Содержание:

I. Введение .......................................................................... Ошибка! Закладка не определена.

II. Введение в теорию математических бильярдов ...................................................................... 2

1) Основные определения ............................................................................................. 2

2) Некоторые простейшие примеры использования математического бильярда ... 3

3) Метод выпрямления в прямоугольнике .................................................................. 6

4) Обобщение бильярда в пространственный образ .................................................. 7

5) Плотность и всюду плотность непериодических траекторий ............................... 9

III. Траектория бильярдного шара в круге ................................................................................... 10

6) Периодические и непериодические траектории в круге ...................................... 10

7) Теорема Якоби. Применение к теории чисел ....................................................... 12

8) Теорема Пуанкаре о возвращении. Некоторые механические приложения

теорема Пуанкаре .................................................................................................... 16

IV. Бильярд в эллипсе ..................................................................................................................... 22

9) Некоторые свойства эллипса, гиперболы и параболы ......................................... 22

10) Бильярдные свойства эллипса ................................................................................ 22

11) Понятие каустической кривой ............................................................................... 28

12) Некоторые задачи, решаемые с помощью бильярда в эллипсе .......................... 29

13) Общий принцип экстремальности бильярдной траектории и его следствия .... 32

14) Периодические бильярды выпуклой области ....................................................... 35

15) Периодический бильярд в остроугольном треугольнике .................................... 36

16) Периодический бильярд в тупоугольном треугольнике ...................................... 37

V. Геометрия прямоугольного бильярда. Периодические траектории в прямоугольнике .... 38

17) Обмотки тора и бильярд в прямоугольнике ......................................................... 41

18) Всюду плотность траектории обмотки. Понятие обмотки тора ......................... 42

19) Бильярд в прямоугольнике и обмотке тора .......................................................... 43

20) Число и бильярд ................................................................................................ 46

VI. Список литературы ................................................................................................................... 48

2

1A

2A 3A

4A

Р

1P

2P 3P

4P

5P

6P

7P

8P

M

N

рис.1

Лекции по спецкурсу: Введение в теорию математических бильярдов

Основные определения

В этом параграфе приводятся основные понятия, используемые в дальнейшем.

Определение 1. Математическим бильярдом называется механическая система,

представляющая собой движение точки (точечного шара) в некоторой области Q, ограни-

ченной границей Г. Траектория точки в области Q определяется начальным положением

точки q ( Qq ) и начальным вектором еѐ скорости v. При этом предполагается, что дви-

жение точки в области происходит без трения, то есть величина скорости остается всегда

постоянной, может меняться лишь ее направление. Значит, вектор скорости v можно счи-

тать единичным вектором, то есть вектором длины 1. Направление движения точки пря-

молинейно и меняется только при ударе о границу Г области Q. Изменение направления

происходит по закону абсолютно упругого отражения: после удара шара (точки) о грани-

цу Г в точке Р шар движется так, что его «угол падения равен углу отражения». Если гра-

ница Г в окрестности точки Р криволинейная, то углами падения и отражения являются

углы, составленные «падающим» и «отраженным» отрезками траектории с касательной

MN к кривой Г, проведенной в точке Р4 (рис.1).

Итак, траекторией бильярда

является вписанная в кривую Г

ломанная, которая может быть од-

нозначно построена по своему на-

чальному звену. Другими словами,

траектория это ломанная одно-

значно определяемая начальными

условиями (q, v), где q - начальное

положение, а v – скорость.

Кривая Г, являющаяся гра-

ницей бильярдной области Q, мо-

жет иметь точки излома – типа то-

чек 1 2A ,A ,... на рис.1. Касательная

в этой точке не определена. По-

этому бильярдную траекторию,

попадающую в такую точку, мы

будем считать оканчивающейся в

ней и в дальнейшем будем назы-

вать особой траекторией. Основной интерес будут представлять не особые траектории.

Общая математическая проблема бильярда заключается в том, что бы описать воз-

можные типы бильярдных траекторий в данной области Q. Первый и простейший прин-

цип такого описания – разделение траекторий на периодические, или замкнутые, и ос-

тальные – непериодические. На рис.2 изображены некоторые периодические траектории

бильярдов в прямоугольнике, в правильном треугольнике и в круге.

Определение 2. Траектория с начальным условием (q, v) будет периодической (или

замкнутой), если через некоторое время (через период) точка возвращается в свое началь-

ное положение q c первоначальной скоростью v.

3

Некоторые простейшие примеры использования математического бильярда

Задача 1 (на переливание). Имеются два сосуда вместимостью 7 и 11 литров и

большая бочка, наполненная водой. Как с помощью этих двух сосудов отмерить ровно 2

литра воды?

Решение: Такие головоломки на переливание жидкостей можно легко решить, вы-

черчивая бильярдную траекторию шара, отражающегося от границу ромбической области.

В рассматриваемой задаче стороны области должны иметь длины 7 и 11 единиц (рис.3).

По горизонтали отложено количество воды в любой момент времени для 11-литрового

сосуда, а по вертикали – та же величина для 7-литрового сосуда.

v

q

рис.2

4

Представим себе, что шар находится в левой нижней вершине в точке 0. Он будет

перемещаться вдоль нижнего основания ромба до тех пор, пока не достигнет правой боко-

вой стороны в точке 0A . Это означает, что 11-литровый сосуд наполнен до краев, а 7-

литровый пуст. Отразившись упруго от правого борта, шар покатиться вверх и влево и

ударится о верхний борт в точке 1A . Это означает, что в 11-литровом сосуде осталось все-

го 4 литра воды, а 7 литров из него перелили в меньший сосуд.

0A

1A

2A

3A

4A

5A

6A

7A

8A

9A

10A

11A

12A

13A

14A

15A

16A

17A

7л. 0 7 0 4 4 7 0 7 0 1 1 7 0 5 5 7 0 7

11л. 11 4 4 0 11 8 8 1 1 0 11 5 5 0 11 9 9 2

Таблица №1

Прослеживая дальнейший путь шара и записывая все этапы его движения (Таблица

№1) до тех пор, пока он не попадает в точку 2 верхнего борта, вы получите ответ и узнае-

те, в какой последовательности необходимо производить переливания, чтобы отмерить 2

литра воды.

Задача 2 (на переливание). Дан 8-литровый сосуд, наполненный водой до самых

краѐв. С помощью двух пустых сосудов объѐмом 3 и 5 литров воду надо поровну разлить

в два больших сосуда.

0 1 2 3 4 5

0

1

2

1 2 3 4 5 0

1

2

3 3

7 6

5 4 3

2 1

0

8

рис.4

7A 17A 1A

11A 5A

15A

14A

4A

10A

0A 16A 6A 12A

2A 8A

9A

3A

13A

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

7

6

5

4

3

2

1

0

рис.3

5

Решение: Диаграмма для этой задачи – ромб размером 3 на 5 – изображена на

рис.4. Главная диагональ ромба, поделенная наклонными прямыми на 8 частей, относить-

ся к 8-литровому сосуду. Как и в предыдущей задаче, бильярдный шар начинает своѐ

движение из точки О. В итоге мы получим решение с числом переливаний, равным 7

(Таблица №2).

3 л. 0 3 0 2 2 3 0

5 л. 5 2 2 0 5 4 4

8 л. 3 3 6 6 1 1 4

Таблица №2

Если объѐмы двух меньших сосудов не имеют общего делителя (т.е. взаимно про-

сты), а объѐм третьего сосуда больше или равен сумме объѐмов двух меньших, то с помо-

щью этих трѐх сосудов можно отмерить любое целое число литров, начиная с 1 литра и

кончая объѐмом среднего сосуда.

0 1 2 3 4 5

6

7

5

4

3

2

1

0 0

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7 8 9

8 7 6 5 4 3 2 1 0 9 10 11 12

рис.5

Когда объѐм большего сосуда меньше суммы объѐмов двух других, возникают но-

вые ограничения. Если, например, объѐмы сосудов равны 7, 9 и 12 литрам, то у ромба на-

до отсечь верхний правый угол (рис.5). Тогда шар сможет попасть в любую точку от 1 до

9, за исключением точки 6. Несмотря на то, что 7 и 9 взаимно просты, отмерить 6 литров

воды оказывается невозможным из-за того, что самый большой сосуд имеет слишком ма-

ленький объѐм.

Задачи для самостоятельного решения:

Задача 1. Имеются бидоны объѐмом 3 и 5 литров, с помощью этих сосудов отме-

рить 4 литра воды.

Задача 2. Имеется 10-литровое ведро, доверху заполненное водой, и два пустых

бидона объѐмом 3 и 5 литров. Требуется часть воды (целое число литров) вылить, а ос-

тавшуюся воду разделить на три равные части.

6

Метод выпрямления в прямоугольнике

Рассмотрим другой тип элементарных геометрических задач, относящихся к биль-

ярдам. В них либо требуется найти замкнутую траекторию бильярдного шара в данном

многоугольнике, либо найти путь бильярдного шара, попадающего через заданное число

ударов из одной фиксированной точки внутри многоугольника в другую.

Для решения таких задач существует очень удобный и важный метод «зеркального

отражения», или «выпрямления» бильярдной траектории, принадлежащий немецкому ма-

тематику Г.А.Шварцу. Этот метод является основным техническим приѐмом при решении

бильярдных задач в многоугольных областях Q.

Метод выпрямления: Построим на плоскости сетку прямоугольников, получен-

ных симметричными отражениями относительно соответствующих сторон. В каждом из

этих прямоугольников отметим образы точек А и В при этих отображениях. Метод вы-

прямления позволяет находить траектории в прямоугольном бильярде по заданными на-

чальным и конечным точкам, при этом среди траекторий можно выбрать траектории с за-

данным количеством ударов о стенки, решая задачу о кратчайшей траектории.

А

В

С2

3С

С

D

D Е

ВВ

1

2

11

В

рис.6

Задача 1. Пусть на прямоугольнике находится один шар; под каким углом его сле-

дует направить из точки А, чтобы он после заданного числа отражений от бортов попал в

точку В?

Решение: Для решения отразим прямоугольник (исходный бильярд) симметрично

относительно всех его сторон; все полученные таким образом прямоугольники вновь от-

разим относительно всех их сторон, и так далее до бесконечности (на рис.6 показаны так-

же образы точки В при этих симметриях). В результате всех сделанных отражений траек-

тория шарика «распрямляется» (например, на рис.6 траектория 1 2 3AC C C B последователь-

но переходит в 1 1 2AC D D B , 1 1 1AC D E B , 1 1 1AC D E B ).

Если полученная «выпрямленная траектория» проходит через образ точки В в од-

ном из прямоугольников, то, очевидно, что траектория шара в исходном прямоугольнике

пройдѐт через В. Поэтому, для того чтобы пустить шар их точки А так, чтобы он после

заданного числа отражений о стенки прямоугольного бильярда попал в точку В, нужно

провести такой отрезок с началом в точке А и концом в одном из образов точки В, чтобы

он пересѐк это же самое число раз линии сетки «клетчатой плоскости». Проделав обрат-

ную процедуру «свѐртывания» проведенного отрезка, преобразим его в искомую траекто-

рию в исходном бильярде (рис.6).

7

Задача 2. Найти кратчайший путь по которому должна ползти пчела внутри равно-

стороннего треугольника из точки А в точку В, при этом она должна побывать на каждой

из сторон треугольника, т.к. там находятся сахар, варенье и мѐд.

Решение: Поскольку одинаковыми равносторонними треугольниками можно без

щелей и перекрытий замостить всю плоскость, и здесь применима процедура «выпрямле-

ния бильярдной траектории».

Нам нужно найти кратчайший путь, по которому должна ползти пчела из точки А в

точку В внутри равностороннего треугольника, чтобы сначала насладиться медом на од-

ной стороне треугольника, потом сахаром – на другой стороне, и, наконец, вареньем – на

третьей. (Предполагается, что каждая сторона полностью вымазана соответствующим

сладким веществом.)

А

В

В

В

В

1

23

1 - варенье 2 - сахар 3 - мёд

рис.7

Ответ приведѐн на рис.7. Нетрудно видеть, что любой другой путь, ведущий тре-

буемым образом от А к В, после зеркальных отражений превращается в путь из точки А в

точку B , длина которого больше длины отрезка AB , и поэтому не является кратчай-

шим.

