Лекция 5 Элементарные структуры данных часть 3

Анализ комбинаторных алгоритмов

Лекция №5Элементарные

структуры данныхЧасть III

Двоичные деревья поиска

Двоичным называется дерево с максимальной степенью вершины равной двум

В двоичном дереве каждая вершина может иметь(или не иметь) правого и левого ребенка.


Двоичным деревом поиска называется такое двоичное дерево в котором элементы хранятся в соответствии с принципом упорядоченности:

Пусть вершина x-произвольная вершина двоич- ного дерева поиска. Если вершина y находится в левом поддереве вершины x, то выполняется неравенство , если у – в правом поддереве вершины x, то выполняется неравенство

keyxkeyy

keyxkeyy


Свойство упорядоченности позволяет простореализовать вывод отсортированного множества элементов двоичного дерева поиска.

void InOrderTreeWalk(x){if(x!=null){

InOrderTreeWalk(x->left);Print(x);InOrderTreeWalk(x->right);

}}

5

3

2 5

7

8


Поиск элемента в двоичном дереве поиска занимает время O(h), где h-высота дерева.void TreeSearch(x,key){ if ((x==null)||(key=x->key)) return x; if (key<x->key) return TreeSearch(x->left, key); else return TreeSearch(x->right, key);}void IterativeTreeSearch(x,key){ while((x==null)&&(key=x->key)){ if (key<x->key) x = x->left; else x = x->right; } return x;}


void TreeMinimum(x){ while(x->left!=null)

x=x->left; return x;}

void TreeMaximum(x){ while(x->right!=null)

x=x->right; return x;}

5

3

2 5

7

8

В двоичном дереве поиска самый левый лист – минимум, самый правый лист - максимум.


void TreeNext(x){ if(x->right!=null) return TreeMinimum(x->right); y = x->parent; while((y!=null)&&(x==y->right)){ x = y; y = x->parent; } return y; }

5

3

2 5

7

8

void TreePrevious(x){ if(x->left!=null) return TreeMaximum(x->left); y = x->parent; while((y!=null)&&(x==y->left)){ x = y; y = x->parent; } return y; }


Если вершина имеет двоичного дерева поиска имеет двух детей, то следующая за ней вершина не имеет левого ребенка, а предшествующая ей вершина – правого.

Это обстоятельство используется в алгоритме удаления вершины, для того чтобы сохранить свойство упорядоченности для двоичного дерева поиска.

Двоичные деревья поиска5

3

2 5

7

8

void TreeInsert(root,z){ y = null; x = root; while (x!=null){ y=x; if (z->key < x->key) x = x->left; else x = x->right; } z->parent = y; if (y==null) root=z; else { if (z->key < y->key) y->left = z; else y->right = z; }}

4

5

3

2 5

7

8


void TreeDelete(root,z){ if ((z->left==null)||(z->right==null))

y = z; else y = TreeNext(z); if (y->left !=null) x = y->left; else x = y->right; if (x!=null) x->parent = y->parent; if (y->parent == null) root=x; else { if (y == y->parent->left) y->parent->left = x; else y->parent->right = x; } if (y!=z) { Copy(z,y); }}

4

5

3

2 5

7

8

5

4

2 5

7

8


Операции поиска, нахождения минимального и максимального, следующего и предыдущего элементов, а также добавления и удаления в двоичном дереве поиска работают со скоростью O(h), где h – высота дерева.

Высота случайно построенного двоичного дерева пропорциональна log n (n-общее количество элементов). Однако это не гарантировано и в худшем случае высота дерева пропорциональна n.

Красно-черные деревья

Для того чтобы высота дерева была пропорциональна log n, должны соблюдаться требования, гарантирующие что глубины любых двух листьев различаются не более чем в два раза.

Деревья, обладающие такими свойствами, называют сбалансированными.

Разновидностью сбалансированных деревьев являются красно-черные деревья.


Двоичное дерево поиска называется красно-черным,если оно обладает следующими свойствами (RB-свойствами): Каждая вершина – либо красная, либо черная. Каждый лист (nil, null) – черный. Если вершина красная – оба ее ребенка черные. Все пути от корня к листьям содержат одинаковое

количество черных вершин.


