Лекция 4. Комплексные числа Определение …...2010/10/25 · 1 Л...

ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ ННМ ◄ 1 ►

Л Е К Ц И Я 4

Лекция 4. Комплексные числа. Определение; операции над комплексными числами; геометрическая интер-претация; тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Формулы Эйлера. Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа. Алгеб-раические уравнения. Основная теорема алгебры.

Как уже отмечалось в курсе математического анализа, потребность в расширении

понятия вещественного (действительного)1 числа возникает уже в простейших задачах ал-

гебры.

Например, тот факт, что уравнение 2 1 0x имеет действительные корни, а урав-

нение 2 1 0x их не имеет, вызывает естественное желание исправить эту очевидную

«дисгармонию» и «неравноправное положение» одних квадратных уравнений по отноше-

нию к другим.

Исторически понятие комплексного числа как раз и возникло в результате попыток

преодоления проблем, подобных только что описанной.

Ход рассуждений, используемых на пути такого преодоления, кратко описан ниже.

Главным инструментом, лежащим в основе вещественного анализа функциональ-

ных зависимостей, является действительное число, или, в более общей форме, упорядо-

ченный набор таких чисел – точка или вектор соответствующего арифметического про-

странства.

Вводимые в математике действия над векторами можно условно разделить на две

группы. Первую составляют операции умножения на действительное число и сложение.

Они, как известно, выполняются над операндами поэлементно, а возможность их реализа-

ции не зависит от размерности векторов. 1 Не следует придавать используемым здесь и далее терминам «действительный», «мнимый» и пр. чрезмерно

яркой буквально-смысловой окраски. Это лишь исторически сложившиеся словесные обозначения некоторых

алгебраических объектов.

Н.Н.БОБКОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ◄ 2 ►

Л Е К Ц И Я 4

Вторая группа состоит из действия умножения векторов друг на друга. Известные

из векторной алгебры типы такого умножения – это скалярное и векторное умножения

векторов, изучающиеся уже в средней школе.

Однако с чисто алгебраической точки зрения оба эти вида умножения векторов

должны быть признаны неудовлетворительными по следующим причинам.

Скалярное произведение векторов – число (скаляр), а не вектор, как операнды. Таким об-

разом, эта операция выводит из множества, в котором лежат подвергаемые ей векторы.

Векторное произведение хотя и является вектором, но не допускает обратной операции,

поскольку «векторное деление» для этой операции не определено.

Оказывается, однако, что для двухкомпонентных2 упорядоченных наборов дейст-

вительных чисел можно так ввести операцию умножения, что она будет обладать всеми

известными из арифметики и естественными с алгебраической точки зрения свойствами.

Именно это обстоятельство лежит в основе приводимого ниже определения комплексных

чисел.

◀Определение▶

Комплексные числа – это упорядоченные пары действительных чисел вида ( , )x y

для которых следующим образом определены понятия равенства и операции сложения и

умножения.

1∞. Равенство комплексных чисел

1 1( , )x y ≝ 1 2

2 21 2

( , )x x

x yy y

.

Иными словами, два комплексных числа считаются равными лишь если в соответ-

ствующих парах как числа, стоящие на первом месте, так и числа, стоящие на втором, –

равны.

Традиционным обозначением комплексного числа ( , )x y является латинская буква

z (малая): z≝ ( , )x y .

2 И только для них!


Л Е К Ц И Я 4

2∞. Сложение

(4.1) z≝ 1 2z z , или ( , )x y ≝ 1 1( , )x y 1 22 2

1 2

( , )x x x

x yy y y

.

Как видно, равенство и сложение комплексных чисел определяются покомпонент-

но.

3∞. Умножение

(4.2) z≝ 1 2z z , или ( , )x y ≝ 1 1( , )x y 1 2 1 2

2 21 2 2 1

( , )x x x y y

x yy x y x y

.

Выше для обозначения равенства комплексных чисел, их суммы и произведения

использованы стандартные обозначения «», « », « »3.

◆Примеры:

1). 1 2( 1, 2) ; (3, 5)z z .

∙ 1 2 ( 1 3, 2 5) (2, 7)z z ;

∙ 1 2 ( 1 3 2 5, 1 5 2 3) ( 13, 1)z z .

Рассмотрим комплексные числа вида ( ,0)x . В соответствии с определениями (4.1),

(4.2) имеем

∙ 1( , )0x 2 1 2( , ) ( , )0 0x x x ,

∙ 1( , )0x 2 1 2 1 2( , ) ( 0, )00 ( ,0 0)x x x x x .

Как видно, число нуль на втором месте в операндах «передается» и результату как

сложения, так и умножения. В первой позиции при этом происходит в точности то же, что

при сложении и умножении действительных чисел 1 2,x x .

3 Как и в вещественнозначной алгебре точку умножения можно по соглашению не писать. Тем не менее, в ряде

случаев бывает удобно все-таки писать ее. Наконец, в ряде случаев без нее просто не обойтись.


Л Е К Ц И Я 4

На основании этого комплексные числа указанного вида отождествляются с дейст-

вительными числами:

( , 0)x x .

Таким образом, множество комплексных чисел, обозначаемое , включает множе-

ство действительных чисел : .

Поскольку пару (1,0) приходится отождествлять с числом 1, то можно еще напи-

сать

(4.3) ( ,0) ( ,0) (1,0) (1,0)x x x .

