101

المشتقات

في وخواصها األساسية. سندرسونهاياتها واستمراريتها درسنا في المحاضرات السابقة التوابع وأنواعها

لهذه التوابع. والتفاضلالمشتقات ،هذه المحاضرة

مقدمة: -7.1

دقيق لمماسات المنحنيات في الهندسة ولواله لما إحدى عجائب الرياضيات هو المشتق! فلواله لما وجد وصف

ظهرت فكرة المشتق، كوصف دقيق لمفهوم السرعة، وقد وجد وصف دقيق للحركات غير المنتظمة في الطبيعة!

مرة عند نيوتن! وقد تمت معالجة هذه الفكرة من تصور أبسط حاالت الحركة وهي حركة نقطة مادية على ألول

الوصف البسيط لهذه الحركة هو السرعة المتوسطة التي تعطى مستقيم أو حركة سيارة على جزء من طريق ما.

بالقانون

الزمن

المسافة

0

0

tt

SSvm

وفي هذه الحالة تكون السرعة ثابتة وكافية تماما .0tو tمكانا المتحرك في اللحظتين الزمنيتين 0Sو Sحيث

لدقيقة عن إما إذا كانت الحركة غير منتظمة فإن السرعة المتوسطة ال تعطي المعلومات ا .لوصف هذه الحركة

يكفي أن نالحظ مثال أن السرعة المتوسطة لحركة سيارة بين مدينتين ال .0tو tحركة الجسم بين اللحظتين

هذه السيارة على الطريق أم ال. إذن يجب الرجوع هنا إلى وسيلة أدق لوصف الحركة تخبرنا فيما إذا توقفت

لسرعة في لحظات زمنية قصيرة. مثل هذه المهمة تقع على عاتق المشتق.ومعدل تغير ا

:تعريف مشتق التابع-7.2

RIf نقول عن التابع : أنه تابع قابل لالشتقاق في النقطةIx 0 إذا كانت نهاية النسبة0

0 )()(

xx

xfxf

نرمز للمشتق بالرمزو 0x, تسمى هذه النهاية مشتق التابع في النقطة 0xإلى xمحدودة عندما تنتهيو معينة

)( 0xf منهو: 0

0

0

)()()( lim

0xx

xfxfxf

xx

.yبالمقدار يتغير yالتابع فإن xمقداره تزايدا xذا أعطينا لـييييي و يمكن تعريف االشتقاق بشكل آخر , فإ

)( بالتالي فإن:و yالتابع تغير yنسمي كما xتزايد المتحول xنسمي xxfyy

السابعةالمحاضرة

102

xfy)( :بما أنو , القسمة على و , بالطرحx نجد أن :

x

xfxxf

x

y

)()(

هذه النهاية تدعى مشيييتق إلى الصيييفر فإن x يتناهى و بشيييكل عام ، إذا كان هذه النهاية موجودة وحيدة عندما

xf)( بـييييي يرمز لهذه النهاية التي تعبر عن المشتقو [a , b ]من المجال 0xفي النقطةxf)(التابع يدل هذا و

تكتب النهاية و إلى الصييييييفر xا تنتهي عندم x بالمتحول -بشييييييكل عام –الرمز على أن هذه النهاية تتعلق

:بالشكل التالي0

lim ' '( )x

y dyy f x

x dx

xfy)(نقول عن التابع :مالحظة أنه غير قابل لالشييتقاق في النقطةIx 0 إذا كانت النسييبة السييابقة غير

.معينة

:مشتقالمعنى الهندسي لل-7.3

xfy)( :ليكن لدينا التابع المستمر على المجال و المعرفI ليكن وc كلالمنحني لهذا التابع الموضح بالش

:التالي

X

Y

0M

X

0

Y

N

0X

),)(( ولتكن لدينا النقطتان xfxM و ))(,( 000 xfxM 00 :من المنحني يالحظ من الشكل أن xxNM

, )()( 0xfxfMN , ومن المثلث القائم NMM :أن نجد 0( ) ( )o

o

f x f xtg

x x

xعندما تسعى

ونأخذ نهاية الطرفين للعالقة السابقة, 0Mإلى النقطة Mفعندئٍذ تتناهى النقطة 0xإلى

103

:أن نجد

o

o

o

o

o

tgtgxx

xfxf

xx

lim)()(

lim

otg) x( 'f : فإن إذا كانت هذه النهاية موجودة , o

Ixoأي أن المشتق في نقطة ما .يساوي إلى ميل المماس للمنحني في تلك النقطة

:شتقاقالقواعد األساسية في اال-7.4

مشتق التابع الثابت -7.4.1

R نقطة من مجموعة التعريف 0xلتكن و Rثابت ( المعرف على المجموعة a) y = aليكن لدينا التابع