Обобщение бильярда в пространственный образ

Задача 1. Найти замкнутую бильярдную траекторию в кубе.

Решение: Как и раньше, бильярдный шар считается идеальной упругой невесомой

частицей, отражающейся от стенок по закону упругого отражения.

Применим к кубу то же метод «выпрямления траектории», что и для квадрата.

Произведя 5 отражений от граней куба мы получим искомую замкнутую траекторию, изо-

браженную на рис. 8 и представляющую собой одну из четырѐх возможных траекторий,

каждая из которых является решением задачи. Если «свернуть» кубы, проделав обратные

отражения, получим замкнутую бильярдную траекторию из 6 звеньев равной длины в ис-

ходном кубе. Представим себе куб размером 1 1 1 , состоящим из 27 маленьких кубиков

с ребром 1/3 каждый, несложно понять, что каждое звено этой траектории является диа-

гональю такого куба (рис.8), так что его длина равна 3 3 1 3 , а длина траектории со-

ставляет 6 3 2 3 .

8

Если эту бильярдную траекторию спроектировать на любую грань куба, то в про-

екции получиться прямоугольник размером 1 23 3 , а если еѐ спроектировать на три

плоскости, параллельные трѐм диагоналям, то получаются ромбы; ещѐ в одной проекции

получается правильный шестиугольник.

Задача 2. Найти замкнутую бильярдную траекторию в тетраэдре.

Решение: Поступим точно также, как и в случае куба: отразив тетраэдр симмет-

рично относительно трѐх его граней (рис 9), мы получим замкнутую траекторию из четы-

рѐх звеньев, которая по одному разу касается каждой грани. Сложнее решается задача о

замкнутой бильярдной траектории, которая имеет все звенья равной длины. Одна такая

траектория изображена на рис 9, а всего их существует три, причѐм совершенно одинако-

вой формы. Каждая из них имеет точки излома на гранях тетраэдра в одной из вершин ма-

ленького равностороннего треугольника, расположенного в центре грани. Стороны этого

маленького треугольника равны 1/10 ребра исходного тетраэдра, а каждое звено траекто-

рии имеет длину 1 10 0,3162777... , так что весь путь бильярдного шара внутри тетра-

эдра составляет в этом случае 4 1 10 1,2649... .

рис.8

рис.9

9

Метод зеркальных отражений, который мы продемонстрировали на примерах 3 - 6,

даѐт возможность не только строить разнообразные периодические бильярдные траекто-

рии в «хороших» многоугольниках (или многогранниках), но и отыскать критерий перио-

дичности траекторий в таких областях, как прямоугольник или правильный треугольник.

Скажем, для бильярда в квадрате неособая траектория, направленная под углом к сто-

роне квадрата, окажется периодической в том и только в том случае, когда число k=tg

является рациональным, т.е. представимо в виде обыкновенной дроби m/n (m – целое, n –

натуральное).

Плотность и всюду плотность непериодических траекторий

На примере прямоугольников, квадратов и треугольников, используя метод вы-

прямления, мы можем всегда построить периодические траектории, причѐм эти траекто-

рии могут иметь заданное число звеньев. Теперь мы рассмотрим случай, когда траектория

не будет периодической.

Определение 1. Бильярдная траектория в области G является плотной в Q, где Q

некоторая область из G, если для любой точки q из Q и для любой окрестности этой точки

q бильярдная траектория пересекает эту окрестность. Бильярдная траектория будет всюду

плотной, если она плотна на всей области G.

Из определения становиться понятно, что если траектория будет периодической, то

она не будет плотной в некоторой заданной области

На рис. 10 показан процесс постепенного распределения траекторий по своим об-

ластям. Если бильярдная траектория всюду плотна в области Q, т.е. бильярдный шар рано

или поздно обязательно попадает в любую заданную фигуру Ф, лежащую в Q, то мы мо-

жем вычислить долю времени за фиксированный промежуток времени Т (т.е. вычисляем

отношение (T) t T , где t – время, в течение которого за промежуток Т шар побывал в

области Ф), а затем устремляем Т к бесконечности и берѐм предел Tlim (T)

.

Определение 2. Если указанная доля времени, которую проводит шарик в фигуре

Ф, пропорциональна площади фигуры Ф, и это верно для «типичной» траектории, то го-

ворят, что данная бильярдная система эргодична.

Траектория в эргодической системе заполняет область всюду плотно и равномерно.

Тогда можно заметить, что свойство эргодичности сильнее свойства всюду плотности, по-

скольку подразумевает его выполнение; таким образом, из эргодичности системы следует

всюду плотность типичной траектории, но не наоборот, хотя очень часто оказывается, что

если какая-то траектория всюду плотна, то и вся система эргодична.

рис.10

10

Траектория бильярдного шара в круге

Периодические и непериодические траектории в круге

Рассмотрим шар в круге Q, ограниченном окружностью Г. Его траекториями явля-

ются вписанные в Г ломанные 1 2 3P P P ... , обладающие свойством равенства в точках

1 2 3P ,P ,P ,... углов падения и отражения, отсчитываемых от касательных или от радиусов

1 2OP ,OP ,... (рис 11). Отметим, что из этого свойства следует:

Звенья траектории равны между собой

0 1 1 2 2 3 3 4P P PP P P P P ... ,

Опирающиеся на них центральные углы равны

0 1 1 2 2 3P OP POP P OP ... .

Доказательство: Действительно, для любого k=1,2,3,… равны треугольники

k 1 k k k+1P OP и P OP , как равнобедренные с равными углами при основаниях (рис. 11), откуда

и вытекают указанные равенства хорд и центральных углов.

Расстояние от центра круга до любого звена траектории является постоян-

ной.

Любая бильярдная траектория в круге расположена целиком в некотором

кольце.

Доказательство: Нетрудно видеть, что середины iK всех звеньев траектории

удалены от центра круга на одинаковое расстояние и, таким образом, они являются каса-

тельными к одной и той же окружности с тем же центром О. Следовательно, вся бильярд-

ная траектория расположена круговом кольце (рис. 11). Это позволяет очень просто стро-

ить все звенья бильярдной траектории по какому-то одному из них – для этого достаточно

провести концентрическую с исходной окружностью радиуса ОК, где К – середина дан-

ного звена, затем из концов этого звена провести касательные к окружности до пересе-

чения с внешней окружностью Г, затем из концов построенных хорд – опять касательные

к окружности до пересечения с Г, и так деле – это и будут звенья искомой бильярдной

траектории

O

Pk

M N

O

Pk+1

Pk-1

Р0

Р1

Р2

Р3

К1

К2

К3

рис.11

11

Замечание. Любая бильярдная траектория в круге никогда не заходит внутрь неко-

торого концентрического круга, границы которого касаются все еѐ звенья.

Следствие. Бильярд в круге не эргодичен.

Доказательство: Траектория в эргодической системе заполняет область всюду

плотно и равномерно, но, в силу предыдущего замечания, любая бильярдная траектория в

круге никогда не заходит внутрь некоторого концентрического круга, границы которого

касаются все еѐ звенья, значит траектория не всюду плотна, следовательно бильярд в кру-

ге не эргодичен.

Теорема. Обозначим через радианную меру углов 0 1 1 2P OP , POP , ... Каждая

вершина kP траектории

0 1 2 3P PP P ...получается из предыдущей вершины

k-1P поворотом на угол относительно центра О окружности Г, отку-

да следует, что вершина nP получается из начальной вершины поворо-

том на угол n . Тогда :

a. если число соизмеримо с , т.е. дробь является рацио-

нальным числом (равным некоторой дроби m n ), то бильярдная траек-

тория периодична;

b. если и несоизмеримы, т.е. число иррационально, то

отвечающая углу траектория не периодична.

Доказательство: (а) Если соизмеримо с , то его можно представить в виде

m2

n , где m и n – целые числа. Тогда n =2 m , и поэтому при повороте на угол n

каждая точка окружности Г переходит в себя. В частности, все вершины рассматриваемой

бильярдной траектории 0 1 2 3P PP P …обладают тем свойством, что

n 0 n+1 1 n+2 2P P ,P P ,P P …,

т.е. вершины, начиная с n-й, повторяются. Это и означает, что бильярдная траектория пе-

риодична, и следовательно, утверждение доказано.

Если m

n 2

- несократимая дробь, то отвечающая периодическая траектория –

это траектория 0 1 n-1 0P P ...P P , где n – знаменатель указанной дроби, и состоит ровно из n

звеньев. При m=1 это будет правильный n-угольник, вписанный в окружность Г (рис.12), а

при m 2 бильярдная траектория представляет собой правильную самопересекающуюся

замкнутую (звѐздчатую) ломаную, вписанную в Г (рис.12).

Иными словами, бильярдный шар после n отражений от борта Г оказывается в ис-

ходной точке 0P , сделав m оборотов вокруг центра О (т.е. повернувшись вокруг центра на

угол 2 ).

(b) Предположим, что бильярдная траектория и в этом случае периодична. Дока-

жем тогда, что и соизмеримы.

Из периодичности траектории вытекает, что, начиная с некоторого номера n, вер-

шины траектории повторяются: n 0 n+1 1 n+2 2P P ,P P ,P P и т.д. Но это означает, что при

повороте на n радиан точка 0P переходит сама в себя; следовательно, n есть целое

кратное полного угла: n =2 m . Отсюда 2m

n

- рациональное число. Получили проти-

воречие.

12

Задачи для самостоятельного решения:

Задача 1. Бильярдный шар находиться в круге радиуса R=1 на расстоянии l от его

центра. Установите условие периодичности траектории, если шарик выпущен под углом

к диаметру, на котором он находиться.

Задача 2. Исследуйте траекторию бильярда а) в полукруге; б) в четвертькруге.

Указание . Сведите эти бильярды к бильярду в круге.

Задача 3. Докажите, что никакая непериодическая бильярдная траектория не со-

держит двух параллельных звеньев.

Теорема Якоби. Применение к теории чисел

Теорема 1 (Якоби). Пусть - несоизмеримое с число, 0 1 3 kP ,P ,P ,... P - бес-

конечная последовательность точек окружности Г такая, что каждая

следующая точка последовательности k+1P получается из предыдущей

точки kP поворотом около центра на радиан. Тогда для любой дуги

окружности Г хотя бы одна точка последовательности kP лежит на

этой дуге.

Доказательство: Пусть - произвольная дуга на окружности Г, - еѐ радиальная

мера. Выберем такое натуральное число N, что 2

N

. Разобьѐм окружность Г на N рав-

ных по длине дуг 1 N,..., ; радианная мера каждой из них равна 2 N и меньше .

Рассмотрим теперь N+1 первых точек последовательности kP , т.е. точки

0 1 NP ,P ,...,P . Тогда, хотя бы на одной из N дуг 1 N,..., лежит, по крайней мере, две из

этих точек; допустим, точки mP и nP лежат на дуге i (считаем m=n+l>n ). Пусть длина

дуги n mP P (в радианах) равна , тогда 2

Ni

.

Рассмотрим далее точки последовательности kP с номерами n, m=n+l, n+2l,

n+3l,…, т.е. точки n n+l n+2lP ,P ,P ,..., каждая из которых получается из предыдущей поворо-

0P

1P

2P

3P 4P

O

Г

0P 1P

2P

3P

4P

5

1

2n

5

2

2n

рис.12

13

том на угол - точно так же, как точка n+lP получается из точки

nP . Таким образом, со-

седние точки выделенной последовательности отстоят друг от друга на дугу радианной

меры . Так как , то хотя бы одна из точек n n+l n+2lP ,P ,P ,...обязана попасть на дугу .

Тем самым теорема доказана.

Теорема 2. Дробные части чисел ky ak+b , когда k пробегает все целые значения

от до , либо образуют конечное множество точек на полуинтер-

вале 0,1 , либо всюду плотное множество точек на этом интервале.

Первый случай реализуется при рациональном, а второй – при иррацио-

нальном числе а (число b при этом может быть произвольным).

Доказательство: Искривим полуинтервал 0,1 , на котором расположены дробные

части ky , так, чтобы его концы совпали, и склеив их, получим окружность единичной

длины 1S (рис. 13). Затем сделаем второй шаг: намотаем всю числовую ось на полу-

ченную окружность так, чтобы точка b оси совпала со склеенными точками 0 и 1 ок-

ружности.

