Лекцыя 5. Ацэнка вынікаў фізічнага эксперыменту

Змест:

1. Ацэнка рэзультатаў

2. Ацэнка хібнасцей

3. Аб колькасці паўторных вымярэнняў

Паколькі пры любых фізічных вымярэннях нельга цалкам выключыць уплыў усіх крыніц хібнасцей, то

мэта вымярэння заключаецца ў тым, каб па рэзультатах вымярэнняў

атрымаць значэнне вымяраемай велічыні, блізкае да сапраўднага, і ацаніць дапускаемую пры гэтым хібнасць.

Пры гэтым рашаюцца дзе асноўных задачы:

1. атрыманне шэрага прыблізных значэнняў вымяраемай велічыні ў выніку прамых шматразовых вымярэнняў і папярэдні ўлік хібнасцей;

2. знаходжанне значэння вымяраемай велічыні, блізкага да сапраўднага, і ацэнка хібнасцей.

Пры гэтым трэба помніць, што матэматычная апрацоўка рэзультатаў ускосных і сумесных вымярэнняў больш складаная, чым апрацоўка прамых вымярэнняў.

Гэта абумоўлена тым, што ў выпадку ўскосных і сумесных вымярэнняў розныя фізічныя велічыні звязаны паміж сабой складанымі матэматычнымі залежнасцямі.

Ацэнка рэзультатаў

Пры прамых вымярэннях атрымліваюць n значэнняў х1, х2, х3, … хn фізічнай велічыні.

За прыблізнае значэння вымяраемай велічыні, блізкае да сапраўднага, прымаецца сярэдняе арыфметычнае рэзультатаў вымярэнняў:

n

iix

nх

1

1

Характарыстыкай роскіду магчымых значэнняў сярэдняга арыфметычнага <x> каля сапраўднага значэння вымяраемай велічыні з’яўляецца стандартнае адхіленне сярэдняга арыфметычнага:

Калі пры правядзенні некалькіх (як мінімум трох) вымярэнняў атрымліваецца адзін і той жа вынік, то вымярэнні спыняюць, і гэты рэзультат прымаецца за прыблізнае значэнне вымяраемай велічыні.

.)()1(

1

1

2

n

і

iвып xxnn

Пры гэтым лічыцца, што выпадковыя хібнасці адсутнічаюць, неабходнасць у вылічэнне стандартнага адхілення адпадае (σвып=0) і ацэньваюцца толькі сістэматычныя хібнасці.

Пры правядзенні ўскосных вымярэнняў значэнне вымяраемай велічыні U знаходзіцца з дапамогай раўнання вымярэння: U=f(x,y,…z), дзе x, y,…z – значэнні іншых фізічных велічынь, якія вызначаюцца прамымі вымярэннямі.

Затым атрымліваюць прыблізныя значэнні аргументаў: <x>, <y>,… <z> і ацэнкі

хібнасцей прамых вымярэнняў у лімітнай форме Δx, Δy,… Δz ці ў выглядзе стандартых адхіленняў σx, σy, …σz.

Калі лік аргументаў раўнання большы трох, а лік прамых вымярэнняў кожнага з іх большы пяці, то мэтазгодна прымяняць статыстычны метад апрацоўкі.

З дапамогай статыстычнага метаду атрымліваюць давяральны інтэрвал (давяральную хібнасць) ΔU для прыблізнага значэння <U> вымяраемай велічыні.

Ацэнка хібнасцейПры ацэнцы хібнасцей прамых

вымярэнняў зыходнымі данымі з’яўляюцца:

1.вылічанае стандартнае адхіленне σвып;

2.ацэнкі інструментальнай, адліковай і іншых хібнасцей.

Усе ацэнкі пераводзяцца ў форму стандартнага адхілення.

Калі для якой-небудзь хібнасці вядома толькі лімітная ацэнка, то прымаецца, што

σ = Δ/3.

У гэтым выпадку інструментальная хібнасць можа быць адразу дадзена ў выглядзе стандартнага адхілення

Для хібнасці адліку стандартнае адхіленне

дзе с – цана дзялення шкалы прыбора.

.3ін

iн

,12

садл

Сярод усіх стандартных адхіленняў σвып, σін, σадл, … σі выбіраюць максімальнае, а ўсе іншыя (неістотныя) адкідваюць.

Да неістотных адносяць тыя, якія не перавышаюць адной трэці ад максімальнага σі ≤ σmax/3.

Тэорыя паказвае, што ўплыў неістотных хібнасцей на сумарную хібнасць не перавышае 10%.

Пасля папярэдняга аналізу вынікаў вымярэнняў і ацэнкі хібнасцей можа аказацца наступнае:

1. Калі выпадковыя хібнасці пераважаюць усе астатнія.