:عندئٍذ يكون

00limlim)()(

lim)('

o

o

o

o

o

o xxxx

aa

xxxx

xfxf

xx

xf

مشتق التابع-7.4.2

xy

11limlim)()(

lim)('

o

o

o

o

o

o

o

o

xxxx

xx

xxxx

xfxf

xx

xf

yبالعالقة بشييييكل مشييييابه على أن مشييييتق التابع المعرفو بسييييهولة, أن نبرهن يمكن ax b هو التابع

y a .

y :كميييا يمكن أن نبرهن بييياالسييييييتقراء على أن مشييييييتق التيييابع المعرف بيييالعالقييية . nx هو التيييابع:

1y . nn x

:مشتق مجموع عدة توابع -7.4.3

),()(ليكن لدينا التابعان xvxu المعرفان على المجالI ع ليكن التابو القابالن لالشييييييتقاق في ذلك المجال ،و

)(xf المعرف بالعالقة ( ) ( ) ( )f x u x v x

104

)' :فعندئٍذ يكون لدينا من تعريف المشتق ) '( ) '( )f x u x v x

مشتق قوة -7.4.4

عدد صحيح موجب ,فإن: nحيث إذا كان

مشتق جداء: -6.4.5

),()(ليكن لدينا التابعان xvxu القابالن لالشيييييتقاق على المجال و المسيييييتمرانو المعرفانI فمن أجل أي ,

)().()( المعرف بيييالعالقييية xf)(إذا كيييان التيييابع و ، Ixنقطييية اختيييياريييية xvxuxf ٍفعنيييدئيييذ:

)()(')()(')(' xuxvxvxuxf

:مشتق تابع مرفوع األسي-7.4.6

ليكن لدينا التابعnuy حيثn عدد طبيعي عندئٍذ نستطيع كتابةy بالشكل التالي:

nمرة

uuuy ....... حسب و

:قاعدة مشتق جداء فإنه يكون لدينا

1' . .ny n u u

1034 :احسب مشتق التابع المعرف بالعالقة :)1مثال ) )2253( xxxy

:الحل' 4 3 9 3 210(3. 25 2 ) .(12 75 2)y x x x x x

:ب تابعمشتق مقلو-7.4.7

ليكن لدينا التابع u

y1

. نجد أن باسييييييتخدام قاعدة مشييييييتق جداء تابعين: u

uyyuyuy

'.'0'.'.

ب y نبدل كلu

1 :فنجد أن

2

''

u

u

u

u

u

y

:احسب مشتق التابع :)2مثال )xx

y.32

13

:الحل23

2

23

3

).3.2(

3.6

).3.2(

)'.3.2('

xx

x

xx

xxy

( ) nf x x1( ) nf x nx

105

:مشتق حاصل قسمة تابعين-7.4.8

:المعرف بالعالقة التالية yليكن لدينا التابع v

uy أن مشتق هذا التابع يعطى بالعالقة:

2

' '..'

v

vuvuy

:ق الجذرمشت -7.4.9

:ليكن لدينا التابع المعرف بالعالقة التالية n uy

0u المعرف عندما نستطيع كتابة المساواة السابقة بالشكل التالي: = u ny

1' :باشتقاق الطرفينو ' uyyn n منهو: n nn

un

u

yn

uy

11

'''

uy أي عندما يكون ة الخاصة من أجل الجذر التربيعيفي الحالو

:فإن مشتق هذا التابع يعطى بالعالقة التاليةu

uy

2

''

12 :المعرف بالعالقة التالية احسب مشتق التابع :)3مثال ) xxy

:الحل1.2

12

1.2

)'1('

22

2

xx

x

xx

xxy

:مشتق التوابع المركبة )مشتق تابع التابع(-7.4.10

ليكن لدينا التابع y f u حيثu تابع للمتحولx وفق التابع )(xu بمعنى آخر أنy تابع التابع

