258

:3 الوحدة IIالمجال

Üa@paŒanèýaÕóî‹@

:ري لنواس ثقليقسالهتزاز ال ا-1ف -أ زة على جسيمة نقول عن : تعري ة، مهت ة بواسطة قوة خارجي زازات المحدث ة (االهت ) جمل

.رياقس اهتزازاخاضعة لقوة مرنة أنها تهتز ):النواس المرآب( الدراسة الديناميكية-ب

، L وطوله mقضيب آتلته نفرض نواسا مرآبا مكون من ة ه آتل اف إلي د Mتض ى بع ور موضوعة عل ن مح م

عن وضع توازنها ثم تترك 0θتزاح الجملة بزاوية . الدوران

طرف القضيب مغمور في بدون سرعة إبتدائية، مع العلم أن حوض ماء الذي يعمل على إخماد حرآة النواس لذلك سنقوم

. ثابتةاهتزازهبتغذيته بواسطة قوة مهتزة تجعل سعة :م القوى التاليةو يخضع النواس أثناء حرآته إلى عز-

LM : عزم قوة الثقل • ( P ) g ( m M ) sinθ2∆ = +

M ): االحتكاك(عزم القوة المخمدة • ( F ) - λ v L∆ =

0 :ريةقسعزم القوة ال • fM ( F ) M cosω t∆ 0 :حيث = fF F cosω t=

: وبتطبيق قانون نيوتن الثاني في حالة الحرآة الدورانية-

∆ i ∆ ∆ ∆i

LM ( F ) = J θ -g(m +M )sinθ - λ v L + M ( F ) = J θ2⇔∑

v: وحيث أن L θ= ، )صغيرة :rad (sinθ θ

2 : فإن LJ θ λ L θ g ( m M )θ M ( F )2∆ ∆+ + + =

) : وبالتالي ) ( )2 M Fλ L g Lθ 2 θ m M θ2 J J 2 J∆

∆ ∆ ∆

⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

) :بفرض )220

λ L g Lγ ، ω m M2 J J 2∆ ∆= = +

) :فإن )20

M ( F )θ 2 γ θ ω θ . . . 1J∆

∆+ + بطرف ثانII معادلة تفاضلية من الدرجة =

L0θ

O

M

m

259

:يعطى بالعبارة) 1(إن حل المعادلة

( ) ( ) ( ) ( )γ t0 0 fθ t A e sin ω t α θ sin ω t φ ... 2−= + + −

يؤول إلى الصفر بعد مدة من الزمن وعند ذلك يمكن تجاهله في الحل ) 2(إن الحد األول من الحل .ويسمى عادة الحل االنتقالي) 2() :إلى الشكل) 2(ؤول الحل ي ) ( )0 fθ t θ sin ω t φ . . . . (3)= −

. للقوة المطبقةfωفالنواس يرغم على االهتزاز بالنبض

): حيث )0 2 2 2 2 2f 0 f

M ( F ) / Jθ . . . 4(ω ω ) 4 γ ω

∆ ∆=− +

، ( )2 2f 0

0

ω ωtagφ ... 52 γ ω−

=

fω بل له سعة ثابتة ونبضاري للنواس المرآب ليس متخامدقساز التشير إلى أن االهتز) 3(إن المعادلة .مساوي لنبض القوة المطبقة، فالقوة المطبقة تقدم الطاقة الالزمة للمحافظة على االهتزازات

: الدراسة التحليلية-جـ)إن دراسة بيان الدالة )0 fθ f ω= من أجل

ـ قي اة ل ة معط ي λم ل ف ى الممث يعطي المنحنة عظمى من زاز نهاي الشكل الجانبي لسعة االهت

:حيث aω مساو fωأجل

2 20f a 0

f

dθ 0 ω ω ω 2 γdω = ⇒ = = −

λعدم التخامد، عندما ينننيالروهي الحالة الموافقة لحالة التجاوب أو زداد =0 فإن التجاوب ي

f: بروزا أي أن a 0 ω ω ω= ).تجاوب حاد (=

:رية الكهربائيةقس االهتزازات ال-2مولد قوة محرآة ري في دارة آهربائية عندما يوضع في دارة آهربائية قس اهتزازينتج : تعريف-أ

)آهربائية متناوبة ) 0 fu t U sinω t=

:آما هو موضح في الشكل وبتطبيق قانون أوم بين طرفي مولدC L 0 fR i V V U sinω t= + +

C :وبما أن LQ dQdiV ، V L ، iC dt dt= − = − =

0: فإن fd iQR i L U sinω tC dt= − − :وباشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة للزمن نجد +

2

0 f f2d i dQ d i1R L U ω cosω td t C dt d t

+ + =

fω

0θ

1ω 2ω 3ω 0ω

∆20 ∆

M ( F )ω J

1λ2λ

3λ

0λ

CL

R0 fU sinω t∼

260

: ومنه2

0 f f2d i di 1L R i U ω cosω td t Cd t

+ + :والتي يمكن آتابتها بالشكل =

2 0 ff2

U ωd i diR 1 i cosω tL dt L C Ldt+ + 2: ويوضع =

0R 1γ ، ω2 L LC= =

:نجد2 2

0 0 f f2 d i di2 γ ω i U ω' cosω t dtdt+ + ': حيث = f

fωω = L

هي من المرتبة الثانية بطرف ثانإن حل هذه المعادلة التفاضلية والتي

): هو ) ( )0 fi t I sin ω t φ= ): حيث − )00 2 2

f f

UI A( ω L 1 / ω C ) R

=− +

:وتكتب z يسمى ممانعة الدارة ونرمز له بالرمز0Iإن المقدار الذي يظهر في مقام العبارة

2 2f

f1z ( ω L ) Rω C= − +

fونسمي المقدار f1ω L ω C− السماحية Xز لها بالرمزم للدارة ونرXوتكتب :

( )ff1X ω L Ωω C= ) : وفي األخير نضع − )2 2z X R Ω= +

: بين التيار والقوة المحرآة الكهربائية المطبقة نحصل عليه آما يليφوفرق الصفحة

f

f

1ω L ω CXtagφ R R

−= =

: تكون الدارة سعوية إذا آان فعل الوشيعة أقل من فعل المكثفة أي- C L f

f1z z ω Lω C> ⇒ >

f)النبض الخاص ( 01ω ω

L C⇒ < φ: والذي من أجله سيكون = φ، ومنه>0 0− >

.وفي هذه الحالة يكون التيار متقدم على التوتر الذي يطبقه المولد الكهربائي : أيالوشيعةأقل من فعل المكثفة عل إذا آان فحثية تكون الدارة - L C f

f1z z L ω ω C> ⇒ >

2) النبض الخاص (f 0

1ω ωL C

⇒ < φ:والذي من أجله سيكون = φ، ومنه<0 0− <

.ولد الكهربائي على التوتر الذي يطبقه المأخروفي هذه الحالة يكون التيار مت :ن أي أنيإذا آان فعل الوشيعة والمكثفة متساوي) تجاوب (رنين تكون الدارة في حالة-

L C ff1z = z ω Lω C⇒ f) النبض الخاص (= 0

1ω ωLC

⇒ = والذي =

tag: من أجله سيكون φ 0 φ 0= ⇒ =

261

. التوتر الذي يطبقه المولد الكهربائيمع في الصفحةفي توافق وفي هذه الحالة يكون التيار

C حالة تجاوب L( Z = Z C الدارة سعوية ( L( Z > Z C الدارة حثية ( L( Z < Z )

:ليلية الدراسة التح-بلتيار مستمر إذا مر في ناقل أومي أحدث effI تسمى الشدة الفعالة للتيار المتناوب الجيبي الشدة -

