ГЛАВА I. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА

Лекция 1

1.1. Введение

Физикам давно были известны оптические явления, непонятные с позиций геометрической («лучевой») оптики. К их числу относятся кольца Ньютона и другие чередующиеся полосы максимумов и минимумов освещенности (интерференционные полосы), происхождение которых, как известно ныне, связано с перераспределением потока световой энергии в пространстве, возникающим в ряде опытов.

Прогресс в истолковании явления интерференции связан с работами Френеля, Юнга и других ученых, работавших в начале 19-го века. Развитая ими волновая теория, согласно которой световые волны представляют собой возмущения, распространяющиеся в мировом эфире, в этот период достигла наивысшего успеха. Электромагнитная теория света, заменившая старую волновую теорию, позволила упростить постановку проблемы и решить ряд сложных интерференционных задач.

1.2. Когерентность колебаний

Пусть в некоторой точке пространства одновременно существуют две произвольные (в общем случае немонохроматические)

электромагнитные волны и . Согласно принципу суперпозиции

напряженность результирующего поля равна:

.

Для перехода к интенсивности света, пропорциональной квадрату напряженности, нужно предыдущее равенство возвести в квадрат:

. (1.1)

При измерении потока световой энергии или освещенности какой-либо поверхности нужно учесть инерционность измерительной аппаратуры, которая обычно велика. В любом случае, практически невозможно осуществить безынерционное измерение процессов, имеющих длительность того же порядка, что и время пребывания атома в возбужденном состоянии (в оптическом диапазоне шкалы электромагнитных волн примерно сек.). Поэтому нужно усреднить

1

(1.1) и с данными опыта сравнивать усредненное по относительно большому промежутку времени значение квадрата напряженности электрического поля . Величина выбирается в соответствии с инерционностью приемной аппаратуры:

. (1.2)

При измерении средней суммарной энергии мы встречаемся с двумя различными результатами опыта в зависимости от того, что получается

при усреднении произведения , называемого

интерференционным членом.

СЛУЧАЙ 1 СЛУЧАЙ 2

Если , Если ,

то то

или или

(1.3)

где интенсивности каждой из волн.

В первом случае суммарная освещенность равна сумме освещенностей, создаваемых каждым источником света и интерференция отсутствует. Во втором – суммарная освещенность не равна сумме освещенностей – имеет место интерференция.

Замечание. Нарушение аддитивности энергетических характеристик связано не с нарушением закона сохранения энергии, а с перераспределением потока энергии в пространстве.

Мы сейчас не будем рассматривать частный случай суперпозиции двух плоских монохроматических волн разных частот или поляризованных

под прямым углом друг к другу, когда всегда равно нулю, а

займемся произвольными (немонохроматическими) волнами. Пусть,

где константы, не зависящие от времени. Для произвольной электромагнитной волны и амплитуда, и фаза могут зависеть от времени. Тогда

(1.4)

Если за время усреднения фазы и многократно изменились, то

интеграл и интерференционный член отсутствует.

Итак, если колебания случайным образом обрываются или

2

происходит хаотическое изменение их фазы за время усреднения, то на опыте всегда будет наблюдаться сумма интенсивностей . Таким образом, необходимое условие возникновения интерференции может быть сформулировано в другой форме: необходимо, чтобы разность фаз

сохраняла свое значение за время усреднения. В связи с этим вводится фундаментальное понятие когерентных колебаний, для которых разность фаз за время наблюдения остается неизменной:

(1.5)Равенство частот интерферирующих волн и

неперпендикулярность векторов и служат дополнительными

требованиями, превращающими необходимое условие (1.5) в достаточное.Примечание. Мы сформулировали условие временной

(спектральной) когерентности, которая связана со степенью монохроматичности исследуемых колебаний. Под пространственной когерентностью понимают взаимную когерентность поля в двух точках, освещаемых одним или несколькими источниками света. Степень когерентности поля в двух точках характеризует контраст интерференционной картины, получаемой в экспериментах, где эти точки являются вторичными источниками света:

.

