Критерии адекватности математических моделей в физике

твердого тела

Бахрушин В.Е.Классический приватный университет,

Запорожье

Vladimir.Bakhrushin@zhu.edu.ua

Согласно определению В.М. Глушкова, математическая модель – это множество символических математических объектов и соотношений между ними.

Примерами математических моделей в физике твердого тела являются:

∗ уравнения Фика;∗ группы симметрии кристаллов;∗ функции плотности распределения

электронов по энергетическим уровням;∗ поверхности Ферми.

В литературе часто различают понятия математической модели в узком и широком смысле.

Математическая модель (в узком смысле) является математической формой записи некоторой физической (содержательной) модели объекта исследования.

В широком смысле к математическим моделям относят любые модели, удовлетворяющие определению В.М. Глушкова. В частности, такими являются статистические и регрессионные модели, которые часто не предполагают наличия связанной с ними физической модели.

В общем случае математическая модель считается адекватной, если отражает она позволяет с приемлемой точностью получить интересующие исследователя результаты.

Точность модели может существенно различаться для различных значений входных переменных, поэтому часто возникает необходимость выделять область адекватности модели, для которой абсолютная или относительная погрешность меньше заданной предельно допустимой величины. Определение области адекватности моделей представляет собой сложную процедуру, требующую больших вычислительных затрат.

Погрешность математических моделей обусловлена тем, что любая модель представляет собой приближенное и упрощенное отображение объекта исследования. Ее источниками являются предположения, сделанные при разработке физической модели, а также приближения, использованные при построении самой математической модели.

В связи с этим различают понятия адекватности физической и математической модели.

В частности, погрешность физической модели может быть обусловлена предположениями про:

∗ однородность и изотропность кристалла;∗ независимость коэффициента диффузии

примеси от ее концентрации, координат и времени; ∗ пренебрежением влияния внутренних и

внешних электромагнитных полей на поведение электрически заряженных примесей и т.п.

Погрешности такого рода могут быть уменьшены учетом дополнительных факторов. Однако при этом модель усложняется и может стать математически некорректной или непригодной для анализа из-за большого объема необходимых вычислений.

Погрешности, возникающие на этапе построения математических моделей, обычно обусловлены вносимыми упрощениями. Их типичными примерами являются:

∗ замена дискретных процессов непрерывными и наоборот;

∗ линеаризация нелинейных зависимостей; ∗ пренебрежение малыми слагаемыми; ∗ использование типовых математических

моделей, (вид функции распределения, группа симметрии, геометрическая форма и т. п.).

Такие погрешности можно уменьшить отказом от тех или иных упрощений, но при этом могут возникнуть такие же проблемы, как и в предыдущем случае.

Ситуация осложняется тем, что на конечный результат моделирования существенно влияют другие источники погрешности, которые не связаны непосредственно с адекватностью или неадекватностью самой модели.

Обычно выделяют три группы таких погрешностей:

∗ погрешность исходных данных; ∗ погрешность вычислительного алгоритма; ∗ погрешность вычислений.

Основными источниками погрешности исходных данных являются:

∗ погрешности измерений; ∗ использование приближенных значений

параметров; ∗ замена генеральных совокупностей

выборками ограниченного объема; ∗ использование данных, подвергнутых

статистической обработке.

Установить наличие такой погрешности и уменьшить ее можно только с помощью дополнительных экспериментов.

Погрешность расчетного алгоритма связана с упрощениями и допущениями, которые делают при разработке вычислительного алгоритма. Типичными источниками таких ошибок являются:

∗ разложение функций в ряд;∗ аппроксимация сложных функций более

простыми;∗ замена функций конечно-разностными

выражениями;∗ использование итерационных процедур, для

которых необходимо задать условие остановки.

Погрешность вычислений обусловлена тем, что количество значащих цифр в числах, с которыми выполняют вычисления, ограничено.

