چهارم فصل

« مرکزي شاخصهاي»

مرکزي هاي شاخص

؛ هستند فراواني توزيع جدول داراي که هايي داده ميانگين محاسبه- زير شرح به شده بندي طبقه اعداد ميانگين محاسبه مراحل خالصه بطور

است:طبقه نماينده آوردن بدست-1طبقه هر نماينده در طبقه فراواني کردن ضرب-2فراوانيها کل تعداد بر آن کردن تقسيم وfixi نمودن جمع-3

است، شده داده زير بصورت دانشجويان از نفر40 روانشناسي مثال: نمراتآوريد. بدست را نمرات اين تقريبي ميانگين

fixiنماينده xifiطبقه8442244-40

14147349-4531252654-50684571259-5549662864-6046967769-6514472274-70جمع40∑=2330

ميانه محاسبه

است. مرحله پنج شامل فراواني توزيع در ميانه محاسبه آموزان دانش از نفر50 نشست دراز تمرين هاي نمره فراواني مثال: توزيع

آوريد. بدست را نمرات اين ميانه است، آمده زير جدول در ساله14 پسر

50-48

47-4544-42

41-39

38-36

35-3332-30

29-27

26-24

23-21

20-18

طبقه

23468876321فراواني

÷2=25کنيم. ) مي تقسيم دو بر را نمرات کل -تعداد150)

طبقه تا و شروع طبقه اولين از را عمل اين کنيد، جمع هم با را ها - فراواني2 دهيد. ادامه دارد قرار آن در ميانه که اي (19 =7+6+3+2+1 ) کسر اول مرحله شده محاسبه عدد از را مرحله هر در آمده بدست - عدد3

کنيد. (6=19-25 )

را آيد بدست ميانه تا کنيم اضافه طبقه پايين حد به بايد که را - نسبتي4 بر سوم مرحله شده محاسبه عدد تقسيم از را نسبت کنيد. اين محاسبه در تقسيم حاصل کردن ضرب و دارد، قرار آن در ميانه که اي طبقه فراواني

آوريد. بدست طبقات فاصله 8= دارد قرار ان در ميانه که اي طبقه فراواني و3= طبقات فاصله يا ) اندازه

)

ميانه که اي طبقه واقعي پايين حد با را چهارم مرحله در آمده بدست -عدد5 ؛ کنيد. ميانه جمع است، واقع آن در

34.75 = 2.25 + 32.5

: خالصه دهد: مي نشان خالصه بصورت را ميانه محاسبه نحوه زير فرمول

mdميانه = Lدارد قرار آن در ميانه که اي طبقه واقعي طبقه پايين = حد

Cfاز تر پايين طبقات فراواني = مجموع Lقرار آن در ميانه که اي ) طبقه دارد(

f دارد قرار آن در ميانه که اي طبقه = فراوانيiطبقات اندازه يا = فاصلهnفراوانيها تمام مجموع يا نمرات کل = تعداد

( : ) نما مداست. فراواني بيشترين داراي که عددي از عبارتست مد

که دارد قرار اي طبقه در شده بندي طبقه هاي داده و اعداد در تذکر: نمااست. فراواني بيشترين

با؛ است برابر نما شده بندي طبقه هاي داده در

Lدارد قرار آن در نما که اي طبقه واقعي پايين = حدd1با است فراواني بيشترين داراي که اي طبقه مطلق فراواني = اختالف

که اي طبقه مطلق فراواني = اختالفd2 قبل ما اي طبقه مطلق فراوانيمابعد طبقه مطلق فراواني با است فراواني بيشترين داراي

iطبقه = فاصله

آمار درس در دانشجويان از نفر40 ترم ميان نمرات کنيد مثال: فرضباشد. زير شرح به توصيفي

فراواني

طبقه

550-46655-511760-56356-61470-66375-71280-76

نشان کارآموزي کالس يک در را معلم57 هاي نمره زير فراواني تمرين: توزيعکنيد. محاسبه را توزيع اين نماي و ميانه ، دهد. ميانگين مي