1.3. Образование интерференционных полос на примере опыта Юнга (1801 г.). Условие максимумов и минимумов интенсивности

интерференции

Первая экспериментальная установка для демонстрации интерференции света была осуществлена Юнгом (рис. 1.1).

3

Рис. 1.1 Схема опыта Юнга

Свет от точечного монохроматического источника падает на два небольших отверстия и в экране « », расположенных рядом и находящихся на равных расстояниях от источника . Эти отверстия действуют как вторичные монохроматические точечные источники, а световые пучки от них перекрываются позади экрана « ». Интерференция наблюдается в области перекрытия пучков на экране « » (рис. 1.2).

Рис. 1.2 Интерференционные полосы в опыте Юнга

Обозначим расстояние между отверстиями , а между экранами . При выполнении условия можно считать, что источники и испускают плоские волны. Все колебания направлены одинаково, и поэтому задачу можно считать скалярной. Имеем

4

h

Y'

X'

B

Предположим для простоты, что амплитуды колебаний равны: . Поле , создаваемое суммарным колебанием в точке ,

удаленной от и соответственно на и , запишется в виде:

. (1.6)

Введем величину разности хода : Смысл названия понятен из рассмотрения рис. 1.3. В выражении (1.6) амплитуда

суммарного колебания равна . Интенсивность света ,

пропорциональная квадрату амплитуды, запишется в виде

. (1.7)

Максимумы интенсивности появляются при условии ;

при условии , интенсивность достигает

минимального значения. Число называют порядком интерференции .

Условие возникновения экстремумов интенсивности можно

выразить в другой форме, исключив волновой вектор :

максимумы интенсивности будут при , ;минимумы интенсивности при , .

В данном случае, когда для простоты положили равными амплитуды интерферирующих волн , интенсивность изменяется от

минимального значения , до максимального значения

Мы рассмотрели простейший случай, когда обе волны и

распространяются в вакууме (показатель преломления , длина волны ). Если же одна из них проходит в среде с показателем преломления

, а другая – в среде с показателем преломления , то вводится понятие оптической разности хода – разности произведений . В этом случае разность фаз интерферирующих колебаний записывается в виде

. (1.8)

Если оптическая разность хода равна нулю , то и будет наблюдаться максимальная интенсивность. Именно так работает собирающая линза, которая не вносит дополнительной разности хода в лучи, образующие изображение.

5

1.4. Расчет разности хода между интерферирующими лучами в опыте Юнга. Функция видности

Направим координатные оси на плоскостях « », « » так, как показано на рис. 1.3.

Рис. 1.3 Расчет разности хода в опыте Юнга

Расстояние между двумя произвольными точками и ,

расположенными на параллельных плоскостях, будет

.

Тогда

,

, а

.

Разность хода для любой точки на плоскости будет равна

Вследствие малости длин волн видимого света интерференционная картина будет наблюдаться, только если . Тогда при условии, что

6

и также малы по сравнению с , находим и

. (1.9)

Подставляя (1.9) в (1.7), получаем

. (1.10)

Отметим, что разность хода не зависит от координаты , а это означает, что она будет одинакова для всех точек плоскости « », расположенных на одной прямой, параллельной оси . Вследствие этого на экране образуется периодическое изменение интенсивности в виде светлых и темных равноотстоящих полос (рис. 1.2).

Оценим ширину полосы (рис. 1.2). Из условия возникновения интерференционного максимума порядка : имеем:

и .

Аналогично для максимума порядка

и .

Откуда

,

где равно удвоенному тангенсу угла, измеряемого отношением половинного расстояния между отверстиями и к расстоянию между экранами . Если условие выполнено, то можно рассматривать, как радиальный угол.

