Η πεποίθηση ότι επιστήμη και τέχνη αποτελούν δύο διακεκριμένα και αυτοτελή

νοητικά σύνολα, που είναι ριζικώς διάφορα και αντιτιθέμενα, θεμελιώνεται στους

νεώτερους χρόνους στην μεταφυσική Καρτεσιανή διχοτόμηση, λογικής και

συναισθήματος. Και βέβαια σ’ αυτή την κλασσική δυαδική αντίθεση, ο ένας πόλος

της αντιθετικής σχέσης, έχει αξιολογική σήμανση με θετικό πρόσημο, ενώ ο άλλος

συνήθως υποτιμάται ή αγνοείται. Το ιστορικοπολιτισμικό πλαίσιο που εξέθρεψε

αυτό την πεποίθηση (που σε μεγάλο βαθμό αποτελεί προκατάληψη) ήταν η

σταδιακή διαμόρφωση του αστικού κόσμου και η εξορθολογισμένη τεχνικο-

επιστημονική δραστηριότητα απότοκη της μεταφυσικής θεοποίησης του Ορθού

λόγου που κυριάρχησε τους τελευταίους 2-2,5 αιώνες. Η παραπάνω πεποίθηση

λοιπόν, θεωρεί ότι το σύνολο «μαθηματικά» και το σύνολο «τέχνη» «έχουν ως τομή

το κενό σύνολο», όπως θα έλεγε και ένας μαθηματικός. Για να το πούμε πιο απλά,

δεν έχουν τίποτα το κοινό. Το ρήγμα που περιγράφουμε, έχει «θύμα» και τις δύο

αυτές γνωστικές και νοητικές δραστηριότητες.

Πράγματι, τα δύο σύνολα, «μαθηματικά» και «αφήγηση» -- γιατί και οι δύο έννοιες είναι στην

πραγματικότητα σύνολα πραγμάτων και όχι μονάδες -- έχουν αντιμετωπιστεί παραδοσιακά ως

δύο διαφορετικά υπερσύνολα. Τα μαθηματικά κατατάσσονται στην κατηγορία που αποδίδεται

με τον χαρακτηρισμό «επιστημονική κουλτούρα» και η αφήγηση κατατάσσεται στην

κατηγορία που αποδίδεται με τον χαρακτηρισμό «λογοτεχνική κουλτούρα». Τα μαθηματικά

αναφέρονται στον κόσμο της πραγματικότητας και σκοπεύουν να τον απεικονίσουν. Η

λογοτεχνία δεν διεκδικεί αξιώσεις αναφορικότητας, αλλά υπαινίσσεται ή υποδεικνύει

ανοίκειους τρόπους ανάγνωσης της αισθητής ή εμπειρικής πραγματικότητας. Στην πρώτη

περίπτωση έχουμε τη λειτουργία της αναδημιουργικής φαντασίας στη δεύτερη της

δημιουργικής φαντασίας.

Όπως είπαμε και παραπάνω σ’ αυτή τη δυαδική αντίθεση, ο ένας πόλος της αντιθετικής

σχέσης έχει αποκλειστικά θετική σήμανση. Τα μαθηματικά αποτελούν το πρότυπο της

ακρίβειας, της σαφήνειας και της λογικής απόδειξης. Αποτελούν θα λέγαμε την πιστή

αναπαράσταση της πραγματικότητας του κόσμου μιας που ανακαλύπτουν μαθηματικές

σχέσεις, οι οποίες κατοικούν σε μια ανεξάρτητη από εμας πραγματικότητα, τον κόσμο των

ιδεών του Πλάτωνα. Έτσι, τόσο μαθηματικοί όσο και καλλιτέχνες, θεωρούν τα μαθηματικά το

απόλυτο πρότυπο της επιστήμης και βέβαια τον θεμελιώδη γνωστικό μηχανισμό που μας

οδηγεί στην ασφαλή γνώση του κόσμου. Από την άλλη η τέχνη της αφηγηματικής λειτουργίας

αντιμετωπίστηκε στο «Φαίνεσθαι» της ύπαρξής της. Και με αυτό εννοούμε ότι η παραδοσιακή

αφήγηση και η σύγχρονη επιστήμη της αφηγηματολογίας, αντιμετώπισαν αυτή τη τέχνη ως

ενσυνείδητη εξιστόρηση του έντεχνου λόγου, ως αισθητικό φαινόμενο, ως μορφοποιητική

