第二章导数与微分 §3.1 切线速度及其变化率
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第二章导数与微分 §3.1 切线速度及其变化率. 教学目的及基本要求 : 1. 理解导数的定义及其几何物理意义 . 2. 掌握可导与连续的关系 . 3. 会用导数的定义判断函数在一点是否可导 . 重点与难点： 导数与连续的关系 . 用导数的定义判断函数在 一点是否可导，尤其是判断分段函数在分段点的可导性 . 课时： 2 学时. 一、引例. 1. 切线问题. 割线的极限位置 —— 切线位置. 切线 MT 的斜率为. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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第二章导数与微分§3.1 切线速度及其变化率
教学目的及基本要求 :
1. 理解导数的定义及其几何物理意义 .
2. 掌握可导与连续的关系 .
3. 会用导数的定义判断函数在一点是否可导 .
重点与难点：导数与连续的关系 . 用导数的定义判断函数在
一点是否可导，尤其是判断分段函数在分段点的可导性 .
课时： 2 学时
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一、引例1. 切线问题 割线的极限位置——切线位置
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如图 如果割线 MN 绕点 M
旋转而趋向极限位置 MT,直线 MT 就称为曲线 C 在点M 处的切线 .
o x
y)(xfy
C
N
MT
x0x 极限位置即
.0,0 NMTMN
).,(),,( 00 yxNyxM
0
0tanxx
yy
,)()(
0
0
xx
xfxf
设
割线 MN 的斜率为
.)()(
limtan0
0
0 xx
xfxfk
xx
切线 MT 的斜率为
,, 0xxMN C 沿曲线
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2. 瞬时速度
假设沿直线运动的物体的运动方程为 , 其中 是
时刻 物体相对于原点的位移 ( 有向距离 ). 描述运动的函
数称为物体的位置函数 . 在从 到时间 段内
的平均速度为
( )S f t S
t
f t a t a h
f a h f a
h
位移平均速度时间
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( )v a
我们定义 时刻的速度 ( 或瞬时速度 ) 为平均速
度的极限 0
( ) ( )( ) lim .
h
f a h f av a
h
t a ( )v a
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二、导数的定义
定义1
0
0
0
0
0 0
0
0
( )
(
)
( ) ( );
0
( )
( ) ,x x
y f x x
x x x
x x y
y f x x f x y
x x
y f x x
y f x x y
设函数 在点 的某个邻域内
有定义,当自变量 在 处取得增量 点
仍在该邻域内时, 相应地函数 取
得增量 如果 与
之比, 当 时的极限存在, 则称函数在点 处可导, 并称这个极限为函
数 在点 处的导数, 记为
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0xxdx
dy
,)(
0xxdx
xdf或
x
xfxxf
x
yy
xxxx
)()(limlim 00
000即
.)()(
lim)( 00
00 h
xfhxfxf
h
若极限不存在，则称 在 不可导 .
.)()(
lim)(0
00
0 xx
xfxfxf
xx
其它形式
( )f x 0x
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定义 2
1. 左导数 :
;)()(
lim)()(
lim)( 00
00
0
00
0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx
2. 右导数 :
;)()(
lim)()(
lim)( 00
00
0
00
0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx
函数 )(xf 在点 0x 处可导左导数 )( 0xf 和右
导数 )( 0xf 都存在且相等.
★
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若函数 ( )y f x 在 0x 可导,则函数 ( )y f x 在 0x 连续.
但定理的逆命题不成立, 即函数 ( )f x 在 0x 连续,不一定
有 ( )f x 在 0x 可导.
例如，函数 ( )f x x 在 0x 连续，但 ( )f x 在 0x 连续
却不可导.
★
若函数 )(xf 在区间 I的每一点都可导 (当 I 的左(右)端
点属于 I 时, )(xf 在左(右)端点右(左)可导), 则称 )(xf 在区间 I
可导,或称 )(xf 为区间 I 上的可导函数,此时 ( )f x 称为 )(xf 在 I
上的导函数,简称导数,记为 ( )f x , y或dy
dx .
定义3
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.慢程度而变化的快因变量随自变量的变化反映了
它,处的变化率点导数是因变量在点 0x
.)(
)(
内可导在开区间就称函数,处都可导内的每点在开区间如果函数Ixf
Ixfy
关于导数的说明：
注意 :00( ) ( ) .x xf x f x
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例 1 .)(sin)(sin,sin)(3
x
xxxxf 及求设函数
解h
xhxx
h
sin)sin(lim)(sin
0
2
2sin
)2
cos(lim0 h
hh
xh
.cos x
44
cos)(sin
xx
xx .2
2
.cos)(sin xx 即
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xy
x
y
o
解 ,)0()0(
h
h
h
fhf
h
h
h
fhfhh
00lim
)0()0(lim ,1
1lim)0()0(
lim00
h
h
h
fhfhh
.0)( 点不可导在函数 xxfy
.处的可导性在讨论函数 0)( xxxf例 2
),0()0( ff即
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作业： 1 、 4 、 7
六
61P
76P