0: خالل نفس المدة الزمنية، ظهور نفس الكمية من الطاقة الحراريةeff

II2

=

0 : المقدارeffU نسمي التوتر الفعال بين طرفي ناقل أومي- 0eff eff

R I UU R .I2 2

= = =

نتحصل على المنحنى fω بداللة RLC في دارة effI إذا رسمنا المنحنى الذي يمثل تغيرات-

.ما سبق بمنحنى الرنين أو التجاوبالممثل في الشكل الجانبي الذي نسميه آ : من البيان نالحظ أن-

( )eff eff f 0max1I I ω ωLC

= ⇒ = =

): وبالتالي ) effeff max

UI R=

في حالة التجاوب ينتج في الدارة توترات - عالية بين طرفي العناصر الكهربائية وأآبر من

، نسمي معامل جودة الدارة » في هذه الحالة يمكن للمكثفة أن تتلف « RLCالتوتر المطبق على الجملة

)النسبة )eff

eff

U CU

) :ونكتب Q في حالة التجاوب ونرمز له بالرمز )eff

eff

U CQ =

U

): حيث ) ( ) ( )eff C eff eff L eff eff effU C I , U L I , U R R I= = =Z Z )): الرنين(هذه الحالة وفي ) ( )eff effU RLC U R=

0 : إذن0

L ω1Q R C ω R= =

2: نسمي المقدار 1∆ω ω ω= 0ω: العصابة النافذة والتي تعطى بالعبارة− R∆ω Q L= =

0ωQ: وفي هذه الحالة يكون ∆ω=

RR

R

ZZZ0U

0I0I

0I 0U0U

cZcZ

cZ LZLZ

LZ

φ=0- φ>0- φ<0

fω

effI

1 R

2 R 3 R

R 0

0ω

fωfωfω

+++

262

مارينالت : األولتمرين ال .

Cمكثفة سعتها : يتكون ثنائي قطب من عنصرين مرآبين على التسلسل 5 µ F= ووشيعة ذاتيتها L ومقاومتها r. يبيا قيمته الفعالةنطبق بين طرفيه توترا جUوتواتره f. نعاين على شاشة و

)راسم االهتزاز المهبطي التوترين ) ( )Cu t u tفنحصل على الرسم التذبذبي التاليو ،:

effU عين آال من-1 fالة والقيمة الفعو( )effU C. 2: الحساسية األفقيةms/cm

Y2 :2v/cm: الحساسية الشاقولية . الفعالة لشدة التيارeffI القيمة استنتج

) طور 'φ عين -2 )u t ـ ) بالنسبة ل )Cu t Y1 :7v/cm

)طور φ استنتجو )u t ـ ) بالنسبة ل )i tالمار في الدارة .

. للوشيعةr قيمة ذاتية الوشيعة والمقاومة استنتج -3

:الحل XT: لدينا fحساب تواتر التيار المتناوب: أوال/ 1 S .X=

3:من الشكل sX cmS 2 .10 ، X 4 cm−= 3 :إذن = 3T 2 .10 4 8 .10 s− −= × =

3 :وبالتالي1 1f 125 HzT 8 .10 −

= = =

)حساب التوترين الفعالين : نياثا )eff effU C ، U . هو الذي يمثل التوتر بين طرفي المولد2Yالمنحنى ، effU التوتر الفعال بين طرفي المولد-

: لدينا2m 0 Y 2U U S . y= : حيث =

2V

Y 2cmS 2 ، y 1 cm= =

m: إذن 0U U 2 1 2 V= = × 0 : وبالتالي =eff

U 2U 1 ,4 V2 2

= = =

) التوتر الفعال بين طرفي المكثفة - )effU C : 1المنحنىYمكثفة بين طرفي ال الكهربائي يمثل التوتر.

): لدينا ) ( )1m 0 Y 1U C U C S . y= =

C( L ,r )

0 fU sinω t∼

1Y2Y

1cm1cm

2Y

1Y

263

: وبما أن1

VY 1cmS 7 ، y 2 cm= ): إذن = ) ( )m 0U C U C 7 . 2 14 V= = =

): التوتر الفعال يأخذ القيمةو ) ( )0eff

U C 14U C 10 V1 ,42= = =

):الفعالة(حساب شدة التيار المنتجة : ثالثا): بتطبيق قانون أوم بين طرفي المكثفة نجد )eff C effU C z . I=

C: وبما أن1z ωC=إذن :( ) ( ) ( )eff

eff eff effC

U C 2πCI U C .ω C U Cz T= = =

: تطبيق عددي6

eff 32 .3 ,14 .10 .5 .10I 0 ,039 A

8 .10

−

−= =

: حساب فرق الصفحة بين-2) بين التوتر الكهربائي 'φ: أوال )u t بين طرفي المولد ( )Cu tبين طرفي المكثفة .

)من التمثيل البياني نالحظ أن )u t متقدم في الطور عن ( )Cu t

'φ :فيكون ω . ∆t= حيث: T 4 cm ، ∆t 0 ,5 cm= 2 :إذن = π πφ' .∆t radT 4= =

)بين التوتر الكهربائي : اثاني )u t بين مربطي المولد والتيار الكهربائي ( )i t.

U: بأخذ التعبير التالي للتبسيطU CC U Uφ' φ φ φ= = −

U: نجد U iU i UC C

φ φ U= U: إذن + U ii U UC C

φ φ U= −

U : وبما أن iU UC C

π πφ rad ، U rad4 2= =

U: فإنi

π π πφ φ rad4 2 4= = − = −

: ومقاومتهاL قيمة ذاتية الوشيعة استنتاج -3 :rحساب مقاومة الوشيعة : أوال

0: من إنشاء فرينل يتضح أن0

r . Icosφ U= إذن : effeff

Ur cos φ I= ×

eff: تطبيق عددي effU =1,4 V ، I =0,039 A 1,4: و منهπr =cos × = 25,64 Ω4 0,039

2 : بما أن :حساب ذاتية الوشيعة: ثانيا 21z r (ω L )ωC= + −

2 :إذن 21ω L z rωC− = ± 2 :وبالتالي − 221 1L z rωω C

= ± −

eff :وحيث أن rads

eff

U 2 π1 ,4z 36 Ω ; ω 250 πI 0 ,039 T= = ≅ = =

- φz

cz

Lz

r

264

2:فإن 2 2 21 2 2 -6

1 1 1 1L z - r = + 36 -25,64 =0,352Hω 250 πω C 250 π . 5 .10= +

⎡ ⎤⎣ ⎦

2 22 2

1 1L = - z - r = 0,32 - 0,032 = 0,288 Hωω C

: الثانيتمرين ال .)نطبق بين مربطي ثنائي قطب )R ، L،C على التسلسل، توترا ذا قيمة فعالة ثابتة U ،

. قابل للضبطωونبض

C : أوجد العالقة-1 2 2 2 2 2UU

R C ω ( LC ω 1 )=

+ −

0ω: قيمة النبض عند الرنين بالنسبة لشدة التيار نضع 0ω نسمي -2 λ ω=

2 علما أن λ وRو C و0ω بداللةCUعبر عن 0LC ω 1=

00 القيمة ω عندما يأخذ النبض -3 ,8 ω يكون التوتر CUمساويا للتوتر U

.ة في هذه الحالC وL بداللة Rأعط عبارة المقاومة

:الحل U بما أن ممانعة الدارة الكلية تأخذ الشكل -1 z I=

2: باعتبارو 21z R ( ω L )ωC= + −

C : و بين طرفي المكثفة هالتوتر الفعالوبما أن IU ωC= فإن :CI U .ωC=

CU: وبالتالي z . I z . U . ωC= =

C: ومنه 2 2 2 2 22 2

U UU1 R ω C ( LC ω 1 )ω C R (ω L - )ωC

= =+ −+

: λ وR وC و0ωبداللة ) المنتج (CU التعبير عن -2

2: بأخذ0 0

1ω ، ω λ ωLC= =

C :نجد 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20

U UUR ω C ( LC ω 1 ) R C λ ω ( λ 1 )

