非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

51
リーマン 非リーマン等質空間の不連 続群論

Upload: kaeru

Post on 26-Jul-2015

259 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

� 非リーマン等質空間の不連続群論

第�章 非リーマン等質空間の不連続群論

Page 2: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

小林 俊行 �

まずキーワードを直感的に述べてみることにする.「同じ形」の「タイル」

で「敷き詰め」られた空間を思い浮かべてみよう.そこでは,

 「敷き詰め方」を表す代数構造が不連続群,

  �個 �個の「タイル」がクリフォード・クライン形,

 空間における「同じ形」という概念を規定するのが幾何構造

にあたる.従来のリーマン幾何での枠組みを超えた世界で,空間の局所的な

幾何構造と大域的な構造 �不連続群�が織りなす新しい物語の序章を書き留め

たい.

この論説で扱うクリフォード・クライン形とは,等質空間 � を離散群 �

で割って得られる多様体である.�� を �� で割った � 次元トーラスや,ポ

アンカレ平面をフックス群で割ったリーマン面はその典型例である.

� がリーマン多様体であり,その等長変換群の等質空間となっている場合

�上の二例はそうなっている�のクリフォード・クライン形は,昔から多くの分

野にまたがって研究されており,離散群そのものを研究の対象とする場合の

みならず,数論や複素関数論や数理物理などが活躍する舞台ともなっている.

もっと一般の場合として,� 上にリーマン計量以外の幾何構造が定義され,

� がその自己同型群 � の等質空間であるという状況を考えよう.この場合

のクリフォード・クライン形については,一般論としての研究が始まったの

は,わずか ��年あまり前のことである.現在,いくつかの基本的な問題が解

明されたことによって,次の未知なる世界が垣間見えてきたように思う.そ

の先にはさらに,擬リーマン幾何における局所から大域への理論の �つのモ

デルとしての役割が期待できるかも知れない.また,高次元でのタイヒミュ

ラー空間論やユニタリ表現論や保型形式の整数論を巻き込むものかも知れな

い.このような事情が,『��世紀への挑戦』のテーマとして,「非リーマン等質

空間の不連続群」を選んだ �つの理由である.

そもそも,� の幾何構造としてリーマン計量以外のものを考えると,離散

群 � で割った空間 ��� の商位相はハウスドルフになるとは限らず,これが大きなハードルとなる.従って,たとえ � に離散部分群が豊富に存在したと

しても,� の不連続群(定義 ���� は乏しいということがありうる.大まか

にいえば,非リーマン等質空間の不連続群,あるいはそのクリフォード・ク

ライン形の研究は,

Page 3: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

� 非リーマン等質空間の不連続群論

離散群そのものの研究+離散群の作用の研究

の �つから成り立っているといえる.

たとえば,「コンパクトなクリフォード・クライン形をもつ非リーマン等質

空間を決定せよ」という問題においては,後者の「離散群の作用」が重要に

なる.��年代に入ってから,異なる分野の専門家たちが,さまざまな観点

と手法から,この問題に参入し始めたが,これまでに用いられた研究手法は,

リー群論や離散群論だけでなく,特性類,シンプレクティック幾何,エルゴー

ド理論,ユニタリ表現論…など既に多岐にわたっており,この新しい研究領

域のふところの深さを示唆しているように思われる.

��� はじめに

��� 集合 � が,�� 級多様体と群の構造をかねそなえており,さらに群演算

�� �� �� ��� �� �� ����

が �� 級写像になっているとき,� をリー群という.

���年という節目の年に,ヒルベルトは ��世紀の数学の進歩に役立つと

考えた ��個の問題を提起した.その �つとして,リー ��� �� ���� の変換

群論の基礎づけを問題にしたのが「ヒルベルトの第 �問題」である.それは,

変換群論における微分可能性の仮定が本質的なのか,あるいは議論の技術的

な要請のために付け加えているだけで本来は不必要なものなのかを問うもの

であった.���年フォン・ノイマンによって,この問題はより精密な形で定

式化され ���,さらに,グリーソン,モンゴメリ,ジッピン,山辺英彦らに

よって ���年ごろに肯定的に解決された.一言でいうと,リー群を定義す

るにあたって �� を ��� ��� � � � � ���実解析的� に置き換えても実質的に

は同じ概念が得られるというのがその主定理である.

アーベル群 ��,円 � � � � � � �� � ��,一般線型群 ������� など

は,リー群の例である.リー群論やその表現論は,��世紀全体にわたって微

分幾何,関数解析,トポロジー,数論,微分方程式,代数幾何などの分野と

さまざまな相互作用をひき起こしながら発展してきた.そこには,

   コンパクト群  � 非コンパクト群 

Page 4: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

小林 俊行 �

   有限次元表現  �  無限次元表現   リーマン多様体 � 擬リーマン多様体という大きな流れがあった.それらは単なる一般化ではなく,新たな困難を

克服するにあたって手法の質的な変革 �ときには,代数的なアプローチが解

析的なものにかえる,あるいはその逆に,というほどの� をもたらすもので

もあった.

この論説は,�つのリー群の組 ������� から生ずる幾何をテーマとする.

より正確には� と �は共に�の閉部分群であり,�は離散群である.固定

部分群� がコンパクトとは限らないという一般的な状況で生ずる新しい現象

や未解決問題に力点をおいてクリフォード・クライン形 ��� � にまつわる最前線の話題を解説しよう.

クリフォード・クライン形を考える手始めに,�以下は,� がコンパクト

になる古典的な例であるが� 向きづけ可能な閉曲面� を考えてみよう.よ

く知られている閉曲面の分類定理によれば,� は,� �球面�,� � �トーラ

ス�,種数 � � の閉曲面 �� のうちのどれか一つに同相である.この �

種類の中で � � は,直積 � � � の形でリー群の構造を入れることができる.一方,� や�� にはリー群の構造を入れることができない.しかしな

がら � や �� にも �対称性� がある.まず,� に関して言えば,特殊直

交群 ���� は回転群として � に作用し,この作用は推移的である.従っ

て,� つのリー群の組 ����� � ������ ����� を用いれば,� は等質

空間 � � として表示することができる.次に �� �� �� に関して言

えば,�� は � つのリー群の組 ����� によって等質空間として表すこと

はできないが,�つのリー群の組 �������を用いればクリフォード・クラ

イン形 ��� � �定義 ��� を参照� として表すことができる.具体的には,

� � ������� �� ������ ����� � �,� � ���� � �例 ���を参照�とすればよい.このように,�つのリー群の組 �������を用いれば,両側

剰余類 ��� � として表示することのできる多様体の例は大きく拡がる �もちろん,群多様体は � � � � ���の場合に相当し,等質空間は � � ���の場合に相当する�.さらに,閉曲面�� を �つのリー群 �������を用いて

�� ���� � と表示することによって� �離散群 �によって統制される�位相構造と,�複素構造,リーマン構造などポアンカレ上半平面� � から誘導さ

Page 5: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

� 非リーマン等質空間の不連続群論

れる� �� 上の幾何構造を分離して理解することができる.この例でも分かる

ように,クリフォード・クライン形��� � の研究は,連結な群の組 �����によって統制される局所的な幾何構造と,離散群 �により統制される大域的

な位相構造の両方が自然な形で関与する.

��� 最初に,いくつかの基本的な用語を準備しておこう.まず,離散群 �が

連続に位相空間 � に作用しているという設定を考える.� の部分集合 に

対して,�の部分集合を

�� �� �� � � � � � �� ��

と定義する.

■ 定義 ��� � の � への作用は,その作用の性質によって次のような名称

が付けられている.

�� � の任意のコンパクト集合 に対して �� が有限となるとき,真性不連

続 な作用 �あるいは固有不連続な作用�であるという.

�� 任意の � � � に対して � における固定部分群 ���� � ��� となるとき,自由な作用 �または固定点を持たない作用�であるという.

さて,群 �が集合� に作用しているとき,つまり,

� � ��� �� � � � �となる � � � が存在する

という同値関係によって定まる � の同値類のなす集合を ��� と書く.���は � における ��軌道全体のなす集合とみなすこともできるので,��の�軌

道空間と呼ばれる.さらに,� が位相空間ならば,��� には,� の位相から誘導した位相 �商位相�を入れることができる.

��� 次のよく知られた補題を見れば,定義 ��� の意義は自ずと明らかにな

ろう.

■ 補題 ��� 離散群 �が ��� 級,リーマン,複素,� � � �多様体 � に連続

に �滑らかに,等長的に,双正則に,� � � �作用しているとする.� の作用が

真性不連続かつ自由ならば,��� はハウスドルフ位相空間になり,しかも

Page 6: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

小林 俊行 �

� � � � ���

が局所同相 �微分同相,等長,双正則,� � � �になるような多様体の構造をいれ

ることができる� さらに� このような多様体の構造はただ一通りである.

��� �をリー群とし� � をその閉部分群とする.すると右剰余類の空間� �

は商位相でハウスドルフであり,多様体の構造は

��� � � � �� ��� ��� �� ���

が �� 級写像になるようにただ一つ定まる.� � は,等質空間,あるいは

等質多様体とよばれる.

次に� �を�の離散部分群とする.�は,等質空間 � � に左から滑らか

に作用するので,特に � の部分群 � も等質空間 � � に滑らかに作用する.

軌道空間 ���� �� は,両側剰余類の空間 ��� � と自然に同一視できる.ここで ��� � は�

� � �� � �� � ���なる � � �� � � � が存在する

という同値関係で定義される �の同値類の集合のことである.

■ 定義 ��� �が � � に真性不連続かつ自由に作用するとき,�を � �

の不連続群という.�が � � の不連続群ならば,補題 ��� により,両側剰

余類の空間 ��� � は,� � � ��� � が局所微分同相になるような��級多様体の構造を持つ.このようにして得られた多様体 ��� � は � � の

クリフォード・クライン形と呼ばれる.

��� クリフォード・クライン形の例をいくつか挙げよう.

■ 例 ���

�� ������� � ������� ����とする.このとき,クリフォード・クライン形 ��� � は �次元トーラス � � � � �� � に微分同相なコンパクト多様体になる.

�� �行 �列の上三角実行列 �����で,対角成分 ��� � � �� � �� � �� であ

Page 7: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

� 非リーマン等質空間の不連続群論

るような行列全体のなすリー群を � とする.� は単連結な冪零リー群であ

る.�の部分群���として

� � ���� � ������ � � �すべての �と � に対して ��� ���

と定義されるものを考えよう.すると �は�の離散部分群であり,� � ���なので明らかに � � への作用は真性不連続かつ自由である.得られたクリ

フォード・クライン形 ��� � はコンパクト多様体である.�� ������� � �������� ������� ���� とする.このとき,クリフォード・クライン形 ��� � は非コンパクト多様体となる.� � �のとき,�次元多様体

��� � � �������������は,下図のように �

�内の三つ葉結び目の補集合と同相になる �このことの説

明は,例えばミルナーの著書 ���������ページにあるクィレンの証明を参照

されたい�.

���������������

�����三つ葉結び目 �

�� ����� � �������� �����とすると,等質空間 � � は,上半平面

� �� � � � � � � ��と双正則同型である.さらに �をねじれ元がなく,�の中で余コンパクトな

離散部分群とすると,クリフォード・クライン形 ��� � は,種数 � �の閉リーマン面 �� になる �例 ���参照�.

�� � � ������,� を�の任意の非コンパクトな閉部分群とする.この

とき,� � の不連続群は有限群に限る �これは,��!節や例 ���で後述する

カラビ・マルクス現象の �例である�.

��� 部分群 � がコンパクトならば,�の離散部分群の � � への作用は自

Page 8: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

小林 俊行 �

動的に真性不連続になる.しかし,� が非コンパクトならば,離散部分群の

作用は 真性不連続になるとは限らない.実際,両側剰余類 ��� � の商位相はハウスドルフにならないことがある.一般に,リー群�とその閉部分群�

が与えられたとき,等質空間 � � には無限位数の不連続群が存在すること

もあれば,存在しないこともある.すなわち,等質空間 � � のクリフォー

ド・クライン形がどれ位豊富に存在するかは,リー群の組 ����� によって

著しく異なるのである.現在,等質空間 � � のクリフォード・クライン形

に関して,まだ解かれていない基本的な問題がたくさんある �例えば,最近

の概説論文 ��"� の最後の章に挙げられた ��個の未解決問題を参照�.