δύναμη του ανθρώπινου θυμικού και έκφραση αισθημάτων και συγκινήσεων, όπως επίσης και

ως ρητορική τέχνη. Όλες αυτές οι «προσλήψεις» της τέχνης της αφήγησης, αγνοήσαν το

«Είναι» της. Το «Είναι» της αφήγησης ως γνωστικής λειτουργίας, ισοδύναμης της ταξινομικής

(παραγωγικής και επαγωγικής λογικής) του ανθρώπινου νοειν. Θα λέγαμε ότι το ανθρώπινο

νοειν και οι γνωστικές του δραστηριότητες (λογικό –μαθηματική-υπολογιστική- και

αφηγηματική) εκφράζεται με ενιαίο και διαφοροποιημένο τρόπο. Αυτό που παρατηρούμε

εμπειρικά είναι τις διαφοροποιημένες γνωστικές λειτουργίες του ανθρώπινου νοειν. Όπως θα

δείξουμε όμως η λογικό-μαθηματική λειτουργία και η αφηγηματική λειτουργία, παρουσιάζουν

πολλές δομικές ομοιότητες και αναλογίες, πράγμα που μας κάνει να υποψιαζόμαστε ότι

ενδεχομένως, να αναδεικνύονται από ένα ενιαίο και διαφοροποιημένο γνωστικό «κέντρο».

Άλλωστε όλα τα συμβολικά συστήματα (και η γλώσσα των μαθηματικών και η γλώσσα της

αφήγησης) κατασκευάζουν και ανακατασκευάζουν την πραγματικότητα και με τη σημασία

αυτή έχουν γνωστική αξία: κάνουν την πραγματικότητα να εμφανίζεται με τον ένα ή τον άλλο

τρόπο. Οργανώνουν «εκ νέου τον κόσμο σύμφωνα με τα έργα τους και τα έργα σύμφωνα με

τον κόσμο» μας λέει ο Goodman. Θα λέγαμε ότι όλα τα συμβολικά συστήματα αναπτύσσουν

αυτή την οργανωτική δύναμη επειδή διαθέτουν μια γνωστοποιητική διάσταση, επειδή

δημιουργούν νέα δίκτυα ανάγνωσης της εμπειρίας ή παραγωγής της. Θα μπορούσε να

παρατηρήσει κάποιος πως αυτά τα τρία χαρακτηριστικά τα συναντούμε στην Αριστοτελική

έννοια του μύθου: λόγος, δράση, ένταξη σε πλοκή.

Θα αναφέρουμε εκείνες τις ομοιότητες που φαινομενολογικά διαπιστώνουμε, μετά βέβαια

από μια ενδελεχή παρατήρηση.

Να διευκρινήσουμε προκαταβολικά ότι θεωρούμε την αφήγηση ως ένα θεμελιώδη γνωστικό

μηχανισμό ή τρόπο του ανθρώπινου νοειν. Μας ενδιαφέρει να αναλύσουμε τον γνωστικό

μηχανισμό, αυτόν που επιτρέπει να αναδειχθούν και να εκφραστούν φαινόμενα αφήγησης,

όπως το μυθιστόρημα, το δράμα, το έπος, η βιογραφία κ.λ.π. Ο γνωστικός μηχανισμός της

αφήγησης δεν είναι ταυτόσημος με τα φαινόμενα που παράγει, είναι η αναγκαία αλλά όχι ικανή

συνθήκη για την παραγωγή τους. Απόδειξη γι’ αυτό είναι ότι υπάρχουν μορφές αφηγηματικού

λόγου, όπως ένα ανέκδοτο, η ελλιπής περιγραφή ενός συμβάντος, τα σπαράγματα

καθημερινού λόγου που συχνά παρουσιάζουν ένα ημιτελές και αμφίσημο χαρακτήρα. Υπάρχουν

και αφηγήσεις που είναι απλές περιγράφες συμβάντων, χωρίς να δημιουργούν την αισθητική

ανάταση και απόλαυση ενός τεχνουργημένου και εκλεπτυσμένου ποιήματος. Για παράδειγμα «

ο Χάρης πήγε βόλτα με το λεωφορείο στη θάλασσα». Εδώ έχουμε μια στοιχειώδη ατομική

μονάδα αφήγησης, στοιχειώδη ατομική μονάδα με την έννοια του στοιχειώδους ατομικού

σωματιδίου της φυσικής.