= =+ − + −

C: ومنه2 2 2 2

0

UU1λ R C ω ( λ )λ

=+ −

265

0ω عندما C وL بداللة Rعبارة المقاومة -3 0 ,8 ω=

: عندما يكون0

ωλ 0 ,8ω= = ،CU U= ،20LC ω 1=

): فإن )22 2 20

1λ R C ω λ 1λ+ − 2: ومنه = 2 2 20 2

1 1R C ω ( λ ) 1,36λλ= − − =

2: وبالتالي2 2

0

1 LR 1 ,36 . 1 ,36 . CC ω= LR: وفي األخير = 1 ,36 C=

: الثالث تمرين ال . .r ومقاومتها Lنعتبر وشيعة ذاتيتها

U عندما نطبق بين طرفيها، توترا مستمرا-1 12 V=1 يمر فيها تيار شدتهI 2 ,4 A= ،f طرفيها، توترا متناوبا جيبيا، ترددهوعندما نطبق بين 500 Hz= وشدته الفعالة

U 12 v=2 تيار شدته الفعالة ها، يمر فيI 0 ,3 A= . عينLو r. السابقة مكثفة سعتها قابلة للتغيير ونطبق بين ثنائي القطب نربط على التسلسل مع الوشيعة -2

( )R ، L،Cالمحصل توترا جيبيا، تردده f 500 Hz= وقيمته الفعالة U 12 v=.

3Iتيار شدته الفعالة لسعة المكثفة يمر في الدارة 1C بالنسبة ألي قيمة -أ 2 ,4 A=.

) نضع -ب ) mi t I sinω t= بق بين مربطي المكثفة بـط ونرمز إلى التوتر الم:

( ) ( )C 1 m 1u t U sin ω t φ= : وإلى التوتر بين مربطي الوشيعة بـ+

( ) ( )L 2 m 2u t U sin ω t φ= +.

2 أحسب - 1φ φ1علما أن سعة المكثفة هي وC.

:الحل

1: حسب قانون أوم : حساب مقاومة الوشيعة: أوال-112V r . I r 5 Ω2 ,4= ⇒ = =

:نأخذ المقاومة الظاهرية للوشيعة العبارة التالية :ذاتية الوشيعة: ثانيا2 2 2Uz r L ωI= = 2: وبالتالي + 2U1L ( ) rω I= −

2 : تطبيق عددي 21 12L ( ) 5 0 ,013 H1000 π 0 ,3= − =

3I: التي من أجلها1C حساب سعة المكثفة -أ) 2 2 ,4 A=

2 :بما أن 2U 1z r ( L ω )I ωC= = + 2: ومنه− 2U1Lω ( ) rωC I− = ± −

266

: وبالتالي2 21C

Uω ( ( ) r L ω )I

=± − +

6:تطبيق عددي1

2 21C 7 ,8 . 10 F

121000 π ( ( ) 5 40 ,82 )2 ,4

−= =± − +

1C: أي أن سعة المكثفة 7 ,8 µ F= 2 حساب -ب 1φ φ1 بأخذ سعة المكثفة وC :

): نعلم أن • )2 Ldiu t v r i L dt= = ) : وبما أن + ) mi t I sinω t=

): إذن )2 L m mu t v r . I sinω t L ω I cosω t= = +

): ومنه ) ( )2 m mπu t r I sinω t L ω I sin ω t 2= + +

2 :وحسب إنشاء فرينل سيكون 2 22m mU I r L ω= +

12 2

L ω L ωtag φ φ tag ( )r r−= ⇒ =

) : من جهة ثانية• ) ( )1 C

Q tu t u C= =

) : وحيث أن ) ( ) ( )m m1

I I πu t . i t dt sin ω tC C ω 2= = −∫

:إذن يتضح بعملية المطابقة أو النظر إلى الشكل مالحظة أن

( ) ( ) m1 1m 1

I πu t U sin ω t φ sin( ω t )C ω 2= + = −

m: أي1m

IU C ω= 1πφ rad2= −

: الرابعتمرين ال .) نعتبر جزءا -1 )A من دارة آهربائية مكونة من ناقل أومي مقاومته R 10 Ω= ووشيعة

)نطبق بين طرفي الجزء . ومقاومتها الداخلية مهملةLذاتيتها )A توترا جيبيا ( )u t قيمته

fوتواتره Uالفعالة 50 Hz= 1، فنالحظ أن التيار المار له شدة فعالةI وأن القيمة

)المطلقة لطور )u t بالنسبة لشدة التيار ( )i t1: هيπφ rad3=

mLωI

mrImI

2φ

2 mU

mICω

mI

1 mU

267

1: بين أن-أUI 2 R= أحسب ذاتية الوشيعة -ب L.

)نعتبر اآلن جزءا -2 )Bسل مع مكثفة من دارة يتكون من نفس الناقل األومي موصول على التسل) نفس التوترهنطبق بين طرفي .Cسعتها )u t فنالحظ أن القيمة الفعالة لشدة التيار المار في الدارة ،

) وأن القيمة المطلقة لطور2Iهي )u tبالنسبة لشدة التيار ( )i t2: هيπφ rad3=.

2: أثبت أن-أUI 2 R=. أحسب السعة -ب C.

:الحل

1: إثبات أن) أ-1UI 2 R=.

حسب تمثيل فرينل للتوترات

1: فإن1

R Icosφ U= 1: إذن 1UI cosφ . R=

1: وبما أن1cosφ 1: فإن =2

UI 2 R=

:حساب ذاتية الوشيعة) ب

1: 1-من الشكل ωLtagφ R= 1 :إذن

RL . tag φω=

210 :تطبيق عددي πL tag 5 ,5 .10 H100 π 3−= =

2 : ت أناثبإ) أ-2UI 2 R=.

:حسب تمثيل فرينل للتوترات

2: فإن2

R Icosφ U= 2: إذن 2UI cosφ . R=

2: وبما أن1cosφ 2: فإن =2

UI 2 R=

:حساب سعة المكثفة) ب

2: 2-من الشكل 1tagφ RωC= إذن :

2

1CRωtag φ

=

rad: تطبيق عدديsR 10Ω , ω 100 π= =

1C 184 µFπ10 .100 π .tag 3= ≅

R L

1IU

1RI

1L ωIU

1φ

ω+

2RI

2ICωU

2φ

ω +

268

: الخامستمرين ال . :على التسلسل على العناصر التاليةمربوطة تشتمل دارة آهربائية

1R ناقل أومي مقاومته - 48 Ω=. L وشيعة ذاتيتها - 40 mH= ومقاومتها r 8 Ω=. Cعتها مكثفة س- 12 ,3 µF=. - 2 أمبيرمتر مقاومتهR 4 Ω=.

: الدارة بتوتر متناوب جيبييغذي تواتر منخفض الذي وذ مولد -( )u t 20 2 sin 200π t=

)أوجد عبارة الشدة اللحظية -1 )i t؟ للتيار المار في الدارة

C أحسب التوترين الفعالين -2 LU Uبين مربطي آل من الوشيعة والمكثفةو .

؟ آيف تتغير الشدة الفعالة للتيار-أ : نغير في ذاتية الوشيعة-3 ؟ ما هي قيمتها العظمى- ب

:الحل )شدة اللحظية عبارة ال-1 )i tللتيار المار في الدارة .