Аналогично обозначается умножение любого комплексного числа ( , )x y на дейст-

вительное число ( ,0) :

( ,0) ( , ) ( , )z x y x y 4.

Рассмотрим теперь комплексные числа, у которых нуль стоит на первой позиции:

(0, )z y . Для таких чисел в соответствии с (4.2) справедливо равенство

(0, ) ( ,0) (0,1) (0,1)y y y .

Число (0,1) в этой формуле называется мнимой единицей5 и обозначается симво-

лом i (реже j ): (0,1)i .

Квадрат этого числа, т.е. его произведение на себя, находим по (4.2):

2 (0,1) (0,1) (0 0 1 1,0 1 1 0) ( 1,0) 1i i i . Итак,

(4.4) 2 1i .

Понятно, что действительные числа таким свойством обладать не могут, что оп-

равдывает исторически закрепившееся за комплексными числами вида (0, )y название –

чисто мнимые.

Заметим, что (0,0) 0 единственное комплексное число, которое является одно-

временно и действительным и чисто мнимым.

4 Можно видеть, что умножение комплексного числа на действительное число выполняется покомпонентно. 5 См. сноску на 1 й странице.


Л Е К Ц И Я 4

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

С учетом сказанного выше запишем равенство

(4.5) z ( , ) ( ,0) (0, ) (0,1)x y x y x y x iy .

Это соотношение и есть алгебраическая форма записи комплексного числа. Ис-

пользуя ее, можно переписать данные выше определения равенства, суммы и произведе-

ния комплексных чисел в более привычной форме

∙ 1 1x iy ≝ 1 22 2

1 2

x xx iy

y y

∙ x iy ≝ 1 1( )x iy 1 22 2

1 2

( )x x x

x iyy y y

∙ x iy ≝ 1 1( )x iy 1 2 1 22 2

1 2 2 1

( )x x x y y

x iyy x y x y


В формуле (4.5) (равно как и в паре ( , )x y ) действительное число x называют дей-

ствительной частью комплексного числа z , а действительное число y его мнимой

частью, обозначая их следующим образом

Re Re( )

Im Im ( )

x z x iyy z x iy

.


Комплексное число ( , )x y x iy называется сопряженным (нередко говорят

комплексно сопряженным) числу (с числом) ( , )x y x iy и обозначают сопряжение го-

ризонтальной верхней чертой:

(4.6) z x iy ≝ x iy

Для всякого комплексного числа z оно само и z взаимно сопряженные, посколь-

ку z x iy x iy z .


Л Е К Ц И Я 4

Далее, равенство z z имеет место лишь в том случае, когда 0y , т.е. если

z действительное число.


Действительное число 2 2x y называется модулем комплексного числа

z x iy и обозначается посредством z :

(4.7) z ≝. 2 2x y x iy .

Ясно, что для 0z z , причем 0 0 0 0z z i . Если z x ,

т.е. когда z действительное число, его модуль, определяемый равенством (4.7), совпада-

ет с абсолютной величиной x : 2 20z x x .

Полезно также заметить, что

z z 2 2 2 2( )( ) ( ,0)x iy x iy x y x y 2z

Произведение любого комплексного числа на сопряженное с ним число равно

квадрату его модуля.

Модули сопряженных комплексных чисел z и z , очевидно, совпадают:

z 2 2 2 2( )x y x y z .

СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ КОМПЛЕКС-

НЫХ ЧИСЕЛ

I. Коммутативность (переместительный закон)

1 2 2 1z z z z ; 1 2 2 1z z z z

II. Ассоциативность (сочетательный закон)

1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z ; 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z

III. Дистрибутивность (распределительный закон)

Умножение комплексных чисел дистрибутивно (распределительно) по отношению

к сложению:


Л Е К Ц И Я 4

1 2 3 1 3 2 3( )z z z z z z z

Доказательство

Докажем некоторые из сделанных выше утверждений (остальные доказываются

аналогично)

▶ коммутативность сложения

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )z z x y x y x x y y ,

2 1z z 2 2 1 1 2 1 2 1( , ) ( , ) ( , )x y x y x x y y ●

используем коммутативность сложения действительных чисел

● 1 2 1 2( , )x x y y 1 2z z , что и требовалось доказать.

▶ ассоциативность умножения

1 2 3( )z z z 1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 1 2 2 1 3 3(( , ) ( , )) ( , ) ( , ) ( , )x y x y x y x x y y x y x y x y

1 2 1 2 3 1 2 2 1 3 1 2 1 2 3 1 2 2 1 3(( ) ( ) , ( ) ( ) )x x y y x x y x y y x x y y y x y x y x

1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 3

1 2 3 4 5 6 7 8

( , )x x x y y x x y y x y y x x y y y y x y x x y x .

1 2 3( )z z z 1 1 2 2 3 3 1 1 2 3 2 3 2 3 3 2( , ) [( , )( , )] ( , ) ( , )x y x y x y x y x x y y x y x y

1 2 3 2 3 1 2 3 3 2 1 2 3 3 2 1 2 3 2 3( ( ) ( ), ( ) ( )x x x y y y x y x y x x y x y y x x y y

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 1 2 3 1 3 2 1 2 3 1 2 3

1 3 4 2 5 7 8 6

( , )x x x x y y y x y y x y x x y x x y y x x y y y 1 2 3( )z z z .

