Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής

Μαθηματικά Ε΄ Τάξης - Ενότητα 4 - Κεφάλαιο 26

΄΄ Εμβαδόν τετραγώνου,

ορθ. παραλληλογράμμου, ορθ. τριγώνου ΄΄

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 26

ΕΜΒΑΔΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ, ΟΡΘ. ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ, ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Και τι κα κάνουμε δθλαδι για να βρίςκουμε το Εμβαδό ενόσ ςχιματοσ;

Θα μετράμε κουτάκια;

Όχι βζβαια! Το Εμβαδό υπολογίηεται διαφορετικά για κάκε ςχιμα.

Για να υπολογίςουμε το Εμβαδό ενόσ τετραγϊνου, πολλαπλαςιάηουμε πλευρά επί πλευρά

Για να υπολογίςουμε το Εμβαδό ενόσ ορκογωνίου παραλλθλογράμμου, πολλαπλαςιάηουμε το μικοσ τθσ βάςθσ επί το φψοσ του.

Για να υπολογίςουμε το Εμβαδό ενόσ ορκογωνίου τριγϊνου, πολλαπλαςιάηουμε το μικοσ τθσ βάςθσ επί το φψοσ του και διαιροφμε το αποτζλεςμα δια δφο.

Στα ςχιματα ονομάηουμε τθ μία πλευρά (ςυνικωσ τθν κάτω) βάςη. Τθν πλευρά που είναι κάκετθ ςτθ βάςθ τθν ονομάηουμε φψοσ.

Στο τετράγωνο δεν δίνουμε τα ονόματα αυτά, μιασ και όλεσ οι πλευρζσ είναι ίςεσ μεταξφ τουσ. Σε

αυτό το ςχιμα μιλάμε απλϊσ για πλευρά. Έτςι, λοιπόν, είναι:

Πλευρά

(ι αλλιϊσ α)

Βάςη

(ι αλλιϊσ β)

Βάςη

(ι αλλιϊσ β)

Φψοσ

(ι αλλιϊσ υ)

Φψοσ

(ι αλλιϊσ υ)

Για ςυντομία, λζμε πωσ υπολογίηουμε τα εμβαδά των ςχθμάτων ωσ εξισ:

Ετετρ. = α α (όπου α, το μικοσ μιασ πλευράσ)

Εορθ. παρ. = β υ (όπου β, το μικοσ τθσ βάςθσ και υ, το μικοσ του φψουσ του ορκογωνίου)

Εορθ. τριγ. = (όπου β, το μικοσ τθσ βάςθσ και υ, το μικοσ του φψουσ του τριγϊνου)

β υ

2

Και μθν ξεχνάσ! Το εμβαδό το μετράμε πάντα ςε τετραγωνικά...

Παραδείγματα υπολογιςμοφ εμβαδϊν

5 εκ.

2 εκ.

Στο ορκ. τρίγωνο είναι

β = 2 εκ. και υ = 5 εκ.

Άρα:

Εορκ. τριγ. =

=

= 5 τ. εκ.

β υ

2

2 5

2

Στο τετράγωνο

είναι α = 3 εκ.

Άρα:

Ετετρ. = α α

= 3 3

= 9 τ. εκ.

3 εκ. 4 εκ.

2 εκ.

Στο ορκογϊνιο είναι

β = 4 εκ. και υ = 2 εκ.

Άρα:

Εορκ. παρ. = β υ

= 4 2

= 8 τ. εκ.

Και μια περίπτωςθ υπολογιςμοφ: Αν κζλω να υπολογίςω το Εμβαδό ενόσ ςχιματοσ, όπωσ το διπλανό, μπορϊ να κάνω το εξισ: Μπορϊ να χωρίςω το ςχιμα ςε επιμζρουσ ςχιματα (δφο ορκογϊνια), να υπολογίςω χωριςτά το Εμβαδό κακενόσ από αυτά κι ζπειτα να βρω το ςυνολικό Εμβαδό

Ë Ð Ó …

Ä …

Πάψε πια Κακοφωνίξ ! Προτιμϊ να μου πζςει ο ουρανόσ ςτο κεφάλι παρά να ςε ακοφω να τραγουδάσ...

eva-edu

Στο μάθημα αυτό θα μάθουμε πως βρίσκουμε το εμβαδόν για 3 είδη σχημάτων:

Το τετράγωνο:

Στο τετράγωνο ισχύει ο κανόνας ότι όλες του οι πλευρές είναι ίσες.

Στο δίπλα σχήμα βλέπουμε

ότι αφού η μια πλευρά είναι 4 εκ. τόσο είναι και οι άλλες πλευρές.

Για να βρούμε το εμβαδόν ενός τετραγώνου κάνουμε πολλαπλασιασμό.

Πολλαπλασιάζουμε την πλευρά επί την πλευρά.

Στο δίπλα σχήμα Εμβαδόν= 4 x 4 = 16 τ.εκ.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Να βρεις το εμβαδόν του παρακάτω τετραγώνου

Το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

Στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ισχύει ο κανόνας ότι οι απέναντι

πλευρές είναι ίσες. Στο δίπλα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο οι

πλευρές που έχουν το ίδιο χρώμα είναι ίσες μεταξύ τους.