Тогда все точки ak+b отпечатаются на окружности 1S ; «выпрямив» эту окружность

в исходный полуинтервал 0,1 , мы получим на нем все дробные части чисел ky ak+b .

Однако на окружности 1S отпечатки всех точек ky получаются из отпечатка точки 0y b

поворотом на углы ka радиан, где k=…,-2,-1,0,1,2,…. Поэтому, если число а рационально,

то отпечатков на 1S будет конечное число; если же а иррационально, то их будет беско-

нечно много и располагаться они будут, по теореме Якоби, всюду плотно, а это и требова-

лось доказать.

Замечание 1. Решение задачи о дробных долях степеней >1 так же использует Тео-

рему Якоби и математический бильярд.

Определение. Произвольная бесконечная последовательность точек nP на еди-

ничной окружности 1S (или на отрезке 0.1 ) называется равномерно распределѐнной на

a

b+a

b+2a

b+3a

b+4a 0 b

b-a

b-2a

b-3a

b+5a

b+6a

b b+a b+2a b+3a

b-a

b-2a b-3a

1S

рис.13

14

1S (на 0.1 ), если для любой еѐ дуги (интервала) «доля» попавших на неѐ точек равна

длине этой дуги (интервала) .

Теорема 3 (о равномерном распределении точек на окружности). Последовательность

точек 0 1 n-1P ,P ,...,P , на окружности 1S , полученных каждая из предыду-

щей поворотом на иррациональный (несоизмеримый с 2 ) угол , рав-

номерно распределена на 1S .

Замечание 2. В теореме Якоби говориться только о плотности последовательности

nP на окружности, следовательно, теорема (о равномерном распределении точек на ок-

ружности) является обобщением теоремы Якоби, т.к. из неѐ следует результат теорема

Якоби.

Теорема 4 (Вейля). Если среди коэффициентов n1 a,...,a многочлена

n

k

k

k=0

P t a t хотя бы одно иррациональное число, то последователь-

ность дробных долей ky равномерно распределена на полуинтерва-

ле 0,1 .

Теорема 5 (критерий Вейля). Для того чтобы последовательность

0 1 2 nx ,x ,x ,..., x ,... была равномерно распределена на отрезке 0.1 , необ-

ходимо и достаточно, чтобы для любой интегрируемой (по Риману)

функции f x выполнялось соотношение: «среднее временное равно

среднему пространственному», т.е.

1n-1

kn

k=0 0

1lim

nf x f x dx

Задача . Рассмотрим последовательные степени двойки: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,

256,…. И выпишем подряд первые цифры полученных чисел:

1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4,…

1) Встретиться ли в этой последовательности цифра 7?

2) Какая цифра встречается в последовательности чаще: 7 или 8? Во

сколько раз?

3) Вообще, с любого ли набора цифр может начинаться степень двойки?

С какой частотой появляется заданный набор цифр 1 2 ra a ...a ?

Решение: Начнѐм решать задачу «с конца», т.е. ответим сначала на вопрос 3), ко-

торый обобщает вопросы 1) и 2).

3) Пусть 1 2 ra a ...a - r-значное число. Если n2 начинается с набора А, то n2 A... , а

так как выполняется:

k n kA 10 2 A+1 10

Логарифмируя по основанию 10, получаем:

k+lgA n lg2<k+lg A+1

1

k n lg2 lg A<k lg A+1 lg A=k lg 1A

15

Отметим на числовой оси все промежутки между числами k и 1

k lg 1A

, т.е.

окружим все целые точки k числовой оси полуинтервалами одинаковой длины 1

lg 1A

.

Возьмѐм теперь бильярд в круге, длина окружности которого равна 1 (т.е. радиус

бильярдного круга равен 1 2 ), и, как при доказательстве теоремы 2, намотаем число-

вую ось на границу этого бильярда – окружность 1S (рис. 14). Тогда все целые точки 0, 1,

2,…, k,… сольются в одну точку на окружности, а все промежутки 1

k, k lg 1A

- в

одну дугу (с концом 0, который ей принадлежит) длины 1

l lg 1A

. Обозначим

0P точку на окружности, в которую попадает при этой намотке число lgA .

А теперь задача сводиться к моделированию первых цифр последовательности n2

следующим движением бильярдного шара в круге: запускаем шар из точки 0P а точку

1P

на окружности такую, что 2lgPP 21 , и рассматриваем всю последовательность 0 1P ,P ,...

точек отражения шарика от границы; те n, для которых точки nP принадлежат дуге , яв-

ляются искомыми показателями двойки – для них числа n2 начинаются с набора 1 2 ra a ...a .

Но число lg 2 - иррациональное

*, поэтому последовательность точек 0 1P ,P ,... ,

получающихся друг из друга поворотом на угол , по теореме Якоби заполняет окруж-

ность всюду плотно. Следовательно, степень двойки может начинаться с произвольного

набора цифр 1 2 rA=a a ...a . Более того, поскольку последовательность точек 0 1P ,P ,... равно-

мерно распределена на окружности, доля тех чисел n, для которых n2 начинается с набора

А, в пределе равна длине интервала , т.е. равна 1

lg 1A

. Это и есть частота появления

набора 1 2 ra a ...a в качестве первых цифр чисел n2 .

* Если lg2 m n , где m и n – целые числа, то

m n2 10 , и тогда n m2 10 , чего быть не может , так как

n2 не может оканчиваться нулѐм n>0

0P

1P

2P 0

lg 2

k-1

k-11

lg 1A

k1

lg 1A

k 0

1S

рис.14

16

Теперь можно легко ответить на вопросы 1) и 2). Цифра 7 в последовательности

первых цифр чисел n2 обязательно встретиться. Встречается она с частотой, равной

lg 1 1 7 lg8 lg7 . Цифра 8 в этой последовательности встречается с частотой

lg 1 1 8 lg9 lg8 . Так как 8 7 9 8 , то (как это ни странно на первый взгляд – особен-

но после рассмотрения начала последовательности, указанной в условии задачи), семерки

встречаются чаще восьмерок, причѐм в lg8 lg7

1,14lg9 lg8

раз. А то, что вначале восьмѐрки

всѐ же встречаются чаще семѐрок, связано с тем, что: иррациональное число lg 2 пример-

но равно рациональному числу 3 10 . Действительно, сделав на окружности 10 прыжков

длины lg 2 , мы сдвинемся на дугу 10lg 2 3 , т.е окажемся примерно в начальной точке.

Среди первых 10 степеней двойки нет ни одной, начинающейся с 7 (это эксперименталь-

ный факт), а начинающийся с 8 есть, поэтому и среди следующих 10 степеней двойки

опять нет ни одной, начинающейся с 7(а с 8 есть) и т.д.; это будет происходить до тех пор,

пока 10n lg 2 не станет уже существенно отличаться от целого числа – тогда и появиться

7.

В заключение отметим, что числа n n 2n n n n n n n n n3 ,4 2 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,11 ,12 ,13 и т.д. (про-

пускают, степени основания которых кратны 10) так же чаще начинается с 7, чем с 8, при-

чѐм, как и для n2 , чаще в

lg 8 7

lg 9 8 раз. Это объясняется равномерностью распределе-

ния точек на окружности длины 1 при отображении бильярдного шара с углами поворота

lg3, lg 4, lg5, lg 6,... , являющимися иррациональными числами.

Задачи для самостоятельного решения:

Задача 1. Промоделируйте с помощью бильярда в круге все степени числа 3, начи-

ная с набора цифр 2006.

Задача 2. Докажите, что если число k10p , то среди чисел ,...p,...,pp, n2 найдутся

такие, десятичная запись которых начинается с любого наперѐд заданного набора цифр. С

какой цифры чаще начинаются с 7 или с 8? И во сколько раз?

Задача 3. Существует ли такое число n , такое что выполняется -10010n sin ?

Ответ: Да.

Теорема Пуанкаре о возвращении. Некоторые механические приложения теорема Пуанкаре

В этой теореме фигурирует окружность 1S и преобразование Т – поворот окружно-

сти на угол . Далее рассматривается произвольная точка х на 1S и еѐ образы при пово-

ротах на углы , 2 , 3 ,… - точки 2 3 2x, T x , T x T T x , T x T T x и

т.д.(они в формулировке теоремы Якоби обозначались 0 1P ,P ,... ). Окружность 1S будем

считать расположенной на плоскости, а еѐ поворот представлять себе как преобразование

(поворот) всей плоскости, не меняющее площадей фигур, при котором окружность 1S пе-

реходит в себя: 1 1T S S . Если плоскость – двумерное пространство – его можно заме-

нить на пространство любого числа измерений (трѐхмерное, четырѐхмерное,….), окруж-

ность – на произвольную ограниченную область† D в этом пространстве, а преобразование

Т считать взаимно однозначным, сохраняющим объѐмы и при этом приводящим область

† Областью в пространстве называется такая его часть, которая вместе с каждой точкой содержит целиком и

некоторый шарик с центром в ней.

17

D в себя, то указанное следствие из теоремы Якоби сразу же обобщается, а еѐ доказатель-

ство упрощается.

Теорема (Пуанкаре о возвращении). Пусть Т – сохраняющие объѐмы взаимно од-

нозначное преобразование пространства, переводящее ограниченную об-

ласть D пространства в себя: Т(D)=D. 1) Тогда в любой сколь угодно ма-

лой окрестности U внутри D найдѐтся точка х, которая после несколь-

ких применений к ней преобразования Т снова возвращается в область U:

точка nT x принадлежит области U при некотором n>0 (рис.).

2)Более того, почти все точки области U возвращаются снова в U –

объѐм невозвращающихся в U точек равен нулю‡.

Доказательство: Рассмотрим области 0 2 3U T U ,T U ,T U ,T U ,... . Их

бесконечно много, все они имеют одинаковый ненулевой (по условию) объѐм и все со-

держится внутри D.

1) Если бы никакие две из них не пересекались, то суммарный объем равнялся бы

бесконечности, и тогда область D не имела бы конечного объѐма. Однако область D огра-

ничена, и поэтому какие-то две (по крайней мере) области kT U и T Ul k>l пресе-

каются, т.е. имеют общие точки. Но тогда пересекаются и области UTUTT kk- ll и

UUTUTT 0k- l (рис. 15). Пусть у – произвольная точка пресечения областей

UTn и U, где n=k – l. Так как каждая точка области UTn получается из некоторой точ-

ки области U в результате действия преобразования nT (по определению записи UTn ),

то и точка у, лежащая в UTn , получается из некоторой точки х области U таким же спо-

собом: xnTy .Но точка у одновременно лежит и в области U.

2)Пусть V – множество невозвращающихся в U точек. Тогда множества V,

,VT ,VT ,VT 32 …попарно не пересекаются. Действительно, если VTk и VTl пе-

ресекаются, то множество VTk l пересекается с V, а значит, некоторые точки из V вер-

нулись снова в V, а тем самым и в область U – противоречие. Поскольку полученных

множеств бесконечно много и все они имеют одинаковый объѐм v, то, в силу ограничен-

ности объѐма области D, число v не может быть отличным от нуля. Значит, объѐм множе-

ства V равен 0.

‡ Мы предполагаем, что множество невозвращающихся точек имеет объѐм.

D D

x

x y

рис.15

18

Определение 1. Конфигурационным пространством называется пространство кон-

фигураций, т.е. возможных положений заданных объектов.

Пример 1. Две точки 1x и

2x , движутся по прямой , можно задать одной изо-

бражающей или конфигурационной точкой х, но уже расположенной на плоскости 2 ;

при этом первая координата точки х определяет положение на прямой первой точки 1x ,

а вторая координата – положение второй точки 2x (рис. 16).

Пример 2. Три точки

1x , 2x , 3x на прямой заменяются точкой 321 x,x,xx

трѐхмерного конфигуративного пространства 3 (рис. 16)

Часто на конфигурации объектов накладываются какие-либо ограничения. Тогда

совокупность конфигураций будет заполнять не все многомерное пространство, а лишь

его часть, и именно эта часть будет в этом случае называться конфигурационном про-

странством.

Пример 3. Если точка 1x на прямой не может обгонять точку

2x , т.е. если все-

гда 21 xx , то конфигурационным пространством будет множество точек плоскости

21, xx , удовлетворяющих условию 21 xx ,т.е. полуплоскость в плоскости

2 (рис. 17).

