4 p. 5 o - inpeclaudia.rodrigues/ast409/bloco09...n e jk b jk u ∑ k j a jk] = ∑ k n k n e kj b...
TRANSCRIPT
9-1
Aula 9
●Excitação no M
I – Equilíbrio estatístico
●R
eferências–
Maciel – C
ap. 5–
Spitzer – Cap. 4
–Scheffler &
Elsässer – Seções 5.1.2
9-2
Introdução●
No equilíbrio term
odinâmico (ET), as populações dos níveis
são dadas pela equação de Boltzm
ann, que é função de:-
temperatura;
-parâm
etros atômicos.
●Para situações fora do ET, podem
os introduzir os coeficientesde desvio,
bk e bj . D
e modo que a eq. de B
oltzmann
modificada torna-se:
nj =
nk g
j
gk exp −
Ej −
Ek
kT g
j egk :pesosestatísticosdosníveis
jek;
Ej eE
k :energiadosníveis
jek.
nj
nk =
bk
bj g
j
gk exp −
Ej −
Ek
kT
9-3
●a razão entre as populações dos níveis de energia j e k podemser
obtidas se
considerarmos
todos os
processos de
povoamento e despovoam
ente de cada um dos níveis
●N
esta aula, estudaremos com
o obter as populações dos níveisde energia no caso de equilíbrio estatístico
●Farem
os aplicações aos casos de átomos sim
plicados como
um sistem
a de 2 ou 3 níveis
9-4
Equilíbrio estatístico●
No estado estacionário, tem
os:
●Se cham
amos de
(Rjk )y , [s -1], a probabilidade por unidade de
tempo de transição do nível j para o k através do processo y, tem
osque:
onde j e k são estados ligados. Isto é, as recombinações e ionizações
não são consideradas. Isso é um aproxim
ação razoável, pois essesprocessos são m
enos frequentes que as transições ligadas.
dnj
dt=
0⇒n
j t=n
j
dnj
dt=
−n
j ∑y ∑
kR
jk y ∑y ∑
kn
k Rkj y =
0E
quação deequilíbroestatístico
9-5
●
Se um dado átom
o possui m estados de energia, existirão
(m-1) equações linearm
ente independentes.●
A solução desse sistem
a fornece as densidades relativasentre todos os níveis.
-é necessário o
conhecimento das taxas associadas a cada
um dos processos que prom
ovem transição entre níveis
●Exem
plo: espécie com dois níveis de energia (j e k) e apenas
um processo de transição
−n
j Rjk
nk R
kj =0
nk
nj =
Rjk
Rkj
9-6
Processos puramente colisionais
●Q
uando o único processo de povoamento e despovoam
entode níveis é a colisão, tem
os que as populações dos níveis sãodadas pela eq. de B
oltzmann:
nj *
nk * =
gj
gk exp −
Ejk
kT
onde as densidade n* referem-se, então, aos valores em
ET
9-7
Excitação colisional/radiativa●
Vam
os agora verificar a forma da eq. de equilíbrio estatístico no
caso em que processos colisionais E
radiativos são importantes
●Probabilidades de processos
-excitação e desexcitação colisionais, (R
jk )c e (Rkj )c , [s
-1]-
transições espontâneas – emissão -, A
kj , [s-1]
-transições induzidas – absorção –, B
jk ●
Taxa ou coeficiente de excitação colisional, γjk
-onde nc é usualm
enteelétrons ou
átomos ou
moléculas de
hidrogênio,de acordo com as características físicas da região
de interesse. É a partícula com a qual as colisões são m
aisfrequentes
jk =
Rjk c
nc
[cm3 s -1]
9-8
●
Assim
, considerando, por exemplo, colisões com
elétrons, aequação de equilíbrio estatístico do nível j torna-se:
nj[ ∑
kn
e jk
Bjk U
∑kj A
jk] =
∑k
nk n
e kj
Bkj U
∑kj n