Για να βρούμε το εμβαδόν του πολλαπλασιάζουμε μεταξύ τους τις 2

πλευρές.

Εμβαδόν = 5 x 2 = 10 τ.εκ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Να βρεις το εμβαδόν του παρακάτω ορθογωνίου παραλληλογράμμου

4 εκ.

3 εκ.

2 εκ. 2 εκ.

5 εκ.

5 εκ.

2 εκ.

6 εκ.

eva-edu

Το ορθογώνιο τρίγωνο

Για να βρούμε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου

πολλαπλασιάζουμε τη μία κάθετη πλευρά με την άλλη

και τις διαιρούμε με τον αριθμό 2

Παράδειγμα

Θέλουμε να βρούμε το εμβαδόν του παρακάτω τριγώνου

Εμβαδόν = 2

64x= 12 τ.εκ.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Να βρεις το εμβαδόν του δίπλα τριγώνου

2 εκ.

6 εκ. 6 εκ.

5 εκ.

Ορισμός εμβαδού – εμβαδό τετραγώνου,

ορθ. παραλληλογράμμου, ορθ. τριγώνου

Γιάννης Φερεντίνος

Τι είναι το εμβαδό; • Η μέτρηση της επιφάνειας την οποία

καταλαμβάνει ένα σχήμα λέγεται εμβαδό του σχήματος.

• Δυο διαφορετικά σχήματα μπορούν να έχουν το ίδιο εμβαδό (καταλαμβάνοντας ίσες επιφάνειες). Τα σχήματα αυτά λέγονται ισοεμβαδικά.

• Μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδό ενός σύνθετου σχήματος, χωρίζοντάς το σε επιμέρους απλούστερα σχήματα.

Εμβαδό τετραγώνου • Για να υπολογίσω το εμβαδό ενός τετραγώνου,

πολλαπλασιάζω την πλευρά του α με τον εαυτό της

Ε τετρ = α * α Π.χ. το τετράγωνο με πλευρά 6 εκ. έχει εμβαδό Ε = 6 * 6 = 36 τ.εκ

Εμβαδό τετραγώνου

Εμβαδό ορθ. παραλληλογράμμου

• Για να υπολογίσω το εμβαδό ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, πολλαπλασιάζω το μήκος (μ) επί το πλάτος του (π)

Ε ορθ = μ * π ή Ε = β * υ Π.χ. το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκος 8

και πλάτος 7 μέτρα έχει εμβαδό Ε = 8 * 7 = 56 τ.μ

β= βάση υ= ύψος

Εμβαδό ορθ. παραλληλογράμμου

Εμβαδό ορθ. τριγώνου • Για να υπολογίσω το εμβαδό ενός ορθογωνίου

τριγώνου, πολλαπλασιάζω τις δυο κάθετες πλευρές του και διαιρώ το γινόμενο δια 2

Ε ορθ.τριγ = β * υ 2 Π.χ. το ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές

β=4 εκ και υ=6 εκ έχει εμβαδό Ε = 4 * 6 = 24 = 12 τ.εκ 2 2

Εμβαδό ορθ. τριγώνου

ΠΡΟΣΟΧΗ!!!

• Για να υπολογίσω το εμβαδό ενός σχήματος πρέπει όλες οι πλευρές να έχουν μετρηθεί με την ίδια μονάδα μέτρησης.

• Αν υπάρχει μέτρηση με διαφορετικές μονάδες, πρέπει να κάνουμε μετατροπές.

• Το αποτέλεσμα του εμβαδού είναι πάντα τετραγωνικές μονάδες

• (π.χ. τ.μ ή τ.δεκ ή τ.εκ ή τ.χιλ)

Γιάννης Φερεντίνος

Εγκύκλιος Παιδεία

ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ,ΟΡΘ.ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ,ΟΡΘ.ΤΡΙΓΩΝΟΥ Για να βρούμε το εμβαδόν του τετραγώνου, πολλαπλασιάζουμε το μήκος της πλευράς του επί το μήκος της πλευράς του.

Για να βρούμε το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράμμου, πολλαπλασιάζουμε το μήκος του(βάση) επί το πλάτος του(ύψος)

Ετετρ.=πλευρά Χ πλευρά= 3 εκ. Χ 3 εκ=9 τ. εκ.

Εορθ.παρ/μου=μήκος Χ πλάτος= 6 εκ. Χ 3 εκ.=18 τ. εκ.

Για να βρούμε το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου, βρίσκουμε το γινόμενο των κάθετων πλευρών του και στη συνέχεια το διαιρούμε δια 2.(αφού το ορθ.τρίγωνο έχει το μισό εμβαδόν από το τετράγωνο ή το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο που έχει τις ίδιες διαστάσεις)

Εορθ.τριγ.=( κάθετη πλευρά Χ κάθετη πλευρά ):2=(3 εκ. Χ 3εκ.=): 2= 9 τ. εκ. :2=4,5 τ. εκ.

Εορθ. τριγ.=(κάθετη πλευρά Χ κάθετη πλευρά) :2=(6 εκ. Χ 3 εκ.): 2=18 τ. εκ. :2=9 τ. εκ.

