Десять способовДесять способов

Решения квадратных Решения квадратных уравнений.уравнений.

Когда уравнение решаешь, дружок,Когда уравнение решаешь, дружок,

Ты должен найти у него корешок.Ты должен найти у него корешок.

Значение буквы проверить не сложно,Значение буквы проверить не сложно,

Поставь в уравненье его осторожно.Поставь в уравненье его осторожно.

Коль верное равенство выйдет у вас,Коль верное равенство выйдет у вас,

То корнем значенье зовите тотчас.То корнем значенье зовите тотчас.

..

Квадратные уравнения- это фундамент, на котором покоится величественноеКвадратные уравнения- это фундамент, на котором покоится величественное

здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при

решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных

и трансцендентных уравнений и неравенств. и трансцендентных уравнений и неравенств.

В школьном курсе математике изучается формулы корней квадратных уравнений, с В школьном курсе математике изучается формулы корней квадратных уравнений, с

помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и

другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро

и рационально решать многие уравнения. Имеются десять способов решения и рационально решать многие уравнения. Имеются десять способов решения

квадратных уравнений. Подробно разберём каждый из них. квадратных уравнений. Подробно разберём каждый из них.

..

1. Разложение левой части 1. Разложение левой части уравнения на множители.уравнения на множители.

..

Решим уравнения Решим уравнения xx22+10x-24=0+10x-24=0. Разложим левую часть на . Разложим левую часть на множители:множители:

xx22+10x-24=x+10x-24=x22+12x-2x-24=x (x+12) -2 (x+12)= (x+12)(x-2).+12x-2x-24=x (x+12) -2 (x+12)= (x+12)(x-2).

Следовательно, уравнения можно переписать так:Следовательно, уравнения можно переписать так:

((x+12) (x-2)=0x+12) (x-2)=0

Так как произведение равно нулю, то по крайней мере один из Так как произведение равно нулю, то по крайней мере один из его его

множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в обращается в

нуль принуль при x=2 x=2, а также при, а также при x=-12 x=-12. Это означает, что числа 2 и -12 . Это означает, что числа 2 и -12

являются корнями уравненияявляются корнями уравнения

x x22+10x-24=0+10x-24=0

..

2. Метод выделения полного 2. Метод выделения полного квадратаквадрата

..

Поясним этот метод на примерахПоясним этот метод на примерах..

1.Решим уравнение 1.Решим уравнение xx²+6x-7=0²+6x-7=0Выделим в левой части полный квадрат. Для этого Выделим в левой части полный квадрат. Для этого

запишем выражения запишем выражения x²+6x x²+6x в следующим виде.в следующим виде.

x²+6x=x²+2·x²+6x=x²+2· xx·3.·3.В полученном выражении первое слагаемое- квадрат В полученном выражении первое слагаемое- квадрат

числа числа xx,а второе- удвоенное произведение ,а второе- удвоенное произведение xx на на 3.3. Поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно Поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно

прибавить прибавить 33²², так как , так как

x²+2·x·3+3²=(x+3)²x²+2·x·3+3²=(x+3)²Преобразуем теперь левую часть уравненияПреобразуем теперь левую часть уравнения

x²+6x-7=0x²+6x-7=0,,прибавляя к ней и вычитая прибавляя к ней и вычитая 33²². Имеем:. Имеем:

x²+6x-7=x²+2·x·3+3²-3²-7=(x+3) ²-9-x²+6x-7=x²+2·x·3+3²-3²-7=(x+3) ²-9-7=(x+3) ²-167=(x+3) ²-16..

Таким образом, данное уравнение можно записать так:Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(x+3) ²-16=0,(x+3) ²-16=0,т.е. т.е. (x+3) ²=16.(x+3) ²=16.Следовательно,Следовательно, x+3x+3 == 4,4, xx == 11, , илиили x+3x+3 == -- 4,4, xx =-7=-7

..

3. Решение квадратных уравнений по 3. Решение квадратных уравнений по формуле.формуле.