この論説では,等質空間に対する不連続群に関する未解決問題のうち,最

も重要だと考えられる問題を �つ取り上げることにしよう.

■ 未解決問題 � �真性不連続性の判定条件 離散部分群 �が等質空間� �

に真性不連続に作用するかどうかを判定する効果的な方法を見つけよ.

■ 未解決問題 �コンパクトなクリフォード・クライン形の存在問題 コ

ンパクトなクリフォード・クライン形 ��� � が存在するのはいつか# そのような等質空間 � � をすべて決定せよ.

■ 未解決問題 � �体積有限のクリフォード・クライン形の存在問題 体積

有限のクリフォード・クライン形 ��� � が存在するのはいつか# そのような等質空間 � � をすべて決定せよ.

■ 未解決問題 � �不連続群の変形 モジュライ 等質空間 � � の不連続

群 �の変形を記述せよ.

��� この論説で我々が対象としているのは,� が非コンパクトであるときの

等質空間 � � に対する問題 $~% である� 一方,� がコンパクトである

ときには問題 $~%は非常に古くから良く研究されている.第 �節を終える

にあたって,� がコンパクトのときの古典的結果を手短かに復習することに

Page 9: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

非リーマン等質空間の不連続群論

する.

最初に,� がコンパクトのときは,問題 $の解は簡単である.

問題 �の答 �� がコンパクトの場合� � がコンパクトならば,�のいかな

る離散群も� � に真性不連続に作用する.

この主張自身の証明はほぼ明らかである.� がコンパクトであるときとそ

うでないときとの違いは簡単であるが,���! で後述する一般的な枠組み ��と �� を用いると,一層明瞭になるであろう.

次に,�を簡約リー群 �定義は ����参照�とし,� を�の極大コンパクト部分群とする.����� � �������� ����� はその典型的な例である.こ

のとき,等質空間� � には,��不変なリーマン計量が存在する.リーマン

多様体 � � はリーマン対称空間と呼ばれる.この設定のもとで,上記の問

題 & と % を考えてみよう.

問題 の答 �� がコンパクトの場合� �!�年代初頭,算術的部分群の理論

����� ��!��を基盤として,ボレル �"�は,任意のリーマン対称空間� � に対

し,そのコンパクトなクリフォード・クライン形が常に存在することを証明

した.さらに,� が非コンパクト半単純リー群ならば,体積有限でありしか

も非コンパクトなクリフォード・クライン形 ��� � も常に存在するということも知られている.

問題 �の答 �� がコンパクトの場合� セルバーグ・ヴェイユの局所剛性定

理 ������ �!��� によれば,既約なリーマン対称空間 � � のコンパクトクリ

フォード・クライン形は,� � がポアンカレ上半平面である場合を除いて

局所剛性 �定義 ���参照�である �なお,局所剛性定理は,後にモストウ,マ

ルグリス,ジンマー等によって,さらに強い形の 剛性定理 へと拡張された�.

換言すれば � がコンパクトかつ � � が既約な対称空間の場合には,コン

パクトクリフォード・クライン形 ��� � の非自明な変形は,� � が �次元のとき,すなわち ��� � � �� �� �� のときのみ可能である.この場合,クリフォード・クライン形の変形は,可微分多様体 �� の複素構造の変

形に対応する.複素構造の同値類の全体はリーマン面のモジュライと呼ばれ,

数学の中で伝統的に重要な話題の一つであるというだけでなく,弦理論や共

形場理論など数理物理においても近年頻繁に現れている.

Page 10: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

小林 俊行

��� �がコンパクトでないときは,�つのリー群の組 �����が特別な場合に

対してでさえも,これらの問題を解くのは難しいことが多い.一般の等質空

間に対してこのような問題意識が提起されたのは比較的最近 ���� � ���のことである ������ �����.��年代に入って,数学の様々な分野の手法を用

いて,いくつかの特別な場合にこれらの問題が解かれた.クリフォード・ク

ライン形の存在問題を解くために用いられたさまざまな分野の手法が互いに

どのようにかかわりあっているか,今の所,はっきりとはわからない.その

理解は将来の課題である.この論説では第 �節でウォーミングアップをした

あと,第 �節,�節,�節で順に問題 $,&,%の定式化やその背景および,

現在どのような手法でどこまでわかっているかを具体例とともに説明しよう.

��� クリフォード・クライン形における幾何構造

��� 等質空間 � �上に ��不変な幾何構造 �例えば,複素構造,擬リーマン

構造,共形構造,シンプレクティック構造など�があれば� 同じ幾何構造が被

覆写像

� � � � � ��� �

を通して,クリフォード・クライン形 ��� � にもそのまま受け継がれる.良く知られているように,等質空間� �上の��不変な幾何構造は次の基本

原理によって与えることができる:まず,� �� ��における接空間 ���� �� �� � 上の��不変なテンソルをとり,それを� の作用で移動する.�の作用

で移動したときに,移動の仕方によらずに定義できるために,出発点のテン

ソルの��不変性を使うのである.こうして得られた� � 上の幾何構造は自

動的に��不変となる.ここで,�と �は,それぞれ�と� のリー環である.

� が �実� 簡約線型リー群,つまり,� の連結成分は高々有限個であり,

� � �,すなわち � � � がすべての � � � に対して成り立つような

�������の閉部分群として実現される場合を考えよう.以下の古典群

�������� ������� ���� ��� ������� ����� ��� � � �

などは簡約線型リー群の典型例である.

■ 例 ���

Page 11: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

� 非リーマン等質空間の不連続群論

�� �擬リーマン構造 まず� 対称双線型形式

�� ������� ������ �� ���! � �� '()*���! �

を考える�

+ ����� ���� �� ����� � � � �� 対称行列

���� ���� �� ����� � � � ��� 交代行列

とおくと,双線型形式 は + �����上で正定値であり,���� 上で負定

値である.さらに,+ ����� と ���� は に関して直交しているので,

の符号は

�,� + ������,� ����� �

��

����- ���

���� � ��

�となる.次に � は � � � を満たす � ����� の部分空間であるから, を

� に制限した双線型写像 �� � � � � � �も非退化である. �� の符号は�"���� ,� �� "���� となる.ここで,

"��� �� ,� �� � �� � + �����

とおいた.

� � � を満たすとき,等質空間 � � を簡約型と呼ぶ.� � � かつ

� � � ならば,対称双線型形式 を �� � や �� � に制限したときいず

れも非退化であるので,商空間 � �上に非退化双線型形式 . が誘導される.

このとき. � � �� � �� �

は ��不変となる.そこで,� � を � � �� における接空間 ���� �� と同

一視し, . を � で左移動すると,� � に擬リーマン計量 �定義は ���!参照� をいれることができる.実際, . は ��不変なので, . の��移動は矛盾

なく定まるからである.特に,この擬リーマン計量は��不変となる.この擬

リーマン計量の符号は

�"���� "���� ,� �� ,� �� "��� - "����

である�

Page 12: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

小林 俊行 �

�� �シンプレクティック構造 �の元 # を �つ選び随伴軌道

$,���# ����#��� � � � ��

を考えよう.

� ���� � � � �#��� � #�

とおくと $,���# は等質空間 � � と微分同相になる.さて,反対称双線

型形式

$ � � �� � �� �� ���! � �� '()*�����! �#�

は,� � の代表元のとり方によらず定義され,さらに,��不変である.$ を

��移動することによって,� � 上に ��不変なシンプレクティック構造を定

めることができる �一般に,� の �� への軌道,すなわち,余随伴軌道には

シンプレクティック構造が存在する.� が簡約の場合は,非退化な を用い

て � と �� が同一視できるので,任意の随伴軌道にシンプレクティック構造

が定義できるのである�.

�� �複素構造 ���の設定のもと,さらに,

),�#� � �� �� � �� #� ��#

が対角化可能で,固有値が全て純虚数であると仮定する.このとき対応する

随伴軌道 $,���# � � � は,楕円軌道と呼ばれる.楕円軌道 � � には,

��不変な複素構造が存在することが知られている ������ �� ) !����説明の

ヒント� この仮定の下で� �は,複素リー群��の一般化された旗多様体の

開部分集合として実現できる�.ここで,�も� も,複素リー群であること

を仮定していないのに,等質空間� � には複素構造が入ることに注意する.

上の例 ���では,等質空間上の �つの幾何構造 �擬リーマン,シンプレク

テック,複素� を取り上げた.例えば,

����� � ��������� �������� ����� �����

は,���と ���の例になっている.また,

����� � �������� �����

は,���,���,���すべての例になっている.

Page 13: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

� 非リーマン等質空間の不連続群論

��� 逆に,幾何構造を持った多様体 � から出発して,� がある � つ組

������� を用いてクリフォード・クライン形 ��� � として表すことが

できるだろうか# できるならば,どのような状況において表されるかを議論

しよう.初等的な考察をまず述べ,その後に典型例を挙げることにする.

� を可微分多様体とし,% を� 上の幾何構造とする.�� を� の普遍被覆多様体とする.被覆写像を

� � �� ��

と書く.すると,局所微分同相写像 �を通して,�� 上にも同じ幾何構造 % を引き戻すことができる.�� のすべての微分同相写像全体のなす群 �/�0����� �と書かれる�は,非常に大きな群である.その部分群として,幾何構造の自己同型群を

� �� $�1����%� � �� � /�0����� � � � は % を保つ�

とおく.

■ 例 ��� �� % が擬リーマン構造のときは,�は等長変換群と呼ばれる.

�� % が複素構造のとき,�は 双正則変換群と呼ばれる.

��� 幾何構造の自己同型群は,しばしば �有限次元の�リー群になる.2�カ

ルタンによって ��� 年に証明された定理「�� の有界領域の双正則変換群は

リー群になる」がこのようなタイプの最初の結果である.引き続いて,��

年にマイヤーズとスティーンロッドは,リーマン多様体の等長変換群がリー

群になることを証明した.より一般に,擬リーマン多様体の等長変換群はつ

ねにリー群になることが知られている.

どのような幾何構造 % に対して群 $�1����%�がリー群になるのかという一般的な問題については小林昭七の著書 ���� を参照されたい.

��� 普遍被覆多様体 �� の点 � を一つ選び,.� � ���� とおく.�の部分群 �

と� を

Page 14: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

小林 俊行 �

� �� �� � � � � � � � �� �固定部分群�

� �� ����� .�� �基本群�

で定義する.�が�の部分群をなすことをみるには,次のように考えればよい.

基本群 ����� .��は,被覆変換,つまり,�Æ� � � なる微分同相 � � �� � ��として,�� に作用する.被覆変換は,被覆写像 � � �� �� を通じて �� 上に引き戻した幾何構造 % を明らかに保つ.さらに,� の �� への作用は効果

的である.よって �は自己同型群�の部分群とみなせる �ただし� 点 � のと

り方には依存している��

被覆変換の一般的な性質として� �の �� への作用は真性不連続かつ自由であり,軌道空間 ���� は,自然に� に微分同相となることに注意する.よって,次の命題を得る.

■ 命題 ��� � を幾何構造 % を持った多様体とする.自己同型群 � ��

$�1����%�がリー群となり,さらに �� に推移的に作用すると仮定する.すると,� は,以下の可換図式により,クリフォード・クライン形 ��� � と自然に微分同相となる.

� � �� �� �� ��� � � �� � �� ��

��� � �� � ��� ��� � � .�.

��� 命題 ��� の例として,古典的結果を �つ列挙しよう.