Βρες το εμβαδόν των σχημάτων ΚΛΙΚ(area)

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

1. Κοντά στο σπίτι του Χαράλαμπου υπάρχει μια πλατεία σε τετράγωνο σχήμα. Ο Χαράλαμπος έκανε 8 γύρους στην πλατεία, τρέχοντας συνολικά 576 μέτρα. Πόσο είναι το εμβαδόν της πλατείας;

..................................................................................................

2. Η οικογένεια της Καλυψώς μετακόμισε στο νέο τους σπίτι. Το δωμάτιο της Καλυψώς έχει κάτοψη όπως είναι στη δεξιά εικόνα. Να βρεις το εμβαδόν της ελεύθερης επιφάνειας που έχει το δωμάτιο της. ..........................................................

Εμβαδόν τετραγώνου, ορθ. παραλληλογράμμου, ορθ.

τριγώνου (19/01)

Τετράγωνο

Όλες οι πλευρές του είναι ίσες. Οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες. Οι διαγώνιοί του είναι ίσες και η κάθε μια το χωρίζει σε 2 ίσα τρίγωνα. Όλες οι γωνίες του είναι ορθές.

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

Οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες και ίσες.

Οι διαγώνιοί του είναι ίσες και η κάθε μια το χωρίζει σε 2 ίσα τρίγωνα.

Όλες οι γωνίες του είναι ορθές.

Ορθογώνιο Τρίγωνο

Έχει 2 πλευρές κάθετες και την ανάμεσά τους γωνία ορθή. Αν σε ένα τετράγωνο ή σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο φέρουμε μια δαιγώνιο,

τότε θα χωριστεί σε 2 ίσα ορθογώνια τρίγωνα.

http://www.sainia.gr/

Όνομα: ____________________________________________________________

Επανάληψη στο Εμβαδόν παραλληλογράμμου και τριγώνου

Θυμάμαι

Ε παρβ . υ

Ε τριγ2

.

1. Να υπολογίσεις το εμβαδό:

Α. ενός ορθογωνίου που

η βάση του είναι 7,5 εκ.

και το ύψος του 6 εκ.

Β. ενός τετραγώνου που

η πλευρά του είναι 4,3 μ.

Γ. ενός πλάγιου

παραλληλογράμμου που

η βάση του είναι 5,4 εκ.

και το ύψος του 5 εκ.

2. Η περίμετρος ενός

τετραγώνου είναι 40 εκ.

Πόσο είναι το εμβαδό

του;

3. Το εμβαδό ενός

ορθογωνίου είναι 186 τ.

εκ. Αν το μήκος του είναι

15,5 εκ. πόσο είναι το

ύψος του;

4. Ένα οικόπεδο σχήματος

τετραγώνου και πλευράς

25 μ. πουλήθηκε προς

140 € το τ.μ. Πόσα

χρήματα εισπράχθηκαν;

5. Σε ένα οικόπεδο

σχήματος ορθογωνίου

που έχει μήκος 34,75 μ.

και πλάτος 25 μ.

χτίστηκε μια αποθήκη

τετραγώνου σχήματος με

πλευρά 12,5 μ. Πόσα τ.μ.

έμεινε ακάλυπτος χώρος;

6. Ένα πεζοδρόμιο μήκους

75 μ. και πλάτους 4 μ.

πλακοστρώθηκε με

τετραγωνικές πλάκες

πλευράς 0,5 μ. Πόσες

πλάκες

χρησιμοποιήθηκαν;

7. Να υπολογίσεις το εμβαδό:

Α. ενός ορθογωνίου

τριγώνου που έχει β = 3

εκ. και υ = 2,4 εκ.

Β. ενός ορθογωνίου

τριγώνου που έχει

κάθετες πλευρές 3,5 εκ

και 5,4 εκ.

Γ. ενός αμβλυγωνίου

τριφώνου που έχει β = 6

εκ. και υ = 2,5 εκ.

8. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο

έχει περίμετρο 10,2 εκ.

και ύψος 2,5 εκ. Πόσο

είναι το εμβαδό του;

9. Μια αυλή σχήματος

ορθογωνίου με βάση 5

μ. και ύψος 4 μ.

πλακοστρώθηκε με

τριγωνικά πλακάκια που

είχαν β = 0,2 μ. και υ =

0,1 μ. Πόσα πλακάκια

χρησιμοποιήθηκαν;

http://users.sch.gr/xariskuts

ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡ/ΜΟ ΤΡΑΠΕΖΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ Α α Β Α α Β Α α Β Α ; α β β γ δ Γ α Δ Γ α Δ Γ β Δ Β Γ

ΚΥΚΛΟΣ(κυκλικός δίσκος) (ε) (ζ) (η) (θ) (α) Γ Α Β (ευθύγραμμο τμήμα) Α χ……….. α β Α Β (ημιευθεία) ε ζ ………… ………….. ε (ευθεία γραμμή) (β) Δ Ε παράλληλες ευθείες τεμνόμενες ευθείες τεμνόμενες κάθετα ευθείες χορδή ΓΩΝΙΕΣ Χ τόξο Δ Η ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