Τώρα, για την κατάδειξη της ομοιότητας ανάμεσα στη μαθηματική απόδειξη και την αφήγηση:

στην ουσία υποστηρίζουμε ότι η μαθηματική σκέψη είναι ένα είδος αφήγησης, ότι δηλαδή η

απόδειξη ενός θεωρήματος, είτε στη μορφή στην οποία μπορεί ένας μαθηματικός τελικά να τη

δημοσιεύει ή και σε άλλη, πρότερη – και σε κάποια ακόμη από τις ενδιάμεσες μορφές της που

παίρνει στη διάρκεια της έρευνας – έχει όλα τα τυπικά χαρακτηριστικά του ορισμού της

αφήγησης που ακολουθεί: αφήγηση, η αναπαράσταση σε συμβολική γλώσσα, σε σειριακή

(γραμμική) μορφή, με αρχή, μέση και τέλος όπου, επιπλέον, τα γεγονότα συνδέονται κατά

κανόνα – αλλά όχι όλα, αναγκαστικά – με σχέσεις αιτιότητας. Αλλά και τα χαρακτηριστικά της

μαθηματικής απόδειξης αντιστοιχούν 1:1 με αυτά της αφήγησης, όπως δίνονται στον

παραπάνω ορισμό. Δηλαδή απόδειξη -με τη στενή έννοια είναι η λογική διαδικασία κατά την

οποία η αλήθεια μιας πρότασης είναι λογικό επακόλουθο, δηλαδή προκύπτει από μια

πεπερασμένη ακολουθία-αλυσίδα λογικών συλλογισμών, ορθών συναγωγών, που οδηγούν από

ορθές προκείμενες (αξιώματα. ορισμούς, προτάσεις, διαπιστωμένης ήδη αληθείας) σε

υποδεικνυόμενα συμπεράσματα.

Από την άλλη μπορεί να αντιτείνει κάποιος και δικαιολογημένα ότι η αφήγηση αναπαριστά

γεγονότα εν δράσει που διενεργούνται στον καθημερινό αισθητό ή τον φανταστικό κόσμο. Από

την άλλη τα μαθηματικά και οι έννοιες τους κινούνται στο χώρο του αφηρημένου νοητικού

σύμπαντος.

Η ομοιότητα στην οποία αναφερόμαστε είναι ομοιότητα μορφής ή, όπως αποκαλείται στη

μαθηματική γλώσσα, ομομορφισμός (homomorphism). Και για να δούμε αν μια συσχέτιση δυο

συνόλων είναι ομομορφισμός πρέπει να δούμε, αφού συσχετίσουμε τα επί μέρους στοιχεία των

συνόλων, τα μεν με τα δε, να εξετάσουμε αν αυτή η αντιστοίχιση διατηρεί τις βασικές δομές

κάθε ενός από τα δυο σύνολα που συσχετίζονται. Ένα απλό παράδειγμα, ας πούμε, αλγεβρικού

ομομορφισμού από το σύνολο των ακεραίων αριθμών στον εαυτό του είναι αυτό που

αντιστοιχεί σε κάθε αριθμό, το πολλαπλάσιο του επί 2 και το οποίο που γράφεται συμβολικά φ:

α → 2α. Αυτός είναι ομομορφισμός ως προς την δομή που ορίζει η πρόσθεση, καθώς

φ(α+β)=φ(α)+φ(β).

Η συσχέτιση που κάνουμε των επί μέρους στοιχείων γίνεται ως εξής: ο χώρος των ιστοριών

αποτελείται από γεγονότα (δράσεις), και η δομή του, η βασική δομή, ορίζεται από τις σχέσεις

αιτιότητας. Αντίστοιχα, ο κόσμος μιας μαθηματικής θεωρίας, αποτελείται από προτάσεις.