Это приводит к тому, что иногда может возникнуть необходимость отказа от точных формул и замены их алгоритмами приближенных вычислений. Например, известная формула нахождения корней квадратного уравнения

2

1,2

b b 4acx

2a

− ± −=

при дает большую погрешность и целесообразнее использовать приближенные методы.

2b 4ac>>

Для проверки адекватности математической модели, как правило, необходимо выполнить проверку качественного и количественного соответствия получаемых при ее использовании результатов и данных, полученных другими методами.

При проверке качественного соответствия обычно проверяют поведение получаемых параметров, наличие и количество экстремумов на исследуемых зависимостях, асимптотику модели, сравнительное влияние различных факторов на изучаемые характеристики и т. п.

Такая проверка является обязательным предварительным этапом и при установлении адекватности количественных моделей.

Качественная неадекватность модели может быть обусловлена неадекватностью физической модели, либо некорректностью ее преобразования в математическую модель.

Количественное несоответствие результатов моделирования имеющимся данным может быть связано со всеми вышеперечисленными причинами.

В дальнейшем мы будем рассматривать только вопросы, связанные с формальными критериями и методами проверки адекватности количественных математических моделей.

Математические модели такого вида можно разделить на несколько групп в зависимости от типа математических объектов, использованных для их построения.

В простейшем случае модель представляет собой формулу, которая позволяет непосредственно рассчитать значение интересующей исследователя величины, задавая параметры модели и значения входных переменных.

Примером такой модели является известная формула для вычисления коэффициента диффузии:

( )0D D exp E / kT= −

В таких ситуациях, как правило, вычислительная погрешность является достаточно малой, а алгоритмическая отсутствует.

Поэтому в случае выявления неадекватности модели, ее причину надо искать в упрощениях, использованных при построении физической или математической модели. В частности, закон Аррениуса часто не выполняется при диффузии примесей из-за температурной зависимости энергии активации или смены преобладающего механизма диффузии при изменении температуры.

Однако, при использовании других типов моделей игнорировать вычислительную и алгоритмическую погрешность нельзя.

При проверке адекватности количественной модели возможны две существенно различных ситуации.

В первом случае целью моделирования является установление значения того или иного параметра (энергии связи, потенциала ионизации, ширины запрещенной зоны и т.п.). Адекватность модели определяется сравнением расчетного значения (с учетом погрешности вычислений) и экспериментальных данных (с учетом их разброса или погрешности измерений).

Для этого можно использовать критерий Крамера-Уэлча или при (выполнении некоторых ограничений) t-критерий Стьюдента.

Во втором случае целью моделирования является получение зависимостей. Проверка адекватности в этом случае является более сложной и обычно основана на анализе остатков модели, т.е. разностей между расчетными значениями и имеющимися экспериментальными данными.

Обычно полагают, что эти разности должны быть некоррелированными случайными величинами, подчиняющимися нормальному закону распределения с нулевым средним значением. Кроме того, дисперсия остатков должна быть близка к дисперсии погрешности экспериментальных данных.

В соответствии с этим проверка адекватности модели предполагает выполнение таких этапов:

1. Проверка «разумности» дисперсии остатков по критерию Фишера (сравнивают дисперсию остатков и дисперсию погрешности эмпирических данных). Слишком большая дисперсия остатков свидетельствует о том, что модель не учитывает те или иные существенные факторы. Слишком малая дисперсия является следствием переусложненности модели, например выбора слишком высокого порядка полиномиальной модели.

2. Следующим этапом является проверка того, что остатки модели подчиняются нормальному закону распределения.

Для этого можно использовать критерии типа омега-квадрат или Колмогорова-Смирнова.

Кроме того, для проверки закона распределения остатков можно использовать Р-Р и Q-Q диаграммы, которые дают возможность построить график функции распределения в координатах, линеаризующих их для выбранного закона. Однако, в этом случае следует учитывать, что значимость наблюдаемых отклонений от линейности зависит от объема выборки.

3. Третьим этапом является проверка гипотезы про равенство нулю среднего значения остатков. В некоторых случаях оно автоматически выполняется при построении модели. Тогда соответствующий этап можно пропустить.