Пример 4. Если же две точки 1x и 2x , двигаясь свободно на отрезке 1,0 , не могут

покинуть его пределов, т.е. 10 1 x и 10 2 x , то конфигурационным пространством

будет множество точек 21, xx , заполняющих квадрат со стороной 1 (рис. 17).

Задача. (Н.Н. Константинов). Из города А в город В ведут две дороги (рис. 18).

Два велосипедиста, связанные верѐвкой длины, меньше 2а, могут проехать из города А в

город В по разным дорогам, не разорвав верѐвки. Смогут ли разминуться, не столкнув-

шись друг с другом, два толстяка радиуса а каждый, идя из города А в город В, а другой

из города В в город А.?

Решение: Введѐм вдоль первой дороги координату 1x , а вдоль второй дороги – ко-

ординату 2x и рассмотрим конфигурационную плоскость О 1x 2x , одновременное положе-

0

рис.17

0 0

x=(x1, x2) x1

x2

R1

R2

x1

x2

x3

x3

x2

x1

x

R1

R3

рис.16

1 0

0 1

1

19

ние велосипедистов или толстяков изображается конфигурационной точкой 21 x,xx

этой плоскости. Одновременному движению по обеим дорогам соответствует движение

конфигурационной точки х. Если длина дороги равна 1l , а второй -

2l ,то координата 1x

меняется от 0 до 1l а

2x - от 0 до 2l ; следовательно, конфигурационная точка обязана на-

ходиться в прямоугольнике OKLM (рис. 18), который и является конфигурационным про-

странством. Велосипедисты начинают двигаться из города А (точка О в конфигурацион-

ном пространстве), а заканчивают движение в городе В (вершина прямоугольника L). Зна-

чит, в конфигурационном пространстве движению велосипедистов соответствует траекто-

рия (кривая) , идущая из О в L. Аналогично, движению толстяков будет соответствовать

траектория , идущая из вершины М прямоугольника в вершину К. Очевидно, кривые

и , находясь внутри прямоугольника OKLM, пересекутся в какой-то точке 21 x,xx

внутри него. В этой точке координаты велосипедистов и толстяков меньше 2а (ведь вело-

сипедисты проехали это место, не разорвав верѐвки!), а следовательно, толстяки обяза-

тельно столкнуться. Задача решена.

Задача для самостоятельного решения:

Задача. Что является конфигурационным пространством а) круглого бильярда? б)

трѐх точек прямой , из которых первые две не обгоняют третьей?

Определение 2. Рассмотрим движение некоторой системы объектов – частиц, тел и

т.п. Добавим к пространству конфигураций {x} этих объектов пространство их скоростей

{v} (векторов), т.е.будем рассматривать всевозможные пары {(x,y)}. Тогда фазовым про-

странством будет множество таких пар (x – положение, v - скорость).

Определение 3. Фазовой точкой системы называется изображающая систему точка

(x,y). Иными словами, фазовым пространством называется множество всевозможных со-

стояний движения системы.

Пример 5. Если точка х на прямой может двигаться по ней с произвольной ско-

ростью v, то фазовым пространством будет плоскость v,x2 (рис. 19).

А В

O

M

K

L

рис.18

v

x x

v

0

(x,v)

рис.19

20

Определение 4. Процесс называется детерминированным, если весь его будущий

ход и всѐ его прошлое однозначно определяется состоянием в настоящий момент. Такими

процессами являются, например, процессы радиоактивного распада и размножения бакте-

рий. Бывают и недетерминированные процессы: таково движение частиц в квантовой ме-

ханике (ни прошлое, ни будущее не определены настоящим однозначно) или же распро-

странения тепла (будущее определено настоящим, а прошлое - нет).

Именно такие процессы изучаются в классической механике. Если процесс детер-

минированный, то никакие фазовая траектория не может пересекаться. tT – преобразова-

ние приводящее любую точку 0v,0x в tv,tx , то tT - фазовый поток. В фазовом

пространстве начальное состояние может занимать некоторую область u. Под действием

фазового потока tuu . В классической механике рассматриваются такие процессы, при

которых u сохраняет свой V. Такие механические процессы называются Гамильтоновы.

Пример 6. Исследуем, как меняется состояние девяти планет Солнечной системы.

Для простоты будем считать, что каждая из них представляет собой точку массы 1 и дви-

жется вокруг Солнца по своей окружности, не влияя на остальные планеты. Тогда фазо-

вым пространством является 54-мерное пространство 54 , поскольку у каждой планеты

три пространственные координаты (они выделяют 2793 - мерное конфигурационное

пространство 27 ) и три координаты вектора скорости (они выделяют 2793 - мерное

пространство скоростей). Однако поскольку каждая планета с номером k (планеты нуме-

руются в порядке удаления от Солнца) движется по окружности, то еѐ пространственные

координаты k3,k2,k1, x,x,x удовлетворяют условию 2

k

2

k3,

2

k2,

2

k1, Rxxx , где 2

kR - радиус

орбиты k-й планеты, и поэтому конфигурационная точка х, изображающая положение

всех девяти планет, движется не по всему 27-мерному пространству, а лишь по его огра-

ниченной части – так называемому 9-мерному тору 1119 S...SS . Кроме того, абсо-

лютная величина скорости каждой планеты постоянна: const2

k,3

2

k,2

2

k,1k , k =

1,2,…9. Каждое из этих девяти равенств задаѐт двумерную сферу, а все равенства вместе

выделяют в 27-мерном пространстве скоростей ограниченную часть – 18-мерное «много-

образие» раз 9

2218 S...S .

В итоге в фазовом пространстве выделяется некоторое ограниченное 9+18=27-

мерное множество 189TD , переходящее под действием фазового потока Т в себя:

T(D)=D. Если D0v,0x - фазовая точка для обозначения состояния Солнечной сис-

темы в момент t=0 иU – еѐ произвольная окрестность, т.е. множество всех близких по ко-

ординатам и скоростям положений планет Солнечной системы, то U – область в D, объѐм

которой под действием преобразования Т не меняется. Мы пришли к условию теоремы

x

v

рис.20

21

Пуанкаре о возвращении и можем заключить из неѐ, что через некоторое время все плане-

ты окажутся вблизи своих начальных положений и будут иметь приблизительно началь-

ные скорости: при некотором n точка nT 0v,0x будет лежать в этой же окрестности U,

что и начальная фазовая точка 0v,0x .

Пример 7. Возьмѐм два сосуда, один наполним газом (А), а другой вакуум (В). Что

произойдѐт, если открыть ,соединяющий эти сосуды, кран?

В соответствии со вторым началом термодинамики газ устремиться из сосуда А в

сосуд В и будет перетекать из А в В, пока давление в обоих сосудах не сравняется. Однако

в статической механике считается, что газ в сосуде состоит из большого числа молекул,

взаимодействующих по законам классической механики. Такой газ является замкнутой

(гамильтоновой) системой с большим числом степеней свободы, и поэтому фазовое про-

странство этой системы имеет очень большую размерность. Фазовый поток, определяе-

мый уравнениями движения молекул газа, не меняет областей фазового пространства. А

тогда применима теорема Пуанкаре: фазовая точка подходит с течением времени сколь

угодно близко к своему начальному состоянию, такому, при котором все молекулы газа

перейдут опять в сосуд А.

Итак, через некоторое время газ снова соберется в сосуде А, а в сосуде В вновь бу-

дет вакуум. Возникает явное противоречие со вторым началом термодинамики: из него

следует, что газ соберѐтся снова в сосуде А с вероятностью 0, а теорема Пуанкаре утвер-

ждает, что с вероятностью 1!

Это противоречие носит название парадокса Цермело, по имени математика, при-

думавшего его. Разгадка парадокса состоит в том, что «некоторое время», через которое

повториться исходное (почти исходное) положение молекул газа, больше времени суще-

ствования Солнечной системы.

Задача для самостоятельного решения:

Задача. Что является конфигурационным пространством а) круглого бильярда? б)

трѐх точек прямой , из которых первые две не обгоняют третьей?

22

Бильярд в эллипсе

Некоторые свойства эллипса, гиперболы и параболы

Эллипс Гипербола Парабола

a2MFMF

a2rr:M

21

21

Э

a2rr:МГ 21

lM,FM:MП

222

2

2

2

2

cba ,1b

y

a

x

1a

c

222

2

2

2

2

bac ,1b

y

a

x

1a

c

2pxy2

1

2

2

1

1

d

r

d

r

2

2

1

1

d

r

d

r

1d

r

Бильярдные свойства эллипса

Задача 1. На заданной прямой l найти точку для которой сумма расстояний до двух

заданных точек А и В лежащих по одну сторону от l является наименьшим.

l

F

x

y

p

2p

x b

a

F1 F2

c

y

М

F

l М r2 r1

F1 F2

x

F1 F2

y

2d 1d

2r 1r

a

a F1 F2

x

y

ax

ax

1r 2r

1d

r d l

x

y

x

F1 F2

y l

F

x

y

F1 F2

x

y

a

b

М r2 r1

F1 F2

F1 F2

x

y

2d

23

OBAOBABLALLBAL

Решение: Исходя из принципа наименьшего действия луч света выпущенный из

точки А к l после отражения от l пройдет через В только в том случае, если пройдѐт через

О.

Закон отражения: Точка О на прямой l обладает тем свойством, что АО и ВО яв-

ляются звеньями одной бильярдной траектории: эти звенья образуют равные углы с l

(угол падения равен углу отражения).

Теорема (1 бильярдное свойство). Касательная к эллипсу, проведѐнная в его произ-

вольной точке М, образует равные углы с отрезками MF1 и MF2

, соеди-

няющими оба фокуса с этой точкой.

Доказательство:

М – точка касания прямой l и эллипса, l – касательная к эллипсу. Выберем на l точ-

ку N, которая не будет принадлежать эллипсу. Значит, будет выполняться:

.расстоянийвсех из минимум доставляет М точкаMFMFNFNF 2121

Значит, угол 1 будет равен углу 2. Теорема доказана.

Выводы:

1) Траектория бильярда, проходящая через один фокус после отражения от стенки,

пройдет через другой фокус.

2) Точка М, принадлежащая l, доставляет минимум сумме расстояний, тогда и

только тогда, когда она является точкой касания с прямой l некоторого эллипса с фокуса-

ми в этих точках.

Задача 2. Возьмѐм вырезанный из бумаги круг, поставим на нѐм точку А в любом

месте, отличном от центра, и сложим круг так, чтобы точка А совпала с какой-то точкой

окружности. Разогнѐм листок и снова согнѐм, совместив точку А уже с другой точкой ок-

ружности. Докажите, что если этот бумажный круг перегибать так, чтобы его край всѐ

время проходил через точку А, то огибающая линия будет эллипсом.

F1 F2

М N

l

1

2

рис.22

A B

L С О l

B

рис.21

24

Доказательство: Обозначим буквой О центр круга. Пусть круг сгибается по пря-

мой XY; на точку А попадает точка В края круга, при этом XYAB и прямая XY делит

отрезок АВ пополам. Обозначим буквой С точку пересечения прямых XY и OB (рис. 23).

Тогда АС=ВС, поэтому ОС+АС=ОС+СВ=R, где R – радиус окружности. Следовательно,

при любом сгибе круга сумма ОС+АС постоянна и равна его радиусу. Следовательно,

геометрическое место точек С, движущихся при перемещении точки В по окружности,

является эллипсом Э с фокусами в точках А и О. Из бильярдного свойства эллипса следу-

ет, что все линии сгиба являются касательными к эллипсу Э, поэтому он является оги-

бающей бесконечного множества линий сгиба XY.

Задача 2. Докажите, что если на столе, отбрасываемая лежащим на нем круглым

мячом при его освещении точечным источником света S, является эллипсом. Где находит-

ся фокус этого эллипса?

X

Y

M

A

B

S

A X

B

Y

M

рис.24

А

X

Y O

B

C

A

рис.23

25

Доказательство: Мяч вписан в конус с вершиной S, который пересекается с плос-

костью (столом) по некоторой кривой ; А – точка касания мяча с плоскостью . Впи-

шем в конус ещѐ один шар, касающийся плоскости , но с другой стороны (рис. 24) в точ-

ке В. Пусть М – произвольная точка кривой .Через точку М и вершину конуса S проведѐм

прямую, касающуюся обоих шаров в точках X и Y.Соединим точку М с точками А и В.

