنكم .4"الرياضيات المدمجة"، في قسم "مواد تعليمية إضافية - "الهندسة للصف الثامن". ستفحصون في هذه الفعالية أي صفة

يحقق المستقيم الموازي لقاعدة مثلث متساوي الساقين، وستشرحون مكتشفاتكم. نفذوا الفعالية حسب التعليمات.

7الوحدة السابعة عشرة - زوايا خارجية الرياضيات المدمجة الوحدة السابعة عشرة - زوايا خارجية

فعّاليّة بديلة في الحاسوب

.AC = AB هو مثلث متساوي الساقين فيه ABC المثلث .5 .AD || BC رسُم عبر رأس زاوية الرأس مستقيم موازي للقاعدة:

انسخوا الرسمة وأشيروا إلى الزوايا المتساوية. أ.

AD ينصف الزاوية الخارجية المجاورة لزاوية رأس المثلث. اشرحوا لماذا ب.

مجموعة مهامّ

في موقع "الرياضيات المدمجة"، في قسم "مواد تعليمية يمكنكم إيجاد مهام بديلة لقسم من المهام في هذه المجموعة، إضافية - "الهندسة للصف الثامن". ستفحصون في هذه الفعالية تطابق أزواج من المثلثات، وستشرحون مكتشفاتكم. نفذوا

الفعالية حسب التعليمات. أشرنا إلى هذه المهام ب *، وقد سجلنا تحت كل مهمة اسم المهمة البديلة في الموقع.

A رأس زاوية الرأس. ABC∆ مثلث متساوي الساقين، معطى: .1AD || BC

]DAE = 42˚.ABC احسبوا زوايا المثلث

(AC = AB) *ABC .2∆ مثلث متساوي الساقين: . CD موازي للساق AB، وهو ينصف الزاوية الخارجية المجاورة للزاوية

احسبوا مقدار زوايا المثلث. اسم المهمة البديلة في الموقع: "موازي لساق مثلث

متساوي الساقين" "מקביל לשוק במשולש שווה-שוקיים".

معطى: .3(AB = BC) ABC∆ مثلث متساوي الساقين

. AD ينصف الزاوية

اكتبوا المعطيات بكتابة رياضية. أ.

.α = 50° إذا كان احسبوا زاوية ب.

.α عبروا عن الزاوية بواسطة ت.

D

42˚EAB

C

D

ECB

A

D

Cα

AB

E

A

CB

D

الوحدة السابعة عشرة - زوايا خارجيةالرياضيات المدمجة8

*4. معطى: (BA = BC) ABC∆ مثلث متساوي الساقين

. AD ينصف الزاويةف الزاوية. BE يوازي منصِّ

لوا المعطيات بكتابة رياضية. سجِّ أ.

.α = 55° إذا كان احسبوا الزاوية ب. .α عبروا عن الزاوية بواسطة

اسم المهمة البديلة في الموقع: "ينصف زاوية القاعدة وموازي" "חוצה זווית בסיס ומקביל"

حددوا في كل بند حسب معطيات الرسمة ما إذا يمكن الاستنتاج أن المثلثين متطابقين. .5إذا كانت الإجابة نعم، انسخوا الرسمة وعينوا مقادير متساوية إضافية فيها، واذكروا نظرية التطابق المناسبة.

إذا كانت الإجابة لا، فارسموا مثالًا مضادًا.

أ.

ب.

ت.

ث.

ج.

ح.

AB || ME :معطى .6 AC = DE

انسخوا الرسمة وعينوا المعطيات فيها. أ. سجلوا ثلاثة شروط حسبها يمكن الاستنتاج أن المثلثين متطابقين ونظرية ب.

التطابق المناسبة.

D

Cα

AB

E

A

BDCM

E

9الوحدة السابعة عشرة - زوايا خارجية الرياضيات المدمجة الوحدة السابعة عشرة - زوايا خارجية

انسخوا الرسمة في كل بند وعينوا زوايا متساوية وقِطع متساوية. .7افحصوا ما إذا يمكن الاستنتاج أنه يوجد في الرسمة مثلثين متطابقين.

إذا كانت الإجابة نعم ،فاشرحوا واذكروا نظرية التطابق المناسبة.

BC || DE:معطى أ. AB || EG

G CB

ED

A

AB || CD معطى: ت. BC || DE

AE منتصف CB

CA

D

E

DE || BC:معطى ب. EG || AB

AC E منتصف

G CB

ED

A

AB || CE معطى: ث. CB || DE

AD C منتصف

C

BA

D

E

AC = AB معطى: .8

.∆BAE ∆CAD :أ. سجلوا ثلاثة شروط يمكن الاستنتاج منها أن

سجلوا نظرية التطابق المناسبة.

