Школа № 254Преподаватель

Павлова Марина Константиновна

Домашняя работа

№ 472

Площадь прямоугольного треугольника равна 168 см². Найдите его катеты, если отношение их длин равно 7:12.

А

С В

А В

СМ

N

Дано: ∆ABC, BС=7,5 см, АC=3,2 см, АMBC, BNAC, AM=2,4 cм Найти: BN

Решение: S∆ABC=½АМ·СВ=½·2,4·7,5=9 см²

S∆ABC=½BN·AС BN=2·S∆ABC:АС=2·9:3,2=5,625 см

Ответ: 5,625 см.

Дано: ∆ABC, С=90º, АC:ВС=7:12, S∆ABC=168 см² Найти: АС, BС.

№ 470Две стороны треугольника равны 7,5 см и 3,2 см. Высота, проведенная к большей стороне, равна 2,4 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей из данных сторон.

Решение: S∆ABC=½АС·ВС

168=½7х·12х

168=42х²

х=2

АС=14 см, ВС=24 см

Ответ: 14 см и 24 см.

Пифагор Самосский

• Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии.

Пифагор Самосский

«Ослиный мост»

Доказательство теоремы Пифагора считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось иногда Pons Asinorum «ослиный мост» или elefuga - «бегство убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии.

Слабые ученики, заучивавшие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста.

Что изображено?

ab2

1S

Вопросы

Чему равна сумма острых углов в прямоугольном треугольнике?

А + В = 90°

Чему равна площадь этого треугольника?

Как называются стороны АС и ВС?

C

A

B a

bс

Дано: ∆ ABC, C=90°,

B=60°, AB=12 см

AC=10 см

Найти: S∆АВС

Решите устно

CA

B Дано: ∆ ABC, C=90°,

AB=18 см, ВC=9 см

Найти: B, А

1.

2.

B

C A C1

A1

B1

Докажите, что треугольники равны.

Будет ли площадь данной фигуры равна

сумме площадей треугольников АВС и KLM?

A

B

CK

L

M

Найти угол

Задача

Доказать: KMNP - квадрат

Что изображено?

Из чего он состоит?

Докажите, что треугольникKВМ равен треугольнику MСN.

Что можно сказать о площадях этих треугольников?

ДоказательствоВ четырехугольнике KMNP

все стороны равны с.Найдем величину угла KMN. 1 + 2 = 90° и 1 = 32 + 3 =90°KМN=90°.

Аналогично можно доказать, что все углы в четырехугольнике KMNP прямые, а это и означает, что KMNP - квадрат.

D

CВ

A

N

M

K

P a

a

a

a

b

b

b

b

cc

cc

1

2 3

4

Решите устно

D

CB

A

N

M

K

P a

a

a

a

b

b

b

b

cc

cc

1

2 3

4 Доказательство

1. ABCD - квадрат, AB = a + b,

S ABCD = (a + b)2

2. Квадрат ABCD состоит из четырех равных прямоугольных треугольников, одним из которых является треугольник APK, и квадрата KMNP со стороной с, значит SABCD = 4SAPK + SKMNP

SAPK = ab SKMNP = c2

(a + b)2 = 4· ab + c2

2

1

2

1

a2+ 2ab +b2 = 2ab + c2

a2 + b2 = c2

В прямоугольном треугольнике квадрат

гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

с

b

а

c²=a²+b²

Итак,

Если дан нам треугольник,

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим -

И таким простым путем

К результату мы придем.

История теоремы Пифагора

Пифагор Самосский

ок. 580 – ок. 500 до н.э.

Предполагают, что во времена Пифагора теорема звучала по-другому:

«Площадь квадрата,

построенного на

гипотенузе

прямоугольного

треугольника,

равна сумме

площадей квадратов,

построенных на его

катетах».

Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее так же “ветряной мельницей”, составляли стихи вроде “Пифагоровы штаны на все стороны равны”, рисовали карикатуры.

Шаржи из учебника XVI века

Ученический шарж XIX века

№ 483

6

8 ?

С

А

В

Дано: ∆АВС, С=90º,а=6, b=8

Найти: с.

Решение:

∆АВС – прямоугольный с гипотенузой АВ. По теореме Пифагора АВ²=АС²+ВС²

с²=а²+b²

с²=6²+8²

с²=36+64

с²=100

c=10

Ответ: 10

с² = а2 + b2

8

65

1086

cbа

а

в с

С

А

В

№ 483

√61

с =√ а2 + b2

3 67

с² = а2 + b2

а

в с

С

А

В

№ 484

23b

2b12

13512

102

cbа13² = 122 +b2

169 = 144 + b2

b2 = 25 b = 5

4b² = 122 + b2

3b² = 144b² = 48b = √48b = 4√3

4√3

а2 + b2 =c² а2 =c²-b²

b2 =c²-a² а=√c²-b²

b =√c²-a²

Запишем формулы для нахождения катетов прямоугольного треугольника:

с² = а2 + b2 № 486

A

CB

D

5 13

AD²=AC²-CD²

AD=12

№ 487

Дано: ∆АВС, АВ=ВС=17 см, АС=16 см, BDAC

Найти: BD.

Решение.

1. AD=DC=AC:2=8 cм

2. Рассмотрим ∆ADB.

BD²=AB²-AD²

BD=√289-64

BD=15 (см)

Ответ: 15 см

А С

B

D

Домашнее задание:

• п. 54• № 483 (в); № 484 (б, г); 486(б, в)

Детский юмористический журнал “Ералаш”