Возможно ли наблюдение интерференции Проведем оценку. Пусть Å (соответствует длине волны излучения гелий-неонового

лазера), . Тогда , а Поскольку , то для наблюдения интерференционных полос Юнга

величина не должно превышать нескольких минут угловой меры.Такие интерференционные полосы хорошо наблюдаются

невооруженным глазом. Но оказывается, что на опыте невозможно получить стационарную картину интерференции двух пучков света, возникших при освещении двух щелей в непрозрачном экране произвольным источником света. Отсюда можно сделать только один вывод: в обычном источнике света имеется огромное количество некогерентных излучателей, которые хаотически высвечиваются после непродолжительного пребывания в возбужденном состоянии. Невозможно

7

предположить, что в этих случайных процессах (речь идет о спонтанном излучении) существует какая-либо корреляция между фазами излучаемых обрывков синусоид. Наблюдаемая на опыте картина (равномерная освещенность экрана) никак не соответствует расчету, который был проведен для интерференции двух монохроматических волн.

Юнгу удалось получить стационарную картину интерференции от двух щелей и первому измерить длину волны света, лишь усовершенствовав условия опыта. В пучок света вводилась дополнительная щель, что позволило сильно уменьшить угловые размеры источника (рис. 1.1).

Следует отметить, что при выполнении опыта Юнга или иного интерференционного опыта с использованием обычных (не лазерных) источников света, на экране, как правило, наблюдается такое периодическое изменение освещенности, при котором минимальная освещенность , что соответствует не равным амплитудам

интерферирующих колебаний. Для количественной характеристики четкости интерференционных

полос в точке наблюдения Майкельсон ввел их «видность» :

, (1.11)

где и соответственно максимальная и минимальная интенсивности в непосредственной близости от . Рассмотренным выше двум предельным случаям соответствуют следующие значения этой функции:

1) при освещении двух щелей некогерентным источником света никаких полос интерференции не возникает и наблюдается равномерная освещенность экрана, т. е. и ;

2) при освещении двух щелей когерентным источником (например, излучением лазера) на экране возникает интерференционная картина, интенсивность которой хорошо описывается синусоидой. В этом случае

, а Однако кроме некогерентного и когерентного

освещения возможен промежуточный случай, когда на экране наблюдается интерференционная картина, но качество ее хуже, чем при когерентном освещении. Тогда функция видности принимает значения между нулем и единицей . Два источника, создающие такую картину интерференции, называют частично когерентными. На рис. 1.4

8

изображены все три возможных результата взаимодействия световых пучков.

Рис. 1.4

Лекция 2

1.5. Время когерентности, длина когерентности

Ряд физических процессов, происходящих в источнике света (потеря энергии оптическим электроном вследствие излучения, соударения атомов и т. д.), определяет наименьший интервал времени, в течение которого фазу и амплитуду квазимонохроматической волны можно считать постоянными. Этот промежуток называют временем когерентности . Для обычных (не лазерных) источников оно составляет по порядку величины

Именно из такого значения следует исходить при оценке очень важной физической величины длины когерентности, т. е. расстояния

, на которое распространилась волна за время, пока ее фаза и амплитуда оставались в среднем постоянными. При принятой оценке

длина когерентности в оптике составляет: и

лишь в благоприятных условиях может достигать примерно метра. При разности хода применима синусоидальная идеализация, и поэтому должна происходить интерференция.

9

1.6. Осуществление когерентных колебаний в оптике (на самостоятельную проработку)

1.7. Локализация интерференционных полос и цвета тонких пластин

При интерференции двух волн, возникающих в результате отражения или преломления света, исходящего из точечного источника, появляется стационарная интерференционная картина, которая никак не локализована, т. е. в любой области пространства, где перекрываются интерферирующие пучки, можно наблюдать интерференцию

Однако при замене точечного источника протяженным возникает необходимость ограничить ту область пространства, где может наблюдаться интерференция. Особенно часто приходится иметь дело с протяженным источником при явлениях интерференции, наблюдаемых в естественных условиях, когда источник света участок неба, т. е. рассеянный дневной свет. Не редко встречающийся случай подобного рода имеет место при освещении тонких прозрачных пленок, когда необходимое для возникновения двух когерентных источников расщепление световой волны происходит при отражении света передней и задней поверхностями пленки. Это явление, известное под названием цветов тонких пластинок, легко наблюдается на мыльных пленках, на тончайших пленках масла (нефти), плавающих на поверхности воды и т. д.

