лекция 5.2 эмм в менеджменте
TRANSCRIPT
Экономико-математические методы в планировании и управленииУральский федеральный университет
2014
им. первого Президента России Б.Н.Ельцина
Кафедра «Экономика и управление строительством и рынком недвижимости»
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова, доцент 2
Тема 5. Конверсия валют и наращение процентов (продолжение)
План Основные понятия и определения; Конверсия валюты и наращение по
простой процентной ставке; с предварительной конверсией СКВ в
рубли; с предварительной конверсией суммы в
рублях в СКВ; Конверсия валюты и наращение по
сложной процентной ставке; с предварительной конверсией СКВ в
рубли; с предварительной конверсией суммы в
рублях в СКВ.
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова, доцент 3
Основные понятия и определенияВведем обозначения:
js , j ставка простых и сложных процентов по валютным депозитам;
is , is ставка простых и сложных процентов по рублевым депозитам;
P начальная сумма в СКВ; Pr начальная сумма в рублях; S наращенная сумма в СКВ; Sr наращенная сумма в рублях; K0 курс обмена в начале операции
(курс СКВ в рублях); K1 курс обмена в конце операции; n срок депозита.
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова, доцент 4
Конверсия валюты и наращение по сложной процентной ставке При наращении без конверсии источником дохода является только процентная ставка. Наращенную сумму легко рассчитать по известным формулам для сложной ставки:
При наращении с конверсией существуют два источника дохода:
процентная ставка безусловный фактор,
изменение курса СКВ условный фактор.
(1 ) (1 )n nv v r rS P j S P i
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова, доцент 5
Конверсия валюты и наращение по сложной процентной ставке: СКВ Руб. Руб. СКВ
Рассмотрим случай наращения по сложной ставке процента по следующей схеме:
1-й шаг обмен СКВ на рубли: 2-й шаг наращение процентов по
сложной ставке i:
3-й шаг конвертирование наращенной в рублях суммы в исходную валюту. Итоговую сумму в СКВ рассчитаем по формуле:
0 1. .К КiСКВ Руб Руб СКВ
0r vP K P
0(1 ) (1 )n nr r vS P i K P i
0
1 1
(1 )nvrv
K P iSS
K K
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова, доцент 6
Конверсия валюты и наращение по сложной процентной ставке: СКВ Руб. Руб. СКВ
Отношение курса СКВ в конце операции K1 к курсу СКВ в начале операции K0 обозначим через k. Тогда формула примет вид:
, где
Коэффициент при P является множителем наращения при наличии конверсии:
Найдем эквивалентную ставку, то есть ставку, при которой множитель наращения без конверсии равен множителю наращения с конверсией:
1
0
Kk
K1 (1 )nv vS k P i
1 (1 )nk i
1(1 ) (1 )n nэj k i
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова, доцент 7
Конверсия валюты и наращение по сложной процентной ставке: СКВ Руб. Руб. СКВСтавка оценивает доходностьоперации наращения по сложной процентной ставке с конверсией.
Зависимость эквивалентной ставки от соотношения курсов СКВ jэ= f(k) - гипербола.
11э n
ij
k
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова, доцент 8
Конверсия валюты и наращение по сложной процентной ставке: СКВ Руб. Руб. СКВТочку пересечения графика с осью k найдем, приравнивая jэ к нулю:
Получим критическое значение соотношения курсов k=k*, при котором эквивалентная ставка jэ равна 0 :
Таким образом, при k=k* доходность операции
конверсии равна 0 ; при k>k* операция конверсии
убыточна (доходность меньше нуля, так как jэ<0 );
при k<k* операция конверсии приносит доход.
11 0э n
ij
k
* (1 )nk i
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова, доцент 9
Задача: Определить максимально допустимое значение kmax , при котором множители наращения с конверсией и без конверсии по ставкам депозитов i и j , объявленным банками, равны?Приравняем множители наращения:
Откуда получаем: .Выводы:
При заданном K0 и K1*=k*K0
первоначальная сумма Pv сохраняется, не принося дохода.