ΧΟΨ ή ΨΟΧ ή Ο ΔΕΖ ή ΖΕΔ ή Ε ΗΘΙ ή ΙΘΗ ή Θ ΟΡΘΗ ΓΩΝΙΑ=90ο ΟΞΕΙΑ ΓΩΝΙΑ <90ο ΑΜΒΛΕΙΑ ΓΩΝΙΑ>90ο τεθλασμένη γραμμή Ψ Ε Ζ Θ Ι Ο καμπύλη γραμμή ανοιχτή ΥΠΟΜΝΗΜΑ ΧΡΗΣΙΜΟ ΣΕ ΜΑΘΗΤΕΣ Ε’& ΣΤ’ Ε=εμβαδόν,Π=περίμετρος,υ=ύψος,α=ακτίνα,δ=διάμετρος,^=γωνία Κων/νος .Μεσάζος

Ε=α*α Π=4*α

Ε=β*υ Π=2*(α+β) διαγώνιος

Ε=Β+β*υ/2 Π=α+β+γ+δ ύψος ύύψος

Ε=β*υ/2 Π=α+β+γ

ακτίνα =δ:2 Ο διάμετρος=2*α Ε=3,14*α*α Π=3,14*δ

146

ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ

ÃÉÁ ÔÇÍ Å’ ÔÁÎÇ ÄÇÌÏÔÉÊÏÕ

Ðåñéå÷üìåíá:

23. ÐñïâëÞìáôá ìå ðïóïóôÜ ............................................ óåë. 147

24. ÃåùìåôñéêÜ ó÷Þìáôá - ðåñßìåôñïò ............................... óåë. 151

25. ÉóïåìâáäéêÜ ó÷Þìáôá .................................................. óåë. 154

26. Åìâáäüí ôåôñáãþíïõ, ïñè. ðáñáëëçëüãñáììïõ,

ïñè. ôñéãþíïõ............................................................. óåë. 159

27. Ðïëëáðëáóéáóìüò êëáóìÜôùí -

Áíôßóôñïöïé áñéèìïß ................................................... óåë. 163

28. Äéáßñåóç ìÝôñçóçò óå ïìþíõìá êëÜóìáôá ................ óåë. 167

29. Óýíèåôá ðñïâëÞìáôá - ÅðáëÞèåõóç ........................... óåë. 170

30. ÌïíÜäåò ìÝôñçóçò ìÞêïõò: ìåôáôñïðÝò (á) ............... óåë. 173

31. ÌïíÜäåò ìÝôñçóçò ìÞêïõò: ìåôáôñïðÝò (â) ............... óåë. 176

32. ÌïíÜäåò ìÝôñçóçò åðéöÜíåéáò - ÌåôáôñïðÝò ............. óåë. 179

33. ÐñïâëÞìáôá ãåùìåôñßáò ............................................ óåë. 181

34. Äéáßñåóç áêåñáßïõ êáé êëÜóìáôïò ìå êëÜóìá ............ óåë. 184

35. ÓôñáôçãéêÝò åðéëýóçò ðñïâëçìÜôùí .......................... óåë. 187

ÊñéôÞñéï áîéïëüãçóçò ................................................. óåë. 190

Áðáãïñåýåôáé ç áíáðáñáãùãÞ ôïõ ðáñüíôïòâéâëßïõ ìå ïðïéïíäÞðïôå ôñüðï, ÷ùñßò ôçíÝããñáöç Üäåéá ôïõ åêäüôç.

Äéåýèõíóç åêðáéäåõôéêÞò óåéñÜò:ÆÕÑÌÐÁÓ ÁÍÄÑÅÁÓ

Õðåýèõíïé Ýêäïóçò:ÖÅÔÓÇÓ ÃÅÙÑÃÉÏÓÂÏÕÄÏÕÑÇÓ ÓÔÁÕÑÏÓÄÅÌÅÑÏÕÔÇ ÁÉÊÁÔÅÑÉÍÇ

ÓõíôáêôéêÞ ïìÜäá:ÁËÁÌÁÍÇ ÃÅÙÑÃÉÁÂÏÕÄÏÕÑÇÓ ÓÔÁÕÑÏÓÃÅÑÏÍÔÏÐÏÕËÏÓ ÓÔÅÖÁÍÏÓÄÅÌÅÑÏÕÔÇ ÁÉÊÁÔÅÑÉÍÇÌÏÉÑÁÓ ÐÁÍÁÃÉÙÔÇÓÌÏÕÓÏÕËÇÓ ÉÙÁÍÍÇÓÏÑÓÏÐÏÕËÏÓ ÉÙÁÍÍÇÓÐËÏÕÌÁÊÇÓ ÊÙÍÓÔÁÍÔÉÍÏÓÖÅÔÓÇÓ ÃÅÙÑÃÉÏÓ×ÁÍÉÙÔÇ ÉÙÁÍÍÁ

Êáëëéôå÷íéêÞ äéåýèõíóç:FORWARD CREATIVE BUREAU210 9585645

DTP - ÃñáöéêÜ:ÔÓÅËÉÊÈÅÏ×ÁÑÉÄÏÕ ÖÙÔÅÉÍÇ

ÅéêïíïãñÜöçóç:ÊÁËÁÍÔÙÍÇÓ ÅËÅÕÈÅÑÉÏÓÆÏÕËÁÊÇÓ ÅÌÌÁÍÏÕÇËÔÓÉÏÌÐÁÍÉÄÇÓ ÓÔÁÕÑÏÓ

Copyright:Ç. ÌáíéáôÝáòÅêäïôéêÝò Åðé÷åéñÞóåéò Á.Å.ÈçóÝùò 50, ÊáëëéèÝáôçë. 210 9546555