Отрезки МА и МХ – касательные к мячу, проведѐнные из одной точки, значит,

МА=МХ. По той же причине МВ=MY. Следовательно,

МА+МВ=МХ+MY=XY,

причѐм длина отрезка XY не зависит от положения точки М на кривой - XY и есть об-

щая касательная к двум шарам. Итак, МА+МВ=const, поэтому - эллипс, что и требова-

лось доказать. Фокусами эллипса являются точки А и В, в частности мяч касается стола

в фокусе отбрасываемой им тени.

Задача 3. Наклоните круглый цилиндрический стакан с водой под некоторым уг-

лом. Докажите, что поверхность воды примет форму эллипса.

Доказательство: Решение этой задачи почти дословно повторяет решение задачи

2. Действительно, если граница поверхности воды есть кривая (рис. 24), то два вписан-

ных в цилиндрический стакан шара, касающиеся поверхности воды в точках А и В, обла-

дают тем свойством, что для любой точки M справедливо равенство

МА+МВ=MX+MY=XY,

где XY – общая касательная к этим шарам, длина которой не зависит от выбора точки М

на .Следовательно, поверхность воды в стакане действительно имеет форму эллипса с

фокусами в точках А и В.

Теорема (2 бильярдное свойство). Звенья траектории бильярдного шара, выпу-

щенного из произвольного фокуса эллипса, асимптотически (в пределе)

стремиться к большой оси эллипса, т.е. после некоторого числа ударов о

борт движение шара будет происходить в сколь угодно малой полосе,

содержащей большую ось эллипса (рис. 25).

Доказательство:

Пусть

211 А и B,A - три последовательные точки ударов шара о борт, причѐм 1А и

2А лежат на верхней половине эллипса, а - 1B на нижней (рис. 26). Тогда, как легко ви-

деть, точка 2А лежит ниже точки 1А , т.е. ближе к большой оси, поскольку

211 ABA це-

ликом содержится в MBA 11 (М – левый конец большой оси эллипса).

F2 F1

рис.25

26

Дальнейшие точки ударов об эллипс будем обозначать ,...A,B,A,B 4332 , причѐм

все точки kB располагаются ниже большой оси эллипса, а все

kА - выше неѐ. При этом

каждая следующая точка kА будет находиться ниже предыдущей

1-kА (поскольку kА

лежит на дуге эллипса MА 1-k), но выше точки М – левого конца большой оси. Докажем,

что при k точка kА стремиться к точке М, - это и будет доказывать данную теоре-

му.

Предположим, что предельной точкой для последовательности 1А ,

2А ,…,kА ,…

является не точка М, а некоторая другая точка, которую обозначим А ; тогда

А лежит

выше большой оси (рис. 26). Это означает, что все звенья траектории k1-k AB с достаточно

большими номерами k сколь угодно близко подходят к отрезку AB , где точка

B ле-

жит на нижней половине эллипса и является пересечением прямой 1FА с эллипсом.

Очевидно, что если вся рассматриваемая нами траектория сколь угодно близко

подходила к отрезку AB , то теперь, двигаясь из

B в А , шар должен отразиться от

эллипса в точке А и почти в точности по тому же отрезку

AB , но в обратном направ-

лении – от А к

B ! Однако при этом шар непременно должен пройти опять через фокус

F1, поскольку он лежит на отрезке AB , хотя по первому бильярдному свойству эллипса

шар после отражения в точке А пойдет по прямой

2FА - через второй фокус. Получен-

ное противоречие доказывает, что А и М должны совпадать: предельное движение шара

должно происходить в сколь угодно малой окрестности большой оси.

Задача 4. На горизонтальном диаметре окружности с центром О выбраны точки О1

и О2, равноудалѐнные от О (рис. 27). Для произ-

вольной выбранной точки Р1 на окружности сто-

ятся точки Р2, Р3, Р4,…, такие что хорды Р1Р2,

Р2Р3, Р3Р4,.. попеременно проходят через точки

О1 и О2. Доказать, что положение хорды РnPn+1

при n стремиться к горизонтальном диа-

метру.

Доказательство: Точки Р1, Р2, Р3 – со-

ставляют два соседних звена ломанной. По за-

данию ОО1=ОО2, приравняем эти отрезки к l, т.е.

ОО1=ОО2= l. Рассмотрим треугольник 32PAO и

сторону О2Р3 обозначим как х (О2Р3 = х).

2sinAsin 2 ,

2sinPAPsin 1

23

АО=ОВ=r, т.к. они являются радиусами окружности, следовательно

F1 F2

N M

A1

A2

A3

A1 A2 A3

F1 F2

A

B

рис.26

О О2 О1

Р1

Р2

Р3

Р4

Р5

А В

рис.27

27

l

r

2sin

AO

2sin

x

2sin

AO

PAPsin

x

Asin 1

2

12

2

23

Затем рассмотрим треугольник 32PBO .

22OAP-ABPBPP 1

23332

,

22B 2

-r

22sin

x

22sin

BO

ABPsin

x

Bsin

12

2

3

2tg

r

-r

2tg

-r

2cos

x

2cos 1212

Аналогично получаются формулы связывающие величины углов для любых других

звеньев ,...2

tg,2

tg,2

tg 321 - последовательность геометрической прогрессии с коэф-

фициентом 002

tg1r

-rq n

n

.

Теорема (3 бильярдное свойство). Любая траектория в эллипсе касается либо эл-

липса, либо гиперболы, софокусных (т.е. с теми же фокусами) с данным

эллипсом. Первый случай реализуется, когда первое (а тем самым и про-

извольное) звено траектории не пересекает отрезка фокусов, а второй

случай – когда первое (а тем самым и произвольное) звено траектории

отрезок фокусов пересекает. При этом во втором случае соответст-

вующие точки касания могут лежать не на самих звеньях ломанных ло-

маной, а на их продолжениях).

Доказательство: 1 случай (эллипс). Пусть А1А и АА2 – два последних звена биль-

ярдной траектории в эллипсе, причѐм отрезок А1А не пересекает отрезка фокусов F1F2

(рис. 28). Из первого бильярдного свойства следует, что 2211 AFAAFA , поэтому отре-

зок АА2 также не пересекает отрезка фокусов F1F2 (рис. 28).

Возьмѐм точку В1, симметричную F1 относительно А1А и проведѐм отрезок B1F2.

Он пересечѐт А1А в точке С1; при этом u1=F1C1+C1F2=B1C1+C1F2=B1F2, а для всякой точки

D на отрезке А1А, отличной от С1, выполнено неравенство u1=F1C1+C1F2<F1D+DF1.

Отсюда следует, что эллипс, софокусный с исходным, для которого сумма расстоя-

ний до F1 и F2 равна u1, касается А1А и притом в точке С1. Аналогичное построение про-

делаем с отрезком АА2 (рис. 28), найдѐм точку С2 и величину u2=F1C2+C2F2. Таким обра-

зом, точка С2 лежит на софокусном эллипсе с const = u2, касающемся АА2.

С1

А

А1

А2 О F1 F2

В1

В2

С2

рис.28

28

Докажем, что точки С1 и С2 лежат на одном и том же эллипсе, т.е. докажем, что

u1=u2. Для этого заметим, что 1221 AFBAFB (по двум сторонам и углу между ними – с

вершиной А), откуда B1F2 = B2F1, т.е. u1=u2, что и требовалось. Итак, отрезки А1А и АА2

касаются одного софокусного эллипса с константой u = B1F2 = B2F1.

2 случай (гипербола). Случай гиперболы рассматривается аналогично. Пусть А1А и

АА2 – два последних звена бильярдной траектории в эллипсе, причѐм отрезок А1А пересе-

кает отрезка фокусов F1F2 (рис. 29). Из первого бильярдного свойства следует, что

2211 AFAAFA , поэтому отрезок АА2 также пересекает отрезок фокусов F1F2 (рис. 29).

Возьмѐм точку В1, симметричную F1 относительно А1А и проведѐм отрезок B1F2.

Он пересечѐт А2А в точке С2; при этом 21111211121 FBCFCFCBCFu , значит точ-

ка 1C является некой точкой гиперболы с фокусами

1F и 2F .

Аналогичное построение проделаем с отрезком АА2 (рис. 29), найдѐм точку С2 и

величину 1222212 FBCFCFu . Таким образом, точка С2 лежит на софокусной гипер-

боле с const = u2, касающейся АА2.

Докажем, что точки С1 и С2 лежат на одной и той же гиперболе, т.е. докажем, что

u1=u2. Для этого заметим, что 1221 AFBAFB (по двум сторонам и углу между ними – с

вершиной А), откуда B1F2 = B2F1, т.е. u1=u2, что и требовалось. Итак, отрезки А1А и АА2

касаются одного софокусной гиперболы с константой u = B1F2 = B2F1

Понятие каустической кривой

Определение. Пусть Q является произвольной выпуклой областью на плоскости,

ограниченная кривой Г, в которой бильярдный шар описывает траекторию …Р-1 Р0 Р1 …

Кривая , лежащая внутри области Q, называется каустикой, если выполнено следующее

условие: из того, что хотя бы одно звено РkPk+1 траектория бильярда …Р-1 Р0 Р1 … касается

, следует, что все остальные звенья этой траектории также касаются кривой (рис. 30).

С1

А1

А2

О F1 F2

В1

В2

С2

рис.29

А

29

Иными словами, траектория бильярдного шара после ка-

ждого отражения касается кривой ,т.е. каустики бильяр-

да Q.

Пример 1. Простейшим примером каустики слу-

жит окружность, которой касается траектория бильярдно-

го шара в круге. В круглом бильярде имеется одно семей-

ство каустик – концентрические окружности.

Пример 2. Если рассмотреть эллиптический биль-

ярд, то у него существует два семейства каустик: это эл-

липсы и гиперболы, софокусные с данным эллипсом.

Некоторые замечания о каустике:

1) Любой бильярд в выпуклой области с достаточно гладкой границей (в каж-

дой точке границы можно провести касательную и в близких точках эти ка-

сательные образуют маленькие углы) имеет много каустик, накапливаю-

щихся в границе.

2) Почти любая непериодическая бильярдная траектория, касающаяся каусти-

ки всюду плотно заполняет область между бортом бильярда Г и этой кау-

стикой. Замечание: из этого следует, что бильярд выпуклой области не явля-

ется эргодичным. Всегда можно найти шар, в которой нет бильярдной тра-

ектории.

3) Если - некоторая выпуклая кривая тогда любую кривую Г, для которой -

каустика, можно получить следующим образом: - длина кривой , S ,

тогда SГ - состоит из множества точек таких что, если в точку А провести

касательную к кривой и найти сумму длин этих касательных и части кри-

вой заключающих между этими концами этих касательных, то сумма будет

постоянной (рис. 31).

Некоторые задачи, решаемые с помощью бильярда в эллипсе

1) Один парадоксальный рисунок, противоречащий основам термодинамики

К парадоксу приводит построение такой теплоизолированной системы, в которой,

напротив, одно из тел с первоначально одинаковой температурой начинает остывать, а

второе – нагреваться. Рассмотрим конструкцию, показанную на рис. 32 и состоящую из

двух зеркальных половин (BC и AD) двух софокусных эллипсов и соединяющих их пря-

молинейных зеркальных перегородок АВ и CD (А и D – концы малой полуоси внешнего

эллипса, В и С - внутреннего). В фокусах F1, F2 помещены два точечных источника тепла,

первоначально имеющие равные температуры; зеркальные стенки конструкции отражают

все лучи (без какого-либо поглощения). Согласно первому бильярдному свойству эллипса,

все тепловые лучи, выходящие из источника F1, частью отразившись о стенки AD, попа-

Q А

z

x

y

Г

рис.31

Г

рис.30

30

дают в точку F2. Если бы все тепловые лучи,

щие из второго источника F2, попадали бы в точку F1,

то тогда оба источника не меняли бы со временем

свою температуру.

Однако не все лучи из F2 попадают в F1. На

рис. 32 изображена одна из траекторий луча F2MNF2,

который после отражения в точке М внешнего эллип-

са попадает в перегородку DC (двигаясь при этом в

направлении фокуса F1) отражается от неѐ в точке N и

… попадает снова в F2! То же самое происходит и с

лучами, попадающими сначала в перегородку, отра-

жаясь от неѐ и после второго отражения от внешнего

эллипса снова попадающими в F2 (на рис. 32 изобра-

жена одна из траекторий, отражающаяся от перего-

родки АВ).

