เวกเตอร�และสเกลาร� พ��นฐาน

ปร�มาณฟ�ส�กส�บางปร�มาณ เม��อว�ดหาค าความมากน!อย( ขนาด ) ก$สามารถส��อความหมาย หร�อน&ามาค&านวณได! แต บางปร�มาณต!องว�ดท��งขนาดและท�ศทาง จ+งจะส��อความ

หมายหร�อค&านวณได!ปร�มาณฟ�ส�กส�ท,�ว�ดเฉพาะขนาด ก$ส��อความหมาย หร�อค&านวณได! เร,ยกว า “ปร�มาณฟ�ส�กส�ชน�ดสเกลลาร�”เช น ระยะทาง อ�ตราเร$ว มวล งาน พล�งงาน กระแสไฟฟ/า ศ�กย�ไฟฟ/า ความด�น เป0นต!น

ปร�มาณฟ�ส�กส�ท,�ต!องว�ด ค&านวณ หร�อส��อความหมาย โดยค&าน+งท��งขนาดและท�ศ เร,ยกว า “ปร�มาณฟ�ส�กส�ชน�ดเวกเตอร�”

เช น การกระจ�ด ความเร$ว ความเร ง แรง โมเมนต�ม การดล สนามไฟฟ/า เป0นต!น

ด�งน��น ขณะศ+กษา (เร,ยน) ฟ�ส�กส�จ+งต!องค&าน+งเสมอว า เราก&าล�งย3 งเก,�ยว หร�อใช! หร�อบอก หร�อค&านวณ ปร�มาณฟ�ส�กส�ชน�ดสเกลาร�หร�อชน�ดเวกเตอร�

การค&านวณเก,�ยวก�บสเกลาร�• น&าต�วเลขท,�บอกค ามากน!อย(ขนาด)มาค&านวณโดยใช!

คณ�ตศาสตร�ท,�เหมาะสม โดยไม ต!องค&าน+งถ+งท�ศทาง แต บางปร�มาณอาจต!องค&าน+งท�ศทางด!วย (ท�ศทางจะไม ซ�บซ!อน ส วนมากจะไปทางซ!ายหร�อขวา บนหร�อลงล าง)ซ+�งถ!าเป0นล�กษณะน,�จะใช!หล�กพ�ชคณ�ตแทนท�ศทาง

ต�วอย�าง ว�ตถ3หน+�งม,พล�งงานความร!อนสะสมอย6 เด�ม 100 จ6ล เม��อน&าไปเผาไฟพบว า ม,ความร!อนไหลเพ��มเข!าไปอ,ก 20 จ6ล จงหาว าว�ตถ3ม,พล�งงานความร!อนรวมเป0นก,�จ6ลเฉลย ความร!อน = 100 + 20 = 120

จ6ล

ต�วอย าง นายมน�สท&างานได! 600 จ6ลภายในเวลา 5 นาท, จงหาก&าล�งของเขา

Watt2J/sec 2300

600

sec605

J 600

t

WP

ต�วอย าง สายไฟฟ/าเส!นหน+�ง ม,กระแสไหลไปทางขวา 5 A ขณะเด,ยวก�นก$ม,กระแสไหลสวนไปทางว!าย 200 mA จงหากระแสส3ทธ�หร�อกระแสรวมในสายไฟฟ/าเส!นน,�

5 A

200 mAเฉลย สมมต�ท�ศไปขวาเป�น + A 4.8A)

1000

200(A 5 I

กระแสรวม 4.8 A ไหลไปทางขวา ตอบ

การค&านวณเก,�ยวก�บเวกเตอร�• ต!องน&าต�วเลขค าความมากน!อย(ขนาด) มาเข,ยนเป0น

ส�ญล�กษณ� จากน��นน&าส�ญล�กษณ�ท,�ได!มาค&านวณตามหล�กคณ�ตศาสตร�เวกเตอร�

ส�ญล�กษณ�เวกเตอร�

ส�ญล�กษณ�ล6กศร

ส�ญล�กษณ�คณ�ตศาสตร�

ในร6ป kji ˆ,ˆ,ˆในร6ปหน+�ง

หน วยเวกเตอร�

m/s 4V ว�ตถ3เคล��อนท,�ท�ศ

ด�งร6ป ด!วยความเร$ว 4 m/s

เหต�การณ�น�� เข�ยนเป�นเวกเตอร� ด�งร!ป

ว�ตถ3ตกลงพ��นโลก ความเร$ว 6 m/s

เหต3การณ�น,�เข,ยนเป0นเวกเตอร�

อย างไรm/s 6V

แต การเข,ยนปร�มาณฟ�ส�กส�เป0นส�ญล�กษณ�ล6กศรล�กษณะน,� ไม สะดวกเม��อน&าไปใช!งาน เพราะการเข,ยนล6กศรต!องใช!บร�เวณพ��นท,�กระดาษมาก