k Akj
despovoamento
povoamento
emissões para
níveis inferioresa j
transiçõescolisionaisa partir de j transições radiativas
induzidasa partir de j
transições radiativasinduzidas
com estado final j
emissões de
níveis superiorescom
estado final j
transiçõescolisionaiscom
estadofinal j
9-9
Balanceam
ento detalhado
●A
condição de balanceamento detalhado é aquela onde
um
dado processo
y possue
exatamente
a m
esma
probabilidade de ocorrer nos dois sentidos
●Exem
plo:-
a probabilidade de excitamento colisional do nível j
para o k é a mesm
a do decaimento colisional de k
para j
9-10
Relação entre γjk e γkj
●Em
ET, existe equilíbrio estatístico considerando-se apenascolisões e balanceam
ento detalhado. Assim
, temos que:
nj *∑
kn
e jk =∑
kn
k *ne
kj
nj *n
e jk =
nk *n
e kj
que considerando apenas dois níveis (= balanceamento detalhado)
torna-se
gj
jk =g
k kj e
−E
jk
kT
Usando a eq. de B
oltzmann, tem
os:
9-11
Taxa de excitação colisional●
taxas de colisões dependem de:
-form
as de potenciais elétricos-
velocidades relativas
P(u) dt = nc u σ(u) dt
Probabilidade de colisãode 1 partícula teste comum
a partícula de campo
por unidade de tempo
velocidaderelativa
seção de choquede colisãoσ(u)u Δt
9-12
●
Relação entre taxa de colisão e seção de choque de colisão:
●D
istribuição de Maxw
ell para velocidades é válida se colisõesforem
perfeitamente elásticas. M
as, esse não é estritamente o
caso...✔colisões inelásticas: excitação
✔colisões superelásticas: decaim
ento●
Porém, colisões não-elásticas são pouco prováveis (próxim
o slide)✔
Assim
, distribuição de Maxw
ell pode ser aplicada
jk =
⟨u
jk ⟩
jk = ∫
ujk ufudu
∫fudu
9-14
jk =
4l 3
∫0 ∞
u3
jk uexp−l 2u
2du
onde:
l 2=m
r
2kT
mr =
mc m
t
me
mt
onde f(u) foi substituída pela distribuição de Maxw
elldas velocidades relativas
9-15
Relações entre seções de choque
●C
onsiderando:-
balanceamento detalhado
-diferença de energias cinéticas = diferença de energiaentre estados
-distribuição de M
axwell
-distribuição de B
oltzmann
gj
jk uj 2=
gk
kj uk 2
9-16
Seção de choque e força de colisão●
excitação só ocorre se energia cinética é maior que diferença
de energia entre níveis-
assim, σ
kj tem um
valor nulo desde velocidades nulas atéquando a energia cinética iguala E
jk , a partir de ondepassa a ter um
valor diferente de zero●
Com
o varia a seção de choque com u?
-se as duas partículas são carregadas, a dependência com
ué grande
-se um
a das partículas é neutra, a dependência é pequena✔uk σ
kj (uk ) ~ cte. ou pouco dependente de u
9-17
●
No caso de colisões entre elétrons e íons, tem
os:
●vj é a velocidade do elétron, considerando que a velocidadedo íon é desprezível
●R
elação entre as forças de colisões em cada um
dos sentidos:
●R
elação entre força e taxa de colisão
jk v
j =g
j h
2
me v
j 2j,k
força de colisão(adim
ensional)
j,k=
k
,j
jk v
j =h
2
gk 2
m
e 3/2kT
1/2
j,k
9-18
APL
ICA
ÇÕ
ES
Site com dados atôm
icos para cálculos:http://hom
e.strw.leidenuniv.nl/~m
oldata/
9-19
OII e O
III em nebulosas fotoionizadas
●Por que o oxigênio é im
portante em nebulosas?