■ 例 ��� � をリーマン面とし,% を� 上の複素構造とする.クライン・

ポアンカレ・ケーべの一意化定理 �これはリーマンの写像定理の一般化であ

る�により,普遍被覆多様体 �� は,�または � または��� のどれか一つに双正則同値である.双正則変換群 � � $�1����%� は,それぞれ

$�1��� %� � ������� � ������ ����$�1�� � %� � &''��� � � � �� � � �半直積��

$�1���� � %� � ����� � � � ���� � � ����で与えられる.これらの作用は,一次分数変換

Page 15: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

� 非リーマン等質空間の不連続群論

�� � - (

) - "

で与えられる ��� (� )� " は, � � のときすべて実数3 � � のとき ) �

�� " � � と考えれば良い�.普遍被覆 �� が �� � � ��� いずれの場合にも,それぞれの双正則変換群�は,�� に推移的に作用し,固定部分群� はそれぞれ �� ��,�� � � と同型な群になる.よって,命題 ��� により,任意の

リーマン面� は �����を上記のリー群の組の一つを用い,クリフォード・

クライン形 ��� � と双正則な多様体として �自然に�表すことができる.なお,� が種数 �のコンパクトリーマン面のとき

�� �

��� �� ��� �� � ��

��� �� � ��

となる �ここで � は双正則同値を表す��

Page 16: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

小林 俊行 �

��

��

��

��

��

Æ

Æ

�� �

� ��

� �

���

�� � ��

��� � を可微分多様体とする.命題 ��� の � 番目の例として,符号 ��� ��

の �擬リーマン�球空間形を考えよう.はじめに,いくつかの用語を定義しよ

う.各接空間 �� に非退化な対称双線型形式 � で,� 上の任意の滑らか

なベクトル場�,! に対して ����! �が �の滑らかな関数になっていると

き,��� �� を擬リーマン多様体と呼ぶ.対称双線型形式 �の符号 ��� ��は,

局所的に定数である.��� ��は,� � �のときリーマン多様体,� � �のと

きローレンツ多様体という.どの測地線もその �時間�パラメータが �全体

で定義できるとき,その擬リーマン多様体を完備であるという.

Page 17: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

� 非リーマン等質空間の不連続群論

擬リーマン多様体 ��� ��の断面曲率 �� は,非退化な �� 内の �次元

平面 * に対して,

�� �*� �����+�!� #�!� #�

��!� ! ���#�#�� ��!� #�� �

という式で定義される.ここで,�!� #�は* の基底であり,+は� の曲率テンソルである.定義式の右辺は,* の基底 �!� #�のとり方によらない., が * における原点 �の小さい近傍のとき,断面曲率 �� �*� は �にお

ける �次元の部分多様体 45��, � のガウス曲率になっている.この意味で,

断面曲率�� �*�は古典的なガウス曲率の概念の拡張になっているといえる.

■ 例 ��� � を符号 ��� ��の完備な擬リーマン多様体とする.断面曲率��

が正の定数のとき,� を符号 ��� ��の球空間形と呼ぶ.�適当に計量を正の定

数倍すれば,断面曲率を -� と正規化できる.また,計量を��倍すると,�は断面曲率が負の定数となる符号 ��� ��の擬リーマン多様体になることに注

意する.� 符号 ��� �� の 球空間形の典型例は次のように与えられる.������

上の �次形式 -� � を

-� ���� �� ��� - � � �- ����� � ����� � � � � � �������

と定義する.超曲面������上の符号 ��- �� �� の標準的な擬リーマン計量

".� � "��� - � � �- "����� � "����� � � � � � "�������

を超曲面

���� �� ���� � ������ � -� ���� � �

�に制限して,���� ��に擬リーマン構造を入れる.このとき,擬リーマン多

様体 ���� �� の符号は ��� �� となる.さらに,���� ��の断面曲率は正の定

数 -�をとる.逆に,� �� � のとき,任意の符号 ��� ��の球空間形の普遍被覆は ���� ��に等長同型であることが知られている �なお,� � � のときは,

���� �� は単連結ではない�.�次元の場合の���� ���すなわち �- � � ��を

図示しておこう:

Page 18: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

小林 俊行 �

���� �� ���� �� ���� ��

不定値直交群 ���- �� �� は��� � ����- � - ���� � -� ����� � -� ���� �

�� � ��������

によって定義される簡約線型リー群である.��� - �� �� は,擬リーマン多

様体 ���� �� に等長変換として自然に作用する.逆に,���� ��上の任意の

擬リーマン等長変換は ���- �� ��の変換として与えられる.���- �� ��の

���� ��への作用は推移的であり,���� �� 上の � 点 ��� �� � � � � ��における固定部分群は���� ��に同型である.従って,命題 ���より,符号 ��� ���� �� ��の任意の球空間形6はクリフォード・クライン形

������ �� � �����- �� �� ���� ��

と等長同型な多様体として表示できる.ここで,�は基本群 ���� �と同型な

���- �� ��の離散部分群であることが分った.

注意 �� �� � �の場合� ���� ��は �次元球面 � に標準的なリーマン計量を

与えたものにほかならない.符号 ��� ��のすべての球空間形を求める分類問題

は,クラインの ���年の論文 ����で提起され,キリング ���によって �クリ

フォード・クライン空間形問題 �と命名された.この問題は「���-�� ����

に自由に作用する ���- ��のすべての有限部分群 �を分類せよ」という問

題と同値である.これはさらに,「単位元以外は -�を固有値として持たない

ような ��� - ��の有限部分群をすべて分類せよ」という有限群の問題に帰

着できる.この問題は,ホップの ���年の論文 ���� やウォルフの ���年

Page 19: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

� 非リーマン等質空間の不連続群論

の著書 �!�� などで詳しく扱われている.

�� �� � �の場合� 擬リーマン計量を��倍すると,���� ��は双曲多様体と呼ばれる負の定曲率のリーマン多様体になる.ときにロバチェフスキー幾何

とも呼ばれる双曲幾何は,�世紀のボヤイ� ガウス,ロバチェフスキー等に

よる非ユークリッド幾何のモデルに端を発し,�� 世紀後半の � 次元多様体

のトポロジーや幾何に関するサーストンの仕事 ����や双曲群の理論などの最

近の論文に至るまで長い研究の歴史と膨大な文献がある.

�� �� � �の場合� 相対性理論にもとづいた宇宙論の物理では,時空の連続

体として,�次元のローレンツ多様体� が採用される.符号 ��� ��の球空

間形は�相対論的球空間形,あるいはド・ジッター空間とよばれる �宇宙論的

な視点からはホーキング・エリスの著書 ��!� を参照�.カラビとマルクスは,

�!�年の論文 ��で,「任意の相対論的球空間形は非コンパクトであり,その

基本群は有限になる」という驚くべき現象を発見した.彼らの結果は次の形

に再定式化できる.

「���- �� �� ���� �� の任意の不連続群は有限群である」

与えられた等質空間の任意の不連続群が有限群になるという性質はカラビ・

マルクス現象と呼ばれている �カラビ・マルクス現象については第 �節で論

じる例 ������定理 ����� を参照�.

�� �� � �の場合� 符号 ��� ��の球空間形は反ド・ジッター空間と呼ばれる.

第 �節で述べるように,�が偶数のとき,そしてそのときに限り,コンパクト

な反ド・ジッター空間が存在する �下記の ��!において � � �の欄を参照�.

�� 擬リーマン多様体の符号 ��� ��がどのようなときにコンパクトな球空間

形が存在するかを完全に決定する問題は未解決である.次は,第 �節で後述

する予想 ���を ���- �� �� ���� ��に適用したときの特別な場合である.

■ 予想 ��� ��� ��が以下のリストに入っているとき,そしてそのときに限

り,コンパクトな符号 ��� ��の球空間形が存在するであろう�

��� ��が下の表にあるときにコンパクトな球空間形が存在すること �十分条

件�はボレル・クルカルニ・小林によって証明されている �そのアイディアは

第 �節で後述する.より一般の場合は ��"� の一覧表参照�.逆に,コンパク

Page 20: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

小林 俊行 �

トな球空間形が存在するような擬リーマン多様体の符号���7�は下の表に出

てくるものに限られると言う予想 �必要条件�はまだ証明されていない.さら

に一般的な場合については例 �����で触れることにする.

� � � � � "

� � � �� �� �

��� 命題 ���の �番目の例として,アファイン平坦な多様体を考える.すな

わち,幾何構造 % としてはアファイン接続を扱うのである.

■ 例 ��� � を曲率テンソルと捩率テンソルが恒等的に �であるような完

備なアファイン接続を持つ �次元多様体とする.このとき � は,完備でア

ファイン平坦な多様体と呼ばれる.���年のアウスランダーとマルクスによ

る定理 ���により,その普遍被覆多様体 �� は標準アファイン空間��に同型

である.一方,アファイン変換群

$�1����%� � &''����� � ���������� �半直積�

は �� � ��に推移的に作用する.よって,命題 ���より,任意の完備でアファ

イン平坦な多様体� は� クリフォード・クライン形 ��&''����� �������として表示できる.ここで � は基本群 ���� � と同型な &''�����の離散

部分群である.次はその基本群 ���� �に関する未解決問題である.

■ 予想 �アウスランダー予想� � を完備でアファイン平坦な多様体とする.

� がコンパクトならば,基本群 ���� �はほぼ可解群である.

ここで,�ほぼ可換群�というのは,有限指数の可解部分群を含んでいると

いう意味である �無限群を扱っているので,有限指数程度の差は気にしない�.

この予想は,等質空間� � � ���������� �������の不連続群の文

脈では次のように再定式化できる.

■ 予想 �アウスランダー予想の群論的定式化� クリフォード・クライン形

��&''����� �������がコンパクトならば,�はほぼ可解群である.

ミルナーは ����において� �� はコンパクト�と言う仮定を落として同じ

結論を予想したが,その数年後にマルグリスは �次元の場合にミルナーの予

Page 21: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

�� 非リーマン等質空間の不連続群論

想の反例を与えた ����.一方,この �離散群に関する�予想と類似の命題を連

結な群に対して考えると,コンパクト性の仮定なしに成立する.つまり �が

&''�����の連結な部分群で��に 真性 ��(���(�に作用しているならば,�

は可解群のコンパクト群による拡大である ���������参照�.第 �節では,もっ

と一般の設定の中でこの例を振り返ることにしよう �例 ��������参照�.

なお,アウスランダー予想はアファイン接続がリーマン構造のレビ・チビタ

接続のときは成立する �ビーベルバッハ ���年�.また,ローレンツ構造に

対しても成立する ����年のゴールドマン・神島 ����や ��年のトマノフ

��"�も参照�.リーマンあるいはローレンツ多様体と仮定した場合には,等質

空間 � �が �元来の���������� �������ではなく� ������� ����

または ���� �� ����� ���� �� ��のときの不連続群に関する問題に帰着される.�多様体としては� ������� ���� � ���������� ����������� � �� ��� �� ��� � �� �� はすべて ��と微分同相であるが� � がどの

変換群の部分群になっているかという点で問題の難しさが異なる.)接続がレ

ビ・チビタ接続とは限らない一般の場合には,アウスランダー予想は � � !

に対しては未解決である �� � ! については,�年のアーベルス・マルグリス・ゾイファー ���が解決したことをアナウンスした�.

��� これまで,�が与えられた幾何構造の自己同型群であるときの命題 ���

の例をいくつか説明してきた.より一般には ������構造という概念 �例え

ば,サーストンの著書 ����を参照�から説明することもできる.その文脈で

はクリフォード・クライン形が以下のように自然に現れる.リー群�が滑ら

かに多様体 � に作用しているとする.� に値を持つような� のアトラス

�,�� /��によって� の多様体としての構造が与えられており,さらに変換

関数 /� Æ/��� � /��,� ,��� /��,� ,�� が�の� への作用の形で与えられているとき,多様体� には ������構造が定められているという.こ

のとき,普遍被覆多様体 �� にも自然に ������構造が定義される.さらに,アトラス �,�� /��を拡張して,普遍被覆多様体 �� から� への ������写像が一意的に定義できる�

,�8 � �� � �

写像,�8を展開写像と呼ぶ.そしてホロノミー写像と呼ばれる群準同型����� .���

Page 22: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

小林 俊行 ��

� が存在し,ホロノミー写像を通して展開写像 ,�8は ����� .���同変になる.

展開写像 ,�8が全射であるとき,� を完備な ������多様体という.