): إذا تم التعبير عن شدة التيار بالشكل ) ( )mi t I sin ωt φ= −

: فإن( )

mm

2 21 2

UI1R R r ( Lω )ωC

=+ + + −

3- : حيث أنLz = Lω =40 .10 ×200 π = 25,12Ω

C 61 1z 129 ,5 ΩωC 12 ,3 .10 200 π−

= = =×

eq 1 2R R R r 48 4 8 60 Ω= + + = + + =

m: إذن 2 2

20 2I 0 ,43 A60 ( 25 ,12 129 ,5 )

= =+ −

1: من جهة ثانية LωωC : لذلك سيكون.)الدارة سعوية (<1 2

Lω (1 / ωC )tag φ R R r−

=+ +

- = = 25,12tagφ + 129,5-: ومنه ): إذن 1,7460 )-1 o πφ = tag -1,74 -60 = - rad3=

): ومنه ) ( ) ( )πi t 0 ,43 sin 200 π t A3= +

. حساب التوتر الفعال المنتج بين طرفي آل من الوشيعة والمكثفة-2 :التوتر المنتج بين طرفي الوشيعة: أوال

L:نعلم أن LU Lω .I z .I= mII: حيث =2

m: أي أن =L

IU Lω .2

=

269

L :تطبيق عددي0 ,43U 25 ,12 . 7 ,64 v

2= =

:التوتر المنتج بين طرفي المكثفة: ثانيا

C:نعلم أن C1U .I z .ICω= m: أي أن =

CI 0,431U . 129,5 . 39 ,38 vCω 2 2

= = =

. عندما نغير في ذاتية الوشيعة-3 : ويكونI تتأثر شدة التيار المنتجة-أ

( )( )2 2

1 2

U Ui L z 1R R r ( Lω )ωC

= =+ + + −

): وتأخذ شدة عظمى من أجل-ب )di L0dL =

( )2

2 2 31 2

1Uω(Lω )di L ωCdL 1((R R r ) (Lω ) )ωC

−=

+ + + −

) :وبالتالي )0 2

di L 10 LdL ω C= ⇒ =

: وشدة التيار المنتج العظمى هي) مقرا لظاهرة الرنين(وتكون الدارة في حالة تجاوب

( )max 01 2

20 2UI L L 0 ,47 AR R r 60= = = =+ +

: السادستمرين ال . :يتكون ثنائي قطب من عنصرين مرآبين على التسلسل

3R: ناقل أومي مقاومته- 10 Ω= -مكثفة سعتها غير معروفة . fنغذي ثنائي القطب بتوتر جيبي تواتره 50 Hz= وقيمته الفعالة U 60v= يشير ،

CU: متر مرآب على التوازي مع المكثفة إلى التوتر-فولط 37 ,4v=. . أحسب الشدة الفعالة للتيار الكهربائي-1 . للمكثفةC السعة استنتج -2

CU عبر عن النسبة -3Uبداللة :Rو Cو f.

:الحل للتيار الكهربائي) الفعالة( حساب الشدة المنتجة -1

2 نعلم أن 2C RU U U= ).حسب إنشاء فرينل (+

L

i(L)

maxI

0L

270

RU: حيث R I= 2: إذن 2R CU U U= −

2: ومنه 2R CU R I U U= = −

: إذن2 2 2 2

CR U -U 60 -37,4UI = = = = 0,047 AR R 1000

: حساب سعة المكثفة-2C: نعلم أن CU z .I= وبما أن :C

1z ωC= إذن :C CIU z .I ωC= =

:ومنهC

0 ,047IC 4 µ FωU 100 π . 37 ,4= = =

CU التعبير عن النسبة -3Uبداللة :Rو Cو f.

C: من إنشاء فرينل يتضح أن2 2 2 2 2 2

U 1 / ωC 1U ( 1 / ω C ) R ω C R 1

= =+ +

ω: وبما أن 2 π f= فإن :C2 2 2 2

U 1U 4 π f C R 1

=+

CUQ: مل جودة الدارة حيثاإن المقدار الذي تم تحديده يعبر عن مع U=

:أي أن2 2 2 2

1Q4 π R C f 1

=+

: السابعتمرين ال .Bبين النقطتين Aنرآب على التسلسل وشيعة ذاتيتها و L 1 H= ،ومقاومتها مهملة

B نطبق بين النقطتين. قابلة للضبطC ومكثفة سعتها Rوناقل أومي مقاومته Aتوترا و

): جيبيا ) mπu t U sin( 2 π f t )6= + .

.أآتب المعادلة التفاضلية للدارة) أ-1 f وC وL وR وmUأوجد بداللة ) ب

بين mCU للتيار الكهربائي، وآذلك عبارة التوتر األعظمي mIعبارة الشدة العظمى

.مربطي المكثفة) بواسطة راسم االهتزاز المهبطي نعاين -2 ) ( )Cu t u t1 بالنسبة لقيمة وC فنحصل على

ms: الحساسية األفقية • ).1(الشكل cm2

V) 1(المدخل : الحساسية الشاقولية •cm5 ، 2( المدخل (V

cm20

RU

CUUφ

ω +

0

RL

2Y

C

1Y

A D P B

271

) حدد المنحنى الذي يمثل -أ )Cu t.

)حدد طور التوتر -ب )Cu t بالنسبة للتوتر ( )u t

).غير محدد على محور الزمنمبدأ األزمنة () أآتب المعادلة الجبرية -جـ )Cu t بداللة الزمن t.

للمعادلة التفاضلية السابقة تمثيل فرينلعطأ –د 1: قيم المقادير التالية استنتجو mC ; R ; I

من القيمة انطالقا للمكثفة C نغير قيمة السعة -3

1C 2(، فنحصل على الشكل.(

.قر لظاهرة التجاوب بين أن الدارة هي م-أـ C آيف نغير قيمة-ب 1C بالنسبة ل ).زيادة أو نقصان( أحسب القدرة الكهربائية المستهلكة -جـ

.من طرف الدارة

:الحل

المعادلة التفاضلية للدارة) أ-1) : لدينا ).قانون أوم(حسب قانون التوترات ) ( ) ( ) ( )R L CU t U t U t U t= + +

): إذن ) ( ) d i 1U t R i t L i dtdt C= + + ∫

: بين طرفي المكثفةmCU وآذلكmIعبارة شدة التيار العظمى) ب

m:حسب قانون أوم mU z I= 2 :حيث 21z R ( Lω )ωC= + −

m :وبالتاليm

2 2

UI1R ( 2 π L f )2 πC f

=+ −

C :من جهة ثانية mC C m1 1z ، U z IωC 2 π f C= = =

m :إذنmC

2 2

UU12 πC f R ( 2 π L f )2 π f C

=+ −

m :ومنهmC 2 2 2 2 2 2 2 2

UU4 π C R f ( 4 π C f L 1 )

=+ −

)تحديد المنحنى الذي يمثل ) أ-2 )Cu t

272

mC :لدينا) أ -1 (اإلجابةحسب 2 2 2 2 2 2 2 2m

U 1U 4 π C R f ( 4 π C f L 1 )

=+ −

2: نالحظ أن 2 2 2 2 2 24 π C R f ( 4 π C f 1) 1+ − >

mC: أي أن

m

U 1U mC: وبالتالي > mU U<

)أي أن المنحنى الذي له قيمة عظمى للتوتر الكهربائي هو الذي يمثل )u t والصغرى هو ( )Cu t.