▶ дистрибутивность умножения относительно сложения

1 2 3( )z z z 1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 3[( , ) ( , )] ( , ) ( , ) ( , )x y x y x y x x y y x y

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 4

(( ) ( ) , ( ) ( ) )x x x y y y x x y y y x ,

1 3 2 3z z z z 1 1 3 3 2 2 3 3 1 3 1 3 1 3 3 1( , )( , ) ( , )( , ) ( , )x y x y x y x y x x y y x y x y

2 3 2 3 2 3 3 2 1 3 1 3 2 3 2 3 1 3 3 1 2 3 3 2( , ) ( , )x x y y x y x y x x y y x x y y x y x y x y x y


Л Е К Ц И Я 4

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 4

(( ) ( ) , ( ) ( ) )x x x y y y x x y y y x 1 2 3( )z z z .

Из приведенных свойств операций сложения и умножения вытекает, что формально

можно выполнять их над записанными в алгебраической форме комплексными числами в

точности так же, как если бы число « i » было действительным. При этом нет необходимо-

сти помнить определение (4.2), а следует лишь всюду, где возникают натуральные степени

i , заменять 2i на 1 . Например, 2 2

5 ( 1) ( 1)i i

i i i

, или 2008 2 1004 1004( ) ( 1) 1i i и т.п.

Далее, числа 0 и 1 (действительные) обладают в множестве комплексных чисел

теми же свойствами, что и в множестве , а именно:

0 ; 0 0; 1 ,z z z z z z .

ВЫЧИТАНИЕ И ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ


Разностью комплексных чисел 1z и 2z называется такое комплексное число, кото-

рое в сумме с 2z дает 1z :

z≝ 1 2 2 1z z z z z .

Разность 0 z обозначается z и равна произведению числа 1 на z (докажите).

Из определения (4.2) получаем в итоге

1 1 2 2

1 21 2

1 2x iy x iy x iy

x x xz z z

y y y

Частным комплексных чисел 1z и 2z назовем такое комплексное число z , кото-

рое, будучи умножено на 2z , дает 1z :

(4.8) z ≝. 12 1

2

zzz z

z .

Умножим обе части (4.8) на 2z :

2 22 2 2 2 1 2 1 1 2 2( ) ( )( )zz z z x y z z x iy x iy


Л Е К Ц И Я 4

(4.9) 1 1 2 22 22 2

( )( )x iy x iyz

x y

при условии, что 2 22 2 0x y , т.е. 2 0z . Как видно, уравнение 2 1zz z имеет в этом слу-

чае единственное решение относительно z , определяемое формулой (4.9), которую можно

записать еще и так:

1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2

( )x x y y i x y x y x x y y x y x yz i

x y x y x y

.

Иными словами, 1

2

Rezz

1 2 1 22 22 2

x x y yx y

, 1

2

Imzz

2 1 1 22 22 2

x y x yx y

. На практике нет необхо-

димости запоминать эти формулы.

◆Пример:

2 2

1 (1 )(2 3 ) 2 3 2 3 1 5

2 3 (2 3 )(2 3 ) 13 132 ( 3)

i i i i i ii i i

.

Заметим, что операция вычисления модуля комплексного числа действует на про-

изведение и частное так же, как и в действительном случае, а именно

1 2 1 2z z z z ; 11

2 2

zzz z

.

В самом деле, 2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2( )( ) ( )z z x iy x iy x x y y i x y x y z z

2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1( ) ( ) 2 2x x y y x y x y x x x x y y y y x y x y x y x y

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2( ) ( ) ( )( )x x y y x y x y x y z z в силу неотрицательности

модуля 1 2 1 2z z z z , что и требовалось доказать. Ясно, что последнее равенство легко

обобщается на любое число сомножителей (обобщите).

Теперь, вследствие того, что 12 1

2

zz z

z , находим по доказанному: 1

2 12

z z zz

12

2

zz

z , а тогда 11

2 2

zzz z

, 2 0z .


Л Е К Ц И Я 4

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Формулу (4.5) удобно интерпретировать как разложение плоского вектора6

z x iy по базису 1;i декартовой прямоугольной системы координат Oxy 7. По оси

абсцисс этой координатной системы принято откладывать значение Rex z , а по оси ор-

динат – значение Imy z :

В соответствии с этой традицией ось абсцисс называют действительной осью, а

ось ординат – мнимой осью. Саму же координатную плоскость именуют комплексной

плоскостью, или плоскостью .

Поскольку координаты векторов (точек) z и z – противоположные действитель-

ные числа, то на комплексной плоскости они симметричны относительно начала коорди-

нат, а векторы (точки) z и z , отличающиеся только знаком мнимой части, симметричны

относительно действительной оси.

Модуль комплексного числа должен теперь быть интерпретирован как длина век-

тора z , либо как расстояние от точки z до начала координат. Отсюда немедленно следу-

ет, что Re , Im ,z z z z z .

Сложение (вычитание) комплексных чисел приобретает форму сложения (вычита-

ния) векторов по известным геометрическим правилам треугольника или параллелограм-

ма (см. следующий рисунок).

Расстояние между точками 1z , 2z равно 1 2 2 1z z z z (таков же был и геомет-

рический смысл абсолютной величины в действительном случае). 6 Можно также считать, что z это точка ( , )x y на координатной плоскости.

7 Роль координат в этом разложении играют действительная и мнимая части z , т.е. числа x и y .