多様体� がクリフォード・クライン形として表示されるための内在的な

条件を ������多様体の言葉で以下のように述べることができる.

■ 命題 ��� 等質空間� �が単連結であるとする.� � � �とおく.�

が完備な ������多様体ならば,展開写像によって� とクリフォード・クラ

イン形 ��� � との間に自然な微分同相が誘導される.ここで,�は,ホロノミー写像による基本群 ����� .��の像である.

��� 真性不連続な作用の判定条件

��� この節では次の問題について議論する.

■ 問題 � �����参照 離散部分群 � が等質空間 � � に真性不連続に作

用するかどうかを判定する効果的な方法を見つけよ.

位相空間における真性不連続な作用の定義そのものは �少なくとも外見は�

簡単である.しかし,一般にリー群�の離散部分群 �が与えられたとき,等

質空間� � への �の作用が真性不連続かどうかを実際に判定することは容

易ではない.問題 $における �判定条件 �は,たとえば,次のような問題に

答えられるほど具体的な判定条件であることが望ましい.

■ 問題 � 等質空間� �を与えたとき,基本群が無限位数となるクリフォー

ド・クライン形は存在するか.

■ 問題 � 等質空間� �を与えたとき,非可換自由群はその不連続群にな

りうるか.

��� ここでは,問題 �と �について,現在どの程度まで解き明かされている

かを示す例をいくつか挙げよう.以下では,最も一般的な形で定理を記述す

るかわりに,典型的な例を挙げることにする.

■ 例 ����� �� � 次元以上の相対論的球空間形� � � ���� �� ������ �� に対しては問題 � の答は 9�であることが知られている ��!�年 カラ

Page 23: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

�� 非リーマン等質空間の不連続群論

ビ・マルクス ���.

�� 擬リーマン対称空間������� �������� �������に対しては問題 �の答は 9�であり, ������ ���� �� �� � �- � �� に対しては :��であることが知られている �より一般の結果は定理 ����� で述べる�.

�� 可解な等質空間 � � すなわち,�が可解リー群であり � は連結かつ

閉であるような真部分群であるときは,問題 � の答はつねに:��であること

が知られている ��� 年の 小林の論文 ��!�によって証明された.�� 年の

リップスマンの論文 ���もこの問題を論じている�.

■ 例 ����� �� アファイン平坦な多様体 ������������ �������� ��

に対しては問題 � の答は :��であることが知られている ���� 年 マルグリ

ス �����.この例はアウスランダー予想において �����がコンパクトである�

という仮定を落としたときに ミルナーが �""年に提起した問題 ����の反例

にもなっている.

�� 擬リーマン等質空間� � � ������ ������に対しては問題 � の答

は 9�であることが知られている ��!年 ブノワ ����.

一般の簡約リー群の組 ����� に対して,問題 � は小林の �� 年の論

文 ����において実ランク条件による必要十分条件が証明されて解決し �定

理 ������,また,問題 � は ブノワの �! 年の論文 ���によって解決した.

これらの結果は 簡約リー群に対する 問題 $ の答の副産物として得られる

����" で説明する�.なお,アファイン変換群 &''����� � ���������� のような一般の簡

約でないリー群 � に対しては,問題 $ は,依然として未解決である.

��� 簡単な例をいくつか取り上げ,問題 $ の微妙な部分を明らかにしよう.

■ 例 ��� 以下の ���,����のように,離散部分群 � ���の多様体 � �� �

への � 通りの作用を考える�

�� ��� � �� ��� �� �� �- �.

��� ��� � �� ��� �� �� ���.

このとき,���の作用は真性不連続かつ自由である.得られる商空間 ���は,円 � に微分同相である.

Page 24: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

小林 俊行 ��

一方 ���� では,商空間 ��� は ハウスドルク空間でない.実際,商空間��� は,� � �一点 � � � が連結に �;�なるような位相を入れた空間と同相であることがわかる.また,原点 �における固定部分群 ��は�に等しく,

しかも �が �でない限り �を通る ��軌道は閉集合でない.次の補題 ��� で

述べるように,これらはいずれも �の作用が真性不連続ではないことを意味

している.

��� 例 ��� ����の作用が真性不連続でない理由をもう少し丁寧に見てみよう.

次の補題の証明は,位相空間論の簡単な演習問題程度である.

■ 補題 ��� �固有不連続性のための必要条件 離散群 �が局所コンパクトハ

ウスドルク空間 � に真性不連続に作用しているとする.このとき次の ���,

��� が成り立つ.

�� 任意の � � � に対して,�における固定部分群 � は有限群となる.�� 任意の � � � に対して,� を通る �軌道は� の閉部分集合となる.��� 残念な事に,補題 ��� は真性不連続性の十分条件ではない.以下に述べ

る � 次元の例は�補題 ���だけでは到達できない問題 $ の本質的な難しさを

示唆している.

■ 例 ��� 離散群 � ���の 多様体 � �� �� � ����

�への作用を

������� � �� � �� ��� ��� ��� �� ����� �����.

によって定義する.このとき 任意の点で固定部分群は ��� であり,任意の��軌道は� で閉集合である �左下図参照�.従って補題 ���で述べた � つの

必要条件は満たされている.しかし,この作用は真性不連続でない.そのこ

とを確かめてみよう. を単位円周とする.このとき � � は 任意の � � �に対して内部の面積が一定の楕円になる.以下の図から

任意の � � � に対して � � �� �

がわかる �右下図参照�.したがって, がコンパクトであるにもかかわらず

�� � � �無限群�

となり,作用が真性不連続でないことが示された.

Page 25: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

�� 非リーマン等質空間の不連続群論

� � �

任意の ��軌道は閉集合になっている � � � � � ��

上記の作用によって得られる商空間 ��� はハウスドルフでない.実際,商空間 ��� は,以下の図に連結な �非ハウスドルフ� 位相を与えた空間を底空間とする ��束 と同相である.

この例を群論的な立場から説明すると次のようになる.

� � �������� �

���

(

�� ( � �

��� �

����

���

�� � ��

�とおく.このとき�は

� �� ������

��に推移的に作用する.� は点 � ��

��

� ��における等方部分群に一致する

ので,次の同相写像が得られる.

� ������ �� �� � � �.

Page 26: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

小林 俊行 ��

ここで,左移動による �の� �への作用は,�������における�の � への

作用と同等であり,それゆえ,�の � � へ作用は真性不連続でない.

例 ��� ���で述べたように,� � ������,� を非コンパクトな閉部分群

としたとき,等質空間 � � に,無限位数の不連続群は存在しない.上記の

例は,この特別な �しかし,もっとも核心に触れた�例になっている.

さて,�特定の� 等質空間 � � に対する不連続群の旧来のアプローチは,

等質空間 � � そのものを研究対象とし,個別の等質空間 � � が持つ特有

の性質を使うものであった �このために,� � がランク � の対称空間の特

殊な例であっても,例えば ���年のクルカルニの論文 ����のように離散群

の作用が真性不連続かどうかを確かめるのに膨大な計算が必要になっていた.

���年代後半になるまで,高いランクの擬リーマン対称空間の不連続群の

研究が行われていなかった背景には,�!�年代初頭のカラビ・マルクスの悲

観的な印象を与える例の影響が残っていたと同時に,等質空間 � � そのも

のの上で解析を行うという従来の手法では計算量が限界にきていたという事

情もあったのかも知れない�.��年に一般の擬リーマン対称空間に対して

問題 $ を解決するにあたって,筆者は �等質空間� � を直接扱うのを避け

て� 群�の中で �と� を対等に扱うという方針をとった ����.そして,真性

不連続性が �有限次元表現の�行列要素として表される �上の関数の漸近挙

動によって記述しようアイデアで�の表現論を用いた.こうすることによっ

て,通常の意味での真性不連続性の幾何学的直観は通用しなくなる反面,群

�上の関数空間や表現論とのかかわりが生まれた このアイデアはカラビ・マ

ルクス現象の解決だけでなく,最近の,簡約リー群の等質空間に対する不連

続群の研究 �例えば,問題 $ の解決 ���,�����において基本的な手法となっ

ている.

さて,真性不連続性の判定条件を考えるにあたって,記号や設定を最大限

一般的な枠組みにして系統的に説明しよう.この枠組みは,�最近,不連続面

の研究が進展している�簡約リー群の場合以外に対しても役に立つかもしれな

い.以下の定義に述べるこの枠組み固定部分群に対応する � と 離散部分群

に対応する �のいずれの群構造までも忘れてしまうことにある �これによっ

て,例えば定理 ��"で述べるような函手的な対応が可能になる�.

Page 27: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

�� 非リーマン等質空間の不連続群論

■ 定義 ����� ������ �を局所コンパクト群とし,�,�をその部分集合と

する.

�� �のコンパクト集合 で,� � � かつ � � � を満たすものが存在するとき,� � � と書くことにする.このとき,�は �の部分集合の

間の同値関係を定める.

�� �の任意のコンパクト部分集合 に対して � � が相対コンパクトであるとき,組 ����� は �内で真性 ��(���(� であるといい,� � � と書

くことにする.

�� �の部分集合� に対して,

� �� � �� �� �� � �は �の部分集合で,� � � をみたす �.

と定義し,� �� � ��を不連続双対と呼ぶ.

群 �が可換ならば,�や �の関係式は著しく簡単になる�

■ 例 ����� � と �を可換群 � �� ��の部分空間とする.

�� � � � ��� のとき,そしてそのときに限り,�内で � � �である.

�� � � �のとき,そしてそのときに限り,�内で� � �である.

また,定義に戻って考えれば,次の例は明らかであろう.

■ 例 ����� �がコンパクトならば,�の任意の部分集合 �に対して � � �

が成り立つ.

なお,�という記号は微分幾何において 部分多様体が横断的に交わるという

意味で用いられることが多いが,ここでは全く違う意味でこの記号が使われ

ている事に注意しよう.

���を何のために定義したのかを明らかにするために次の命題を述べよう.

■ 命題 ����� ��� �� �は�の部分集合とする.

�� � � � �とすると,� � �と�� � �は同値である.

�� �双対原理 � � �と � � � は同値である.

�� �を�の離散部分群,� を閉部分群とすると,� 内で � � � であるこ

とと,� が � � に真性不連続に作用することは同値である.

Page 28: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

小林 俊行 ��

我々の本来の目標は離散群の作用が固有不連続であるかどうかを具体的に

判定することであった.このためには,���より,�を理解すればよいことが

わかる.この目的のためには,���より,� の差は考慮しなくてもよいので思考の節約になる.

簡単な注意だが,例 ��!��と命題 ��!�� ���から分かるように,� がコンパ

クト部分群ならば � の任意の離散部分群は � � に真性不連続に作用する.

従って,固有不連続性が問われるのは,� がコンパクトでない場合特有の問

題であることがわかる.

いまや,問題 $ はより一般的な形で再定式化される.

■ 問題 �� �,�を�の部分集合とする.�において � � � であるため

の判定条件を求めよ.

逆に,部分集合� は,�内で � � � となるような部分集合 �たちによっ

て完全に特徴づけられるのだろうか.より正確に述べると次のようになる.

■ 問題 ����� �をリー群とする.�の部分集合� は,同値関係 �の分を除いて,不連続双対 � �� � ��によって決定されるか?

�が簡約線型リー群の場合には,問題 ��!�� は �!年の論文 ����で肯定

的に解決された.実際,部分集合� は �同値関係~の部分を除いて� 不連続

双対 � �� � ��から復元できるのである.�が簡約リー群でない場合には,

問題 ��!��の解答は知られていない.

��� 問題 $� は 三つ組の簡約リー群 �������に対しては ��年に小林に

よって解決され ����� �!年の論文でブノワと小林によって簡約リー群� ��,

�は任意の部分集合�に一般化された ����� �����.この結果を � � �������

に限定して簡潔に紹介する事にしよう.

正方行列 � � � に対して,行列 �� は正定値対称行列である.その固有値

を大きい方から順に並べて 0� � � � 0��� ��と書く.このとき,

1 � �� ��� � �� �<�=0�� � � � � <�=0��.