)حساب طور الصفحة الموجود بين ) ب )Cu t و ( )u t

)أن ) 1 -الشكل(يالحظ من التمثيل البياني )u t متقدمة عن ( )Cu t

U: إذنU CC U Uφ φ φ ω∆t= − t∆ : 1 -من الشكل = 3 ,3cm ، T 10 cm= =

U: إذنUC

2 π 2 πφ .∆t 3 ,3T 10= = ×

U: ومنهUC

radsφ 0 ,66 π=أي أن :UC

Uφ 0 ,66 π rad= −

ـ ) الجبرية( آتابة المعادلة الزمنية -جـ )بداللة الزمن ل )Cu t

): عندما نأخذ• ) ( )CC mC Uu t U sin 2 π f t φ= +

U: نجد من خالل معطيات التمرين أن•i

πφ rad6=

U :إذن U iC C UU iφ φ φ= U :ومنه + U iC C Ui U

φ φ φ= −

UC :وبالتاليi

π πφ = - 0,66 π - (- ) - 0,49 π= - rad6 2=

mC : هيmCU وتكون القيمة العظمى • YU S y= × y: حسب الشكل 2 cm= والحساسية الشاقولية V

cm20

mCU: أي أن 20 2 40 v= × 1f: آما أن تواتر التيار = 50 HzT= =

): إذن )Cπu t 40 sin( 100 π t )2= −

1cm: نختار السلم :نلإنشاء فري -د 10v→

U: حسب الشكلi mC m

πφ ، U 40 v ، U 15 v6= = = 1: حساب المقادير• mC ، R ، I

سلم الرسم باستعمالو) إنشاء فرينل(من الشكل :mIحساب : أوالmL: لدينا mCU' U U= mL :ومنه − mC mU U' U Lω I= + =

m: إذن46 ,5I 0 ,15 A100 π= =

273

mRUآما يمكن استنتاج من الرسم مباشرة :Rحساب : ثانيا 14 ,8 v=

R :mRومنه يمكن حساب

m

UR I= أي أن :mR

m

UR 100 ΩI= =

C: بما أن :1Cحساب المكثفة : ثالثا mC C m1

1z ، U IC ω= = Z

1C: ومنه 12 µF=

:إظهار أن الدارة مقر لظاهرة الرنين) أ-3)ر بين أن فرق الطو2 -يالحظ من خالل الشكل )u t و ( )Cu tهو :

UUC

2 π πφ .∆tT 2= U: ولدينا آذلك = U iU i UC C

φ φ φ= +

U : أي أن U ii U UC C

π πφ φ φ 02 2= − = − .أي أن هناك ظاهرة الرنين =

ـ Cطريقة تغيير ) ب :1C بالنسبة ل

2 :عند الرنين 22

1 1Lω CC ω Lω= ⇒ =

2C :أي أن 10 µ F= 1 :وبالتالي 2C C>

:المستهلكة في الدارة) القدرة( الطاقة -جـcosφ :في حالة التجاوب 1 ، P U .I= U :أي أن = R .I=

U :وبالتالي 15I 0,015 AR 1000= = P :إذن = 0 ,015 15 0, 225 J= × =

: الثامنتمرين ال . C لوشيعة والسعة L والذاتية rفي حصة لألعمال التطبيقية، وبغرض إيجاد المقاومة

)لمكثفة، شكل األستاذ مجموعتين من التالميذ ) ( )B Aو.

) أعطيت المجموعة -1 )Aاألجهزة التالية :

.L وذاتيتها r وشيعة مقاومتها -effUبين طرفيه ) الفعال( متغير والتوتر المنتج f لتيار جيبي متناوب تواترها مولد- 5 v=.

.، قاطعة، أسالك توصيلرأمبير مت -2آلفت هذه المجموعة بدراسة تغيرات

Lz بداللة 2f) .Lzعلىواحصلت، ف) ممانعة الوشيعة

.1 - البيان المبين في الشكل) أعطيت المجموعة -2 )Bاألجهزة التالية :

Lها وذاتيتr وشيعة مقاومتها - 0 ,5 H=. .C مكثفة سعتها -

2 -2f (s )

2 2Lz (Ω )

-220 s

2200Ω

274

effUبين طرفيه ) الفعال( متغير والتوتر المنتج fلتيار جيبي متناوب تواترهل ا مولد- 5v=.

.متر، قاطعة، أسالك توصيل-، فولطرأمبير ومت - f بداللة التواترeffI الشدة المنتجة للتيار المار بالدارة هذه المجموعة بدراسة تغيراتآلفت

.2 - على البيان المبين في الشكلوافتحصل . أرسم مخططا للدارة الكهربائية التي حققتها هذه المجموعة-أ .ها هذه المجموعة ؟هي الظاهرة التي حققت ما-ب . المستعمل لتحقيق هذه الظاهرة0fاستنتج من البيان التواتر -جـ .C وسعة المكثفةrأحسب قيمة آل من مقاومة الوشيعة -د

:الحل : L وذاتيتها r حساب مقاومة الوشيعة -1• ): إن البيان عبارة عن مستقيم ال يمر من المبدأ معادلته من الشكل )y ax b ... 1= +

:يلي وإن الدراسة النظرية لهذه الدارة تؤدي إلى ما• 2: المقاومة الظاهرية 2 2 2z r L ω= ω: ثحي + 2π f=

): إذن )2 2 2 2 2z = 4π L f + r . . . 2

• 2: بالمقارنة يتضح أن 2y = z , x =f وفيهما يكون:

): معامل توجيه المستقيم- )2 2a 4π L ... 3=

): تقاطع المستقيم مع محور الترتيب عند- )2f 0 , b r ... 4= = • : يلي من خالل هذه المقارنة يمكن إيجاد ما 2): 4(من العالقة : مقاومة الوشيعة- 1b r 200 1002= = × Ωr = 100 = 10: إذن =

)): 3(من العالقة : ذاتية الوشيعة- )2L2 22

∆ 4 0 ,5 2004π L a 103,5 20∆f

− ×= = = =

×Z

2: إذن10L 0 ,5 H

4π= =

):3المجموعة (رسم مخطط الدارة ) أ-2

الظاهرة الفيزيائية التي حققتها هذه المجموعة هي ظاهرة التجاوب وهذا واضح من خالل ) ب ).الفعالة(المنحنى الذي يشبه الناقوس والذي يسمى منحنى تجاوب الشدة المنتجة

: المستعمل لتحقيق هذه الظاهرة0f استنتاج) جـ

C L, rC L r

≈ ≈

f(Hz)

effI (mA)

200Hz

100mA

275

0f: من البيان 2,5 200 500 Hz= × وهي القيمة التي من أجلها تكون شدة التيار =

.الفعالة عظمى مما يعني الحصول على ظاهرة التجاوب الكهربائي :ة المكثفة وسعrحساب مقاومة الوشيعة ) د

:rحساب مقاومة الوشيعة : أوال

2: نعلم أن 21z r ( Lω )ωC= + )المقاومة الظاهرية للدارة (−

0: وعند التجاوب 0 00

1ω 2 π f , Lω ω C= z = r: إذن =

: وحيث أن( )eff max

Uz rI

= : إذن =( ) 3

eff max

U 5r 10ΩI 5 .100 .10−

= = =

0 بما أن :حساب سعة المكثفة: ثانيا0

1Lω ω C=) فإن ).حالة التجاوب:

2 2 20 0

1 1CLω 4π .L f

= 7 :وبالتالي =2 2

1C 2 .10 F µ4π 0,5 500

−= =× ×

= 0,2 F

: التاسعتمرين ال .

بداللة الزمن آما i تيارا آهربائيا تتغير شدته ) و مقاومتها مهملة Lذاتيتها ( نمرر في وشيعة0 في المجال U، فيظهر بين مربطيها توترا1 يبين الشكل ، 2 ,5 ms⎡ ⎤⎣ ⎦.

.ة التي تحدث في الوشيعة الظاهراسم أعط -أ0 في المجال U علل ظهور التوتر- ، 2 ,5 ms⎡ ⎤⎣ ⎦

2وعدم ظهوره في المجال ,5 ms ، 5 ms⎡ ⎤⎣ ⎦.

علما أن التوتر بين مربطي الوشيعة في المجال ) جـ0 ، 2 ,5 ms⎡ ⎤⎣ U هو ⎦ 1 ,25 mV= تحقق أن ،

L: قيمة ذاتية الوشيعة هي 0 ,39 H=.

نرآب على التسلسل مع الوشيعة السابقة مكثفة -2R وناقال أوميا مقاومته Cسعتها 100Ω=ونطبق بين مربطي ثنائي القطب ،RLC

)المحصل عليه توترا متناوبا جيبيا ) ( )effu t U 2 sin 2π f t φ= ، توتره المنتج +

قابل للضبط، فيمر في الدارة تيار آهربائي شدته اللحظية fثابت وتواتره ) الفعال(( ) ( )effi t I 2 sin 2π f t=.