В результате тело F2 получает, кроме лучей от

тела F1, часть своих собственных лучей, и поэтому нагревается; тело же F1 остывает. На-

лицо явное нарушение второго начала термодинамики. Для решения данного парадокса

рекомендуется заменить точечные источники маленькими кружками.

2) Освещение области.

Поставим задачу: каким наименьшим количеством точечных источников света

(лампочек) можно осветить внутренность ограниченной области на плоскости? Гра-

ница области представляет собой замкнутую несамопересекающуюся кривую L на

плоскости; таким образом, двигаясь по кривой L, мы будем оставлять область всѐ время

по одну сторону от L.

Решение: Конечно же, если область является выпуклой (т.е. с каждыми двумя

точками А, В весь отрезок АВ принадлежит области), то достаточно одной лампочки, ко-

торую можно поместить в произвольном месте (рис. 33). Действительно, если точка О –

лампочка, а А – произвольная точка области , то луч ОА освещает точку А; таким обра-

зом, все точки области освещены лампочкой О.

Если же область невыпуклая, тогда одной лампочки для освещения области мо-

жет не хватить: на рис. лампочка О не освещает ни одной точки А, лежащей в заштрихо-

ванной области.

3) Алгоритм построения невыпуклой области, которую можно осветить не менее,

чем n источниками.

а) Пусть 1 – «телефон» (рис. 34).

А

А

О

рис.33

F1

F2

А В C D

M

N

рис.32

1 F2 F1 А В

Левая мочка Права мочка

рис.34

31

Свойство 1: любая траектория, выпущенная из одной из мочек, не может пересечь

F1F2, т.е. если источник в одной из мочек, то отрезок F1F2 – не освещается.

б)Пусть 2 – «телефон с ямкой» (рис.35).

Свойства:

1) Любой источник, находящийся в

ямке, не освещает мочки.

2) Если же источник находиться в

одной из мочек, то ямка остаѐтся не осве-

щѐнной.

3) На самом деле такую область, как

«телефон с ямкой», можно осветить и одним

источником.

Доказательство: Для доказательства того, что лампочка, помещѐнная в середину

М дуги эллипса, осветит всю область 2, достаточно доказать, что полностью будут осве-

щены обе мочки телефона (вся остальная часть области 2 освещается лампочкой напря-

мую).

Рассмотрим для доказательства набор специально выбранных лучей, выходящих из

М. Первый луч выберем выходящим из М в сторону центра О1 левой мочки (рис. 36).

Проходя через центр полуокружности О1, луч МО1 отражается от неѐ в точке К1 и движет-

ся в противоположном направлении К1М попадает в точку М, отражается от дуги эллипса

в этой точке, проходит затем через центр О2 правой мочки (полуокружности) и, отразив-

шись от правой полуокружности в точке К2, движется опять в обратном направлении К2М,

чтобы после отражения в точке М начать снова двигаться по МК1. Таким образом,

МК1МК2М – периодическая бильярдная траектория.

В качестве второго луча, выпущенного из лампочки М, выберем такой, который

после отражения в точке N1 левой мочки пройдет через левый фокус эллипса F1. Такой

луч найдѐтся, поскольку луч, идущий из М в А – левый конец большой оси (рис. 36), по-

сле отражения попадѐт в некоторую точку левой мочки, а луч, идущий из М в К1, отража-

ется в К1 в обратном направлении; таким образом, некоторый луч =MN1, лежащий между

лучами МА и МК1, после отражения пройдѐт через F1.

Далее, луч отразиться от дуги эллипса (в точке N2) и попадѐт во второй фокус эл-

липса F2.

Наконец, рассмотрим все лучи, расположенные между лучом МК1. Поскольку лучи

и МК1 определяют на правой мочке точки F2 и К2, то все лучи между ними заполняют

целиком всю дугу F2K2 полуокружности. Соединив F2 и К2 отрезком, находим, что все

рассмотренные лучи освещают полностью сегмент круга F2K2 (он заштрихован на рис.36).

Значит, вся правая мочка области 2 полностью освещена лампочкой М. Из сим-

метрии следует, что по тем же по соображениям освещена и вся левая мочка. Итак, об-

ласть 2 полностью освещена одной лампочкой, помещѐнной в точку М. Задача решена.

F2 F1 F1 F2

M M

A B O1 O2

N2

K2 N1

K1

рис.36

1 F2 F1 А В

рис.35

32

в) 3 – «склеенный телефон»

(рис.37).

Утверждение: область 3 невозможно

осветить с помощью одного источника.

г) 4 – «склеенная группа телефонов»

(рис 38).

На каждую область - «телефон» нуж-

но для еѐ освещения не менее одной лам-

почки, которая должна располагаться в этой

области. Значит, для полного освещения

всей области 4 нужно не менее 2N лампочек. Поэтому, если 2N>n, то область не может

быть освещена n лампочками.

Можно телефоны склеивать в бесконечном количестве. Но тогда область - не ог-

раниченная, тогда можно уменьшать размеры склеиваемых «телефонов», при этом грани-

ца будет иметь особую точку.

Утверждение. Область ограничена замкнутой гладкой кривой всегда может

быть освещена конечным числом точечных источников. Если граница имеет хотя бы одну

особую точку, т.е. не является гладкой, то можно построить область, которую нельзя осве-

тить конечным числом источников.

Общий принцип экстремальности бильярдной траектории и его следствия

Теорема (Общий принцип экстремальности бильярдной траектории). Если ломан-

ная АМВ с данными концами А и В и точки излома М, принадлежащей

данной кривой , имеет наименьшую и наибольшую (т.е. экстремальную)

длину среди всех близких к ней двузвенных ломанных с точками излома на

кривой и теми же концами А и В, то эта ломанная является траекто-

рией бильярдного шара, ведущей из точки А в точку В после отражения

от борта, имеющего форму кривой .

Доказательство: Кривая в точке М касается какого-то эллипса 0SГ с фокусами А

и В. Следовательно, касательная l к кривой в точке М является одновременно и каса-

тельной к эллипсу 0SГ . Но углы, образованные звеньями АМ и ВМ ломаной АМВ с каса-

тельной l к эллипсу, равны между собой. Это и означает, что АМВ – бильярдная траекто-

рия с бортом .

рис.38

рис.37

33

Пример. Пусть - окружность, А и В – фиксированные точки внутри этой окруж-

ности. Тогда из семейства SГ софокусных эллипсов с фокусами А и В выделяются че-

тыре эллипса 4321 SSSS Г ,Г ,Г ,Г , два из которых касаются окружности внутренним обра-

зом – пусть это эллипсы 21 SS Г и Г , а два эллипсы

43 SS Г и Г - внешним образом. Возник-

шие четыре точки касания 4321 M ,M ,M ,M (рис. 39) являются точками столкновения с

бортом бильярдного шара, который из точки А после одного удара о борт попадает в

точку В, и доставляющие: точки 21 M и M - локальный минимум длины ломанной АМВ,

точки 43 M и M - локальный максимум этой длины.

Принцип экстремальности бильярдной траектории является частным (и простей-

шим) случаем одного из основных принципов классической механики и оптики – принци-

па наименьшего действия, или экстремального принципа Ферма. В оптике принцип Ферма

состоит в том, что свет выбирает из всех возможных путей, соединяющих две данные точ-

ки, то путь, который требует наименьшего времени прохождения. Применительно к биль-

ярду этот принцип можно сформулировать так: бильярдный шар «умный» и выбирает са-

мый короткий из всех возможных путей (мы считаем раз и навсегда скорость бильярдного

шара постоянной, поэтому мимнимальность длины его траектории эквивалентна мини-

мальности времени его движения по этой траектории). Фактически этот принцип для

бильярдного шара нами обоснован выше чисто математически. Оказывается, всю класси-

ческой механику можно строить как геометрическую оптику многомерного пространства,

основываясь именно на принципе Ферма, носящего в механике название «принцип Га-

мильтона».

Закон Снелиуса – Декарта. Пусть есть граница двух сред, где 21, - скорости

распределения света в средах соответственно. Вычислим время, за которое луч света из А

попадает в В.

Решение: Пусть t – это время за которое луч

пройдѐт из точки А в точку В (рис.40).

2

2

1

1

21 cos

1BC

BC

1cos ,

cos

1AC

AC

1cos ,

CDAC t

,

значит 2211 cos

1

cos

1t

.

А В

М А В

М2(min)

М4(max)

(min)М1

М3(max)

рис.39

A

B

C

D

K

1

2

1

2

a

рис.40

34

KBKC

KB tg,AD

DK

ADtg 21 просуммируем

21 tgи tg и получим:

aKBAD tg tg 21 . Для решения задачи нужно t устремить к минимуму,

значит, мы получим задачу на условный экстремум:

0atgtg

mincos

1

cos

1t

21

2211

Решим данную задачу.

atgtgcos

1

cos

1,, 21

2211

21

L

atgtg

0cos

1

cos

sin

0cos

1

cos

sin

21

2

2

22

2

2

1

2

11

1

1

L

L

, значит

2

2

1

1

sin

sin-

2

1

2

1

sin

sin

- Закон Снелиуса – Декарта.

Теорема (Гюйгенса). Рассмотрим волновой фронт tA точки А через время t.

Посмотрим для каждой точки Х этого фронта, считая их источниками

света, волновой фронт X через время . Тогда волновой фронт

tA точки А через время t будет огибать все построенные

фронты X ( tX A (рис. 41).

Доказательство: Рассмотрим точку Y на фронте tA

точки А через время

t . Тогда существует путь из А в Y, по которому время распространения света равно

t , и нет более короткого пути. Рассмотрим на этом пути точку Х, до которого свет

идѐт время t. Никакого более короткого пути из А в Х не может быть, так как в противном

случае путь из А в Y не был кратчайшим (его можно было бы укоротить). Значит, точка Х

лежит на фронте tA . Точно так же, путь XY свет проходит за время , и из точки Х в

точку Y нет более короткого пути. Следовательно, точка Y лежит на фронте X точки

Х за время .

Докажем, что фронты tA и X касаются друг друга в точке Y, а не пре-

секаются. Если бы они не пересекались (рис. 41), то в некоторое время точки фронта

tA луч мог бы из точки Х добраться за время, меньше , а значит, из точки А – за

А

Х X

tA

tA

А

Х Y

tA

tA

А Х Y

tA

X

рис.41

35

время, меньше t . Это противоречит определению фронта tA. Итак, фронты

tA и X касаются друг друга в точке Y, что и требовалось доказать.

Периодические бильярды выпуклой области

Задача. В любой ли выпуклой области с гладкой границей существует периодиче-

ская бильярдная траектория? Если да, то, сколько звеньев может иметь эта периодическая

траектория?

Решение: Для решения этой задачи попробуем найти

двухзвенную периодическую траекторию нужно поступить

следующим образом. Для каждой пары точек принадлежа-

щих границе вычислить расстояние между этими точками

и найти максимальный и минимальный из всевозможных та-

ких расстояний, при этом точка х не должна совпадать с точ-

кой y. Эта задача всегда имеет решение в силу того, что рас-

стояние – это функция непрерывная, а значит, минимум и

максимум существует по теореме Вейерштрасса.

yxyxyx ,, ,, 0000

касательная, проведенная к перпендикулярна к прямой

00 yx . Если же касательная не перпендикулярна, то

0000 ,, yxzx из этого следует противоречие, значит,

00 , yx являются вершинами двухзвенной ломанной, которая

будет являться периодической траекторией (рис. 42).

Аналогично, точки доставляющие минимум расстояния между точками 00 и yx бу-

дут давать бильярдную траекторию, которая тоже периодическая.

Теорема (Биркгофа). У бильярда в любой выпуклой области Q на плоскости, огра-

ниченной замкнутой гладкой кривой Г, существуют периодические биль-

ярдные траектории с любым числом звеньев 3n .

Доказательство: Пусть число n фиксировано. Посмотрим конкретную периодиче-

скую бильярдную траекторию из n звеньев. Рассмотрим всевозможные вписанные в Q

замкнутые ломанные , число сторон, у которых не превосходит n (в рассмотрение вхо-

дят вписанные трѐхзвенные, четырѐхзвенные,…, n-звенные ломанные). Выберем среди

них ту ломанную 0 , у которой периметр максимален, и докажем, что ломанная 0 имеет

ровно n звеньев.