จ+งน�ยมเข,ยนส�ญล�กษณ�เวกเตอร�ในร6ปสมการคณ�ตศาสตร�

การเข,ยนส�ญล�กษณ�เวกเตอร�ในร6ป kji ˆ,ˆ,ˆ

ว�ธ,น,�น�ยมใช!ก�นมาก เพราะสะดวก และส��อความหมายได!ช�ดเจน และใช!ระบบแกนพ�ก�ดฉากคาร�ท�เซ,ยนท,�คนท��วไปค3!นเคย

ความหมายของ kji ˆ,ˆ,ˆ

i

i

j

j

k

k

ค�อเวกเตอร�หน+�งหน วย ตามแกน +x

แทนเวกเตอร�หน+�งหน วย ท�ศตามแกน - x

แทนเวกเตอร�หน+�งหน วย ตามแกน +y

แทนเวกเตอร�หน+�งหน วย ท�ศตามแกน -y

แทนเวกเตอร�หน+�งหน วย ท�ศตามแกน +z

แทนท�ศตามแกน - z

ระบบพ�ก�ดคาร�ท�เซ,ยน xyz

i

ij

+x

-x

+y-y

+z

-z

j

j

k

k

+x

-x

+y-y

+z

-z

รถยนต�แล นความเร$ว 4 m/s ด�งร6ป

smjv / ˆ4m/s 4v

เหต3การณ�น,�เข,ยนเป0นส�ญล�กษณ�เวกเตอร�

ได!ด�งน,�

เคล��อนท,�ลงความเร$ว 10 m/s

smkv / ˆ10

เหต3การณ�น,�เข,ยนเป0นส�ญล�กษณ�เวกเตอร�ได!ด�งน,�

+x

-x

+y-y

+z

-z

ว�ตถ3เคล��อนท,�ไปซ!าย ความเร$ว 4 m/s

smjv / ˆ4

เหต3การณ�น,�เข,ยนเป0นส�ญล�กษณ�เวกเตอร�ได!ด�งน,�

+x

-x

+y-y

+z

-z

ว�ตถ3เคล��อนท,�ข+�นบน ความเร$ว 4 m/s

smkv / ˆ4

เหต3การณ�น,�เข,ยนเป0นส�ญล�กษณ�เวกเตอร�ได!ด�งน,�

+x

-x

+y-y

+z

-z

ว�ตถ3เคล��อนท,�ออกมา ความเร$ว 4 m/s

smiv / ˆ4

เหต3การณ�น,�เข,ยนเป0นส�ญล�กษณ�เวกเตอร�ได!ด�งน,�

+x

-x

+y-y

+z

-z

ว�ตถ3เคล��อนท,�เข!า ความเร$ว 4 m/s

smiv / ˆ4

เหต3การณ�น,�เข,ยนเป0นส�ญล�กษณ�เวกเตอร�ได!ด�งน,�

+x

-x

+y-y

+z

-z

ว�ตถ3เคล��อนท,�บนระนาบ xy ความเร$ว 4 m/s

45

jiv ˆ22ˆ22

เหต3การณ�น,�เข,ยนเป0นส�ญล�กษณ�เวกเตอร�ได!ด�งน,�

ค�ดอย างไร

+x

-x

+y-y

+z

-z

45

44cos45

4sin45

22)2

2(445sin4 22)

2

2(445cos4

i22

+x

+y

45

4

4cos45

4sin

45

j22

jiv ˆ22ˆ22

ว�ธ,ค�ด

+x

-x

+y-y

+z

-z

ว�ตถ3เคล��อนท,�บนระนาบ xy ความเร$ว 4 m/s

45

jiv ˆ22ˆ22

-y

+x

4

4cos45

4sin

45

เหต3การณ�น,�เข,ยนเป0นส�ญล�กษณ�เวกเตอร�ได!ด�งน,�

ค�ดเอง

การเข,ยนส�ญล�กษณ�เวกเตอร�ในร6ปเวกเตอร�หน+�งหน วย

เวกเตอร�หน+�งหน วย ( Unit vector)

เป0นเวกเตอร�หน+�งหน วยของเวกเตอร�ใด ค�อเวกเตอร�ท,�ม,ขนาด 1 หน วย เม��อเท,ยบก�บเวกเตอร�

น��น และม,ท�ศทางเด,ยวก�บเวกเตอร�น��น

NA 5

Na 1ˆ

smV / 50

smv / 1ˆ เวกเตอร�หน+�งหน วยของA

เวกเตอร�หน+�งหน วยของ V

เราสามารถเข,ยนส�ญล�กษณ�เวกเตอร� ในร6ปเวกเตอร�หน+�งหน วยได!