Рассмотрим физику этих явлений. Исследуем отражение и преломление плоской квазимонохроматической волны, падающей на поверхность пластины с толщиной (рис. 1.5). Оптическая разность хода

Рис. 1.5 Расчет разности хода при отражении от тонкой пластины

лучей и равна, (1.12)

где и показатели преломления окружающей среды и вещества пластинки. Следует также учесть скачок фазы на , испытываемый волной

10

при каждом отражении от верхней или нижней поверхности. В нашем случае, если окружающая среда воздух с показателем преломления

, изменение фазы произойдет для волны, характеризуемой лучом , при отражении от поверхности пластины в точке (в этом

случае говорят, что отражение происходит с «потерей полуволны»). Таким образом, окончательно

. (1.13)

Для получения искомой зависимости от угла падения и толщины пленки воспользуемся простыми соотношениями:

,

,

,.

Но по закону Снеллиуса , что при (для воздуха) и дает . Тогда

и, следовательно:

,

то есть

. (1.14)

Полученная зависимость носит общий характер.

Мы пока нигде не использовали ограничение, налагаемое на толщину пленки . Оценим ее величину. Интерференция не может наблюдаться, если максимум - го порядка для длины волны совпадает с максимумом - го порядка для излучения с длиной волны

, т. е., если или

. (1.15)Порядок интерференционного максимума напрямую связан с

разностью хода . Следовательно, чем больше разность хода (выше ), тем меньше должен быть разрешенный интервал длин волн , т. е. больше необходимая степень монохроматизации. В нашем случае характеризует степень монохроматичности используемого источника света

11

в реальном эксперименте интервал длин волн от до , в котором сконцентрировано излучение.

Используя (1.15), легко оценить допустимую толщину пленок для наблюдения интерференции с использованием никак не монохроматизированного света. К примеру, если Å, Å, то

Тогда из (1.14):

. (1.16)

Полагая и , а также пренебрегая величиной по

сравнению с , имеем

1.8. Полосы равной толщины (полосы Физо)

В этом случае в уравнении (1.14) угол , и разность хода зависит только от толщины пластины (например, в клине, рис. 1.6).

Рис. 1.6 Схема опыта по наблюдению полос равной толщины

Для наблюдения полос, локализованных на поверхности пластины, нужно спроецировать на экран изображение поверхности пластины. В некоторой точке экрана для света с длиной волны будет наблюдаться максимум освещенности, соответствующий вполне определенному значению толщины пластины .

Рассмотрим лучи от разных точек протяженного источника одни попадающие в какую-то одну точку поверхности и другие, попадающие в

12

ту же точку после отражения от задней поверхности пленки. Эта точка отображается линзой на экран, а геометрическое место таких точек (т. е. точек, для которых толщина пленки ) отобразится на экране в виде интерференционной полосы, называемой полосой равной толщины. Если источник излучает немонохроматический свет, то на экране появится система окрашенных полос, т. к. каждому значению длины волны соответствует по (16) «своя» толщина пленки. Очевидно, что если пленка клин, то на экране будет наблюдаться система интерференционных полос, параллельных ребру клина.

Кольца Ньютона. Классический эксперимент был поставлен в середине 17-го века Гуком, наблюдавшим кольцевые интерференционные полосы, возникавшие в воздушном слое между плоско-выпуклой линзой и плоской стеклянной пластинкой. Ньютон установил связь между радиусом колец и кривизной линзы, но только в 19-ом веке Юнг полностью объяснил природу этих колец, называемых кольцами Ньютона и использовал их для определения длины волны интерферирующего света (рис. 1.7).

Рис. 1.7 Образование колец Ньютона

Необходимые соотношения можно легко получить из рис. 1.7.

Считая , находим . Рассматривая нормальное падение света

на воздушную прослойку , для разности хода

запишем условие возникновения минимума освещенности:

или

.Отсюда радиус -го темного кольца

. (1.17)

Измерив радиус -го интерференционного кольца , и зная радиус кривизны линзы , можно определить длину волны света.