Δηλαδή όπως το βασικό, το ατομικό στοιχείο στον χώρο της αφήγησης είναι το στοιχειώδες

γεγονός (φερ’ ειπείν ένα φιλί), τα αντίστοιχα άτομα στο νοητό σύμπαν των μαθηματικών είναι

οι απλές προτάσεις, δηλαδή οι διαπιστώσεις στοιχειωδών αληθειών, όπως π.χ. «το 5 είναι

πρώτος αριθμός» ή «το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο». Και αυτά μπορούν να συσχετισθούν

δομικά με μια δομή που διατηρεί o ομομορφισμός, διατηρούσα-τη-δομή «μετάφραση» από το

ένα σύστημα στο άλλο, ως εξής: όπως στον υλικό κόσμο, τις δράσεις τις ενώνει η σχέση

αιτιότητας, δηλαδή «η δράση α προκαλεί τη δράση β», αντίστοιχα στα μαθηματικά τις ενώνει

η σχέση συνεπαγωγής, δηλαδή «η πρόταση α συνεπάγεται την πρόταση β», που συχνά μπορεί

να έχει και τη μορφή ενός απλού «κανόνα μεταγραφής» (rewrite rule), δηλαδή έναν κανόνα του

τύπου «όπου α γράφε β». Άπαξ και ορίσουμε αυτή την αντιστοιχία στα βασικά στοιχεία των

δυο συνόλων, μπορούμε κατόπιν να να μιλάμε για εντελώς όμοιες μορφές στη μαθηματική-

αποδεικτική και την αφηγηματική λειτουργία. Τα δυο επι μέρους σύμπαντα λόγου,

μαθηματικών και αφήγησης, είναι όσον αφορά τη μορφή τους, το ένα αντίγραφο του άλλου, θα

λέγαμε, με όρους της σύγχρονης κοσμολογίας, ότι είναι αντικατοπτριζόμενα σύμπαντα.

Δηλαδή όλα τα επί μέρους στοιχεία του ορισμού της αφήγησης βρίσκουν απόλυτη εφαρμογή

στην απόδειξη.

Η κριτική που μπορεί να ασκηθεί για τις ομοιότητες μαθηματικών και αφήγησης, συνίσταται

στο ότι μία από τις αρετές της αφήγησης ως έργου τέχνης είναι το γεγονός ότι διέπεται από

ανοικτότητα. Θα λέγαμε ότι είναι ανοικτό σε πολλαπλές ερμηνευτικές προσεγγίσεις και

βέβαια αυτό είναι κατανοητό και εμπειρικά αποδείξιμο και επαληθεύσιμο μιας που στο έργο

τέχνης δεν επιδιώκεται η μονοσημία αλλά η πολυσημία.

Από την άλλη, μια μαθηματική απόδειξη δεν πρέπει να εμπεριέχει αντιφάσεις, παραδοξότητες

και αμφισημίες. Επιπλέον ένα λογικό-υπολογιστικό πρόγραμμα που περιέχει αμφισημίες δεν

είναι «αποτελεσματικό» με την έννοια της λειτουργικότητας: σε έναν αλγόριθμο πρέπει να

είναι απολύτως σαφή και λογικά καθορισμένη η ακολουθία των επόμενων βημάτων (steps). Ο

ισχυρισμός ότι το λογοτεχνικό έργο είναι ανοικτό σε πολλαπλές αναγνώσεις, ενώ ένα

μαθηματικό θεώρημα για παράδειγμα, έχει το «προνόμιο» μιας και μοναδικής ανάγνωσης,

αμφισβητείται σε κάποιο βαθμό. Η πολυσημία αποκτά σημασία και αντιμετωπίζεται ως

πλεονέκτημα τους τελευταίους αιώνες. Πριν τον Ρομαντισμό, η ασάφεια είχε αδήριτη σχέση με

την πολυσημία και θεωρείτο μειονέκτημα. Αυτό βέβαια αλλάζει κυρίως με τον Ρομαντισμό. Ο

Τζον Κητς, πριν δυο αιώνες, μιλάει για την «αρνητική δυνατότητα» (negative capability) ως

μέγιστο προτέρημα ενός ποιητή, δηλαδή την ικανότητά του να ζει μέσα σε αντιθέσεις και

αμφιβολίες χωρίς να κυριεύεται από την αγωνία της λύσης τους, μέσω της καταφυγής στα

στοιχεία ή τη λογική (facts or reason) – κι ο Κητς είναι γνήσιο τέκνο του Ρομαντισμού. Αυτή η

πορεία, που είναι τελικά η πορεία της σημασίας της υποκειμενικότητας στο έργο τέχνης,

κορυφώνεται με τον Συμβολισμό και πάει και παραπέρα σε κάποιες εκφάνσεις του

Μοντερνισμού για να καταλήξει στο δεύτερο μισό του εικοστού αιώνα στις θεωρητικο-

λογοτεχνικές αντιλήψεις για το «ανοικτό κείμενο» και τη θεωρία του «θάνατου του

συγγραφέα» σύμφωνα με την οποία, στις ακρότατες μορφές της, ο καθένας διαβάζει σε ένα

κείμενο τον κατοπτρισμό των προβαλλόμενων γνωρισμάτων της εαυτοεικόνας του.