147

23. ÐñïâëÞìáôá ìå ðïóïóôÜ

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò áôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 26

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò âôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 26

Ôá ÷ñÞìáôá ðïõ ôçò Ýìåéíáí åßíáé: Tá ÷ñÞìáôá ðïõ åß÷å ç ¢ííá Þôáí 30 . ¸äù-

óå ôï 30% ôùí ÷ñçìÜôùí ôçò. ( ÄçëáäÞ áí

åß÷å 100 Ýäùóå ôá 30 ). Áðï ôá 30 ðïõ

åß÷å Ýäùóå 30 ÷ 30

100 =

900

100 = 9 .

¢ñá ôçò Ýìåéíáí 30 - 9 = 21

• Ôï ðïóïóôü ðåñéåêôéêüôçôáò íåñïý óôï óþìá ôïõ Êùíóôáíôßíïõ åßíáé 68%. Óýìöùíá ìå

ôçí Ýíäåéîç ôçò æõãáñéÜò ôï âÜñïò ôïõ Êùíóôáíôßíïõ åßíáé 50ê. ¢ñá óôï óþìá ôïõ õðÜñ-

÷ïõí 68

100 ÷ 50 =

3400

100 =

3400

100 34ê. íåñïý.

• ¸óôù  ôï âÜñïò ìïõ. Ôüôå ôï íåñü åßíáé 68

xB 0,68xB100

=

148

¢óêçóç á

Ìéá ïìÜäá ðïäïóöáßñïõ áðïôåëåßôáé áðï 20 Üôïìá.Ôï

50% åßíáé ¸ëëçíåò, ôï 40% åßíáé ¢ããëïé êáé ôï 10% åß-

íáé ÂñáæéëéÜíïé.Ðüóïé åßíáé ïé ‘Åëëçíåò, ðüóïé ïé ¢ããëïé

êáé ðüóïé ïé ÂñáæéëéÜíïé;

Ôï 30% åßíáé ôï ðïóïóôü ðïõ Ý÷åé öôéÜîåé áðï

ôï âñá÷éüëé. ÄçëáäÞ, áí ôï âñá÷éüëé åßíáé 100

÷Üíôñåò èá Ý÷åé öôéÜîåé ôéò 30. Åäþ, ïé ÷Üíôñåò

ðïõ Ý÷ïõí öôéá÷ôåß åßíáé 15 ( ôï ìéóü ôïõ 30 ).

¢ñá ôï âñá÷éüëé èá Ý÷åé 50 ÷Üíôñåò.

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò ãôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 27

Ç ðåñéåêôéêüôçôá ôïõ èáëáóóéíïý íåñïý óå áëÜôé åßíáé 4%. ÄçëáäÞ ôá 100ê. èáëáóóéíïý íå-

ñïý äßíïõí 4ê. áëÜôé.

• Ç 1ç óõóêåõáóßá ðåñéÝ÷åé 1ê. áëÜôé. ¢ñá ãéá ôçí ðïóüôçôá áõôÞ ÷ñåéÜóôçêáí 100 : 4 = 25ê.

èáëáóóéíïý íåñïý.

• Ç 2ç óõóêåõáóßá ðåñéÝ÷åé 400 ãñáìì. áëÜôé. ¢ñá ÷ñåéÜóôçêáí 40 : 4 = 10ê. èáëáóóéíïý íåñïý.

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò äôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 27

ÐñïâëÞìáôá ìå ðïóïóôÜ

149

To 50% ôùí áèëçôþí åßíáé ¸ëëçíåò, ïðüôå óôïõò 100 áèëçôÝò ïé 50 åßíáé ¸ëëçíåò. Óôïõò 20 áèëçôÝò

Ý÷ïõìå:20 ÷ 50

100 =

20x50

100=

1000

100 = 10 ¸ëëçíåò. Ïìïßùò ôï 40% åßíáé ¢ããëïé, äçëáäÞ óôïõò 100 ïé

40 åßíáé ¢ããëïé. ÄçëáäÞ: 20 ÷ 40

100=

800

100 = 8 ¢ããëïé.

Åðßóçò ïé ÂñáæéëéÜíïé åßíáé: 10

100 ÷ 20 =

200

100 = 2

ÁðÜíôçóç: Ïé ¸ëëçíåò åßíáé 10, ïé ¢ããëïé åßíáé 8 êáé ïé ÂñáæéëéÜíïé åßíáé 2.

ëýóç

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò åôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 27

• Ïé ìáèçôÝò ôïõ ó÷ïëåßïõ åßíáé 150. Ôï 60% åßíáé ¸ëëçíåò äçëáäÞ: 60

100 x 150 =

60x150

100 =

9000

100 = 90. To õðüëïéðï 40% åßíáé áëëïäáðïß äçëáäÞ

40

100 ÷ 150 =

6000

100 = 60.

