[Devrookie] 꽝매니아점 , 선 , 면

점

‘ 영역이 없는 것’ ( 유클리드 )

물체의 위치를 표현해주는 개념 그래픽 적으로 도트로 표현되는 방식 일반적으로 ‘직교좌표계’ 를 통해 번역

좌표계

원점 (O) : 위치를 기반하기 때문에 필요 직교 좌표 시스템 교제에 나온 좌표계는 ? ㅡㅡ ;

z 축으로 사용하는 깊이값 방향의 차이 카메라 , 렌더링 에서 ‘매우’ 중요 !

카테시안 = 데카르트 = 직교 좌표계로 이해

아핀 공간

이러한 좌표계의 정의를 위해 벡터의 원리를 이용 그러기 위해서는 점 – 벡터 관계를 정의하는

방법이 필요 점들의 집합 W 와 벡터 공간 V 로 구성 .

벡터 v = 점 Q – 점 P (Q, P 는 W 안 )

아핀 공간

아핀 공간에서 고정점 (O) 와 기저 벡터들의 조합으로 ‘좌표 프레임’ 을 구성한다 .

그러나 , 이는 기저 벡터간 관계가 ‘직교’ 한다는 의미는 아니다 .

물리적 기하학을 좀더 추상적으로 표현 할 수 있게 하기 위해 ‘직교좌표 프레임’ 을 사용한다 .

삼각함수를 이용한 ‘유클리드 거리’

아핀 결합

아핀 공간 정의 초기에 연산 규칙은 ‘ -’ 를 이용해서 벡터를 구하는 방법이 있었다 .

점과 기저벡터의 관계에서 점들의 계수 합이 1 로 제한된 사항에서 한 점과 벡터들의 ‘선형결합’ 으로 대체 정의가 가능하다는 것 .

이는 선형결합을 통해 공간을 생성하는 것 처럼 아핀 결합을 통해 아핀 공간을 생성 .

점 구현

직교 좌표 프레임에서 벡터를 사용할때 , 아핀공간에서 점 O 가 원점일때와 같이 점으로 손쉽게 변환이 가능해 진다 .

많은 수학 라이브러리 들이 점 클래스를 벡터 클래스 로 이용해서 구현한다 .

4 튜플을 썼을때에도 마지막 세트 상수값에 따라 점인지 벡터인지 구분한다 .

ex) OpenGL light 함수

극 좌표계

극 좌표계

r 와 θ 는 삼각함수를 이용해 데카르트 좌표의 x 와 y 로 변환할 수 있다 .

x = rcosθ

y = rsinθ

데카르트 좌표의 x 와 y 는 극좌표의 r 로 변환할 수 있다 .

r2 = x2 + y2 ( 피타고라스 정리 사용 )θ 를 정의할 때는 다음과 같은 사항을 고려해야 한다 .

- r = 0 일 때는 θ 는 임의의 실수가 될 수 있다 .

r ≠ 0 일 때는 표현의 유일성을 위하여 크기가 2π 보다 작은 구간으로 한정한다 . 보통은 [0, 2π) 나 (−π, π] 가 사용된다 .

실생활에서는 배나 비행기의 항행좌표를 계산해 줄 때 사용할 수 있다 . ( 게임상에서는 좌표 변환하기 귀찮으므로 직교좌표계로 사용 )

r(θ) = a + bθ

구면 좌표계

극 좌표계의 3 차원화

선

y = mx + b

선분 반직선 ( 카메라 위치와 시야방향 등 )

선 공식

선 끼리의 관계를 도식화 각 항의 계수들을 직선 공식을 통해서 정리

yy

xx

tdPy

tdPx

cbyax

ban

db

da

x

y

),(

점 – 직선 간 거리 계산

거리량은 항상 양수를 취하므로 절대값 사용 직선위의 임의의 점 P 를 사용해서 내적계산

평면

길이와 넓이만을 가지는 것 – 유클리드 세 점 을 지나는 평면은 다음과 같은 방정식으로

결정된다 .

tvsuPtsP

tPsPPtstsP

0

210

),(

)1(),(

0201 , PPvPPu