])[( :من الشكل xلـييييييي xfy في نفس الحال)(x المجال قابل لالشتقاق على مستمرو عرفم I التابعو

)(xf بالتالي فإن و , قابل لالشتقاق: dx

du

du

dy

dx

dy. أي ' ' '.x u xy y u

مشتق ب مضروب uل بالنسبة yيساوي حاصل جداء مشتق التابع xبالنسبة لـيييي yأي أن مشتق التابع

.xلنسبة لـ با uالتابع

:مشتق تابع الجيب-7.4.11

xSiny أن مشتق التابع على القابل لالشتقاقو المستمرو المعرفR هو التابعxy cos' ، إذا كان و

uSinyلييدينييا التييابع حيييث إنu تييابع للمتحول x جييد أنحسييييييييب قيياعييدة مشييييييتق تييابع التييابع نو فييإنييه:

106

uuy cos''

:أوجد مشتق التابع المعرف بالعالقة :)4مثال ) 24 3sin xy

:الحل 223223 3cos.3sin..24).6).(3(cos.3sin4' xxxxxxy

:مشتق تابع التجيب-7.4.12

xyوكذلك بسهولة نجد أن مشتق التابع cos على القابل لالشتقتاقو المستمرو المعرفR هو:

xy sin' , إذا كان لدينا التابع وuy cos حيث إنu تابع للمتحول x حسب قاعدة مشتق تابع و فإنه

uuy :التابع نجد أن sin''

:مشتق تابع الظل-7.4.13

tany أن مشييييتق التابع x على القابل لالشييييتقاقو المسييييتمرو المعرف\ 2 ,2

R k k Z

هو

'2التابع 1 tany x ، إذا كان لدينا التابع وtany u x حيث إنu تابع للمتحول x حسيييييييب قاعدة و فإنه

:مشتق تابع التابع نجد أن 2' ' 1 tany u ux

:تابع المعرف بالعالقة أوجد مشتق ال :)5مثال ) 2tan 5 4y x

:الحل 2 210 1 tan 5 4y x x

:مشتق التابع الضمني-7.4.14

شكل من هي عبارة عن تابع صريح xو yالعالقة بين ليس من الضروري أن تكون xfy)( :ال لكن و

),(0 :تكتب بشكل ضمني" أي من الشكل التالي y و x توجد عالقات بين yxF بمعنى أن المعادلة السابقة

المتحول xو التابع yعندئذ نشتقها بحسب قواعد االشتقاق معتبرين y لغير محلولة بالنسبة

0sin3 :للتابع الضمني التالي y'أوجد :)6ل )مثا 223 yyx هنا نتعامل مع التابع الضمني على

أساس أن كل حد من هذه العبارة كأنه جداء تابعين

107

cos.sin2'.69.'0 :نشتق على هذا األساس فنجد أنو 322 yyyyyxyx

223 :ومنه نجد أن .9)cos.sin.2.6(' yxyyyxy

yxy

yxy

..6)2sin(

..9'

3

22

:مشتق التابع اللوغاريتمي-7.4.15

lnyليكن لييدينييا التييابع x على المجييال القييابييل لالشييييييتقيياقو المسييييييتمرو المعرف[,o] أن:

x

1'y .

lny :أما إذا كان u حيث إنu تابع للمتحول x فحسب قاعدة مشتق تابع التابع نجد أن ,:

u

uy

''

)sin2ln( :احسب مشتق التابع :)7مثال ) 2xy

:الحل2 2

2 2

(2 sin ) ' 2 .cos'

2 sin 2 sin

x x xy

x x

:مشتق التابع األسي-7.4.16

دينا التابعليكن ل .ابع األسي هو التابع العكسي للتابع اللوغاريتمينعلم من المرحلة الثانوية أن التuy a ,

0a1وa القابل لالشتقاق علىو المستمرو المعرف.R هو إن مشتق هذا التابع:

' . lnuy u a a

xeyن مشيييتق التابع ينتج أو ln e = 1يكون لدينا a = eعندما يكون :حالة خاصةةةة هو xey ' مشيييتق و

uy التابع e هو ' '. uy u e

:احسب مشتق التابع :)8مثال ) 3.2 xey2. 3' 2. xy e

احسب مشتق التابع :)9مثال )xxy

بأخذ لغاريتم الطرفين :الحل xxxy x log.loglog

108

x :باشتقاق الطرفين نجدx

xy

y.