Με τα παραπάνω ισχυριζόμαστε ότι ένα λογοτέχνημα δεν έχει απεριόριστο αριθμό

αναγνώσεων και πολλαπλών ερμηνειών. Απαιτείται να εξετάσουμε το ιστορικοπολιτισμικό

συμφραζόμενο μέσα στο οποίο αναδεικνύεται η αφηγηματική λειτουργία της πολυσημίας ως

διακεκριμένη αξία του έντεχνου λόγου. Το συμφραζόμενο από το οποίο «εκβάλλεται» αυτή η

λειτουργία, είναι οι «διαφοροποιημένες» κοινωνίες του νεωτερικου Δυτικού κόσμου. Τα κύρια

γνωρίσματά του είναι η εξειδίκευση και ο καταμερισμός της εργασίας, ο πλουραλισμός των

ηθών, η κοινωνική κινητικότητα, η εξατομίκευση, η πολλαπλή κοινωνική διαστρωμάτωση και

τα αντικρουόμενα κοινωνικά, πολιτικά και οικονομικά συμφέροντα, επίσης οι ταχύτατες

τεχνο-επιστημονικές μεταβολές και οι πολλαπλές ερμηνευτικές προσεγγίσεις για τη σημασία

τους στην ανθρώπινη κοινωνία. Όλα αυτά τα γνωρίσματα συμβάλλουν στην πολυπλοκοποίηση

των ανθρώπινων κοινωνικών σχέσεων, ευνοούν την ασάφεια και εν τέλει δυσχεραίνουν τις

επικοινωνιακές σχέσεις και ανταλλαγές. Βέβαια, ανέκαθεν υπήρχαν πολλαπλές αναγνώσεις και

εναλλακτικά νοήματα. Όμως αυτές είχαν την έννοια της «παρανάγνωσης», με την έννοια ότι

ήταν εκτροπές από τη σωστή ανάγνωση και το νόημα του έργου. Σε παλαιότερες εποχές, το

νόημα του έργου, θεωρούνταν σε μεγάλο βαθμό μονοσήμαντο και οι αναγνώστες-ερμηνευτές

καλούνταν να το ανεύρουν. Σε αντίθεση με τη μεταμοντέρνα αντίληψη της λογοτεχνίας στην

οποία δεν θεωρείται ότι το έργο έχει ένα και μόνο νόημα για όλους. Αντίθετα, υποστηρίζεται

ότι το νόημα του έργου «συντάσσεται» από το ερμηνευτικό εγχείρημα του κάθε αναγνώστη

και ως εκ τούτου το έργο, διαθέτει ανάλογα τις ερμηνείες και ανάλογα νοήματα.

Από την άλλη υποστηρίζεται η άποψη ότι «ένα μαθηματικό θεώρημα είναι ανοιχτό σε μια μόνο

ανάγνωση». Αυτή την τοποθέτηση την αποδίδουμε περισσότερο σε μια συγκεκριμμένη

μυθολογία περί τα μαθηματικά (η «κορωνίς των επιστημών», «το τελευταίο οχυρό της

απόλυτης αλήθειας», κλπ.) παρά στην ίδια τους τη φύση. Γιατί για να μιλήσουμε για «μια και

μόνο ανάγνωση» ενός θεωρήματος πρέπει να μιλήσουμε για μια και μόνο σημασία, και μόλις

βάλουμε αυτή την έννοια στο παιχνίδι τα νερά θολώνουν. Ας σκεφτούμε: τι πάει να πει

σημασία στα μαθηματικά; Τι σημαίνει ένα θεώρημα, σε τελευταία ανάλυση; Τι σημαίνει, για

παράδειγμα, το πυθαγόρειο; Κάθε προσπάθεια απάντησης αυτού του ερωτήματος ή θα

επαναλάβει το θεώρημα σε μια παρόμοια διατύπωση («σημαίνει ότι το τετράγωνο της

υποτείνουσας...», κλπ.) ή θα το μεταφράσει σε άλλου επιπέδου μαθηματική γλώσσα,

γενικεύοντας («σημαίνει ότι σε όλα τα ορθογώνια τρίγωνα υπάρχει μια σταθερή σχέση...

