Исследовательская работа Исследовательская работа по математикепо математике

по теме по теме «Золотое сечение в живописи».«Золотое сечение в живописи».

Выполнили ученицы 9 класса «Г»

МОУ Лицея № 7 Каргина Юлия, Богданова Юлия.

Кстово, 2008

Содержание.Содержание.1. Введение.1. Введение.2. «Золотое сечение». 2. «Золотое сечение». История «золотого сечения».История «золотого сечения».3. «Золотой» прямоугольник, 3. «Золотой» прямоугольник, свойства «золотого» прямоугольника.свойства «золотого» прямоугольника.4. «Золотая» спираль. 4. «Золотая» спираль. 5. «Золотой» треугольник.5. «Золотой» треугольник.6. «Золотое сечение» в живописи. 6. «Золотое сечение» в живописи. 7. Список литературы.7. Список литературы.

В искусстве божественная пропорция - это В искусстве божественная пропорция - это мать царицамать царица .

Введение.Введение. Человек различает окружающие его предметы

по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетания симметрии и «золотого сечения», способствуют наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии.

Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому.

Принцип «золотого сечения» – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве.

Цель работы:•Воспользовавшись различной справочной литературой, получить наиболее полное представление по теме «золотое сечение»;•Рассмотреть применение «золотого сечения» в живописи.•Провести исследование по следующим направлениям: - Существуют ли картины, нарисованные по правилу «золотогоСуществуют ли картины, нарисованные по правилу «золотого сечения»?сечения»? - - Если да, то можно ли провести геометрическое исследование по Если да, то можно ли провести геометрическое исследование по фотографиям этих картин? фотографиям этих картин? -- Возможно ли, используя принцип «золотого сечения», самим Возможно ли, используя принцип «золотого сечения», самим нарисовать картину?нарисовать картину?

Золотое сечение - гармоническая Золотое сечение - гармоническая пропорция.пропорция.

В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a : b = c : d.

Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:

• на две равные части – АВ : АС = АВ : ВС; • на две неравные части в любом отношении (такие части

пропорции не образуют); • таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС. Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в

крайнем и среднем отношении. Золотое сечение – это такое пропорциональное

деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b = b : c или с : b = b : а.

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

Свойства «золотого сечения»

описываются уравнением:

x2 – x – 1 = 0. Решение этого уравнения:

Обычно рассматривают только положительный корень x1, дающий простое и наглядное деление

отрезка в заданной пропорции.

• Именно положительный корень x1 уравнения

наиболее часто называют золотой пропорцией

или пропорцией «золотого сечения».

В алгебpе это число обозначается

гpеческой буквой фи (Ф),

Ф≈0,618.

«Золотой» прямоугольник.«Золотой» прямоугольник. Прямоугольник, стороны которого

находятся в золотом отношении, т.е. отношение ширины к длине даёт число Ф, называется золотым прямоугольником.

Выбирая размеры картины, художники старались, чтобы отношение ее сторон

равнялось Ф.

Старые мастера любили окутывать Старые мастера любили окутывать свои работы завесой тайны, и свои работы завесой тайны, и нередко замечательная пропорция нередко замечательная пропорция оказывается путеводной нитью, оказывается путеводной нитью, позволяющей вторгнуться в богатый позволяющей вторгнуться в богатый мир творческих замыслов художника. мир творческих замыслов художника. Однако распознать «золотое сечение" Однако распознать «золотое сечение" бывает порой очень непросто.бывает порой очень непросто.

«Золотое сечение» в картине Шишкина «Березовая роща».

На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы «золотого сечения». Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по «золотому сечению». Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по «золотому сечению» правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен - при желании можно с успехом продолжить деление картины по «золотому сечению» и дальше.

На картине крупного итальянского живописца и математика XY века

Пьетро делла Франческа "Бичевание Христа"

в  мраморной плите пола , украшающей портик, обнаруживается сложный геометрический узор. Представив этот чертеж как вид сверху, получим прямоугольник, построенный с использованием «золотого сечения».

"Святой  Себастьян" "Святой  Себастьян" Антонелло да Мессина.Антонелло да Мессина.

Антонелло де Мессина в знаменитой картине "Святой Себастьян" многократно использует «золотое сечение».