Очевидно, что при наблюдении колец Ньютона в отраженном свете

13

центральное пятно будет темным , т. к. в этом случае

геометрическая разность хода равна нулю и лишь теряется полуволна при отражении от плоской стеклянной поверхности.

Применение в задачах техники. Наблюдение полос равной толщины широко используется в различных задачах техники. На этом эффекте основан очень простой и удобный способ определения качества полировки оптических поверхностей. Исследуемая оптическая пластинка накладывается на контрольную пластинку с плоскостью известного рельефа, и между ними образуют весьма тонкий воздушный клин. Для этого достаточно подложить с одного края тонкую полоску фольги. Систему освещают сверху и наблюдают интерференционные полосы в отраженном свете. Если поверхности обеих пластин идеально плоские, то должны возникнуть совершенно прямые полосы равной толщины, параллельные ребру клина. Но обычно поверхности имеют дефекты, которые приводят к искривлению этих полос. Там, где больше частота полос, должно быть утолщение. Там, где полосы имеют замкнутую форму, находится бугор или яма. Оценивая величину искривления интерференционной полосы по отношению к расстоянию между двумя соседними полосами, можно при тщательной постановке эксперимента установить наличие отклонений от плоскости порядка 0,1 длины волны интерферирующего света. Чаще всего систему освещают монохроматическим светом и ожидают длительное время, пока не установится тепловое равновесие. Усовершенствованным методом удается оценивать отклонения от плоскости порядка 0,01 длины волны.

Лекция 3

1.9. Полосы равного наклона (полосы Хайдингера)

Теперь рассмотрим схему наблюдения интерференционных полос, локализованных в бесконечности. Линза, при помощи которой эти полосы проецируются на экран, должна быть установлена так, чтобы ее главная фокальная плоскость совпадала с плоскостью экрана. Можно также рассматривать интерференционную картину в подзорную трубу или глазом, «аккомодированным на бесконечность». Схема возникновения полос равного наклона представлена на рис. 1.8.

14

Рис. 1.8 Образование полос равного наклона

Все лучи, падающие на пластину под определенным углом (например, луч и все параллельные ему), соберутся на экране в одной точке . Лучи другого наклона (луч ) соберутся в другой точке . В опыте применяется протяженный источник света, и поэтому под тем же углом будет падать множество лучей. Вообще говоря, имеется целый конус таких лучей, и поэтому на экране получится не одна точка , а семейство точек, для которых угол , т. е. получится интерференционная полоса равного наклона. Каждому углу падения соответствует своя полоса равного наклона, локализованная на бесконечности.

1.10. Двухлучевые интерферометры. Интерферометр Майкельсона

Интерферометрами называют оптические устройства, при помощи которых можно пространственно разделить два луча и создать между ними определенную разность хода. После их соединения наблюдается перераспределение потока световой энергии, т. е. явление интерференции. Рассмотрим подробнее принципиальную схему интерферометра Майкельсона (1881 г.), представленную на рис. 1.9.

Свет от протяженного источника делится полупрозрачной поверхностью плоскопараллельной стеклянной пластинки на два пучка, направленных под прямым углом друг к другу. Отразившись от плоских зеркал и , они возвращаются к , где вновь соединяются и попадают в зрительную трубу . Зеркало неподвижно, тогда как зеркало , установленное на столике, можно передвигать микрометрическим винтом в направлении пластины или от нее. Пучок, отраженный от , проходит сквозь диспергирующую пластину три раза, прежде чем попадает в . Пучок, отраженный от , проходит через

только один раз. Чтобы устранить это различие в оптическом пути,

15

между и ставится компенсирующая пластинка из такого же материала и с такой же толщиной, как у пластинки , и параллельная ей.

Предположим, что изображение поверхностью, делящей

пучок. Оптическая длина пути между и точкой вдоль луча , отразившегося от , равна оптической длине пути между и вдоль

луча , отразившегося от мнимой поверхности . Следовательно,

можно считать, что интерференционная картина, наблюдаемая в трубу , возникает из-за воздушного слоя, ограниченного действительной

отражающей поверхностью и мнимой отражающей поверхностью .