κλπ.») ή θα το αναγάγει σε κάτι άλλο, ένα αλγόριθμο για παράδειγμα, κατασκευής

ορθογωνίων τριγώνων, κ.ο.κ., η μπορεί και να οδηγεί κάποιους σε τελείως άλλους χώρους, με

συμπεράσματα του τύπου «δείχνει ότι υπάρχει αρμονία στο σύμπαν» ή άλλα. Αυτό όμως δεν

πρέπει διόλου να μας εκπλήσσει: είναι η συνηθισμένη κατάσταση στην σημαντική, όπου κάθε

απάντηση στο ερώτημα «τι σημαίνει» κάτι, τελικά παραπέμπει σε μια άλλη έννοια της

σημασίας η οποία δημιουργεί ένα καινούργιο εννοιολογικό πλαίσιο μέσα στο οποίο

νοηματοδοτείται και κατανοείται αυτό το «κάτι».

Ας δούμε όμως κάτι ακόμη απλούστερο από ένα θεώρημα, μια απλή συμβολική έκφραση, π.χ.

την έκφραση (α+β)², εδώ δεν έχουμε μια ταυτότητα αλλά απλά ένα στοιχείο της, σε

αντιστοιχία με τη γλώσσα, θα λέγαμε μια «λέξη», όχι «πρόταση». Τι σημαίνει λοιπόν η

έκφραση (α+β)² ; Ένας μαθητής του γυμνασίου μπορεί να πει «σημαίνει να προσθέσουμε το α

στο β και να το πολλαπλάσιασουμε όλο με τον εαυτό του», πράγμα που είναι σωστό βέβαια και

αποτελεί απλώς λεκτική μεταγραφή του συμβολισμού. Ή, ένας μαθητής του λυκείου, κάπως

υποψιασμένος, θα πει ότι «σημαίνει α²+2αβ+β²», γιατί ξέρει ότι μπορεί να αντικαταστήσει την

πρώτη έκφραση με τη δεύτερη, που αποτελεί ανάπτυξη της, σύμφωνα με το διώνυμο του

Νεύτωνα (μια περίπτωση του κανόνα μεταγραφής, που αναφέραμε προηγουμένως). Όπως και

δυο διαφορετικοί μαθηματικοί, ένας χ ή ένας ψ, μπορούν να διαβάσουν την έκφραση (α+β)² ο

καθένας στο δικό του ειδικότερο πλαίσιο και να δει ο καθένας μέσα της άλλη σημασία, που

ίσως πηγάζει από την συγκεκριμμένη χρήση στην οποία την υποβάλλει. Και ενώ κανείς από

τους δύο δεν θα διαφωνεί με τη μεταγραφή («σημασία») α²+2αβ+β², στις δικές τους χρήσεις

μπορεί αυτή να μη μπαίνει στο παιχνίδι. Με άλλα λόγια, υπάρχουν πολλές σημασίες ακόμη και

για το πιο απλό πράγμα, που μπορεί βέβαια να μην βρίσκονται διόλου σε αντίθεση μεταξύ

τους. Να και ένα παράδειγμα λίγο πιο προχωρημένο. Έχουμε το Ζ, όπως συμβολίζουν στα

μαθηματικά το σύνολο των ακεραίων αριθμών, δηλαδή των λεγομένων φυσικών, το σύνολο

των ακεραίων συμβολίζεται με το γράμμα και είναι το εξής σύνολο:.Δηλαδή περιλαμβάνει

τόσο τους θετικούς, 1, 2, 3, κλπ. μαζί με το 0 και τους αρνητικούς ακεραίους, -1, -2, -3, κλπ.

Αν ρωτήσουμε έναν κλασικό αριθμοθεωρητικό, «τι σημαίνει Ζ» θα πει μάλλον το «σύνολο των

ακεραίων». Για έναν αλγεβριστή στο (ίδιο πάντα) Ζ θα δώσει τη σημασία «ομάδα των

ακεραίων» (δηλαδή το σύνολο, αλλά μαζί με την αλγεβρική πράξη της πρόσθεσης, υπό

κάποιους συγκεκριμμένους κανόνες) ενώ για έναν τοπολόγο το ίδιο πάλι Ζ, η ομάδα των