Page 29: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

� 非リーマン等質空間の不連続群論

と定義する.すると,� � ������� に関する問題 $� の解答は次のように

なる.

■ 定理 ��� �,�を �������の部分集合とする.

�� �������において � � � であることは,��において 1��� � 1���であることと同値である.

�� �������において � � � であることは,��において 1��� � 1���で

あることと同値である.

可換群��に対しては �や�の関係式の意味は簡単である �例 ��!��参照�.従って,定理 ��"が判定条件としてて役立つのである.

�が一般の簡約リー群の場合には,�の極大化部分空間 �をとる ������参

照�.このとき,カルタン分解 � � � �5����� を用いてカルタン射影

1 � �� �

を定義することができる.カルタン射影 1 を用いれば,�������のかわり

に任意の簡約線型リー群�に対して定理 ��" と同様の結果が成り立つ.�の

次元は�の実ランクと呼ばれ,��()>?�と書かれる.例えば,

��()>?������� � �� ��()>?���� �� � �>��� ��

が成り立つ.

注意 ��" �� 定理 ��"の ��� における� と ���における�は自明である.�� ���における� は行列を摂動させたときの固有値の一様な誤差評価に関連している.これに関しては,古くからさまざまな結果が知られているが,そ

の原型となるのはワイルによる次の不等式である� &, をエルミート行列

としその固有値をそれぞれ,2� � � � 2�と 3� � � � 3� とする.このとき,

)5 �2� � 3�� � �&� ��

�� 「不連続双対がもとの部分集合を復元する」という問題 ��!�� の肯定的

な解決 ������を用いることによって ��� における�が証明できる.��� カルタン射影の像 1���が小さいほど,� � に多くの不連続群が存在

Page 30: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

小林 俊行 �

するというのが定理 ��"の大まかな意味である.1���が最も �小さくなる�

のは,1���がコンパクト,つまり� がコンパクトなときである.このとき,

すでに見てきたように�の任意の離散部分群は� � に対する不連続群にな

る.一方,逆に 1���が最も �大きくなる�のは 1��� � 1���のときである.このとき,� �に対する無限位数の不連続群は存在しない �カラビ・マルク

ス現象�.リー群の組 �����が簡約 �(�,�*1�8�� の場合にこれは必要条件に

もなる.すなわち,次の定理が成り立つ.

■ 定理 ����� �擬リーマン等質空間におけるカラビ・マルクス現象の必要

十分条件,���� �����を線型簡約リー群の組とする.このとき,擬リー

マン等質空間 � � に無限位数の不連続群が存在する事と 1��� � 1���は同値である.さらにこの条件は,��()>?� � ��()>?� とも同値である.

リー群論の手法によって証明された結果に幾何的な別証明を与えるという

のは面白い試みだろう.リー群論の強力な手法によって発見された新しい現

象や豊富な実例が,擬リーマン幾何の未知の定理の発見や予測につながると

いうことも考えられる.定理 ����� の典型的な例を �摂動� することによっ

て,次のような予想を提起する.

■ 予想 ����� � � � � とし,� を符号 ��� ��のコンパクト擬リーマン多様体とする.断面曲率�� の下限が正であるとする.このとき,以下を予想

する.

�� � は常に決してコンパクトにならない.

�� �- � �ならば,基本群 ���� � は常に有限群である.

この予想は 例 ��!により断面曲率�� が一定ならば成り立つ.なぜならば

��()>?���- �� �� � ��()>?���� ��

は �>��- �� �� � �>��� ��と同値であり,それはつまり,� �であるからである.符号 ��� ��の擬リーマン等質空間 ��� - ���� ������� の任

意のクリフォード・クライン形もまた,予想 ����� の結論を満たす.この場

合は,断面曲率は正であるが定数ではない.

Page 31: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

�� 非リーマン等質空間の不連続群論

予想 �����は擬リーマン多様体に関して,「局所的性質�の大域的性質」を扱うものであるが,スカラー曲率が正のリーマン多様体におけるマイヤース

の古典的な定理 ��"�と好対照になっている.但し,予想 ����� において「断

面曲率」を「スカラー曲率」にゆるめると再び定理 ����� を用いて反例が作

れる.

��� 定理 ��" を有効に用いるためには,カルタン射影 1の像を決定すること

が重要となる.そこで,いくつかの実例を挙げよう.

■ 例 ��� � � �������,� � � - �,� � � �としたとき,�� � � �������ならば,

1��� � ����� � � � � ��� �� � � � � �� � �� � � � �� ��

となる.

�� � � ���������������ならば,

1��� � ����� � � � � ��� � �� � � � ���

となる.

�� � � ���� �� ならば,

1��� � ����� � � � � ��� �� � � � � ������ � � � ����� � �� � � � �� ��

となる.

�� � が 任意の � に対して ��� � �となる上三角行列 ����� からなる冪零部

分群なら

1��� � ����� � � � � ��� � �� � �� - � � �- �� � �� �� � � � ���

となる.

� の離散部分群 �に対してカルタン射影 1��� がどのような集合であるか

を近似的に評価するという研究はまだあまり行われていないが,それができ

れば有用であろう.� が そのザリスキー閉包 �内で 余コンパクトならば,

この問題は例 ��のようにリー群論的手法を用いてアプローチできるが,そ

うでない場合が面白くかつ難しいであろう.

Page 32: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

小林 俊行 ��

��� コンパクトなクリフォード・クライン形の存在問題

��� この節では問題 & について論ずることにしよう.���� で述べた様に,コンパクトなクリフォード・クライン形の存在問題は,リーマン対称空間

� ���はコンパクト�に対しては �!�年代の初頭にボレルにより肯定的に

解決された.それとほぼ同じ時期に,%)<)@�と6)(?��が擬リーマン対称空

間� � � ���� �� ���� �� ��の場合に否定的な答えを得ていた.すなわち� � の不連続群はすべて有限群に限る,というものであった.

���年代後半になって,リーマンでない一般の等質空間� �,特に �����

が簡約リー群の組の場合 �たとえば�� �が半単純対称空間�に対してコンパ

クトなクリフォード・クライン形の存在問題の組織的な研究が筆者により開

始された.この問題には ��年代に入ってさまざまな分野の数学者が参入

し,活発に研究されてきたが,まだ最終的な解決には至っていない.ここに

最近用いられてきたアプローチをいくつかあげておこう �問題 & に対する必

要条件�.

�� カラビ・マルクス現象,真性不連続性の判定条件 ���,����,����,����

��� 離散群のコホモロジー,さまざまな部分群同士による比較定理 �����

���� 特性類 �����

�8� シンプレクティック形式の構成 �!��

8� エルゴード理論,ラトナーの軌道閉包定理 ��"�� ����� �!!��

8�� ユニタリ表現とその表現の制限の理論 ����� �����

コンパクトなクリフォード・クライン形の存在問題について,最近の発展

に関する概説や文献は著者のヨーロピアン �スクールにおける講義録 ��"� やラブリーの概説記事 ��!� を参照されたい.また最新の参考文献としてオウ・

ヴィッテの共著論文 ���とマルグリスによる概説を挙げておこう.

��� ��� � がコンパクトなクリフォード・クライン形であったとする.�が非コンパクトであるならば,それに応じて � は � において相対的に小さ

いことを注意しよう.これは � の � � への作用が真性不連続であるという

要請からくるものであり,実際,命題 ��!�� を用いると次の定理を簡単に証

Page 33: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

�� 非リーマン等質空間の不連続群論

明することができる.

■ 定理 ����� ��� � が等質空間 � � のコンパクトなクリフォード・ク

ライン形としよう.すると �が�で余コンパクトである事と � がコンパク

トな事は同値である.

�が �の格子 �たとえば �の算術的部分群�ならば,たとえ �が � にお

いて余コンパクトでなくとも,� � への � の作用は真性不連続とはほど遠

い �悪い�作用になる.�!!年に発表された ムーアの古典的なエルゴード性

定理による特殊な場合もその一例である�

■ 定理 ����� ������ � を � � ������の閉部分群とする.すると,

������の � � ヘの作用がエルゴード的であることと � が非コンパクト

であることは同値である.

ここで,�の作用がエルゴード的であるとは,どんな ��不変な可測集合も

測度 �を除いて全体か �のいずれかである事を思い出しておこう.��� ���� における考察から,比較的小さい離散群 �のみが� が非コンパクトな場合の等質空間� �の不連続群の候補になりうる事が分かる.一方,�

があまり小さすぎると,両側剰余類 ��� �の商位相はコンパクトになりえない.つまり,�は大きすぎても小さすぎてもいけないわけである.この議

論をつきつめる事によって,等質空間� �のコンパクトなクリフォード・ク

ライン形を �ある場合に�構成することができる.すなわち,�の部分群 �,

�で以下の3つの条件を満たすものを考える.

�� � が � � に 真性に作用する �すなわち �において � � � �.

��� 両側剰余類 ��� � がコンパクトである.���� �はねじれ元をもたない離散部分群であり,�において余コンパクトで

ある.

このとき,�は,� � に真性不連続かつ自由に作用しておりクリフォー

ド・クライン形 ��� � がコンパクトになる.従って,���,����,�����を同時に満たすような部分群 �と � が存在すれば,等質空間 � � にはコンパ

Page 34: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

小林 俊行 ��

クトなクリフォード・クライン形が存在するというわけである.もし �が線

型簡約リー群ならば,ボレルの定理により �����を満たす �が必ず存在する.

よってこの場合には条件 ���と ����を同時に満たす �連結な�部分リー群 �の

存在のみを考えればよい.条件 ���,����それぞれに対する �検証可能な� 判

定法は ��年の小林の論文 ����により得られた.この方法によってコンパ

クト %<�A�(,�B<��>形の存在が確かめられた等質空間 � � の一覧表は�概説

記事 ��"�にあげられている.その一覧表にはクルカルニ ��"� による球空間

形� � � ���- �� �� ���� �� の例 � � ��� ��が特別な場合として含まれて

いる.

さらに,条件 �����のかわりに

����� �はねじれ元をもたない離散部分群であり,�において体積有限である.

という条件を考えれば,� � の不変測度から誘導される ��� � 上の測度に関して有限な体積を持つクリフォード・クライン形を構成できることにも

注意しておこう.

また,上述の構成法においては,�にねじれ元がないという仮定をつけた

が,この仮定を落とすと �佐武の�, �多様体 �これはサーストンが後に導入したオービフォールドと同じ概念である�が得られ,それはまた別の意味で

も興味深い幾何的対象である.

逆に,コンパクトなクリフォード・クライン形の存在に関して,筆者は以

下の予想を提起した.

■ 予想 ��� �����を簡約リー群の組とする.もし擬リーマン等質空間� �

にコンパクトなクリフォード・クライン形が存在するならば,条件 ���と ����

を同時に満たす簡約部分リー群 �が存在する.

現在,コンパクトなクリフォード・クライン形の存在が知られている全て

の実例で �リーマン対称空間の場合や,群多様体の場合も含めて�予想 ���は

成り立っている.また,コンパクトなクリフォード・クライン形の存在のた

めの必要条件に関する種々の結果 ���� �!�� ��� ����� ����� ����� ����� ��"�� �����

����� ��!�� ��"�� ����� ����� ����� ���� �!��� �!��� �!��� �!!�は上の予想 ���を

特別な場合に裏づけるものである.なお,予想 ���では全てのコンパクトな

Page 35: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

�� 非リーマン等質空間の不連続群論

クリフォード・クライン形が条件 ����� を満たす離散部分群であるという事

まで主張しているわけではない.実際,第 � 節で述べるように,離散部分群

�の変形を考えることによって,条件 �����を満たさない離散部分群 �を用い

てコンパクトなクリフォード・クライン形を構成することが可能な場合もあ

る.また,予想 ���において,リー群が簡約でない場合に研究するのも面白

いテーマであろう.

��� ���� の議論によって,コンパクトなクリフォード・クライン形が構成できる等質空間� ��� は非コンパクト�のいくつかの例を挙げよう.