) مهبطي التوتر اهتزازنعاين بواسطة راسم )u tبين طرفي ثنائي القطب RLC في المدخل

1Yوالتوتر ( )Ru t 2 بين مربطي الناقل األومي في المدخلY فنحصل على المنحنى الممثل

(m s)t52,50

0,8

0,4

(mA)i

276

.2 -في الشكللية بالنسبة للمدخلين الحساسية الشاقو•

2 و 1Y Y :Vdiv2.

ms: الحساسية األفقية•div1.

: المنحنى حددباستعمال -أ) للتوتر φ والطور f التواتر-01 )u t بالنسبة

)لشدة التيار )i t. ) للتوتر mu التوترين األعظميين -02 )u t

mو Ruللتوتر ( )Ru t استنتج قيمة الممانعة ،zللدارة .

. للمكثفةC أوجد قيمة السعة-ب)، فيصبح المنحنيان الموافقان للتوتر0f القيمةىنضبط التواتر عل -جـ )u tوالتوتر ( )Ru tمنطبقين . و بداللة Qأوجد عبارة معامل الجودة) 01 L .Q أحسب قيمة RC وبين مربطي ثنائي القطب المكون من الوشيعة ) الفعال(أوجد معلال جوابك قيمة التوتر المنتج ) 02

.والمكثفة

:الحل .يض الذاتيظاهرة التحر: الظاهرة التي تحدث في الوشيعة هي) أ-10يظهر في الوشيعة إذا تغيرت شدة التيار في المجال ) ب ، 2 ,5 ms⎡ ⎤⎣ قوة محرآة آهربائية ⎦

والتي تعطى ) تعاآس بأفعالها السبب الذي أدى إلى حدوثها(لينز قانون حسب ) ذاتية(تحريضية

) :بالعبارة ) ( )∆iu t e L , i i t∆t= = =

. ويزول هذا الفعل بمجرد ثبوت شدة التيار الكهربائي المار في الوشيعة): أي ):2 ,5 ms ، 5 ms i i t Const ∆i 0= = ⇒ =⎡ ⎤⎣ ): ومنه ⎦ )u t e 0= =

): بما أن .حساب ذاتية الوشيعة) جـ ) ∆iu t e L 1,25V∆t= = =

eL: فإن | ∆i / ∆t t∆: ومنه =| 0 ,25L e 1 ,25 0 ,39 H∆i 0 ,8= × = × =

) وفرق الصفحة بين fحساب التواتر) 01 -) أ-2 ) ( u و( ti t:

3: من البيان :fحساب التواتر: أوال1 1f 167 HzT 6 .10−

= = =

uحساب : ثانياi

φ: من البيان :φ ω .∆t 2π f .∆t= =

3: إذن πφ 2π .167 1.10 rad3−= × =

u(t )

Ru (t)

277

ـ muتحديد التوتر) 02 ) األعظمي ل )u t و m Ru ـ ) ل )Ru t:

mu: من البيان يتضح أن 4 2 8V= × m و = Ru 2 2 4V= × =

m: بما أن• :z ممانعة الدارة استنتاج R

m

uR z I= =R

m: فإن Rm

u 4I 0 ,04 AR 100= = m: وبالتالي فإن = R

m

uz I=(دارة (ال

m: ومنه

m

u 8z 200ΩI 0,04= = =

2: نعلم أن : حساب سعة المكثفة-ب 21z R Lω )ωC= + − (

2: إذن 21Lω z RωC− = ± 2: وبالتالي − 21 Lω z RωC = ± −

1: ومنه 409 173 ,2ωC = ±

:الحالة األولى1

1 409 173 ,2 582, 2ΩωC = + للمكثفة تجعل 1Cإن القيمة =

)التواتر ( يظهر أن الدارة حثية 3 -الدارة سعوية لكن بيان الشكل )u t متقدم على ( )i t.(

:الحالة الثانية2

1 409 173 ,2 235 ,8ΩωC = − =

: الحظ أن2

1 LωωC :حيث ).الدارة حثية (>2

1Lω 409 Ω , 235 ,8ΩωC= =

2: إذن1C C 4 µ F2π .167 .235 ,8= = =

و للدارة بداللة Qعبارة معامل الجودة) 01 -جـ L :RC و

mC) في حالة التجاوب( : بالعالقةRLCيعطى معامل جودة الدارة

m

uQ u=

m: وبما أن C m m m0

1u . I ، u R .Iω C= =

mC: إذن

m 0

u 1 1 LQ u Rω C R C= = 0: حيث =1ωLC

=

6: تطبيق عددي0 ,391Q . 3 ,12100 4 .10−

= =

:لتوتر المنتج بين طرفي ثنائي القطب المكون من الوشيعة والمكثفة بصفة عامةإيجاد قيمة ا) 02

278

L C L C1z = Lω- = z -zωC وبما أن الدارة في حالة تجاوب أي أن فعل الوشيعة

L : يكافئ فعل المكثفة C L Cz z z 0= ⇒ =

): إذن )eff L C mU LC z I= ): ومنه × )effU LC 0=

: العاشرتمرين ال .

C تشمل دارة آهربائية على مكثفة سعتها -1 10 µ F= حمل شحنة آهربائية ت 4

0Q 1,2 .10 C−=اومتها مهملة ومعامل تحريضهاوشيعة مق وLقابل للضبط .

للوشيعة عند قيمة معينة وفي لحظة نأخذها مبدأ لألزمنة نغلق Lنضبط معامل التحريض* 0f تواترهLCالدارة الكهربائية فنحصل على متذبذب 50 Hz=.

) أوجد المعادلة التفاضلية التي تحققها شحنة المكثفة -أ )Q t

2π: ، نأخذL قيمةواستنتج 10=. ) عبارة الشحنةt أوجد بداللة الزمن-ب )Q t.

Rصل على التسلسل المكثفة والوشيعة السابقتين مع ناقل أومي و ن-2 60Ω=نطبق بين ، و

): المحصل توترا جيبياRLCطرفي ثنائي القطب ) ( )u t U . 2 sin ωt φ= +

fتواتره 50 Hz= الفعالة( وشدته المنتجة(U ثابتة فيمر في الدارة تيار آهربائي شدته

)اللحظية )i t I 2 sinω t=

للتيار الكهربائي تأخذ قيمة I، فنالحظ أن الشدة الفعالة L نغير تدريجيا في ذاتية الوشيعة -أ .0L قيمة استنتج، ما الظاهرة التي تحدث في هذه الحالة ؟ 0L بالنسبة لقيمة 0Iعظمى

:، بين أن ممانعة الدارة تكتب على الشكل التاليL عندما تأخذ ذاتية الوشيعة قيمة معينة-ب

( )22 20z R L L ω= + −

1: بحيث2L أو القيمة 1L القيمةL عندما تأخذ ذاتية الوشيعة-جـ 0 2L L L< يمر في >

0IIلة الدارة تيار آهربائي له نفس الشدة الفعا2

=

2أوجد عبارة آل من 1L و0 بداللة L و R .Lω و

) أوجد بداللة الزمن عبارة التوتر-1 )u t1 في الحالة التي يأخذ فيها معامل التحريض القيمةL

0I :علما أن 0, 2 A=.