Действительно, если бы число звеньев у неѐ было меньше n, то еѐ периметр можно

было бы увеличить, заменив произвольное еѐ звено 21PP на ломанную 201 PPP с вершиной

0P на дуге между 21 P и P .

Докажем теперь, что 0 - бильярдная траектория в области Q, т.е. при всех k по-

следовательные звенья ломаной k1-k PP и

1kkPP образуют равные углы с касательной К Г в

точке kP (рис. 43).

Из максимальности периметра ломанной 0 следует, что сумма 1k1-k PPPP для

всех точек Р на дуге 1kk1-k PPP кривой Г максимальна именно при

kPP , иначе периметр

ломанной 0 можно было бы увеличить.

0z

0y

0x

0x

0y

рис.42

36

kP 1kP

1-kP

Г

l

рис.43

Рассматривая семейство эллипсов S с фокусами в

точках 1k1-k Р и P , найдѐм тот эллипс

0S , который касается

кривой Г в некоторой точке Р – такой эллипс обязательно

найдѐтся, так как наша кривая гладкая и выпуклая. Но тогда

ясно, что сумма 1k1-k PPPP максимальна по всем точкам Р,

лежащим на дуге Г между 1k1-k Р и P : для любой другой точки

соответствующей ей эллипс из семейства S пересека-

ет кривую Г и лежит строго внутри эллипса 0S , поэтому

1k1-k1k1-k PPPPMPMP . Отсюда вытекает, что касание

эллипса 0S с кривой Г происходит именно в точке

kPP . А

тогда из первого бильярдного свойства эллипса следует, что звенья k1-k PP и

1kkPP обра-

зуют равные углы с прямой l, являющейся одновременно касательной, как к эллипсу 0S ,

так и к кривой Г в точке kP и поэтому

k1-k PP и 1kkPP - два звена бильярдной ломаной в

области Q. Теорема доказана полностью.

Периодический бильярд в остроугольном треугольнике

Теорема (Фаньяно). В любом остроугольном треугольнике существует периодиче-

ская траектория, а именно, одной из таких траекторий является тре-

угольник, вписанный в этот исходный треугольник, причѐм, этот впи-

санный треугольник имеет минимальный периметр среди всех вписанных

в этот треугольник треугольников.

Доказательство: 1) Пусть FGH - это тре-

угольник вершинами которого являются основания

высот ABC . Покажем, что FGH является биль-

ярдной траекторией. Для этого построим высоты

данного остроугольного треугольника. Они буду

пересекаться в какой-то точке, которую мы обо-

значим через О. Затем проведѐм две окружности с

диаметрами ОВ и ОА. Тогда 21 как вписан-

ные углы в окружности, опирающиеся на одну и ту

же дугу AF, аналогично, 43 так как опира-

ются на дугу BH. Если рассмотреть 3 и 2 , то

оказывается, что они равны как вертикальные уг-

лы. Значит FGH образуют равные углы со сто-

ронами ABC , а следовательно FGH является

бильярдной траекторией.

2) Докажем, что периметр FGH является

минимальным. Для этого применим метод вы-

прямления, заметим, что CBA образуется поворотом на 360 . Удвоенный периметр

треугольника, образованного основаниями высот, равен FF и равен UU . Удвоенный

периметр любого другого треугольника будет являться ломаной, соединяющий точки

U и U . Из этого следует, что периметр построенного треугольника будет минимальный.

Замечание. Если к найденному выше треугольнику построить ломанную с парал-

лельными звеньями, то мы получим ещѐ одну периодическую бильярдную траекторию.

Периметр соответствующей ломаной будет в два раза больше, чем периметр треугольни-

1

4

2

3

A C

G H

F

O

B

рис.44

37

ка, причѐм таких замкнутых периодических траекторий можно построить бесконечное

число.

Периодический бильярд в тупоугольном треугольнике

Задача. Может ли бильярдная траектория «запутаться» в остром угле и остаться

там навсегда или бильярдная траектория обязательно выйдет из этого острого угла, со-

вершив какое-то количество отражений от стенок этого угла?

Решение: Для решения этих вопросов применим метод выпрямления.

Для этого найдѐм симметричные копии для углов . Очевидно, что возможные

бильярдные траектории после выпрямления может лежать

только в заштрихованной области Q. Это означает, что по-

сле конечного числа соударений о стенки угла, бильярдная

траектория перестаѐт ударяться о стенки угла. Вычислим

максимальное количество вершин (точек соударения) биль-

ярдной траектории. Величина :Q , а каждый угол со-

ставляет радиан, следовательно, максимальное количе-

ство соударений не превосходит числа 1

. Если

делиться на , то максимальное количество ударов бу-

дет равно 2 . Если не делиться на , то максимальное

количество ударов равно 12 . Итак, пусть N – количе-

ство ударов такое, что 0NN0 , тогда всѐ выше сказанное можно выразить так:

2 ,1

2

2 ,

2N0

Теорема (о периодичности бильярдной траектории в тупоугольном треугольнике).

Для любого натурального числа n существует тупоугольный C , в

котором любая периодическая бильярдная траектория имеет больше,

чем n звеньев.

Доказательство: Пусть n , тогда

1. подберѐм два числа и так, чтобы число

n;min,

2. причѐм ,, - рационально независимы, т.е. из того, что

0smk , где s m, k, следует, что 0smk . Если хотя бы

одно из чисел s m, k, отлично от нуля, то 0smk .

Выражение

,1

,N0 , можно пере-

писать как

, 1

,

0 . Построим ту-

поугольный треугольник с острыми углами и .

рис.45

А

В

С

Х Y

рис. 46

38

Покажем, что любая периодическая бильярдная траектория будет обязательно содержать

звено XY такое, что , C . Предположим противное: пусть есть

ская бильярдная траектория, в которой нет такого звена, т.е. боковая

ниебоковая сторонаоснование…

рис. 47

Рассмотрим бильярдную траекторию, попавшую в (рис. 47), тогда 1 -

по закону упругого удара, 21 - как накрест лежащие, 43 - по закону упругого

удара, так же 3 , 242 ,тогда 2 .

Затем рассмотрим бильярдную траекторию, попавшую в (рис. 47), тогда

21 , аналогично предыдущему случаю, 2 , следовательно

m2n20 . Так как мы рассматриваем периодическую бильярдную траекторию,

то через конечное число шагов n и m мы попадѐм в ту же самую вершину и угол, который

будет получен через n и m шагов будет отличаться от начального угла 0 на величину,

кратную 2 , т.е.

0-mn

m2n22 00

Из этого следует, что ,, - рационально зависимы, приходим к противоречию.

Значит, любая бильярдная траектория содержит в себе звено, соединяющие две бо-

ковые стороны. Звено XY может быть параллельно основанию АС или если ACXY , то

угол, который образует прямая XY с основанием АС, будет меньше или . Но тогда

бильярдная траектория будет иметь количество звеньев не меньшее максимального числа

соударений о стороны угла или . Это следует из метода выпрямления: так как коли-

чество звеньев в периодической траектории не может быть меньше, чем и , а

значит оно будет больше либо равно n.

Замечание. В тупоугольном треугольнике вопрос о существовании о периодиче-

ской бильярдной траектории, остаѐтся открытым, но по доказанной теореме всегда можно

построить остроугольный треугольник, в котором любая периодическая бильярдная тра-

ектория не может иметь больше чем задуманное количество звеньев.

Геометрия прямоугольного бильярда. Периодические тра-ектории в прямоугольнике

Задача. Найдѐм различия траекторий с чѐтным и нечѐтным числом отражений.

Решение: Рассмотрим бильярд в прямоугольнике, с помощью отражений заполним

всю плоскость прямоугольниками, равными данному, получив решѐтку из прямоугольни-

ков. Нарисовав на этой плоскости произвольный луч, не проходящий ни через одну из

вершин получившихся прямоугольников, мы можем с помощью процедуры, обратной

описанной, «сложить» этот луч в траекторию бильярда в исходном прямоугольнике

1

3

2

4

1

2

39

ABCD (рис. 48). Заметим, что при таком «складывании» решѐтки прямоугольников в ис-

ходный прямоугольник ABCD в каждую точку М прямоугольника ABCD попадает беско-

нечно много точек nm,M плоскости – именно, все те точки, которые получаются из М опи-

санными выше отражениями (рис. 48).

Если траектория, выходящая из точки М под углом к стороне АВ, периодична,

то это означает, что после выпрямления из этой траектории получиться прямая, проходя-

щая через М и через одну из точек 00 n,mM . Если нумеровать точки nm,M индексами m и n,

как указано на рис. , то точка 00 n,mM должна быть такой, что 0m и 0n - чѐтные числа.

Именно в этом случае бильярдный шар проходит через ту же точку М под прежним углом

: номера 0m и 0n показывают, сколько нужно сделать отражений относительно верти-

кальных и горизонтальных сторон прямоугольников, чтобы получить из точки 00 n,mM

точку М; при этом нечѐтное число отражений меняет направление, чѐтное же не меняет

(рис. 48).

Теорема (критерий периодичности бильярдной траектории в прямоугольнике).

Любая неособая траектория выходящая под углом к стороне прямо-

угольника ABCD является периодической в том и только в том случае,

когда ktg является соизмеримым с ba , где a и b линейные размеры

ABCD.

Доказательство: Действительно, только что было выяснено, что периодичны те и

только те траектории, которые (после выпрямления) соответствуют прямым, идущим из

А В

D C

B A

a

А В

C D

M 10M

11M

21M

б

в

рис.48

40

точки М в одну из точек вида 2m,2nM . Заметим теперь, что точка 2m,2nM получается из М

сдвигом на вектор AD2nABm2 , так что m,2n2 имеет катеты с длинами

12maMK и 2m,2n2 na2 . Таким образом,

1

2

1

2

a

a

n

m

2na

2matgk ,

т.е. k соизмеримо с 12 aa , т.е.

1

2

a

a

n

mk , то любая прямая, выходящая из точки М с тан-

генсом угла наклона k, проходит через точку, получающуюся из М сдвигом на вектор

AD2nABm2 , т.е. через точку 2m,2nM . Если эта прямая не проходит через вершины

прямоугольников, то соответствует неособая периодическая траектория, что и требова-

лось доказать.

Замечания:

Условие теоремы иначе: если обозначим угол между диагональю и основа-

нием, то чтобы Г была периодической необходимо, чтобы Qtg

tg

0

.

Периодичность не зависит от начального положения точки, а зависит только

от направления.

Любая периодическая бильярдная траектория порождает целое семейство

периодических траекторий – это семейство содержит параллельные звенья.

Задачи для самостоятельного решения:

Задача 1. Докажите, что у всех неособых параллельных бильярдных траекторий в

прямоугольнике равное количество звеньев и равные длины.

Задача 2. Найдите необходимое и достаточное условие периодичности бильярда в

прямоугольном треугольнике и в равностороннем треугольнике.

Задача 3. Что можно сказать про периодичность особых бильярдных траекторий,

если считать, что отражѐнный луч из вершины прямоугольника является обратным к лучу,

который попадает в эту вершину?

M M

К

С

2m,2n

а б рис.49

41

Обмотки тора и бильярд в прямоугольнике

Определение 1. Тором называется поверхность, получающаяся при вращении ок-

ружности 1S относительно непересекающей эту окружность прямой MN, лежащей в плос-

кости окружности (рис. 50).

Способы построения:

«склеивание» - рассмотрим прямоугольник с линейными размерами a и b,

будем считать его резиновым; как показано на рис. Склеим сначала стороны

обозначенные за а, в соответствии с заданными направлениями, а затем

склеим стороны b аналогично. И в итоге получим искомую фигуру. Зафик-

сировав меридиан и параллель, можно ввести на нем долготу 1 , отсчиты-

ваемую по параллелям от выбранного меридиана, и широту 2 , отсчиты-

ваемую по меридианам от экватора.

«формальный способ» - 1212111 S,:,SS

Рассмотрим теперь простейшее движение точки по тору: пусть точка А движется

так что еѐ широта и долгота меняются равномерно – с посто-

янными скоростями 1 и

2 . В этом случае можно написать

формулы для зависимости 1 и

2 от времени t:

t11 , t22

Здесь имеется в виду, что, как и в тригонометрии, мы позволя-

ем координатам 1 и

2 принимать произвольные (большие

2 и отрицательные) значения, однако не забываем, что для

любых целых m и n точка с координатами n2m,2 21

совпадает с точкой 21, . Так как 11 SS , где

1S - еди-

ничная окружность, то

1122 t,t

11

1

2

1

21

1

21

1

22

.