Общий вид квадратного уравненияОбщий вид квадратного уравнения

axax²+bx+c=0,a≠0,²+bx+c=0,a≠0,

формула корней квадратного уравнения формула корней квадратного уравнения

)1(2

42

2,1 a

acbbx

Решим уравнения:Решим уравнения:

А) 4А) 4xx22++77x+3=0. x+3=0.

а =4, а =4, b=7, c=3, D=bb=7, c=3, D=b22-4ac=7-4ac=722-48=1,D>0-48=1,D>0, два разных корня;, два разных корня;

Таким образом, в случае положительного дискриминанта,Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при т.е. при bb22-4ac>0,-4ac>0,

уравнение уравнение axax²+bx+c=0²+bx+c=0 имеет два различных значения. имеет два различных значения.

.1,8

17,

4

3,

8

17;

8

17,

2 2211

xxxxxa

Dbx

продолжениепродолжение

Б) 4Б) 4x2-4x +1=0 x2-4x +1=0 a=4,b=-4, c=1, D=b2-4ac=a=4,b=-4, c=1, D=b2-4ac=(-4)2-16=0(-4)2-16=0, D, D==0,0, один корень; один корень;

Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b2-4acb2-4ac=0, то уравнение =0, то уравнение ax²+bx+c=0ax²+bx+c=0

имеет единственный корень, имеет единственный корень,

В) 2В) 2x2+3x +4=0, x2+3x +4=0, a=2, b=3, c=4, D=b2-4ac=3a=2, b=3, c=4, D=b2-4ac=32-2-32=-13, D<0.32=-13, D<0. Уравнение не имеет корней. Уравнение не имеет корней. Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b2-4ac<b2-4ac<0, то уравнение 0, то уравнение

ax²+bx+c=0ax²+bx+c=0 не не имеет корней.имеет корней.

2

1,

8

4,

2

xx

a

bx

a

bx

2

Формула (1)корней квадратного уравнения Формула (1)корней квадратного уравнения axax²+bx+c=0²+bx+c=0 позволяет найти позволяет найти

корни любого квадратного уравнения(если они есть), в том корни любого квадратного уравнения(если они есть), в том числе числе

приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: так:

корни квадратного уравнения равны дроби, числитель который корни квадратного уравнения равны дроби, числитель который равен равен

второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс плюс

минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без

учетверенного произведения первого коэффициента на учетверенного произведения первого коэффициента на свободный свободный

член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.

..

4. Решения уравнений с 4. Решения уравнений с использованием использованием

теоремы Виета (прямой теоремы Виета (прямой и обратной).и обратной).

..

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид:вид: xx²+px+q=0 ²+px+q=0 (1)(1) Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая приЕго корни удовлетворяют теореме Виета, которая при a=1 a=1 имеет видимеет вид

Отсюда можно сделать следующие выводы( по Отсюда можно сделать следующие выводы( по коэффициентам коэффициентам p p ии q q можно предсказать знаки корней).можно предсказать знаки корней).

..

pxx

qxx

21

21

а) Если свободный член а) Если свободный член q q приведенного уравнения (1) приведенного уравнения (1) положителен положителен

((q>0)q>0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это , то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит зависит

от второго коэффициента от второго коэффициента pp. Если . Если p>0,p>0,то оба корня то оба корня отрицательны, отрицательны,

если если p<0p<0, то оба корня положительны., то оба корня положительны.

..

Например,Например, а) а) x²-3x+2=0;x²-3x+2=0; x1=1x1=1 и и x2 =2x2 =2 , так как , так как q=2q=2, 2, 2>0>0 и и p=-3 p=-3, -3, -3<0<0

x²+8x+7=0;x²+8x+7=0; x1=-7x1=-7 и и x2 =-1 x2 =-1, так как , так как q=7q=7, 7, 7>0>0 и и p=8 p=8, 8, 8>0>0..

б) Если свободный член б) Если свободный член q q приведенного уравнения (1) приведенного уравнения (1) отрицателенотрицателен (q<0) (q<0), ,

то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по больший по

модулю корень будет положителен, если модулю корень будет положителен, если p<0p<0, или отрицателен, , или отрицателен, если если p>0.p>0.