Пры гэтым за стандартнае адхіленне рэзультату вымярэнняў прымаецца стандартнае адхіленне выпадковых хібнасцей (σ = σвып).

Часцей за ўсё гэтыя (выпадковыя) хібнасці падпарадкоўваюцца нармальнаму закону размеркавання Гауса ці Ст’юдэнта.

У гэтым выпадку задаецца давяральная імавернасць , па табліцы знаходзяць каэфіцыент Ст’юдэнта t,n для дадзенага ліку вымярэнняў і вызначаюць давяральны інтэрвал

па наступнай формуле:

Вынік вымярэнняў запісваецца ў выглядзе:

Разгледзім наступны прыклад:З дапамогай электроннага секундамера

(с=0,01с) вызначылі перыяд ваганняў матэматычнага маятніка.

Былі атрыманы наступныя значэнні:

Т1=2,47с, Т2=2,23с, Т3=2,36с, Т4=1,97с, Т5=2,09с.

.выпntx

.?, xxx

Значэнне перыяду блізкае да ісціннага (сярэдняе арыфметычнае) роўнае

<T> = 2,224c.

Модулі адхіленняў кожнага значэння ад сярэдняга арыфметычнага IΔТіI = I<T> - TiI роўныя: ΔТ1=0,246с, ΔТ2=0,006с, ΔТ3=0,136с, ΔТ4=0,254с, ΔТ5=0,134с.

Стандартнае адхіленне сярэдняга арыфметычнага

.)()1(

1

1

2

n

іiвып ТТ

nn

Лікавае значэнне:

У гэтым выпадку

Будзем лічыць, што σ ≈ σвып.

Калі задаць =0,7, то пры n=5 tn=1,2, тады ΔТ=1,2.0,08987=0,1078с.

Успомнім правілы акруглення!

Спачатку акругляем хібнасць - ΔТ≈ 0,11с, а затым значэнне вымяраемай велічыні <T> = 2,22c.

.08987,0)15(5

134,0254,0136,0006,0246,0 22222

вып

.003,012

01,0выпадл

Канчатковы вынік:

Т=(2,22±0,11)с, =0,7.

Калі ж задаць большую давяральную імавернасць, напрыклад =0,9, то для гэтай жа колькасці вымярэнняў n=5 каэфіцыент Ст’юдэнта роўны tn=2,1.

У гэтым выпадку давяральны інтэрвал

ΔТ=2,1.0,08987=0,1887≈0,19с.

Канчатковы вынік:

Т=(2,22±0,19)с, =0,9.

2. Калі пасля адкідвання неістотных хібнасцей (σі ≤ σmax/3) засталося некалькі стандартных адхіленняў, то стандартнае адхіленне рэзультату вымярэнняў, у гэтым выпадку, роўнае

.222іінвып

Давяральны інтэрвал пры гэтым атрымліваюць з улікам каэфіцыента Чэбышава, які знаходзіцца па формуле

ці па табліцы для

вызначанай давяральнай

імавернасці .

Вылічваюць давяральны інтэрвал

і запісваюць канчатковы рэзультат

21

1

.x

.?, xxx

Разгледзім наступны прыклад:З дапамогай электроннага секундамера

(з большай недакладнасцю) (с=0,5с) вызначылі перыяд ваганняў матэматычнага маятніка.

Былі атрыманы наступныя значэнні:

Т1=2,0с, Т2=2,5с, Т3=2,0с, Т4=2,5с, Т5=2,5с. Сярэдняе арыфметычнае значэнне

перыяду роўнае <T> = 2,3c.Стандартнае адхіленне сярэдняга

арыфметычнага σвып=0,122с.Для дадзенага секундамера

σадл=0,5/√12=0,144с.

У гэтым выпадку σадл=0,144с параўнальнае з σвып=0,122с, таму стандартнае адхіленне рэзультату роўнае

Давяральны інтэрвал знаходзім па давяральнай імавернасці і каэфіцыенту Чэбышава.

Пры =0,7 =1,4.Такім чынам, давяральны інтэрвал

ΔТ=1,4.0,189=0,265≈0,3с.Канчатковы вынік:

Т=(2,3±0,3)с, =0,7.

.189,0144,0122,0 22 с

3. Калі пасля адкідвання неістотных хібнасцей (σі ≤ σmax/3) засталіся толькі выпадковыя хібнасці, але гэтыя хібнасці не падпарадкоўваюцца закону Гауса, то і ў гэтым выпадку давяральны інтэрвал знаходзіцца на аснове каэфіцыента Чэбышава

Гэта формула справядліва для любога закону размеркавання пры n ≥ 3 і ≤ 0,99.