1

i

x

y

Im ( )z y

ORe ( )z x

Начало вектора z в начале координат;

конец –в точке с координатами ( , )x y .


Л Е К Ц И Я 4

◆Примеры:

1). 0: , 0RC z z z R R множество точек z комплексной плоскости, равноуда-

ленных на расстояние R от фиксированной ее точки 0z . Таким образом, указанные точки

z , удовлетворяющие уравнению 0z z R , составляют окружность радиуса R с цен-

тром в точке 0 0 0( , )z x y .

2). Уравнение 1 2z z z z определяет множество точек z плоскости , равноуда-

ленных от двух фиксированных ее точек 1z и 2 1z z . Очевидно, что это серединный пер-

пендикуляр отрезка между 1z и 2z :

В координатной форме уравнение серединного перпендикуляра l имеет вид

:l2 2 2

1 1 2 2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x i y y x x i y y x x y y x x

2 2 2 2 2 2 2 2 22 1 1 1 1 2 2 2 2( ) 2 2 2 2y y x xx x y yy y x xx x y yy y

2z

Im z

ORe z

1z

1 2z z

1 2z z

2z

z

2z

Im z

ORe z

1z

l


Л Е К Ц И Я 4

2 2 2 22 1 2 1 1 1 2 22 ( ) 2 ( ) 0x x x y y y x y x y .

3). Уравнение 1 2 2z z z z a , где 1 2

1

2a z z , определяет на плоскости гео-

метрическое место точек, сумма расстояний каждой из которых до двух фиксированных

точек плоскости 1z , 2z постоянна и превосходит расстояние между ними.

Как известно, то эллипс с фокусами в точках 1z , 2z и большей полуосью, равной a :

НЕРАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКА

Для любых комплексных чисел 1z , 2z выполнены соотношения (неравенства тре-

угольника)

(4.10) 1 2 1 2 1 2). ).а б

z z z z z z .

В этих неравенствах легко усмотреть известные из элементарной геометрии соот-

ношения между длинами сторон треугольника, имеющего вершины в точках 1 1 20, ,z z z :

а). в любом треугольнике длина стороны не меньше разности длин двух других его сто-

рон.

б). в любом треугольнике длина стороны не больше суммы длин двух других его сторон. Хотя их можно доказать формально, проще

Ниже приводится формальное доказательство неравенств (4.10).

z

2z

Im z

ORe z

1z

2a


Л Е К Ц И Я 4

б). 22 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 22 ( ) ( )z z z z z z z z x x y y

2 2 2 21 1 1 2 2 22x y z z x y 2 2 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2x x y y x y x y .

Очевидно, что для отрицательной левой части последнее неравенство истинно. Оно

истинно и для неотрицательной левой части, поскольку в этом случае оно равносильно

неравенству 2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2( ) ( ) ( )x x y y x y x y , которое само истинно:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 12 2 0x x y y x x y y x x x y x y y y x y x x y y x y

21 2 2 1( ) 0x y x y истина. Итак, в любом случае доказываемое неравенство равно-

сильно истинному числовому неравенству и потому само истинно.

а).2 2

1 2 1 2z z z z 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 22 ( ) ( )z z z z x x y y

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 22 2x x x x y y y y 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2x y x y x x y y

2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2( )x x y y x y x y . Вновь для отрицательной левой части это неравенство

истинно, а для неотрицательной оно равносильно неравенству 21 2 1 2( )x x y y 2 2

1 1( )x y

2 22 2( )x y , истинность которого уже доказана выше.

Обобщением неравенства б). в (4.10) служит следующее выражение

(4.11) 1 1

n n

m mm m

z z

– модуль суммы комплексных чисел не превосходит суммы модулей слагаемых, также

хорошо известное в случае z .

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Помимо декартовых координат ,x y положение точки на плоскости можно охарак-

теризовать также ее полярными координатами ,r :

r – полярный радиус – расстояние от точки до фиксированной точки плоскости, назы-

ваемой полюсом полярной системы координат;


Л Е К Ц И Я 4

– полярный угол – угол между размерность радиус-вектором точки и лучом, выпу-

щенным произвольно в определенном направлении из полюса и лежащим в плоскости.

Этот луч именуется полярной осью. Положительное направление отсчета угла против

часовой стрелки, см. следующий рисунок.

Принято размещать изображенную фигуру на комплексной плоскости так, чтобы

полярная ось совпадала с ее действительной осью, а полюс – с точкой 0z началом де-

картовой системы:

Угол именуют аргументом комплексного числа :z arg z . Для полюса, т.е.

точки 0z значение не определено.

В полярных координатах описанного вида 2 2z x y r , а связь декартовых и

полярных координат точки z выражают формулы cos

sin

x ry r

. Применив (4.5), можем

представить любое комплексное число 0z в виде

(4.12) (cos sin )z x iy r i

O

z

rполюс

полярная ось

l

r

(полюс)

l

z

Re z

Im z

O


Л Е К Ц И Я 4

Запись (4.12) называют тригонометрической формой комплексного числа.

Аргумент комплексного числа, заданного в алгебраической форме z x iy , оп-

ределяется из системы уравнений ( 0z )

(4.13) 2 2

2 2

cos

sin

x xr x yy yr x y

и определен неоднозначно. Все возможные его значения задаются формулой

(∗) 0arg 2z k ,

где 0 одно (любое) из решений системы (4.13), k .Следствием системы (4.13) явля-

ется равенство

(4.14) tg , 0y xx

.