4. Четвертым этапом является проверка отсутствия автокорреляции остатков. Обычно для этого надо исследовать график автокорреляционной функции. Но в некоторых случаях достаточно проверить лишь отсутствие автокорреляции первого порядка. Тогда можно использовать критерий Дарбина-Уотсона.

Рассмотрим методику проверки адекватности моделей на примере моделей сложных спектров.

С.Г. Сазонов // Новые материалы электронной техники, 1990. – С. 51

Локальная плотность состояний

Спектр вольтамперометрии твердых фаз

Т.П. Смирнова и др. // Новые материалы электронной техники, 1990. – С. 71

Спектры механической релаксации сплавов ниобий – вольфрам - азот

В.Е. Бахрушин и А.Ю. Чириков // Вопросы атомной науки и техники - 2006.- № 1. - С. 120 – 123.

Во многих случаях спектр можно представить в виде суммы нескольких однотипных функций. Например спектр механической релаксации при определенных условиях можно описать моделью:

( )n

1 1 1 i0i

i 1 0i

E 1 1Q T Q cosh

R T T− − −

=

= − ÷

∑

0ii 0i

kTE RT ln

hf=

Задачей идентификации модели в этом случае является определение параметров 1

0i 0in,Q ,T−

(1)

(2)

Причиной неадекватности полученной модели может быть неправильное определение указанных параметров или неприменимость модели указанного вида для конкретных систем или условий.

Нами, совместно с аспирантами, были разработаны алгоритмы автоматической идентификации моделей данного класса, основанные на применении методов нелинейной минимизации суммы квадратов остатков модели и комплекса критериев адекватности.

Основной сложностью является то, что количество одновременно протекающих релаксационных процессов неизвестно.

Общая схема идентификации модели является такой. Задается минимальное возможное количество пиков, определяемое по виду спектра (можно взять n = 1). Далее решается задача минимизации функционала, представляющего собой сумму квадратов остатков модели. Ее решением является набор параметров .

Далее выполняется проверка критериев адекватности. Если модель не является адекватной количество пиков увеличивается на единицу. В противном случае процесс завершается.

10i 0iQ ,T−

Предварительный анализ критериев адекватности показал, что наиболее эффективными в данном случае являются:

∗ квазиунимодальность целевого функцинала;∗ критерий Дарбина – Уотсона;∗ критерий дисперсионного отношения

Фишера.

Первый критерий означает, что целевому функционалу соответствуют n физически эквивалентных минимумов (различаются нумерацией процессов).

Для установления адекватности математической модели сложного спектра нет необходимости проверять наличие автокорреляций высших (кроме первого) порядков, поскольку неучет реально существующего пика приведет именно к автокорреляции первого порядка, а присутствие в модели лишних максимумов не будет сопровождаться автокорреляцией остатков.

Проверка нормальности распределения остатков не дает дополнительной информации, поскольку это условие выполняется при выполнении других проверяемых критериев.

Проиллюстрируем методику таким примером. В качестве «экспериментальных» данных возьмем значения внутреннего трения, сгенерированные по формулам:

( )n

1 1 1 i0i

i 1 0i

E 1 1Q T Q cosh

R T T− − −

=

= − ÷

∑

0ii 0i

kTE RT ln

hf=

+ ε(T),

где ε(T) – элементы случайной последовательности со средним значением 0 и стандартным отклонением σ; n = 4.

Качество модели определяли с помощью таких параметров:

S – сумма квадратов остатков (минимизируется для получения оптимального набора параметров);F – расчетное значение критерия Фишера;d – расчетное значение критерия Дарбина – Уотсона.

Тестируемые модели имели вид (1, 2) с n = 3; 4 и 5.