При параллельных зеркалах и полосы в

квазимонохроматическом свете имеют вид окружностей и локализованы в

бесконечности. Когда и близки и образуют клин с небольшим

углом, полосы локализуются либо на поверхности клина, либо вблизи нее.

При достаточно малом расстоянии между и они являются полосами

равной толщины и, следовательно, имеют вид эквидистантных прямых линий, параллельных ребру клина.

До сего времени мы ничего не говорили о требованиях, предъявляемых к источнику света, излучение которого можно исследовать при помощи интерферометра Майкельсона. При выводе уравнения (1.7):

мы предполагали источник строго монохроматическим, а излучение непрерывным. Снимем первое ограничение. Предположим, что вместо

одной частоты излучается некоторый интервал частот

, где центральная частота; ширина

спектральной линии (рис. 1.11а). Если , то такое излучение называется квазимонохроматическим. В этом случае уравнение (1.7) должно быть заменено на (1.7а):

, (1.7 а)

где спектральная яркость на частоте .Первый член в (1.7 а) постоянная составляющая, второй

16

переменная составляющая светового потока (рис. 1.11б). Из графика видно, что при больших разностях хода переменная составляющая стремится к нулю. Разность хода ., при которой можно пренебречь

вторым членом в (1.7 а), называется длиной когерентности, а время

временем когерентности.О работах Майкельсона. Майкельсон исследовал фотографически

или визуально при помощи зрительной трубы изменение видности интерференционных колец равного наклона при увеличении разности хода вследствие перемещения одного из зеркал интерферометра. После его перемещения на определенный отрезок проводилась проверка юстировки и определялась функция видности интерференционной картины (1.11):

при данной разности хода . Сравнение найденной таким

образом экспериментальной кривой видности с расчетной, полученной при определенных предположениях о спектральной структуре линии, позволяет количественно оценить некоторые параметры исследуемого излучения (рис. 1.12). В качестве примера на рис. 1.12 приведена расчетная кривая видности интерференционной картины, полученной при освещении интерферометра Майкельсона излучением

линии с гауссовским распределением интенсивности .

Экспериментальная кривая для функции , полученная Майкельсоном для красной линии кадмия Å, изображена на рис. 1.13. Наблюдается отличное согласие этой кривой с расчетной для одиночной линии. Высокая монохроматичность красной линии кадмия была подтверждена последующими измерениями, а линия Å долгое время использовалась в качестве основного стандарта в метрологической работе.

1.11. Интерференционная модуляция светового потока

Предположим теперь, что зеркало в интерферометре Майкельсона равномерно перемещается, оставаясь параллельным своему первоначальному положению, со скоростью . Тогда разность хода монотонно увеличивается по закону , а интенсивность света при использовании монохроматического источника будет меняться во времени:

17

(1.18)

Введем обозначения:

.

Тогда, (1.19)

где интерферограмма, постоянная составляющая, переменная составляющая.

Формула (1.19) показывает, что величина светового потока на выходе интерферометра будет колебаться около среднего значения

по закону косинуса с частотой . Изменение интенсивности

светового потока в результате линейного изменения разности хода принято называть интерференционной модуляцией света. При

значениях и , . Если в этом

случае в точке (рис. 1.10) поместить фотоэлектронный умножитель (ФЭУ), преобразующий свет в электрический ток, а затем многокаскадный усилитель, то на его выходе можно обнаружить сигнал с частотой .

Если интерферометр осветить белым светом, то каждая длина волны будет представлена в световом потоке соответствующей компонентой,

меняющейся по закону косинуса с частотой , а в преобразованном

после приемника электрическом токе возникнет сложный амплитудно-модулированный сигнал. При этом произойдет кодирование каждой длины волны оптического спектра соответствующей радиочастотой. Причем, интенсивности на частотах будут пропорциональны интенсивностям на длинах волн .

Интерференционная модуляция находит широкое применение при модуляции лазерного излучения и в новых типах спектральной аппаратуры, известных под названием Фурье-спектрометров. Последние устанавливаются на спутниках и космических кораблях как приборы наиболее эффективные для исследования атмосферы и космического пространства в инфракрасной области спектра.

18