Например,Например,

..

б) б) x²+4x-5=0;x²+4x-5=0; x1=-5 x1=-5 ии x2=1 x2=1, так как , так как q=-5q=-5, -5, -5<0<0 и и p=4p=4, 4, 4>0>0

x²-8x-9=0;x²-8x-9=0; x1=9 x1=9 и и x2=-1x2=-1, так как , так как q=-9q=-9, -9, -9<0<0 и и p=-8p=-8, -8, -8<0<0

5. Решение уравнений 5. Решение уравнений способом «переброски»способом «переброски»

..

Рассмотрим квадратное уравнение Рассмотрим квадратное уравнение axax²+bx+c=0,²+bx+c=0, где где a≠0a≠0..

Умножая обе его части на Умножая обе его части на aa, получаем уравнение , получаем уравнение aa²²xx²+²+aabx+bx+aac=0c=0

Пусть Пусть ax=yax=y, откуда , откуда x= x= y/ay/a ; тогда приходим к уравнению ; тогда приходим к уравнению

y²+by+ac=0y²+by+ac=0 равносильного данному.Его корни равносильного данному.Его корни yy11ии y y 22 найдем с найдем с

помощью теоремы Виета. помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем Окончательно получаем xx11= y= y11 /a/a и и xx11= y= y 22 /a/a . .

При этом коэффициент При этом коэффициент a a умножается на свободный член, как бы умножается на свободный член, как бы

«перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом

«переброски». «переброски».

Этот способ применяют, когда можно легко найти корни Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, уравнения,

используя теорему Виета и, что самое важное, когда используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть дискриминант есть

точный квадрат.точный квадрат.

..

Решим уравнение Решим уравнение 2x2x² -11x+15=0,² -11x+15=0,

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в

результате получим уравнение результате получим уравнение y²-11y+30=0 y²-11y+30=0 Согласно теореме Виета Согласно теореме Виета

Ответ: 2,5; 3.Ответ: 2,5; 3.

//

.3

5,2

2

62

5

6

5

2

1

2

1

2

1

x

x

x

x

y

y

6. Свойства коэффициентов 6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения. квадратного уравнения.

А). Пусть дано квадратное уравнение А). Пусть дано квадратное уравнение aax²+bx+c=0,x²+bx+c=0,где где a≠0. a≠0. 1. 1. Если Если aa+b+c+b+c=0( т.е. сумма коэффициента уравнения равна нулю), =0( т.е. сумма коэффициента уравнения равна нулю),

то то xx11=1=1, , xx2 2 =c/a=c/a

2. Если 2. Если aa--b+cb+c=0, или=0, или b=a+c, b=a+c, то то xx11==--11, , xx2 2 == - -c/ac/a

Б). Если второй коэффициент Б). Если второй коэффициент b=2kb=2k- четное число, то формулу - четное число, то формулу корнейкорней

(слайд 8 формула 1)(слайд 8 формула 1)можно записать в видеможно записать в виде

………………………………В). Приведенное уравнение В). Приведенное уравнение xx²+px+q=0²+px+q=0

совпадает с уравнением общего вида, в котором а=1,совпадает с уравнением общего вида, в котором а=1,b=pb=p и и c=q. c=q. Поэтому Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корнейдля приведенного квадратного уравнения формула корней

(слайд 8 формула 1)(слайд 8 формула 1)принимает вид:принимает вид:

……………………………(3)……………………………(3)Формулу (3) особенно удобно использовать когда Формулу (3) особенно удобно использовать когда pp четное число. четное число.