CL

279

:الحل C : آتابة المعادلة التفاضلية التي تحققها شحنة المكثفة) أ-1 LV V=) حسب قانون التوترات(

Q: فإن diLC dt= : وبما أن −2

2d Q dQdi ، idt dtdt

= =

: إذن2

2Q d QLC dt

= ) :ومنه − )2

2d Q 1 Q 0 ... 1L Cdt

+ =

: بدون طرف ثان حلها من الشكل) متجانسة(هي معادلة تفاضلية من المرتبة الثانية ) 1(المعادلة

( ) ( )0 0Q t Q sin ω t φ= 0: حيث +1ωLC

=

0: وجدنا أن : إستنتاج ذاتية الوشيعة• 01ω 2 π fLC

= =

2: إذن 2 2 2 60

1 1L 1 H4 π f C 4π .50 .1010−

= = =

)عبارة ) ب )Q t بداللة الزمن t: من الشكل ) 1(وجدنا أن حل المعادلة التفاضلية

( ) ( )0 0Q t Q sin ω t φ= 4: حيث + rad0 0 sQ 1,2 .10 C ، ω 100 π−= =

): االبتدائيةومن الشروط ) 0t 0 ، Q 0 Q 0= = >

0: فإن 0Q sinφ Q sinφ 1= ⇒ πφ: إذن = rad2=

): وبالتالي ) ( ) ( )4 πQ t 1, 2 .10 sin 100π t C2−= +

الحادثة في هذه الدارة هي ظاهرة التجاوب والتي ال تحدث إال إذا أخذت شدة التيار الظاهرة ) أ-2 .أآبر قيمة لها) الفعالة(المنتج

0L حساب ذاتية الوشيعة • L=0لدينا عند التجاوب : في هذه الحالة1L ω C ω=

0: إذن 21L L

C ω= : تطبيق عددي =

( )0 261L 1 H

10 .10 100π−= =

×

): إثبات أن) ب )22 20z R L L ω= + −

2: بصفة عامة العبارةRLCتأخذ ممانعة دارة 21z R ( Lω )Cω= + −

2: إذن 2 2 2z R ( L ( 1 / C ω )) ω= + −

0 :وبما أن 21L

Cω): فإن = )22 2

0z = R + L - L ω

2إيجاد عبارة ) جـ 1L ، L و0 بداللة R ، Lω.

280

0II تكون شدة التيار المنتجة 2L أو 1L القيمة Lعندما نأخذ ذاتية الوشيعة 2

إذن =

Uz: ستكون مقاومة الدارة الظاهرية ، U ConstI= 0U: وبما أن ، = R I=

0z: إذن . I R I= 2: وحيث أن 2 2 0I1z R ( Lω ) ، IωC 2= + − =

2 :إذن 2 21z R 2 R ( Lω ) 2 RωC= ⇒ + − =

1Lω: ومنه RωC− = 2 :وبالتالي ±1 RL ωω C

= ±

0: وبما أن 21L

ω C1: سيكون = 0 2 0

R RL L ، L Lω ω= − = 1: حيث + 2L L<

) عبارة -د )u t 1 بداللة الزمن من أجلL L= : لدينا :( ) ( )u t U 2 sin ωt φ= +

rad: حيث0 sU R I 60 .0 ,2 12V ، ω 2 π f 100 π= = = = =

1L: وبما أن ω ( 1 / ωC )tagφ R−

: فإن =1 2

1( L )ωCωtagφ 1R

−= = −

πφ: إذن rad4= ) :وفي األخير − ) ( ) ( )πu t 12 2 sin 100π t V4= −

: الحادي عشرتمرين ال . :تتكون الدارة الكهربائية من

.R موصل أومي مقاومته - 5C مكثفة سعتها - 10 F−=. . قابل للتغييرL ومعامل تحريضها r وشيعة مقاومتها -

يزود الدارة بتوتر متناوب جيبي Gمولد ( ) ( )mu t U sin ωt φ= +.

)ظية يمر في الدارة تيار آهربائي متناوب شدته اللح )i t.

) طور ABφ و ممانعة ثنائي القطب z لتكن -1 )u t ـ ) بالنسبة ل )i t.

φ عبارة آل من أعط * zبداللة و r ، R ، L ، C ، ω.

االهتزاز لمعامل التحريض للوشيعة، نشاهد على شاشة راسم 0L بالنسبة لقيمة معينة -2

:المهبطي الشكل التالي ؟ ما الظاهرة التي يبرزها هذا الشكل-أ

R

u

2Y

C

1Y

A

≈D

B

L ,r

Ru

281

) حدد المنحنى الذي يمثل -ب )Ru t.

) للتوتر Tدور عين قيمة ال-جـ )u t .

متر التوتر بين مربطي - نقيس بواسطة فولط -3 .45Vالمكثفة فيشير هذا الجهاز إلى القيمة

المقاومة استنتج ثم 0I أوجد شدة التيار الفعالة -أ

R للناقل األومي R. .r، ما قيمة المقاومة AB لثنائي القطب0z عين قيمة الممانعة -ب

.يعة لذاتية الوش0L أوجد القيمة -جـ

1 لذاتية الوشيعة بحيث 1L نختار قيمة-4 0L L>.

) أيهما متقدم في الطور-أ )u t أم ( )i t؟

πφ علما أن -ب rad4=0: بين أن1 0

zL L ω= .1Lأحسب ، +

.1z، أحسب 0z بداللة 1z عبارة ممانعة الدارة استنتج -جـ

:الحل : عبارة ممانعة الدارة وفرق الصفحة بين التوتر الكهربائي وشدة التيار اللحظيين-1

( ) ( )2 2Lω ( 1 / ωC )tagφ ، z r R Lω ( 1 / ωC )r R

−= = + + −

+

.الظاهرة التي يبرزها هذا الشكل هي ظاهرة الرنين الكهربائي) أ-2 انطالقا 1Yالنقطة الساخنة عند المدخل (عند وصل المقاومة بجهاز راسم االهتزاز المهبطي ) ب

ـ ) Bقطة واألرضي عند النDمن النقطة والذي يمثل 1Yنحصل على المنحنى المؤشر إليه ب

)تغيرات التوتر الكهربائي بين طرفي الناقل األومي )Ru t.

) للتوتر Tقيمة الدور) جـ )u t: من الشكل :T 4 5 20 ms 0,02 s= × = =

:0Iحساب شدة التيار الفعالة ) أ-3

0: بما أنC

IU Cω= 5: إذن0 C

2πI C ω U 10 45 0 ,141 A0,02−= × = × × =

:R استنتاج قيمة المقاومة •

R: بما أن 0U R I= حيث :R mR

UU

2R: فإن البيان يعطي = mU 1 2 2V= × =

R: ومنه2U 1,41V2

= R: وبالتالي =

0

U 1,41R 10 ΩI 0 ,141= = =

1Y

2Y 2 v

5 ms

282

0بما أن :0z تعيين قيمة الممانعة -ب 0U z I= حيث :mUU2

=

mU: فإن البيان يعطي 2 2 4V= × mUU : وبالتالي = 2,83 V2

= =

0: إذن0

2 ,83Uz 20ΩI 0 ,141= = =

0z: فإن) تجاوب(بما أن الدارة في حالة رنين :r استنتاج قيمة المقاومة • r R= +

0r: وبالتالي z R 20 10 10Ω= − = − =

0في حالة التجاوب يكون : ذاتية الوشيعة0L حساب -جـ1L ω ωC=

0: إذن 21L

ω C0 :تطبيق عددي = 2 5

1L 1 H( 2π / 0 ,02 ) 10−= ≅

×

1: بحيث1L عندما نختار لذاتية الوشيعة قيمة -4 0L L>.

) مقارنة -أ ) ( u و( ti tمن حيث التقدم أو التأخر في الصفحة :

0: بما أن 21L

ω C1: فإن )عند الرنين (= 0 1 2

1L L Lω C

> ⇒ >

1:إذن1L ω ωC> مما يبين أن الدارة حثية وبالتالي( )u t متقدمة في الطور على ( )i t.