• ¹ñèáí óôç ìÝóç ôçò ÷ñïíéÜò 20 ̧ ëëçíåò êáé 30 áëëïäáðïß, ïðüôå ïé ̧ ëëçíåò èá åßíáé 20 + 90 = 110,

åíþ ïé áëëïäáðïß èá åßíáé 60 + 30 = 90. Ôï óýíïëï ôùí ìáèçôþí óôçí ôÜîç åßíáé 200, Üñá ïé

¸ëëçíåò áðïôåëïýí ôá 110

200 ôùí ìáèçôþí Þ

55

100 = 0,55 Þ 55% ôùí ìáèçôþí. Ïé áëëïäáðïß èá

áðïôåëïýí ôï 90

200 ôùí ìáèçôþí Þ

45

100 = 0,45 Þ 45%.

ÐñïâëÞìáôá ìå ðïóïóôÜ

150

ëýóç

Ôá 3.000 åßíáé ôï 30

100 ôùí óõíïëéêþí åîüäùí ôïõ

ìÞíá. ÄçëáäÞ, áí ôá óõíïëéêÜ Ýîïäá ôïõ åñãïóôá-

óßïõ Þôáí 100 , ôá 30 ôá îüäåøå ãéá åðéóêåõÝò. Áöïý

îüäåøå 30 ÷ 100 = 3.000 ôá óõíïëéêÜ Ýîïäá ôïõ åñãï-

óôáóßïõ èá åßíáé 100 ÷ 100 = 10.000 .

AðÜíôçóç: Ôá óõíïëéêÜ Ýîïäá ôïõ ìÞíá åßíáé 10.000

¢óêçóç â

¸íá åñãïóôÜóéï îüäåøå ãéá åðéóêåõÝò 3.000 . Áí áõôÜ

åßíáé ôï 30% ôùí åîüäùí ôïõ ìÞíá, ðüóá åßíáé ôá

óõíïëéêÜ Ýîïäá ôïõ ìÞíá;

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò óôôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 27

Áí ï ÏñöÝáò Ýðáéñíå óõíïëéêÜ 100 ÷áñôæéëßêé ôï

ìÞíá, ðÞñå áðï áõôÜ ôá 40 . Áöïõ ðÞñå áðï ôïí

ðáôÝñá ôïõ 10 = 40 : 4 ôüôå ôï ÷áñôæéëßêé ôïõ ôï

ìÞíá èá åßíáé 100: 4 = 25 .

ÐñïâëÞìáôá ìå ðïóïóôÜ

151

24. ÃåùìåôñéêÜ ó÷Þìáôá - ðåñßìåôñïò

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò áôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 28

4,5

4,5 4,5

6 6

6

5,5

3,5

5,5

6

3 3

• Ç ðåñßìåôñïò ôïõò åßíáé 18åê.

•

•

• Ç ðåñßìåôñïò ôïõò åßíáé 8åê.

152

ÃåùìåôñéêÜ ó÷Þìáôá - ðåñßìåôñïò

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò ãôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 29

• Ìå ôçí âïÞèåéá ôïõ ÷Üñáêá äéáðéóôþíù ïôé ç

åêôßìçóç ìïõ åßíáé ëáíèáóìÝíç äéüôé êáé óôéò ôñåéò

ðåñéðôþóåéò á, â, ã ç ðåñßìåôñïò åßíáé ç ßäéá.

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò âôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 28

• Öáßíåôáé íá åßíáé ìåãáëýôåñï áðü ôá õðüëïéðá.

• ôï ó÷Þìá á

153

ÃåùìåôñéêÜ ó÷Þìáôá - ðåñßìåôñïò

¢óêçóç á

¸íá ðëáßóéï áößóáò Ý÷åé äéáóôÜóåéò 1ì. êáé 0,5ì. êáé ðñÝðåé íá öôéá-

÷ôåß ìå ðç÷Üêéá. Ôï ìÞêïò êáé ç ôéìÞ ôïõò öáßíåôáé ðáñáêÜôù.

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò äôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 29 • Áðü ôá ðç÷Üêéá ìå ìÞêïò 1,20ì. êáé 50åê.

• 10åê. äéüôé ôï ðç÷Üêé ìå ìÞêïò 1,20ì. èá ìïõ äþóåé ôá äýï ðç÷Üêéá ôùí 60åê. êáé ôï ðç÷Üêé ôùí

50åê. èá ìïõ äþóåé ôá äýï ðç÷Üêéá ôùí 20åê.

• (1,50 + 0,80) = 2,3

ëýóç

• Ìðïñïýí íá äéáëÝîïõí 2 ðç÷Üêéá ôïõ 1ì. ôï Ýíá, ôá ïðïßá êïóôßæïõí 2 ÷ 0,8 = 1,6 êáé

äýï ðç÷Üêéá ôïõ 0,5ì. ôï Ýíá, ôá ïðïßá êïóôßæïõí 2 ÷ 0,5 = 1,2

Ïðüôå óõíïëéêÜ ôï ðëáßóéï êïóôßæåé: 1,6 + 1,2 = 2,8

• ¼ìùò áí äéáëÝîïõí 2 ðç÷Üêéá ôïõ 1,5ì. ôï Ýíá, êüâïíôÜò ôá êáôÜëëçëá èá Ý÷ïõí 2

ðç÷Üêéá ôïõ 1ì. ôï Ýíá êáé 2 ðç÷Üêéá ôïõ 0,5ì. ôï Ýíá.