■ 例 ����� 半単純対称空間 � � � ����� �� 4 ��� �� にはコンパク

トなクリフォード・クライン形が存在する.実際,前述の構成法において

� � ����� ��ととるとよい.この等質空間� �には��不変な擬ケーラー

計量の入った複素多様体の構造も存在するので,コンパクトな擬ケーラー多

様体 ��� �が構成できたことになる �この等質空間� �は随伴表現における楕円軌道として実現できるので例 ������で述べたように ��不変な擬ケー

ラー多様体の構造を持つのである�.

次も対称空間の例であるが,パラメーターが �� �� 5� 6と � つも入っている

ので,コンパクトなクリフォード・クライン形の存在問題を考える上で良い

テストケースになっている.

■ 例 ����� 以下では � � �� 5� 6としても一般性を失わないので,そう仮定する.不定値グラスマン多様体

� � � ���- �� 5- 6� ���� 5������ 6�

を考える.このとき

イ� � � 6 � �

ロ� ��� �� 5� 6� � ��� �� �� ��

ハ� ��� �� 5� 6� � ��� �� �� "�

ニ� ��� 5� 6� � ��� �� ��,� � � �, �ホ� ��� 5� 6� � ��� �� ��,� � � �, �のいずれかならば,コンパクトなクリフォード・クライン形が存在する.

Page 36: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

小林 俊行 ��

それぞれの場合に ����の条件 ���と ����を同時に満たす部分群 �をどのように選べばよいかは ��"� の一覧表に与えられている.

なお,上の �イ�~�ホ�のいずれにおいても � � �という条件が課されてい

ることを注意深い読者は既に気付かれたかもしれない.実際,� � �ならばコ

ンパクトなクリフォード・クライン形が存在しないことが後述する定理 ��"

によって証明できる �例 ������参照�.

��� コンパクトなクリフォード・クライン形 ��� � が存在するか存在しないかということは,もちろん等質空間� � 上にどのような��不変な幾何構

造が存在するかということに影響を受けている.例えば,擬リーマン構造に

ついて考えてみよう.どんなパラコンパクトな可微分多様体にもリーマン計

量を入れることができることは良く知られている �たとえば � の分割を使え

ばわかる�.一方,勝手な符号の擬リーマン計量を入れることができるとは限

らない.最も簡単な例を � つ挙げておこう.

■ 例 ����� 2次元球面上にはローレンツ計量を入れることができない.

証明のスケッチ � 次元球面 � にローレンツ計量が存在したとすると,各

点で長さが正の接ベクトルを選ぶ �滑らかに変化するように選ぶ�ことによっ

て,どの点においても消えないベクトル場を構成することができる.ところ

が,� のオイラー類がゼロでないので,これはポアンカレ・ホップの定理に

矛盾する.故に,例 ����� が証明された.

同様の議論と ガウス・ボンネの定理を使うことによりクルカルニ ����は以

下のことを証明した.

■ 命題 ����� ��が奇数ならば,コンパクトな球空間形で符号が ��� ��の

ものは存在しない.

もっと広い設定で,小林・小野 ���� は,特性類に関するヒルツェブルフの比

例性原理を一般化し ���"�を参照�それを使うことにより,コンパクトなクリ

フォード・クライン形が存在するための必要条件 �ランクによって記述され

Page 37: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

�� 非リーマン等質空間の不連続群論

る� を発見した. 実例として以下を挙げる.

■ 例 ����� �56 が奇数ならば,不定値グラスマン多様体

���� 5 - 6� ���5� ����� 6��

にはコンパクトなクリフォード・クライン形が存在しない �命題 �����は 5 � �

の場合に対応している�.

��� もし,� �にコンパクトなクリフォード・クライン形が存在するとした

ら,� は,何となくコンパクトに近いであろうと,予期するかもしれない.

この感覚は �ある意味で�正しい.その一つの定式化として � と別の部分群

を比較するという方法でコンパクトなクリフォード・クライン形の存在のた

めの必要条件を与えることができる.定理を述べる前に低次元の場合でその

アイデアを示しておこう.

■ 例 ��� �小林 ��� ���� � � ���� � � にはコンパクトなクリフォード・

クライン形が存在しない.

証明のスケッチ ������ � �� ���� � � で� �� ���� � � とする.� と別の

部分群 � �� 4 ��� ��を比較してみよう.位相的には等質空間� �は �上

の���束に同相であり,等質空間 � �は ��� 上の���束に同相である.コ

ンパクトな底空間 � や��� は �ここでは�どうでもよく,ポイントは� �

のファイバー��は � �のファイバー��よりも �より非コンパクト�であ

ることである.このことから ��� �がコンパクトならば,� �� � が�において成り立つことが示される.ところで,もし�の離散部分群 �で ��� �がクリフォード・クライン形になるようなものがあったとすると,� � � が

成り立つ.一方,群論的考察により � � � が �で成り立つ.すると,命

題 ��!�����より � � � に矛盾する.

��� 上の議論は,離散群のコホモロジーの次元 �セールの論文 ����を参照�

を用い,非コンパクト性の数値による評価をすることと不連続性の判定条件

を用いることによって正当化できる.次の結果は筆者によって ��年に証

Page 38: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

小林 俊行 ��

明された.

■ 定理 ��� �小林 ����� ����� � � � を簡約線型リー群の組とする.�において簡約な部分群 �で � � � かつ "��� � "���を満たすものが存在す

るならば,等質空間 � � にはコンパクトなクリフォード・クライン形が存

在しない.

例 ��!において,"���� "��� � �� � � �で "���� "��� � �� � � �はファイバー��と ��の次元にそれぞれ対応している.従って,"��� � "���

は,� � のファイバー ��が � �のファイバー ��よりも �より非コンパ

クト�であることを表現している.一方,� � � は定理 ��" により �群論的考察で�容易に確かめることができる.

��� 定理 ��"の特別な場合として,以下の実例を挙げておこう.

■例 ��� �小林,��年 ����� �� 半単純リー群�の随伴軌道$,���#�# �� は半単純元�にコンパクトなクリフォード・クライン形が存在するのは,そ

れが楕円型軌道のときに限る.特にコンパクトなクリフォード・クライン形を

もつような半単純軌道には必ず��不変な複素構造が入る �例 ������参照�.

�� 等質空間 ������ ��7��� ���� ����

���にはコンパクトなクリフォー

ド・クライン形が存在しない.

�� 不定値スティフィール多様体

4 ��� �3�� 4 ��� �3�� �� �� � � �� � � � ��,�� � �� ��� �

にはコンパクトなクリフォード・クライン形が存在しない.ここで,体 � �

����� 上の不定値ユニタリ群 4 ��� �3��は,

4 ��� �3�� � ���� ��,4 ��� �3 � � � 4 ��� ��,4 ��� �3�� � ���� ��

とも書き表される簡約リー群である.

�� もし � � �あるいは 5- 6 � � ならば例 �����における不定値グラスマン

多様体にはコンパクトなクリフォード・クライン形が存在しない.

��年ごろから,コンパクトなクリフォード・クライン形の存在のための

必要条件を発見するためのさまざまな新しい試みが始まった.それらの多く

Page 39: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

� 非リーマン等質空間の不連続群論

は,数学のさまざまな分野からの思いがけない応用であったが,コンパクト

なクリフォード・クライン形の存在問題に適用するには �少なくとも現時点

では�仮定が強すぎるものもある.例えば,最も重要なクラスの � つとして,

コンパクトな局所擬リーマン対称空間の存在問題を考えよう.すなわち,半

単純対称空間� � にコンパクトなクリフォード・クライン形が存在するた

めの必要条件を考える.これまで知られている手法では,離散群のコホモロ

ジーを用いる定理 ��"が対称空間に対しても最も強力で適用範囲が広い �こ

れはカラビ・マルクス現象から生じる必要条件も含んでいる.適用例は �����

����の一覧表を参照されたい�.また,適用例はかなり少ないが,定理 ��"の

判定条件にもとづいたブノワ ���の方法,および特性類を用いた小林�小野の

定理 �例 �����参照�も定理 ��"とは独立の条件を与えている.一方,この �

つの手法以外の判定条件も数多く発見されている �ブノワ・ラブリー �!�,��"�,

����,マルグリス ����,ジンマー �!!�など�が,そのいずれもが何らかの特

殊な仮定を置いているため,残念ながら対称空間には適用できない.

一方,対称空間ではない,ある種の非対称等質空間 �例えば ������ ��7���

�� � 7�など�に対しては全く異なった方法論でコンパクトなクリフォード・

クライン形の存在問題を議論できる場合がある.下の諸例で見られるように,

既に述べた定理 ��"に比べると必ずしも強力な手法とは言えないけれども,こ

れらの異なる手法を比較検討するのは興味深い,というのもクリフォード・

クライン問題を通じて異なった数学の領域の間の将来的な相互作用を示唆し

ているかもしれないからである.というわけで,上記の例 ���のうち,���,

���,���に対する種々の異なるアプローチを検討してみよう.

�� ブノワとラブリーは ��年の共著論文 �!�において,群論的手法によっ

て証明された定理である例 ��� ���に幾何的な別証明を与えることに成功し

た.彼らの証明において鍵になるのは,シンプレティック形式を構成するこ

とであり,そのために彼らが用いた主な仮定は,等質空間 � � の固定部分

群� が非コンパクトな中心 �を 含んでいる,ということである.

�� ジンマーは ��年に発表した C$6の論文 �!!�において,� � �7

という仮定の下で,������ ��7���にコンパクトなクリフォード・クラ

イン形が存在しないことを証明した.これは例 ��� ���に完全に含まれる結

果であったが,証明のアイディアは全く異なるものである.彼は,�におけ

Page 40: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

小林 俊行 �

る � の中心化群が半単純リー群 ��� � 7���を含んでいるということに着目し,��� �7���の右から ��� � への作用を考え,コサイクルに対する超剛性定理やラトナーの軌道閉包定理を用いた ���"�� ����も参照�.この

手法は,エルゴード理論ともかかわっていて興味深いと思われるが,今の所,

この手法を用いるためには,�における � の中心化群が実ランク �以上の

半単純化リー群を含んでいるという �人為的な�強い仮定が必要であり,例え

ば対称空間や随伴軌道空間などの自然な空間には適用例が見出されていない.

�� コーレットは �%6�� における招待講演 �調和写像,剛性,ホッジ理

論�において四元数体上の不定値スティーフェル多様体 ���� �� ��7� ��は

� � �7ならばコンパクトなクリフォード・クライン形をもたないという定

理を発表した.この結果も例 ������ に完全に含まれていたが,証明法は調

和写像の理論を用いるものであり,他の手法とは全く異なるようである.な

お,この結論を導くために彼が用いた仮定 � � �7 や,体が四元数体であ

るという仮定は実は不要である.このことは,例 ��� ���において � � �,

��� �� � ��� ��とすれば分かる.

�� ブノワは �! 年に発表された $>>)<� の論文 ���で,7 が偶数かつ

� � 7 - �という仮定の下で等質空間 ������ ��7���にコンパクトな

クリフォード・クライン形がないことを証明した.彼の結果は例 ������に含

まれず,新しい定理を与えている.その証明方法は,第 �節で説明した真性

不連続性の判定条件 �定理 ��"�を用いるものである.

�� マルグリスは �"年の論文 ������において等質空間

������ 8�������� �� ��

にはコンパクトなクリフォード・クライン形が存在しないことを証明した.こ

こで,8��������は �����次の対称テンソル表現 8によって ������の部分群としてみなしているので,例 ������ とは違うタイプの等質空間を扱っ

ている.マルグリスはユニタリ表現を非コンパクトな部分群に制限したとき

の行列要素の漸近挙動に着目するというアイディアを用いた.マルグリスの

手法もその他の手法とは全く異なるアイディアに基づいている.

!� シャロムは ����年に発表された$>>)<�の論文において,7 � �� � � �

の場合に,������ ��7���にはコンパクトなクリフォード・クライン形

Page 41: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

�� 非リーマン等質空間の不連続群論

が存在しないことを証明した.この例も実は例 ������に完全に含まれていた

が,証明方法はかなり異なる �ユニタリ表現論を用いる�.

