Τα Μαθηματικά ως παιχνίδι

Μιχαήλ Λάμπρου

Γιαννιτσά 30/11/2012

Aristippus philosophus Socraticus nausragio cum ejectus ad Rhodiensium litus animadvertisses Geometrica schemata descripta exclamavisse ad comites ita dictur, Bene speremus Hominum enim vestigia video

Vitruvius, Architectura X

Πυθαγόρας: Λεπτομέρεια από την Σχολή των Αθηνών του Ραφαήλ

Λογικόν ζώον το μεν θεός, το δε άνθρωπος, το δε ως ο Πυθαγόρας

Αριστοτέλης, Περί Πυθαγορικής

φιλοσοφίας

οι καλούμενοι Πυθαγόρειοι των μαθημάτων αψάμενοι πρώτοι ταύτα προήγαγον

Αριστοτέλης, Μετά τα Φυσικά

Το της μαθηματικής όνομα ιδιαίτερον επί μόνης γεωμετρίας και αριθμητικής οι από του Πυθαγόρου

Ανατόλιος, Ορισμοί

Επί δε τούτοις Πυθαγόρας την περί αυτήν φιλοσοφίαν εις σχήμα παιδείας ελευθέρου μετέστησεν [...] αΰλως και νοερώς τα θεωρήματα διερευνόμενος

Πρόκλου,Υπόμνημα εις το α’ των Στοιχείων

Και θύσαι φησίν αυτόν εκατόμβην επί τω ευρηκέναι ότι τριγώνου ορθογωνίου η την ορθήν γωνίαν υποτείνουσα ίσον δύναται ταις περιεχούσαις

Αθήναιος, Δειπνοσοφισταί

Και τα μεν τας σφαίρας σώματα πέντε εντί …

Στοβαίος, Ανθολόγιο (Φιλόλαος)

Πυθαγόρας πέντε σχημάτων όντων στερεών, άπερ καλείται και μαθηματικά, …

Αέτιος, Συναγωγή περί αρεσκόντων

μανθάνειν δειν τους ελευθέρους όσος πάμπολυς εν Αιγύπτω παίδων όχλος άμα γράμμασιν μανθάνει ... λογισμούς ... μετά παιδιάς και ηδονής μανθάνειν

(Πλάτωνος, Νόμοι)

Μηδείς αγεωμέτρητος εισήτω

(Πλάτωνος, Πολιτεία)

Τρία τα μέρη της ευμαθείας.Αγχίνοια, μνήμη, οξύτης.

Και μνήμη μεν έστι τήρησιν ων έμαθε τις.Οξύτης δε η ταχύτης της διανοίας, αγχίνοια δε το εξ ων έμαθε θηρεύειν και α μη έμαθεν Πλάτων

Παλατινή Ανθολογία (917, Κων/νος Κεφαλάς)

15 τόμοι, συλλογή υλικού από 300 αρχαίους συγγραφείς

αινίγματα και προβλήματα στο 14 βιβλίο

- ένας ο αέρας, δύο τα πλοία,

δέκα ναύτες κωπηλατούν.

Ένας καπετάνιος κυβερνά και

τα δύο. Τι είναι;

-Η κόρη αφού κοιμήθηκε κοντά στη φωτιά, πέθανε. Το κρασί προδοτικό. Πέθανε από ξύλο της Παλλάδας και ο δολοφόνος ναυαγός.

- Η Νικαρέτη έπαιζε με τις πέντε φίλες της. Η Κλειώ της πήρε το 1/3 των καρυδιών που κρατούσε, η Σαπφώ το 1/4, η Αριστοδίκη το 1/5, η Θεανώ το 1/20 και αργότερα άλλο 1/12 και η Φαλαινίδα το 1/24. Στο τέλος της έμειναν 50 καρύδια. Πόσα είχε στην αρχή;

Επτά σπίτια έχουν επτά γάτες και κάθε γάτα έφαγε επτά ποντίκια που έφαγαν το καθένα επτά κόκκους στάρι. Κάθε κόκκος στάρι θα παρήγαγε επτά κιλά κόκκων. Πόσα είναι όλα όσα απαρίθμησα;

Μαθηματικός πάπυρος Rhind από την αρχαία Αίγυπτο (1650 BC)

β’ τρόπος

S = 7 + 7² + 7³ + 74 + 75

7S = 7² + 7³ + 74 + 75 + 76

--------------------------------------------------------

6S = 76 -7 so S = 19607

α’ τρόπος

7 + 49 + 343 + 2401 + 16807 = 19607

πρόβλημα το οποίο κατασκεύασε σε στίχους ο Αρχιμήδης και το έστειλε στην Αλεξάνδρεια σε αυτούς που ασχολούνται με αυτά, στην επιστολή του προς τον Ερατοσθένη τον Κυρηναίο

λύση μέχρι τώρα

οι εξισώσεις

αλλά θέλω ακόμα...

Leonardo Fibonacci (1170 – 1250)

Liber abaci

S= 1 + 2 + 2² + 2³ + 24 + … + 263

= 264 – 1

Ένα σπυρί σιτάρι στο πρώτο τετράγωνο, δύο στο δεύτερο, τέσσερα στο τρίτο οκτώ στο επόμενο, και ούτω καθεξής.Πόσα όλα τα σπυριά μαζί;

Εικόνα από το Liber Abaci

= f(1)

= f(2)

= f(3)

= f(4)

= f(5)

f(n)=f(n-1)+f(n-2)

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233

Πλήθος ζευγαριών

Μαθηματικά μαγικά τρικ

8 6 14 11

14 12 20 17

5

11

10 8 16 13 7

5 3 11 8 2

7 5 13 10 4

figure 1 figure 2

8 6 14 11

14 12 20 17

5

11

10 8 16 13 9

5 3 11 8 2

7 5 13 10 4

8 6 14 11

14 12 20 17

5

11

10 8 16 13 9

5 3 11 8 2

7 5 13 10 4

Αδύνατες καταστάσεις

Παράδειγμα: 4, 6, 7, 12, 14, 22, 26

Παράδειγμα: 12, 15, 18, 21, 30, 32, 36

Ισορροπία βαρών

Πλακόστρωση

παραδείγματα

δοκιμάστε τώρα αυτό

= 3416 × + 18 ×

με χρωματισμό δείχνουμε το αδύνατο

αρχήτέλος

Διαδρομή

τέλοςαρχή

τέλος αρχή

παραδείγματα

αρχή

τέλος

τώρα δοκιμάστε αυτό

αρχή

τέλος

ξανά, με χρωματισμό δείχνουμε το αδύνατο

διαδρομή μέσα στον κύβο

αρχή

τέλος

και άλλη αδύνατη κατάσταση με χρωματισμό

+

+

+

→

→

→

= 0 = 1 = 2

0 + 2 → 1 + 1 (0)

0 + 1 → 2 + 2 (+3)

1 + 2 → 0 + 0 (-3) 2 5 8 11 14 17 20 23 26

↑

0 18 36

↓ ↓ ↓