1

в

Решим уравнение 345Решим уравнение 345xx22-137x-208=0. -137x-208=0. Решение. Так как Решение. Так как a+b+c=0 a+b+c=0 (345- 137 -208 =0), то(345- 137 -208 =0), то

Ответ: Ответ:

Решим уравнение Решим уравнение 3x3x22-14x+16=0-14x+16=0

Решение. Имеем: Решение. Имеем: a=3, b=-14, c=16, k=-7a=3, b=-14, c=16, k=-7;;

D=kD=k22-ac=(-7)-ac=(-7)22-48=1,D>0, -48=1,D>0, два различных корня;два различных корня;

.345

208,1 21

a

cxx

.345

208;1

.3

8;2:

.3

8;2;

3

17

3

1721

Ответ

xxa

Dkx

Для запоминания формулы (3) для решения приведенного квадратногоДля запоминания формулы (3) для решения приведенного квадратного

уравнения уравнения xx²+px+q=0²+px+q=0можно использовать такое стихотворение:можно использовать такое стихотворение:

р со знаком взяв обратным, р со знаком взяв обратным, Мы на два его разделим.Мы на два его разделим.И от корня аккуратно И от корня аккуратно

Знаком «минус», «плюс» отделим. Знаком «минус», «плюс» отделим. А под корнем, очень кстати,А под корнем, очень кстати,

Половина р в квадрате,Половина р в квадрате,МинусМинус q q – –

И вот решеньеИ вот решеньеНебольшое уравненья:Небольшое уравненья:

.22

2

qpp

x

7. Графическое решение7. Графическое решение квадратного уравнения. квадратного уравнения.

Если в уравнении x²+px+q=0

перенести второй и третий члены в правую часть,

то получим x² = - px - q.

Построим графики зависимостей y = x² и y =-px-q.

График первой зависимости- парабола, проходящая через начало координат.

График второй зависимости- прямая .

Возможны следующие случаи:

- Прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

- Прямая и парабола могут касаться ( только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение.

- Прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Решим графически уравнения Решим графически уравнения xx²-3x-4=0²-3x-4=0..

Решение.Решение.

Запишем уравнения в виде Запишем уравнения в виде xx²=3x+4²=3x+4

Получим параболу Получим параболу y=y=xx²². Прямую . Прямую y=3x+4y=3x+4 можно можно

построить по двум точкампостроить по двум точкам M(0 M(0;;4)4) и и N(3N(3;;13).13).

Прямая и парабола пересекаются в двух точках Прямая и парабола пересекаются в двух точках AA и и B B

c c абсциссамиабсциссами xx11==--1 1 и и xx2 2 ==44

Ответ: Ответ: xx11==--11,, x x2 2 ==4.4.

8. Решение квадратных 8. Решение квадратных уравнений с помощью уравнений с помощью

циркуля и линейки.циркуля и линейки.

Графический способ решения Графический способ решения квадратныхквадратных уравненийуравнений

с помощью параболы неудобен. Если строить с помощью параболы неудобен. Если строить параболу параболу

по точкам, то требуется много времени, и при по точкам, то требуется много времени, и при этом этом

степень точности получаемых результатов степень точности получаемых результатов невелика.невелика.Предлагаем следующий способ нахождения корнейПредлагаем следующий способ нахождения корней

квадратного уравнения квадратного уравнения aax²+bx+c=0x²+bx+c=0

с помощью циркуля и линейки.с помощью циркуля и линейки.

Решить уравнение x2-2x-3=0

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формуле:

Проведем окружность радиуса SA, где A( 0;1).

Ответ: x1=-1, x2=3.

112

31

2

,112

2

2

a

cay

a

bx

9. Решение квадратных 9. Решение квадратных уравнений с помощью уравнений с помощью

номограммы.номограммы.

Это старый и незаслуженно забытый способ решения Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с. 83 (см. Брадис В. квадратных уравнений, помещенный на с. 83 (см. Брадис В.

М. Четырёхзначные математические таблицы. –М., М. Четырёхзначные математические таблицы. –М., Просвещение,1990). Просвещение,1990).