19

26

17

14 21

41

4730

20

null null

null

23

null null

28

null null

null null38

35 39

null nullnull null10

16

15

7 12

3

null null

null nullnull null

null

null


Теорема. Красно-черное дерево с n внутреннимивершинами,(т.е. не считая null-листьев) имеетвысоту не больше 2log(n+1).

Таким образом красно-черное дерево являетсясбалансированным.


Работать с красно-черными деревьями можно так же как и с обычными двоичными деревьями поиска. Однако при добавлении или удалении вершины дерево может потерять RB-свойства, т.е. разбалансироваться.

Чтобы восстановить RB-свойства, надо перекрасить некоторые вершины и изменить структуру дерева.

Структура дерева меняется с помощью вращений.

Красно-черные деревьяx

yα

β γ

x

y

α β

γ

void LeftRotate(root,x){ y = x->right; x->right = y->left; if ( y->left != null) y->left->parent = x; y->parent = x->parent; if (x->parent == null) root = y; else{ if (x == x->parent->left) x->parent->left = y; else x->parent->right= y; } y->left = x; x->parent = y;}

Левое вращение


11

14

x

15

2

1 7

5

4

8y

В алгоритме добавления вершины к красно-черному дереву вновь добавляемую вершину окрашивают в красный цвет, а корень всегда оставляют черным.

После добавления вершины x (4), не выполняется RB-свойство №3. Вершина 5 не может иметь красного ребенка.


Пусть y – «дядя» x. Если обе вершины красные, то перекрашиваем y и родителя x в черный цвет, а «деда» x в красный.

Теперь RB-свойство №3 не выполняется для вершины 7.Однако «дядя» у 7 – черный.

11

14

x 15

2

1 7

5 8

y

4


Произведем левое вращение относительно x. Результат снова не обладает всеми RB-свойствами для вершины 2.

Разница по сравнению с предыдущем случаем состоит в том, что 2 – левый ребенок своего родителя, а 7 – была правым.

11

14

x152

1

7

5

8

y

4


Перекрашиваем «деда» x в красный цвет, родителя в черный. Произведем правое вращение относительно «деда» x.

Результат обладает всеми RB-свойствами.

11

14

15

2

1

7

5 8

4


В рассмотренном примере вершина x (нарушающая RB-свойства дерева) всегда была левой по отношению к своему «деду».

Если она окажется справа от «деда», то возникают еще три случая, решающие задачу балансировки дерева симметрично предыдущим трем.


При удалении вершины из красно-черного дерева действуют по тому же алгоритму что и в обычных двоичных деревьях поиска.

Если удаляемая вершина – красная, RB-свойства после удаления нарушены не будут.

Если удаляемая вершина – черная. Путь проходивший через нее будет содержать на одну черную вершину меньше (св-во №4).


D

E

A

B

C

D

E

A

B

Cα β

γ δ ε ζ γ δ

ε ζ

α β

x

x

w

w

Случай №1. Производим вращение и перекрашиваем вершины как показано на рисунке. Случай №1 сводится таким образом к случаям 2,3 или 4. (x- элемент вставший на место удаленной вершины).


D

E

A

B

Cα β

γ δ ε ζ

x w

c

D

E

A

B

Cα β

γ δ ε ζ

x c

Случай №2. Перекрашиваем вершины как показано на рисунке. Продолжаем просматривать дерево для родителя x.


D

E

A

B

Cα β

γ δ ε ζ

x w

c

D

E

A

B

C

α β γ

δ

ε ζ

x

c

w

Случай №3. Производим вращение и перекрашиваем вершины как показано на рисунке. Случай №3 сводится таким образом к случаю 4.


D

E

A

B

C

D

E

A

B

Cα β

γ δ ε ζ γ δ

ε ζ

α β

x

x

w

w

c c

Случай №4. Производим вращение и перекрашиваем вершины как показано на рисунке. Случай №4 исправляет недостаток черных вершин и просмотр дерева можно завершить. Просмотр также завершается если новая х будет красной.


Все словарные операции, включая добавление и удаление вершин, работают для красно-черных деревьев со скоростью log(n).

Красно-черные деревья – динамическая структура данных, сочетающая в себе динамические свойства связанных списков и более быстрые словарные операции, характерные для хеш-таблиц.

Лекция 5 Элементарные структуры данных часть 3

Data & Analytics