Следует иметь в виду, что среди значений , удовлетворяющих этому уравнению,

есть и такие, которые не являются решениями системы (4.13), т.е. не могут быть значе-

ниями arg z .

◆Пример:

1z i , так что 1, 1x y . Ясно, что в качестве 0 можно выбрать 0

3

4

3arg( 1) 2 ,

4i k k

.

1i

Re z

Im z

O

0

3

4

i

1


Л Е К Ц И Я 4

Уравнение (4.14) сводится к следующему: tg 1 и имеет корни 4

m ,

m . Находящиеся среди них числа 2 ,4

l l , не являются значениями функ-

ции arg( 1)i 8, а остальные являются.

Пусть в (4.12) 1r z . Тогда

cos sin ( )z i f .

Стоящее в правой части этого равенства выражение, как функция переменной ,

обладает следующими свойствами.

∙ 1 2( )f 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2cos( ) sin( ) cos cos sin sin (sin cosi i

2 1sin cos ) 1 1 2 2(cos sin )(cos sin )i i 1 2( ) ( )f f ;

∙ 1 2( )f 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2cos( ) sin( ) cos cos sin sin (sin cosi i

2 1sin cos )

2 22 2

1 1 2 2 1 1

2 2 2 2 2 2

cos sin 1

(cos sin )(cos sin ) (cos sin )

(cos sin )(cos sin ) (cos sin )

i i ii i i

1

2

( )

( )

ff

;

∙ ( )d f

d

(cos sin ) sin cos (cos sin )

d i i i id

( )i f 9.

Как видно, два первых свойства полностью совпадают со свойствами показатель-

ной функции, а последнее показывает, что показатель экспоненты есть i .

8 В отличие от большинства функций действительного анализа эта функция многозначная. Ее многозначность

обусловлена «устройством» (топологической структурой) плоскости . В ряде случаев бывает целесообразно

тем или иным способом выделить т.н. однозначные ветви этой многозначной функции с тем, чтобы каждой

точке комплексной плоскости, кроме начала координат, соответствовало единственное значение аргумента. В

этом случае аргумент изменяется на полуотрезке длиной 2 . Ветвь Arg :z 0 Arg 2z называется глав-

ным значением аргумента. В некоторых учебниках так называют ветвь, отвечающую промежутку ( , ] .

9 Правила дифференцирования применим так, как если бы « i » была вещественной константой.


Л Е К Ц И Я 4

Опираясь на эти эвристические рассуждения, по определению полагают

(4.15) cos sinie i .

Формула (4.15) называется формулой Эйлера.

◆Примеры:

2 2cos 2 sin 2 1; cos sin ;2 2

iie i e i i

2 cos sin ;

2 2

i

e i i

41

cos sin4 4 2

i ie i

и т.п.

Из (4.15) выводим cos sinie i , что вкупе с (4.15) дает возможность записать

2cos(cos sin ) (cos sin )

2 sini ie e i i

i

, откуда последует, что

(4.16) cos ;

2

sin .2

i i

i i

e e

e ei

.

Соотношения (4.16), посредством которых cos и sin выражаются через эйлеро-

ву экспоненту ie , также называют формулами Эйлера.

Возводя обе части равенства (4.15) в действительную степень n и пользуясь свой-

ствами экспоненциальной зависимости, приходим к известной формуле Муавра

(4.17) ( ) (cos sin ) cos sin ,i n in ne e i n i n n .

Эта формула – мощное средство получения множества соотношений, известных из

тригонометрии и выводимых там зачастую менее эффективными методами.

◆Примеры:

1). 2 2 2(cos sin ) cos 2 sin cos sin cos 2 sin 2i i i .


Л Е К Ц И Я 4

Отсюда, приравняв действительные и мнимые части левой и правой частей равен-

ства, получаем известные формулы двойного угла

▶ 2 2cos 2 cos sin ; sin 2 2sin cos .

Аналогично можно получить, например, и полезные в ряде случаев формулы трой-

ного угла, отталкиваясь теперь от равенства

3 3 2 2 2 3 3(cos sin ) cos 3cos sin 3cos sin sin cos3 sin 3i i i i i , кото-

рое дает

▶ 3 2 2 2cos3 cos 3cos sin cos (cos 3sin );

▶ 2 3 2 2sin 3 3cos sin sin sin (3cos sin ) .

2). Вычислим суммы

1 1 cos cos 2 cosS n и

2 0 sin sin 2 sinS n .

Положим

1 2 1 (cos sin ) (cos 2 sin 2 ) (cos sin )S S iS i i n i n

21 i i ine e e (сумма ( 1)n го члена геометрической прогрессии со знамена-

телем ie )

1

22 2

( 1)

2 2

2

sin2

1

1

22

i ii n

i n

i i i

i

e e ee

ee e

e ii

1 1cos cos sin sin

2 2 2 2

2 sin2

n i ni

1 1 1sin sin cos cos

2 2 2 22sin 2sin2 2

in n .


Л Е К Ц И Я 4

Таким образом,

(4.17)1 1S 0

cosn

kk

1

sin sin2 2

2sin2

n

2 2 2 22sin cos2 2

2sin2

n n

( 1)sin cos

2 2

sin2

n n

.

(4.17)2 2S 1

sinn

kk

1

cos cos2 2

2sin2

n

2 2 2 22sin sin2 2

2sin2

n n

( 1)sin sin

2 2

sin2

nn

.