��� ユニタリ表現を部分群に制限する問題とコンパクトなクリフォード・ク

ライン形 ��� � の新しい関係について触れてこの節を終えることにしよう.そのアイデアを大まかに言うと,離散群 �が 位相空間� に真性不連続

に作用しているならば,その作用の性質 �真性不連続性�が,� 上の関数空

間への �の表現に影響を及ぼすはずである,という事である.� が等質空

間 � �であるという設定を考えよう.群�の � � 上の正則表現,すなわ

ち,� � 上の関数空間への�の作用を部分群 �に制限することによって �

の表現が得られる.群作用に関する双対原理 �命題 ��!���が連想されるよう

に,制限にも �つの場合が考えられる.つまり� � �と� � �の場合である.�� �� � .��例 �����の設定を思い出そう.そこでは� � � ����� �� 4 ��� ��であった.群 �の既約ユニタリ表現 � が,正則表現 ���� ��の部分空間

に実現されているとき,�を� �の離散系列表現という.� � の任意の離

散系列表現 � を �のザリスキー閉包 .� � ����� ��に制限すると,制限公式 �分岐則�において連続スペクトラムが存在しないことがわかる.このこと

は,より一般に,ユニタリ表現の分岐則の連続スペクトラムが存在しないた

めの判定条件 ���年に発表された ���の第 ��論文�を用いて証明すること

ができる.連続スペクトラムが存在するかどうかの判定条件と真性不連続性

の判定条件 �定理 ��"�とは,少なくとも外見上は驚くべき類似性を持ってお

り,またその実例も今述べた例のように共通の設定で得られることもしばし

ばある.しかし,この論説を書いている時点では両者を直接に関係づける幾

何的な定式化はまだ見つかっていない.

�� �� � �� マルグリスは前述したように �" 年の論文 ����でもし � �で 8が �次元既約表現ならば ������ 8�������� はコンパクトなクリ

フォード・クライン形を許容しない事を証明した.彼の方法は�のユニタリ

表現をその部分群� に制限して,� �上の関数空間の中に実現される �の

ユニタリ表現のうち,行列要素の漸近挙動の最も悪いものを調べる,という

アイデアに基づいている.この方向でさらに精密に研究したオウの ��年

の論文 ����も参照されたい.

Page 42: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

小林 俊行 ��

��� クリフォード・クライン形の変形とモジュライ

��� この節では次の問題を論ずる事にしよう.

■ 問題 � ����� 参照 等質空間 � � の不連続群 �の変形を記述せよ.

� がコンパクトの場合,���! で見たように,,� � � � � を満たす既約

リーマン対称空間� � の余コンパクトな不連続群 �には本質的な変形は存

在しない.リーマン対称空間の場合の剛性定理とは対照的に,� がコンパク

トでない場合,いくら高い次元であっても,自明でない変形が可能な余コン

パクトな不連続群をもつ既約な擬リーマン対称空間が存在することが,��

年代に入って小林によって発見された ���!�,����3 その実例は定理 ��!で後

述する�.

問題 % は� がコンパクトでない場合に,このような高次元のクリフォー

ド・クライン形 ��� � の変形を理解することを目指すものである.さて,不連続群の変形の記述をする問題は �つの問題を含んでいる.

�� �内で離散部分群 �の抽象群としての変形を記述せよ.

�� 離散群 �を �内で変形したとき,その � � への作用が 真性不連続性

を崩さないような変形パラメータの範囲を決定せよ.

��� 上記の � つの問題 ���,���を念頭に置いて,不連続群の変形の集合を抽

象的に記述してみよう.

�をリー群,�を有限生成群とする.�から�への準同型写像全体のなす

集合を 2� ��� ��と書くことにしよう.2� ��� ��には,各点収束による

位相を入れる.�の有限個の生成元 ���� � � � � ���をとると,次の単射な写像によって,2� ��� ��を直積 � � � � � � �の部分集合と同一視する事ができる.

2� ��� �� 9� �� � � � ��� 8 �� �8����� � � � � 8�����

ここで 2� ��� ��の位相は直積�� � � ���の相対位相を考えればよい.また,�が有限表示可能な場合,2� ��� ��の像は実解析的な多様体になるこ

とに注意しておこう.

� を �の閉部分群とする.既に説明したように,� が非コンパクトなら

Page 43: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

�� 非リーマン等質空間の不連続群論

ば,�の離散部分群は必ずしも � � に真性不連続には作用しない.そこで

2� ��� ��の部分集合 +��� ����を以下のように定義する.

+��� ���� �� �: � 2� ��� �� � : は単射であり,しかも :���は� � に 真性不連続かつ自由に作用する �.

このとき,各 : � +��� ����に対しクリフォード・クライン形 :����� �が得られる. すなわち,両側剰余類 :����� � は : � +��� ����をパラメータとするクリフォード・クライン形の族を形成している.�パラメータ�

についてより正確に記述するため,�と �の自己同型から生ずる本質的でな

い変形をあらかじめ理解しておく必要がある.

まず,群�は,内部自己同型によって集合 2� ��� ��に次のように作用

している� 各 � � �に対して

2� ��� ��� 2� ��� ��� : �� :�

ここで :� � �� �は

:���� � �:������

によって定義される群準同型写像である.

この作用は 2� ��� ��の部分集合 +��� ����を不変にする.すなわち

: � +��� ����� :� � +��� ����

が成り立つ.さらに : と :� に対応するクリフォード・クライン形は以下の

微分同相により,互いに自然に同型になる.

� � ��� � � �� ��� ���

� � �� ��

:����� � ��� :������ � :����� ��� :�������

従って,:と :� は本質的には �同じ�パラメータとみなすのが自然である.

そこで,この��作用に関する商集合として変形空間を定義しよう.

■ 定義 ����� �変形空間

Page 44: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

小林 俊行 ��

� ��� ���� �� +��� ���� �.

すなわち,変形空間とは,+��� ����において �による内部同型の無駄を

省いた集合である.

次に,$�1���を離散群 �の自己同型群とする.$�1���は,2� ��� ��に

次のように作用する�

�� � :���� �� :������� � � $�1���� � � �� : � 2� ��� ��.

この作用は+��� ����を不変にして,さらに前述の�の作用と可換である.

よって $�1���は � ��� ����にも作用している.この$�1���の作用に関する商集合としてモジュライ空間を定義しよう.

■ 定義 ����� �モジュライ空間

���� ���� �� $�1����� ��� ���� � $�1����+��� ���� ��

こうして,問題 %を以下のように定式化する準備が整った.

■ 問題 �� 変形空間 � ��� ����とモジュライ空間���� ���� を �局所的あるいは大域的に�記述せよ.さらに,その幾何構造を調べよ.

��� トーラス � � 上の複素構造のモジュライ空間という簡単な,そして良く

知られた古典的な例を通して,上の定義の意味を検討してみることにする.

■ 例 ����� �� � 上の複素構造� � � &''�� � � �� � � とその部分群

� � �� によって得られる等質空間 � � � � �例 ���参照�を考える.抽象群 � �� �� の生成元をとり,�� � ��� �� ,�� � ��� ��と選ぶことによっ

て 2� ��� ��を直積���の部分集合として以下のように同一視する.

2� ��� �� � ����� ��� � �� � � ���� � ����� � : �� �:����� :�����.

もし,:����が� � � � に対し真性不連続に作用しているならば,:����は

�の閉部分群��� に含まれることが分かる.さらに,:���� � ��� ��-���(��

Page 45: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

�� 非リーマン等質空間の不連続群論

�� � �� ��と書けば,:����が離散的なので ���� (��と ���� (��は,線型独立に

なることもわかる.従って,&� ��

��� ��

(� (�

�は可逆行列になる.この対応は次

の全単射を導く� ������� +��� ���� � �������� : �� &��

+��� ���� から �������への全単射 ������� を通して � � �� � � と

$�1���� � �������の +��� ���� � �������への作用を書き下すと,以下の同型を得る.

� ��� ���� � ������� �� � � � � � � �� ����� ���� � ��������������� �� � ������������� �����

さて,各 : � +��� ����はコンパクトな複素多様体 :������ を定めており,その基底となる滑らかな多様体は � 次元トーラス � � に微分同相である.

� ��� ����はトーラス � � のタイヒミュラー空間であり �ここでは向きづけ

は考慮に入れていない�,���� ����は � � 上の複素構造のモジュライ空間に他ならない.

■ 例 ����� ��� 上の複素構造� � � �������,� � ���� ���� ��

を種数 � �の閉曲面とし,� � ������とする.従って,�� � ��� �が成り立つ.そのとき,変形空間 � ��� ���� は �� のタイヒミュラー空間

であり,���� ����は �� 上の複素構造のモジュライ空間に他ならない.

��� 上の例 ����� や例 ����� のように変形空間 � ��� ����は � 次元以上の空間である場合もあれば,� 次元の場合もある.変形空間 � ��� ����が �次元のとき局所剛性という.すなわち,局所剛性は変形空間 � ��� ����の点における �孤立性�として以下のように定義することができる.

■ 定義 ��� 準同型写像 : � +��� ����が 等質空間� �に対する不連続群として局所剛性であるとは,:を通る�軌道が+��� ����において開集合

になる,あるいは同値なことだが :を含む同値類 �:�が変形空間 � ��� ����の商位相で開集合になることである.

� がコンパクトならば,�離散部分群の� �への作用は自動的に真性不連続

Page 46: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

小林 俊行 ��

になるので� この用語は従来から用いられている「局所剛性」という用語 �例

えばヴェイユ �!��参照� と一致する.

��� ��を非コンパクトな単純リー群として,� � を極大コンパクト部分群と

する.より高い次元において,変形が自由にできるか �すなわち局所剛性の

�やぶれ�� について� がコンパクトなときとそうでないときとを比較してみ

よう.

■ 定理 ��� �� �� がコンパクト3ヴェイユ �!���� ����� �� �������とす

る.� � が �次元のとき,またそのときに限り,; � +��� ����が局所剛性にはならない余コンパクトな離散部分群 ; � � 9� �が存在する.�� � が

�次元であるということと,��が ������に局所同型であることとは同値

であることに注意する�

�� �� が非コンパクト3 小林 ������ ����� �� ��� � ��� ,�)=����� とする.� が ���� �� または 4 ��� �� に局所同型なとき,またそのときに限

り,; � � � +��� ���� が局所剛性にならない余コンパクトな離散部分群; � � 9� �� が存在する.

現在のところ,変形空間が �ある程度�詳細に研究されているのは次の場合

である.

�� ポアンカレ円板 � � � ������ ����

�� � � � �� � �� ,�)=��,�� � ������ �ゴールドマン ����� サレイン �����

�� � � � �� � �� ,�)=��,�� � ���� � � �ギース �����これらの場合の変形を幾何的に言い直す �第 �節参照�と,それぞれ,���

は閉リーマン面 ���� ��の複素構造の変形,���は � 次元多様体上のローレンツ構造の変形,���は � 次元複素多様体上の複素構造の変形に対応して

いる.さらに,���と ���は�定理 ��! ���で � � �� �� �のときに相当してい

る.実際,

�� � ������ ���� �� 4 ��� ���

�� � ���� � � ���� ��

Page 47: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

�� 非リーマン等質空間の不連続群論

というリー群の局所同型写像があるからである.より高い次元の場合につい

ては�変形空間 � ��� ����はまだ未知であり,その研究は将来の課題である.

参考文献

��� �� ��� �� �������� ��� �� ���� �� ���� �� ���!��"������������ �� �� "�������#�"���� $�"% ��"%������ ��� �� ���" �� ������� ��� ��� � ��� & ����� ��� ��''(�� �)*+�),

��� �� ��� ���� �� ���!��"������ ������ �� �� "�������#�"����� ����- ��������� ������� �� ��..��� *.'+***

�*� / ������� �� 0% �"��!"�� �� !�#��!" ��!��� �� #�������� ������

��� � ��'12�� �*�+�*'

�2� / ������� � ��� � ���3��� �����# �� 4�" �� � !��� !" � #��5������ ���� ����� �� ��'))�� �*'+�)�

�)� 6 7 ����"� �!"���� ����� � ��� � � ���! � %�#�� � � � ��!"��� ����

����� ��� ��''1�� *�)+*2(

�1� 6 7 ����" ��� 8 /������ � ��� � � ���! � %�#�� � � #�� � � � -��� "9 � !�#��!" � �� �� �� �� !�� ����� �� ��''��� ''+�.'