CEM∆؟ ب. هل يتطابق المثلث BDM∆ مع المثلث إذا كانت الإجابة نعم، فسجلوا ثلاثة ظروف حسبها يمكن استنتاج التطابق، وعللوا. إذا كانت الإجابة لا، فاشرحوا.

B AD

M

CE

الوحدة السابعة عشرة - زوايا خارجيةالرياضيات المدمجة10

الدرس الثالث: مجموع زوايا خارجية للمضلع

7 أضلاع في المضلع الذي يظهر في الرسمة. يوجد هل يمكن أن نجد مجموع الزوايا الخارجيةالمشار إليها بنقطة دون استعمال القياس؟

نفحص مجموع الزوايا الخارجية للمضلعات المختلفة.

للتذكيرمجموع الزوايا الداخلية في مضلع مكوَّن من n أضلاع )بالدرجات( ●

n > 2، عدد طبيعي. .180(n – 2) يساوي المضلع المنتظم هو مضلع جميع أضلاعه متساوية بالطول، وجميع زواياه متساوية ●

بالمقدار.

احسبوا مجموع زوايا المضلع المكوَّن من 5 أضلاع؟ 1. أ. ما هو مقدار كل زاوية في مضلع منتظم مكوَّن من 5 أضلاع؟

ب. ما هو مجموع زوايا المضلع المكوَّن من 15 ضلعًا؟15 ضلعًا؟ ما هو مقدار كل زاوية في مضلع منتظم مكوَّن من

أمامكم رسومات مضلعات منتظمة. أشرنا إلى الزوايا الخارجية بنقطة. .2

n أضلاعمضلع مكوَّن من مسدسشكل خماسيشكل رباعي

خمنوا: كيف يتغيرَّ مجموع الزوايا الخارجية لمضلع محدب، عندما يكبر عدد أضلاع المضلع؟

11الوحدة السابعة عشرة - زوايا خارجية الرياضيات المدمجة الوحدة السابعة عشرة - زوايا خارجية

نفكّر ب ...

رأيت في المستطيل أن مجموع الزوايا الخارجية هو 360°. قال داود: .3لذا أنا أفكر أن مجموع الزوايا الخارجية لكل مضلع يساوي مجموع الزوايا الداخلية لنفس المضلع: في المخمس °540، في المسدس °720 وغير ذلك.

وجدنا أن مجموع الزوايا في المخمس هو °540 ومقدار كل زاوية داخلية قال رائد:

خارجية زاوية كل مقدار لذا ، ˚5540 108= هو المنتظم المخمس في

مجاورة للزاوية الداخلية هو °72، والمجموع هو 360° = 5 · 72أيهما قوله صحيح؟

جدوا مجموع زوايا المسدس. أ. .4جدوا مقدار كل زاوية في المسدس المنتظم. ب.

جدوا مقدار كل زاوية خارجية للمسدس المنتظم. ت.

ما هو مجموع الزوايا الخارجية الست للمسدس المنتظم؟ ث.

جدوا مقدار كل زاوية خارجية للمثلث المرسوم. أ. .5ما هو مجموع الزوايا الخارجية في المثلث المعطى؟ ب.

خمنوا: هل يمكن أن يكون مجموع الزوايا الخارجية للمضلع ثابت ويساوي °360 دائماً؟ .6"الرياضيات موقع في במצולע" חיצוניות זוויות "סכום " للمضلع" الخارجية الزوايا "مجموع الفعالية إيجاد يمكنكم المدمجة"، في قسم "مواد تعليمية إضافية - "الهندسة للصف الثامن". ستفحصون في هذه الفعالية تخمينكم. نفذوا

الفعالية حسب التعليمات.

85˚

40˚55˚CA

B

الوحدة السابعة عشرة - زوايا خارجيةالرياضيات المدمجة12

فعّاليّة بديلة في الحاسوب

خمنوا: هل يمكن أن يكون مجموع الزوايا الخارجية للمضلع ثابت ويساوي °360 دائماً؟ .7تشُير الأسهم في الرسمة إلى حركة حول المضلع.

استعينوا بالرسمة واشرحوا لماذا مجموع الزوايا الخارجية للمضلع ثابت ويساوي °360 دائماً؟

نفكّر ب ...

،180(n – 2)أضلاع هو n مجموع الزوايا الداخلية في المضلع المكوَّن من .8n > 2، عدد طبيعي.

n أضلاع؟ ما هو مجموع الزوايا المجاورة بجانب كل رأس في المضلع المكوَّن من أ.

عبروا عن مجموع الزوايا الخارجيةللمضلع المكوَّن من n أضلاع. ب.

بيّنا أنه في كل مضلع محدب مجموع الزوايا الخارجية غير متعلق بعدد الأضلاع، وهو يساوي ˚360 دائًما.