Важный вывод: 1S и 2S ограниченные величины: 1

1

sin2

S

, 2

1

sin2

S

.

Использованные при выводе формулы замены сумм тригонометрических функций

произведениями сами могут быть получены из формул Эйлера (4.16).

3). Так, например, ( ) ( ) ( ) ( )

sin sin2 2 4

ia ia ib ib i a b i a b i b a i a be e e e e e e ea bi i

cos( ) cos( ) cos( ) cossin( ( )

4

) sin( )sin( ) sin( )a b a b b ai a b ii a b ba ab ba i

cos( ) cos( )

2

a b a b

. Полагая здесь , ,

2 2

x y x ya b x a b y a b ,получаем

окончательно

cos cos 2sin sin2 2

x y x yx y и т.п.


Л Е К Ц И Я 4

4). Формулы Эйлера (4.15), (4.16) служат отправной точкой для обобщения элементарных

функций вещественного анализа на случай комплексных переменных. Не имея целью в

данном курсе лекций изучать функции комплексного переменного систематически, при-

ведем, тем не менее, несколько определений таких функций. Итак, пусть z x iy .

∙ ze x i ye ≝ x iye e (cos sin )xe y i y ;

∙cos z≝( ) ( ) (cos sin ) (cos sin )

2 2 2 2

iz iz i x iy i x iy y ix y ix y ye e e e e e e x i x e x i x

cos sin2 2

y y y ye e e ex i x

cos ch sin shx y i x y ;

∙sin z≝( ) ( ) (cos sin ) (cos sin )

2 2 2 2

iz iz i x iy i x iy y ix y ix y ye e e e e e e x i x e x i xi i i i

cos sin2 2

y y y ye e e ex xi

sin ch cos shx y i x y 10;

∙ch z≝ (cos sin ) (cos sin )

2 2 2

z z x iy x iy x xe e e e e y i y e y i y

cos sin2 2

x x x xe e e ey i y

cos ch sin shy x i y x ;

∙sh z≝ (cos sin ) (cos sin )

2 2 2

z z x iy x iy x xe e e e e y i y e y i y

cos sin2 2

x x x xe e e ey i y

cos sh sin chy x i y x ;

Эти определения вскрывают органическую связь экспоненты, тригонометрических

и гиперболических функций, которая не была такой явной в действительном случае. Все

выписанные выражения сводятся к действительному случаю, если в них положить Imz

10 Учтено, что 1 / i i .


Л Е К Ц И Я 4

0y . Введенные функции комплексного переменного «наследуют» часть свойств от

своих вещественных аналогов, но приобретают и некоторые новые свойства.

▲ Проверьте, что по-прежнему 2 2sin cos 1z z .

▲ Выясните, имеет ли решения уравнение cos 3z и если да, то найдите все эти решения.

▲ Докажите, что ch( ) cosiz z , ch cos( )z iz ; sh( ) siniz i z , sh sin( )z i iz .

▲ Выведите формулы Муавра для гиперболических функций: (ch sh ) ch shn n n ,

n .

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Из (4.12), (4.15) следует, что

(4.18) (cos sin ) , , 0iz r i re z z .

Такое представление комплексного числа называется его показательной формой.

Можно написать еще

(4.18’) arg , , 0i zz z e z z .

Свойства экспоненты, фигурирующей в (4.18), (4.18’), позволяют дать простые

правила выполнения умножения и деления комплексных чисел.

Действительно,

∙ 1 2 1 2( )1 2 1 2 1 2

i i iz z r e r e r r e ,

∙ 1 2( )1 1

2 2

iz re

z r

, 2 0z .

Таким образом, модуль произведения (частного) двух комплексных чисел равен

произведению (частному) их модулей, а сумма (разность) аргументов сомножителей (де-

лимого и делителя) является аргументом произведения (частного):


Л Е К Ц И Я 4

(4.19)1 1 2 1 2z z z z ; 1 11 2 1 2

2 2

argarg( )

arg

zz z

z

.

(4.19)2 11

22 2

; 0zz

zz z

; 1 1 11 2

2 2 2

argarg

arg

z zz z

.

Те из соотношений (4.19), которые связаны с модулями, были ранее выведены дру-

гими способами (см. стр. 9).

Экспоненциальная форма комплексных чисел дает удобный способ получения ряда

важных результатов в геометрии.

◆Пример:

Найдем связь «старых» и «новых» координат плоского вектора при повороте осей

д.п.с.к. Oxy .

Пусть новые координаты вектора z будут ,x y . Поскольку поворот осей на угол

равносилен повороту z на угол , то получаем

( )i i i i

zz

z z e z e e z e

, или ( )(cos sin ) cos sinx

x iy x iy i x y

( cos sin )y

i y x

.

Итак, искомая связь новых и старых координат z имеет вид cos sin

cos sin

x x yy y x

,

z

Re z

Im z

O

Re zIm z

угол поворота осей д.п.с.к.


Л Е К Ц И Я 4

или в матричной форме cos sin

sin cos

x x xM

y y y

.

Здесь действие на вектор xy

оператора поворота на угол равнозначно умно-

жению на него матрицы cos sin

sin cosM

.

▲ Дайте геометрическую интерпретацию матричному равенству

2

cos sin cos( ) sin( ) cos sin cos sin

sin cos sin( ) cos( ) sin cos sin cosM M

.

ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ НАТУРАЛЬНОЙ СТЕПЕНИ ИЗ КОМПЛЕКС-

НОГО ЧИСЛА


Пусть , 0a a . Корнем n й степени из комплексного числа a называется

комплексное число z , n й степень которого равна a , т.е.

(4.20) ,nz a n .

Корень n й степени из a обозначается стандартным образом, а именно как n a .

Будем решать уравнение (4.20) относительно z , используя показательную форму

представления чисел ,z a . Для этого положим iz re , ia e , где arg z (какое-то из

значений аргумента z ) и arg a (тоже некоторое значение многозначной функции

arg a , см. равенство (∗), стр. 15).

Тогда n n i nz r e , а уравнение (4.20) следует истолковать как равенство двух ком-

плексных чисел, представленных в экспоненциальной форме. В связи с многозначностью

аргумента можем записать следующее условие эквивалентности

(4.20) 2 ,

nrn k k

.


Л Е К Ц И Я 4

Эта система условий определяет величину модуля искомого числа z и множество

значений его аргумента в виде

nr (арифметический корень n й степени из положительного числа );

2

,kk k

n n

.

Бесконечное количество значений аргумента в последней формуле не должно

вводить в заблуждение по поводу количества различных решений уравнения (4.20). В са-

мом деле, ввиду того, что n , а k , имеется только n различных точек на ком-

плексной плоскости, изображающих решения (4.20). Это обстоятельство обусловлено тем,

что изменяя k , скажем, от значения 0k (можно и от любого другого целого значения) с

шагом 1, т.е. в сторону его увеличения (можно и с шагом 1 в сторону уменьшения), че-

рез n шагов получим аргумент 2

2nn

n n n

, отличающийся от 0 n

на пол-

ный оборот. Следовательно, числа 00

iz re и ninz re изображаются одной и той же

точкой на комплексной плоскости (их алгебраические формы тождественны). Далее опи-

санное совпадение ( 1z с 1nz , 2z с 2nz и т.д.) продолжится с цикличностью в n шагов.

Итак, различными решениями уравнения (4.20) будут

(4.21)

2

( )

, 0 , 1, , 1n n

k

kin nn

k

a a

z e k n

.

◆Замечание Если в качестве взять какое-либо иное значение arg a , то множество точек, опи-

сываемое формулой (4.21), не изменится. Могут измениться лишь «начальная точка» и

направление обхода этого множества (последнее зависит от «направления» изменения но-

мера k ).

◆Примеры:

1). Извлечь квадратный корень из числа i .


Л Е К Ц И Я 4

Имеем arg 21

ii ia i i e e

, где в качестве значения аргумента i взято число 2

(можно взять любое из чисел 2 ,2

m m ).

Тогда квадратные корни из i задаются формулой 2 2 41i k i k

k kz i e e

,

0 , 1k . Их два, а именно:

00

11

2(1 );

2

2(1 ).

2

z i i

z i i

2). Извлечь корень 4 q степени из числа 1.

В этом случае 01 1 ie , так что 1 , 0 , откуда по (4.21) находим

00

0

21

1

22

3

23

3

1 1;

1 ;

1 1;

1 .

i

i

i

i

z e

z e i

z e

z e i

3). Два предыдущих примера показывают, что сумма всех корней натуральной степени из

комплексного числа 0a равна нулю. Докажем это в общем виде.

Из (4.21) суммированием по k находим

1

0

n

kk

z

i

n ne

21

0

22

kinn

ke n

n

2 ( 1) 1(1

1

n ii i n i

i

ee e ee

Re z

Im z

O / 4

0

i

1

i

Re z

Im z

O

4

01

4

11

4

21

4

31


Л Е К Ц И Я 4

21 1 1

1 1

i

i i

ee e

0 , что и требовалось доказать.

4). Пусть a , т.е. корень натуральной степени извлекается из действительного числа.

Тогда можем взять 0 и формула (4.21) преобразуется к виду

2

( ) , 0, 1, , 1ki

n n nka a e k n

.

Отсюда следует, что

n

n ka

2 ( ) 2 22

1

n k i ki kiin n nn n na e a e e a e

n

ka .

Это означает, что при Im 0n

ka

наряду с числом n

ka среди корней уравне-

ния (4.20) содержится также и комплексно сопряженное число n

ka .

Применения комплексных чисел в математике многочисленны и разнообразны.

Достаточно сказать, что на этом фундаментальном понятии основан большой раздел ма-

тематических методов, именуемый теорией функций комплексного переменного

(ТФКП).

Одной из важных алгебраических задач, при решении которой используются ком-

плексные числа, является отыскание корней так называемого алгебраического уравнения –

уравнения вида

(4.22) ( ) 0nP z .

где функция 11 1 0( ) , 0n n

n n n nP z a z a z a z a a многочлен степени n от пере-

менной z (комплексной), коэффициенты которого 0na a также комплексные числа.

Частной формой задачи (4.22) является задача решения квадратного уравнения с

действительными коэффициентами, но отрицательным дискриминантом, неразрешимая в

действительных числах.

Получим решение этой задачи в общем виде. Пусть дано квадратное уравнение от-

носительно x вида


Л Е К Ц И Я 4

(4.23) 2 0ax bx c .

После выделения полного квадрата по x и деления обеих частей на 0a , находим

22 2 22

2

42 0

2 4 2 44

b b b b b aca x x c a xa a a aa

, или

2

22 4

b Dxa a

, где 2 4 0D b ac дискриминант заданного уравнения.

