Подсчет вариантов Подсчет вариантов с помощью графовс помощью графов

Урок 4Урок 4

Цели урока: Дать определение основных понятий и назначения графов.Научиться приводить примеры графов в различных учебных предметах  (математика, информатика, химия, биология и др.) и повседневной жизни.Научиться применять графы при решении различных задач, научиться записывать информацию в виде графов.Научиться из множества предметов вычленить объекты, обозначить связи между ними.

Ход урока:Ход урока:

Проверка домашнего задания. Историческая справка. Основные определения. Примеры решения задач. Домашнее задание.

Домашнее заданиеДомашнее задание

№6. У Светланы 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Светланы?

Решение: С первой юбкой можно одеть любую из 5-ти кофт (n=5), со второй юбкой можно одеть любую из 5-ти кофт и с третьей юбкой можно одеть любую из 5-ти кофт, т.е (m=3). По правилу произведения получаем 3*5=15.

Ответ: 15 различных комбинаций имеется у Светы.

№2. С помощью таблицы вариантов перечислите всевозможные двухбуквенные коды (буквы в коде могут повторяться), в которых используются буквы а, б, в.

Решение: Если буквы повторяются, то можно записать 3*3=9 различных двухбуквенных кодов (поясните почему).аа аб ав ба бб бвва вб вв Ответ: 9 различных кодов.

Вспомните правило произведения!

Содержание

Домашнее заданиеДомашнее задание

№11 (2). Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1,2,3,4,5,6, если цифры в числе должны быть различными?

Решение:12 21 31 41 51 6113 23 32 42 52 6214 24 34 43 53 6315 25 35 45 54 6416 26 36 46 56 65 или 5*6=30Ответ: 30 различных чисел.

№8. В ларьке продается 5 видов мороженного (не менее 2 брикетов каждого вида). Оля и Таня покупают по 1 брикету. Сколько существует вариантов такой покупки? (Можно предложить одному из учащихся записать решение на доске, после чего открыть решение на слайде).

Решение: Катя выбирает из 5 видов, Оля выбирает из 5 видов, следовательно, n=5(видов мороженного), m=2 (девочек). По правилу произведения 5*2=10.

Ответ: 10 вариантов.

Содержание

ГрафыГрафыУ Светланы 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Светланы?

Содержание

Из истории…Из истории…Леона< рд Э́< йлер (нем. Leonhard Euler; 4 (15) апреля 1707(17070415), Базель, Швейцария — 7 (18) сентября 1783, Санкт-Петербург, Российская империя) — российский, немецкий и швейцарский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.

Задача о кёнигсбергских мостах:

Схема кёнигсбергских мостов

Граф к задаче о кёнигсбергских мостах

Невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды.

Это интересно!!! Содержание

Это интересно!!!Это интересно!!!Рассуждая, как Эйлер ответьте, можно ли обойти фигуру, не проходя дважды по одной линии.

Нет нельзя, две нижние вершины нечетные.

Основные определения Основные определения и понятия:и понятия:

Граф – геометрическая фигура, состоящая из точек и соединяющих их отрезков.Точки – называются вершинами графа, они могут быть замены кругами, прямоугольниками, картинками и др. для удобства иллюстрации. С помощью вершин изображают элементы некоторого множества.Отрезки – называются ребрами графа, могут заменяться любыми линиями.

Содержание

Решение задачРешение задач1. Полный граф – граф, в котором соединены все возможные вершины, т.е. все элементы множества, изображаемые графом, взаимосвязаны.Рассмотрим понятие полного графа на задаче:Задача 1. Андрей, Борис, Виктор и Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?

А

Г В

Б

Ответ: 6 партий.

Содержание

Решение задачРешение задачЗадача 2. Андрей, Борис, Виктор и Григорий после возвращения из летнего лагеря ребята обменялись фотографиями. Причем каждый мальчик подарил каждому по одной фотографии. Сколько фотографий было подарено.Решение:Данную задачу можно решить двумя способами.I способ – c помощью полного графа. Стрелки на ребрах графа с вершинами А, Б, В, Г (по первым буквам имен мальчиков) показывают процесс обмена, такой граф называется ориентированным.

Ответ: 12 фотографий.

А

Г В

Б

II способ – правило произведения. Каждый из мальчиков подарил друзьям по три фотографии, следовательно, 3*4 = 12.

Содержание

Решение задачРешение задач2. Граф-дерево – граф, который имеет одну вершину, порождающую все другие. В такого вида графах каждая предыдущая вершина порождает следующие. Свое название получил за внешнее сходство с деревом.Рассмотрим понятие графа-дерева на задаче:Задача 3. Антон (А), Борис (Б), Василий (В) купили 3 билета на футбольный матч на 1, 2, 3- е места первого ряда. Сколькими способами они могут занять имеющиеся три места?

Способы

А Б В

БАВАВБ

1 место

2 место

3 местоВ Б БАВ А

Тройки друзей

Ответ: 6.

Содержание

Решение задачРешение задачРешите следующие задачи:№1. При встрече каждый из друзей пожал другому руку (каждый пожал каждому). Сколько рукопожатий было сделано, если во встрече участвовало 5 человек.№2 (2,3). По окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными карточками (каждый вручил свою карточку каждому). Сколько всего визитных карточек было роздано, если во встрече участвовали 4 человека, 5 человек?№3. Маше на день рождения подарили 3 букета цветов: из роз (р), астр (а) и гвоздик (г). В доме было 2 вазы: хрустальная (х) и керамическая (к). Маша пробовала устанавливать каждый букет в каждую вазу. Перечислите все полученные сочетания букета с вазой.№6. Перечислите все возможные цветовые сочетания брюк, свитера и ботинок, если в гардеробе имеются брюки 3 цветов: серые, бежевые и зеленые; свитера 2 расцветок: песочный и малиновый; ботинки 2 цветов: черные и коричневые.

Содержание

Задача №1Задача №1

Решение:В графе 5 вершин (5 друзей), 10 ребер, следовательно, всего 10 рукопожатий.Ответ: 10.

1

5

4 3

2

Содержание

Задача №2Задача №2

Во встрече участвовало 4 человека: Во встрече участвовало 5 человек: 4 вершины, 6 ребер, 12 стрелок, 5 вершин, 10 ребер, 20 стрелок,следовательно, 12 карточек было передано в 1 случае и 20 во втором.

Ответ: 12, 20.

1

4 3

2

1

5

4 3

2

Решение:

Содержание

Задача №3Задача №3

Решение:

Варианты

Хрусталь-ная

Керамиче-ская

Розы

Астры

Гвоздики

Розы

Гвоздики

Астры

Вазы

БукетыВарианты установки

букетов

х-р

х-а

х-г

к-р

к-а

к-г

Ответ: 6.

Содержание

Задача №6Задача №6

Решение:

Ответ: 12.

Сочетания

Серые ЗеленыеБежевые

Песочный Малиновый Песочный Малиновый Песочный Малиновый

Че

рн

ый

Че

рн ый

Че

рн ый

Че

рн ый

Че

рн ый

Че

рн ый

Ко

ри чн ев Ко

ри чн ев ый

Ко

ри чн ев ый

Ко

ри чн ев ый

Ко

ри чн ев ый

Ко

ри чн ев ый

Количество вариантов:с-п-ч с-п-к с-м-ч с-м-кб-п-ч б-п-к б-м-ч б-м-кз-п-ч з-п-к з-м-ч з-м-к

Содержание

Домашнее заданиеДомашнее задание

§4 (читать) №№ 1(1,2), 2 (1), 4, 5, 7, 9. Записи в тетради