Тема 2.2. Маршруты, связность, расстояния.

Задачи об обходах

Тема 2.2.1. Маршруты, циклы,

связность, расстояния, диаметр

и центр графа

Маршрутом в графе называется чередующаяся последовательность вершин и ребер, в которой любые два соседних элемента инцидентны: v0, e1, v1, e2, v2,…, ek, vk

Если v0= vk то маршрут замкнут,

в противном случае открыт Одна вершина достижима из другой, если

между ними проложен маршрут.

Если все ребра графа различны, то маршрут называется цепью Если все вершины различны, то маршрут называется простой цепью В цепи v0, e1, v1, e2, v2,…, ek, vk вершины v0 и vk называются концами

цепи, т.е. цепь концами v0 и vk соединяет вершины v0 и vk . Такая цепь обозначается (v0 и vk).

Замкнутая цепь называется циклом, замкнутая простая – простым

циклом, число циклов обозначается z(G). Граф без циклов – ациклический.

Длинной маршрута называется количество ребер в нем (с повторениями).

Если маршрут М=v0, e1, v1, e2, v2,…, ek, vk , то длина маршрута М равна

k, обозначается 𝑴 = 𝒌

Граф G=(V, X) называется плоским, если на плоскости его можно изобразить так, чтобы все пересечения его ребер являются вершинами графа

В качестве характеристики плоского представления графа вводится понятие грани.

Грань в плоском представлении графа называется часть плоскости, ограниченная простым циклом и не содержащая внутри других циклов

Две вершины графа называются связными, если существует соединяющая их простая цепь.

В противном случае две вершины называются не связными. Граф называется связным, если каждые две вершины связные. Граф называется несвязным, если хотя бы две его вершины

несвязные.

Утверждение. Если для двух вершин существует маршрут, связывающий их, то обязательно найдется минимальный маршрут, соединяющий эти вершины. Обозначим длину этого маршрута через d(v, w).

Определение. Величину d(v, w) будем называть расстоянием между вершинами v, w. Это расстояние удовлетворяет аксиомам метрики:

1. d(v, w) ≥ 0, причем d(v, w) = 0 тогда и только тогда, когда v=w;

2. d(v, w) = d(w, v); 3. d(v, w) ≥ d(v, u) + d(u, w).

Определение. Диаметром связного графа

называется максимально возможное

расстояние между двумя его

вершинами.

Определение. Центром графа называется такая

вершина, что максимальное расстояние

между ней и любой другой вершиной

является наименьшим из всех

возможных; это расстояние

называется радиусом графа.

Для графа G, изображенного на рисунке, найти радиус, диаметр и центры.

Решение: Чтобы определить центры, радиус, диаметр графа G, найдем матрицу D(G) расстояний между вершинами графа, элементами dij которой будут расстояния между вершинами vi и vj Для этого воспользуемся графическим представлением графа.

Заметим, что матрица D(G) симметрична относительно главной диагонали.

Заметим, что матрица расстояний D(G) симметрична относительно главной диагонали. С помощью полученной матрицы для каждой вершины графа G определим наибольшее удаление из выражения: для i, j = 1, 2, …, 5. В результате получаем: r(v1) = 3, r(v2) = 2, r(v3) = 2, r(v4) = 2, r(v5) =3

Минимальное из полученных чисел является радиусом графа G, максимальное – диаметром графа G . Значит, R(G) = 2 и D(G) = 3, центрами являются вершины v2, v3, v4.

Эйлеровым путем в графе называется путь, содержащий все ребра графа.

Эйлеровым циклом или эйлеровой цепью называется цикл, содержащий все ребра графа и притом по одному разу. Граф, обладающий эйлеровым циклом, называется эйлеровым графом.

Замкнутую линию, если ее можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги, проходя при этом каждый участок в точности один раз, принято называть уникурсальной. Рисунок графа, обладающего эйлеровым путем или циклом, является уникурсальной линией.

Теорема 1. Если граф G(V,E) обладает эйлеровым циклом, то он связный и все его вершины четные.

Теорема 2. Если граф G(V,E) связный и все его вершины четные, то он обладает эйлеровым циклом.

Граф, обладающий гамильтоновым циклом, называется гамильтоновым графом. Гамильтоновым циклом, называется цикл, или путь, проходящий через каждую вершину графа в точности по одному разу.

Эйлеровы и гамильтоновы пути сходны по способу задания. Первые содержат все ребра, и притом по одному разу, вторые – все вершины по одному разу. Для решения вопроса о существовании эйлерова цикла в графе достаточно выяснить, все ли его вершины четные.

Условия существования гамильтоновых циклов 1. Всякий полный граф является гамильтоновым, так как содержит

простой цикл, которому принадлежат все вершины данного графа. 2. Если граф, помимо простого цикла, проходящего через все его

вершины, содержит и другие ребра, то он также является гамильтоновым.

3. Если граф имеет один гамильтонов цикл, то он может иметь и другие гамильтоновы циклы.

1) Найти радиус, диаметр и центры графа

2) Подготовить кроссворд по теме «Теория графов»