Учтем теперь, что в действительности мы должны считать, что 1 и

2 меняются

от 0 до 2 , так что только точка, движущаяся по этой прямой, доходит до одной из сто-

рон квадрата, являющегося карой тора, эта точка «перетаскивает» в соответствующую

точку противоположной стороны квадрата и продолжает двигаться по квадрату в том же

направлении, что и раньше – до следующего перескакивания (рис. 51). Таким образом, на

карте соответствующий «маршрут» - траектория движения – состоит из отрезков, парал-

лельных друг другу; после склейки квадрата в тор эти отрезки склеиваются в непрерыв-

2

2

0 1

2

рис. 51

a

a

a

b b b

b

a a

меридиан

параллель

рис.50

42

ную кривую на торе – она обматывает тор с «угловыми» скоростями 1 по экватору и

2

по меридиану.

Определение 2. Траектория движения точки на торе мы будем называть траекто-

рией обмотки тора с частотами 1 и

2 .

Задача 2. Выясним, когда траектория обмотки тора с частотами 1 и

2 является

периодической.

Решение: Если 01 , то траек-

торией является меридиан, и движение

по нему периодично с периодом

22 2 . Если 02 , то происхо-

дит периодическое движение по парал-

лели. Пусть обе частоты отличны от ну-

ля. Тогда через промежутки времени,

кратные 11 2 , движущаяся точка

оказывается на одном и том же мери-

диане, а через промежутки времени,

кратные 22 2 , точка оказывается

на одной и той же параллели. Движение периодично тогда и только тогда, когда через не-

которое время Т точка окажется в своем первоначальном положении, т.е. на тех же парал-

лели и меридиане. Для этого нужно, чтобы этот промежуток времени Т был кратен как 1 ,

так и 2 , т.е.

1m и 2n с целыми m и n. Таким образом, необходимое и достаточ-

ное условие периодичности движения – это существование натуральных m и n таких, что

21 nm , т.е. 21 2n2m .

Теорема. Траектория обмотки тора является периодической Q2

1

.

Определение 3. m

n

2

1

- несократимая дробь, тогда пара (n,m) называется циклом

траектории обмотки тора.

Всюду плотность траектории обмотки. Понятие обмотки тора

Теорема. Если число 12 иррационально, то любая траектория соответ-

ствующей обмотки тора всюду плотна на торе, т.е. проходит через лю-

бую сколь угодно малую область на торе.

Доказательство: Пусть U – произвольная область на торе; проведѐм меридиан S

тора, пересекающий область U по дуге (рис. 53), и рассмотрим последовательные точки

пересечения траектории обмотки тора с этим меридианом - ,...., 10 Точка, двигаясь вдоль

траектории, возвращается на меридиан S через промежутки времени, равные 11 2 .

За каждый такой промежуток времени долгота точки 2 меняется на одну и ту же вели-

чину

22

1

212 . Это означает, что точка

n пересечения траектории с ме-

ридианом S получается из предыдущей точки пересечения 1-n поворотом на угол

2 вдоль этого меридиана. В случае иррациональности из теоремы Якоби вы-

a б

рис.52

43

текает, что хотя бы одна из точек n попадет на дугу . Следовательно, траектория пере-

сечѐт область U, что и требовалось доказать.

Выводы:

Если число Q2

1

, то траектория обмотки тора является периодиче-

ской или замкнутой.

Если 2

1

, то траектория обмотки тора не является замкнутой.

Если 2

1

, то траектория обмотки тора всюду плотно заполняет по-

верхность тора.

Траектория обмотки тора (периодичность или не периодичность) не зависит

от начального положения движения точки, а зависит только от отношения

12 .

Определение. Семейство траекторий, для которых 12 одинаково называются

обмоткой тора. Итак, обмотка тора – семейство параллельных траекторий обмоток тора.

Бильярд в прямоугольнике и обмотке тора

Применим метод выпрямления к бильярду в прямоугольнике в сетке прямоуголь-

ников, выделим произвольный прямоугольник, состоящий из четырѐх прямоугольников.

Его будем называть фундаментальным прямоугольником и обозначим за . Будем рас-

сматривать выпрямленную траекторию не на всей плоскости, а в фундаментальном пря-

моугольнике. Тогда мы увидим следующую закономерность: выпрямленная траектория в

фундаментальном прямоугольнике будет состоять из параллельных отрезков, концы кото-

рых склеиваются по закону склейки тора, а значит, этой траектории будет соответствовать

некоторая траектория обмотки тора.

Найдѐм частоты соответствующей обмотки тора. Пусть большой шар движется со

скоростью 1

под углом , следовательно sin,cos, yx . Подсчитаем тогда

период движения b частоты по меридиану и по параллели:

U

S

U

S

рис.53

44

cos

b2,

sin

a221 соответственно,

a

sin2

1

1

,

b

cos

b2

cos22

2

2

, где 2 -

полный оборот, а 1 ,

2 - время, за которое со-

вершается полный оборот. Траектория обмотки

тора является периодической, если частоты со-

измеримы, т.е.

Q

b

a

tgQ

cos

b

a

sinQ

2

1

.

Выводы:

Результат полностью соответствует критерию периодичности, т.е. Q

ba

tg

Если

ba

tg

2

1

, т.е. обмотка тора не является периодической, значит

бильярд в прямоугольнике не может быть периодическим.

Если

ba

tg

2

1

, следовательно траектория обмотки тора является не пе-

риодической и всюду плотной в этом торе Т, и следовательно всюду

плотно заполняется в выпрямленной траектории, а значит бильярд в исход-

ном прямоугольнике будет всюду плотным.

Замечание: Любая непериодическая бильярдная траектория в прямоугольном

бильярде всюду плотна.

Задача («Задача о зайцах»). В некотором узле О квадратной решѐтки находиться

охотник, а в остальных узлах сидят одинаковые и одинаково расположенные зайцы –

кружки радиуса с центрами в этих узлах. Охотник наугад стреляет (траектория пули –

луч , выходящий из точки О). Вернѐтся ли он домой с добычей?

Решение: Если траектория пули проходит через узел, отличный от точки О, то за-

яц, сидящий в этом узле, будет убит «в самое сердце» (в центр кружка). Поэтому интере-

сен только тот случай, когда узел О – единственный на траектории пули, т.е. тангенс угла

наклона луча к оси Ох и рационален. Оказывается, что и в этом случае какой-нибудь

заяц будет убит, обозначим точки пересечения луча с вертикальными прямыми сетки

через ,...,...,,,0 n210 (рис. 55). Совместим все квадраты решѐтки, которые пересе-

кает луч , с квадратом OMNK, тогда каждая точка n перейдѐт в некоторую точку

n

на стороне MN. Найдутся такие точки m и

km , расстояние между которыми будет

меньше . Будем считать, что этот луч является выпрямленной бильярдной траекторией в

квадрате. Так как луч не проходит ни через одну вершину, т.е. она является не периодиче-

ской, следовательно, она всюду плотно заполняет этот квадрат, а значит, что бильярдная

б

а

рис.54

45

траектория является всюду плотной. Значит найдется узел такой , что бильярдная траекто-

рия попадѐт в шар, центром которого является этот узел.

Задача (о пеленге). Пусть на плоскости даны две различ-

ные точки 1A и

2A . Около этих точек вращаются прямые 1 и

2

с постоянными угловыми скоростями 1 и

2 . Пусть М(t) – точка

пересечения прямых 1 и

2 в момент времени t. Требуется опи-

сать траекторию движения точки М(t), которую мы назовѐм «кри-

вой пеленга».

Решение: 1 случай. Пусть прямые параллельны, тогда бу-

дем считать, что точка, в этом случае, у ходит на бесконечность.

2 случай. Пусть прямые не являются параллельными, тогда

они будут пересекаться в некоторой точке М(t). Если периоды

вращения 11 2T и 22 2T соизмеримы, то, очевидно,

движение точки М(t) будет периодическим – повторяющимся че-

рез некоторый промежуток времени. Однако нарисовать соответствующие кривые не так

уж просто, тогда мы рассмотрим более простой случай 21 .

Если 21

, т.е. движение прямых 1 и

2 происходит с одинаковыми угло-

выми скоростями и в одном направлении, то из рис. 57 видно, что углы t 21 и

поэтому 2121 MAAAMA . Следовательно, в этом случае точка М(t) вижется по дуге

окружности, проходящей через точки 1A и

2A . Какая именно это дуга, зависит от началь-

ных положений прямых 1 и

2 . Нетрудно показать, что после перехода прямой 2 через

положение 2A 1A точка М продолжает двигаться по дуге той же окружности, что и рань-

К

М

N

0O

2

1

4

3

К N

M O

1

2

3

4

рис.55

1A 2A

ttMM tMM

1A 2A

М M

рис. 57

1A

M

2A

1 2

1 2

рис. 56

46

ше. Таким образом, «пеленг» с частотами 21 проходит по окружностям, проходящим

через точки 1A и

2A .

В случае 21 кривые пеленга будут гиперболами, проходящими через точки

1A и 2A .

Задача для самостоятельного решения:

Задача. Попробуйте нарисовать какие-нибудь кривые пеленга с 21 2 .

Теорема. Если 1 и

2 несоизмеримы, то любая кривая пеленга всюду плотно за-

полняет всю плоскость, т.е. пересекает любой круг на плоскости.

Доказательство: Рассмотрим функцию f, переводящую тор в пространство 2 .

Тогда M, 21 f - точка пеленга, таким образом тор является конфигурационным про-

странством для точек пеленга. Пусть 1 и

1 изменяются по закону:

222

111

t

t

.

То есть будет получена некоторая траектория обмотки тора, где 21,tM f .

Движение точек на тое соответствует движению пеленга, т.к. 2

1

, то траектория об-

мотки тора является не периодической, а значит она всюду плотно заполняет этот тор.

Число и бильярд

Автор метода, выдающийся математический бильярдист, Гальперин Г. А. Положим

на числовую ось два бильярдных шара с массами M и m (M>m), и будем предполагать,

что в начале координат х=0 расположена абсолютно упругая стенка, отражающая нале-

тающий на неѐ шарик. При отражении от стенки скорость шарика меняется на строго про-

тивоположную. Размеры шариков несущественны, и для простоты мы будем считать их

точечными частицами. Фиксируем натуральное число N. Следующая процедура позволяет

определить любое наперѐд заданное количество N последовательных цифр числа π:

1. Массы m и M подбираем так, чтобы M/m=100N

2. Шар m располагаем между стенкой х=0 и шаром М

3. Запускаем шар М в сторону шара m с произвольной скоростью

4. Подсчитываем общее количество ударов в системе (т. е. число столкновений

между шарами и число отражений шара m от стенки)

5. Записываем полученное число в десятичной системе и обозначаем его через

π(N)

1A 2A

1 2

M

1

2 М Т

рис. 58

47

рис. 59

Теорема: а) число ударов в описанной динамической системе всегда конечно и не

зависит от начальных положений шаров и начальной скорости шара М. б) Число π(N) уда-

ров в системе равно

N

N десятичных знаков

N 10 3,14159265358979323...

Указания: Для доказательства части а) сведѐм описанную динамическую систему

к бильярду в угле величиной N10 . Траектория этого бильярда оказывается парал-

лельной одной из сторон угла , поэтому число ее отражений от сторон угла всегда ко-

нечно и равно N (если 1N ).

Для доказательства раздела б) воспользуемся рядом Тейлора для х и "тонкой струк-

турой" числа - равенством -N-N 1010 , получаем основной результат теоремы –

часть Б:

N-N- 1010N

.

Задача для самостоятельного решения:

Задача. Докажите приведѐнную выше теорему, используя указания для доказатель-

ства.

48

Список литературы

1. Г.А. Гальперин, А.Н. Земляков «Математические бильярды», Москва «Наука»,

главная редакция физико-математической литературы,1990 г.

2. Научная сеть>> Г.А. Гальперин «Бильярдная динамическая система для числа пи»

[Электронный ресурс], Режим доступа:

http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1161679&uri=node3.html

3. Эстетика бильярдной игры [Электронный ресурс], Режим доступа:

http://pool.org.ua/gentlemen/4/