فراوانيتجمعي

طبقهفراواني حدود

واقعي

12525126-2426.5-23.5

0028029-2729.5-26.5

821731732-3032.5-29.5

1213634435-3335.5-32.5

1822237638-3638.5-35.5

28400401041-3941.5-38.5

3634443844-4244.5-41.5

4123046547-4547.5-44.5

5044149950-4850.5-47.5

5526052553-5153.5-50.5

565555156-5456.5-53.5

575858159-5759.5-56.5

2388

پراکندگي شاخصهاي

تغييرات: دامنه تغييرت دامنه ، کنيم مي کم بزرگترين از را نمره کوچکترين گروه يک در

آيد. مي بدستمتوسط: انحرافشده: بندي طبقه اعداد متوسط انحراف آوردن بدست مراحل

آوريم. مي بدست را طبقات ميانه نقاط-1کنيم مي محاسبه را طبقات مياني نقاط ستون ميانگين-2آوريم. مي بدست ميانگين از را ها نمره انحراف مطلق قدر-3کنيم. مي ضرب طبقه همان انحراف مطلق قدر در را طبقه هر فراواني-4 مي بدست را طبقه آن مطلق قدر در ضرب طبقه هر فراواني مجموع-5

آوريم. متوسط انحراف فرمول در را مربوطه ستونهاي از آمده بدست ارقام-6

کنيم. مي جايگزين

کنيد. پيدا زير جدول در را متوسط مثال: انحراف

مياني نقاططبقات

طبقهفراواني

301542244-40301047349-4530552654-5000571259-55

40562864-59701067769-65301572274-70

پايين( : و باال چارک )ميان چارکي انحراف

پايين و باال چارک ميان پراکندگي، هاي شاخص از چارکي: يکي انحراف تعريف ( ، اول ) چارک درصدي25 نقطه بين فاصله شاخص اين اين تعيين در است،

تقسيم2 بر را آن و گيريم مي اندازه را ها ( نمره سوم ) چارک درصدي75 P25 يا ربع همان چارک از آيد. منظور بدست پراکندگي شاخص تا کنيم مي

يعني باال چارک و درصدي25 نقطه يا اول، ربعي يعني پايين چارک است.پس درصدي. 75 يا سوم ربعي نقطه

از: است عبارت چارک ميان تعريف، اين بر بنا

زير شکل به را باال است. فرمول پايين و باال چارک ميان نشانهQ آن در کهدهند. مي نشان

Q3 و باال = چارک Q1اول = چارک

و باال چارک يا ربعي نقطه دو از را ميانه متوسط فاصلهQ که گفت توان ميدهد. مي نشان پايين

هاي نقطه ترتيب به ، باال = چارکQ3 ، = ميانهQ2 ، پايين = چارکQ1تذکر: از ها نقطه اين محاسبه براي دهد، مي نشان را درصدي75 و50 و25

شود: مي استفاده زير فرمول

Ppنظر مورد درصدي = نقطهL( در نظر مورد درصدي ) نقطه چارک هر که اي طبقه واقعي پايين = حد

دارد قرار آنfiدارد قرار آن ( در درصدي ) نقطه چارک که اي طبقه = فراواني

fcدارد قرار دار چارک طبقه از قبل که اي طبقه تجمعي = فراوانيNها داده کل = تعدادIطبقه = فاصله

بيشتر ها طبقه تعداد و کوچکتر فاصله چه هر که است ذکر به : الزم تذکر باال فرمول از استفاده کرد. با محاسبه توان مي دقيقتر را درصدي نقطه باشد،

. باشد يک طبقه فاصله که آيد مي بدست هنگامي پاسخ دقيقترين و

کنيد. محاسبه راQ وQ2 زير مثال مثال: در

وجه: بربر را فوق هاي نمره چارکي ميان چنانچه پس

باشد،3.5 مشابهي هاي نمره چارک ميان و2.72 دوم گروه هاي نمره پراکندگي که است طبيعي خواهد اول گروه هاي نمره پراکندگي از بيشتر