-é abundante: nO ~10 -4 nH
-transições envolvem
energias próximas nas disponíveis nesses
ambientes
✔E
exc ~5 eV ~ velocidade m
édia de um gás a 10.000 K
●Estrutura atôm
ica dos íons mais abundantes
✔Fig. 5.1 – M
aciel – p. 131✔
NII tem
estrutura dos níveis similar a do O
III●
valores da seção de choque de colisão dependem da velocidade e
precisam ser calculados por teorias quânticas
-em
astrofísica considera-se valores médios para as forças de
colisão considerando-se uma distribuição m
axwelliana de v
9-20Fig. 5.1 – M
aciel – p. 131
9-21
Colisão ou em
issão?●
Considerando
-transição 3P
1,2 – 1D2 do O
III (4959/5007 Å)
-T = 10.000 K
-ne ~ 10 4 cm
-3
-γkj ~ 3.7 10 -8 cm
3 s -1 -
ne γkj ~ 3.7 10 -4 s -1
-A
kj ~ 0.027 s -1
Portanto, desexcitação sera radiativa!
A m
aior parte da emissão das
nebulosas fotoionizadas dá-seem
linhas nebularesFig. 5.2 – M
aciel – p. 133
9-22
Tab. 5.1 – Maciel – p. 130
9-23
Fig. 5.2 – Maciel – p. 133
9-24
Excitação colisional do H
em regiões H
IL
inha de 21cm●
excitação dos níveis hiperfinos do H●
em regiões H
I colisão com H
é mais im
portante que com e-
●coeficientes de desexcitação (Tab. 5.3 – M
aciel – p. 134)●γjk = 2.2 10 -10 cm
3s -1
-calculado a partir da relação entre taxas
●nH γkj ~ 10 -10 – 10 -8 s -1
-considerando nH
entre 1 e 100 cm- 3 (típicos de região H
I)●
Akj ~10 -15 s -1
●A
ssim, nH γkj >> A
kj
-um
exemplo de processo onde colisão é im
portante
Nesse caso, podem
os considerar as populações dadas pela eq. de
Boltzm
ann?
9-25
Tab. 5.3 – Maciel – p. 134
9-27
A equação de equilíbrio estatístico pode ser usada para determ
inar os coeficientes de desvio do ET
9-28
Átom
os com 2 níveis
●C
omo fica a equação de equilíbrio estatístico para:
-um
átomo de 2 níveis: 1(inferior) e 2 (superior);
-colisões com
e-(se a colisão m
ais importante for com
outrapartícula, apenas se m
uda a densidade correspondente)
n1 n
e 12
B12 U
=n
2 ne
21 B
21 U
n2 A
21
n2
n1 =
ne
12 B
12 U
ne
21 B
21 U
A21
9-29
●
Usando a eq. de B
oltzmann com
os coeficientes de desvio erelação entre os coeficientes de Einstein, tem
os que:
●A
ssim, b2 /b1 depende de:
-Uν
-A
21
-γ21
-ne
b2
b1 =
ne
21
A21
e
h/kTc
3U
8
h
3
1
ne
21
A21
c
3U
8h
3
9-30
Aplicação para um
campo de radiação de
Planck●
Considerando um
campo de radiação dado por
-W
B(T
r )corpo negro diluído pelo fator W
U =
8h
3
c3
We
h/K
T−1
b2
b1 =
ne
21
A21
W
eh/kT
eh/kT−
1
1n
e 21
A21
W
eh
/kT−
1
Assim
:!