Таблица Таблица XXXXІІІІ. . Номограмма для решения Номограмма для решения уравнения уравнения zz²+pz+q=0²+pz+q=0. Эта номограмма позволяет, . Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения коэффициентам определить корни уравнения

Криволинейная шкала номограммы построена по Криволинейная шкала номограммы построена по формулам :формулам :

Пологая Пологая OC=p, ED=q, OE=aOC=p, ED=q, OE=a( все в см.), из подобия ( все в см.), из подобия треугольников треугольников CAHCAH и и CDF CDF получим пропорцию получим пропорцию

Откуда после постановок и упрощений вытекает Откуда после постановок и упрощений вытекает уравнение уравнение zz²+pz+q=0²+pz+q=0, причем буква , причем буква zz означает метку означает метку любой точки криволинейной шкалы.любой точки криволинейной шкалы.

.1

,1

2

z

zAB

z

aOB

OB

a

ABp

qp

10. Геометрический способ 10. Геометрический способ решения квадратных уравнений. решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра,

квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически.

Приведем ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал- ХорезмиПриведем ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал- Хорезми

А вот, например, как древние греки решали уравнениеА вот, например, как древние греки решали уравнение

y²+6y-16=0y²+6y-16=0

Решение представлено на рис. , где Решение представлено на рис. , где y²+6yy²+6y=16, или =16, или y²+6yy²+6y+9=16+9. +9=16+9.

Решение.Решение. Выражения Выражения y²+6yy²+6y+9 и 16+9 геометрически представляют собой +9 и 16+9 геометрически представляют собой

один и тот же квадрат, а исходное уравнение один и тот же квадрат, а исходное уравнение y²+6y-16y²+6y-16+9-9=0- одно и то же +9-9=0- одно и то же

уравнение. Откуда и получаем, что уравнение. Откуда и получаем, что y+3=±5, y+3=±5, или или yy11=2, y=2, y22=-8( =-8( рис).рис).

y2 3y

3y 9

y

3

3

y

Литература. Литература.

1. Алимов Ш. А., Ильин В. А. и др. Алгебра, 6-8. Пробный учебник для6-8 1. Алимов Ш. А., Ильин В. А. и др. Алгебра, 6-8. Пробный учебник для6-8 классов средней школы. –М., Просвещение,1981.классов средней школы. –М., Просвещение,1981.

2. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для средней 2. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. Изд. 57-е. –М., Просвещение, 1990.школы. Изд. 57-е. –М., Просвещение, 1990.

3. Злоцкий Г. В. Карточки- задания при обучении математике. Книга для 3. Злоцкий Г. В. Карточки- задания при обучении математике. Книга для учителя. –М., Просвещение, 1992.учителя. –М., Просвещение, 1992.

4. Клюквин М. Ф. Алгебра, 6-8. Пособие для учащихся 6-8 классов. –М., 4. Клюквин М. Ф. Алгебра, 6-8. Пособие для учащихся 6-8 классов. –М., Просвещение, 1963.Просвещение, 1963.

5. Кужепов А. К., Рубанов А. Т. Задачник по алгебре и элементарным 5. Кужепов А. К., Рубанов А. Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. –М., Высшая школа,1969.заведений. –М., Высшая школа,1969.

6. М., Математика (приложение к газете «Первое сентября»), №№21/96, 6. М., Математика (приложение к газете «Первое сентября»), №№21/96, 10/97, 24/97, 18/98, 21/98.10/97, 24/97, 18/98, 21/98.

7. Окунев А. К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. 7. Окунев А. К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. –М., Просвещение, 1972.Пособие для учителя. –М., Просвещение, 1972.

8. Пресман А. А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и 8. Пресман А. А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. -М., Квант, №4/72. С. 34.линейки. -М., Квант, №4/72. С. 34.

9. Соломник В. С., Милов П. И. Сборник вопросов и задач по 9. Соломник В. С., Милов П. И. Сборник вопросов и задач по математике.Изд.4-е дополн. –М., Высшая школа,1973.математике.Изд.4-е дополн. –М., Высшая школа,1973.

10. Худобин А. И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. 10. Худобин А. И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. –М., Просвещение,1970. Пособие для учителя. Изд. 2-е. –М., Просвещение,1970.

СПАСИБО ЗА

ВНИМАНИЕ!