Овчиннікова О.Й. "Дотична до графіка функції"
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Боярська ЗОШ І-ІІІ ступенів №1Києво-Святошинського р-ну
Київської обл.Вч. Овчинникова (Яськова) О.Й.
м.Боярка
Відкритий урок на тему:
І. Перевірка домашнього завдання
1. Розв’язати нерівності методом інтервалів:
01
32
х
)(хх 2. 2. 0
)3(
)4()2( 2
х
хх
0315 ) )(õ)(õ(x 1. 1. 0315 ) )(õ)(õ(õ
2. Знайти похідні функцій:
1032)( 5 xxxf1. 1.
2. 2.10)73()( xxg );23cos()( xxf
53
)( 2 x
xxg
І. Перевірка домашнього завдання
1. Розв’язати нерівності методом інтервалів:
2. 2.
1. 1.
2. Знайти похідні функцій:
1. 1.
2. 2.
–1 3 5 –6 –2 4 (–∞;–1)U(3;5)
відповіді
[-6;-2]U[4;+∞)
1 3 –2 3 4(1;3] і х=0 (–∞;-2)U(-2;-3)U(4;+∞)
2
32)(
xxxg
ххxf
2
310)( 4
.)73(70)( 9xxg )23sin(2)( xxf
ІІ. Вивчення нового матеріалу
А) Актуалізація опорних знань.•Що називається похідною функції?•Який геометричний і механічний зміст похідної?•Що таке січна? Який кутовий коефіцієнт січної?•Дати поняття дотичної до графіка функції.
Б) Мотивація навчання.Коротка історична довідка.
В) Поняття дотичної до лінії.
Нехай графіком деякої функції у = f(x) є крива. АВ – січна. Кутовий коефіцієнт січної:
Якщо Δх → 0, то кутовий коефіцієнт січної → до числа f (x′ 0), де f (x′ 0) є кутовим коефіцієнтом прямої АТ – дотична.
Якщо Δх → 0, то т. В → до т. А по графіку функції. При суміщенні т. В з т. А пряма АВ, обертаючись навколо т. А займе граничне положення АТ, яке й будемо називати дотичною до графіка функції в т. А(х0, f(х0)). Дотична – граничне положення січної.
Отже, дотична до графіка диференційованої в т. х0 функції – це пряма, що проходить через т. А(х0, f(х0)) і має кутовий коефіцієнт f (x′ 0).
.
x
ytgk
.
)(lim 0xfx
ytgk
Г) Виведення рівняння дотичної до графіка функції в даній точці
Виведемо рівняння дотичної до графіка диференційованої функції у = f(x) в т. А(х0, f(х0)). Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом k має вигляд: .
Дотична – це пряма з кутовим коефіцієнтом k = f (x′ 0), отже її рівняння: (1)Для обчислення b скористаємося тим, що дотична проходитьчерез т. А(х0, f(х0)), отже координати т. А задовольняють рівняння (1):f(х0) = f (x′ 0) х0 + b, звідки b = f(х0) – f (x′ 0) х0.Підставимо в рівняння (1), отримаємо:
у = f (x′ 0) х + f(х0) – f (x′ 0) х0 = f (x′ 0)(х – х0) + f(х0).
Отже, рівняння дотичної:
b kxó
b)õ(xf ó 0
). f(õ)õ)(x(xf ó 000
ІІІ. Набуття навичок складання рівняння дотичної до графіка даної функції в даній точці
1.Написати рівняння дотичної до графіка функції в т. х0 = 2
Розв’язуванняРівняння дотичної обчислюємо за формулою:
Складаємо алгоритм знаходження рівняння дотичної:1). Знаходимо значення функції в т. :f(х0) = f(2) = 23 – 2 ּ22 + 1 = 8 – 8 +1 = 1; f(х0) = 1.2). Знаходимо похідну функції:
.3). Знаходимо значення функції похідної в т. х0 = 2:f (x′ 0) = f (′ 2) =3 ּ22 –42=12–8=4 ; f (x′ 0) = 4.4). Отже, рівняння дотичної:у = 4 (х – 2) + 1 = 4х –8 + 1 = 4х –7. Відповідь: у = 4х –7.
12 23 õ– õf(x)
20 x
)f(õ)õ)(x(xfó 000
õ–õ)õ–(õ(x)f 4312 223
2. Написати рівняння дотичної до графіка функції в т. х0 = 5.
Розв’язування1) g(x0) = g(5) = ; g(x0) = 3.2) g (x) = ′
3) g (x′ 0) = g (5) = ′ ; g (x′ 0) = .
4) у =
Відповідь: у = .
12 g(x) х
39152
12
112
хх
3
1
152
1
3
1
.
3
11
3
13
3
5
3
135
3
1 ххх
3
11
3
1х
ІV. Самостійна робота.Написати рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою х0
1. f(x) = х3 + 3х в т. х0 = –1. 1. g(x) = 2х3 – 3х в т. х0 = 1.
2. g(x) = в т. х0 = 3. 2. f(x) = в т. х0 = 2.
3*. f(x) = в т. х0 = 4. 3*. h(x) = в т. х0 = 2.
Додатково: С – 30, В – 6 і В – 7.
Написати рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою х0:
1.у = sin 2x в т. . 1. у = в т. .
2.у = в т. х0 = –2. 2. у = х2 – 2х в т. х0 = 2.
(Виконати мал.)Додатково: С – 30, В – 1 і В –2.
212
1х 52 х
112 хх
74
32 3
х
х
60
х
2sin
x
2
x
х
2
Написати рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою х0
1. у = х –1. 1. у = 3х –4.
2. у = 2х – 4. 2.
3*. у = 4х – 7 3*. h = 4х – 7
Написати рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою х0:
1.у = . 1. у = 2х – 4
2.у = –0,5х –2 2. у = 2х – 4
Відповіді
3
7
3
1 ху
62
3 x
Знайдіть тангенс кута нахилу дотичної до графіка функції в точці перетину цього графіка з віссю абсцис:
f(x) = х3 + 27. f(x) = х3 – 27. Відповідь: tg α = 27. Відповідь: tg α =
27.
Розв’язуваннях3 + 27 = 0, х0 = –3 х3 – 27 = 0, х0 = 3точка перетину (–3,0) точка перетину (3,0)tg α = k = f′(x0), f′(x) = 3х2 f′(x) = (х3 – 27)′ = 3х2
tg α = 3 ּ(–3)2 = 27. tg α = f′(x0) = 3 ּ32 = 27.
Написати рівняння дотичної до графіка функції:
в т. х = 3 в т. х = –3
Відповідь: у = –3х + 9,5. Відповідь: у = 6х + 11
V. Підсумок уроку.VI. Д/з: п. 19; №№ 255, 256; повт. № 140 (ст. 302).
2
2
15)( xxf 22)( xxf