นยาม ให

kcjbiat

, , ,x x t y y t z z t t I

2

3

: ,

: ,

R R t x t i y t j

R R t x t i y t j z t k

:f

โดเมนของ R

สวนประกอบของ R

บทท 4 ฟงกชนเชงเวกเตอร และอนพนธ4.1 ฟงกชนเชงเวกเตอรของตวแปรเชงเดยว

0

0 0 0 0

lim

lim lim lim lim

t t

t t t t t t t t

R t L

x t i y t j z t k x t i y t j z t k

นยาม ให เปนฟงกชนเชงเวกเตอร และ เปนเวกเตอร แลว มลมตเทากบ ในขณะท เขาใกล แทนดวย

R t x t i y t j z t k L R

L t 0t

0

limt t

R t L

ซงมความหมายวา ส าหรบทก ๆ จ านวน จะมจ านวน ซงส าหรบทก ๆ คา ถาแลว

0 0 t 00 t t

R t L

4.2 ลมตและความตอเนอง

กฎของลมตถาให และ แลว

0 0

lim , limt t t t

F t L G t M

0

limt t

u t A

0

0

0

0

0

1. lim

2. lim ,

3. lim

4. lim

5. lim

t t

t t

t t

t t

t t

F t G t L M

cF t cL c

u t F t AL

F t G t L M

F t G t L M

ตวอยาง ให จงหา cos sinR t t i t j t k 4

limt

R t

นยาม ถา แลว มความตอเนองท

ถา มความตอเนองททก ๆ จดในโดเมนของ แลว เปนฟงกชนตอเนอง

มความตอเนองท กตอเมอ และ มความตอเนองท

0

0limt t

R t R t

R t 0t t

R t R t R t

R t x t i y t j z t k 0t t

0t t

,x t y t z t

ตวอยาง จงพจารณาวา เปนฟงกชนตอเนองหรอไม cos sinR t t i t j t k

ตวอยาง จงพจารณาวา มความตอเนองท หรอไม R t a i a ct j 0t

นยาม ให เปนฟงกชนเชงเวกเตอร ซงมความตอเนองบนชวง และ

ถา หาคาได แลวจะเรยก วาเปนอนพนธของ ท เขยนแทนดวย

หรอ

นนคอเมอลมตหาคาได

R I

R 0 0

0limt

R t t R t

t

0t

0t I

0 0

0limt

R t t R t

t

0t t

dR

dt

0R t

0 0

00

limt

R t t R tR t

t

4.3 อนพนธของเวกเตอร

ทฤษฎบท ให เปนฟงกชนเชงเวกเตอร โดยท และเปนฟงกชนคาจรงทมอนพนธท แลว จะไดวา มอนพนธท และ

,R t x t i y t j z t k t I ,x y y t

z t Rt t

,R t x t i y t j z t k t I

1.

2.

3.

4.

5.

6.

cF t cF t

uF t u t F t u t F t

F G t F t G t

F G t F t G t

F G t F t G t F t G t

F G t F t G t F t G t

ทฤษฎบท ให และ เปนฟงกชนเชงเวกเตอร เปนฟงกชนคาจรง ซงมอนพนธท และ แลว และ มอนพนธท และจะไดวา

F G u

, , , ,cF uF F G F G F G

ct

F G t

4.4 เวกเตอรสมผสขนาดหนงหนวย เวกเตอรปกตขนาดหนงหนวย และความโคง

ก าหนดเสนโคงเวกเตอรสมผสเสนโคงทจด คอ

การหาสมการเสนสมผส ท าไดโดย1) หาจดสมผส (จดบนเสนโคง)2) หาเวกเตอรสมผส

R t x t i y t j z t k

t a R a

R

เวกเตอรสมผสหนงหนวย

R t x t i y t j z t k

R t

, ,x t y t z t

,

R t dsT t R t

dtR t

เวกเตอรปกตหนงหนวยคอ เวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบ เมอ แทนดวย

นนคอ

T t 0T t N t

T tN t

T t

เวกเตอรแนวฉากคคอ เวกเตอรหนงหนวยทตงฉากกบและ แทนดวย

นนคอN

T

B

B T N

นยาม ให แทนเสนโคงใน ซง และ เปนฟงกชนทหาอนพนธอนดบ 2 ได แลวเราจะสามารถหาความโคงไดททกจดบนเสนโคง เมอ

ความโคงของเสนโคงทจด คอ

R t x t i y t j z t k 3,x y z

0R t

, ,x t y t z t

T tt

R t

ถา แลว เรยก วา รศมความโคง แทนดวย 0t 1

t

ความโคง

ทฤษฎบท ถา แทนเสนโคงใน ซง และ เปนฟงกชนทหาอนพนธอนดบ 2 ได และ แลว

R t x t i y t j z t k 3,x y z

0R t

3

R t R tt

R t

ความยาวโคง

นยาม ถา และ เปนฟงกชนทหาอนพนธได และแลวความยาวโคงของเสนโคง ระหวางจดทสมนยกบ และ แทนดวย

R t x t i y t j z t k

,x x t y y t a b z z t

t a t b

2 2 2b

a

b

a

dx dy dzs dt

dt dt dt

R t dt

ใน ถาก าหนดใหวตถเคลอนทไปตามโดยท เปนฟงกชนของ ซงหาอนพนธอนดบ 2 ได แลวความเรวของการเคลอนท ณ เวลา ใด ๆ แทนดวย

และจะเรยกขนาดของความเรว วา อตราเรว

และความเรงของการเคลอนท ณ เวลา ใด ๆ แทนดวย

3 , ,R t x t i y t j z t k t a b

, ,x y z t

t V t R t

ds

V t R tdt

a t V tt

4.5 เวกเตอรความเรว และเวกเตอรความเรง

ความเรงสามารถเขยนใหอยในรปของผลบวกระหวาง กบ ได โดยจะอยในรป ดงนโดยท เรยกวา สวนประกอบสมผสของความเรง และ

เรยกวา สวนประกอบปกตของความเรง และ

T N

T Na a T a N

Ta

Na

2

2T

a t V td sa

dt V t

2

N

a t V tdsa

dt V t

ตวอยาง จงหาคาของเวกเตอรความเรว เวกเตอรความเรง ท และหาคาของ เมอ

1t ,T Na a

2 23 3 3R t t i t j tk