1log.1

'

)1log(. xx x)1log(' xyy

: ليكن مشتق التابع العكسي(): 3خاصة xfy تابعا عكسيا للتابع ygx القابل لالشتقاق في النقطة

0y عندئذ يقبل التابع . xfy االشتقاق في النقطة 00 ygx :ومشتقه يعطى بالعالقة

0y'g ,y'g

1x'f 0

00

مشتقات التوابع المثلثية العكسية 7.5-

العكسية للتوابع المثلثية بالعالقات: تعطى مشتقات التوابع

'

2

11) y arcsin y

1x

x

'

2

12) y arccos y

1x

x

'

2

13) y arctan y

1x

x

'

2

14) y tan y

1arcc x

x

مشابها : 4 و 2ويكون إثبات 3و 1سوف نثبت العالقتين

:1( إثبات

arcsin تابع قوس الجيب ليكن , - 1 1y x x

وليكن تابعه العكسي:2

x2

- ,ysinx

:يكون 3وبالتالي بحسب خاصة مشتق التابع العكسي

ysinx ومن العالقة نحسبcosy :فيكون

222 x-1yins-1ycos

ومنه2x-1cosy

109

ولكن2

x2

- :x 0ycos

وبالتالي:2x-1cosy

وعليه يكون أخيرا : 1x1- ,x1

1

cosy

1 xarcsin

2

'x

:3( إثبات

تابع قوس الظل ليكن x - ,xarctany

وليكن تابعه العكسي:2

x2

- ,ytanx

:يكون 3وبالتالي بحسب الخاصة ycos1

1

tany

1 xarctan

2'

y

'

x

1ycosyins :ومن العالقة 22

يكون:ycos

11ytan

2

2

ومنه: 222

'

xx1

1

ytan1

1

ycos1

1 xarctan

المشتقات من مراتب عليا 7.6-

إذا كان المشتق األول للتابع xfy موجودا وهو x'f'y نعرف المشتق الثاني له بالعالقة:فإننا

'x'f''y :ونكتبه بالشكل

x''f''y

ونعرف المشتق الثالث للتابع xfy على أنه مستق التابع x''f''y :ويكون

x'''f'x''f''y

للتابع nلمرتبة وهكذا وبشكل مشابه نعرف المشتق من ا xfy :كما يلي

xf'fy n1nn

ونقول عن xf شتقاق في هذه الحالة إنه يقبل اإلn مرة.

110

:للتابع nاحسب المشتق من المرتبة :)10مثال ) x1

1xf

هو: رأينا أن المشتق األول لهذا التابع بحسب الحل:

2x1

1 x'f

لة هذا التابع ولكن في حا .لحساب المشتقات من مراتب أعلى نستطيع استخدام صيغة مشتق النسبة على التوالي

نستطيع استخدام قاعدة مشتق القوة كما يلي: -ولسهولة الحسابات –

,x1

2x112'x1'

x1

1x''f

3

32

2

,x1

32x132'x12'

x1

2x'''f

4

43

3

حيث نالحظ أن: وبهذه الطريقة نتابع االشتقاق حتى المرتبة

x1

!nx11!1nn

'x1!1n' x1

!1n'xfxf

1n

1n

n

n

1nn

وفي النتيجة:

x1

!n

x1

1

1n

n

الحدود مشتقات كثيرات 7.7-

لك في الفصول ذا إلى صيغ أو قيم أبسط وسوف نرى لكثيرات الحدود أهمية خاصة في تقريب التوابع أو قيمه

ها.وتلعب دورا في هذا التقريب مشتقات التوابع ومشتقات كثيرات الحدود المناسبة ل .القادمة

0x0والمركز nيعرف كثير الحدود ذي الدرجة أوالَ: بالعالقة:

n

n

1n

1n

3

3

2

210 xaxa...xaxaxaaxP

n10المتحول و xحيث يكون a,...,a,a.األمثال

بحسب خاصة مشتق القوى تكون مشتقات كثير الحدود هذا على التوالي كما يلي:

111

1n

n

2n

1n

2

321 xnaxa1n...xa3xa2ax'P

2n

n

3n

1n32 xa1nnxa1n2n...xa32a2x''P

.....................................................................................