Задача свелась к извлечению квадратного корня из отрицательного числа 24

Da

.

Поскольку 1 i (проверьте, используя общий результат (4.21)), то

2 2 24

D D Di ia aa

, каков бы ни был знак числа a (отбрасывание знака абсо-

лютной величины только меняет порядок корней). Следовательно, комплексное число

2

bxa

– искомый квадратный корень из 24

Da

– может быть записано в виде

2

bxa

2

D ia

, а тогда в традиционной записи

(4.24) 1,2 2

b D ixa

корни уравнения (4.23).

Заметим, что результат (4.24) легко обобщается на случай произвольных ком-

плексных коэффициентов квадратного уравнения. Именно, корни такого уравнения дают-

ся формулой

(4.24’) 1,2 2

b Dxa

,

где D – это квадратный корень из числа D , которое следует трактовать как комплекс-

ное. При 0D этот корень имеет два различных значения.


Л Е К Ц И Я 4

◆Пример:

2 1 0 1 4 3x x D и по формуле (4.24) получаем 1,2

1 3

2

ix (полезно убе-

диться прямой подстановкой чисел 1 3

2

i в данное уравнение в том, что они действи-

тельно ему удовлетворяют).

Как видно, решением оказалась пара комплексно сопряженных чисел 1 3

2

i

1 3

2 2i и

1 3 1 3

2 2 2

i i .

Итак, введение комплексных чисел делает решение задачи о нахождении корней

квадратного уравнения (в частности, «школьного», т.е. имеющего действительные коэф-

фициенты) логически завершенным. Теперь все без исключения квадратные уравнения

имеют корни, причем их всегда ровно два (с учетом кратности). Напомним, что квадратное

уравнение имеет корень кратности 2 тогда и только тогда, когда выполнено равенство

22 0

2

bax bx c a x Da

, так что 1,2 2

bxa

.

Обобщением этого факта является следующее фундаментальное утверждение, из-

вестное под именем основной теоремы алгебры:

Всякое алгебраическое уравнение имеет корень (комплексный).

Следствием из этого утверждения является другое:

Алгебраическое уравнение степени n имеет ровно n корней с учетом кратности.

Понятие кратности корня устанавливает следующее


Число 0z есть m кратный корень уравнения (4.22), если многочлен ( )nP z делится

нацело на 0( )mz z , но не на 10( ) ,mz z m .


Л Е К Ц И Я 4

◆Замечание Уравнение (4.20) при 0a имеет n кратный корень 0z .

На практике часто приходится решать уравнения вида (4.22) с действительными

коэффициентами: 0, ,na a . Оказывается, что множество решений такого уравнения

обладает важным свойством, которое можно установить в общем виде, опираясь на пере-

численные ниже дополнительные сведения о свойствах операции комплексного сопряже-

ния:

∙ Пусть iz re , тогда (cos sin ) cos sin cos sin iz r i r ir r ir re . Таким

образом, z z , и если arg z , то arg z .

∙ 1 2 1 2z z z z .

∙ 1 2 1 2z z z z .

∙ 1 12

2 2

, 0z z zz z

.

∙ ,n nz z n , причем при 0n 0z .

Например, если 1 1 1 2 2 2,z x iy z x iy , то

▶ 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1( ) ( ) ( )z z z x iy x iy x x y y i x y x y

▶ 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1( )z z x x y y i x y x y

▶ 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2( ) ( ) ( )z z z x iy x iy x x y y i x y x y z z .

▲ Докажите остальные утверждения.

Допустим теперь, что в уравнении (4.22) 0, ,na a , т.е. , 0,1, ,k ka a k n .

Пусть, далее, 0z корень этого уравнения, так что

10 1 0 1 0 0 0( ) 0n n

n n na z a z a z a P z .

Отсюда вытекает, что

1 10 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0( ) n n n n

n n n n nP z a z a z a z a a z a z a z a


Л Е К Ц И Я 4

1 10 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0n n n n

n n n na z a z a z a a z a z a z a

1

0 1 0 1 0 0

n n

n na z a z a z a

0( ) 0nP z .

Это означает, что комплексные числа 0z , у которых 0, Im 0z , входят в множест-

во решений уравнения (4.22) с вещественными коэффициентами в виде комплексно со-

пряженных пар. Проще говоря, если 0z корень уравнения, то и 0z тоже его корень.

С проявлением этого общего правила сталкивались в рассмотренном выше примере

решения квадратного уравнения с действительными коэффициентами, а также при извле-

чении корней натуральной степени из действительного числа. Эта последняя задача рав-

носильна задаче решения алгебраического уравнения 1 0nz a с действительными ко-

эффициентами 0 1 11, , 0n na a a a a .

◆Замечание

Вооружившись обобщением множества действительных чисел до множества ком-

плексных, получаем возможность в будущем более широко трактовать элементы встре-

чающихся матриц и определителей и сформировать логически стройный взгляд на ряд

общих вопросов линейной алгебры.

=======================================================================

Краткая биографическая справка

■ Эйлер Леонард (1707–1783 г.г.) –великий швейцарский математик, механик и физик.

■ Абрахам де Муавр (1667–1754 г.г.) – английский математик.

Лекция 4. Комплексные числа Определение …...2010/10/25 · 1 Л...

Documents