NA 5

NaA ˆ 5

smV / 50

smvV / ˆ 50

หร�อ

หร�อ

ต�วอย าง ส�ญล�กษณ�เวกเตอร�ปร�มาณฟ�ส�กส�ใช!บ อย ๆ

ปร�มาณฟ�ส�กส� ส�ญล�กษณ� หน วยแรงท��วไป N

แรงต+งเช�อก N

แรงเส,ยดทาน N

แรงโน!มถ วง หร�อ น&�าหน�ก

N

ความเร$ว m/s

ความเร ง m/s2

โมเมนต�ม Kg.m/s

การดล Kg.m/s

F

fT

V

ap

W

p

ในตรงข!าม ถ!าเข,ยนส�ญล�กษณ�เวกเตอร�มา เราต!องน+กภาพได!

ให!เข,ยนภาพเวกเตอร�ต อไปน,�

N ˆ5.3ˆ5.2 kiT

N ˆ10kW

Kg.m/s ˆ3ˆ2 kip

N ˆ2ˆ jf

N ˆ3ˆ2 jiF

N ˆ3ˆ2 kjF

2m/s ˆ2 ja

เฉลยให!ด6เป0นบางร6ป

+x

-x

+y-y

+z

-z-y

N ˆ3ˆ2 jiF เฉล

ย

N ˆ3ˆ2 jiF

ม�ต�ของเวกเตอร�

1 ม�ต� เวกเตอร�ท��งหมดอย6 ในแนวเด,ยวก�น แนวแกนใดแกนหน+�ง เพ,ยงแนวเด,ยว ( สวนก�นได! )

A

B

C

ม�ต�การเคล��อนท,� (ต อ)

2 ม�ต� เวกเตอร�ท��งหมดอย6 ในระนาบเด,ยวก�น

ต�วอย�าง คนเด�นบนพ��นโลก จ��งจกเด�นบนผน�ง

+x

-x

+y-y

+z

-z

ม�ต�การเคล��อนท, (ต อ)

3 ม�ต� เวกเตอร�ท��งหมดอย6 ในแนวใดก$ได!

+x

-x

+y-y

+z

-z

3 ม�ต�การเคล��อนท,� (ต อ)

+x

-x

+y-y

+z

-z

3 ม�ต�การเคล��อนท,� (ต อ)

+x

-x

+y-y

+z

-z

3 ม�ต�การเคล��อนท,� (ต อ)

+x

-x

+y-y

+z

-z

3 ม�ต�การเคล��อนท,� (ต อ)

ต�วอย าง นกบ�นในอากาศ ปลาว ายในน&�า คนเด�นข+�นลงอาคารหร�อพ��นโลกส6งๆต&�าๆ เป0นต!น

+x

+y-y

+z

การเข,ยนส�ญล�กษณ�เวกเตอร�กรณ, 3 ม�ต�

A

xAyA

zA

kAjAiAA zyxˆˆˆ

cossinAAx

sinsinAAy

cosAAz

+x

+y-y

+z

จงเข,ยนเวกเตอร�ด�งร6ป เป0นส�ญล�กษณ� 3 ม�ต�

30

60

A

N.m 32 2

3430cos4

ZA

4sin30

N.m 3 2

3

2

1460sin30sin4

yA

4 N.m

N.m 1 2

1

2

1460cos30sin4

xA

N.m ˆ32ˆ3ˆ kjiA

+x

-x

+y-y

+z

-z

จงเข,ยนส�ญล�กษณ�คณ�ตศาสตร�เวกเตอร�

25 N

53

37

F

kjiF ˆ15ˆ16ˆ12

เฉลย

ท&าเอง

แบบฝ=กห�ด จงวาดร6ปเวกเตอร� ด�งต อไปน,�

N ˆ2ˆˆ2 kjiA

N ˆ2ˆ3ˆ kjiT

N ˆ20kW

m/s ˆ2ˆ32ˆ2 kjiV