بود. چارک ميان در که است اين در تغيير دامنه بر چارک ميان شاخص تذکر: برتري

نمره اگر گيرند. بنابراين مي قرار استفاده مورد ها نمره مياني درصد50 هاي نمره با يسيار تفاوت سبب به که باشد ها نمره گروه پايين يا باال در هايي در گذارند مي تغيير دامنه اندازه در معقولي غير و العاده فوق تأثير ديگر

شوند. مي داده دخالت چارک ميان محاسبه افزايش کمي را تغيير دامنه اعتبار بخواهيم که وقتي نيست الزم اين بنابر

کنيم. به استفاده ها نمره مياني درصدي50 تغيير دامنه از توانيم مي دهيم، 50 دامنه ها، نمره درصدي100 تغيير دامنه محاسبه جاي به ديگر بيان

از درصدي50 جاي به توان مي کنيم. حتي مقايسه يکديگر با را مياني درصدي کرد. استفاده گروه درون درصدي80 يا درصدسي60 هاي نمره تغيير دامنهآيد. مي بدست قبل فرمول با نيز درصدي80 و60 ،40 ،20 نقطه

با برابر ميانه ، ( باشد ) بهنجار نرمال منحني شکل به ها نمره توزيع چنانچه ازQ1 وQ3 فاصله و

فراوان ي

تجمعي

فراواني

طبقه

112-1324-3856-5

1248-720810-9

28812-11

401214-13

45516-15

48318-17

50220-19

50=N

)ميانه(

)ميانچارکي(

توزيع منحني اگر اما ، است اندازه يک به ميانه

کنيم. مي استفاده زير رابطه دو باشد. از داشته کجي ها نمره فراواني مثبت کجي ميانگين> ميانه >مد

منفي کجي مد> ميانه> ميانگين

بيشتر ميانه ازQ1 وQ3 فاصله باشد، بيشتر فراواني توزيع کجي چه هر ميانه و چارکها بين فاصله از که گفت توان مي نتيجه بود. در خواهد متفاوت

برد. پي ها نمره توزيع کجي نسبي مقدار و نوع به توان مي استفاده مرکز به گرايش مناسب شاخص يک عنوان به ميانه از که ) هنگامي

است.( پراگندگي براي مناسبي شاخص نيز چارکي انحراف شود، مي

فهم و درک آزمون يک در کودک از نفر40 نمرات براي را Q و Q2: تمرينکنيد. محاسبه آمده زير جدول در که

شده بندي طبقه هاي داده براي واريانس محاسبه؛

فراوانيتجمعي

فراواني

طبقه

1124-20

2129-25

4234-30

7339- 35

10344-40

15549-45

22754-50

28659-55

32464-60

35369-65

37274-70

38179-75

39184-80

410189-85

40=N

،53.1+ 8.8 و53.1- 8.8 بين ها نمره از درصد50 براين - بنادارد. قرار61.9 و44.3 يعني

شده بندي طبقه هاي داده ميانگين ؛

هستند طبقات ميانه نقاط ها

کنيد. پيدا ار زير هاي نمره معيار مثال: انحراف

xifiطبقه

96.0496.049.8-1.51.512-1121.6860.847.8-73.524-3168.233.645.8-27.55.556-557.7614.443.8-307.548-725.923.241.8-769.5810-90.320.040.29211.5812-11

58.084.842.216213.51214-1388.217.644.277.515.5516-15

115.3238.446.252.517.5318-17134.4867.248.23919.5220-19

86656850= N

: تذکر و چارک ميان انحرافات، ميانگين و اول درجه در انحراف ، اعتبار نظر از-1

دارند. قرار بعدي هاي درجه در ترتيب به تغييرات دامنه يا يک با باشد، نمره زيادي شماره ها، نمره پايين و باال حد دو در چنانچه -2

از است بهتر باشند داشته فاصله ميانگين از حد از بيش نمره چند محاسبه در زيرا شود، استفاده معيار انحراف جاي به انحرافات ميانگين هاي فاصله گونه اين ، انحراف مقادير رسانيدن توان به با معيار انحرافدهيم. مي جلوه بزرگ حد از بيش ( را ميانگين ) از افراطي