0: إثبات أن-ب1 0

zL L ω= 0: بما أن +πz r R ، φ rad4= + =

1L: فإن ω ( 1 / Cω )tagφ 1R r−

= =+

): وبالتالي )1 021( L ) ω R r 1 z

ω C− = + × ): ومنه = )0 0L L ω z− =

0: إذن1 0

zL L ω= rad: ع ت +0 0sω 100 π ، z 20 Ω ، L 1 H= = =

120L 1 1 ,064 H100 π= + =

:0z بداللة 1z عبارة -جـ

2: بما أن 20 1 1

1z r R ، z ( r R ) ( L ω )ωC= + = + + −

2: فإن 2 2 2 21 0 1 0 0 0 0z z ( L L ) ω z z z 2= + − = + =

1z: تطبيق عددي 20 2 28 ,3Ω= =

283

: الثاني عشـــرتمرين ال . :نعتبر الترآيب الممثل في الشكل جانبه

mU مولد يزود الدارة بتوتر جيبي - 1V= وتواتره

0fقابل للضبط . Lوشيعة ذاتيتها - 8 mH=مقاومتها وr 8Ω=. C مكثفة سعتها - 0 ,22 µ F=. R ناقل أومي مقاومته - 1Ω=.

.f بداللة التواترmIيمثل المنحنى أسفله تغيرات شدة التيار العظمى . بيانيا تواتر الرنين وقارنه مع التواتر الخاص للدارة حدد-1 ممانعة الدارة عند الرنين وقارنها مع القيمة استنتج -2

.النظريةأحسب معامل ثم ). الممرر( حدد عرض الشريط النافذ -3

.جودة هذه الدارة حدد بيانيا مجاالت التواتر التي تكون فيها الدارة -4

.سعوية ثم حثية

:الحل : التحديد البياني لتواتر الرنين-1

0f: هي من أجلmIمن البيان نالحظ أن أآبر قيمة لشدة التيار 3800 Hz= ، ومن الناحية

': النظرية لدينا0 3 6

1 1f 3795 ,6 Hz2 π LC 2π 8 .10 0,22 .10− −

= = =×

': مما يتضح أن0 0f f

m: بما أن :ة الدارة عند الرنين ممانع-20

m 0

Uz ( I : وحسب البيان =(

( m و( m 0U 1V I 0 ,11 A= 0 :وبالتالي =1z 9,09Ω0,11= والقيمة النظرية عند =

'0z: الرنين r R 8 1 9Ω= + = + = :بأخذ : تحديد عرض المنطقة الممررة-3

m 0( I )I 0 ,078 A2

= =

ـ : نجد بعد اإلسقاط أنIوبأخذ القيمتين الموافقتين ل

∆f 0 ,5 400 200 Hz= × =

R

u

C

A

≈

B

L

0 , 10

0 , 08

0 , 06

0 , 04

0 , 02

3 0 34 38 42 46 50

40 0 Hz

0,02 A

2f(1 0 Hz)

mI (A)

0 ,10

0 ,08

0 ,06

0 ,04

0 ,02

30 34 38 42 46 50

2f(10 Hz)

mI (A)

284

0fQ: نعلم أن : معامل جودة الدارة• ∆f= 3800: إذنQ 19200= =

جلها الدارة حثية أو سعويةأ مجاالت التواتر التي تكون من -41: تكون الدارة سعوية إذا آان- LωCω 2: أي أن < 2 2

01 ω ω ωLC > ⇒ >

0ω: وبالتالي ω< 0: ومنهf f 3800 Hz< =

1Lω: دارة حثية إذا آان تكون ال- ωC> 2: أي أن 2 20

1ω ω ωLC> ⇒ >

0ω: وبالتالي ω> 0: ومنهf f 3800 Hz> =

: الثالث عشــر تمرين ال . مقاومة : زء من دارة آهربائية من ثالثة عناصر آهربائية مربوطة على التسلسل وهييتكون ج

R وشيعة ،( )D 5 ومكثفة سعتهاC 10 F−=.

: توترا جيبيا عبارته اللحظيةAC و: نطبق بين النقطتين

( ) ( )ACu t U 2 sin 2π f t V= متغير، ثم نوصل هذا الجزء من الدارة براسم fتواتره

) مهبطي اهتزاز )OSC1- آما في الشكل

1fمن أجل قيمتين للتواتر = 56 Hz، 2f = 65,5 Hz لى الشاشة البيانين نشاهد عI و II2 - على الترتيب آما في الشكل.

: ما يليI من البيان استنتج -1) قيمة - ب . الظاهرة الفيزيائية المالحظة- أ ) ( AB و( ACm mU U.

)بين أن النسبة بين ممانعة الجزء -جـ )ACر من الواحد والمقاومة أآب( )z 1R .ماذا تستنتج ؟. <

.L أحسب ذاتية الوشيعة - د :II على البيان باالعتماد -2): حدد المنحنى الموافق لكل من) أ ) ( AB و( ACu t u tبرر إجابتك ؟ ، ) بين φأحسب فرق الصفحة ) ب ) ( ACi و( t u t. ) بإنشاء فرينل، أحسب مقاومة الجزء باالستعانة) جـ )AC ( )r R+و الممانعة z.

R

1

CA B D

≈

C

2

4

u( )v

t(s) t(s)

ACu (t)

ABu (t )

1

2

u( )v III

0

285

:الحل :يمكن أن نستنتج ما يلي) I( من البيان -1) الظاهرة المشاهدة هي ظاهرة الرنين ألن -أ ) ( AB و( ACu t u t على توافق في الصفحة

)إن تغيرات( )ABu tنفسها تغيرات ي ه ( )i t.(

): تعيين التوتر األعظمي-ب ) ( AB و( ACm mU U:

* ( )AB mU 4 1 4V= × = * ( )AC mU 4 1,5 6V= × =

): إثبات أن-جـ )z 1R :بما أن التيار الكهربائي هو نفسه في الدارة فإن : <

* ( )AB mmU R .I= و ( )AC mmU z . I=

): فإن) ب–اإلجابة (ومن النتيجة السابقة ) ( )AC AB mmU U>

m: إذن mz .I R .I> ومنه :zz R 1R> ⇒ >

z: ، لذلك سيكونrللوشيعة مقاومة : االستنتاج• r R= +

1: تجاوب إذنالدارة في حالة : حساب ذاتية الوشيعة-د1

1Lω ω C=

2: ومنه 2 21 1

1 1Lω C 4π f .C

= 2: وبالتالي = 2 51L 0 ,8 H

4 π .56 .10 −= =

:يمكن أن نحدد ما يلي) II( على البيان باالعتماد -2) يوافق التوتر الكهربائي المنحنى -أ )ACu t و بين النقطتين CA.

) يوافق التوتر الكهربائي المنحنى )ABu t و بين النقطتين A B.

) على ممانعة الجزء باالعتمادوذلك ) ( CAB و( Aإذ أن : ( ) ( )z AB < z AC

): حيث ) ( ) ( )2 22

2

1z A R r ( Lω ) ، z AB Rω C= + + − =C

): لذلك ) ( )AB ACm mU U<

) بين φ حساب فرق الصفحة -ب ) ( ACi و( t u t : 2: من البيانφ ω ∆t= ×

): حيث )2 22

2π πω 2π . f ، ∆t sT 6= = πφ: إذن = rad3=

) حساب المقاومة -جـ )r R+ للجزء ( )AC من الدارة و الممانعة z

2: من خالل إنشاء فرينل يمكن أن نجد 2Lω ( 1 / ω C )tag φ R r−

=+

2: إذن2

1R r ( Lω ) tag φω C+ = −

286

: ق عدديتطبي

5rad

2 2 s

πφ rad ، L 0 ,8 H ،3ω 2π f 131 π ، C 10 F−

= =

= = =

5π1R r (0,8.131π ) tag 49,6Ω310 .131π−+ = − =

R: من جهة ثانية rcosφ z+=

49: وبالتالي ,6R rz 99 ,3 Ωcosφ πcos 3

+= = =

x0

Rr

z

2Lω

2

1Cω2ω

φ