Ó’áõôÞ ôçí ðåñßðôùóç ôï ðëáßóéï èá êïóôßóåé 2÷1=2 .

¢ñá áõôÞ ç åðéëïãÞ áðïôåëåß êáé ôçí ïéêïíïìéêüôåñç ëýóç.

1,5ì. 1ì. 0,5ì.

1 ôï Ýíá 0,8 ôï Ýíá 0,6 ôï Ýíá

• Ðïéá åßíáé ç ïéêïíïìéêüôåñç ëýóç.

154

25. ÉóïåìâáäéêÜ ó÷Þìáôá

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò âôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 30 • 4 ôñßãùíá

• 32 ôñßãùíá

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò áôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 30

• Ôï åìâáäüí ôïõ ôåôñáãþíïõ åßíáé äéðëÜóéï áðü ôï åìâáäüí ôïõ ôñéãþíïõ.

• Ôï åìâáäüí ôïõ ïñèïãùíßïõ åßíáé äéðëÜóéï áðü ôï åìâáäüí ôïõ ôåôñáãþíïõ.

• Ôï åìâáäüí ôïõ ïñèïãùíßïõ åßíáé ôåôñáðëÜóéï áðü ôï åìâáäüí ôïõ ôñéãþíïõ.

• Åìâáäüí ôåôñáãþíïõ åßíáé 9 ô.åê.

Åìâáäüí ôñéãþíïõ åßíáé 4,5 ô.åê.

Åìâáäüí ïñèïãùíßïõ åßíáé 18 ô.åê.

155

ëýóç

Ãéá íá âñþ ôï åìâáäüí ðïõ êáëýðôïõí ôá ôåôñÜãùíá, ìåôñÜù ðüóá åßíáé ôá ôåôñÜãùíá.

¸÷ïõìå 9 ôåôñÜãùíá. ÅðïìÝíùò ôá ôåôñÜãùíá êáëýðôïõí 9 ô.åê.

Ãéá íá âñþ ôï åìâáäüí ðïõ êáëýðôïõí ôá ôñßãùíá ìåôñÜù ðüóá åßíáé áõôÜ êáé ôá äéáéñþ

ìå ôï 2.

¸÷ïõìå 4 ôñßãùíá åðïìÝíùò áõôÜ êáëýðôïõí: 4:2=2ô.åê. ¼ëï ôï ãåùìåôñéêü ó÷Þìá ðïõ

áðïôåëåßôå áðü ôá ôåôñÜãùíá êáé ôá ôñßãùíá êáëýðôïõí: 9+2=11ô.åê.

Ç ðåñßìåôñïò ôïõ ÁÈÉÐ õðïëïãßæåôáé ùò åîÞò: ÊÜèå ðëåõñÜ êÜèå ôåôñáãþíïõ Ý÷åé ìÞêïò 1 åê.

ÅðïìÝíùò ÁÈ=5åê, ÈÉ=1åê, ÉÐ=5åê êáé ÐÁ=1åê.

Ðåñßìåôñïò ôïõ ÁÈÉÐ: ÁÈ+ÈÉ+ÉÐ+ÐÁ=5+1+5+1=12åê.

Ãéá íá öôéÜîù ôï ãåùìåôñéêü ó÷Þìá ÷ñçóéìïðïéþ 2 öïñÝò ôá ôåôñÜãùíá, äçëáäÞ åìåßò ðïõ

Ý÷ïõìå 9 ôåôñÜãùíá óôï íÝï ó÷Þìá èá ÷ñçóéìïðïéÞóïõìå 18 ôåôñÜãùíá. ×ñçóéìïðïéþ 2

öïñÝò ôá ôñßãùíá, äçëáäÞ óôï ó÷Þìá Ý÷ïõìå 4 ôñßãùíá óôï íÝï ó÷Þìá (ðïõ èá êáôáóêåõ-

Üóïõìå) èá Ý÷ïõìå 8 ôñßãùíá.

ÉóïåìâáäéêÜ ó÷Þìáôá

○

○

○

○

○

○

○

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

○

○

○

○

○

○

○

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

○

○

○

○

○

○

○

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

○

○

○

○

○

○

○

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

○

○

○

○

○

○

○

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

○

○

○

○

○

○

○

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

○

○

○

○

○

○

○

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

○

○

○

○

○

○

○

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

A

Ð

È

É

Ç

Ê

Â

Ï

Ä Å

ÆÃ

Î Ë

ÌÍ

¢óêçóç á

Ðïéü åßíáé ôï åìâáäüí ðïõ êáëýðôïõí:

• ôá ôåôñÜãùíá ........ô.åê.

• ôá ôñßãùíá .........ô.åê.

• üëï ôï ãåùìåôñéêü ó÷Þìá .........ô.åê.

• Ðüóç åßíáé ç ðåñßìåôñïò ôïõ ÁÈÉÐ; .......... ô.åê.

ÖôéÜ÷íù Ýíá ãåùìåôñéêü ó÷Þìá ÷ñçóéìïðïé-

þíôáò 2 öïñÝò ôá ôñßãùíá êáé 2 öïñÝò ôá

ôåôñÜãùíá ôïõ ðñïçãïýìåíïõ ó÷Þìáôïò.