13الوحدة السابعة عشرة - زوايا خارجية الرياضيات المدمجة الوحدة السابعة عشرة - زوايا خارجية

زاوية الانعطاف في الشوارع الانعطافات في الشوارع مبنية بميل معين، الطرف الجانبي للمنعطف منخفض

أكثر من طرفه الخارجي. خلال انعطاف كل سيارة، تؤثر قوة طرد مركزية على أجسام تتحرك في حركة دائرية، تدفع قوة الطرد المركزية هذه الأجسام إلى "الخارج"، إلى القسم الخارجي للمنعطف وخارج مسار

السفر.

الطرد قوة موازنة على الشارع وميل والشارع السيارة عجلات إطار بين الاحتكاك يؤثر المركزية، وهكذا نمنع انحراف خطير. بالمقارنة مع ذلك، تزيد العوامل الآتية من تأثير قوة احتمال من تزيد وهكذا والشارع، العجلات بين الاحتكاك قوة وتضُعف المركزية الطرد

حدوث انحراف غير مرغوب: شارع رطب، بقُع زيت على الشارع، انعطاف مبني بميل غير مناسب، إطارات عجلات مصقولة )هرئة( وسرعة عالية للسيارة أثناء الانعطاف.

مجموعة مهامّ

احسبوا مقدار الزاوية δ. اشرحوا مراحل الحسابات. .1

30˚

50˚

δ

100˚

70˚110˚

δ125˚

δ100˚

100˚

75˚

δ

ث.ت.ب.أ.

أشرنا في كل رسمة إلى الزوايا المتساوية بنفس الإشارة. .2احسبوا زوايا المضلع.

100˚

82˚

88˚

55˚62˚

ت.ب.أ.

الوحدة السابعة عشرة - زوايا خارجيةالرياضيات المدمجة14

.(x > 0 عبّرنا في كل رسمة عن الزوايا الخارجية بواسطة x )مقادير الزوايا معطاة بالدرجات، .3احسبوا مقادير الزوايا الخارجية والزوايا الداخلية في كل مضلع.

x

x

5xx + 40

x + 50

2x

x + 10

3xx + 20

4x

x + 30

ب.أ.

عبّرنا في الشكل الرباعي عن الزوايا الخارجية بواسطة x بالدرجات .4 .(x > 0)

احسبوا الزاوية الخارجية. أ.

لوا المقادير التي وجدتموها واحسبوا الزوايا الداخلية. إذا انسخوا الرسمة، سجِّ ب. لم تخطئوا، فلكل زاوية خارجية للشكل الرباعي توجد زاوية داخلية تساويها.

معطى شكل سداسي ومعطاة ثلاث زوايا خارجية متساوية بالمقدار. .5والزوايا الخارجية الثلاث الأخرى متساوية بالمقدار أيضًا.

مقدار إحدى الزوايا الخارحية هو 75°.

احسبوا جميع الزوايا الخارجية للمسدس. أ.

احسبوا مقادير جميع الزوايا الداخلية للمسدس. ب.

معطى شكل خماسي ومعطاة ثلاث زوايا خارجية متساوية بالمقدار. .6والزاويتان الخارجيتان الأخُرتين متساويتان بالمقدار أيضًا.

مقدار إحدى الزوايا الخارجية هو 60°. أ. احسبوا جميع الزوايا الخارجية للشكل الخماسي.

جدوا إجابة تختلف عن الإجابة التي وجدتموها وتحُقق المعطيات.

مقدار إحدى الزوايا الخارجية للشكل الخماسي هو 72°. ب. احسبوا جميع الزوايا الخارجية للشكل الخماسي.

هل توجد إجابة مختلفة تحقق المعطيات؟ اشرحوا.

3x

4x2x

x

15الوحدة السابعة عشرة - زوايا خارجية الرياضيات المدمجة الوحدة السابعة عشرة - زوايا خارجية

افحصوا في كل بند ما إذا يمكن أن نرسم مضلعًا محدباً يحقق المعطيات. .7إذا كانت الإجابة نعم، فسجلوا مقادير الزوايا الخارجية والزوايا الداخلية.

إذا لا فاشرحوا.

شكل رباعي له 3 زوايا خارجية قائمة. أ.

شكل خماسي له 3 زوايا خارجية قائمة. ب.

4 زوايا خارجية قائمة. شكل سداسي له ت.

.β وهي مجاورة للزاوية ∆ABC الزاوية α خارجية للمثلث .8حددوا في كل بند ما إذا الادعاء الصحيح. إذا كانت الإجابة نعم فعللوا، وإذا كانت

الإجابة لا فأعطوا مثالًا مضادًّاα أكبر من ˚α + β = 180 ت. أ.

ث. ب.

C

B

Aα

β