ακεραίων, θα σας πει ότι είναι – οτι σημαίνει γι’ αυτόν δηλαδή -- η «θεμελιώδης ομάδα του

δίσκου» (fundamental group of the disk), που είναι η συνηθισμένη λειτουργία του Ζ στο

αντικείμενό του. Δηλαδή ακόμη και μια βασικότατη μαθηματική έννοια, όπως είναι οι ακέραιοι

– μια βασική έννοια, όχι ολόκληρο θεώρημα – είναι διαφορετική για τον καθένα! Φυσικά, τα

νοήματα αυτά δεν αντιφάσκουν μεταξύ τους. Αλλά και αντιφατικά νοήματα μπορούμε να

βρούμε στα μαθηματικά. Για παράδειγμα, η οδηγία «από ένα σημείο α εκτός της ευθείας γ

φέρε μία παράλληλο προς τη γ» έχει τελείως άλλη σημασία στην ευκλείδεια γεωμετρία, όπου

υπάρχει μία και μόνο μία τέτοια παράλληλος, άλλο στην υπερβολική, όπου υπάρχουν άπειρες,

και άλλο στην ελλειπτική, όπου δεν υπάρχει καμία παράλληλη – και εδώ τα νοήματα δεν είναι

καν συμβατά. Όμως μη συμβατά και αντιφατικά μεταξύ τους νοήματα έχουμε και στην

περίπτωση της βαρύτητας και της σχέσης της με τον χωροχρόνο. Να διευκρινήσουμε, η ολική

ποσότητα ύλης επηρεάζει τη γεωμετρία του χωρόχρονου ως σύνολο, δίνει στο κοσμολογικό

σύμπαν δηλαδή, συγκεκριμένη μορφή. Ανάλογα με τη γεωμετρία που θα χρησιμοποιήσουμε θα

έχουμε και διαφορετικές μορφές του σύμπαντος κόσμου. Η ευκλείδια, η υπερβολική και η

ελλειπτική γεωμετρία αποτελούν διαφορετικές μορφές του χωρόχρονου και ως εκ τούτου μας

δίνουν και διαφορετικές αφηγήσεις- προοπτικές για το μέλλον του Σύμπαντος. Ας το δούμε

αυτό το σημείο λίγο αναλυτικά: Αν έχουμε δύο παράλληλες ευθείες και τς προεκτείνουμε,

αυτές θα κινούνται παράλληλα για πάντα ή θα συγκλίνουν ώσπου να συναντηθούν ή θα

αποκλίνουν επ΄άπειρον;. Στην Ευκλείδεια γεωμετρία παράλληλες ονομάζονται οι ευθείες που

βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και που προεκτεινόμενες επ’ άπειρον εκατέρωθεν δεν τέμνονται.

Έτσι η «μορφή» του Ευκλείδιου χωρόχρονου είναι ο επίπεδος χωρόχρονος (μηδενικής

καμπυλότητας ε=0 που αποδίδεται με την Ευκλείδια γεωμετρία), σ΄αυτή τη περίπτωση το

άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ισούται με 180 μοίρες. Στον σφαιρικό χώρο, τον καμπύλο

χωρόχρονο (θετικής καμπυλότητας στην Ελλειπτική γεωμετρία του Riemann) το άθροισμα

των γωνιών ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερο από 180 μοίρες. Στον καμπύλο χωρόχρονο

(αρνητικής καμπυλότητας που αποδίδεται με τον Υπερβολική γεωμετρία των Lobachevski-

Bolyai) το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι πάντα μικρότερο των 180 μοιρών.

Κατανοούμε ότι ανάλογα με τη γεωμετρία του χωρόχρονου που θα επιλέξουμε να

χρησιμοποιήσουμε, παρουσιάζεται και διαφορετική μορφή του σύμπαντος κόσμου η οποία μας

δίνει και διαφορετικές προβλέψεις για το μέλλον του σύμπαντος. Και βέβαια στην ερώτηση για

το ποια γεωμετρία είναι ορθή και αληθινή ο Poincarι απαντά: Η ερώτηση είναι το ίδιο

παράλογη με την ερώτηση αν το μετρικό σύστημα είναι πιο αληθινό από τα παλιότερα, αν οι

καρτεσιανές συντεταγμένες είναι πιο αληθινές από τις πολικές. «Μια γεωμετρία δε μπορεί να

είναι πιο αληθινή από την άλλη. Μπορεί να είναι μόνο πιο βολική».