КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ

§ 44. Математичний ма5пгникСеред систем, які можуть здійснювати коливан­

ня, є нитяний маятник. Це тіло малих розмірів, підвішене на довгій нерозтяжній нитці. Розглянемо причини, які виклика­ють коливання такого маятника. Для зручності розрахунків будемо вважати, що розміри тіла значно менші за довжину нитки, і відхилення від рівноваги повинно бути незначним. Такий маятник ще називають математичним.

Розглянемо його детальніше.На нерухому кульку маятника будуть діяти сила тяжіння

та сила натягу нитки (мал. 3.8). їх рівнодійна дорівнюватиме нулю. Зрозуміло, що за таких умов кулька не буде рухатися.

Якщо кульку вивести з положення рівноваги, то рівнодій­на F сил пружності і тяжіння стане відмінною від нуля (мал. 3.9).

Незалежно від того, в який бік відхилятиметься кулька, рівнодійна завжди буде спрямована до положення рівноваги.

138 Значення рівнодійної визначимо з малюнка на основі ана- лізу паралелограма сил: F = mgtg(p. За малого кута відхилен­ня tg9 « s in 9 = y , де і - довжина підвісу; х - зміщення тіла відположення рівноваги.

Застосуємо до опису руху математичного маятника другий закон Ньютона, врахувавши, що зміщення кульки спрямова-

Xне в протилежний бік до дії рівнодійної: та = -m g tg<̂ = -m g

mg

Мал. 3.8. Нитяний (математичний) маятник

у рівновазі

Мал. 3.9. Рівнодійна сил тяжіння

пружності напрямлена до̂ положення

рівноваги

§ 44. Математичний маятник

Звідси

а = - ■X.

gВеличина — завжди додатна, а тому її можна позначити

fi)2. Тоді рівняння руху математичного маятника набуває ви­гляду а = -(о^х.

Математичний маятник здійснює гармонічні коливання за рів­нянням, розв’язком якого є гармонічна функція

X = Asin(e)t + а ).

З курсу математики відомо, що розв’язком цього рівнянняє вираз X = Asin((oi + а). Тому можна зробити висновок, щоматематичний маятник здійснює гармонічні коливання.

Скориставшись рівнянням руху математичного маятника,можна знайти формулу для розрахунку періоду коливань ма­тематичного маятника. Для цього врахуємо, що величина, но-

„ . 2пзначена як ш̂ , є кутовою частотою і дорівнює (S>Q=lnf = — .Тут f - частота коливань, Т - період коливань. З рівнянняруху математичного маятника одержимо:

,.2 _ S В Д о-у

g 4п^Або підставивши значення кутової частоти: — = —т-. Звідси

І Т

139

Т = 2п

Отже, період коливань математичного маятника залежитьвід довжини підвісу і прискорення вільного падіння.

Період коливань математичного маятника залежить від довжини підвісу і прискорення вільного падіння:

Т = 2п.

Задача. Маятник завдовжки 150 см за 300 с робить 122 ко­ливання. Чому дорівнює прискорення вільного падіння?

КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ

Д а н о :І = 150 см, t = 300 с,N „ = 1 2 2 ,

g - ч

Р о з в ’ я з а н н яЗв’язок між параметрами маятника встанов­лює формула для періоду коливань матема­тичного маятника:

Т = 2п.

Згідно з цією формулою

Якщо врахувати, п^о ^ - у» / = — >то отримаємо

g = -

140Підставивши значення фізичних величин, отримаємо

4 9,87 1,5 м 14884 ^ м9-ІО^с^ ■

Відповідь: прискорення вільного падіння в цьому випадку становить 9 ,7 8 ^ .

1. Який маятник називається математичним?2. Чому коливається математичний маятник?3. Який напрям має рівнодійна сил, що діють на маятник?4. Між якими величинами ваановлює зв'язок рівняння руху

математичного маятника?5. Від чого залежить період коливань математичного маятника?6. Як залежить період коливань математичного маятника від

його довжини?7. Як залежить період коливань математичного маятника від

амплітуди коливань?8. Як залежить період коливань математичного маятника від

його маси?

В п р а в а 2 3

1. Яким буде період коливань маятника довж иною 1 м?2. Якою повинна бути довжина маятника, щоб період його

коливань дорівнював 1 с? Яка частота цих коливань?З*. Написати рівняння гармонічних коливань маятника з

амплітудою 5 см, якщ о за 1 хв відбувається 150 коливань, а

і 44. Математичний мгіятник

початкова фаза 45°. Яке положення займе маятник через 0,2 с після початку руху?

4. На скільки піде вперед годинник з маятником, якщо його перенести з екватора на полюс Землі?

5. Маятник здійснює 24 коливання протягом ЗО с. Який пе­ріод і частота коливань маятника? Якою буде його амплітуда, якщо його відхилити на 5°?

6*. Частота вільних коливань маятника на Землі 0,5 Гц. Якою буде частота його коливань на Місяці, де прискорення вільного падіння в 6 разів менше, ніж на Землі?

7*. Два маятники відхилені від положення рівноваги і від­пущені одночасно. Перший маятник довжиною 4 м здійснив за деякий інтервал часу 15 коливань. Другий - за цей самий час здійснив 10 коливань. Яка довжина другого маятника?

8. Координата тіла, що коливається, змінюється за законом X = 3,5соз4лі. Яка амплітуда коливань і циклічна частота? Якою буде фаза коливань через 5 с після початку коливань?

Лабораторна робота № 4 Виготовлення маятника і визначення періоду його

коливаньМ ета. Дослідити залежність періоду коливань нитяного

маятника від амплітуди коливань, маси та довжини підвісу (мал. 3.11).

Обладнання. Невеликі важки різної маси; штатив; лінійка з міліметровими поділками; секундомір.

В и к о н а н н я р о б о т и1. Підвісити важок на нитці до лапки штатива.2. Відхилити важок від положення рівноваги на невеликий

кут і відпустити.3. Виміряти час 10...50 повних

коливань і визначити частоту і пе­ріод цих коливань.

4. Повторити дослід за пунктом З, змінивши початкове відхилення нитки.

5. Повторити досліди за пункта­ми 1 -4 для важків різної маси.

6. Виготовити маятник завдовж­ки = 1 м і визначити період його коливань.

7. Повторити дослід за пунктом 6 для маятника довжиною 1̂ = 0,25 м.

141

Мал. 3.10. До лабораторної роботи