nn2

n a!nna...432a2xP

0xP 1n

0xxوالمركز nيعرف كثير الحدود ذي الدرجة ثانياَ: بالعالقة

n0n

1n

01n010 xxaxxa...xxaaxP

الحظ أيضا هنا أن: .بنفس الطريقة السابقة وتحسب مشتقاته

0xP 1n

احسب المشتقات حتى المرتبة الرابعة لكثير الحدود: :11)مثال )

32 xx5x31xP

لدينا على التوالي: :الحل

0xP

6x'''P

x610x''P

x3x103x'P

4

2

تمارين محلولة7.8-

بين أن :1تمرين ,...,2,1n,nzz 1n'n

لتكن الحـل. nxxf أوال : . لدينا

x

xx z

x

xfx xf

x

f nn

وباستخدام منشور ثنائي الحدين يكون

112

1nnn

2nn2

1nn1

nnnn

1nn1

nnn

x ...x xx

xx ...x xxx

1

x

xx x

1nnxوهذا الناتج يسعى الى عندماox . وهذا يعني أن:

1nnn

0x

'n x nx

xx xlimx

برهن أن :2تمرين2x

1 '

x

1

.باستخدام الخواص ثم تحقق من الناتج باستخدام التعريف

الحل: لدينا أوال :

xxx

1

xxx

x

x

1

xxx

xxx

x

1

xx

1

xx

1

x

xfxxf

نحو الصفر يكون المشتق بحسب التعريف: xوبالسعي ب

20x0x x

1

xxx

1lim

x

ylim

للتحقق من ذلك نستخدم خاصة مشتق النسبة فنجد أن:22 x

1

x

11x0 '

x

1

:مشتق التابع األتي أوجد :3تمرين 62x31xf

باستخدام قاعدة مشتق التابع المركب: الحـل:

'252'62 x31 x316x31x'f

5252 x31x36x6x316

احسب مشتق التابع األتي: :4تمرين x2ecoslnxf

تق التابع المركب يكون على التوالي:باستخدام قاعدة مش الحـل:

113

x2x2x2

x2

x2

x2x2

x2

x2

x2

etane2e2ecos

esin

'eesinecos

1'ecos

ecos

1'y

xsiny للتابع nأوجد المشتق من المرتبة :5تمرين

xcos'yلدينا أوالً: :الحل :ونستفيد من العالقة المثلثية .

2xsinxcos

:لى التواليليكون لدينا ع

23xsinxcos'''y

22xsinxsin''y

2xsinxcos'y

وهكذا حتى نحصل على المشتق النوني المطلوب:

2nxsinxcosyn

:احسب مشتق التابع :6تمرين3

ln3

3 xxxy

22232 :الحل 2ln33

31.ln3' xxxxx

xxxy

تمارين غير محلولة7.9-

:يكون فيها المماس للتابع التي x( أوجد قيم 1

xxxf 4)( 2 موازيا للمحورox

)()3cos(( برهن أنه إذا كان 2 3 xxxf 3(27 فإن(' f

:x( أوجد مشتقات التوابع التالية بالنسبة للمتحول 3

xxy 4) ,ey3) ,x31y 2) ,x2

1siny )1 x2cos2

114

أحسب مشتقات التوابع اآلتية: (4

، ،

أثبت أن: (5

2

2

2 2

1 1) arcsin '

1

2 1) arcsin ' ,

1 1

a y yx x x

x xb y y

x x

:x( أوجد مشتقات التوابع التالية بالنسبة للمتحول 6

5

4 2 3

2 2 2

2 2

) (1 3 ) ; ) (1 3 )

) cot ( 1) ; ( cos .sin

) (2 3) ( 1) ; ) sin( 3)

) sin(2 ). 4 ;( 2 1

a y x b y x

c y g x d y x x

e y x x f y x

g y x x h y x x x

أحسب مشتقات التوابع اآلتية: (7

، ،

ابع اآلتية:أوجد المشتق الرابع للتو (8

x223 exy )4 ,x3tany )3 ,x2siny )2 1,x xy )1

للتابع nبرهن أن المشتق من المرتبة (9 x3exf هو x3nn e3xf .

أوجد المشتق النوني للتوابع األتية:( 10

1 1) , ) , ) ln

1 1a y b y c y x

x x

2 9 5f x x x 5

1

3f x

x x

5

6

1

2

x xf x

x x

2 9 5f x x x 5

1

3f x

x x

5

6

1

2

x xf x

x x

115

إضافـات مـدرس المقـرر

116