Пры гэтым найбольшыя цяжкасці заключаюцца ў вызначэнні закону размеркавання выпадковых хібнасцей.

.x

Прынята лічыць, закон размеркавання выпадковых хібнасцей для большасці вымярэнняў у вучэбных лабараторыях блізкі да нармальнага.

4. Калі пры вымярэннях выпадковыя хібнасці адсутнічаюць і ўсе ацэнкі дадзены ў лімітнай форме Δін, Δадл,… Δі, то за ацэнку хібнасці рэзультату вымярэнняў прымаюць суму: Δ= Δін+ Δадл+… +Δі.

Вынік вымярэнняў запісваюць у выглядзе:

.1, хxx

Прыклад. Пры вымярэннях перыяду ваганняў матэматычнага маятніка механічным секундамерам з цаной дзялення с=0,2с атрымалі шэраг значэнняў, якія супадалі і былі роўнымі Т=2,7с.

Выпадковыя хібнасці, як бачым, адсутнічаюць.

У гэтым выпадку сярэдняе арыфметычнае <T>=2,7c, давяральны інтэрвал ΔT=c=0,2c (дыскрэтная шкала секундамера).

Канчатковы вынік: Т=(2,7±0,2)с, =1.

Такім чынам, ацэнка хібнасцей рэзультату вымярэнняў патрабуе дэталёвага аналізу ўсіх прычын, якія вызываюць гэтыя хібнасці.

І ў кожным канкрэтным выпадку давяральны інтэрвал пры зададзенай давяральнай імавернасці вызначаецца велічынёй стандартнага адхілення.

Аб колькасці паўторных вымярэнняў

Вядома, што велічыня выпадковай хібнасці залежыць ад вынікаў вымярэнняў і іх колькасці.

З формулы

бачна, што пры неабходнасці велічыня хібнасці можа быць паменшана шляхам павелічэння колькасці паўторных вымярэнняў.

n

іinвып xx

nntx

1

2)()1(

1

І ў прынцыпе можа стаць вельмі малой.

Але гэта патрабуе дадатковых трат часу, працы, энергіі і г.д.

Таму пытанне аб правядзенні дадзенай колькасці вымярэнняў павінна быць абгрунтаваным.

Па магчымасці заўсёды трэба імкнуцца да памяншэння выпадковай хібнасці для таго, каб яна стала меншай інструментальнай хібнасці ці хаця бы сувымернай з ёй.

Пры правядзенні эксперыменту нельга абмяжоўвацца толькі адным вымярэнням,

якое не зможа даць верагодных і надзейных ведаў аб даследуемай з’яве і яе характарыстыках.

Хібнасць вымярэння ў гэтым выпадку вызначыць не магчыма.

Адзінкавы рэзультат можа ўтрымліваць грубую памылку.

Калі ў выніку 3-5 вымярэнняў рэзультаты супалі (выпадковыя хібнасці не праяўляюцца: яны меншыя інструментальных), то гэтай колькасцю вымярэнняў можна абмежавацца.

Калі ў выніках вымярэнняў выявіўся роскід значэнняў (з-за выпадковых хібнасцей), то трэба правесці серыю паўторных вымярэнняў з мэтай памяншэння выпадковых хібнасцей.

Згодна формулы для стандартнага адхілення пры павелічэнні колькасці вымярэнняў n выпадковая хібнасць памяншаецца прыблізна ў 1/√n раз.

Пры малой колькасці вымярэнняў n памяншэнне выпадковай хібнасці адбываецца і з-за памяншэння каэфіцыента Ст’юдэнта.

Пасля n=30 каэфіцыент Ст’юдэнта практычна застаецца пастаянным.

Калі роскід значэнняў вельмі вялікі, то трэба высветліць і ліквідаваць прычыну вялікіх хібнасцей.

Калі рэзка адрозніваецца толькі адзін з рэзультатаў, то яго ацэніваюць як промах і выключаюць з апрацоўкі ці робяць паўторнае вымярэнне.

Колькасць паўторных вымярэнняў можа быць паменшана толькі ў асобных выпадках, напрыклад, калі для рашэння задачы вымярэння вялікая хібнасць з’яўляецца неістотнай ці вывучаемая з’ява

не можа быць паўторна ўзноўленай.

Такім чынам, на пытанне аб колькасці вымярэнняў нельга абгрунтавана адказаць да пачатку правядзення эксперыменту.

Гэта колькасць вызначыцца толькі ў ходзе правядзення эксперыменту на падставе аналізу атрыманых вынікаў, параўнання інструментальных і выпадковых хібнасцей, уліку дакладнасці, якая прад’яўляецца да канчатковага выніку дадзенага доследу.