При заданном K0 и K1max=kmaxK0
первоначальная сумма Pv наращивается с одинаковой скоростью в любой валюте.
Конверсия валюты и наращение по сложной процентной ставке: СКВ Руб. Руб. СКВ
max
(1 )(1 )
nn ij
k
max
1
1
ni
kj
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова, доцент 10
Конверсия валюты и наращение по сложной процентной ставке: Руб. СКВ СКВ Руб.Рассмотрим случай второй случай:
1-й шаг обмен рублей на СКВ:
2-й шаг наращение процентов по ставке js :
3-й шаг конвертирование наращенной в СКВ суммы в рубли. Итоговую сумму в рублях рассчитаем по формуле:
0 1. .К КjРуб СКВ СКВ Руб
0
rv
PP
K
0
(1 ) (1 )n nrv v
PS P j j
K
11
0
(1 )nrr v
K P jS S K
K
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова, доцент 11
Конверсия валюты и наращение по сложной процентной ставке : Руб. СКВ СКВ Руб.Обозначив отношение курса СКВ в конце операции K1 к курсу СКВ в начале операции K0 через k, перепишем формулу в виде:
, где
Коэффициент при Pr является множителем наращения при наличии конверсии:
Найдем эквивалентную ставку для этого случая.Для этого приравняем множители наращения для операций без конверсии и с конверсией:
1
0
Kk
K(1 )nr rS P k j
(1 )nk j
(1 ) (1 )n nэi k j
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова, доцент 12
Конверсия валюты и наращение по сложной процентной ставке : Руб. СКВ СКВ Руб.Ставка показывает, какую ставку необходимо назначить по депозитам в рублях, чтобы доход был таким же, как с конверсией.
Характерзависимостиопределяетсязначением срокафинансовойоперации n.
(1 ) 1nэi k j
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова, доцент 13
Конверсия валюты и наращение по сложной процентной ставке : Руб. СКВ СКВ Руб.При n=1 зависимость эквивалентной ставки от соотношения курсов СКВ - линейная. ( ) (1 ) 1эi k k j
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова, доцент 14
Конверсия валюты и наращение по сложной процентной ставке : Руб. СКВ СКВ Руб.При n<1 (1/n>1) зависимость эквивалентной ставки от соотношения курсов - параболического типа, симметричная относительно оси ординат.
1
( ) (1 ) 1nэi k k j
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова, доцент 15
Конверсия валюты и наращение по сложной процентной ставке : Руб. СКВ СКВ Руб.При n>1 (1/n<1) зависимость эквивалентной ставки от соотношения курсов - параболического типа, симметричная относительно прямой iэ=-1 .
1
(1 ) 1nэi k j
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова, доцент 16
Приравнивая iэ к нулю, найдем точку пересечения графиков с осью абсцисс:
Получим критическое значение соотношения курсов k=k*, при котором эквивалентная ставка iэ равна 0 :
Таким образом, при k=k* доходность операции
конверсии равна 0 ; при k>k* операция конверсии
приносит доход; при k<k* операция конверсии
убыточна.
Конверсия валюты и наращение по сложной процентной ставке : Руб. СКВ СКВ Руб.
* (1 ) 1 0nэi k j
* 1
(1 )nk
j
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова, доцент 17
Конверсия валюты и наращение по сложной процентной ставке : Руб. СКВ СКВ Руб.Задача: Определить минимально допустимое значение kmin , при котором множители наращения с конверсией и без конверсии по ставкам депозитов i и j, объявленным банками, равны?Приравняем множители наращения:
Выводы:
При заданном K0 и K1*=k*K0
первоначальная сумма Pr сохраняется, не принося дохода.
При заданном K0 и K1min=kminK0
первоначальная сумма Pr наращивается с одинаковой скоростью в любой валюте.
min min
1(1 ) (1 )
1
n
n n ii k j k
j
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова, доцент 18
Спасибо за внимание