Initial approach 1 (3 peaks) σ=0,01

Initial approach 2 (3 peaks) σ=0,01

Initial approach 3 (3 peaks) σ=0,01

The result of decomposition

S=0,372

F=67,43

Residuals

d=0,46

0,009ε = −

0,098σ =

Initial approach 1 (4 peaks) σ=0,01

Initial approach 2 (4 peaks) σ=0,01

Initial approach 3 (4 peaks) σ=0,01

The result of decomposition (4 peaks)

S=0,004

F=0,74

Residuals

d=2,34

0,0001ε = −

Normal P-P Plot of EPS

Observed Cum Prob

1,0,8,5,30,0

Exp

ecte

d C

um P

rob

1,0

,8

,5

,3

0,0

0,010σ =

Initial approach 1 (5 peaks) σ=0,01

0

4

8

12

500 600 700 800

Q-1·103

T, K

0

4

8

12

500 600 700 800 T, K

Q-1·103

The result of decomposition (5 peaks = 4 peaks)

S=0,004

F=0,74

σ=0,01

Given 3 4 5_1 5_2 5_3

T1 570 575,2 570,0 570,0 570,0 570,0

T2 620 620,1 620,1 620,1 620,1

T3 690 682,7 690,1 690,1 690,1 690,1

T4 750 744,7 749,9 749,9 749,9 749,9

T5 631,5 530,9 755,7

Q1 6 7,7 6,0 6,0 6,0 6,0

Q2 3 2,9 2,9 2,9 2,9

Q3 12 12,3 12,0 12,0 12,0 12,0

Q4 3 4,0 3,0 3,0 3,0 3,0

Q5 0 0 0

Given 3 4 5_1 5_2 5_3

T1 570 574,7 570,0 576,4 570,0 570,0

T2 620 620,1 623,1 620,1 620,1

T3 690 684,5 690,6 690,8 690,6 690,6

T4 750 745,5 749,4 749,5 749,4 749,4

T5 563,8 532,8 739,9

Q1 6 7,5 6,0 3,8 6,0 6,0

Q2 3 2,4 2,2 2,4 2,4

Q3 12 12,1 11,8 11,7 11,8 11,8

Q4 3 3,9 3,1 3,1 3,1 3,1

Q5 2,5 0 0

σ=0,07

Приведенные результаты показывают, что модели с недостаточным или избыточным числом компонент не удовлетворяют тем или иным из используемых критериев адекватности.

В отличие от них модель с правильно выбранным числом компонент удовлетворяет всем используемым критериям.

Это дает возможность автоматизировать процедуру идентификации модели.

Некоторые публикации автора по теме доклада:

1. Бахрушин В.Є., Чиріков О.Ю. Моделі та механізми механічної релаксації, пов'язаної з перебудовою домішково-дефектної підсистеми кристалів. – Запоріжжя: ГУ «ЗІДМУ», 2004. – 140 с.

2. Бахрушин В.Є. Математичне моделювання. – Запоріжжя, ГУ “ЗІДМУ”, 2003. - 140 с.

3. Бахрушин В.Е., Шумада Р.Я. Идентификация математических моделей сложных релаксационных спектров // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем / Под ред. Ю.М. Соломенцева, Б.Н. Четверушкина, А.В. Боголюбова и др. – М.: Янус-К, 2009. – Т. 2. – С. 265 – 273.

4. Бахрушин В.Е., Чириков А.Ю. Аналіз релаксаційних властивостей ОЦК сплавів впровадження в області релаксації Снука // Фізика і хімія твердого тіла. – 2006. – 7, N 4. – С. 656 – 659.

5. Бахрушин В.Е., Чириков А.Ю. Анализ релаксационных спектров внутреннего трения твердых растворов на основе ниобия // Высокочистые металлические и полупроводниковые материалы. Сборник докладов 9 Международного симпозиума / Под ред. В.М. Ажажи, В.И. Лапшина, И.М. Неклюдова, В.М. Шулаева. Харьков: ННЦ ХФТИ, 2003.- С. 77-82.

6. Бахрушин В.Е. Истинность и адекватность математических моделей // Философские проблемы гуманитаризации высшего образования.- Сумы-Бердянск: Сумский госуниверситет, 2002. – С. 62 – 67.