Эта пропорция, во-первых, лежит в основе трактовки тела святого. Вычисления, опирающиеся на пропорции человеческой фигуры и теорему Пифагора, а также учитывающие длину копий, обнаруживают, что плитки пола являются прямоугольниками, стороны которых находятся в золотом соотношении. Рост лежащего воина в соотношении с ростом Себастьяна дает квадратный корень «золотого сечения». Квадрат «золотого сечения» создается отношением диаметра к высоте обломка колонны – символа ранней смерти, лежащего на переднем плане.

О композиции картины «Уличка» О композиции картины «Уличка» Вермеера Дельфтского.Вермеера Дельфтского.

Формат картины образует Формат картины образует сумму двух положенных сумму двух положенных друг на друга друг на друга прямоугольников «золотого прямоугольников «золотого сечения». Картина делится сечения». Картина делится краем стены по вертикали краем стены по вертикали на две неравные части, на две неравные части, которые относятся друг к которые относятся друг к другу, как функции золотого другу, как функции золотого сечения. В окнах и дверях сечения. В окнах и дверях Вермеер также Вермеер также подчеркивает подчеркивает прямоугольники «золотого прямоугольники «золотого сечения» или их сечения» или их производные. производные.

Свойства Свойства «золотого» прямоугольника.«золотого» прямоугольника.

Золотой прямоугольник обладает многими необычными свойствами.

Отрезав от золотого прямоугольника квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, мы снова получим золотой прямоугольник меньших размеров.

Этот процесс можно продолжать до бесконечности. Продолжая отрезать квадраты, мы

будем получать все меньшие и меньшие золотые прямоугольники.

Причем располагаться они будут по логарифмической спирали, имеющей важное значение.

Логарифмическая спираль.Логарифмическая спираль.

Английский дизайнер и эстетик Уильям Чарлтон констатировал, что люди считают спиралевидные формы приятными на вид и используют их вот уже тысячелетия, объяснив это так: "Нам приятен вид спирали, потому что визуально мы с легкостью можем рассматривать ее."

Лежащее в основе строения спирали правило Лежащее в основе строения спирали правило «золотого сечения» встречается в искусстве «золотого сечения» встречается в искусстве

очень часто в бесподобных по красоте очень часто в бесподобных по красоте творениях. творениях.

Многофигурная композиция, выполненная в 1509 - 1510 годах Многофигурная композиция, выполненная в 1509 - 1510 годах Рафаэлем, когда прославленный живописец создавал свои фрески в Рафаэлем, когда прославленный живописец создавал свои фрески в Ватикане, отличается динамизмом и драматизмом сюжета. Рафаэль Ватикане, отличается динамизмом и драматизмом сюжета. Рафаэль так и не довел свой замысел до завершения, однако, его эскиз был так и не довел свой замысел до завершения, однако, его эскиз был гравирован неизвестным итальянским графиком Маркантинио гравирован неизвестным итальянским графиком Маркантинио Раймонди, который на основе этого эскиза и создал гравюруРаймонди, который на основе этого эскиза и создал гравюру

Если на подготовительном эскизе Рафаэля мысленно провести линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза (на рисунке эти линии проведены красным цветом), а после этого соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается золотая спираль. Это можно проверить, измеряя отношение длин отрезков, высекаемых спиралью на прямых, проходящих через начало кривой.

"Избиение младенцев"

«Золотой» треугольник.

«Золотым» называется такой равнобедренный «Золотым» называется такой равнобедренный треугольник , основание и боковая стороны треугольник , основание и боковая стороны которого находятся в золотом отношении.которого находятся в золотом отношении.

Золотой треугольник в своем творчестве использовал Леонардо да Винчи.

Портрет Моны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на «золотых» треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.

"Афинская школа».  Рафаэль .   

Рафаэль не был ученым-математиком, но, подобно многим художникам той эпохи, обладал немалыми познаниями в геометрии. В знаменитой фреске “Афинская школа”, где в храме науки предстоит общество великих философов древности, наше внимание привлекает группа Евклида - крупнейшего древнегреческого математика, разбирающего сложный чертеж.

Хитроумная комбинация двух треугольников построена в соответствии с пропорцией «золотого сечения»: она  может быть вписана в прямоугольник с соотношением сторон 5/8.