9-31
●
Valores típicos para taxas de colisões em
regiões com T entre
100 e 10.000 K são:
-γ21 ~ 10 -7 – 10 -6 cm
3s -1 -
ne < 10 4 cm-3 (regiões internuvem
, difusas e HII)
✔se transições são permitidas (A
21 ~ 10 8 s -1), temos:
✔γ21 ne << A
21✔nesse caso, poucos átom
os estão no nivel superior(b2 << b1 ) e cada excitação colisional correspondea um
decaimento radiativo
9-32
●
Para transições ópticas e emnuvens difusas, o cam
po deradiação no M
I pode ser expresso pelos coeficientes: -
W = 10 -14 e T
r = 10.000 K (W
: fator de diluição)
●N
esse caso, os termos envolvendo
Uν são desprezíveis e:
●Se γ21 ne >> A
21 (colisões dominam
)✔
●Se γ21 ne << A
21 (decaimento radiativo dom
ina)✔
b2
b1 =
1
1+A
21
ne γ
21
b2
b1 =
1
b2
b1 =
ne γ
21
A21
∝ n
e (<<
1)
Transições no óptico
ETE
9-33
✔se transições são proibidas (A
21 ~ 10 -2 -
10 -3s -1),
temos:
✔✔nesse caso, população do nível superior atingevalores da ordem
de 1 a 10% do caso ET
ne
21
A21
≈0.01−
0.1
9-34
Transições em
rádio●
Cam
po de radiação no MI em
rádio:-
W =1 e T
b = 2.7 K-
considerando hν/kT << 1
●que perm
ite expressar a relação das populações dos níveiscom
o:
b2
b1 =
ne
21
A21
1
h/kT
b
h/kT
b
1n
e 21
A21
1
h/kT
b
nj
nk =
gj
gk exp −
Ejk
kT
ex T
ex =T
xTb
1x
comx=
A21
nc
21
kTh
9-35
●
Linha do H em
21cm-
x ~ 4 10 -4 T/nH-
em nuvens frias
✔T < 100 K e nH > 0.1 cm
-3✔assim
, x << 1✔T
ex = T-
en nuvens quentes✔T ~ 10.000 K✔assim
, x ~ 1✔T
ex ≠ T
9-36
●
Linha do CO
em 2.6m
m-
x ~ 1 10 3 T/nH2
✔assim, so em
nuvens densas Tex = T
●população do nível fundam
ental que dá origem a linha
interestelar de absorção do CN
✔x >> 1✔T
ex = Tb = 2.7 K
9-37
Átom
os com 3 níveis
●níveis de energia: 1, 2 e 3
●transições entre 2 e 3 desprezadas
●transições radiativas induzidas desprezadas
●colisões apenas com
elétrons
I31
I21 =
n3 A
31 hv31
n2 A
21 hv21
I31
I21 =
g3 A
31 v31
g2 A
21 v21[ 1
A21
ne
21
1A
31
ne
31 ] e−
E23 /k
T permite determ
inar ne e T
9-38
●
Com
relação às densidades eletrônicas, temos dois casos:
-ne >> 1
-ne << 1
I31
I21 =
13
12
31
21
I31
I21 =
n3 *
n2 *
A13
A12
31
21
9-39
SII em nebulosas planetárias
●D
iagrama de energia energia ~ a O
II (Fig. 5.1 – Maciel – p.
131)●
Considerando:-
equação sem aproxim
ação em ne
-λ(2,1) = 6730.8 Å
e λ(3,1) = 6716.4 Å-
A21 = 8.8 10 -4 s -1 e A
31 = 2.6 10 -4 s -1 -
calcula-se as taxas de colisão a partir da força de colisão-
T = 10.000 K●
É possivel calcular ne !-
No caso de N
GC
3132, onde a razão de linhas é 0.89,tem
os-
ne = 620 cm-3
9-40
Ver aula 5 de M
ichiel Hogerheijde
Ele apresenta gráficos e expressõesfinais para algum
as situações.
http://home.strw
.leidenuniv.nl/~michiel/ism
class_files/ism10_lecture5.pdf
9-41
Outros processos de excitação
●A
lém de excitações colisional e radiativa, vista nos slides
anteriores, podemos excitar níveis pelos seguintes processos
-recom
binação radiativa
-recom
binação dieletrônica✔íon + elétron
átomo com
1e- em nível excitado
✔energia em excesso excita elétron
✔cascateamento para níveis inferiores
✔importante se T > 10.000 K
✔se T < 10.000 K, energia cinética não é suficiente
para excitar e- interno
9-42
-
Povoamento por em
issão de 2 fótons✔quando
a transição
para um
nível
inferior não
épossível, pode ocorrer a em
issão de dois fótons cujasom
a de energias seja Ejk
✔Ex.: recombinação do H
✔importante em
NP
-Excitação por bom
beamento de fótons
✔Ex.: molécula do H
2
-Excitação por reações de troca de carga
✔A + B
+ A
+ + B*
A+ + B
+ hν