156

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò ãôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 31

• ôá ôåôñÜãùíá 4ô.åê., ôá ôñßãùíá 2ô.åê., üëï ôï ãåùìåôñéêü ó÷Þìá 6 ô.åê.

• Ç ðåñßìåôñïò ÁÅÆÊ åßíáé 10 åê.

ÉóïåìâáäéêÜ ó÷Þìáôá

157

óõíÝ÷åéááðÜíôçóçò Üóêçóçò ãôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 31

• ôá ôåôñÜãùíá 8ô.åê., ôá ôñßãùíá 4ô.åê., üëï ôï ãåùìåôñéêü ó÷Þìá 12ô.åê.

• ôá ôåôñÜãùíá 4ô.åê., ôá ôñßãùíá 2ô.åê., üëï ôï ãåùìåôñéêü ó÷Þìá 6ô.åê.• Ç ðåñßìåôñïò ôïõ ÁÅÆÊ åßíáé 10 åê.

ÉóïåìâáäéêÜ ó÷Þìáôá

158

ÉóïåìâáäéêÜ ó÷Þìáôá

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò äôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 31

• Ç ðåñßìåôñïò åßíáé 21åê. êáéôï åìâáäüí åßíáé: (27-5)ô.åê. = 22ô.åê.

Õðïëïãßæù ôçôí ðåñßìåôñï ôïõ ðïëõãþíïõ ÁÂÃÄÅÆÇÈ. Ç ðåñßìåôñïò åßíáé ôá Üèñïéóìá ôùí

ðëåõñþí ÁÂ, ÂÃ, ÃÄ, ÄÅ, ÅÆ, ÆÇ, ÇÈ êáé ÈÁ. ¸÷ïõìå üôé: ÁÂ=5åê., ÂÃ=2åê., ÃÄ=2åê., ÄÅ=1åê.,

ÅÆ=3åê., ÆÇ=4åê., ÇÈ=10åê., êáé ÈÁ=5åê. ÅðïìÝíùò ç ðåñßìåôñïò åßíáé:

5+2+2+1+3+4+10+5=32åê.

Õðïëïãßæù ôï åìâáäüí ôïõ ðïëõãþíïõ ÁÂÃÄÅÆÇÈ ìåôñþíôáò ôá ôåôñáãùíÜêéá. ¸÷ù 43 ôå-

ôñáãùíÜêéá. ÅðïìÝíùò ôï åìâáäüí ôïõ ðïëõãþíïõ ÁÂÃÄÅÆÇÈ åßíáé 43 ô.åê.

ëýóç

Âñßóêù ôçí ðåñßìåôñï êáé ôï åìâáäüí ôïõ ðáñáêÜôù ðïëõãþíïõ.

2 åê.

¢óêçóç â

Á Â 5 åê.

à Ä

3 åê.Å Æ

É ÇÈ Ê

159

26. Åìâáäüí ôåôñáãþíïõ, ïñè. ðáñáëëçëüãñáììïõ, ïñè. ôñéãþíïõ

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò áôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 32

Ðåñßðïõ 600ô.åê.

Áêñéâþò 619,5ô.åê. áöïý Ý÷åé äéáóôÜóåéò 29,5åê. êáé 21åê.

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò âôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 32

25 ô.åê.

24 ô.åê. 7 ô.åê.

160

Åìâáäüí ôåôñáãþíïõ, ïñè. ðáñáëëçëüãñáììïõ, ïñè. ôñéãþíïõ

• Ôï åìâáäüí ôïõ åßíáé 15 ô.åê.

¢óêçóç á

Áíôéóôïé÷ßæù ôá ãåùìåôñéêÜ ó÷Þìáôá ìå ôï åìâáäüí ðïõ ðéóôåýù ïôé Ý÷ïõí,

áí ôï ó÷Þìá Ý÷åé åìâáäüí 1åê. ÷ 1åê. = 1ô.åê.1åê.

1åê.

• 1åê. ÷ 2åê. = 2ô.åê.

• 1åê. ÷ 1åê. : 2=1

2ô.åê.

• (4åê. ÷ 4åê.) : 2 = 8ô.åê.

• (3åê. ÷ 3åê.) - (4åê. ÷ 1

4 + 4åê. ÷

1

2 ) = 6ô.åê.

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò ãôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 32

•

•

•

•

•

161

Åìâáäüí ôåôñáãþíïõ, ïñè. ðáñáëëçëüãñáììïõ, ïñè. ôñéãþíïõ

• 1åê. ÷ 2åê. = 2ô.åê.

• 1åê. ÷ 1åê. : 2=1

2ô.åê.

• (4åê. ÷ 4åê.) : 2 = 8ô.åê.

• (3åê. ÷ 3åê.) - (4åê. ÷ 1

4 + 4åê. ÷

1

2 ) = 6ô.åê.

ëýóç

•

•

•

•

•

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò äôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 33

162

Åìâáäüí ôåôñáãþíïõ, ïñè. ðáñáëëçëüãñáììïõ, ïñè. ôñéãþíïõ

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò åôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 33