2 способа построениягармоничных композиций

в живописи.

В ходе работы над проектом, мы узнали , что

существуют

Любая картина имеет Любая картина имеет определенные точки, определенные точки, невольно приковывающие невольно приковывающие наше внимание, так наше внимание, так называемые «зрительные называемые «зрительные центры». Таких точек всего центры». Таких точек всего четыре, и расположены они четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев соответствующих краев плоскости.плоскости.

Н.Н. Ге "Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском».

В этой картине фигура Пушкина поставлена художником слева на линии «золотого сечения». Голова военного, с восторгом слушающего чтение поэта, находится на другой вертикальной линии «золотого сечения».

Ярким примером картины, построенной Ярким примером картины, построенной «по золотому сечению», является картина «по золотому сечению», является картина

Константина ВасильеваКонстантина Васильева «У окна». «У окна».

Главная мысль этой картины, вся кульминация ее заложена в образе девушки, чье лицо озарено удивительной чистотой, достоинством и спокойной мудростью. Лицо девушки художник разместил в «золотой» точке картины, которая находится на пересечении двух «золотых» линий – горизонтальной и вертикальной, которые в точности проходят через глаз девушки.

Это композиционное решение является одной из причин ощущения удивительной гармонии, которой наполнена картина, олицетворяющая все те исконные начала, которые всегда делали русскую женщину прекрасной.

Если композиция сложная и Если композиция сложная и состоит из нескольких состоит из нескольких различающихся по смыслу различающихся по смыслу областей, то они могут областей, то они могут быть расположены внутри быть расположены внутри полотна в соответствии с полотна в соответствии с принципами «золотого принципами «золотого сечения». сечения».

Если ключевые объекты расположить в этих треугольниках – Если ключевые объекты расположить в этих треугольниках – композиция будет выглядеть гармонично!композиция будет выглядеть гармонично!

Картина — «Боярыня Морозова». Картина — «Боярыня Морозова». Автор — В. И. Суриков.Автор — В. И. Суриков.

В композиции сочетание «естественности» и красоты представлено наиболее богато.

Но что такое это соединение «естественности и красоты», как не «органичность»?

Но где идёт речь об органичности, там... ищи «золотое сечение» в пропорциях!

Маленькая чертёжно-геометрическая работа показывает Маленькая чертёжно-геометрическая работа показывает нам нам два вертикальных сечениядва вертикальных сечения, которые проходят на , которые проходят на 0,618... от каждого края прямоугольника картины! 0,618... от каждого края прямоугольника картины!

Первое целиком совпадает с сечением АВ, отстоящем на 0,618... от левого края.

Второе «золотое сечение» А1В1 проходит по слову, которое летит из уст боярыни Морозовой.

Ибо не рука, не горящие глаза, не рот — здесь главное. Но огненное слово фанатического убеждения. В нём, и именно в нём, — величайшая сила Морозовой.

Заключение. В ходе выполнения данной исследовательской

работы, мы узнали, что такое золотое сечение, узнали историю золотого сечения, когда оно было введено и кем.

Попытались выяснить секреты создания художниками полотен, рассмотрев картины великих художников с точки зрения золотого сечения.

Научились рисовать по правилам золотого сечения.

Провели исследования и убедились в том, что фигуры, построенные по правилу золотого сечения выглядят более красиво и гармонично.

Рисунок выполнен Богдановой Юлией по правилу «зрительных центров».

Рисунок выполнен Каргиной Юлией по правилу третей.

Вывод.• Метод «золотого сечения»

обеспечивает создание наиболее гармоничной композиции

в живописи, что делает произведение более привлекательным для восприятия людьми.

Список литературы.

1.Д. Пидоу. «Геометрия и искусство», М.: Мир, 1989.2.Журнал «Квант», 1973, № 8.3.Журнал «Математика в школе», 1994, №2, №3.4.Кеплер М. «О шестиугольных снежинках», М.,

1982.5.Ковалев Ф.В. «Золотое сечение в живописи», К.:

Высшая школа, 1989.6.Дюррер А. Дневник, письмо, тракты, С.-П., М.,

1975.7.Стахов А. «Коды золотой пропорции».8.Информация из Интернета.