�(� � 7�� �� :�#��!" :��;���+<� �� ���#� �� � ## "��! ���! � ��������� ��'1*�� ���+���

�,� � 7�� � ��� ����%5:%������ ���"%# "�! ��������� �� ��� ����!������ ���� ����� �� ��'1��� 2,)+)*)

�'� = :����� ��� / ���3��� > ��"�-��"�! ���! ���#� ���� ����� ����'1��� 1*+(1

��.� < :��� "" � ��#���! #���� ������" ��� ��� "% �� ����"#$

��������� ��''2�� �� 21)+2(�

���� ?� ����#��� @���"������ /�� �"A ���! ���#� %� �&�������

�������� �� ��',)�� *.�+*.,

���� ? ����#�� ��� 6 <�#��%�#�� 0% �����# �"�� ����� �� � !�#��!"4�" ���! ���# �� -��"���� ��� ! !��! %� �&������� �������� �

��',2�� �**+�2.

��*� 9= �% �� B9 ���#�"���� � � �"��!"�� � !�#�� C � ��� � � ���! � %�5#��D � � � ����� � � %� ���� ����'� ����� ��� ��'')�� ��*+�*,

��2� � &�AA� ��� B ?�"" � :��"��5� !�#����"��� �������� �� ����� ��%� (� ������ �� ��..��� ).)+)2*

Page 48: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

小林 俊行 ��

��)� � &�AA� ��� B ?�"" � 0 �� ���"���� �� %�#�� � ��� ���! �� !�����!������� �� � �� ���3 "$� ������� �� ��..���

��1� �? �$3��� ��� �8> =����� 0% /��� �!�� �"��!"�� �� ���! 50�# :�#����� E��- ���" �� ��� �'(*

��(� 8 ��A ���!%� ��"�#���% 8��# � ��� � � ��"A -�� >� #���5>�!%������ � ������������ �� �������� ����!���� ��')1�� �� ��'+�22

��,� ���� F�# :��;���5<� ���!% � >��#����� # ����� ���� �

��'�)�� *�*+**'

��'� ? <������� GE� � �� :��;���5<� ���!% � >��#���# � ����� ����� ��,'��� �)(+�(,

��.� 8 <� ��� F�� ��!%"5 �3�����!% � � �# "�� ����� ���� �� ��,'.��)22+)'.

���� 7<����� �� :�#��9 "�� � � -���9 "9 � ��� �"A� �� � D� !������ !��5�"��" ����� ���� �� ��''1�� *)*+*(.

���� � <��� ��%�� 0�������#�"��� ������ �� B�; � �"��� � �# "� =�� �5���� � � ������ �

��*� 0 <��� ��%�� ���� � �!"��� �� � %�#�� � ��� ���! �� � ��!"�- " � ����� ���� ��� ��','�� �2'+�1*

��2� 0 <��� ��%�� B��!��"������ ������ �!"��� �� %�#�� � ��� ���! � ��� ��!"�- " � ���! ����� �� &:�5'. ��" ���" !��� � �! �� > �� 5� �"�"��� 0% �� �� /� ������ ��� /� ��� ���� �" 8�H�5<�$���!%�3�?���� �!� �"�I!� �''�� )'+()

��)� 0 <��� ��%�� � � ! ���� !����"��� ��� "% C��" �! �� !�#��!":��;���+<� �� ���#� �� %�#�� � ��� ���! � �� � ��!"�- " � � )������ %� �� ��''��� 1)*+112

��1� 0 <��� ��%�� J� ���!��"������ ������ �!"��� �� %�#�� � ��� ���! �$�"% ���!�#��!" ���"��� ��������� %� �������� ��� ����� ��

��''*�� �**+�22

��(� 0 <��� ��%�� B��!��"������ ������ ��� :��;���5<� �� ���#� ���� ���5>� #������ %�#�� � ��� #�������� &�� / !"�� @�" � �� "% =���� �� �!%���� �����" �''2� �� �!%��!%"3���� ��� 7 K��" �� ��� !"�- � �� ��"%� �( �!�� #�! �� ��� �''1� �� ''+�1)

��,� 0 <��� ��%�� :��" ���� �� ���� � �!"���� �� %�#�� � ��� ���! ��� ��!"�- ������ %� (� ������ � ��''1�� �2(+�1*%""��LL$$$ #��� LH�������LM/0L-��1 ���L��� C%"#�

��'� 0 <��� ��%�� B��!� " � !�#��������" �� "% � �"��!"��� �� ��� $�"%� �� !" "� � ��!"�- ��������� ��� �"� �����!�"���� ���" & ��*��������� ��� ��''2�� �,�+�.)� ���" && ���� ����� ��� ��'',�� (.'+(�'N���" &&& ��*���� ����� ��� ��'',�� ��'+�)1

Page 49: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

� 非リーマン等質空間の不連続群論

�*.� 0 <��� ��%�� B ���#�"��� �� !�#��!" :��;���5<� �� ���#� ����� I��" 5>� #������ %�#�� � ��� #�������� ����� ���� ��

��'',�� *'2+2.,

�*�� 0 <��� ��%� ��� < J��� @�" �� ��A ���!%O� ������"������" ����5!��� %� +��� ���� ,�*� �- ��)�� �� ��''.�� (�+,(

�*�� 小林俊行5大島利雄� /� 群と /� 環 �,�.岩波講座 ��'''�

�**� 河野俊丈� 曲面の幾何構造とモジュライ.日本評論社 ��''(�

�*2� 小島定吉� 多角形の現代幾何学.牧野書店 ��'''�

�*)� > � <��3����� ���� � �!"���� ��� �� ���5>� #������ ���! ���#���*����� � ����� � ��',��� �.+)�

�*1� 8 /������ � P� �Q� � �9 ���"�"� �9 ! �"� ��� � � ���! � ��!�� 5# �" %�#��D � � !�#��!"� &�� � #����� ��"% #�"�!� � � �O%��� ���O=�� ��� :������� ���� � � ���"���# ��� 8 0��! ��� ��� =R � �"��� � ��� :�#����� E��- ���" �� ��� �''1� �) ��

�*(� 8 /������ � � ��A � ��� > M F�## �� J� #�������� ��!��� #�� � ��� ���5>� #������ %�#�� � ��� ���! � ��+� � ��'')�� '))+'1)

�*,� 8 /������ ��� > M F�## �� J� "% ���5 C��" �! �� !�!�#��!"��""�! � ��� ����������� ����� ���� (������ � ��'')�� ()+((

�*'� > /���#��� ���� � �!"���� ��� � !�#��!"� �� !����"��� %� (� ����

��� � ��'')�� �)+*'

%""��LL$$$ #��� LH�������LM/0L-��) ���L��� C%"#�

�2.� �� ��������� 8� !�#�� " � ���!��"������ ������ �� �� "����5���#�"���� ��*�� ����� ��)�� ���� ��',*�� 2*)+2*'

�2�� �� ��������� =C��" �! �� !�#��!" Q��"� �"� �� %�#�� � ��� ���! ��# ������� ���� � �!"����� ��� � !� �� #�"��C !� Æ!� �"� . �� ��������� +����� ��� ��''(�� 22(+2)1

�2�� ����������� ����� #� ��� !��H !"�� � �� ������" "% �� ��"% 5#�"�!�� 8���"� �� ��� � ��� !"�- � �R������� ��"� �%� �/�C� ���7��A��� ���� �� �� ��...�� �� �1�+�(2

�2*� M ������� J� �����# �"�� ������ �� !�#�� " �� � 4�" #���������*����� � ����� �� ��'((�� �(,+�,(

�22� M ������� &�"����!"��� "� ��� ����! 5"% �� ��� ��"% �"��� (�����! "�� E��- ���" �� ��� �',(

�2)� :: ���� � =�����!�" �� 4�$� �� %�#�� � ��� ���! � ����� %�

����� �� ��'11�� �)2+�(,

Page 50: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

小林 俊行 �

�21� �B ���"�$ ��� 0 0�#���$�� J� "% !�#��!"� �� �� ���"%# "�!��� � I� � %�#�� � ��� ���! � ���� ����� �� ��'1��� 221+21*

�2(� �7 � ��� >� #������ #�������� $�"% ����"�- # �� !��-�"�� � )� ����� %� � ��'2��� 2.�+2.2

�2,� J%� 0 #� � � ��������� ��� � �� � �"�"���� $�"% #���#�� � !� �� #�"��C !� Æ!� �"� . ��� ���� ����� +����� ��� ��'',�� *))+*,.

�2'� J% ��� B ?�"" � @ $ C�#�� � �� !�#��!" :��;���5<� �� ���#��� %�#�� � ��� ���! � �� ����� �� ���� ����� ���� /���� � ��...���*)+�)�

�).� J% ��� B?�"" � :��"��5� !�#����"��� ��������� �� ����� ���������������������� �"� ��� ���

�)�� J% ��� B?�"" � :�#��!" :��;���5<� �� ���#� �� %�#�� � ������! � �� ����� �� ��������� ������� � ��..��� �)+)(

�)�� > � ������� J� "% C��" �! �� ���! � ��� �!"���� �� ���!�#��!" /� ������ ���� ����� �� ��'1��� �')+*�*

�)*� 8 ��� ��� R��� "9 � ��"�5� ��"" � � ��# ����� * ����9 ���" �� !%�#�� <������ ��� "��-��� �� �� ����� ��� ��� ��� ��''(�� )�)+)*.N

0%D � �" �O9=!�� @��#�� ���9 �� �� � / ��� B ! �'''

�)2� � � �� ��� J� ���!��"������ ������ �� %��% �5��# ������� � ## "��!���! � &�� :��"����"���� "� ���!"����� "% �� 7�#�� � �'1.� �� �2(+�12

�))� M� � �� � :�%�#����� � � ����� � ���!�D " � &�� ��� ��"% �"��� �� (. ����! "�� E��- ���" �� ��� �'(�� �� ((+�1'

�)1� 6 �%���#� >�����" � ���"�� � �� � �"�"���� �� � #���#�� ������� ��������# �"�� ������ �� #�������� $�"% ���3 �� "�������#�"��� �������������� ��� ��...�� ��*+�,�

�)(� � 0�#���-� 0% -��"��� ���-�����" �� "% �����# �"�� ����� �� �� � ����A � /�� �"A ���! ���# %� �&������� �������� �� ��''.��)*'+)2(

�),� ? � 0%���"��� 0%� 5B�# ������� � �# "� ��� 0������ � *)����! "�� E��- ���" �� ��� �''(

�)'� M -�� @ �#���� B� =���G�%���� ���� "��!% � ����# " � �� "��������5!% � ����� � ���� ����� �� ��'**�� �(.+�'.

�1.� @> ?����!%� 0$� ����� #� �� "% "% �� �� ��"�#���%�! ���#�&�� J� � ����� #� �� > �� � �"�"��� 0% �� � ����! ����� �" <�"�"���',1� �',,� �� *'+2.

�1�� � ? ��� > #��3� �� "% !�%�#���� �� ������ ���� ����� � ��'12���2'+�)(

Page 51: 非リーマン等質空間の不連 続群論 / 非リーマン等質空間の不連続群論

�� 非リーマン等質空間の不連続群論

�1�� M� ?���� 0% :��;���+<� �� ���! ���#� �� ��� I��" # "��! ����

����� �� ��'1��� ((+,.

�1*� M� ?���� &��"����! #�������� �� ��� I��" # "��! �������� �����

���*� � ��'12�� ��+12

�12� M� ?���� ���! � �� :���"��" :��-�"�� � )"% �� ������% �� � ���%�&�! �',2

�1)� � F �%��� J� !��� � ��"�5� ��"" � ���! "�# � ��������� ��

��'',�� 1')+(�1

�11� > M F�## �� B��!� " ������ ��� ���5>� #������ %�#�� � ������! � %� ����� ����� ���� � ��''2�� �)'+�1,